Gabarito_Equilibrio_Geral_Trocas

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Gabarito da Lista de Equilíbrio Geral – Prof. Jorge Cláudio
Equilíbrio Geral com Trocas
Questão 1 
(0)	Verdadeiro. A dotação total de um bem na economia determina a altura da caixa e a dotação total do outro bem determina a largura da Caixa de Edgeworth.
(1)	Falso. A igualdade das taxas marginais de substituição de cada indivíduo ocorre no ponto de tangência das curvas de indiferença. Esses são pontos de eficiência de Pareto e não correspondem, em geral, às dotações iniciais, a menos que isso aconteça por acaso.
(2)	Falso. A situação inicial é alterada no mercado através das trocas efetuadas espontaneamente pelos indivíduos. Essas torças não ocorrem se a utilidade de um dos indivíduos diminuir em consequência da troca, ou seja, o equilíbrio final deve se situar na tangência de uma curva de indiferença superior ou igual à curva de indiferença que passa pelo ponto da dotação inicial.
Questão 2 
(0)	Falso. Uma alocação é eficiente no sentido de Pareto quando não há possibilidade de aumentar a utilidade de um agente sem diminuir a utilidade de outro agente. No ponto em que um dos agentes, por exemplo, o indivíduo A, fica sem nenhum dos dois bens, essa condição é satisfeita, pois para melhorar o agente A, é necessário piorar B, pois a quantidade de bens na economia é fixa e determinada pela soma das dotações iniciais.
 (1)	Falso. A dotação inicial pode estar na curva de contrato e constituir um equilíbrio walrasiano sem a necessidade de trocas.
(2)	Verdadeiro. A curva de contrato é exatamente o conjunto de todos os pontos eficientes de Pareto.
(3)	Falso.
	A Alocação X é Pareto Eficiente (as curvas de indiferença são tangentes) e está sobre a curva de contrato. A alocação W não é pareto eficiente, mas o indivíduo B prefere a alocação W, pois nela passa uma curva de indiferença mais distante da origem e que lhe dá um maior nível de satisfação do que X.
(4)	Verdadeiro. Se uma economia está num ponto eficiente de Pareto, ao se deslocar desse ponto um agente estará melhor e o outro agente estará pior..
Questão 3 
Verdadeiro. Podemos redefinir a função de cada um dos indivíduos através de uma transformação monotônica da função original de tal forma que:
	
 
	Quando a soma dos expoentes da função Cobb-Douglas é igual a unidade, cada coeficiente é interpretado como sendo o quando cada indivíduo gasta de seu orçamento no consumo do bem. Assim, o indivíduo A gasta 40% de seu orçamento no bem x e 60% no bem y. O indivíduo B gasta 60% de seu orçamento no bem x e 49% no bem y.
(1)	Falso.O preço de equilíbrio do primeiro bem (x), relativo ao segundo (y), é 1 (um).
As preferências são do tipo Cobb-Douglas, então sabemos que dada uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas:
Podemos escrever as demandas ótimas X* e Y* como sendo:
No caso indivíduo do A, 
No caso indivíduo do B, 
Diferente do caso da Teoria do Consumidor, em que a renda do consumidor é informada, no Equilíbrio Geral a renda dos indivíduos é o valor de mercado de sua dotação inicial:
Uma hipótese usualmente retida nos modelos de equilíbrio geral é a escolha de um dos bens para servir como numerário (moeda), assim sendo todos os bens serão medidos em relação a ele. A escolha é arbitrária, e assim sendo escolhemos pX = 1 (poderia ser escolhido py = 1).
Nesse caso, as rendas se tornam:
O equilíbrio nos diz (Demanda Agregada = Oferta Agregada) :
A Lei de Walras nos diz que se existem N mercados e N-1 estão em equilíbrio então o n-ésimo (último) mercado estará em equilíbrio. No nosso caso N = 2 (bens x e y). Portanto, se um mercado estiver equilibrado, o último também estará! Podemos escolher para resolver o equilíbrio qualquer dos bens, mas a dica é escolher resolver o equilíbrio para o mercado do bem que foi fixado com numerário para facilitar as contas, assim nesse caso, vamos resolver para o bem x:
Mas, repare que:
Substituindo a Renda RA e RB e mais o preço do bem x pX = 1, temos:
Assim:
De onde, temos:
De onde obtemos que py = 1. De posse desses dados, podemos calcular as rendas e as demandas e ver que isso equivale a um equilíbrio:
No caso indivíduo do A, 
No caso indivíduo do B, 
De onde podemos constatar o equilíbrio:
Veja que no ponto de ótimo (equilíbrio), as TMS entre os dois indivíduos são iguais, o que significa dizer que as alocações além de equilíbrio são eficientes (Equilíbrio -( Eficiente), esse é o Primeiro Teorema do Bem-Estar !
(2) Verdadeiro. Ver acima.
(3) Verdadeiro. Ver acima.
Questão 4
(0)	Falso. A definição de Pareto não leva em consideração questões distributivas, ou seja, Eficiência não implica Justiça ou Igualdade. Eficiência é um critério enquanto igualdade é outro. 
(1)	Verdadeiro. Um monopolista que discrimina perfeitamente os consumidores vende cada unidade do bem pelo preço máximo que a pessoa está disposta a pagar por aquela unidade do bem, ou seja, cobra do indivíduo o valor da utilidade marginal auferida. Como resultado, o consumidor está pagando aquilo que realmente deseja pagar e, portanto, não estará melhor nem pior. O monopolista ao extrair todo o excedente do consumidor esgota as suas possibilidades de ganho, ou seja, obtém o lucro máximo. Portanto, o monopolista discriminador produz uma quantidade eficiente. Outra forma de se ver isso é que o monopolista que discrimina preços perfeitamente mimetiza a solução da concorrência perfeita que é eficiente.
(2)	Falso. Esse resultado está relacionado ao Segundo Teorema do Bem-estar. O Segundo Teorema do Bem-Estar impõe condições para que uma alocação eficiente seja um equilíbrio walrasiano (competitivo). As preferências devem ser convexas e que se possa fazer uma redistribuição das dotações iniciais. Portanto, uma alocação eficiente só será um equilíbrio se atender essas condições. 
(3)	Verdadeiro. Esse é o Primeiro Teorema do Bem-Estar.
(4)	Falso. Numa economia de trocas, a distribuição de rendas depende das dotações iniciais, mas também dos preços de mercado, uma vez que a renda é o valor de mercado das dotações iniciais. Numa economia de trocas, a distribuição de renda vai depender somente das dotações iniciais dos agentes.
Questão 5
(0)	Falso. Em geral, as alocações nos pontos de cruzamento das curvas de indiferença na são alocações eficientes no sentido de Pareto, de modo que é possível que os agentes melhorem as suas utilidades através de trocas, mas isso não significa que nos pontos de cruzamento das curvas de indiferença haja desperdício dos bens. Nenhuma alocação na Caixa de Edgeworth implica em desperdício de bens, uma vez que os indivíduos em conjunto estão consumindo toda a dotação de bens existentes na economia.
(1)	Falso. Todas as posições de tangência entre as curvas de indiferença, são pontos de ótimo de Pareto.
(2)	Falso. Um ponto de tangência entre as curvas de indiferença é eficiente de Pareto e por definição em pontos de ótimo não é possível melhorar a posição de um dos indivíduos no seu mapa de preferências sem piorar a posição do outro indivíduo.
(3)	Verdadeiro.A curva de contrato contém as combinações de pontos que permitem desenhar a curva de possibilidades de utilidade, pois o conjunto de possibilidades de utilidade esboça os níveis de utilidade que os indivíduos podem alcançar através da troca. Os pontos sobre a fronteira (curva) de possibilidades correspondem a pontos que pertencem à curva de contrato, pois são pontos ótimos de Pareto.
Questão 6
	
