Aula 1 1

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Analise Vetorial
Eletromagnetismo
Otoniel Mendes 1
Campo Vetorial e Escalar
2
O eletromagnetismo lida essencialmente com
grandezas escalares e vetoriais.
• Por grandeza escalar, entende-se uma grandeza física que
possa ser quantificada por um único parâmetro, como por
exemplo, a massa de um objeto ou a carga de um corpo
carregado.
• Uma grandeza vetorial, por outro lado, requer parâmetros
adicionais para uma mais completa especificação, como
por exemplo, magnitude, linha de ação e sentido. Esse é o
caso, por exemplo, da velocidade de um objeto em
movimento.
Campo Vetorial e Escalar
3
A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela
qual os conceitos do eletromagnetismo são mais
convenientemente explicados e melhor compreendidos.
Álgebra Vetorial
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Um vetor é representado geometricamente por um
segmento de reta orientado, onde o comprimento da seta é
proporcional a magnitude do vetor, e a orientação da seta
indica a direção e sentido do vetor.
Soma Vetorial
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A soma de vetores é realizada geometricamente, a partir do
deslocamento paralelo de um dos vetores até a extremidade do
outro
A partir dessa definição, a soma de vetores satisfaz as
propriedades:
• Comutatividade: 
• Associatividade: 
Soma Vetorial
6
Soma Vetorial
7
Soma Vetorial
8
Componente Vetorial
9
iˆ
A

iAx
ˆ
Um vetor pode ser decomposto em uma soma da 
forma:
jAy
ˆ
A

jAiAA yx
ˆˆ 

iˆ
jˆ jˆ
x
y
xA
é a componente do vetor
na direção do eixo x
yA
A

é a componente do vetor
na direção do eixo y A

Vetor unitário que “marca” direção 
do eixo x
Vetor unitário que “marca” direção 
do eixo y
Componente Vetorial
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Soma Analítica
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Se
o vetor 
será dado em
componentes cartesianas 
por:
jAiAA yx
ˆˆ

