Gentil Lopes - Novas Sequencias Aritméticas e Geométricas

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CONTRA CAPA
Prefa´cio a` 1.a Edic¸~ao
Este livro desenvolve novos tipos de sequ¨eˆncias que sa˜o generalizac¸o˜es
das progresso˜es aritme´ticas e geome´tricas. Tem, portanto, o objetivo de
aprofundar o que existe a respeito de tais sequ¨eˆncias. Onde na˜ aprofun-
damos, simplificamos, como e´ o caso do Princ´ıpio da Dualidade, o qual
possui aplicac¸o˜es em teoria dos conjuntos e a´lgebra de Boole, agora estamos
aplicando-o pela primeira vez − assim cremos − no estudo das progresso˜es
aritme´ticas e geome´tricas.
O leitor encontrara´ novidades do primeiro ao u´ltimo cap´ıtulo do presente
trabalho. Por exemplo, ja´ no primeiro cap´ıtulo deduzimos uma fo´rmula ge-
ral e na˜o recursiva para a soma de poteˆncias dos nu´meros naturais. Na˜o
tenho conhecimento de que exista uma fo´rmula fechada para esta soma.
Em 1713 apareceu na revista Ars Conjectandi (Arte de Conjecturar) uma
fo´rmula recursiva (isto e´, na˜o fechada) para o referido somato´rio. A fo´rmula
em questa˜o e´ atribu´ıda a Jacobi Bernoulli (1654-1705).
Citamos ainda as progresso˜es aritme´ticas planas e espaciais; uma genera-
lizac¸a˜o que nos permitira´ va´rias aplicac¸o˜es na resoluc¸a˜o de novos problemas
na˜o so´ da matema´tica como tambe´m da computac¸a˜o.
Por exemplo deduzimos, com o aux´ılo das progresso˜es aritme´ticas espa-
ciais, uma fo´rmula que nos permite a representac¸a˜o de um inteiro positivo
em qualquer base nume´rica; em particular na bina´ria.
No que concerne a` computac¸a˜o, de ha´ muito existe uma controve´rsia a
respeito do uso de calculadoras pelos estudantes e em que fase isto deve
se dar. Concernente a isto, sou da opinia˜o de que os alunos devem usa´-la
desde que a priori saibam “fazer na ma˜o”. Neste sentido e ta˜o somente
neste o aluno, a meu ver, esta´ apto a usar uma calculadora, em particu-
lar programa´vel. A propo´sito, eu penso que os pais deveriam dar a seus
filhos, juntamente com o video-game, uma calculadora programa´vel, pois
desta forma esta˜o lhes abrindo as portas de uma alternativa profissional que
e´ a da programac¸a˜o e, como se isto na˜o bastasse, porque a programac¸a˜o
desenvolve a inteligeˆncia, logicamente falando.
Quando comec¸ar a programar? Acredito que desde o primeiro grau, por
exemplo, quando da resoluc¸a˜o de equac¸o˜es do 2 o grau ou na resoluc¸a˜o de
sistemas lineares.
Ha´ algum tempo tenho o sonho de ver estudantes, de todos os n´ıveis, com
calculadoras programa´veis em sala de aula e programando os problemas em
tempo real.
Ainda com respeito ao uso de computadores, pec¸o permissa˜o para ex-
por meu pensamento a respeito de uma outra questa˜o: Demonstrac¸o˜es via
computador. Aqui entramos no campo subjetivo, isto e´, alguns aceitam
enquanto outros na˜o, demonstrac¸o˜es com aux´ılio computacional. Eu, par-
ticularmente, me incluo dentre os que na˜o aceitam tais demonstrac¸o˜es e
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gostaria de justificar minha opc¸a˜o: Primeiramente devemos ter em consi-
derac¸a˜o que todo processo computacional consta de duas partes: software e
hardware. Software e´ lo´gica e, portanto, podemos atingir 100% de confianc¸a
no mesmo, isto e´, podemos sem dificuldade atingir um grau de confiabilidade
total no software. O problema comec¸a a aparecer quando nos voltamos para
o hardware, que e´ F´ısica.
Sabemos que os computadores utilizam a a´lgebra Booleana, isto e´, ope-
ram com os s´ımbolos “0” e “1” os quais, a n´ıvel de circuito, sa˜o inter-
pretac¸o˜es de n´ıveis de tensa˜o (por exemplo “1”=5V, “0”=0V, ou ainda,
[ 0, 0.8 ] ≡ “0” e [2, 5] ≡ “1”) e, como e´ sabido, o funcionamento dos chips
depende da temperatura. Em outras palavras, que confiabilidade devemos
dispensar a uma demonstrac¸a˜o que e´ func¸a˜o da temperatura?. Embora a de-
pendeˆncia da temperatura possa ser minimizada ao ma´ximo, o que se exige
de uma demonstrac¸a˜o e´ que dependa de argumentos lo´gicos apenas.
Para os que insistem na validade de tais demonstrac¸o˜es quero lembrar
que uma demonstrac¸a˜o feita em uma estac¸a˜o fria seria mais confia´vel que
outra feita em uma estac¸a˜o quente. Mas se insistirem em que as condic¸o˜es
clima´ticas da sala poderiam ser rigorosamente controladas, sugiro que as
demonstrac¸o˜es venham acompanhadas de um relato´rio sobre tais controles.
Para a transmissa˜o de dados (a qual ocorre tanto a n´ıvel externo quanto
a n´ıvel interno ao computador) passamos a ter problemas com ru´ıdo. Uma
fonte inevita´vel de ru´ıdo ele´trico e´ o movimento te´rmico de ele´trons em ma-
teriais condutores − fio, resistores, etc. − Tanto este e´ um aspecto que
preocupa os engenheiros de comunicac¸o˜es que surgiu uma disciplina assaz
importante que se chama “codificac¸a˜o com controle de erros” o que prova
que os sistemas computacionais na˜o garantem 100% de confiabilidade, que
e´ o que se exige de uma demonstrac¸a˜o matema´tica.
E´ o´bvio que o computador foi e sempre sera´ u´til tanto a` matema´tica apli-
cada quanto a` pura. Por exemplo para nos auxiliar a formular conjecturas,
ou refuta´-las, mas nunca para demonstrar teoremas.
Por exemplo, certa feita assisti a uma palestra na qual um matema´tico ha-
via utilizado um computador, durante va´rios dias, para “demonstrar”a na˜o
primalidade de um dos nu´meros de Fermat (nu´meros da forma F
n
= 22
n
+1).
Sa´ı da palestra com a “confianc¸a aumentada” mas na˜o convencido de que o
nu´mero em questa˜o de fato na˜o era primo.
Gostaria de chamar a atenc¸a˜o de alguns matema´ticos para mais um as-
pecto: Sabe-se que na mu´sica alguns nascem, ou melhor, teˆm o dom de
inte´rpretes (sa˜o excelentes inte´rpretes) mas na˜o compo˜em nada. E, reci-
procamente, outros ha´ que teˆm o dom da composic¸a˜o mas que na˜o sa˜o
inte´rpretes; ambos sa˜o importantes para o universo musical.
Na matema´tica, como tambe´m nas outras cieˆncias (F´ısica, por exemplo),
acontece algo semelhante: ha´ uma espe´cie de geˆnios que sa˜o os inte´rpretes,
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mas que na˜o compo˜em, isto e´, na˜o produzem nada de substancial (estes sa˜o
a maioria) e ha´ “geˆnios” de outra espe´cie, os quais sa˜o “compositores” na
cieˆncia. Estes “geˆnios” embora embora na˜o sejam geˆnios (na acepc¸a˜o que se
da´ a esta palavra) e´ desnecessa´rio dizer que sa˜o ta˜o (ou mais) importantes
que os geˆnios.
Tenho por certo que Einstein, por exemplo, foi um “geˆnio” embora na˜o
tenha sido um geˆnio.
Evidentemente que, como na mu´sica, ha´ os que sa˜o geˆnios e ao mesmo
tempo “geˆnios”, como por exemplo: Newton, Poincare´, Gauss, Euler, Gal-
lois, etc.
Quanto a este ponto de vista, descobri que na˜o estou so´, vejam:
“. . .A seu modo, Glasshow pode ser um extravagante ‘revoluciona´rio
anarquista’, mas a forma pela qual chega a`s suas ide´ias fa´-lo avanc¸ar
constantemente com novos conceitos, muitos deles loucos e imposs´ıveis,
mas outros sa˜o avanc¸os genu´ınos em f´ısica. Certamente que conta com
a ajuda de outros para separar as ide´ias ma´s, na˜o obstante possui um
instinto criativo que muitos na˜o possuem. Em f´ısica teo´rica ser sim-
plesmente brilhante na˜o e´ suficiente. Deve-se ser capaz de gerar novas
ide´ias, algumas bizarras, que sa˜o essenciais para o processo de descoberta
cient´ıfica.”
(Do livro “Para Ale´m de Einstein”de Michio Kaku/Jennifer Trainer)
Da mesma forma afirmo que na matema´tica na˜o basta ser brilhante,
tem-se que ter o instinto criativo. Em resumo, estou reinvindicando da co-
munidade cient´ıfica, maior atenc¸a˜o aos “compositores”, a exemplo do que
tem acontecido aos inte´rpretes.
Os assuntos aqui tratados podem ser estudados tanto a n´ıvel de 2o quanto
ao n´ıvel de 3o grau.
Deixo registrado aqui meus agradecimentos ao senhor Antoˆnio Pedro de
Souza por ter patrocinado a digitac¸a˜o do manuscrito de uma versa˜o ante-
rior deste livro (1993) − versa˜o esta que na˜o chegou a ser editada. Agradec¸o
tambe´m ao professor Dr. Fe´lix Pedro Quispe Go´mez (UFSC) pelo ines-
tima´vel aux´ılio que me prestou no que concernea` digitac¸a˜o do presente
livro, pelo sistema TEX.
Finalmente minha gratida˜o maior a Deus, por ter me concedido gestar e
dar a` luz a este trabalho. Isto e´: Assentar este tijolinho em sua magnaˆnima
obra.
Bras´ılia, dezembro de 1999.
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Desabafo (Desobstruindo o Peito e a Garganta)
Quero deixar registrado aqui minha indignac¸a˜o no que diz respeito ao
tratamento dispensado a este trabalho por o´rga˜os e pessoas competentes,
que poderiam teˆ-lo apoiado e na˜o o fizeram.
Se este livro tivesse que depender do apoio destas entidades, ha´ muito
tempo que o mesmo teria ido parar nas latas de lixo ou, quem sabe, reciclado
como papel higieˆnico para limpar a bunda destas mesmas pessoas.
Ha´ quase dez (10) anos peregrino com este livro − desde o manuscrito
− embaixo do sovaco a` procura de apoio. Na˜o encontrando, continuei tra-
balhando no mesmo, assim e´ que alguns resultados so´ consegui demonstrar
recentemente (1999); mas mesmo esta u´ltima versa˜o do livro foi rejeitada.
E como foi poss´ıvel esta edic¸a˜o?
Dei aulas por treˆs meses em Bras´ılia; almoc¸ando na rodovia´ria − sopa de
R$ 1, 00 (hum real) − e andando a pe´ para economizar no oˆnibus, juntei o
suficiente para pagar uma tiragem de 400 exemplares.
Esta´ saindo sem revisa˜o te´cnica, sem revisa˜o gramatical, etc.; pois apoio
me faltou em todos estes sentidos. Eu pro´prio tive que digita´-lo sozinho,
v´ırgula apo´s v´ırgula.
Num certo momento da minha vida me encontrei frente a uma bifurcac¸a˜o:
Ganhar dinheiro ou dar minha contribuic¸a˜o a` Cieˆncia (criar). Digo bi-
furcac¸a˜o pois, a meu ver, sa˜o alternativas mutuamente excludentes.
Optei pelo caminho mais dif´ıcil e incerto. Aqui esta´ minha prestac¸a˜o
de contas: um livro com na˜o poucas contribuic¸o˜es para o Mundo e para a
Eternidade! . . .
Todo meu sacrif´ıcio-fe´, Deus me retribuiu com juros exorbitantes.