(0)	Falso. A homoteticidade das funções de utilidade dos dois indivíduos não garante que a curva de contrato será uma reta, pois dependem da função de utilidade. A curva de contrato é dada pela união de pontos tais que a Taxa Marginal de Substituição dos dois agentes (a inclinação das curvas de indiferença) são iguais. Seas preferências são homotéticas a inclinação das curvas de indiferença é constante aos longos dos raios traçados da origem do mapa de indiferença. 
 Se 
 forem às funções de utilidade dos dois indivíduos, pode se ver que a curva de contrato será uma reta. Mas, no caso de 
 e dotações iniciais wA = (2,2) e wB = (2,2), teremos:
A área listrada corresponde à curva de contrato que não é uma reta e sim uma região.
(1)	Falso. Haverá trocas se for possível aumentar a utilidade de um indivíduo pelo menos sem diminuir a utilidade do outro. Se isso não for possível, a própria dotação inicial será um ótimo de Pareto. Um caso em que não há trocas é quando a própria dotação inicial já se encontra sobre a curva de contrato. 
 (2)	Falso. A troca irá ocorrer se for possível aumentar a utilidade de um agente sem piorar a de outro não importando se um agente está se beneficiando mais ou menos do que o outro.
(3)	Verdadeiro,.Em uma economia de trocas, os indivíduos só transacionam bens se a alocação que daí resultar determinar um nível de utilidade superior à utilidade auferida com a dotação inicial. Além do mais o equilíbrio é uma alocação eficiente, ou seja, ambos estão melhores ou se um está melhor o outro está igual à sua situação inicial.
 
QUESTÃO 7
(0) Falso.
	A Alocação X é Pareto Eficiente (as curvas de indiferença são tangentes) e está sobre a curva de contrato. A alocação W não é pareto eficiente, mas o indivíduo B prefere a alocação W, pois nela passa uma curva de indiferença mais distante da origem e que lhe dá um maior nível de satisfação do que X.
(1) Falso.A afirmativa está incompleta. Se a economia está em uma alocação eficiente no sentido de Pareto, ninguém pode conseguir uma utilidade maior sem piorar a utilidade do outro agente.
(2)	Verdadeiro. Em uma alocação eficiente no sentido de Pareto, pelo menos um agente tem que estar melhor do que na alocação inicial. Se todos estiverem piores, é possível achar uma alocação em que ou todos melhorem ou que pelo menos um melhore sem piorar o outro, o que significa que a situação não era eficiente.
(3)	Falso. O preço ao qual os bens serão transacionados é determinado pela inclinação da reta de restrição orçamentária. A restrição orçamentária deve necessariamente passar pelo ponto de dotação inicial e a curva de contrato não sendo possível determinar qual será a razão de preços de equilíbrio somente com essas informações, pois existem diversas retas que podem passar pela dotação inicial e tangenciar algum ponto da curva de contrato. Sabendo a dotação inicial dos consumidores, assim como a curva de contrato, podemos determinar o preço ao qual os bens serão transacionados.
Questão 8
 
(0). Falso.
	A Alocação X é Pareto Eficiente (as curvas de indiferença são tangentes) e está sobre a curva de contrato. A alocação W não é pareto eficiente, mas o indivíduo B prefere a alocação W, pois nela passa uma curva de indiferença mais distante da origem e que lhe dá um maior nível de satisfação do que X.
Verdadeiro. 
 
Podemos montar o Lagrangeano do problema como sendo:
 
 
Dividindo-se (1) por (2) e (3) por (4) respectivamente, temos:
 
Logo, TMSA = TMSB, e a alocação resultante do problema é eficiente de Pareto.
(2). Verdadeiro. Esse é o Segundo Teorema do Bem-Estar Social.
Questão 9
(0) Verdadeiro. Isso decorre da própria definição da Lei de Walras.
(1). Verdadeiro. Num modelo de equilíbrio geral com N bens, a Lei de Walras garante que se a demanda igualar a oferta em N-1 mercados (excesso de demanda ou demanda excedente nula), então no n-ésimo mercado a demanda será igual a oferta também nesse mercado. Haverá N-1 preços a serem determinados pelo sistema de N-1 equações. O n-ésimo bem pode ser estabelecido como numerário fixando-se o seu preço igual a 1 e medindo os demais preços em relação a esse numerário. 
(2). Falso. O preço ao qual os bens serão transacionados é determinado pela inclinação da reta de restrição orçamentária. A restrição orçamentária deve necessariamente passar pelo ponto de dotação inicial e a curva de contrato não sendo possível determinar qual será a razão de preços de equilíbrio somente com essas informações, pois existem diversas retas que podem passar pela dotação inicial e tangenciar algum ponto da curva de contrato. Sabendo a dotação inicial dos consumidores, assim como a curva de contrato, podemos determinar o preço ao qual os bens serão transacionados.
(3). Falso. A existência de um equilíbrio competitivo único não é um resultado geral. Dependendo das preferências dos consumidores, a economia pode apresentar múltiplos equilíbrios walrasianos, ou seja, mais de um vetor de preços em que os mercados tema oferta igual à demanda. Mas, se as preferências forem bem comportadas, isto é, estritamente convexas e estritamente monotônicas, a solução será única. O equilíbrio competitivo tem que ser único.
Questão 10 
 Considere uma economia de trocas, com dois indivíduos e dois bens.
(0) Verdadeiro.
 