,ˆˆ jBiBB yx 

BAC


onde:
,ˆˆ
ˆ)(ˆ)(
jCiC
jBAiBA
yx
yyxx


 )ˆˆ()ˆˆ( jBiBjAiAC yxyx

xxx BAC 
B

C

A

xA x
B
yA
yB
x
y
yyy BAC 
Soma Analítica
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Coordenas Retangulares – (𝑥, 𝑦, 𝑧)
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O protótipo geralmente utilizado para se definir vetores e
operações sobre vetores é o vetor posição de um certo ponto
do espaço, relativo a um dado sistema de coordenadas.
Escolhemos:
1. Sistema de referencia;
2. Daí, qualquer ponto no espaço
pode ser localizado(com uma
extremidade e uma origem no
sistema de coordenadas.
3. Vetor ficará especificado pelas
suas projeções sobre os eixos
𝑥, 𝑦 e 𝑧.
Operações Básicas
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Norma ou Módulo: Dado um vetor 𝑟(𝑥, 𝑦, 𝑧), denotamos 𝑟
ou simplesmente 𝑟 o comprimento (ou módulo) do vetor:
 𝑟 = 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑃1
𝑃7
𝑃6
𝑃2
𝑃3
𝑃4
𝑃5𝑃8
𝑃2
Operações Básicas
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Produto escalar ou interno: Dados dois vetores 𝑟1 e 𝑟2 , o 
produto escalar:
 𝑟1 ∙ 𝑟2 = 𝑟1𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃
Nesta definição, é claro que: 𝑟1 ∙ 𝑟2 = 𝑟2 ∙ 𝑟1 (comutatividade de 
produto interno)
Ortogonalidade: Se dois vetores, 𝑟1 𝑒 𝑟2, são ortogonais, se: 
 𝑟1 ∙ 𝑟2=0 
Cada vetor que está nos eixos coordenados, satisfazem:
 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 =1
 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖 =0
Operações Básicas
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Produto vetorial ou externo: Define-se produto vetorial
entre dois vetores, 𝑟1 𝑒 𝑟2 como um terceiro vetor 𝑟1 × 𝑟2 = 𝑟3,
que é simultaneamente perpendicular 𝑟1 𝑒 𝑟2.
 𝑟1 × 𝑟2 =
 𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
 𝑖
 𝑗 𝑘
Caso 1D
Caso 2D ou 3D:
Coordenadas Retangulares: Infinitesimais
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Caso 1D
𝒙
𝒚
𝑦
𝑑𝑦
18
Caso 2D
𝒙
𝒚
𝑥
𝑦 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝐴 = 𝑑𝑥. 𝑑𝑦
Coordenadas Retangulares: Infinitesimais
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Coordenadas Retangulares: Infinitesimais
𝑑ℓ = 𝑖𝑑𝑥 + 𝑗𝑑𝑦 + 𝑘𝑑𝑧
Para realizar integrais no Sistema 
Cartesiano,
O elemento de linha é:
O elemento de volume é:
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
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Coordenadas Cilíndricas: (𝑟, 𝜃, 𝑧)
As coordenadas cilíndricas são particularmente úteis na abordagem
de problemas que envolvam simetria de rotação em torno de um eixo.
Por exemplo;
1. O campo elétrico devido a uma
distribuição retilínea de carga tem
esse tipo de simetria.
2. O cálculo do momento de inércia de
um objeto cilíndrico relativamente a
um eixo que passa pelo centro das
suas bases constitui um outro
exemplo, etc.
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Coordenadas Cilíndricas: (𝑟, 𝜃, 𝑧)
No novo sistema de coordenadas, os
eixos continuam ortogonais:
 𝑟 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝜃 = 𝜃 ∙ 𝑟 =0
 𝑟 ∙ 𝑟 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 𝜃 ∙ 𝜃=1
2. Produto Vetorial:
1. Produto Interno:
 𝑟
𝜃 𝑘
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Coordenadas Cilíndricas: 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
Caso 1D
𝑥
𝑦
𝜃
𝑑𝜃
𝑅
23
Coordenadas Cilíndricas: 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
Caso 2D
𝑥
𝑦
𝑅
𝜃
𝑑𝜃𝑟
24
Coordenadas Cilíndricas: 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
Caso 2D
𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟
25
Coordenadas Cilíndricas: 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑖𝑠
𝑑ℓ = 𝑟𝑑𝑟 + 𝜃𝑟𝑑𝜃 + 𝑘𝑑𝑧
O elemento de arco é:
O elemento de volume é:
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧
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Coordenadas Esféricas: (𝑟, 𝜃, 𝜑)
Por sua vez, as coordenadas esféricas são particularmente úteis na 
abordagem de problemas que envolvam simetria de rotação em torno de um 
ponto. 




x
y
z
O
𝑟
𝑃(𝑟, 𝜃, ∅)
Por exemplo;
1. O campo elétrico devido a uma
carga pontual
2. O momento de inércia de uma
distribuição esférica homogênea de
massa são exemplos de problemas
em que há uma clara vantagem em
considerar a sua resolução em
coordenadas esféricas.
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Coordenadas Esféricas: (𝑟, 𝜃, 𝜑)
 𝑟 ∙ ∅= ∅ ∙ 𝜃 = 𝜃 ∙ 𝑟 =0
 𝑟 ∙ 𝑟 = ∅ ∙ ∅= 𝜃 ∙ 𝜃=1
2. Produto Vetorial:
1. Produto Interno:
 𝑟
𝜃 ∅
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Coordenadas Esféricas: (𝑟, 𝜃, 𝜑)


20
0
0


 r
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Coordenadas Esféricas: 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙
O elemento de volume é:
𝑑𝑣 = 𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑟
𝑑ℓ = 𝑟𝑑𝑟 + 𝜃𝑟𝑑𝜃 + 𝑘𝑑𝑧
O elemento de arco é:
O elemento de área é:
𝑑𝐴 = 𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑∅