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QUESTÃO 15 - 2004
Uma economia é constituída por dois indivíduos cujas utilidades são uA(f, mA) = (4 / 3) 
+mA e uB(f, mB) = ln(1 - f) + mB, em que f representa a poluição gerada pelo consumo de cigarro por parte do indivíduo A (medido numa escala entre 0 e 1) e m, representa o gasto do indivíduo i com a aquisição de outros bens (i = A ou B). Suponha que o indivíduo B tenha direito a todo ar puro, mas que possa vender, ao preço unitário p, o direito de poluir parte do ar ao indivíduo A. Se no equilíbrio indivíduo A paga G unidades monetárias ao indivíduo B para poluir parte do ar, achar 36G.
Solução:
Primeiro, devemos notar do enunciado da questão que o indivíduo B (não fumante) é que possui o direito de propriedade. Assim sendo, para que o consumidor A possa fumar e gerar uma extenalidade de consumo (poluição), ele deverá pagar ao indivíduo B por esse direito.
�
Assim, indivíduo A irá subtrair de sua renda mA, o gasto com a indenização ao indivíduo B que será p.f (preço unitário por cada unidade de ar x quantidade de fumaça gerada). O indivíduo B, por sua vez irá receber uma indenização referente ao valor pago por A, ou seja p.f que será acrescida à sua renda:
O indivíduo A maximiza portanto:
Para achar o ponto de máximo, derivamos a expressão acima com relação à variável a ser maximizada que será f:
Da mesma forma, o indivíduo B irá resolver o seguinte problema:
Para achar o ponto de máximo, derivamos a expressão acima com relação à variável a ser maximizada que será f:
Substituindo o p obtido pela condição do indiíviduo B na condição do indivíduo A, teremos:
Mas, repare que f é um número entre 0 e 1 e assim sendo f = 0,25. Poratnto, o indivíduo A deverá pagar ao indivíduo B a quantia G = pf = 
Logo, 36.g = 36.(1/3) = 12
Ao longo de um rio existe uma siderúrgica e uma firma de pesa. A função custo da siderúrgica é 
, em que x é a quantidade de poluição e s é o nível de produto; o custo da firma de pesca é 
, em que f é a produção de peixes. Suponha que o preço do aço seja $20 e do peixe $ 10.
Encontre o nível de poluição gerado pelo mercado
Encontre o nível eficiente de poluição (imagine uma internalização)
Suponha que o Governo decida cobrar um imposto por unidade de poluição a fim de controlar a externalidade entre as firmas. Ache o imposto que implementa o nível eficiente de poluição.
 Vamos supor que ao invés de tributar, o Governo agora decide que a firma de pesca tem o direito ao rio livre de poluição. Suponha que ela ofereça à siderúrgica uma oferta (G,s), isto é, um valor G de pagamento em troca de uma quantidade x de poluição. Monte o problema da firma de pesca obtenha G e x. G = qx, aonde q é o preço por unidade de poluição e x é a quantidade de poluição ! Monte o problema e ache G e x !
Vamos supor que ao invés de tributar, a siderurgia tivesse o direito de poluir até um valor limite (quota xMax) e a firma de pesca tivesse que pagar por água limpa? 
a)
Siderúrgica: 
Para achar o nível ótimo de aço:
Repare que a condição de equilíbrio é PS = CMgS
Para achar o nível ótimo de poluição:
Repare que a condição de equilíbrio é PX = CMgX, mas o preço da poluição é zero, pois não existe um mercado para poluição, diferentemente do aço. Uma outra forma de definir poluição é pelo fato de não existir um mercado específico para transacionar aquele bem. O Protocolo de Kyoto e o Mercado de Crédito de carbono é uma tentativa de se criar um mercado e precificar a poluição. (ver abaixo).
Pesqueira: 
Para achar o nível ótimo de peixe:
b) Supondo internalização a pesqueira e as siderúrgicas se tornam uma única empresa, então o lucro a ser maximizado agora é o lucro conjunto:
 
Para achar o nível ótimo de aço:
Repare que a condição de equilíbrio é a mesma obtida anteriormente !
Para achar o nível ótimo de poluição:
Repare que a condição de equilíbrio é diferente !
A seta indica o termo que existe na solução de internalização, mas que não existia na solução anterior. Ora, mas esse termo é o custo que a poluição impõe sobre a pesca ! Na solução anterior, a siderúrgica não levava em conta que ao produzir x de poluição isso impunha um custo sobre a pesqueira. Mas, agora como a siderúrgica e a pesqueira são somente uma firma, ao gerar x de poluição isso afeta a pesqueira e por conseguinte a firma conjunta. Ora, mas repare que o custo da pesqueira é 
aonde podemos ver que o custo que a poluição impõe sobre a pesqueira é xf, que vem a ser o custo externo da poluição sobre a pesqueira, assim sendo o termo
Para achar o nível ótimo de peixe:
Mas vimos acima que f também é igual a f = -2(X-4) e assim sendo igualando as duas expressões temos:
Vimos que a condição leva a uma redução de poluição de 4 para 3 unidades, quando a siderúrgica passa a levar em conta o custo da poluição sobre a pesqueira ! Graficamente
c) O Governo agora cobra um imposto T (taxa Pigouviana) sobre cada unidade de poluição gerada, assim isso afeta o lucro da siderúrgica !
Siderúrgica: 
Para achar o nível ótimo de aço:
Repare que a condição de equilíbrio é não se altere ! Para achar o nível ótimo de poluição:
Só que se queremos que seja gerada a mesma quantidade de poluição da solução de internalização, devemos comparar as duas soluções para ver a que nível devemos fixar o valor de T. Assim:
Repare que os dois primeiros termos são iguais e portanto para que a solução seja igual é necessário que o valor do imposto seja tal que:
Ou seja, o imposto que deve ser cobrado deve ser igual ao custo que a poluição gera sobre a pesqueira. O grande problema é que esse custo não é observável e esse custo fosse observável bastaria fixar o nível de poluição tal que esse custo seja respeitado ! Portanto, no caso dessa questão:
Para achar o nível ótimo de peixe:
Mas vimos acima que f também é igual a f = -2(X-4) e assim sendo igualando as duas expressões temos:
Isso gera a mesma solução anterior. Portanto, impor um imposto também resolveria a questão.
d) Vamos supor que ao invés de tributar, o Governo agora decide que a firma de pesca tem o direito ao rio livre de poluição. Suponha que ela ofereça à siderúrgica uma oferta (G,s), isto é, um valor G de pagamento em troca de uma quantidade x de poluição. Monte o problema da firma de pesca obtenha G e x. G = qx, aonde q é o preço por unidade de poluição e x é a quantidade de poluição !
�
Siderúrgica: 
Para achar o nível ótimo de aço:
Repare que a condição de equilíbrio é a mesma !
Para achar o nível ótimo de poluição:
Pesqueira: 
Para achar o nível ótimo de peixe:
Note que teremos, então:
Daí chegamos que f = 4, e que q = 4 !
e)
�
Siderúrgica: 
Para achar o nível ótimo de aço:
Repare que a condição de equilíbrio é a mesma !
Para achar o nível ótimo de poluição:
Pesqueira: 
Para achar o nível ótimo de peixe:
Note que teremos, então:
Daí chegamos que f = 4, e que q = 4 !
Protocolo de Kyoto
Há três indústrias no Vale do Ribeira:
	Empresa
	Nível Inicial de Poluição
	Custo de Redução da Poluição
	A
	70 unidades
	$ 20
	B
	80 unidades
	$ 25
	C
	50 unidades
	$ 10
O governo quer reduzir a poluição para 120 unidades e por isso dá a cada empresa 40 licenças negociáveis de poluição
a) Quem vende licenças e quantas vende ? Quem compra licenças e quantas compra ? Explique brevemente por que os vendedores e compradores estão, cada um deles, dispostos a comprar e vender licenças. Qual o custo total da redução da poluição nessa situação ?
b) Em quantos os custos de redução da poluição seriam maiores se as concessões não pudessemser negociadas ?
Solução
a) Uma licença de poluição vale $25 para a firma B, $20 para a firma A, e $10 para a firma C, uma vez que esse é o custo de redução da poluição por uma unidade. Como a firma B tem o maior custo de redução da poluição, ela mantém as suas 40 licenças de poluição e compra mais 40 licenças de outras firmas tais que ela possa poluir 80 unidades. Isso deixa 40 licenças para A e C. Como a firma A valora a licença com um maior valor, ela mantém as suas 40 licenças, então é a firma C que vende 40 licenças para a firma B. Assim, a firma B não reduz nada de poluição, a firma A reduz sua poluição em 30 unidades a um custo de $20 x 30 = $ 600, e a firma C reduz a poluição em 50 unidades a um custo de $10 x 50 = $500. O custo total da redução de poluição é $ 1100
b) Se as licenças não pudesse ser comercializadas então a firma A deveria reduzir sua poluição em 30 unidades a um custo de $20 x 30 = $600, a firma B reduziria sua poluição em 40 unidades a um custo de $25 x 40 = $1,000 e a firma C reduziria sua poluição em 10 unidades a um custo de $10 x 10 = $100. O custo total de redução da poluição seria de $1.700, ou seja $ 600 mais elevado do que quando as licenças podem ser comercializadas.
Exercício:
Um apicultor mora nas adjacências de uma plantação de maças. O dono da plantação se beneficia (sem pagar) da presença as abelhas, pois cada colméia possibilita a polinização da plantação. Se o plantador de maças produz M maças e o apicultor produz H unidades de mel, a função de custo do plantador de maças é 
e a função de custo para o apicultor 
. Note-se que um amento da produção de maças traz uma diminuição do custo de produção do mel; isso corresponde ao fenômeno da externalidade do produtor de maças em relação ao produtor de mel. Seja pm $ 10 e ph = $20. 
$$$$
Indivíduo B
Indivíduo A
� EMBED Equation.3 ���
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P,CMg
x
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� EMBED Equation.3 ���
x = 3
Redução da Poluição
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� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
$$$$
Pesqueira
Siderúrgica
Poluição
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
Siderúrgica
Pesqueira
Água Limpa
$$$$
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� EMBED Equation.3 ���
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