			
Podemos montar o Lagrangeano do problema como sendo:
 
 
Dividindo-se (1) por (2) e (3) por (4) respectivamente, temos:
 
Logo, TMSA = TMSB, e a alocação resultante do problema é eficiente de Pareto.
 (1) Falso. A dotação inicial pode pertencer ou não à curva de contrato. Se ela pertencer, não haverá trocas, pois essa será o equilíbrio. 
(2) Falso. Esse resultado está relacionado ao Segundo Teorema do Bem-estar. O Segundo Teorema do Bem-Estar impõe condições para que uma alocação eficiente seja um equilíbrio walrasiano (competitivo). As preferências devem ser convexas e que se possa fazer uma redistribuição das dotações iniciais. Portanto, uma alocação eficiente só será um equilíbrio se atender essas condições. 
 (3) Falso. O Primeiro Teorema do Bem Estar só é válido no ambiente com informação completa (perfeita). Se há informação incompleta (imperfeita) a alocação de equilíbrio não será eficiente caracterizando-s uma falha de mercado havendo a possibilidade para intervenção do Governo.
Questão 11 
 (0) Verdadeiro. Isso decorre da própria definição de Curva de Contrato. A curva de contrato corresponde à linha M-Q na caixa de Edgeworth. Essa curva ume pontos onde a TMSA = TMSB. Portanto, pela definição de curva de contrato, os indivíduos estão sob pontos de eficiência de Pareto.
(1) Falso. Na caixa de Edgeworth, um ponto sobre a curva de contrato é melhor para o agente A (e pior para o agente B) tanto mais próximo ele estiver do ponto P. 
Por um raciocínio similar, um ponto sobre a curva de contrato é melhor para o agente B (e pior para o agente A) tanto mais próximo ele estiver do ponto N. Portanto, não é correto dizer que todos os pontos na curva de contrato são preferíveis por ambos os agentes.
(2) Falso. Um ponto ótimo de Pareto é aquele em que não há possibilidade de se aumentar a utilidade de um agente sem diminuir a utilidade de outro agente. No ponto M essa condição é satisfeita. Dada a dotação da economia, o agente A tem utilidade mínima e o agente B tem utilidade máxima no ponto M. Em qualquer outro ponto da caixa de Edgeworth, o agente A estaria melhor e o agente B estaria pior em relação à situação em M.
(3) No equilíbrio competitivo com troca, a linha de preço é tangente às curvas de indiferença dos dois indivíduos e passa pelo ponto E.
Questão 12 
Falso. Eficiência não implica igualdade (equidade).
Falso. A curva de contrato representa o conjunto de todas as alocações eficientes de Pareto, mas não guarda nenhuma consideração sobre a alocação desejável do ponto de vista social que é representada pela função debem-estar social.
Falso.
A Alocação X é Pareto Eficiente (as curvas de indiferença são tangentes) e está sobre a curva de contrato. A alocação W não é pareto eficiente, mas o indivíduo B prefere a alocação W, pois nela passa uma curva de indiferença mais distante da origem e que lhe dá um maior nível de satisfação do que X.
(3) Falso. Esse resultado está relacionado ao Segundo Teorema do Bem-estar. O Segundo Teorema do Bem-Estar impõe condições para que uma alocação eficiente seja um equilíbrio walrasiano competitivo. As preferências devem ser convexas e que se possa fazer uma redistribuição das dotações iniciais. Portanto, uma alocação eficiente só será um equilíbrio se atender essas condições. 
QUESTÃO 13
Falso. A lei de Walras estabelece que “o valor da demanda excedente agregada” é igual a zero, ou seja, p1z1(p1,p2) + p2z2(p1,p2) = 0. A relação acima é válida para qualquer vetor de preços p1z1(p1,p2) possível, e não apenas para os preços de equilíbrio geral.
Verdadeiro. A demanda do consumidor é homogênea de grau zero nos preços e renda, o consumidor resolve o seu problema de maximização da utilidade sujeito à restrição orçamentária, Se os preços dobram, então a riqueza dão consumidor também dobra e sua restrição orçamentária não se altera. A demanda do consumidor será a mesma antes e depois do aumento geral de preços, assim como o equilíbrio geral da economia.
 Falso. Em uma alocação eficiente de Pareto, os agentes não têm possibilidades de ganhos através de trocas, pois cada um dos agentes teria a sua utilidade reduzida; numa alocação em que cada agente recebe a mesma quantidade de cada bem, os agentes podem escolher efetuar trocas, se, em função de suas preferências, eles demandarem quantidades diferentes de cada bem para maximizar a sua utilidade. Então, uma alocação eqüitativa como foi colocado na questão não necessariamente é eficiente de Pareto. 
Falso. O Segundo Teorema da Economia do Bem-Estar Social estabelece que haverá sempre um conjunto de preços tal que cada alocação Pareto eficiente possa ser alcançada através de um equilíbrio de mercado para uma distribuição apropriada de dotações, se o conjunto de possibilidades de produção ser convexo e as preferências convexas.
Verdadeiro. O Segundo Teorema da Economia do Bem-Estar Social implica que os mecanismos de ajuste de preços via mercados são neutros em relação a distribuição de renda. Dada uma redistribuição de renda na economia, através de transferências sob as dotações iniciais dos agentes, esse teorema estabelece que a nova alocação de equilíbrio alcançada no mercado, será eficiente de Pareto.
QUESTÃO 14
(0) Falso. A função de utilidade do Agente A UA = x + 2Y representa preferências aonde os bens são substitutos perfeitos. A expressão geral da função de utilidade quando os bens são substitutos perfeitos é dada por:
U = aX + bY
onde a e b representam a valoração dos bens na função de utilidade. A TMS é igual a –a/b. A representação de uma curva de indiferença típica pode ser vista abaixo
Como a restrição orçamentária também é uma reta:
Portanto, em termos do ótimo do consumidor A, poderão haver três possibilidades;
a) TMSA > px/py (nesse caso a inclinação da curva de indiferença é maior do que a inclinação da reta orçamentária)
Nesse caso, há uma especialização no consumo, com Y* = 0 e X* = R/px
b) TMSA < px/py (nesse caso a inclinação da curva de indiferença é menor do que a inclinação da reta orçamentária)
Nesse caso, há uma especialização no consumo, com X* = 0 e Y* = R/py
c) TMSA = px/py (nesse caso a inclinação da curva de indiferença é igual a inclinação da reta orçamentária)
Nesse caso, qualquer X e Y tal que a restrição orçamentária pxX + pyY = R será possível. 
Em função dos dados do problema, a utilidade do agente A, UA = X + 2Y (a=1, b=2) e, portanto, a TMSA = -1/2. Como visto acima, temos três casos possíveis :
TMSA = 1/2 > px/py (nesse caso a inclinação da curva de indiferença é maior do que a inclinação da reta orçamentária). Lembrando-se que:
Temos então: que YA* = 0 e 
TMSA = 1/2 < px/py (nesse caso a inclinação da curva de indiferença é menor do que a inclinação da reta orçamentária). Lembrando-se que:
Temos então: que XA* = 0 e 
TMSA = 1/2 = px/py (nesse caso a inclinação da curva de indiferença é igual à inclinação da reta orçamentária). A demanda será qualquer combinação que satisfaça a restrição orçamentária.
A função de utilidade do Agente B UB = Min {2X , Y} representa preferências aonde os bens são complementares. A expressão geral da função de utilidade quando os bens são substitutos perfeitos é dada por:
UB = Min {aX , bY}
onde a e b representam a valoração dos bens na função de utilidade. A representação de uma curva de indiferença típica pode ser vista abaixo :
O ponto de ótimo do consumidor é definido no “kink” da curva de indiferença, ou seja, no ponto A, aonde a reta orçamentária é tangente à curva de indiferença.
A resolução do pinto de ótimo requer igualar os dois argumentos da função de utilidade aXB = bYB e substituir na restrição orçamentária pxXB + PyYB = RB.
Assim 
Lembrando-se que a renda do indivíduo B é o valor de mercado de sua dotação inicial temos:
E assim e notando que a = 2 e b = 1:
Como temos dois bens, a lei de Walras nos diz que se um mercado estiver equilibrado automaticamente o outro mercado também está em equilíbrio. Em equilíbrio, temos que ter:
XA + XB = 10
YA + YB = 10
Vamos escolher trabalhar com o equilíbrio no mercado do bem X: XA + XB = 10 e também escolhemos como numerário (moeda), px = 1. Assim mesmo, em função das preferências do indivíduo A, temos três casos a analisar:
px/py > ½
Temos então: que XA* = 0 e 
 para o indivíduo A e 
 de onde o equilíbrio de mercado é dado por:
XA + XB = 0 + 
= 10 → 
 (incorporando px = 1), de onde py < 0, logo não há solução para esse caso.
px/py < ½
Temos então: que YA* = 0 e 
 para o indivíduo A e 
 de onde o equilíbrio de mercado é dado por:
XA + XB = 
+ 
= 10 → 
 (incorporando px = 1), de onde py = 0 onde logo não há solução para esse caso.
px/py = ½
Como px = 1 se segue que py = 2 
XA = 10 - XB = 10 – 3 =7
YA = 10 - YB = 10 – 6 = 4
Devemos apenas verificar se essa alocação satisfaz a restrição do indivíduo A. Indivíduo A possui uma renda de RA =15. pxXA + pyYA = RA → 1.7 + 4.2 = 15 (ok)
Falso. No ponto de dotação inicial, a utilidade dos indivíduos é UA = XA + 2YA = 5+ 2.5 =15 e a utilidade do indivíduo B é UB = Min {2XB,YB} = {2.5, 5} = 5. Se A receber 7 unidades de X e 4 unidades de Y, sua utilidade será = XA + 2YA = 7+ 2.4 =15 (igual), mas o indivíduo B terá uma satisfação de UB = Min {2XB,YB} = {2.3, 6} = 6, ou seja sua utilidade melhorou. Assim sendo, a dotação inicial não é eficiente, pois como visto, o equilíbrio permitiu melhora B e deixar A na mesma.
Verdadeiro A utilidade do indivíduo B é UB = Min {2XB,YB} ou seja, uma alocação eficiente deve respeitar essa condição, 2XB =YB. Como B está recebendo 2 unidades de X e 4 unidades de Y, vemos que 2XB =YB→ 2.2 = 4. Se B recebe 2 unidades de X, sobram 8 unidades de X para A e se B recebe 4 unidades de Y, sobram 6 unidades de Y para A.
Verdadeiro, ver resolução acima.
Falso, na solução de equilíbrio calculada acima, B demanda 3 unidades de X.
 Verdadeiro. Existe um número infinito de alocações eficientes de Pareto. Toda combinação aonde 2XB =YB, isto é aonde a quantidade do bem Y é exatamente igual ao dobro de X para o indivíduo B é uma alocação eficiente de Pareto.
Como existem 10 unidades de cada bem na economia, a caixa de Edgeworth é um quadrado. As curvas de indiferença do indivíduo A são retas (substitutos perfeitos), com inclinação igual a -1/2(que é a TMSA = a/b = ½). Já as curvas de indiferenças do indivíduo B são ângulos retos que se deslocam ao longo do raio 2 (-a/b = 2/1), note que saindo da origem esse raio corta o eixo da abscissas na metade (pois 2XB =YB e assim quando XB =YB = 10, XB = 5. Nesse caso é fácil ver que a curva de contrato é o raio pelo qual as curvas de indiferença do indivíduo B se deslocam.
QUESTÃO 15
 (1)	Falso. A homoteticidade das funções de utilidade dos dois indivíduos não garante que a curva de contrato será uma reta, pois dependem da função de utilidade. A curva de contrato é dada pela união de pontos tais que a Taxa Marginal de Substituição dos dois agentes (a inclinação das curvas de indiferença) são iguais. Se as preferências são homotéticas a inclinação das curvas de indiferença é constante aos longos dos raios traçados da origem do mapa de indiferença. Portanto, a homoteticidade das funções de utilidade dos dois indivíduos não garante que a curva de contrato será uma reta;. Se as preferências são homotéticas, a inclinação das curvas de indiferença é constante ao longo de raios partindo da origem do mapa de indiferenças. A homotetia só garante que a fração de renda gasta com cada bem permaneça constante, assim a curva de Engel é uma reta partindo da origem. A menos que as curvas de indiferença dos dois sejam tangentes em um ponto sobre a mesma reta, que deveria estar na diagonal da caixa de Edgeworth, a curva de contrato não será uma reta. A TMS decrescente também não assegura que a curva de contrato será uma reta. Ou seja, a menos que as preferências dos indivíduos sejam tais que os pontos de demanda coincidam com a reta de 45º , a curva de contrato não será uma reta partindo da origem.
 Se 
 forem às funções de utilidade dos dois indivíduos, pode se ver que a curva de contrato será uma reta. Mas, no caso de 
 e dotações iniciais wA = (2,2) e wB = (2,2), teremos:
A área listrada corresponde à curva de contrato que não é uma reta e sim uma região.
(2) Verdadeiro. Se TMSA = TMSB , a alocação resultante é eficiente de Pareto. Esse resultado só pode ser possível se a função de bem-estar é crescente nas utilidades do dois indivíduos.
QUESTÃO 16
Com relação à Teoria do Equilíbrio Geral e do Bem Estar, é correto afirmar que:
(0) Verdadeiro.O Segundo Teorema do Bem Estar diz que, dadas certas condições, qualquer alocação ótima no sentido de Pareto pode ser obtida por meio de mecanismos de mercado, desde que se possam alterar as dotações iniciais e que as preferências dos consumidores sejam convexas..
(1) Falso. Isso só ocorrerá nas alocações eficientes ou no equilíbrio walrasiano.
(2) Falso. A alocação eficiente de Pareto é aquela na qual não há realocação factível dos bens capaz de fazer com que todos os consumidores fiquem ao menos tão bem e pelo menos um consumidor fique estritamente melhor. O conceito de Pareto não compara alocações sob a ótica social. O ótimo de Pareto refere-se apenas ao aspecto de eficiência de forma que poderíamos ter uma sociedade em que um indivíduo ficasse com tudo e os outros com nada, sendo um ótimo de Pareto, pois seria impossível melhorar os que ficaram com nada sem piorar o que estava com tudo. Esta alocação certamente não é um ótimo social.
 (4) Verdadeiro. A Lei de Walras implica que, se um mercado não estiver em equilíbrio, não é possível que todos os demais mercados estejam em equilíbrio. A Lei de Walras diz que se existem N mercados e se N-1 mercados estão equilibrados, então o n-ésimo mercado também estará equilibrado.
QUESTÃO 17
 (0)	Falso. A Lei de Walras implica que, se um mercado não estiver em equilíbrio, não é possível que todos os demais mercados estejam em equilíbrio. A Lei de Walras diz que se existem N mercados e se N-1 mercados estão equilibrados, então o n-ésimo mercado também estará equilibrado.
 (1)	Falso. O Primeiro Teorema de Bem Estar não nos diz nada sobre a existência do equilíbrio, ele nos diz que toda alocação de equilíbrio competitivo (walrasiano) é uma alocação Pareto ótimo.
 (2)	Falso. As alocações eficientes na produção são realizadas ao longo da cura de contrato de produção.
(3)	Falso. Uma alocação é factível se a soma das demandas dos agentes é igual à dotação da economia para todos os bens, ou seja, qualquer ponto dentro da caixa de Edgeworth é factível. Uma alocação é dita factível se cada consumidor respeitar a própria restrição orçamentária.
(4)	Verdadeiro. Com esta estrutura de preferências, o aumento da quantidade do bem 1 não altera a utilidade dos consumidores, de modo que as alocações Pareto ótimo estão nos eixos verticais.
UA = UB = f(X1) + X2 = UA(x1,x2) = UA(x1,x2) = ln(x1) + x2 (por exemplo, trabalhando-se com a função logaritmo neperiano). A condição de equilíbrio é dada por 
	Podemos ver que a quantidade ótima demandada do bem x1 é fixa com base nos preços da renda não sendo sensível à renda.
QUESTÃO 18
(0)	Verdadeiro. Como as preferências de um dos consumidores são por bens substitutos perfeitos e a do outro consumidor por bens complementares, segue-se que os preços relativos serão iguais a TMS do consumidor I que possui preferências sobre bens substitutos perfeitos, uma vez que o equilíbrio para o indivíduo I (que tem preferências do tipo complementar) independe dos preços relativos:
	
