Gabarito AP1 2016.2 Métodos Determinísticos II

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II – 20/03/2016
Questa˜o 1 [2,0pts] Considere as func¸o˜es f e g definidas por: f(x) = −2x+ 7 e
g(x) =

−3x− 4 se x ≤ −1
−1 se −1 < x < 3
4x− 13 se x ≥ 3
. Determine a lei de definic¸a˜o de g ◦ f .
Soluc¸a˜o: Fazendo uma primeira etapa obtemos
g(f(x)) =

−3f(x)x− 4 se f(x) ≤ −1
−1 se −1 < f(x) < 3
4f(x)− 13 se f(x) ≥ 3
Agora, f(x) ≤ −1⇐⇒ −2x+7 ≤ −1⇐⇒ x ≥ 4 e f(x) ≥ 3⇐⇒ −2x+7 ≥ 3⇐⇒ x ≤ 2. Ale´m
disso, −3f(x)−4 = −3(−2x+7)−4 = 6x−21−4 e 4f(x)−13 = 4(−2x+7)−13 = −8x+28−13,
da´ı
g(f(x)) =

6x− 25 se x ≥ 4
−1 se 2 < x < 4
−8x− 15 se x ≤ 2
Questa˜o 2 [1,0pt] Considere a func¸a˜o
f(x) =
4
√
1− x3
2− x2 .
Determine o dom´ınio da func¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Precisamos determinar os valores de x ∈ R que deixam o radicando maior ou igual a zero,
ale´m e´ claro, de que o denominador do mesmo seja diferente de zero. Analisando o sinal obtemos
Portanto, vemos que o dom´ınio de f(x) consiste de todos os nu´meros reais x tais que −√2 < x < 1
ou x >
√
2.
Questa˜o 3 [1,0pt] Determine λ ∈ R para os que x3 − λx2 + 2x+ 1 seja divis´ıvel por x− λ.
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
Soluc¸a˜o: Dividindo x3 − λx2 + 2x+ 1 por x− λ obtemos
x3 − λx2 + 2x+ 1 |x− λ
x2 − λx2 |
x2 + 2
0 + 2x+ 1
2x− 2λ
2λ+ 1
Enta˜o para que a divisa˜o seja exata devemos ter 2λ+ 1 = 0 =⇒ λ = −1
2
.
Questa˜o 4 [1,0pt] Reorganize a expressa˜o lnx+ a ln y − b ln z de tal forma que fique em termo de
uma u´nico logaritmo.
Soluc¸a˜o: Veja que
lnx+ a ln y − b ln z = ln x+ ln ya − ln zb = ln xya − ln zb = ln xy
a
zb
.
Questa˜o 5 [1,5pt] Calcule o lim
t→0
√
2− t−√2
t
.
Soluc¸a˜o: Calculando o limite temos
lim
t→0
√
2− t−√2
t
= lim
t→0
√
2− t−√2
t
·
√
2− t+√2√
2− t+√2
= lim
t→0
2− t − 2
t(
√
2− t+√2)
= lim
t→0
−1√
2− t+√2 = −
1
2
√
2
.
Questa˜o 6 [1,5pt] Calcule o lim
x→2
x2 + x− 6
x2 − 4 .
Soluc¸a˜o: Verificando o valor de x2+x−6 e de x2−4 quando x = 2 vemos que ambos se anulam.
Desta forma sabemos que x − 2 e´ raiz tanto do numerador como do denominador. Resolvendo a
equac¸a˜o x2 + x− 6 = 0 obtemos as ra´ızes 2 e −3. Portanto,
lim
x→2
x2 + x− 6
x2 − 4 = limx→2
(x− 2)(x+ 3)
(x− 2)(x+ 2) =
5
4
.
Questa˜o 7 [1,0pts] Encontre s ∈ R tal que ln(s2 − 3s+ 2) = 3.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 3
Soluc¸a˜o: Exponenciando os dois lados da expressa˜o temos
eln(s
2−3s+2) = e3 ⇐⇒ s2 − 3s+ 2 = e3 ⇐⇒ s2 − 3s+ 2− e3 = 0
Resolvendo a equac¸a˜o de grau 2 temos 32 − 4(2− e3) = 9− 8 + 4e3 > 0. Logo tem duas ra´ızes, a
saber,
x1 =
3 +
√
4e3 − 1
2
e x2 =
3−√4e3 − 1
2
.
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