E aqui esta´ impl´ıcito: Sacrif´ıcio-renu´ncia-penu´ria na˜o somente meus; mas
tambe´m de toda a minha famı´lia, que nestes anos todos foram privados de
conforto e algumas vezes ate´ do mı´nimo necessa´rio.
Sei que este livro e´ apenas uma semente, mas adubada − como foi − por
minha renu´ncia-sacrif´ıcio tenho certeza que jamais morrera´. . .
Na˜o deis aos ca˜es o que e´
santo: nem deiteis aos porcos
as vossas pe´rolas, para que na˜o
suceda que eles lhes ponham os
pe´s em cima, e tornando-se con-
tra vo´s, vos despedacem.
(Mt 7 : 6)
“A obtenc¸a˜o de um resultado novo em
pesquisa e´, para o cientista, uma fonte de in-
tenso prazer, ligado intimamente ao instinto
de criac¸a˜o e eternidade, pois, independen-
temente da importaˆncia da contribuic¸a˜o no
contexto da cieˆncia, ou de sua utilizac¸a˜o, re-
presenta algo acrescentado ao conhecimento
humano que marca sua existeˆncia na terra.”
Pierre Curie (F´ısico)
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A primeira edic¸a˜o deste livro chegou a`s ma˜os de um ilustre matema´tico
brasileiro, Prof. Ubiratan D’Ambo´sio, que me escreveu o seguinte email.
O enderec¸o gentil@dmat.ufrr.br foi recusado.
Gostaria que ele recebesse esse e-mail. De fato, gostei muito do livro.
Um Abrac¸o, Ubiratan
−−−−− Original Message −−−−−
From: Ubiratan D,Ambro´sio <ubi@usp.br>
To: Gentil Lopes da Silva
Sent: Saturday, November 06, 2004 10:46 AM
Subject: Obrigado pelo livro
Caro Gentil
Muito obrigado pelo livro que voceˆ mandou pelo Chateau. Esta´ muito bom,
interessante e cheio de provocac¸o˜es. Da´ oportunidade para os estudantes
se iniciarem em pesquisas. Voceˆ fala que o livro destina-se a alunos de
2o e 3o graus. Eu diria que e´ tambe´m para a po´s. Aritme´tica continua
sendo grande fonte de problemas de pesquisa que podem ser trabalhados
com relativamente pouco da complicada linguagem, notac¸o˜es e resultados
que caracterizam muitas a´reas da matema´tica. Sa˜o formulac¸o˜es simples que
podem ser trabalhados com pouca te´cnica, exigindo imaginac¸a˜o e criativi-
dade. Vou recomendar aos meus alunos. Mas tive um problema. Nos sites
das livrarias, o livro na˜o existe. E nem esta´ no site da Thesaurus. Recomen-
dar um livro implica dizer como adquirir. O que voceˆ diz? Siga em frente
com suas ide´ias. As suas reflexo˜es iniciais, a sua escolha de ep´ıgrafes, e a
pro´pria capa, sa˜o uma grande contribuic¸a˜o para um novo pensar na urgente
renovac¸a˜o da educac¸a˜o em todos os n´ıveis. A sua trajeto´ria desde seus estu-
dos, lecionando em condic¸o˜es preca´rias, e com as dificuldades para publicar
o livro e´ um exemplo, muit´ıssimo frequente, do processo (certamente inten-
cional) de desencorajar o florescimento dos criativos, e abrir o espac¸o para
os executores de ide´ias de outros.
Uma curiosidade: voceˆ sabia que o E´douard Lucas, que voceˆ cita na pa´gina
393, e´ quem fez a revisa˜o te´cnica para a publicac¸a˜o po´stuma do livro “Me´langes
de Calcul Inte´gral”, de Joaquim Gomes de Souza, o Souzinha, em 1882? O
livro havia sido recusado por inu´meras editoras enquanto ele estava vivo.
Muito obrigado.
Um abrac¸o, Ubiratan
Nota: Como o Prof. Ubiratan na˜o estava conseguindo acessar o meu antigo
email (gentil@dmat.ufrr.br) ele enviou seu email a um seu ex-aluno (saudoso
Chateaubriand), colega meu, que me repassou.
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Prefa´cio a` 2.a Edic¸~ao
Passaram-se ja´ 15 (quinze) anos da primeira edic¸a˜o deste livro. Alguns
fatores me motivaram a sentar e trabalhar nesta segunda edic¸a˜o − um vo-
lume de quase 600 pa´ginas, com muitas ilustrac¸o˜es −, tendo em conta que
hoje meu tempo e´ bastante escasso. Vou arrolar os principais:
− Perdi os arquivos tanto do programa fonte (TEX) quanto do pdf da pri-
meira edic¸a˜o, o que me impedia de disponibiliza´-lo na internet;
− O fato de um eminente matema´tico brasileiro ter gostado da primeira
edic¸a˜o naturalmente contribuiu para esta decisa˜o;
− Um segundo ilustre matema´tico brasileiro (Prof. Dr. Carlos Gustavo T.
de A. Moreira − IMPA/RJ) esteve aqui em minha Universidade, por ocasia˜o
da IX Semana de Matema´tica (26 a 30/10/2015), conheceu meu livro e gostou
muito, em particular de uma fo´rmula que comparece no mesmo (p. 53);
−Minha perfomance no processador de texto LATEX melhorou bastante nes-
tes 15 anos − o que possibilitou uma segunda edic¸a˜o bem mais esmerada
que a primeira.
Em func¸a˜o desta u´ltima raza˜o e´ que a presente edic¸a˜o traz inu´meras
melhorias pontuais, em relac¸a˜o a` primeira; ademais, a utilizac¸a˜o de uma
calculadora (HP Prime ) com programac¸a˜o alge´brica trouxe uma melhoria
exponencial ao livro, tanto e´ que o considero um novo livro.
A calculdora HP Prime e´ uma potente e sofisticada ferramenta de com-
putac¸a˜o nume´rica e simbo´lica − sem falar que e´ tambe´m gra´fica, colorida,
com tela sens´ıvel ao toque (touchscreen) −, decidi adota´-la em todo este
livro; escrevi o u´ltimo cap´ıtulo para ensinar a programac¸a˜o da mesma, in-
clusive o leitor pode baixa´-la (emulador) gratuitamente para seu notebook,
tablet e ate´ celular.
Uma justificativa: talvez o leitor na˜o fac¸a ideia do qua˜o dif´ıcil e´ a dia-
gramac¸a˜o (formatac¸a˜o) de um livro, ainda mais de um livro cheio de figu-
ras, fo´rmulas e ilustrac¸o˜es, como e´ o caso do presente e, por outro lado, em
acre´scimo, muitas vezes ainda tive que decidir quando − por razo˜es dida´ticas
− deveria forc¸ar uma figura (ou fo´rmula) a ficar na mesma pa´gina da ex-
planac¸a˜o correspondente; por outro lado escrevi-o ja´ pensando em utilizar
o pdf como slide para projec¸a˜o em minhas aulas; por exemplo, no pro´ximo
semestre vou ministrar a disciplina Ca´lculo nume´rico na qual adotarei a HP
Prime, vou utilizar o u´ltimo cap´ıtulo (projetando-o) para ensinar meus alu-
nos a programar a calculadora.
Quaisquer cr´ıticas ou sugesto˜es sera˜o bem-vindas, meu novo email e´:
gentil.iconoclasta@gmail.com
Gentil, o iconoclasta
Boa Vista-RR, 25 de agosto de 2016.
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Suma´rio
1 Sequeˆncias aritme´ticas de ordem m 13
1.1 Introduc¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Fo´rmula do termo geral de uma P.A.m . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Calculadora HP Prime−Computac¸a˜o alge´brica . . . . 31
1.4 P.A.m em func¸a˜o dos seus pro´prios termos . . . . . . . . . . . 36
1.5 Propriedade fundamental de uma P.A.m . . . . . . . . . . . . 42
1.6 Soma dos termos de uma P.A.m . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.1 Uma fo´rmula ine´dita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.7 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.8 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• Princ´ıpio da induc¸a˜o finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
• Triaˆngulo aritme´tico de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 68
• Demonstrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Somas e Diferenc¸as de ordem m 81
2.1 Diferenc¸as de ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2 Somas de ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3 Unificac¸a˜o de sequeˆncias sob as P.A.m . . . . . . . . . . . . . 113
2.4 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.5 Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
• Demonstrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3 Sequeˆncias geome´tricas de ordem m 127
3.1 O princ´ıpio da dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3 Fo´rmula do termo geral de uma P.G.m . . . . . . . . . . . . . 134
3.4 P.G.m em func¸a˜o dos seus pro´prios termos . . . . . . . . . . 137
3.5 Propriedade fundamental de uma P.G.m . . . . . . . . . . . . 138
3.6 Produto dos termos de uma P.G.m . . . . . . . . . . . . . . . 139
9
3.7 Quocientes de ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.8 Produtos de ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.9 Ca´lculo de combinac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.10 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.11 Apeˆndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
• Demonstrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4 Sequeˆncias Especiais 189
4.1 Construc¸a˜o de sequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.1.1 progressa˜o geome´trica-aritme´tica . . . . . . . . . . . . 190
4.1.2 progressa˜o aritme´tica perio´dica . . . . . . . . . . . . . 198
4.1.3 progressa˜o geome´trica-aritme´tica-aritme´tica . . . . . . 201
4.1.4 Um (ex)problema em aberto . . . . . . . . . . . . . . 211
4.2 Produto dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.1 progressa˜o aritme´tica-geome´trica . . . . . . . . . . . . 218
4.3 Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.4 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5 Progressa˜o aritme´tica bidimensional 227
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.2 Noc¸o˜es iniciais: sequeˆncias duplas . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.3 Fo´rmula do termo geral de uma PA-2D . . . . . . . . . . . . 232
5.3.1 Propriedades numa PA-2D . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.4 Soma dos termos de uma PA-2D . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.5 Linearizac¸a˜o de sequeˆncias duplas . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.6 Equac¸o˜es de linearizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.7 Soma em uma sequeˆncia linearizada . . . . . . . . . . . . . . 254
5.8 Aplicac¸o˜es da linearizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.9 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.10 Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
• Um pouco de filosofia a`s vezes faz bem ao esp´ırito . . . . . 277
• A filosofia do Nada − do Vazio, da Vacuidade . . . . . . . 281
• Demonstrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6 Progressa˜o geome´trica bidimensional 299
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.2 Fo´rmula do termo geral de uma PG-2D . . . . . . . . . . . . 302
6.2.1 Propriedades numa PG-2D . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.3 Soma do termos de uma PG-2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.4 Soma do termos de uma PG-2D infinita . . . . . . . . . . . . 307
6.5 Produto dos termos de uma PG-2D . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.6 Linearizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6.7 Aplicac¸o˜es da linearizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
6.8 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
10
6.9 Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
• Demonstrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7 Progressa˜o aritme´tica tridimensional 337
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
7.2 Noc¸o˜es iniciais: sequeˆncias triplas . . . . . . . . . . . . . . . . 338
7.3 Fo´rmula do termo geral de uma PA-3D . . . . . . . . . . . . 344
7.3.1 Propriedades numa PA-3D . . . . . . . . . . . . . . . 351
7.4 Soma dos termos de uma PA-3D . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7.5 Linearizac¸a˜o de sequeˆncias triplas . . . . . . . . . . . . . . . . 358
7.6 Equac¸o˜es de linearizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
7.7 Soma em uma sequeˆncia linearizada . . . . . . . . . . . . . . 371
7.8 Aplicac¸o˜es da linearizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
7.9 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7.10 Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
8 Mais aplicac¸o˜es 431
8.1 Um algoritmo para vencer na Torre de Hano´i . . . . . . . . . 447
8.2 Quadrados e cubos ma´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
8.2.1 Quadrados ma´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
8.2.2 Cubos ma´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
8.3 Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
� Representac¸a˜o bina´ria e Torre de Hano´i . . . . . . . . . . . 472
� Uma transformac¸a˜o linear especial . . . . . . . . . . . . . . 475
9 Programando a HP Prime 481
9.1 Introduc¸a˜o a` programac¸a˜o da HP Prime . . . . . . . . . . . . 481
9.1.1 Programac¸a˜o nume´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
9.1.2 Programac¸a˜o alge´brica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
9.2 Listas e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
9.2.1 Listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
9.2.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
9.3 Estruturas de Programac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
9.3.1 Estruturas c´ıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
9.3.2 Estruturas condicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
9.4 Algumas func¸o˜es especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
• Tabela-Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
• Resolvendo equac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
9.5 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
9.6 Nu´mero inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
11
1 a Edic¸~ao deste livro/Ano 2000
12
Capı´tulo 1
Sequeˆncias aritme´ticas de ordem m
Nem voceˆ nem eu nem ningue´m sabemos o que faz um matema´tico
vingar. Na˜o e´ uma questa˜o de inteligeˆncia. Conhec¸o matema´ticos mais
ha´beis que eu, mas que na˜o tiveram sorte. Considere dois mineiros: um
talvez seja perito em geologia, mas e´ o mineiro ignorante quem acha as
pepitas douradas. (Louis J. Mordell/matema´ticobritaˆnico)
1.1 Introduc¸a˜o
O pre´-requisito para a leitura deste cap´ıtulo e´ o Princ´ıpio da Induc¸a˜o
Finita e o Triaˆngulo Aritme´tico de Pascal (TAP) que constam em um
apeˆndice, nas pa´ginas 64 e 68.
Posso afirmar que todo este livro se iniciou a partir de uma simples ob-
servac¸a˜o. Estava eu em dado momento necessitando da fo´rmula para a soma
dos quadrados dos n primeiros nu´meros naturais:
12 + 22 + 32 + · · · + n2 =?
Como na˜o lembrava da fo´rmula me propus a deduz´ı-la. Por onde comec¸ar?
Me veio a ideia de fazer diferenc¸as sucessivas entre os termos da sequeˆncia,
1 4 9 16 25 . . .
assim:
1 4 9 16 25 . . .
3 5 7 9 . . .
− − − −
Ou ainda,
13
1 4 9 16 25 . . .
3 5 7 9 . . .
Notei∗ − e achei interessante − o fato de que as diferenc¸as entre termos
consecutivos da primeira sequeˆncia resultasse em uma sequeˆncia que estava
em progressa˜o aritme´tica. Me perguntei: por que na˜o definir um tipo de
sequeˆncia cujas diferenc¸as dos termos fosse uma P.A. e na˜o uma constante?
− como acontece com a diferenc¸a dos termos de uma P.A., veja:
1 4 9 16 25 . . .
3 5 7 9 . . .
2 2 2 . . .
Foi assim que defini (criei) as progresso˜es aritme´ticas de ordem dois, por
exemplo:
1 4 9 16 25 . . . P.A.2
3 5 7 9 . . . P.A.1
2 2 2 . . . P.A.0
Uma sequeˆncia de termos constantes denominei de uma “progressa˜o aritme´-
tica de ordem zero”; notac¸a˜o como no diagrama.
Posteriormente constatei que a sequeˆncia dos cubos dos n primeiros
nu´meros naturais,
13 23 33 43 53 63 . . .
tambe´m funciona neste esquema, veja:
1 8 27 64 125 216 . . . P.A.3
7 19 37 61 91 . . . P.A.2
12 18 24 30 . . . P.A.1
6 6 6 . . . P.A.0
Rapidamente me dei conta de que na˜o havia raza˜o para ficar apenas nas
P.A.2 − meu objetivo inicial −, assim e´ que me propus a generalizar para
uma ordem arbitra´ria m.
E´ justamente a propriedade exposta anteriormente − comum a estas
sequeˆncias e muitas outras − que vai nos permitir unifica´-las em uma so´
fo´rmula!
∗Na e´poca era rece´m formado em engenharia, mas teimosamente ja´ ensaiava minhas
primeiras criac¸o˜es na matema´tica.
14
Interregno cultural
Apo´s a conclusa˜o deste livro† me deparei na literatura com as progresso˜es
aritme´ticas de ordem m, logo dei-me conta de que a minha definic¸a˜o destas
sequeˆncias e´ diferente da que consta na literatura, o que me permitiu obter
va´rias fo´rmulas que na˜o aparecem nos outros livros. Antes de apresentar a
minha definic¸a˜o vejamos a que consta na literatura∗: (p. 7)
Uma progressa˜o aritme´tica de segunda ordem e´ uma sequeˆncia (a
n
) na
qual as diferenc¸as ∆a
n
= a
n+1 − an , entre cada termo e o termo anterior,
formam uma progressa˜o aritme´tica na˜o-estaciona´ria.
Exemplo 15. A sequ¨eˆncia (a
n
) = (1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .) e´ uma pro-
gressa˜o aritme´tica de segunda ordem porque a sequ¨eˆncia das diferenc¸as
(bn) = (an+1 − an) = (2, 3, 4, 5, 6, . . .) e´ uma progressa˜o aritme´tica na˜o-
estaciona´ria.
De modo geral, uma progressa˜o aritme´tica de ordem k (k > 2) e´ uma
sequ¨eˆncia na qual as diferenc¸as entre cada termo e o termo anterior formam
uma progressa˜o aritme´tica de ordem k − 1.
Enta˜o, retomando, como disse, sem ter conhecimento de que ja´ exis-
tiam as progresso˜es aritme´ticas de ordem m, tomei um caminho alterna-
tivo. A propo´sito, este caminho alternativo me permitiu na˜o apenas dedu-
zir va´rias fo´rmulas ine´ditas como, ademais, tambe´m definir as progresso˜es
geome´tricas de ordem m; nos livros que consultei na˜o encontrei refereˆncia a
estas sequeˆncias.
Para o que se segue, necessitaremos de dois ı´ndices para localizar um
termo qualquer nestas sequeˆncias: um que se refira ao pro´prio termo e,
outro, que se refira a` ordem da sequeˆncia. Sendo assim, convencionamos:
a
nm
= n - e´simo termo da P.A. de ordem m.
Por exemplo, observe a disposic¸a˜o dos ı´ndices no diagrama a seguir
a13 a23 a33 a43 a53 a63 . . . P.A.
3
a12 a22 a32 a42 a52 . . . P.A.
2
a11 a21 a31 a41 . . . P.A.
1
a10 a20 a30 . . . P.A.
0
Nota: Em todo este livro consideraremos
n ∈ N = { 1, 2, 3, . . . } e m ∈ N ∪ { 0 },
a menos que o contra´rio seja explicitado.
†Refiro-me a` primeira versa˜o, 1993.
∗A matema´tica do ensino me´dio − volume 2 / Elon Lages Lima, et. all; 6.ed. Rio de
Janeiro: SBM 2006.
15
1.2 Definic¸a˜o
O nosso caminho alternativo (ine´dito) consta da seguinte
Definic¸a˜o 1. Chama-se progressa˜o aritme´tica de ordem m ( P.A.m ) uma
sequeˆncia dada pela seguinte fo´rmula de recorreˆncia:

a
n0 = r, r 6= 0, n ≥ 1;
a1j = aj , j = 1, 2, . . . , m;
a
nm
= a
(n−1)m
+ a
(n−1)(m−1)
, m ≥ 1, n ≥ 2.
Onde:
(i) m ≥ 1 e´ um natural arbitrariamente fixado.
(ii) r e a
j
sa˜o constantes dadas. Podemos chamar r de raza˜o ou semente
da P.A. de ordem m. Por definic¸a˜o, r 6= 0.
(iii) a
n0 = r (n ≥ 1) significa que uma P.A. de ordem zero tem todos os
seus termos constantes (e´ uma sequeˆncia constante).
Exemplo: Vejamos a ideia que esta´ por tra´s desta definic¸a˜o. Vamos cons-
truir uma P.A.2 . Enta˜o, fixando m = 2, resulta:

a
n0 = r, r 6= 0, n ≥ 1;
a1j = aj , j = 1, 2;
a
n2 = a(n−1)2 + a(n−1)(2−1) , n ≥ 2.
Devemos fornecer treˆs termos, representados por uma “bolinha” na figura:
•
•
•
a10
a11
a12
O termo a10 e´ repetido indefinidamente para a direita, assim:
•
•
•
a11
a12
• • • . . .
a10 a10 a10 a10
16
Resumindo ate´ aqui, fornecemos uma sequeˆncia constante e o primeiro
termo das P.A.1 e P.A.2 . Em seguida construimos a P.A.1 atrave´s das
seguinte somas sucessivas, veja:
•
•
a11
a12
• • • . . .
a10 a10 a10 a10
• • • • . . .
+ + +
P.A.0
P.A.1
Uma vez construida a P.A.1 usamos esta para − ainda atrave´s de somas
sucessivas − construir a P.A.2 , assim:
•
• • • • . . .
a11
a12
• • • . . .
a10 a10 a10 a10
• • • • . . .
+ + +
P.A.0
P.A.1
P.A.2
+ + +
Este e´ o algoritmo para construirmos uma P.A. de qualquer ordem.
Uma das primeiras propriedades em uma P.A.m consta no seguinte
Lema 1. Numa P.A.m o termo de ordem n e´ igual a` soma do primeiro
termo, com a soma dos n− 1 primeiros termos da P.A. de ordem m− 1.
Deduc¸a˜o: Da fo´rmula de recorreˆncia que define uma P.A.m , temos:
a2m = a1m + a1(m−1)
a3m = a2m + a2(m−1)
a4m = a3m + a3(m−1)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a
nm
= a
(n−1)m
+ a
(n−1)(m−1)
17
Somando estas n− 1 igualdades e fazendo os cancelamentos apropriados
obtemos:
a
nm
= a1m + S(n−1)(m−1) (1.1)
Onde: S
(n−1)(m−1)
e´ a soma dos n− 1 termos iniciais da P.A.m−1 .
Prova: Induc¸a˜o sobre n.
n = 1:
a1m = a1m + S(1−1)(m−1)︸ ︷︷ ︸
=0
Suponhamos a equac¸a˜o va´lida para n = p, isto e´: (H.I.)
a
pm
= a1m + S(p−1)(m−1)
E provemos que vale para n = p+ 1, isto e´: (T.I.)
a
(p+1)m
= a1m + S((p+1)−1)(m−1)
Da fo´rmula de recorreˆncia, temos: (def. 1, p. 16)
a
(p+1)m
= a
pm
+ a
p(m−1)
= a1m + S(p−1)(m−1) + ap(m−1)
= a1m + S((p+1)−1)(m−1)
�
Nota: Alertamos o leitor a na˜o causar confusa˜o entre deduc¸a˜o e demons-
trac¸a˜o de uma fo´rmula; pois, na˜o raro, sa˜o coisas distintas. Por vezes uma
deduc¸a˜o na˜o tra´s em si a demonstrac¸a˜o e, reciprocamente, por vezes a de-
monstrac¸a˜o na˜o da´ nenhuma indicac¸a˜o de como a fo´rmula foi obtida.
Em todo este livro adotaremos a seguinte extensa˜o do coeficiente bino-
mial:
(
n
r
)
=


n!
r! (n− r)! , se 0 ≤ r ≤ n;
0 , se r > n ou r < 0.
para todo n, r ∈ Z.
18
1.3 Fo´rmula do termo geral de uma P.A.m
Na˜o seria sensato − e nem mesmo razoa´vel − recorrer a` definic¸a˜o (p. 16)
para o ca´lculo de um termo qualquer de uma P.A.m . Nosso objetivo agora
sera´ demonstrar uma fo´rmula que nos fornec¸a diretamente qualquer termo
de qualquerP.A.m . Vamos por passos:
(i) m = 1 : Utilizando o lema 1 (p. 17), temos:
a
n1 = a11 + S(n−1)(1−1)
onde, S
(n−1)0
e´ a soma dos n−1 termos iniciais da P.A. de ordem zero, vale:
S
(n−1)0
= r + r + · · ·+ r︸ ︷︷ ︸
(n−1) termos
= (n− 1) r
Sendo assim, temos:
a
n1 = a11 + (n− 1) r (1.2)
E´ a fo´rmula do termo geral de uma P.A.1 .
(ii) m = 2 : Utilizando o lema 1 (p. 17), temos:
a
n2 = a12 + S(n−1)(2−1) (1.3)
onde, S
(n−1)1
e´ a soma dos n− 1 termos iniciais da P.A.1 . Vamos deduzir
esta fo´rmula utilizando a equac¸a˜o (1.2), assim:
a11 = a11
a21 = a11 + r
a31 = a11 + 2r
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a
n1 = a11 + (n− 1) r
Somando estas n igualdades, resulta:
a11 + a21 + a31 + · · ·+ an1 = (a11 + a11 + a11 + · · ·+ a11)
+
(
1 + 2 + · · ·+ (n− 1) ) r
O seguinte resultado ja´ e´ conhecido,
1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
⇒ 1 + 2 + · · ·+ n− 1 = (n− 1)n
2
(1.4)
Portanto,
S
n1 = na11 +
n(n− 1)
2
r
19
Ou ainda,
S
(n−1)1
= (n− 1)a11 +
(n− 1)(n − 2)
2
r
Substituindo este resultado na equac¸a˜o (1.3) (p. 19), resulta:
a
n2 = a12 + (n− 1)a11 +
(n− 1)(n − 2)
2
r (1.5)
E´ a fo´rmula do termo geral de uma P.A.2 .
(iii) m = 3 : Utilizando o lema 1 (p. 17), temos:
a
n3 = a13 + S(n−1)(3−1) (1.6)
onde, S
(n−1)2
e´ a soma dos n− 1 termos iniciais da P.A.2 . Vamos deduzir
esta fo´rmula utilizando a equac¸a˜o (1.5), assim:
a12 = a12
a22 = a12 + a11
a32 = a12 + 2 a11 + r
a42 = a12 + 3 a11 + 3 r
a52 = a12 + 4 a11 + 6 r
a62 = a12 + 5 a11 + 10 r
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a
n2 = a12 + (n− 1)a11 +
(n− 1)(n − 2)
2
r
Somando estas n igualdades, resulta:
S
n2 = n a12 +
(
1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) ) a11 (1.7)
+
(
1 + 3 + 6 + 10 + · · ·+ (n− 1)(n − 2)
2
)
r
Agora precisamos encontrar uma fo´rmula para a seguinte soma
1 + 3 + 6 + 10 + · · ·+ (n− 1)(n − 2)
2
= ? (1.8)
Como proceder?
20
Com um pouco de inspirac¸a˜o percebemos que a sequeˆncia 1, 3, 6, 10, . . .
aparece na segunda diagonal do famoso Triaˆngulo Aritme´tico de Pascal
(TAP), veja (estamos contando as diagonais “de cima para baixo”, iniciando
a contagem em zero):
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ց
Em seguida desconfiamos de que a parcela (n − 1)(n − 2)/2 prove´m de
um coeficiente binomial. De fato, podemos escrever (prop. 1, p. 68)
(n− 1)(n − 2)
2
=
(
n− 1
2
)
=
(
n− 1
n− 3
)
O que nos leva a olhar para o Triaˆngulo na seguinte versa˜o:
(
0
0
)
(
1
0
) (
1
1
)
( 2
0
) ( 2
1
) ( 2
2
)
( 3
0
) ( 3
1
) ( 3
2
) ( 3
3
)
( 4
0
) ( 4
1
) ( 4
2
) ( 4
3
) ( 4
4
)
(
5
0
) (
5
1
) (
5
2
) (
5
3
) (
5
4
) (
5
5
)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(
n
0
) (
n
1
) (
n
2
) (
n
3
) (
n
4
) · · · ( n
n−1
) (
n
n
)
(
n+1
0
) (
n+1
1
) (
n+1
2
) (
n+1
3
) (
n+1
4
) · · · (n+1
n−1
) (
n+1
n
) (
n+1
n+1
)
(
n+2
0
) (
n+2
1
) (
n+2
2
) (
n+2
3
) (
n+2
4
) · · · (n+2
n−1
) (
n+2
n
) (
n+2
n+1
) (
n+2
n+2
)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
21
Em seguida observe, na versa˜o anterior do triaˆngulo, que a sequeˆncia
1, 2, 3, 4, 5, . . . aparece na diagonal um. Ja´ sabemos que
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · + n = n(n+ 1)
2
(1.9)
E´ vantajoso observarmos n(n+1)/2 como oriundo de um coeficiente bino-
mial, isto e´,
n(n+ 1)
2
=
(
n+ 1
2
)
=
(
n+ 1
n− 1
)
Inspirados na diagonal um do TAP, escrevemos para a soma (1.9)(
1
0
)
+
(
2
1
)
+
(
3
2
)
+ · · ·+
(
n
n− 1
)
=
(
n+ 1
2
)
=
(
n+ 1
n− 1
)
Para nossa surpresa observamos que a soma dos n primeiros coeficientes
binomiais − da diagonal um − e´ exatamente o coeficiente que se encontra
imediatamente abaixo do coeficiente
(
n
n−1
)
. Observe isto no diagrama:
(
0
0
)
( 1
0
) ( 1
1
)
( 2
0
) ( 2
1
) ( 2
2
)
( 3
0
) ( 3
1
) ( 3
2
) ( 3
3
)
(
4
0
) (
4
1
) (
4
2
) (
4
3
) (
4
4
)
( 5
0
) ( 5
1
) ( 5
2
) ( 5
3
) ( 5
4
) ( 5
5
)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(
n
0
) (
n
1
) (
n
2
) (
n
3
) (
n
4
) · · · ( n
n−1
) (
n
n
)
(
n+1
0
) (
n+1
1
) (
n+1
2
) (
n+1
3
) (
n+1
4
) · · · (n+1
n−1
) (
n+1
n
) (
n+1
n+1
)
(
n+2
0
) (
n+2
1
) (
n+2
2
) (
n+2
3
) (
n+2
4
) · · · (n+2
n−1
) (
n+2
n
) (
n+2
n+1
) (
n+2
n+2
)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Esta observac¸a˜o nos sugere escrever − inspirados na diagonal dois − a
soma (1.8) (p. 20), assim:(
2
0
)
+
(
3
1
)
+
(
4
2
)
+
(
5
3
)
+ · · ·+
(
n+ 1
n− 1
)
=?
22
E, com a experieˆncia do caso anterior, na˜o nos custa nada conjecturar
(uma palavara sofisticada para “chute”) que a soma anterior e´ o coeficiente
binomial imediatamente abaixo de
(
n+1
n−1
)
, isto e´,
(
2
0
)
+
(
3
1
)
+
(
4
2
)
+
(
5
3
)
+ · · ·+
(
n+ 1
n− 1
)
=
(
n+ 2
n− 1
)
Escrevendo esta equac¸a˜o na forma a que nossos olhos esta˜o acostumados,
temos:
1 + 3 + 6 + 10 + · · · + n(n+ 1)
2
=
(n+ 2)(n + 1)n
6
Para obter exatamente a equac¸a˜o (1.8) (p. 20), substituimos nesta equac¸a˜o
n por n− 2, obtendo:
1 + 3 + 6 + 10 + · · ·+ (n− 2)(n − 1)
2
=
n(n− 1)(n − 2)
6
Podemos testar nossa conjectura para alguns valores de n, enta˜o:
n = 3 ⇒ 1 = 1
n = 4 ⇒ 1 + 3 = 4
n = 5 ⇒ 1 + 3 + 6 = 10
Substituindo a equac¸a˜o anterior e mais a equac¸a˜o (1.4) (p. 19) na equac¸a˜o
(1.7) (p. 20), obtemos:
S
n2 = n a12 +
(n− 1)n
2
a11 +
n(n− 1)(n − 2)
6
r
Substituindo S
(n−1)2
na equac¸a˜o (1.6) (p. 20), obtemos:
a
n3 = a13 + (n− 1) a12 +
(n − 2)(n − 1)
2
a11 +
(n− 1)(n− 2)(n − 3)
6
r
Esta e´ a fo´rmula do termo geral de uma P.A.3 . Seria um tanto quanto
desanimador (para na˜o dizer impratica´vel) se tive´ssemos que deduzir uma
fo´rmula do termo geral para cada uma das progresso˜es aritme´ticas de ordem
m. Vamos tentar generalizar os resultados ja´ obtidos. Tendo em conta que
r = a10 , temos:
a
n1 = a11 + (n− 1) r
=
(
n− 1
0
)
a11 +
(
n− 1
1
)
a10
23
Tambe´m,
a
n2 = a12 + (n− 1)a11 +
(n− 1)(n − 2)
2
r
=
(
n− 1
0
)
a12 +
(
n− 1
1
)
a11 +
(
n− 1
2
)
a10
Ainda,
a
n3 = a13 + (n− 1) a12 +
(n− 1)(n − 2)
2
a11 +
(n− 1)(n − 2)(n − 3)
6
r
=
(
n− 1
0
)
a13 +
(
n− 1
1
)
a12 +
(
n− 1
2
)
a11 +
(
n− 1
3
)
a10
Vamos reescrever as equac¸o˜es anteriores da seguinte forma:
a
n1 =
1∑
j=0
(
n− 1
j
)
a
1(1−j)
a
n2 =
2∑
j=0
(
n− 1
j
)
a
1(2−j)
a
n3 =
3∑
j=0
(
n− 1
j
)
a
1(3−j)
Agora fica fa´cil generalizar:
Teorema 1 (Fo´rmula do termo geral de uma P.A.m ). Em uma P.A.m o
n− e´simo termo vale
a
nm
=
m∑
j=0
(
n− 1
j
)
a
1(m−j)
(1.10)
Nota: Esta fo´rmula do termo geral de uma P.A.m e´ ine´dita, isto e´, na˜o
consta na literatura − Assim como muitas outras que ainda aparecera˜o
oportunamente.Isto tudo e´ uma consequeˆncia de nossa definic¸a˜o de P.A.m
(def. 1, p. 16), que e´ uma definic¸a˜o construtiva, ao contra´rio da que se
apresenta na literatura (p. 15).
24
Prova: Induc¸a˜o sobre n (m fixo).
n = 1:
a1m =
m∑
j=0
(
1− 1
j
)
a
1(m−j)
=
(
0
0
)
a
1(m−0)
+
m∑
j=1
(
0
j
)
a
1(m−j)
= 1 a1m + 0 = a1m
Suponhamos a equac¸a˜o va´lida para n = p, isto e´: (H.I.)
a
pm
=
m∑
j=0
(
p− 1
j
)
a
1(m−j)
E provemos que vale para n = p+ 1, isto e´: (T.I.)
a
(p+1)m
=
m∑
j=0
(
( p + 1 ) − 1
j
)
a
1(m−j)
Da fo´rmula de recorreˆncia, temos: (def. 1, p. 16)
a
(p+1)m
= a
((p+1)−1)m
+ a
((p+1)−1)(m−1)
= a
pm
+ a
p(m−1)
=
m∑
j=0
(
p− 1
j
)
a
1(m−j)
+
m−1∑
j=0
(
p− 1
j
)
a
1((m−1)−j)
=
m∑
j=0
(
p− 1
j
)
a
1(m−j)
+
m∑
j=0
(
p− 1
j − 1
)
a
1(m−j)
=
m∑
j=0
[(
p− 1
j
)
+
(
p− 1
j − 1
)]
a
1(m−j)
=
m∑
j=0
(
( p+ 1 )− 1
j
)
a
1(m−j)
.
�
Na u´ltima igualdade usamos a relac¸a˜o de Stiefel, equac¸a˜o (1.25), p. 68.
Voltando a` nossa conjectura − quanto a` soma das diagonais do TAP −
enunciamos o seguinte resultado.
25
Teorema 2. Seja j um natural arbitrariamente fixado. Para n ≥ j vale a
seguinte identidade:
n∑
i= j
(
i
j
)
=
(
n+ 1
j + 1
)
(1.11)
Prova: Apeˆndice, pa´gina 71. �
Exemplos:
(a) Tomando j = 1 na equac¸a˜o (1.11), obtemos:
n∑
i=1
(
i
1
)
=
(
n+ 1
1 + 1
)
Isto e´, (
1
1
)
+
(
2
1
)
+ · · ·+
(
n
1
)
=
(
n+ 1
2
)
Ou ainda,
1 + 2 + · · · + n = n(n+ 1)
2
(b) Tomando j = 2 na equac¸a˜o (1.11), obtemos:
n∑
i=2
(
i
2
)
=
(
n+ 1
2 + 1
)
Isto e´, (
1
2
)
+
(
2
2
)
+
(
3
2
)
+ · · · +
(
n
2
)
=
(
n+ 1
3
)
Ou ainda,
1 + 3 + 6 + · · ·+ n(n− 1)
2
=
(n+ 1)n(n− 1)
6
Observac¸a˜o: A equac¸a˜o (1.11) nos fornece para j = m a soma dos n+1−m
termos iniciais da diagonal m do TAP.
Nota: O teorema 2 foi descoberto exatamente dentro do contexto descrito
− isto e´, surgiu da necessidade de estabelecermos uma fo´rmula para a soma
dos termos de uma P.A.2 −, posteriormente tivemos conhecimento de que
o mesmo ja´ existia (conhecido como Teorema das Diagonais). Achei por
bem compartilhar com o leitor o processo heur´ıstico de descoberta.
26
Mostraremos oportunamente que a diagonal m do TAP esta´ em P.A.m :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ց
P.A.
0
ց
P.A.
1
ց
P.A.
2
. .
.
Voltando ao teorema 1 (p. 24) observe que para calcular o n-e´simo termo
de uma P.A.m necessitaremos conhecer, a priori, o primeiro termo de todas as
sequeˆncias anteriores, e´ o que nos diz o coeficiente a
1(m−j)
(j = 0, 1, . . . , m) na
equac¸a˜o (1.10) (p. 24). No caso particular de uma P.A.3 , por exemplo, isto implica
em que para conhecermos qualquer termo do retaˆngulo em destaque na horizontal
a
13
a
23
a
33
a
43
a
53
a
63
. . . P.A.3
a
12
a
22
a
32
a
42
a
52
. . . P.A.2
a
11
a
21
a
31
a
41
. . . P.A.1
a
10
a
20
a
30
. . . P.A.0
deveremos conhecer os termos em destaque na vertical − como se observa na
equac¸a˜o de an3 , veja:
a
n3
= a
13
+ (n− 1) a
12
+
(n− 1)(n− 2)
2
a
11
+
(n− 1)(n− 2)(n− 3)
6
a
10
Algoritmo
Vamos sugerir um algoritmo para se obter os termos
a
1(m−j)
, para j = 0, 1, . . . , m.
Oportunamente provaremos tal algoritmo.
Dada a P.A.m (m ≥ 1) fazemos diferenc¸as sucessivas entre termos consecutivos
das P.A.s de ordem m, m − 1, . . . , 1 e tomamos o primeiro termo de cada uma
destas sequeˆncias.
27
Exemplos:
(a) Encontre a fo´rmula do termo geral da seguinte P.A.2 :
1 3 6 10 15 21 . . .
Soluc¸a˜o: Substituindo m = 2 na fo´rmula (1.10) (p. 24), obtemos:
a
n2
=
2∑
j=0
(
n− 1
j
)
a
1(2−j)
=
(
n− 1
0
)
a
1(2−0)
+
(
n− 1
1
)
a
1(2−1)
+
(
n− 1
2
)
a
1(2−2)
Simplificando, obtemos:
a
n2
= a
12
+ (n− 1)a
11
+
(n− 1)(n− 2)
2
a
10
(1.12)
Esta e´ a fo´rmula do termo geral de uma P.A.2 . Para encontrar os coeficientes
a11 e a10 aplicamos o algoritmo, assim:
1 3 6 10 15 . . .
2 3 4 5 . . .
1 1 1 . . .
− −
−
Ou ainda,
1 3 6 10 15 . . .
2 3 4 5 . . .
1 1 1 . . .a
10
→
a
11
→
a12 →
Substituindo estes resultados na equac¸a˜o (1.12) e simplificando, obtemos:
a
n2
=
n(n+ 1)
2
(1.13)
e´ a fo´rmula para um termo qualquer da segunda diagonal do Triaˆngulo de Pascal.
28
(b) (UFRGS 04) Considere a disposic¸a˜o de nu´meros abaixo.
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
O primeiro elemento da quadrage´sima linha e´
a) 777 b) 778 c) 779
d) 780 e) 781
Soluc¸a˜o: Vamos obter a fo´rmula do termo geral da sequeˆncia
1 2 4 7 11 16 . . .
Aplicando o algoritmo, resulta
1 2 4 7 11 16 . . .
1 2 3 4 5 . . .
1 1 1 1 . . .a
10
→
a
11
→
a
12
→
A sequeˆncia em questa˜o e´ uma P.A.2 ; logo, substituindo estes dados na equac¸a˜o
(1.12) (p. 28), temos
an2 = 1 + (n− 1) 1 +
(n− 1)(n− 2)
2
1
Simplificando,
an2 =
n2 − n + 2
2
Enta˜o,
a40,2 =
402 − 40 + 2
2
= 781
29
(c) Uma aplicac¸a˜o importante de uma P.A.m e´ a seguinte: Dada uma sequeˆncia
com m + 1 termos, podemos encontrar um polinoˆmio de grau m que gera estes
m+ 1 termos.
Exemplo: Encontre uma fo´rmula para os cinco primeiros nu´meros primos.
Soluc¸a˜o: Devemos encontrar um polinoˆmio que gere a sequeˆncia:
2, 3, 5, 7, 11
Como temos 4 + 1 termos, estes determinam uma P.A.4 , da seguinte forma:
an4 =
4∑
j=0
(
n− 1
j
)
a
1(4−j)
Ou ainda,
a
n4
=
(
n− 1
0
)
a
14
+
(
n− 1
1
)
a
13
+
(
n− 1
2
)
a
12
+
(
n− 1
3
)
a
11
+
(
n− 1
4
)
a
10
Aplicando o algoritmo obtemos o seguinte diagrama:
2 3 5 7 11
1 2 2 4
1 0 2
−1 2
3a
10
→
a11 →
a
12
→
a
13
→
a14 →
Substituindo estes coeficientes e simplificando, obtemos:
p(n) =
1
8
n4 − 17
12
n3 +
47
8
n2 − 103
12
n+ 6
Onde, p(n) = a
n4
.
30
1.3.1 Calculadora HP Prime−Computac¸a˜o alge´brica
No nosso entendimento uma das maiores conquistas
da Cieˆncia da Computac¸a˜o foi justamente a computac¸a˜o
alge´brica; hoje em dia uma “simples” calculadora como a
HP Primenos permite trabalhar com equac¸o˜es, com fo´rmulas.
Em particular podemos programar, por exemplo, na˜o apenas
a fo´rmula do termo geral de uma P.A.m como, ademais,
muitas outras fo´rmulas que ainda aparecera˜o neste livro.
Nota: No u´ltimo cap´ıtulo ensinamos como programar esta
Calculadora.
Apenas a t´ıtulo de ilustrac¸a˜o, programamos (p. 75) a fo´rmula do termo geral
de uma P.A.m (eq. (1.10), p. 24), entramos com os m + 1 primeiros termos e o
programa sai com a fo´rmula do termo geral. Por exemplo, na tela a seguir
temos a simulac¸a˜o do exemplo (a) dado na pa´gina 28, onde entramos (em um vetor)
com os treˆs primeiros termos da sequeˆncia
1 3 6 10 15 21 . . .
e o programa sai com a fo´rmula (1.13) (p. 28).
Com o mesmo programa implementamos o exemplo (c) dado na pa´gina 30.
Nas telas a seguir
entramos (em um vetor) com os cinco primeiros nu´meros primos e o programa nos
devolve o polinoˆmio que gera estes cinco primos, em sequeˆncia.
31
Um dos teoremas mais importantes e´ dado a seguir.
Teorema 3 (Teorema da Unificac¸a˜o). A fo´rmula do termo geral de uma P.A.m e´
um polinoˆmiode grau m e, reciprocamente.
Prova:
(⇒) Temos
a
nm
=
m∑
j=0
(
n− 1
j
)
a
1(m−j)
=
(
n− 1
0
)
a
1m
+
(
n− 1
1
)
+ · · ·+
(
n− 1
m
)
a
10
= a1m + (n− 1) a1(m−1) + · · ·+
(n− 1)(n− 2) · · · (n−m)
m!
a10
como, por definic¸a˜o, a10 6= 0, temos um polinoˆmio de grau m.
(⇐) A prova da volta sera´ feita no pro´ximo cap´ıtulo. �
Observe que o “reciprocamente” do teorema significa que toda sequeˆncia que
tem como fo´rmula do termo geral um polinoˆmio de grau m e´ uma P.A.m − da´ı o
nome de teorema da unificac¸a˜o.
Perceba que isto na˜o e´ pouco; por exemplo, a sequeˆncia (a
n
) dada por a
n
= nm
(m natural arbitrariamente fixado) e´ uma P.A.m e, por conta disto, oportuna-
mente obteremos uma fo´rmula geral e na˜o recursiva para a soma de poteˆncias dos
n primeiros nu´meros naturais. Esta sera´ uma fo´rmula ine´dita.
[...]
1 a Edic¸~ao deste livro/Ano 2000
32
Nu´meros poligonais de k lados como P.A.2
Temos, ainda como consequeˆncia do teorema da unificac¸a˜o, que os nu´meros
poligonais esta˜o em P.A.2 .
Consideremos a P.A. de primeiro termo 1 e de raza˜o k − 2, sendo k ≥ 3 um
inteiro arbitrariamente fixado. Isto e´,
1, k − 1, 2k − 3, 3k − 5, . . . , 1 + (n− 1)(k − 2), . . . (1.14)
Definic¸a˜o 2. Chama-se nu´mero poligonal de k lados todo nu´mero que e´ soma de
termos consecutivos da P.A. (1.14), comec¸ando pelo primeiro termo 1.
Temos:
p
1, k
= 1
p
2, k
= 1 + (k − 1) = k
p
3, k
= 1 + (k − 1) + (2k − 3) = 3k − 3
p
4, k
= 1 + (k − 1) + (2k − 3) + (3k − 5) = 6k − 8
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
p
n, k
= 1 + (k − 1) + (2k − 3) + · · ·+ [1 + (n− 1)(k − 2)] = 6k − 8
=
n(n− 1)(k − 2)
2
+ n
Casos especiais dos nu´meros poligonais de k lados sa˜o:
(i) Nu´meros triangulares (k = 3):
p
n, 3
=
n(n− 1)(3− 2)
2
+ n
Listando,
p
n, 3
: 1 3 6 10 15 21 28 . . .
(ii) Nu´meros Quadra´ticos (k = 4):
p
n, 4
=
n(n− 1)(4− 2)
2
+ n
Listando,
pn, 4 : 1 4 9 16 25 36 49 . . .
33
Triaˆngulo de Pascal e as P.A.m
No triaˆngulo aritme´tico de Pascal a diagonal m (m = 0, 1, 2, . . .) encontra-se
em P.A.m , veja:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ց
P.A.0
ց
P.A.1
ց
P.A.2
. .
.
Ou ainda,
(
0
0
)
(
1
0
) (
1
1
)
(
2
0
) (
2
1
) (
2
2
)
(
3
0
) (
3
1
) (
3
2
) (
3
3
)
(
4
0
) (
4
1
) (
4
2
) (
4
3
) (
4
4
)
(
5
0
) (
5
1
) (
5
2
) (
5
3
) (
5
4
) (
5
5
)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(
n
0
) (
n
1
) (
n
2
) (
n
3
) · · · ( nn−2) ( nn−1) (nn)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
P.A.
0
P.A.
1
P.A.
2
O n-e´simo termo da diagonal m e´ dado por
a
nm
=
(
m+ n− 1
n− 1
)
(1.15)
Ou ainda, (prop. 1, p. 68)
anm =
(
m+ n− 1
m
)
=
(m+ n− 1)!
m! (n− 1)!
34
Temos,
(m+ n− 1)! = (n+m− 1) · . . . · (n+ 1) · n · (n− 1)!︸ ︷︷ ︸
(m+1) fator(es)
Sendo assim, temos
(m+ n− 1)!
(n− 1)! = (n+m− 1) · . . . · (n+ 1) · n
Portanto,
a
nm
=
(n+m− 1) · . . . · (n+ 1) · n
m!
, m ≥ 1 (arbitrariamente fixado)
Observe que
m = 1 : ⇒ a
n, 1
=
n
1!
= n
m = 2 : ⇒ an, 2 =
(n+ 1)n
2!
m = 3 : ⇒ a
n, 3
=
(n+ 2)(n+ 1)n
3!
e´ o termo geral das diagonais um, dois e treˆs, respectivamente. Para cada m
arbitrariamente fixado, a
nm
e´ um polimoˆmio de grau m, por isto afirmamos que a
diagonal m, no TAP, esta´ em P.A.m .
∗ ∗ ∗
Na˜o creio que devo gastar anos estudando o trabalho dos outros, decifrando
um campo complicado para poder contribuir com um pequeno aporte meu. Pre-
firo dar largas passadas numa direc¸a˜o totalmente nova, em que a imaginac¸a˜o e´,
pelo menos, inicialmente, muito mais importante do que a te´cnica, porque suas
te´cnicas correspondentes teˆm ainda de ser desenvolvidas. [. . .]
Lembre-se que a matema´tica e´ uma livre criac¸a˜o da mente humana e, como
disse Cantor − o inventor da moderna teoria da infinitude, descrita por Wal-
lace −, a esseˆncia da matema´tica reside na liberdade, na liberdade de criar. A
histo´ria, pore´m, julga essas criac¸o˜es por sua beleza duradoura e pela extensa˜o
com que elas iluminam outras ideias matema´ticas ou o universo f´ısico, em suma,
por sua “fertilidade”.
(Gregory Chaitin/Matema´tico e cientista da computac¸a˜o)
35
1.4 P.A.m em func¸a˜o dos seus pro´prios termos
Observe a fo´rmula do termo geral de uma P.A.m ,
a
nm
=
m∑
j =0
(
n− 1
j
)
a
1(m−j)︸ ︷︷ ︸
↑
o termo assinalado nos diz que para se obter um termo qualquer da P.A.m deve-
remos conhecer o primeiro termo das progresso˜es de ordens inferiores − como ja´
haviamos mencionado antes (p. 27). Em nosso entendimento isto e´ um incoˆmodo,
por exemplo, se quisermos escrever um programa computacional para encontrar
este n-e´simo termo − com resultado nume´rico ou simbo´lico.
O que vamos tentar agora e´ obter a fo´rmula do termo geral de uma P.A.m em
func¸a˜o apenas dos seus pro´prios termos.
Como toda grande caminhada inicia-se com um pequeno passo, vamos por
partes. Incialmente vamos escrever a fo´rmula do termo geral de uma P.A.1 em
func¸a˜o apenas dos seus pro´prios termos, veja:
a
n1
= a
11
+ (n− 1) a
10
Precisamos eliminar desta equac¸a˜o o termo a
10
.
Na definic¸a˜o de uma P.A.m (p. 16), para m = 1, temos
a
n1
= a
(n−1)1
+ a
(n−1)(1−1)
logo,
a
(n−1)0
= a
n1
− a
(n−1)1
Substituindo n = 2 nesta equac¸a˜o, resulta: a
10
= a
21
− a
11
. Portanto,
a
n1
= a
11
+ (n− 1) (a
21
− a
11
)
E´ a fo´rmula do termo geral de uma P.A.1 em func¸a˜o apenas dos seus pro´prios
termos. Vamos agora a` fo´rmula do termo geral da P.A.2 . Da definic¸a˜o, temos:
m = 1 : a
n1
= a
(n−1)1
+ a
(n−1)0
⇒ a
(n−1)0
= a
n1
− a
(n−1)1
m = 2 : a
n2
= a
(n−1)2
+ a
(n−1)1
⇒ a
(n−1)1
= a
n2
− a
(n−1)2
Substituindo n = 2 nestas duas u´ltimas equac¸o˜es, resulta:

a10 = a21 − a11
a
11
= a
22
− a
12
Substituindo n = 3, temos
a21 = a32 − a22
36
Substituamos estas duas u´ltimas equac¸o˜es na primeira, obtemos
a10 = (a32 − a22)− (a22 − a12) = a32 − 2 a22 + a12
Resumindo, temos
a
n2
= a
12
+ (n− 1)a
11
+
(n− 1)(n− 2)
2
a
10
Onde, 

a
11
= a
22
− a
12
a
10
= a
32
− 2 a
22
+ a
12
Vejamos o que acontece para a P.A.3 . Na definic¸a˜o (p. 16), temos:
m = 1 : a
(n−1)0
= a
n1
− a
(n−1)1
m = 2 : a
(n−1)1
= an2 − a(n−1)2
m = 3 : a
(n−1)2
= a
n3
− a
(n−1)3
(⋆)
Destas equac¸o˜es decorrem as seguintes:
n = 2 ⇒


a
10
= a
21
− a
11
(1)
a
11
= a
22
− a
12
(2)
a
12
= a
23
− a
13
(3)
e
n = 3 ⇒


a
20
= a
31
− a
21
(4)
a
21
= a
32
− a
22
(5)
a
22
= a
33
− a
23
(6)
Substituindo (3) e (6) em (2), obtemos:
a
11
= (a
33
− a
23
)− (a
23
− a
13
)
= a
33
− 2 a
23
+ a
13
(7)
Ja´ temos a
12
e a
11
em func¸a˜o dos termos da P.A.3 , agora falta a
10
. Olhando a
eq. (1), vamos precisar de a
21
em func¸a˜o dos termos da P.A.3 . De (5) precisamos
de a
32
e a
22
; mas a
22
ja´ temos (eq. 6). Para calcular a
32
vamos substituir n = 4
em (⋆), obtendo:
a
32
= a
43
− a
33
(8)
Substituindo (8) e (6) em (5), obtemos:
a
21
= (a43
− a
33
)− (a
33
− a
23
)
= a
43
− 2 a
33
+ a
23
(9)
37
Substituindo (9) e (7) em (1), obtemos:
a
10
= (a
43
− 2 a
33
+ a
23
)− (a
33
− 2 a
23
+ a
13
)
= a43 − 3 a33 + 3 a23 − a13
E agora, o que faremos com todas estas informac¸a˜oes? Imbu´ıdos de um senti-
mento de fe´, tentemos colocar ordem no caos!
Vamos fazer o seguinte resumo das concluso˜es ja´ obtidas:
a
11
= 1 · a
11
a10 = a21 − a11
= 1 · a
21
− 1 · a
11
P.A.1 :


a12 = 1 · a12
a
11
= a
22
− a
12
= 1 · a
22
− 1 · a
12
a10 = a32 − 2 a22 + a12
= 1 · a
32
− 2 · a
22
+ 1 · a
12
P.A.2 :


a
13
= 1 · a
13
a
12
= a
23
− a
13
= 1 · a23 − 1 · a13
a
11
= a
33
− 2 a
23
+ a
13
= 1 · a
33
− 2 · a
23
+ 1 · a
13
a
10
= a
43
− 3 a
33
+ 3 a
23
− a
13
= 1 · a
43
− 3 · a
33
+ 3 · a
23
− 1 · a
13
P.A.3 :


Os coeficientes nume´ricos (valor absoluto) dos desenvolvimentos de a
13
, a
12
,
a11 e a10 correspondem exatamente aos coeficientes nas linhas do TAP, observe:
38
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a
10
= 1 · a
43
− 3 · a
33
+ 3 · a
23
− 1 · a
13
−→
a11 = 1 · a33 − 2 · a23 + 1 · a13 −→
a
12
= 1 · a
23
− 1 · a
13
−→
a
13
= 1 · a
13
−→
Desta forma somos ate´ capazes de adivinhar os desenvolvimentos dos coeficien-
tes na P.A.4 , veja:
1 · a
14
1 · a
24
− 1 · a
14
1 · a
34
− 2 · a
24
+ 1 · a
14
1 · a44 − 3 · a34 + 3 · a24 − 1 · a14
1 · a
54
− 4 · a
44
+ 6 · a
34
− 4 · a
24
+ 1 · a
14
a
14
:
a
13
:
a
12
:
a11 :
a
10
:
Para formalizar todo o exposto, observemos o triaˆngulo na seguinte versa˜o:
(
0
0
)
(
1
0
) (
1
1
)
(
2
0
) (
2
1
) (
2
2
)
(
3
0
) (
3
1
) (
3
2
) (
3
3
)
(
4
0
) (
4
1
) (
4
2
) (
4
3
) (
4
4
)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a
14
:
a13 :
a
12
:
a
11
:
a
10
:
Para a P.A.4 escrevemos (inspirados pela quarta linha do triaˆngulo):
a
10
= 1 · a
54
− 4 · a
44
+ 6 · a
34
− 4 · a
24
+ 1 · a
14
=
(
4
0
)
a
54
−
(
4
1
)
a
44
+
(
4
2
)
a
34
−
(
4
3
)
a
24
+
(
4
4
)
a
14
39
Da terceira linha do triaˆngulo, tiramos:
a
11
= 1 · a
44
− 3 · a
34
+ 3 · a
24
− 1 · a
14
=
(
3
0
)
a44 −
(
3
1
)
a34 +
(
3
2
)
a24 −
(
3
3
)
a14
Da segunda linha do triaˆngulo, tiramos:
a12 = 1 · a34 − 2 · a24 + 1 · a14
=
(
2
0
)
a
34
−
(
2
1
)
a
24
+
(
2
2
)
a
14
Da primeira linha do triaˆngulo, tiramos:
a
13
= 1 · a
24
− 1 · a
14
=
(
1
0
)
a
24
−
(
1
1
)
a
14
Podemos unificar as quatro equac¸o˜es anteriores da seguinte forma:
a
1(4−j)
=
j∑
k=0
(−1)k
(
j
k
)
a
(1−k+j)4
, j = 1, 2, 3, 4.
Generalizando este resultado para uma P.A.m , temos o seguinte
Teorema 4 (Gentil). Em uma P.A.m e´ va´lida a seguinte identidade:
a
1(m−j)
=
j∑
k=0
(−1)k
(
j
k
)
a
(1−k+j)m
(1.16)
Prova: Sera´ feita oportunamente no pro´ximo cap´ıtulo. �
Para recompensar o esforc¸o do leitor em ter nos acompanhado na deduc¸a˜o desta
fo´rmula − bem como para tranquilizar os ce´pticos − adiantamos que com o aux´ılio
da mesma obteremos, logo mais, uma fo´rmula fechada (isto e´, autossuficiente, na˜o
recursiva) para a soma de poteˆncias dos naturais. Por muito tempo os matema´ticos
buscaram por tal fo´rmula, coube a no´s materializar esta aspirac¸a˜o.
Exemplo: Escrever a P.A.2 em func¸a˜o dos seus pro´prios termos.
Soluc¸a˜o: Substituindo m = 2 na equac¸a˜o (1.16), temos
a
1(2−j)
=
j∑
k=0
(−1)k
(
j
k
)
a
(1−k+j)2
, j = 1, 2.
Enta˜o,
j = 1 ⇒ a
11
=
1∑
k=0
(−1)k
(
1
k
)
a
(1−k+1)2
= 1 · a
22
− 1 · a
12
40
e
j = 2 ⇒ a
10
=
2∑
k=0
(−1)k
(
2
k
)
a
(1−k+2)2
= 1 · a
32
− 2 · a
22
+ a
12
Portanto,
an2 = a12 + (n− 1) a11 +
(n− 1)(n− 2)
2
a10
= a
12
+ (n− 1)(a
22
− a
12
) +
(n− 1)(n− 2)
2
(a
32
− 2 · a
22
+ a
12
)
− P.A.m em func¸a˜o dos seus pro´prios termos na HP Prime
Na tela a seguir
a
1(m−j)
=
j∑
k=0
(−1)k
(
j
k
)
a
(1−k+j)m
temos o programa que implementa a fo´rmula da direita. (p. 74)
Como ilustrac¸a˜o, considerando o exemplo da pa´gina 30, entrando com os cinco
primeiros nu´meros primos, em um vetor,
2 3 5 7 11
1 2 2 4
1 0 2
−1 2
3a
10
→
a
11
→
a12 →
a
13
→
a
14
→
o programa nos devolve os coeficientes em destaque no diagrama acima.
41
1.5 Propriedade fundamental de uma P.A.m
Em uma progressa˜o aritme´tica a diferenc¸a entre dois termos consecutivos quais-
quer e´ constante e igual a` pro´pria raza˜o, isto e´
a
(n+1)1
− a
n1
= r
Este fato e´ uma decorreˆncia imediata da pro´pria definic¸a˜o. Pois bem, perguntamos
se existiria uma relac¸a˜o equivalente para uma P.A.m . Como encontrar a raza˜o,
por exemplo, em uma P.A.2 ?. Para a P.A.2 seguinte, por exemplo
1 3 6 10 15 21 . . .
qual a relac¸a˜o que deve ser obedecida por termos consecutivos da mesma?
Observe que a diferenc¸a entre termos consecutivos
1 3 6 10 15 21 . . .
2 3 4 5 6 . . .
na˜o e´ uma constante, a exemplo da P.A.
Tentaremos resolver esta questa˜o inicialmente para a P.A.2 . Vamos recorrer a`
origem, digo, a` definic¸a˜o
m = 2 : a
n2
= a
(n−1)2
+ a
(n−1)(2−1)
⇒ a
(n−1)1
= a
n2
− a
(n−1)2
Desta equac¸a˜o obtemos as duas seguintes
an1 = a(n+1)2 − an2
a
(n+1)1
= a
(n+2)2
− a
(n+1)2
Portanto
a
(n+1)1
− a
n1
=
(
a
(n+2)2
− a
(n+1)2
) − ( a
(n+1)2
− a
n2
)
= a
(n+2)2
− 2 a
(n+1)2
+ a
n2
= r.
Isto e´, numa P.A.2 e´ va´lida a seguinte relac¸a˜o entre treˆs termos consecutivos
a
n+2
− 2 · a
n+1
+ a
n
= r
Vejamos se conseguimos encontrar uma lei ana´loga entre termos consecutivos
de uma P.A.3 . Enta˜o,
m = 3 : an3 = a(n−1)3 + a(n−1)(3−1) ⇒ a(n−1)2 = an3 − a(n−1)3
42
Desta equac¸a˜o obtemos as treˆs seguintes
a
n2
= a
(n+1)3
− a
n3
a
(n+1)2
= a
(n+2)3
− a
(n+1)3
a
(n+2)2
= a
(n+3)3
− a
(n+2)3
Portanto
a
(n+1)1
− a
n1
= a
(n+2)2
− 2 a
(n+1)2
+ a
n2
=
(
a
(n+3)3
− a
(n+2)3
) − 2 (a
(n+2)3
− a
(n+1)3
)
+
(
a
(n+1)3
− a
n3
)
= a
(n+3)3
− 3 a
(n+2)3
+ 3 a
(n+1)3
− a
n3
= r.
Isto e´, numa P.A.3 e´ va´lida a seguinte relac¸a˜o entre quatro termos consecutivos
a
n+3
− 3 · a
n+2
+ 3 · a
n+1
− a
n
= r
Visando a uma generalizac¸a˜o, escrevemos:
1 · a
(n+1)1
− 1 · an1 = r
1 · a
(n+2)2
− 2 · a
(n+1)2
+ 1 · a
n2
= r
1 · a
(n+3)3
− 3 · a
(n+2)3
+ 3 · a
(n+1)3
− 1 · a
n3
= r
Observando que os coeficientes nume´ricos nas equac¸o˜es anteriores esta˜o na pri-
meira, segunda e terceira linhas, respectivamente, do TAP, escrevemos (→)
43
(
1
0
) · a
(n+1)1
− ( 11) · an1 = r
(
2
0
) · a
(n+2)2
− ( 21) · a(n+1)2 + ( 22 ) · an2 = r
(
3
0
) · a
(n+3)3
− ( 31 ) · a(n+2)3 + ( 32) · a(n+1)3 − ( 33) · an3 = r
O que nos permite enunciar o seguinte
Teorema 5 (Propriedade Fundamental das P.A.m ). m + 1 termos consecutivos
de uma P.A.m esta˜o relacionados pela seguinte identidade:
m∑
k=0
(−1)k
(m
k
)
a
(n−k+m)m
= a10 (1.17)
Prova: Sera´ feita oportunamente no pro´ximo cap´ıtulo. �
Nota: A relac¸a˜o (1.17) se aplica a toda sequeˆncia (a
n
) que tem como fo´rmula
do termo geral um polinoˆmio de grau m. Mostre que a10 = m! am ; sendo am o
coeficiente de nm.
Exemplos:
(a) Treˆs termos consecutivos de uma P.A.2 satisfazem
2∑
k=0
(−1)k
(
2
k
)
a
(n−k+2)2
= a
10
Isto e´,
(−1)0
(
2
0
)
a
(n−0+2)2
+ (−1)1
(
2
1
)
a
(n−1+2)2
+ (−1)2
(
2
2
)
a
(n−2+2)2
= a
10
Simplificando,
1 a
(n+2)2
− 2 a
(n+1)2
+ 1 a
n2
= a
10
Ou ainda, abandonando o segundo ı´ndice,
1 a
n+2
− 2 a
n+1
+ 1 a
n
= a
10
A propriedade anterior pode ser confirmada, por exemplo, para a sequeˆncia dos
quadrados dos naturais, veja:
1 4 9 16 25 36 . . .
Por exemplo:
1 · 9 − 2 · 4 + 1 · 1 = 2
44
Ou,
1 · 16 − 2 · 9 + 1 · 4 = 2
(b) Estando a sequeˆncia (2x, x+ 1, 3x+ 1, 7x+ 3) em P.A.2 , determine x.
Soluc¸a˜o: Se (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) esta´ em P.A.2 enta˜o devemos ter
1 · a
3
− 2 · a
2
+ 1 · a
1
= 1 · a
4
− 2 · a
3
+ 1 · a
2
Logo,
1 · (3x+ 1) − 2 · (x+ 1) + 1 · (2x) = 1 · (7x+ 3) − 2 · (3x+ 1) + 1 · (x+ 1)
resolvendo esta equac¸a˜o encontramos x = 3.
(c) Seja a sequeˆncia (an) dada por an = n
3. Mostre que a seguinte identidade se
verifica:
3∑
k=0
(−1)k
(
3
k
)
a
(n−k+3)
= 3!
Soluc¸a˜o: Temos
3∑
k=0
(−1)k
(
3
k
)
a
(n−k+3)
= (−1)0
(
3
0
)
a
(n−0+3)
+ (−1)1
(
3
1
)
a
(n−1+3)
+ (−1)2
(
3
2
)
a
(n−2+3)
+ (−1)3
(
3
3
)
a
(n−3+3)
Simplificando a expressa˜o a` direita obtemos,
3∑
k=0
(−1)k
(
3
k
)
a
(n−k+3)
= 1 (n+ 3)3 − 3 (n+ 2)3 + 3 (n+ 1)3 − 1n3 = 6
Apenas a t´ıtulo de curiosidade, veja que interessante, na calculadora HP Prime
3∑
k=0
(−1)k
(
3
k
)
(n− k + 3)3
︸ ︷︷ ︸
Digitando esta expressa˜o
primando esta tecla
obtemos este resultado
45
1.6 Soma dos termos de uma P.A.m
Para uma progressa˜o aritme´tica temos a seguinte fo´rmula para a soma dos seus
n primeiros termos
S
n
= n a
1
+
n(n− 1) r
2
Desejamos generalizar este resultado. Ja´ vimos que (pp. 19, 23)
S
n1
= na
11
+
n(n− 1)
2
r
e
S
n2
= n a
12
+
(n− 1)n
2
a
11
+
n(n− 1)(n− 2)
6
r
Procurando uma generalizac¸a˜o, escrevemos
Sn1 =
(
n
1
)
a11 +
(
n
2
)
r
e
S
n2
=
(
n
1
)
a
12
+
(
n
2
)
a
11
+
(
n
3
)
r
Ou ainda,
S
n1
=
1∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
1(1−j)
e
S
n2
=
2∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
1(2−j)
O que nos permite enunciar o seguinte (→)
46
Teorema 6 (Soma dos termos de uma P.A.m ). Em uma P.A.m a soma Snm dos
n termos iniciais vale
S
nm
=
m∑
j =0
(
n
j + 1
)
a
1(m−j)
(1.18)
Prova: Consideremos a equac¸a˜o (1.1) (p. 18)
a
nm
= a
1m
+ S
(n−1)(m−1)
⇒ S
(n−1)(m−1)
= a
nm
− a
1m
Enta˜o,
Snm = a(n+1)(m+1) − a1(m+1)
=
m+1∑
j=0
(
(n+ 1)− 1
j
)
a
1((m+1)−j)
− a
1(m+1)
=
m+1∑
j=0
(
n
j
)
a
1((m+1)−j)
− a
1(m+1)
= a
1(m+1)
+
m+1∑
j=1
(
n
j
)
a
1((m+1)−j)
− a
1(m+1)
=
m+1∑
j=1
(
n
j
)
a
1((m+1)−j)
=
m∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
1(m−j)
�
Como vimos (p. 32) a fo´rmula do termo geral de uma P.A.m e´ um polinoˆmio
de graum; da equac¸a˜o (1.18) concluimos que a fo´rmula da soma dos termos de uma
P.A.m e´ um polinoˆmio de grau m + 1. Nos exemplos a seguir podemos constatar
isto em alguns casos.
47
Exemplos:
(a) Considere a sequeˆncia dada por a
n
= n2, dos quadrados dos naturais. Encontre
uma fo´rmula para a soma dos seus n primeiros termos.
Soluc¸a˜o: Pelo teorema da unificac¸a˜o (p. 32), a sequeˆncia dada e´ uma P.A.2 .
Enta˜o
S
n2
=
2∑
j =0
(
n
j + 1
)
a
1(2−j)
=
(
n
1
)
a
12
+
(
n
2
)
a
11
+
(
n
3
)
a
10
Do diagrama seguinte (Algoritmo, p. 27)
1 4 9
3 5
2a
10
→
a11 →
a
12
→
Obtemos,
S
n2
=
(
n
1
)
1 +
(
n
2
)
3 +
(
n
3
)
2
Simplificando, obtemos
12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(2n+ 1)(n+ 1)
6
(1.19)
Resultado este ja´ conhecido por outros me´todos.
∗ ∗ ∗
No programa que comparece na pa´gina seguinte usamos a fatorac¸a˜o de uma
expressa˜o. Nas telas a seguir exemplificamos como fatorar e expandir uma expressa˜o
alge´brica.
48
− Soma dos termos de uma P.A.m na HP Prime
Na tela a seguir (p. 78)
Snm =
m∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
1(m−j)
temos o programa que implementa (alge´bricamente) a fo´rmula da direita. Por
exemplo, entrando em um vetor com os termos 1, 4, 9 o programa nos devolve a
fo´rmula (1.19) (p. 48):
49
(b) Os nu´meros triangulares,
1 3 6 10 15 . . .
n(n+ 1)
2
. . .
esta˜o em P.A.2 . Encontre uma fo´rmula para a soma de seus n primeiros termos.
Soluc¸a˜o: Temos
S
n2
=
2∑
j =0
(
n
j + 1
)
a
1(2−j)
=
(
n
1
)
a
12
+
(
n
2
)
a
11
+
(
n
3
)
a
10
Do diagrama seguinte,
1 3 6
2 3
1a
10
→
a11 →
a
12
→
Obtemos,
S
n2
=
(
n
1
)
1 +
(
n
2
)
2 +
(
n
3
)
1
Simplificando, obtemos
S
n
=
n(n+ 1)(n+ 2)
6
Acho que muita gente vai
se beneficiar com este livro. E´ claro
e com muitos exemplos e aplicac¸o˜es
interessantes. Parabe´ns por ver seu
grande esforc¸o coroado.
(Ubiratan D’Ambro´sio/USP)
50
(c) Encontre o valor da soma,
S = 2 · 12 + 5 · 22 + 8 · 32 + · · · + (3n− 1) · n2
Soluc¸a˜o: Como a
n
= (3n− 1) · n2, esta sequeˆncia e´ uma P.A.3 . Enta˜o,
Sn3 =
3∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
1(3−j)
=
(
n
1
)
a13 +
(
n
2
)
a12 +
(
n
3
)
a11 +
(
n
4
)
a10
Do diagrama seguinte (algoritmo),
2 · 12 5 · 22 8 · 32 11 · 42
18 52 104
34 52
18a10 →
a
11
→
a
12
→
a
13
→
Obtemos,
S
n3
=
(
n
1
)
2 +
(
n
2
)
18 +
(
n
3
)
34 +
(
n
4
)
18
Entrando com a expressa˜o da direita na HP Prime e pedindo para ela simplificar,
obtemos
S
n
=
n(n+ 1)(9n2 + 5n− 2)
12
(d) Sendo f : R → R, definida por f(x) = x2 − 1, encontre
S = f(1) + f(2) + f(3) + · · ·+ f(n)
Soluc¸a˜o: Devemos encontrar a soma dos termos da sequeˆncia
12 − 1, 22 − 1, 32 − 1, . . . , n2 − 1
O termo geral desta sequeˆncia e´ an = n
2 − 1, uma P.A.2 , portanto. Enta˜o,
S
n2
=
2∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
1(2−j)
=
(
n
1
)
a
12
+
(
n
2
)
a
11
+
(
n
3
)
a
10
Do diagrama seguinte,
0 3 8
3 5
2a
10
→
a11 →
a
12
→
51
Obtemos,
S
n2
=
(
n
1
)
0 +
(
n
2
)
3 +
(
n
3
)
2
Logo,
f(1) + f(2) + f(3) + · · ·+ f(n) = 3
(
n
2
)
+ 2
(
n
3
)
(e) Os nu´meros poligonais de k lados (p. 33)
p
1, k
, p
2, k
, p
3, k
, p
4, k
, . . . , p
n, k
, . . .
ou ainda,
1, k, 3k − 3, 6k − 8, . . . , n(n− 1)(k − 2)
2
+ n, . . .
esta˜o em P.A.2 . Vamos estabelecer uma fo´rmula para soma´-los.
Soluc¸a˜o: Temos,
Sn2 =
2∑
j =0
(
n
j + 1
)
a
1(2−j)
=
(
n
1
)
a12 +
(
n
2
)
a11 +
(
n
3
)
a10
Do diagrama seguinte,
1 k 3k − 3
k − 1 2k − 3
k − 2a
10
→
a
11
→
a12 →
Obtemos,
Sn2 =
(
n
1
)
1 +
(
n
2
)
(k − 1) +
(
n
3
)
(k − 2)
Entrando com o lado direito desta
equac¸a˜o na HP Prime e pedindo para ela
simplificar, obtemos a tela ao lado; logo,
S
n2
=
(n+ 1)n
(
(n− 1) k − (2n− 5) )
6
Nota: Quemtem charrete, desloca-se de charrete; quem tem bicicleta, desloca-
se de bicicleta; quem tem carro, de carro, e quem tem helico´ptero, desloca-se de
helico´ptero . . . esta e´ a lei doravante em vigor!
52
1.6.1 Uma fo´rmula ine´dita
“Gostei da sua fo´rmula”
Carlos Gustavo T. de A. Moreira (Gugu/IMPA)
Durante muitos anos − possivelmente se´culos − os matema´ticos estiveram a`
procura de uma fo´rmula para a soma de poteˆncias dos nu´meros naturais, ningue´m
teve eˆxito, coube a mim materializar essa aspirac¸a˜o.
Teorema 7 (Gentil/1997). Sendo m um nu´mero natural arbitrariamente fixado,
e´ va´lida a seguinte identidade:
1m + 2m + 3m + · · · + nm =
m∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
(m−j)
(1.20)
Onde:
a
(m−j)
=
j∑
k=0
(−1)k
(
j
k
)
(1− k + j)m (1.21)
Prova: E´ uma consequeˆncia imediata do teorema da unificac¸a˜o (p. 32) e das
fo´rmulas (1.18) (p. 47) e (1.16) (p. 40). �
Observe que para consolidar esta fo´rmula devemos ainda demonstrar a equac¸a˜o
(1.16). E mais: para poder utilizar a equac¸a˜o (1.18) devemos mostrar que a
sequeˆncia dada por a
n
= nm e´, de fato, uma P.A.m . Isto sai do teorema da
unificac¸a˜o; mas este, ainda estamos devendo.
O cap´ıtulo seguinte foi concebido e desenvolvido, em sua maior parte, no sentido
de dar uma demonstrac¸a˜o rigorosa da fo´rmula (1.20), este objetivo funcionou como
uma bu´ssola. A deduc¸a˜o da fo´rmula em questa˜o se deu por volta do ano de 1991∗,
enquanto sua efetiva demonstrac¸a˜o se deu uns seis anos depois − apo´s algumas
tentativas frustradas.
∗Ate´ enta˜o, eu contava apenas com uma graduac¸a˜o em engenharia.
53
Vamos exemplificar a utilizac¸a˜o da fo´rmula para m = 3, enta˜o:
13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
3∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
(3−j)
Onde:
a
(3−j)
=
j∑
k=0
(−1)k
(
j
k
)
(1− k + j)3 (1.22)
Portanto,
13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
(
n
1
)
a
3
+
(
n
2
)
a
2
+
(
n
3
)
a
1
+
(
n
4
)
a
0
Fazendo j = 0, 1, 2, 3 em (1.22), obtemos
j = 0 ⇒ a
3
=
0∑
k=0
(−1)k
(
0
k
)
(1− k + 0)3 = 1
j = 1 ⇒ a
2
=
1∑
k=0
(−1)k
(
1
k
)
(1− k + 1)3 = 7
j = 2 ⇒ a
1
=
2∑
k=0
(−1)k
(
2
k
)
(1 − k + 2)3 = 12
j = 3 ⇒ a0 =
3∑
k=0
(−1)k
(
3
k
)
(1− k + 3)3 = 6
Sendo assim, temos
13 + 23 + 33 + · · · + n3 =
(
n
1
)
1 +
(
n
2
)
7 +
(
n
3
)
12 +
(
n
4
)
6
Simplificando, com ou sem a HP, obtemos
13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n
2 (n+ 1)2
4
(1.23)
Observe que a equac¸a˜o (1.20) (p. 53) e´ na˜o recursiva. Em 1713 foi publicado
na revista Ars Conjectandi (Arte de Conjecturar) uma fo´rmula que, infelizmente,
padece da recursividade − fo´rmula esta atribuida a Jacques Bernoulli (1654-1705).
Em um apeˆndice (p. 73) mostramos e exemplificamos a fo´rmula de Bernoulli.
54
− A fo´rmula ine´dita na HP Prime
Nas telas a seguir (p. 79)
1m + 2m + 3m + · · · + nm =
m∑
j=0
(
n
j + 1
)
a
(m−j)
a
(m−j)
=
j∑
k=0
(−1)k
(
j
k
)
(1− k + j)m
temos os programas que implementam a fo´rmula da direita. O segundo programa
(PAM4) recebe m e calcula os coeficientes dados pela equac¸a˜o de a
(m−j)
e repassa-
os para o primeiro programa, que calcula o somato´rio na forma alge´brica.
Por exemplo, fornecendo m = 3 para o primeiro programa (PAM5) ele nos
devolve a fo´rmula para a soma dos cubos dos n primeiros nu´meros naturais:
Compare com a fo´rmula (1.23). (p. 54)
Jacques Bernoulli − e nenhum seu contemporaˆneo − jamais sonhou com esta
possibilidade (desenvolvimento).
A bem da verdade, na˜o precisamos ir muito longe, mesmo apo´s deduzir esta
fo´rmula − por volta do ano de 1991 − jamais sonhei que isto um dia seria poss´ıvel.
55
Interregno: A Matema´tica como arte e engenharia
O matema´tico, como o pintor ou o poeta, e´ um desenhista. Se os seus
desenhos sa˜o mais duradouros que os deles, e´ porque sa˜o feitos com ide´ias.
(G.H. Hardy)
Tenho enfatizado junto a meus alunos menos o aspecto utilita´rio da matema´tica,
mas, sobretudo, sua vertente como arte e engenharia − tal como de fato ela e´ em
sua esseˆncia. Assim como se desenvolve a sensibilidade para a mu´sica (ou outro tipo
qualquer de arte) de igual modo desenvolve-se a sensibilidade para a matema´tica;
digo, o enleˆvo experimentado pelo artista tambe´m faz parte da experieˆncia ma-
tema´tica. A verdadeira matema´tica conjuga arte com engenharia. Damos um
exemplo disto na pa´gina a seguir.
Me formei em engenharia (eletroˆnica) no ano de 1986 e fui trabalhar em minha
cidade natal (Boa Vista-RR) no setor de Telecomunicac¸o˜es (Sistema Telebra´s), era
detentor de um cargo de chefia e minha ocupac¸a˜o ordina´ria se resumia em carimbar
pape´is e “monitorar” os “indicadores de desempenho operacional”, onde utilizava
tabelas e gra´ficos. Embora fosse relativamente bem remunerado na˜o estava nem
um pouco satisfeito pois sentia que minhas atividades na˜o se enquadravam na con-
cepc¸a˜o que se tem do que seja engenharia.
Por outro lado, desde os tempos de estudante alimentei o sonho de deixar minha
contribuic¸a˜o a` cieˆncia; entretanto, na˜o desejava deixar uma contribuic¸a˜o efeˆmera
mas, se poss´ıvel, uma que “transcendesse os se´culos”. Juntando a este requisito
minha insatisfac¸a˜o com a “engenharia” que eu praticava decidi me demitir para da´
aulas de matema´tica na UFRR, que estava sendo criada na ocasia˜o.
A propo´sito, quando estudava para prestar concurso na Universidade me ocorreu
que naquele preciso momento (1989) milhares de indiv´ıduos, por este Brasil afora,
estavam estudando para melhorar suas condic¸o˜es salariais e eu, aqui, me esforc¸ando
para piorar a minha. Com efeito, de saida perderia a metade do sala´rio, afora outras
vantagens − foi o que terminou acontecendo.
Observe que aquele que opta por fazer pesquisas antes de mais nada da´ (lite-
ralmente) um salto no escuro∗ porquanto, a priori, na˜o existe nenhuma garantia de
que se tera´ algum eˆxito.
Pois bem, atuando no magiste´rio, e na˜o descuidando do meu objetivo princi-
pal, comecei a ensaiar algumas criac¸o˜es na matema´tica; em retrospecto creio que
fui bem sucedido. Hoje conto com oito livros ja´ publicados − apresento outros
resultados ine´ditos no meu livro de Espac¸os Me´tricos.
Nota: Um dos objetivos deste relato e´ mostrar aos jovens que a vida nos disponibi-
liza outras modalidades de satisfac¸a˜o, que na˜o apenas ganhar dinheiro. Tenho dito
que uma maioria de jovens da atual gerac¸a˜o foi programada para ganhar dinheiro
com vistas ao consumo. Ate´ a e´tica fica em segundo ou terceiro plano.
Fica dif´ıcil servir a dois senhores, na˜o raro temos que optar. Tenho consta-
tado no meio acadeˆmico que aqueles que fazem do dinheiro seu objetivo principal,
dificilmente da˜o uma contribuic¸a˜o relevante a` Cieˆncia.
∗Pelo ao menos numa conjuntura semelhante a que eu me encontrava, inclusive em
termos de preparo acadeˆmico, apenas um curso de graduac¸a˜o em engenharia, digo, numa
outra a´rea. Por oportuno, por essa e´poca (ainda como “engenheiro”) foi que comecei a
desenvolver, de modo um tanto quanto emp´ırico, as P.A.m e P.G.m .
56
Retomando, o interessante disso tudo e´ que somente muitos anos depois atinei
com um fato deveras paradoxal: eu havia abandonado a “engenharia” e, sem da´-me
conta, encontrava-me praticando a verdadeira engenharia!
Com efeito, conto com verdadeiras obras de engenharia-matema´tica dispersas
por outros livros meus (como [8], p. ex.), apenas para contextualizar:
Definic¸a˜o P.A.m
(Def. 1, p. 16)
Triaˆngulo
de
Pascal
F.T.G.
(eq. (1.10), p. 24)
∆m f(n)
(eq. (2.2), p. 85)
Teo. do gene
(Teo. 10, p. 91 )
Binoˆmio
de
Newton
Snm
(Eq. (1.18), p. 47)
a
1(m−j)
(Eq. (1.16), p. 40)
Teo. 18
(Eq. (2.17), p. 113)
1m +