(1) Falso. Note-se que a renda do consumidor I será RI = px.0 + py.12 = 12py Assim, a restrição orçamentária do indivíduo I será px.x + py.y = 12py → (px/ px).x + (py/ px).y = 12(py/ px) → mas, como py/ px = 2 → xI + 2yI = 24.
(2)	Falso. Note-se que a renda do consumidor II será RII = px.12 + py.0 = 12px Assim, a restrição orçamentária do indivíduo II será px.x + py.y = 12px → (px/ px).x + (py/ px).y = 12(px/ px) → mas, como py/ px = 2 → xII + 2yII = 12
 (3) Verdadeiro. Veja o item seguinte aonde chegamos à conclusão que yII = 3 e xII = 2yII = 6. Como existem 12 bens de cada tipo na economia, segue-se que yI = 9 e xI = 6
(4)	Verdadeiro. 
Para obtermos as cestas de consumo de equilíbrio, notemos que o consumidor II consumirá os bens em proporção fixa aonde xII = 2yII. Substituindo-se essa proporção na sua restrição orçamentária: xII + 2yII = 12 → 2yII + 2yII = 12 → 4yII = 12 → yII = 3 → xII = 2yII = 6
QUESTÃO 19
As preferências do indivíduo A são do tipo Cobb-Douglas, então sabemos que dada uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas:
Podemos escrever as demandas ótimas X* e Y* como sendo:
No caso do indivíduo do A, 
 
No caso do indivíduo do B, as preferências são do tipo Leontief, aonde a=b=1 :
Lembrando-se que a renda do indivíduo A é o valor de mercado de sua dotação inicial temos:
Lembrando-se que a renda do indivíduo B é o valor de mercado de sua dotação inicial temos:
Uma hipótese usualmente retida nos modelos de equilíbrio geral é a escolha de um dos bens para servir como numerário (moeda), assim sendo todos os bens serão medidos em relação a ele. A escolha é arbitrária, e assim sendo escolhemos p1 = 1 (poderia ser escolhido p2 = 1).
Nesse caso, as rendas se tornam:
O equilíbrio nos diz (Demanda Agregada = Oferta Agregada) :
A Lei de Walras nos diz que se existem N mercados e N-1 estão em equilíbrio então o n-ésimo (último) mercado estará em equilíbrio. No nosso caso N = 2 (bens x e y). Portanto, se um mercado estiver equilibrado, o último também estará ! Podemos escolher para resolver o equilíbrio qualquer dos bens, mas a dica é escolher resolver o equilíbrio para o mercado do bem que foi fixado com numerário para facilitar as contas, assim nesse caso, vamos resolver para o bem x:
Mas, repare que:
Substituindo a Renda RA e RB e mais o preço do bem x pX = 1, temos:
Assim:
De onde, temos:
Resolvendo-se cairemos em uma equação do segundo grau aonde :
 (0)	 Verdadeiro. A curva de contratocorresponde ao conjunto dos pontos que representam as alocações eficientes de Pareto. As cestas 
 respeitam as condições de proporcionalidade do indivíduo B (que tem preferências do tipo Leontief e aonde os pontos de ótimo têm que observar x1B = x2B. Como o indivíduo A possui preferências estritamente convexas, cujos pontos de ótimo passam pela reta 
, que são obtidos da condição em que TMSA =px/py, poderíamos ter um preço relativo final, se as dotações iniciais fossem redistribuídas, em que a alocação 
, que respeita a curva de contrato , fosse um ponto de ótimo. Neste caso seria 
. Obviamente que, com as dotações dadas no problema, o indivíduo A não tem incentivo em reduzir a sua utilidade finalizando na cesta 
, embora esteja na curva de contrato.
 (1) Falso. Genericamente, e em particular para este exercício, em equilíbrio geral o que importa são os preços relativos, não os absolutos, Portanto, o equilíbrio walrasiano determina apenas os preços relativos. No equilíbrio Walrasiano, os preços dos dois bens são determinados e únicos.
(2) Verdadeiro. Para verificar se o conjunto de alocações eficientes de Pareto satisfaz a relação 
:
Substituindo (3) em (2), temos que 
(3)	Verdadeiro. 
(4)	Falso. Não existe relação entre eficiência e justiça. Se a alocação inicial é ótima de Pareto, isso apenas significa que os agentes não realizarão mais trocas. É o caso de uma alocação em que um tem tudo e o outro não tem nada. Não é uma locação justa, mas é eficiente de Pareto. Uma alocação justa = alocação EP + alocação eqüitativa (quando não há inveja). 
QUESTÃO 20
 (0)	Falso. Pela Lei de Walras, em mercados de n bens, se n( 1 mercados estiverem em equilíbrio, o n-ésimo também estará e não haverá excesso de demanda.
(1)	Falso. Uma alocação eficiente no sentido de Pareto não é necessariamente uma alocação justa (EP + eqüitativa). É possível ter uma alocação que seja Pareto eficiente definida em um dos cantos da caixa de Edgeworth em que um agente possui todos os bens da economia e o outro não possui nada. Isso porque para melhorar o indivíduo que não tem nada, será necessário piorar a situaçõ do outro.
Falso.
(2)	Falso. A primeira parte da afirmativa que diz “O Primeiro Teorema do Bem-Estar diz que a alocação de equilíbrio alcançada por um conjunto de mercados competitivos é eficiente de Pareto” é verdadeira. Já na segunda parte da afirmativa que diz “ Isto significa dizer que tal alocação garante a equidade distributiva” é falsa. O primeiro Teorema do Bem Estar nada tem a ver com eqüidade e distribuição de recursos. 
(3)	Verdadeiro. De acordo com o Segundo Teorema do Bem Estar, se uma alocação Pareto-eficiente for justa, é possível que ela seja alcançada através de um equilíbrio competitivo, desde que as preferências e o conjunto de produção sejam convexos e que se possa fazer uma redistribuição das dotações dos bens e insumos.
(4)	Verdadeiro. Se a dotação inicial dos bens estiver sobre a curva d contrato, é porque ela já é um equilíbrio walrasiano (competitivo). Portanto, as possibilidades de troca estarão exauridas, o que resulta em que ninguém poderá se beneficiar de qualquer troca
QUESTÃO 21
Falso. Não necessariamente. Imagine uma dotação original não eficiente (fora da curva de contrato), como o ponto w. Imagine também que, associada a esta dotação não eficiente, tenha um subconjunto da curva de contrato em que valha a pena haver troca. Este é chamado de núcleo da curva de contrato. Imagine agora uma alocação que esteja sob a curva de contrato, porém fora deste núcleo, como o ponto z. Nesta alocação, embora faça parte do conjunto de pontos eficientes de Pareto desde a dotação original não eficiente, um agente certamente melhorará de situação, mas não o outro. Dessa forma, é possível que, para um dos agentes (no caso A), uma alocação associada à dotação inicial não eficiente seja preferível, mas não seria verdade esta afirmativa para todos.
(1)	Verdadeiro. A Lei de Walras afirma que o valor da demanda agregada excedente é idêntico a zero para qualquer vetor de preços possível e não apenas para o vetor de preços relativos que configura o equilíbrio geral.
(2)	Verdadeiro. Sendo 
 as funções utilidade, respectivamente, de A e B, a curva de contrato será uma linha reta.
As preferências são do tipo Cobb-Douglas, então sabemos que dada uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas:
De onde podemos escrever que a TMS será igual a: 
Para o indivíduo A, temos que α = β = 1 e para o indivíduo B α = β = ½. Portanto:
Além disso: 
 Onde podemos ver que a curva de contrato é uma reta que passa pela origem com a inclinação dependendo das dotações de bens na economia.
(3)	Falso. Por definição isso não pode ocorrer. Ou seja, em uma alocação Eficiente de Pareto não é possível que A e B estejam pior do que em outra alocação não eficiente.
(4)	Falso. A Fronteira de Possibilidades de Utilidade apresenta, no espaço “utilidade de A – utilidade de B”, todas as informações contidas na Curva de Contrato.
QUESTÃO 22
As preferências são do tipo Cobb-Douglas, então sabemos que dada uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas:
Podemos escrever as demandas ótimas X* e Y* como sendo:
No caso indivíduo do A, 
No caso indivíduo do B, 
Diferente do caso da Teoria do Consumidor, em que a renda do consumidor é informada, no Equilíbrio Geral a renda dos indivíduos é o valor de mercado de sua dotação inicial:
Uma hipótese usualmente retida nos modelos de equilíbrio geral é a escolha de um dos bens para servir como numerário (moeda), assim sendo todos os bens serão medidos em relação a ele. A escolha é arbitrária, mas reparem que na questão, o examinador diz para considerarmos o bem x como numerário, fazendo pX = 1.
Nesse caso, as rendas se tornam:
O equilíbrio nos diz (Demanda Agregada = Oferta Agregada) :
A Lei de Walras nos diz que se existem N mercados e N-1 estão em equilíbrio então o n-ésimo (último) mercado estará em equilíbrio. No nosso caso N = 2 (bens x e y). Portanto, se um mercado estiver equilibrado, o último também estará ! Podemos escolher para resolver o equilíbrio qualquer dos bens, mas a dica é escolher resolver o equilíbrio para o mercado do bem que foi fixado com numerário para facilitar as contas, assim nesse caso, vamos resolver para o bem x:
Mas, repare que:
Substituindo a Renda RA e RB e mais o preço do bem x pX = 1, temos:
Assim:
De onde, temos:
De onde obtemos que py = 5. De posse desses dados, podemos calcular as rendas e as demandas e ver que isso equivale a um equilíbrio:
No caso indivíduo do A, 
No caso indivíduo do B, 
De onde podemos constatar o equilíbrio:
Ambos estão melhores no equilíbrio do que na alocação inicial.
Veja que no ponto de ótimo (equilíbrio), as TMS entre os dois indivíduos são iguais, o que significa dizer que as alocações além de equilíbrio são eficientes (Equilíbrio -( Eficiente), esse é o Primeiro Teorema do Bem-Estar !
QUESTÃO 23
Considere uma economia com dois agentes, A e B, e dois bens, 1 e 2. Os agentes têm a mesma função utilidade, UA(x1,x2) = UA(x1,x2) = ln(x1) + x2, mas diferem em suas dotações iniciais: o agente A tem dotação inicial eA = (2,1) e o agente eB = (3,4) . Os preços dos bens 1 e 2 são dados por p1 e p2 , respectivamente. Com base nesses dados, julgue as afirmativas: 
(0) Falso. O conjunto factível é [0,5] x [0,5]
Falso. Para uma alocação eficiente, a TMSA = TMSB. Lembre-se que:
Logo, em uma alocação eficiente, a quantidade demandada do indivíduo A pelo bem 1 deve ser igual a quantidade demandada do indivíduo B pelo bem 1, o que não é o caso, pois XA1 = 2 e XB1 = 3. Outra forma de se ver isso é através da curva de contrato:Repare que a curva de contrato é uma reta vertical que independe da quantidade de Y pára qualquer dos indivíduos, pois a condição de eficiência é XA1 = XB1. Nesse caso cada indivíduo irá consumir a mesma quantidade de X1 independente de X2.
(2) Verdadeiro. Veja que a alocação XA = (5/2,0) e XB = (5/2,5) é Pareto Eficiente, pois satisfaz a condição XA1 = XB1.
(3) Verdadeiro. A alocação XA = (5/2,4/5) e XB = (5/2,21/5) e o vetor de preços (p1,p2) = (2/5,1) ,constituem um equilíbrio walrasiano. Para calcular o equilíbrio devemos lembra que:
A renda dos dois indivíduos é dada pelo valor das suas dotações orçamentárias:
Mas, como:
Verdadeiro. O ganho social proveniente das trocas entre os agentes nessa economia é igual a ln(25/24).
Ganho = (UA* - UAW) + (UB* - UBW) =
Usando XA = (5/2,4/5) e XB = (5/2,21/5), temos que:
QUESTÃO 24
(0) Verdadeiro. Por definição, uma alocação factível é Pareto-eficiente se não existir outra realocação possível que melhore o bem-estar de um agente sem piorar o dos demais.
(1) Falso. Este é o primeiro teorema do bem-estar
(2) Falso. 
A Alocação X é Pareto Eficiente (as curvas de indiferença são tangentes) e está sobre a curva de 
contrato. A alocação W não é pareto eficiente, mas o indivíduo B prefere a alocação W, pois nela passa 
uma curva de indiferença mais distante da origem e que lhe dá um maior nível de satisfação do que X.
 (3) Falso. Embora, em geral, seja correto afirmar que se uma alocação for eficiente de Pareto, então as taxas marginais de substituição são iguais, para utilidade do tipo substitutos perfeitos, dadas na questão, as taxas marginais de substituição são diferentes. Isto é a expressão geral da função de utilidade quando os bens são substitutos perfeitos é dada por:
U = aX + bY
onde a e b representam a valoração dos bens na função de utilidade. A TMS é igual a –a/b de onde temos que:
 (4) Verdadeiro. Pelo segundo teorema do Bem Estar, uma alocação eficiente também pode ser um equilíbrio competitivo se as preferências forma convexas e se o governo puder distribuir as dotações. Em outras palavras, o segundo teorema do bem estar implica que os problemas de distribuição e eficiência podem ser separados.O segundo teorema do bem-estar implica que os problemas de distribuição e de eficiência podem ser separados.
QUESTÃO 25
Falso. Como as preferências são do tipo Cobb-Douglas, então sabemos que dada uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas:
De onde podemos escrever que a TMS será igual a: 
Nesse caso os parâmetros associados a função Cobb-Douglas são α = β = 1 e com isso a TMS fica igual a:
No entanto, se considerarmos as alocações dadas no enunciado problema, temos que :
então a alocação formada pelas cestas fA = (4,1) (para o agente A) e fB = (16,3) (para o agente B) não é Pareto eficiente.
 (1) Falso. 
Para o indivíduo A e B, temos que α = β = 1. Portanto:
Além disso: 
 Onde podemos ver que a curva de contrato é uma reta que passa pela origem com a inclinação dependendo das dotações de bens na economia. Nesse caso, substituindo-se os dados da questão, 
(2) Verdadeiro.
No caso indivíduo do A, 
No caso indivíduo do B, 
Diferente do caso da Teoria do Consumidor, em que a renda do consumidor é informada, no Equilíbrio Geral a renda dos indivíduos é o valor de mercado de sua dotação inicial:
Uma hipótese usualmente retida nos modelos de equilíbrio geral é a escolha de um dos bens para servir como numerário (moeda), assim sendo todos os bens serão medidos em relação a ele. A escolha é arbitrária, mas reparem que na questão, o examinador diz para considerarmos o bem x como numerário, fazendo pX = 1.
Nesse caso, as rendas se tornam:
O equilíbrio nos diz (Demanda Agregada = Oferta Agregada) :
A Lei de Walras nos diz que se existem N mercados e N-1 estão em equilíbrio então o n-ésimo (último) mercado estará em equilíbrio. No nosso caso N = 2 (bens x e y). Portanto, se um mercado estiver equilibrado, o último também estará ! Podemos escolher para resolver o equilíbrio qualquer dos bens, mas a dica é escolher resolver o equilíbrio para o mercado do bem que foi fixado com numerário para facilitar as contas, assim nesse caso, vamos resolver para o bem x:
Mas, repare que:
Assim:
De onde obtemos que py = 1. De posse desses dados, podemos calcular as rendas e as demandas e ver que isso equivale a um equilíbrio:
No caso indivíduo do A, 
No caso indivíduo do B, 
De onde podemos constatar o equilíbrio:
(3) Verdadeiro. Ver item anterior.
 (4) Falso.Se a dotação inicial de A é eA = (2,2) e a de B é eB = (6,6), então a alocação de equilíbrio walrasiano é dada pelas cestas hA = (4,4) (para o agente A) e hB = (4,4) (para o agente B).
No caso indivíduo do A, 
No caso indivíduo do B, 
Diferente do caso da Teoria do Consumidor, em que a renda do consumidor é informada, no Equilíbrio Geral a renda dos indivíduos é o valor de mercado de sua dotação inicial:
Uma hipótese usualmente retida nos modelos de equilíbrio geral é a escolha de um dos bens para servir como numerário (moeda), assim sendo todos os bens serão medidos em relação a ele. A escolha é arbitrária, mas reparem que na questão, o examinador diz para considerarmos o bem x como numerário, fazendo pX = 1.
Nesse caso, as rendas se tornam:
O equilíbrio nos diz (Demanda Agregada = Oferta Agregada) :
A Lei de Walras nos diz que se existem N mercados e N-1 estão em equilíbrio então o n-ésimo (último) mercado estará em equilíbrio. No nosso caso N = 2 (bens x e y). Portanto, se um mercado estiver equilibrado, o último também estará ! Podemos escolher para resolver o equilíbrio qualquer dos bens, mas a dica é escolher resolver o equilíbrio para o mercado do bem que foi fixado com numerário para facilitar as contas, assim nesse caso, vamos resolver para o bem x:
Mas, repare que:
Assim:
De onde obtemos que py = 1. De posse desses dados, podemos calcular as rendas e as demandas e ver que isso equivale a um equilíbrio:
No caso indivíduo do A, 
No caso indivíduo do B, 
De onde podemos constatar o equilíbrio:
Ou seja, a dotação inicial é um equilíbrio, se encontra sob a curva de contrato e assim sendo não haverá trocas.
QUESTÃO 26
(0) Verdadeiro. A lei de Walras afirma que o valor da demanda excedente agregada é zero para todos os preços sendo a própria definição da Lei de Walras.
(1) Falso. Em um sistema de equilíbrio geral de trocas simples, são determinados apenas os preços relativos;
(2) Anulada. O pressuposto de demanda excedente agregada contínua não depende da condição de que Aos consumidores sejam pequenos em relação ao tamanho do mercado;
(3) Verdadeiro. AS preferências do tipo Cobb-Douglas na são definidas nos eixos, mas de uma forma geral uma alocação que não dá nada da economia para um dos agentes é Pareto eficiente.
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Ind. A
X
W
Ind. B
B
A
Y*
X*
Escolha ótima
C
B
A
U1
 
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O
C3
C2
C1
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Ind.B
Ind. A
W
X
X
R1/p
R2/p
R3/p
Y
W
X
Ind. A
W
X
Ind. A
– � EMBED Equation.3 ���
0
U/a
U = 10
Y
X
U/b
0
Y
X
-px/py
R/px
R/py
0
Y
X
-px/py
a/b
-px/py
0
Y
a/b
X
� EMBED Equation.3 ���
a/b = -px/py
0
Y
X
� EMBED Equation.3 ���
Y
TMS = (
infinitas tangentes no ponto A
TMS = 0
B
C
A
1
U = 1
0
1
X
Y
Y*
A
U= 10
X*
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2
2
-px/py
X
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Y
R3/p
R2/p
R1/p
X
O
C3
C2
C1
 
U1
A
B
C
Escolha ótima
X*
Y*
B
A
Alocação Eficiente
A
B
Curva de Contrato
Curva de Contrato
A
Y*
Y
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-px/py = 2
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X*
X
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a/b = 2
Alocação eficiente: z
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w
W: Dotação inicial não eficiente
Ind. A
Essa alocação é eficiente, mas não é justa, pois o indivíduo A não possui nada e o indivíduo B possui tudo
Ind. A
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Ind. A
X
W
Curva de Contrato
TMSA = -a/b=-1/2
eA1 + eB1 = 5 
eA2 + eB2 = 5 
A
B
Curva de Contrato
XA1
YA1
XB1
YB1
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N
P
E
Indivíduo A
Indivíduo B
UA,0
UB,0
M
Q