Apostila de Cálculo Diferencial

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Cálculo Diferencial 
 
 
 
 
 
 
Profª M.Sc. Olívia Cristina Chicolami 
Profº M.Sc. Carlos Henrique Dias 
 
 
“Jamais considere os seus estudos como uma 
obrigação; mas sim como uma oportunidade invejável 
para poder conhecer a beleza libertadora do reino do 
espírito, para o seu próprio prazer pessoal e para a 
comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer.” 
Albert Einstein 
 
 
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Sumário 
 
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 3 
Problemas de Revisão .......................................................................................................... 4 
Exercícios Propostos ............................................................................................................. 5 
 
FUNÇÕES - INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 7 
 1.Funções ............................................................................................................................. 8 
 Exercícios Propostos .............................................................................................. 10 
 Problemas Propostos ............................................................................................. 13 
 2.Gráfico de uma Função .................................................................................................... 17 
 Problemas Propostos .............................................................................................. 21 
 3.Funções Afins .................................................................................................................. 25 
 Problemas Propostos ............................................................................................. 29 
 Exercícios de Revisão ............................................................................................. 34 
 4.Modelos Matemáticos .................................................................................................... 35 
 Problemas Propostos ............................................................................................. 37 
 5.Funções Transcendentes ................................................................................................. 39 
 Problemas Proposto - Funções Exponenciais .......................................................... 44 
 Problemas Proposto - Funções Logarítmicas .......................................................... 53 
 6. Interpretação de Gráficos-Taxa de Crescimento e Decrescimento................................... 59 
 Problemas Propostos............................................................................................. 62 
7.Limites ............................................................................................................................ 67 
 Problemas Propostos ............................................................................................. 71 
 8.Continuidade .................................................................................................................. 72 
 Problemas Propostos ............................................................................................. 74 
 
A DERIVADA - INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 77 
 1.A Derivada: Inclinação e Taxa de Variação........................................................................ 77 
 2.Algumas Regras Simples de Derivação ............................................................................. 81 
 Problemas Propostos ............................................................................................. 82 
 Problemas Propostos-Aplicação.............................................................................. 87 
 3.Derivada de Produto e Quociente de Funções .................................................................. 93 
 Problemas Propostos ............................................................................................. 97 
 4.Regra da Cadeia ............................................................................................................... 99 
 Problemas Propostos ........................................................................................... 101 
 5.Derivada de Funções Transcendentes ............................................................................ 105 
 Problemas Propostos – Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas ........... 105 
 Problemas Propostos – Derivada de Funções Trigonométricas ............................. 108 
 6.Derivada Segunda .......................................................................................................... 110 
 Problemas Propostos ............................................................................................ 111 
 
PROJETO LABORATÓRIO - PARTE I ................................................................................................ 114 
 
PROJETO LABORATÓRIO - PARTE II............................................................................................... 121 
 
ANEXO I ....................................................................................................................................... 123 
 
ANEXO II ...................................................................................................................................... 127 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................................... 128 
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Introdução: O Cálculo 
 
A palavra Cálculo vem do latim calculus, que significa 
pedregulho e é uma reminiscência da técnica primitiva de executar 
operações matemáticas simples por meio de pequenas 
pedras. Calculi eram as pessoas que contavam, calculones os 
professores. Escravos que tinham a função 
de contadores eram chamados de calculatores enquanto homens 
livres com a mesma tarefa recebiam a designação de numerarii. 
 
O Cálculo, como o estudo das operações de diferenciação e 
integração, é o nome de um sistema ou método desenvolvido em 
grande parte por Newton e Leibniz, independentemente, no século 
XVII. O termo cálculo foi usado pela primeira vez por Leibniz em seu 
livro publicado em 1680, Os Elementos de um novo Cálculo das 
Diferenças e Somas, Tangentes e Quadraturas, Máximos e Mínimos, Medidas de Linhas, Superfícies e 
Sólidos e outras coisas que transcendem o cálculo usual. 
 
O Cálculo é o resultado de uma longa série de avanços, iniciados com a geometria grega, na 
tentativa de estabelecer áreas de figuras com forma arbitrária, volumes de sólidos quaisquer, no 
estudo do movimento dos corpos e de sua velocidade instantânea bem como, no que consiste o 
problema inverso, o cálculo das distâncias percorridas conhecida sua velocidade a cada momento. 
 
Segundo a História, os gregos possuíam já na época em que Euclides escrevia "Os Elementos", 
quase todos os fundamentos para desenvolver o Cálculo, mas ficaram presos por algumas concepções 
restritivas. Foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão dos fenômenos ligados ao infinito, 
ao contínuo, ao infinitésimo, em busca de uma explicação para o movimento e as transformações dos 
seres. 
 
A expressão Cálculo Infinitesimal foi usada por muitos anos como referência ao cálculo. O 
conceito de infinitesimal como uma quantidade arbitrariamente pequena foi amplamente empregado 
pelos matemáticos na ausência de uma teoria apropriada para os limites. Este desenvolvimento 
somente se deu no século XIX. Como conjunto de métodos matemáticos o cálculo se distingue da 
álgebra elementar eda geometria pela introdução da operação de passagem ao limite. As operações 
básicas do cálculo são a diferenciação e a integração, sendo ambos os conceitos utilizados em diversas 
situações tanto teóricas quanto em aplicações na física e engenharia, estatística, economia e em 
praticamente todas as áreas científicas modernas. 
 
Newton e Gottfried W. Leibniz são sempre 
mencionados como descobridores do cálculo. Entre as 
contribuições de Leibniz para a Matemática, além do cálculo, 
estão os seus trabalhos para a análise combinatória, seu 
reconhecimento do sistema binário de numeração e sua 
invenção de uma máquina calculadora capaz de somar e 
multiplicar. Ele também tentou desenvolver um sistema 
formal de lógica no qual todas as deduções poderiam ser 
feitas como em algoritmos computacionais. Já Newton 
aplicou sua teórica na física, em especial na ótica e na lei da 
gravitação, bem como na astronomia, na teoria das equações e dos fluxos. Também determinou 
máximos e mínimos, tangentes a curvas, curvatura de curvas, pontos de inflexões e concavidade de 
curvas. 
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PROBLEMAS DE REVISÃO 
Nos Problemas 1 e 2, use desigualdades para descrever o intervalo dado: 
 
 
 
Nos Problemas 3 a 6, represente o intervalo dado como um segmento de reta em uma reta graduada. 
 
 
Nos Problemas 7 e 8, determine a distância entre dois números reais: 
 
 
Nos Problemas 9 e 10 determine o(s) intervalo(s) constituído(s) pelos números reais x que satisfazem à 
desigualdade dada: 
 
 
Nos Problemas 11 a 20, calcule o valor da expressão dada sem usar uma calculadora: 
 
 
Nos Problemas 21 a 24, explicite n na expressão dada (supondo a > 0, a 1). 
 
 
VALORES ABSOLUTOS E INTERVALOS 
Nos Problemas 25 a 30, determine o intervalo ou intervalos constituído(s) por todos os números reais 
x que satisfaçam à desigualdade dada: 
 
Nos Problemas 31 e 34, simplifique o máximo que for possível: 
 
Nos Problemas 35 e 36, simplifique o quociente dado o máximo que for possível: 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS COM COEFICIENTES INTEIROS. 
Nos Problemas 1 a 14, fatore o polinômio dado usando coeficientes inteiros: 
 
 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES POR FATORAMENTO 
Nos Problemas 15 a 30, use o método da fatoração para resolver a equação dada: 
 
 
FÓRMULA DE BÁSKARA 
Nos Problemas 31 a 36, use a fórmula de Báskara para resolver a equação dada: 
 
 
SIMPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES 
Nos Problemas 43 a 54, fatore e simplifique a expressão dada o máximo que puder: 
 
 
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Respostas Exercícios Ímpares Propostos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FUNÇÕES - INTRODUÇÃO 
Normalmente é possível dar uma descrição sucinta e reveladora de uma situação por um gráfico. Por 
exemplo, a Fig. 1 mostra o montante de dinheiro em uma conta bancária que paga rendimentos 
compostos diariamente, resultando num total de 5% ao ano. O gráfico mostra que, com o passar do 
tempo, a quantidade de dinheiro, na conta, aumenta. Na Fig. 2, temos um gráfico que descreve as 
vendas semanais de um cereal matinal após a interrupção de uma campanha publicitária. O gráfico 
mostra que quanto mais o tempo passa desde a veiculação da última propaganda mais as vendas 
decrescem. A Fig. 3 mostra o tamanho de uma cultura de bactérias para diferentes valores de tempo. 
A cultura cresce com o passar deste tempo. Entretanto existe um tamanho máximo ao qual a cultura 
não cresce mais. Este tamanho máximo reflete as restrições imposta com relação à disponibilidade de 
alimento, espaço e fatores ambientais. A Fig. 4 descreve o decaimento radioativo do isótopo iodo 131 
que, com o passar do tempo, diminui em quantidade. 
Cada um dos gráficos, nas Fig. de 1 a 4, descrevem mudanças que estão acontecendo. O saldo na conta 
bancária está mudando, assim como as vendas de cereal, a população da cultura bactérias e a 
quantidade de iodo radioativo. O cálculo fornece as ferramentas matemáticas para o estudo destas 
mudanças de uma forma quantitativa. 
 
Cada uma das Fig. de 1 a 4 da Introdução descreve uma relação entre duas quantidades. Por exemplo, 
a Fig. 4 ilustra a relação entre a quantidade de Iodo 131 (medida em gramas) e o tempo (medido em 
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dias). A ferramenta quantitativa básica para descrever tais relações é uma função. Neste capitulo 
preliminar, desenvolvemos o conceito de função e revisamos importantes operações algébricas, 
envolvendo funções que serão utilizadas no desenvolvimento do texto. 
FUNÇÔES, GRÁFICOS e LIMITES 
1. Funções 
2. Gráfico de uma Função 
3. Funções Afins 
4. Modelos Matemáticos 
5. Funções Transcendentes. 
6. Interpretação de Gráficos – Taxa de Crescimento e Decrescimento. 
7. Limites 
8. Continuidade. 
1. FUNÇÕES 
Em muitas situações da vida prática, o valor de uma grandeza depende do valor de uma segunda 
grandeza. Assim, por exemplo, a demanda de carne pode depender do preço do produto, a poluição 
do ar em uma cidade pode depender do número de veículos nas ruas ou o valor de uma garrafa de 
vinho pode depender do ano em que o vinho foi fabricado. Relações como essas muitas vezes podem 
ser representadas matematicamente através de funções. Em termos gerais, uma função consiste em 
dois conjuntos e uma regra que associa os elementos de um conjunto aos elementos do outro. 
Suponhamos, por exemplo, que o leitor esteja interessado em determinar o efeito do preço sobre o 
número de unidades vendidas de um certo produto. Para estudar essa relação, é preciso conhecer o 
conjunto de preços admissíveis, o conjunto de vendas possíveis e uma regra para associar cada preço a 
um determinado número de unidades vendidas. A definição de função que vamos adotar é a seguinte: 
Função: É uma lei ou regra que associa a cada objeto em um conjunto A um e apenas um objeto de um 
conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de 
contradomínio. 
Na maioria dás funções examinadas nesta apostila, o domínio e o contradomínio são conjuntos de 
números reais e a função é representada pela letra f ou outra letra do alfabeto. O valor que a função f 
associa a um número x pertencente ao domínio é representado como f(x) (que se lê “f de x”) e 
frequentemente representado por uma expressão matemática, como no seguinte exemplo: f(x) = x2+4. 
 
 
 
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Pode ser interessante pensar em uma função como um "mapeamento" de números em A para 
números em B (Fig. 1.1a) ou como uma "máquina" que transforma um número do conjunto A em um 
número do conjunto B usando o processo especificado pela regra funcional (Fig. 1.1b). Assim, por 
exemplo, a função f(x) = x2 + 4 pode ser imaginada como uma "máquina f" que recebe uma entrada x, 
eleva essa entrada ao quadrado e soma 4 para obter uma saída y = x2 + 4. Seja como for que o leitor 
encare a relação funcional, é importante lembrar que existe apenas um número no contradomínio 
associado a cada número do domínio. Aqui está um exemplo: 
Aplicação de Função: O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela 
função C(n) = n3 - 30n2 + 500n + 200. 
(a) Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. 
(b) Determine o custo de fabricação da 10ª unidade do produto. 
Solução (a) 
O custo de fabricação de 10 unidades é o valor da função de custo para n = 10: 
(a) Custo de 10 unidades = C(10) 
= (10)3 — 30(10)2 + 500(10) + 200 
= R$3.200,00 
(b) Custo de 10ª unidade = C(10) - C(9) 
 = 3200 - 2999 
 = R$ 201,00 
Exemplo: Uma firma de corretagem mobiliáriacobra uma comissão de 6% nas compras de ouro na 
faixa de $50,00 a $300,00. Para compras excedendo $300,00, a firma cobra 2% do total da compra 
mais $12,00. Denote por x o valor do ouro comprado (em dólares) e por f (x) a comissão cobrada em 
função de x. 
(a) Descreva f (x). 
(a) Descreva f (100) e f(500). 
Solução 
(a) A fórmula para f (x) varia dependendo de 50 < x < 300 ou 300 < x. Quando 50 < x < 300, a comissão 
é 0,06x dólares. Quando 300 < x, a comissão é de 0,02x+12. O domínio consiste nos valores de x em 
um dos intervalos [50, 300] e [300, ). Em cada um destes intervalos, a função é definida por fórmulas 
distintas: 
 
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Observe que uma descrição alternativa do domínio é o intervalo [50, ). Isto é, o valor de x pode ser 
qualquer número real maior ou igual a 50. 
(b) Como x = 100 satisfaz 50 < x < 300, devemos utilizar a primeira fórmula para f(x): 
f(100) = 0,06 (100) = 6. 
Como x = 500 satisfaz 300 < x, devemos utilizar a segunda fórmula para f(x): 
f(500) = 0,02 (500) + 12 = 22. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Marque cada um dos seguintes intervalos na reta real. 
 
Utilize intervalos para descrever os números reais que satisfazem as desigualdades dos Exercícios 7-12. 
 
 
 
21. Uma firma de materiais para escritório determina que o número de aparelhos de fax vendidos no 
ano x é dado, aproximadamente, pela função 
 
onde x=0 corresponde a 1990. Pergunta-se: 
(a) O que representa f (0)? 
(b) Obtenha o número de aparelhos de fax vendidos em 1992. 
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22. Quando uma solução de acetilcolina é introduzida no músculo do coração de uma rã, a força com 
que o músculo se contrai diminui. Os dados experimentais do biólogo A. J. Clark são bem aproximados 
por uma função da forma 
 
onde x é a concentração de acetilcolina (em unidades apropriadas), b é uma constante positiva que 
depende de cada rã em particular e R(x) é a reação do músculo ao acetilcolina, expressa como 
porcentagem do máximo efeito da droga. 
 (a) Suponha que b = 20. Encontre a resposta do músculo, quando x = 60. 
(b) Determine o valor de b se R(50) = 60, isto é, se a concentração de x = 50 unidades produz uma 
resposta de 60%. 
Nos Exercícios 23-26, descreva o domínio da respectiva função. 
 
Nos exercícios 27-32, decida qual das curvas são gráficos de funções. 
 
Os Exercícios 33-42 estão relacionados com a função cujo gráfico está esboçado na abaixo. 
 
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Os Exercícios 43-46 se referem à Figura 16. Quando uma droga é injetada na massa muscular de uma 
pessoa, a concentração y da droga no sangue é uma função do tempo decorrido desde a injeção. O 
gráfico de uma função tempo-concentração usual aparece na Figura 16, onde t=0 corresponde ao 
momento da injeção. 
 
 
 
57. Suponha que a firma de corretagem mobiliária do exemplo do texto decida manter as taxas de 
comissão fixas para compras até $600,00, para apenas cobrar 1,5% mais $15,00 para compras de ouro 
que excederem a $600,00. Expresse a comissão de corretagem como função do valor da compra x. 
 
Respostas Exercícios Ímpares Propostos: 
 
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PROBLEMAS PROPOSTOS 
Nos Problemas 1 a 11, calcule os valores indicados da função dada: 
 
 Nos Problemas 12 a 21, especifique o domínio da função dada. 
 
Nos Problemas 22 a 29, determine a função composta f(g(x)). 
 
Nos Problemas 34 a 41, determine a função composta indicada. 
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CUSTO DE FABRICAÇÃO 
48. Suponha que o custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto seja dado pela 
função C(n) =n3 - 30n2 + 400n +500 
(a) Determine o custo de fabricação de 20 unidades. 
(b) Determine o custo de fabricação da 20ª unidade. 
 
EFICIÊNCIA NO TRABALHO 
49. Um estudo de eficiência no turno da manhã mostra que, na média, um operário que chega no 
trabalho às oito horas terá montado 
f(x) = - x3 + 6x2 + 15x , 
aparelhos de televisão x horas depois. 
(a) Quantos aparelhos um operário já montou, em média, às dez horas da manhã? [Sugestão: Às dez 
horas, x = 2]. 
 (b) Quantos aparelhos um operário monta, em média, entre nove e dez horas da manhã? 
 
VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 
50. Suponha que t horas depois da meia-noite a temperatura em Miami seja C(t) = t2/6 + 4t + 10 graus 
Celsius. 
(a) Qual é a temperatura às duas horas da manhã? 
(b) Qual é a variação de temperatura das seis horas da tarde até às nove horas da noite? 
 
VARIAÇÃO DA POPULAÇÃO 
51. Estima-se que daqui a t anos um certo bairro terá uma população de P(t) = 20 — 6/(t + 1) mil 
habitantes. 
(a) Qual será a população do bairro daqui a 9 anos? 
(b) Qual será o aumento da população durante o 9º ano? 
(c) O que acontece com P(t) para grandes valores de t? Interprete o resultado. 
 
 
 
PSICOLOGIA EXPERIMENTAL 
52. Para estudar a rapidez com que os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um 
experimento no qual um rato teve que percorrer várias vezes um labirinto. Suponha que o tempo 
necessário para o rato encontrar a saída do labirinto na enésima tentativa seja dado aproximadamente 
por 
 
minutos. 
(a) Qual é o domínio da função f? 
(b) Para que valores n a função f(n) tem significado no contexto desse experimento? 
(c) Quanto tempo o rato levou para encontrar a saída do labirinto na terceira tentativa? 
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(d) Em que tentativa o rato conseguiu encontrar a saída pela primeira vez em 4 minutos ou menos? 
(e) De acordo com a função f dada, o que acontece com o tempo necessário para que o rato encontre 
a saída do labirinto quando o número de tentativas aumenta? O rato conseguirá, depois de um certo 
número de tentativas, encontrar a saída em menos de 3 minutos? 
 
POLUIÇÃO DO AR 
58. Os ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração média de monóxido de carbono no 
ar durante o dia será c(p) = 0,4p + 1 partes por milhão quando a cidade tiver uma população de p mil 
habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de t anos será p(t) = 8 + 
0,2t2 mil habitantes. (a) Determine a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o 
dia em função do tempo. (b) Qual será a concentração de monóxido de carbono daqui a 2 anos? (c) 
Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,2 partes por 
milhão? 
 
CUSTO DE PRODUÇÃO 
59. Em uma fábrica, o custo de produção de n unidades de uma certa mercadoria é C(n) = n2 + n +900 
reais. Num dia típico, são fabricadas n(t) = 25t unidades durante t horas de trabalho. 
(a) Expresse o custo de produção em função de t. 
(b) Quanto é gasto na produção nas primeiras três horas de trabalho? 
(c) Quantas horas de trabalho são necessárias para que o custo de produção chegue R$ 11.000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
Os gráficos têm impacto visual e também mostram informações que podem não ser evidentes em 
descrições verbais ou algébricas. Dois gráficos típicos aparecem na Fig. 1.3. O gráfico da Fig. 1.3a 
mostra a variação da produção industrial de um certo país durante um período de quatro anos. 
Observe que o ponto mais alto do gráfico aparece próximo do final do terceiro ano, mostrando que a 
produção passou por um máximo naquela ocasião. 
 
Gráfico de uma Função: O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x,y), onde x é o 
domínio de f e y= f(x), ou seja, todos os pontos da forma (x , f(x)). 
 
Como Esboçar o Gráfico de uma Funçãopelo Método da Plotagem de Pontos 
1.Escolha um conjunto representativo de números x pertencentes ao domínio de f e faça uma tabela 
de valores de y = f(x) para esses números. 
2. Plote os pontos (x,y). 
3. Ligue os pontos através de uma curva suave. 
EXEMPLO 2.1: Faça um gráfico da função f(x) = x2. 
Solução: Faça uma tabela de valores de x e y = f(x). 
 
 
 
 
 
 
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Plote os pontos (x,y) e ligue-os através de uma curva suave, como na Fig. 1.4a. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.4 (a) Gráfico de y = x2. (b) Gráficos de outras funções que passam pelos pontos do Exemplo 2.1. 
 
Interseções com os Eixos 
Os pontos em que um gráfico cruza o eixo x são chamados de pontos de interseção com o eixo x e os 
pontos em que o gráfico cruza o eixo y são chamados de pontos de interseção com o eixo y. Os pontos 
de interseção são pontos importantes de um gráfico e podem muitas vezes, ser determinados 
algebricamente. 
Como Encontrar os Pontos de Interseção com os Eixos x e y: Para encontrar os pontos de 
interseção com o eixo y da função y = f(x), faça x = 0 e determine o valor de y. Para encontrar os 
pontos de interseção com o eixo x da função y = f(x), faça y = 0 e determine o valor de x. Em geral, 
os pontos de interseção com o eixo y são mais fáceis de encontrar que os pontos de interseção 
com o eixo x. 
Gráficos de Parábolas 
A curva da Fig. 1.4a é chamada de parábola. O gráfico de uma função do tipo y = Ax2 + Bx + C é sempre 
uma parábola, contanto que A

0. Todas as parábolas têm "forma de U"; a abertura do "U" é voltada 
para cima se A > 0 e para baixo se A < 0. O pico positivo ou negativo da parábola é chamado de vértice 
e sempre ocorre no ponto em que x 
2A
B

 (vide Fig. 1.8). Para fazer um esboço razoável da parábola 
y = Ax2 + Bx + C, basta conhecer o seguinte: 
1. A localização do vértice (o ponto em que x = 
2A
B
). 
2. Se a parábola se abre para cima (A > O) ou para baixo (A < O). 
3. As interseções com os eixos x e y. 
 
 
 
19 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
As parábolas surgem naturalmente em estudos de economia. Suponha, por exemplo, que se saiba que 
60 - x unidades de um certo produto são vendidas quando o preço é x reais por unidade. Nesse caso, a 
receita total é dada pela função 
R(x) = x(60 - x) = - x2 + 60x 
cujo gráfico é uma parábola com a abertura voltada para baixo e com o vértice no ponto 
30
1)(2
60
x 



 (vide Fig. 1.9). Podemos interpretar esse resultado dizendo que a maior receita 
possível pode ser obtida cobrando R$ 30,00 por unidade. 
 
 
 
 
 
 
Funções Potência, Polinômios e Funções Racionais 
Função potência é uma função da forma f(x) = xn, onde n é um número real. Assim, por exemplo, f(x) = 
x2, f(x) = x-3 e f(x) = x1/2 são funções potência. O mesmo se pode dizer de f(x) = 
2
1
x
 e f(x) = 
3 x
, que 
podem ser escritas como f(x) = x-2 e f(x) = x1/3, respectivamente. 
Polinômio é uma função da forma 
n
n
2
210 xaxaxaa  )(xp
 
onde n é um número inteiro não-negativo e 
na,,a,a,a 210 
 são constantes. Se 
0na
, o número 
inteiro n é o grau do polinômio. Assim, por exemplo, a função f(x) = 3x5 - 6x2 + 7 é um polinômio de 
quinto grau. É possível demonstrar que o gráfico de um polinômio de grau n é uma curva contínua que 
não cruza o eixo x mais de n vezes. A Fig. 1.12 mostra os gráficos de três diferentes polinômios do 
terceiro grau. 
20 | P á g i n a 
 
 
 
O quociente 
)(
)(
xq
xp
 de dois polinômios p(x) e q(x) é chamado de função racional. Muitos exemplos e 
exercícios desta apostila se referem a esse tipo de função. A Fig. 1.13 mostra os gráficos de três 
funções racionais. Os métodos usados para traçar esses gráficos serão discutidos adiante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig 1.13. Gráficos de três funções racionais. 
 
21 | P á g i n a 
 
Teste da Reta Vertical 
É importante chamar a atenção para o fato de que nem toda curva é o gráfico de uma função (Fig. 
1.14). Suponha, por exemplo, que a circunferência descrita pela equação x2 + y2 = 5 fosse o gráfico de 
lima certa função y= f(x). Nesse caso, como os pontos (1,2) e (1,-2) pertencem à circunferência, 
teríamos f(1) = 2 e f(1) = -2, o que não estaria de acordo com a definição de função, segundo a qual 
existe um e apenas um elemento no contradomínio associado a cada elemento do domínio. Esse 
exemplo sugere a seguinte regra para determinar se uma curva é gráfico de uma função: 
Teste da Reta Vertical: Uma curva é o gráfico de uma função se e apenas se nenhuma reta vertical 
intercepta a curva mais de uma vez. 
 
 
 Fig. 1.14. Teste da reta vertical. 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Nos Problemas 1 a 16, faça o gráfico da função dada, mostrando todas as interseções com os eixos x e 
y. 
 
 
Nos Problemas 17 a 24, determine os pontos de interseção (se existirem) entre as curvas dadas e 
desenhe os gráficos correspondentes. 
22 | P á g i n a 
 
 
 
CUSTO DE PRODUÇÃO 
25. Um fabricante pode produzir gravadores por um custo de R$ 40,00 a unidade. Estima-se que se os 
gravadores forem vendidos por x reais a unidade, os consumidores comprarão 120 - x gravadores por 
mês. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço, faça um gráfico desta função e use o 
gráfico para estimar o preço ótimo de venda. 
 
VENDAS A VAREJO 
26. Uma livraria pode obter um atlas de uma editora por um preço de R$ 10,00 o exemplar e estima 
que se vender o atlas a x reais o exemplar, aproximadamente 20(22 - x) exemplares serão vendidos por 
mês. Expresse o lucro mensal da livraria com a venda dos atlas em função do preço, faça um gráfico 
dessa função e use o gráfico para estimar o preço ótimo de venda. 
 
GASTO MENSAL 
27. A demanda de um certo produto é D(p) = -200p + 12.000 unidades por mês quando o preço é p 
reais a unidade. 
(a) Faça um gráfico dessa função de demanda. 
(b) Expresse o gasto mensal total nesse produto em função de p. (O gasto mensal total é a quantia 
total que os consumidores gastam para adquirir um produto durante um mês.) 
(c) Faça um gráfico da função de gasto mensal total. 
(d) Discuta o significado econômico do fato de que a função de gasto intercepta 2 vezes o eixo x. 
(e) Use o gráfico do item (c) para estimar o preço para o qual o gasto mensal é máximo. 
 
MOVIMENTO DE UM CORPO 
28. Se um objeto é arremessado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial 
de 49 metros por segundo, sua altura (em metros) t segundos mais tarde é dada pela função H(t) = 
4,9t2 + 49t. 
(a) Faça um gráfico da função H(t). 
(b) Use o gráfico do item (a) para determinar em que instante o objeto se chocará com o solo. 
(c) Use o gráfico do item (a) para determinar a altura máxima atingida pelo objeto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 | P á g i n a 
 
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 | P á g i n a 
 
3. FUNÇÕES AFINS 
Em muitas situações reais, a taxa com que uma grandeza varia em relação a outra é constante . O 
exemplo a seguir foi retirado da economia. 
Exemplo 3.1: O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de R$ 200,00 e um custo 
variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades 
produzidas e desenhe o gráfico relacionado. 
Solução: Seja x o número de unidadesproduzidas e C(x) o custo correspondente. Neste caso, 
 Custo total = (custo unitário) (número de unidades) + custo 
fixo 
onde 
 Custo unitário = 50 
Número de unidades = x 
Custo fixo = 200 
Assim, C(x) = 50x + 200. O gráfico dessa função de custo 
aparece na Fig. 1.15. 
 
No Exemplo 3.1, o custo total aumenta à taxa constante de R$ 50,00 por unidade; assim, o gráfico da 
Fig. 1.15 é uma linha reta cuja ordenada aumenta de 50 unidades cada vez que a abscissa aumenta de 
1. 
Uma função cujo valor varia a uma taxa constante em relação à variável independente é chamada de 
função afim, já que o gráfico de uma função desse tipo é uma linha reta. Em termos algébricos, função 
afim é qualquer função da forma 
mxbxf )(
 
onde 
b
 e 
m
 são constantes . Assim, por exemplo, as funções f(x) = 
2x
2
3

, f(x) = - 5x e f(x) = 12 
são afins. 
Função Afim: É uma função que varia a uma taxa constante em relação à variável independente. Seu 
gráfico é uma linha reta não vertical. A equação da reta de uma função afim pode ser escrita na forma
mxby 
. 
Importante: Quando b = 0 a função afim pode ser chamada de função linear (ou proporcional). Já 
quando m = 0 a função pode ser chamada de função constante. 
 
26 | P á g i n a 
 
Inclinação de uma Reta 
Um agrimensor pode dizer que um morro com uma "elevação" de 2 metros para cada metro de 
"extensão" tem uma inclinação 
2
1
2
extensão
elevação
m
 
A inclinação do gráfico de uma função pode ser medida da mesma forma. Suponhamos, por exemplo, 
que os pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) pertençam a uma mesma reta (Fig. 1.16) Entre esses pontos, x varia de 
12 xx 
e y varia de 
12 yy 
. A inclinação da reta é dada pela razão 
Inclinação =
12
12
xx
yy
xdevariação
ydevariação



 
Às vezes é conveniente usar o símbolo 
Δy
 em vez de 
12 yy 
para representar a variação de y. O 
símbolo 
y
 é chamado de "delta y" . Da mesma forma, o símbolo 
Δx
é usado para representar a 
variação 
12 xx 
. 
Inclinação de uma Reta: A inclinação de uma reta não-vertical passando pelos pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) 
é dada pela expressão 
Inclinação =
12
12
xx
yy
Δx
yΔ



 
 
 
 
 
 
 
 
O sinal e o valor absoluto da inclinação de uma reta indicam a direção e o grau de inclinação, 
respectivamente. A inclinação é positiva se a altura aumenta à medida que x aumenta e negativa se a 
altura diminui à medida que x aumenta. O valor absoluto da inclinação é grande se a reta é muito 
inclinada e pequeno se a reta é pouco inclinada (vide Fig. 1.18). 
 
 
 
27 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retas Horizontais e Verticais 
As retas horizontais e verticais (Figs. 1.19a e 1.19b) têm equações particularmente simples. No caso de 
uma reta horizontal, todos os pontos têm a mesma coordenada y. Assim, a função constante 
correspondente é da forma y = b, onde b é uma constante. A inclinação de uma reta horizontal é nula, 
já que y não varia quando x varia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de uma reta vertical, todos os pontos têm a mesma coordenada x. Desse modo, a equação da 
reta correspondente é da forma x = c, onde c é uma constante. A inclinação de uma reta vertical não é 
definida. Como x não varia quando y varia, o denominador da razão 
xdevariação
ydevariação
 é nulo. 
 
 
 
28 | P á g i n a 
 
Forma Inclinação Interseção da Equação de uma Reta 
 
As constantes m e b na equação y = mx + b de uma reta não-vertical se prestam a uma interpretação 
geométrica. O coeficiente m é a inclinação da reta. Para verificar que isso é verdade, suponha (x1 , y1) 
e (x2 , y2) são dois pontos sobre a reta y = mx + b. Nesse caso, y1 = mx1 + b e y2 = mx2 + b, portanto 
 
 
 
A constante b na equação y = mx + b é o valor de y correspondente a x = O. Assim, b é a ordenada do 
ponto em que a reta y = mx + b intercepta o eixo y e o ponto (0, b) é o ponto de interseção com o eixo 
y . 
Como as constantes m e b na equação y = mx + b correspondem à inclinação e à interseção com o eixo 
y, respectivamente, essa forma da equação de uma reta é conhecida como forma inclinação 
interseção. 
A forma inclinação interseção da equação de uma reta é particularmente útil quando informações 
geométricas (como a inclinação ou a interseção com o eixo y) devem ser obtidas a partir da 
representação algébrica da reta. 
 
Forma Ponto Inclinação da Equação de uma Reta 
As informações geométricas a respeito de uma reta podem ser obtidas facilmente a partir da forma 
inclinação-interseção, y = mx + b. Existe, porém, outra forma para a equação de uma linha reta, que é 
mais conveniente nos casos onde as propriedades geométricas são conhecidas e o objetivo é 
determinar a equação da reta. 
A forma ponto inclinação da equação de uma reta é simplesmente a fórmula da inclinação em outra 
roupagem. Para verificar que isso é verdade, suponha que o ponto (x,y) está sobre uma reta que passa 
por um ponto dado pontos (x0,y0) e tem uma inclinação m. Usando os pontos (x,y) e (x0,y0) para 
calcular a inclinação, temos a equação 
m
xx
yy
0
0



 
que pode ser colocada na forma 
)xm(xyy 00 
 
 multiplicando ambos os membros por 
0xx 
. 
29 | P á g i n a 
 
Retas Paralelas e Perpendiculares 
Às vezes é necessário ou conveniente saber se duas retas dadas são paralelas ou perpendiculares. Uma 
reta vertical é paralela apenas a outras retas verticais e perpendicular a qualquer reta horizontal. Os 
casos que envolvem retas não-verticais podem ser analisados da forma a seguir: 
Retas Paralelas e Perpendiculares: Sejam m1 e m2 as inclinações de duas retas não verticais L1 e L2. 
Nesse caso, 
L1 e L2 são paralelas se e apenas se m1 = m2 
L1 e L2 são perpendiculares se e apenas se m1 = -1/ m2 
Estes critérios estão ilustrados na Fig. 1.26. As demonstrações geométricas ficam a cargo do leitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Nos problemas de 1 a 6, determine na inclinação (se possível) da reta que passa pelos pontos dados. 
 
 
Nos Problemas 7 a 18, determine a inclinação e as interseções da reta dada e desenhe o gráfico 
relacionado. 
30 | P á g i n a 
 
 
Nos Problemas 19 a 34, escreva uma equação para a reta com as propriedades indicadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CUSTO DE PRODUÇÃO 
35. O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de R$ 5.000,00 e um 
custo variável de R$ 60,00 por unidade. Expresse o custo total em função do número de unidades 
produzidas e desenhe o gráfico relacionado. 
 
ALUGUEL DE AUTOMÓVEIS 
36. Uma certa locadora de automóveis cobra R$ 35,00 por dia mais 55 centavos por quilômetro 
rodado. 
(a) Expresse o custo para alugar um carro nessa locadora por 1 dia em função do número de 
quilômetros rodados e desenhe o gráfico relacionado. 
(b) Quanto custa alugar o carro por 1 dia para uma viagem de 50 quilômetros? 
(c) Quantos quilômetros o carro rodou se o preço do aluguel por 1 dia foi R$ 72,00? 
 
MATRÍCULA 
37. Os alunos de uma universidade estadual são aconselhados a fazer uma pré-matrícula pelo correio 
nos dois primeiros meses do ano. Os que não fizeram a pré-matrícula devem se matricular 
pessoalmente em março. A secretaria pode atender a 35 alunos por hora durante o período de 
matrículas. Quatro horas depois de aberto o período de matrículas, com a secretaria funcionando com 
sua capacidade máxima, 360 alunos (incluindo os que fizeram pré-matrícula) já estavam matriculados. 
(a) Expresse onúmero de alunos matriculados em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado. 
(b) Quantos alunos se matricularam nas primeiras três horas do período de matrícula? 
(c) Quantos alunos fizeram pré-matrícula? 
 
31 | P á g i n a 
 
TAXA DE FREQÜÊNCIA 
38. A taxa cobrada por um clube de natação é R$ 250,00 para a temporada de verão, que dura 12 
semanas. Caso alguém se inscreva depois de iniciada a temporada, a taxa é cobrada pro rata, ou seja, é 
reduzida linearmente. 
(a) Expresse a em função do número de semanas transcorridas após iniciada a temporada de verão e 
desenhe o gráfico relacionado. 
(b) Determine o valor da taxa cobrada 5 semanas após iniciada a temporada. 
 
DEPRECIAÇÃO LINEAR 
39. Um médico possui R$ 1.500,00 em livros de medicina que, para fins de imposto, sofrem uma 
depreciação linear a qual reduz seu valor a zero após um período de 10 anos. Expresse o valor dos 
livros em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado. 
40. Um industrial compra R$ 20.000,00 em equipamentos que sofrem uma depreciação linear a qual 
reduz seu valor a R$ 1.000,00 após 10 anos. 
(a) Expresse o valor dos equipamentos em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado. 
(b) Determine o valor dos equipamentos após 4 anos. 
(c) Após quanto tempo os equipamentos perdem totalmente o valor? Para o industrial talvez não seja 
interessante esperar tanto tempo para se desfazer dos equipamentos. Discuta os fatores que o 
industrial poderia levar em conta para decidir qual a melhor ocasião para vender os equipamentos. 
 
CONSUMO DE ÁGUA 
41. Desde o início do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo água a uma taxa 
constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros d'água; no dia 21, está apenas com 
164 milhões de litros. 
(a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo e desenhe o gráfico 
relacionado. 
(b) Quanta água havia no reservatório no dia 8? 
 
TRANSPORTE SOLIDÁRIO 
42. Para estimular os motoristas a adotarem o transporte solidário, o departamento de trânsito de 
uma cidade decidiu oferecer um desconto nos pedágios das pontes para os veículos que estivessem 
transportando quatro ou mais pessoas. No primeiro dia em que o plano entrou em vigor, há 30 dias, 
157 veículos fizeram jus ao desconto. Desde então, o número de descontos vem aumentando a uma 
taxa constante; hoje, 247 veículos foram beneficiados. 
(a) Expresse o número de veículos que fizeram jus ao desconto em função do tempo e desenhe o 
gráfico relacionado. 
(b) Se a tendência continuar, quantos veículos farão jus ao desconto daqui a 14 dias? 
 
CONVERSÃO DE TEMPERATURA 
43. 
(a) A temperatura em graus Fahrenheit é uma função linear da temperatura em graus Celsius. Use o 
fato de que 0°C = 32 °F e 100 °C = 212 °F para escrever uma equação para essa função linear. 
(b) Use a função obtida no item (a) para converter 15 graus Celsius em graus Fahrenheit. 
(c) Converta 68 graus Fahrenheit em graus Celsius. 
 
NOTAS DO VESTIBULAR 
44. As notas da prova de matemática do vestibular de uma universidade diminuíram a uma taxa 
constante durante vários anos. Em 1990, a nota média era 575; em 1995, era 545. 
(a) Expresse a nota média em função do tempo. 
(b) Se a tendência continuou, qual foi a nota média no ano 2000? 
32 | P á g i n a 
 
(c) Se a tendência continuou, em que ano a nota média foi 527? 
 
VALORIZAÇÃO DE UM BEM 
 45. O valor de um certo livro raro duplica a cada 10 anos. Em 1900, o livro valia 190 dólares. 
(a) Quanto valia o livro em 1930? Em 1990? No ano 2000? 
(b) O valor do livro é uma função linear do tempo? Responda a essa pergunta interpretando um 
gráfico apropriado. 
 
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 | P á g i n a 
 
REVISÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 | P á g i n a 
 
4. MODELOS MATEMÁTICOS 
Uma representação matemática de uma situação real recebe o nome de modelo matemático. Nas 
seções anteriores, apresentamos modelos matemáticos para grandezas como o custo de produção, o 
grau de poluição do ar e a oferta de empregos. Nesta seção, vamos discutir algumas técnicas que 
podem ser usadas para elaborar modelos matemáticos. 
Nos primeiros dois exemplos, a grandeza em que estamos interessados é expressa de forma mais 
natural em termos de duas variáveis. Para expressar a grandeza em função de apenas uma das 
variáveis, temos que eliminar a outra. 
EXEMPLO 4.1: O departamento de estradas de rodagem está 
planejando construir uma área de piquenique para motoristas à 
beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser 
retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, e deve ser 
cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Expresse o 
comprimento da cerca, em metros, em função do comprimento 
do lado que dá para a rodovia. 
Solução: Começamos por definir duas variáveis, x e y, que 
representam os lados da área de piquenique (Fig. 1.28). O 
comprimento F da cerca pode ser facilmente expresso em termos dessas duas variáveis: 
F = x + 2y 
Como o objetivo é expressar o comprimento da cerca em função apenas de x, devemos encontrar um 
meio de expressar y em função de x. Para isso, usamos o fato de que a área deve ser de 5.000 metros 
quadrados, escrevendo: 
Área = xy = 5000 
Explicitando y, temos: 
x
5000
y 
 
Substituindo esta relação na expressão de F, temos: 
x
10000
x
5000
 F(x) 





 xx 2
 
A Fig. 1.29 mostra um gráfico dessa função para 35 < x < 200. Observe que o comprimento da cerca é 
mínimo para um certo valor de x. Adiante vamos aprender como calcular esse valor de x usando 
métodos matemáticos. 
 
 
 
36 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 4.6: Determine o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades postas à 
venda e compradas se a função de oferta de um certo produto é S(p) = p2 + 3p - 70 e a função de 
demanda é D(p) = 410 - p. 
Solução: 
Fazendo S(p) = D(p) e calculando o valor de p, temos: 
 
 
 
Como apenas valores positivos de p fazem sentido nesse tipo de problema, chegamos à conclusão de 
que o preço de equilíbrio é R$ 20,00. Como para esse preço o número de unidades postas à venda é 
igual ao número de unidades compradas, podemos usar a equação da demanda, que é mais simples, 
para obter 
D(20) = 410 - 20 = 390 
Assim, 390 unidades são postas à venda e compradas quando o mercado está em equilíbrio. 
A Fig. 1.36 mostra as curvas de oferta e demanda para esse exemplo. A curva de oferta intercepta o 
eixo p no ponto p = 7 (Verifique que isso é verdade.) Qual é a interpretação econômica desse fato? 
 
 
 
37 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
CERCANDO UM TERRENO 
1. Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1.000 m de cerca. Se um dos lados mais 
compridos do pasto fica na margem de um rio (portanto, não precisa de cerca), expresse a área do 
pasto em função da largura. 
JARDINAGEM 
2. Um jardineiro quer plantar um canteiro retangular cuja largura seja metade do comprimento. 
Expresse a área do jardim em função da largura. 
ÁLGEBRA 
3. A soma de dois números é 18. Expresse o produto dos números em função do número menor. 
4. O produto de dois números é 318. Expresse a soma dos dois números em função do número menor.RECEITA DE VENDAS 
5. O preço unitário de um certo produto é p = 35x + 15 centavos quando x unidades do produto são 
fabricadas. Se as x unidades são vendidas por este preço, expresse a receita obtida com a venda do 
produto em função de x. 
CERCANDO UM PARQUE 
6. O departamento de parques e jardins de uma prefeitura pretende construir um parque retangular 
com uma área de 3.600 metros quadrados. O parque será cercado. Expresse o comprimento da cerca 
em função do comprimento de um dos lados do parque, desenhe o gráfico relacionado e estime as 
dimensões do parque para que o comprimento da cerca seja o menor possível. 
 
38 | P á g i n a 
 
 
ÁREA 
7. Expresse a área de um campo retangular cujo perímetro é 320 metros em função do comprimento 
de um dos lados. Desenhe o gráfico relacionado e estime as dimensões do campo para que a área seja 
máxima. 
SUPERFÍCIE 
8. Uma caixa fechada, cuja base é quadrada, deve ter um volume de 1.500 centímetros cúbicos. 
Expresse a área total da superfície da caixa em função do lado da base. 
VOLUME 
9. Uma caixa fechada, cuja base é quadrada, tem uma área superficial de 4.000 centímetros 
quadrados. Expresse o volume da caixa em função do lado da base. 
Para resolver os Problemas 10 a 14, você precisa saber que um cilindro de raio r e altura h tem um 
volume 
hrπV 2
. Lembre-se também de que um círculo de raio r tem unta área 
2rπA 
 e um 
comprimento 
rπC 2
. 
EMBALAGEM 
10. Uma lata de refrigerante, de forma cilíndrica, tem uma capacidade de 300 ml. Expresse a área 
superficial da lata em função do raio da tampa. 
VOLUME 
11. Uma lata de refrigerante, de forma cilíndrica, tem uma área superficial de 120
π
 centímetros 
quadrados. Expresse o volume da lata em função do raio da tampa. 
12. Uma lata cilíndrica fechada tem raio r e altura h. 
(a) Se a área superficial S da lata é constante, expresse o volume V em termos de S e r. 
(b) Se o volume V da lata é constante, expresse a área superficial S em termos de V e r. 
EMBALAGEM 
13. Um recipiente cilíndrico deve conter 64
π
 centímetros cúbicos de suco de laranja. O custo por 
centímetro quadrado para fazer a tampa e o fundo do recipiente, que são de metal, é duas vezes 
maior que o custo para fazer o lado, que é de papelão. Expresse o custo do recipiente em função do 
raio se o custo do lado é 0,02 centavo por centímetro quadrado. 
VOLUME 
14. Uma lata cilíndrica sem tampa foi feita com 27
π
 centímetros quadrados de metal. Expresse o 
volume da lata em função do raio. 
AUMENTO DA POPULAÇÃO 
39 | P á g i n a 
 
15. Na ausência de limitações ambientais, a população cresce a uma taxa proporcional ao seu 
tamanho. Expresse a taxa de aumento da população em função do tamanho da população. 
 
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES 
 
 
 
 
 
 
5. FUNÇÕES TRANSCENDENTES 
 
Uma função transcendente é uma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja 
solução de suas equações associadas não podem ser expressa através de funções elementares. 
De modo geral, uma equação transcendente não possui uma solução exata expressa através de 
funções conhecidas, sendo necessário recorrer ao cálculo numérico para obter uma solução. 
As funções transcendentes mais comuns que aparecem são: 
 Funções exponenciais. 
 Funções logarítmicas. 
 Funções trigonométricas. 
 
Uma equação transcendente pode ter infinitas soluções. 
 
Funções Exponenciais 
A função 
xxf 2)( 
é chamada de função exponencial pois a variável, 
x
, é o expoente. Ela não deve 
ser confundida com a função potência 
2)( xxg 
, na qual a variável é a base. Em geral, uma função 
exponencial é uma função da forma 
 
onde a é uma constante positiva. Vamos recordar o que isso significa. Se 
nx 
, um inteiro positivo, 
então 
40 | P á g i n a 
 


fatoresn
n aaaaa  
Se 
0x
, então 
00 a
, e se 
nx 
, onde 
n
 é um inteiro positivo, então 
n
n
a
a
1

 
Se x for um número racional, 
qpx /
, onde 
p
 e 
q
 são inteiros e 
0q
, então 
 pqq pqpx aaaa  / 
 
Uma razão para a importância da função exponencial está nas propriedades a seguir. Se x e y forem 
números racionais, então essas propriedades são bem conhecidas da álgebra elementar. Pode-se 
provar que elas permanecem verdadeiras para números reais arbitrários x e y. 
Lei dos Expoentes: Se 
a
 e 
b
 forem números positivos e x e y números reais quaisquer, então: 
 
 
Gráfico de Funções Exponenciais. 
Abaixo, os gráficos dos membros da família de funções 
xay 
 para vários valores da base a. Note que 
todos esses gráficos passam pelo mesmo ponto (0, 1), pois a0 = 1 para 
0a
. Observe que a função 
exponencial cresce mais rapidamente à medida que a fica cada vez maior (para x> O). 
 
41 | P á g i n a 
 
Se 0 < a < 1, então 
xa
aproxima-se de 0 à medida que x cresce. Se a > 1, então 
xa
tende a 0 à medida 
que x decresce por valores negativos. Em ambos os casos o eixo x é uma assíntota horizontal. Esses 
assuntos estão discutidos na próxima seção. 
O gráfico anterior mostra basicamente que existem três tipos de função exponencial 
xay 
. Se 0 < a 
< 1, a função exponencial decresce; se a = 1, ela é uma constante; e se a > 1, ela cresce. Esses três 
casos estão ilustrados na próxima figura. Observe que se 
1a
, então a função exponencial 
xay 
tem o domínio 

 e a variação 
),0( 
. Além disso, uma vez que 
x
x
x
a
aa





 11
 o gráfico de 
x
a
y 






1 é a reflexão do gráfico de xay  em torno do eixo y. 
 
Vamos começar nosso estudo sobre como construir o gráfico de uma função exponencial através de 
exemplos. 
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função 
xy 2
. 
Solução: Inicialmente, como já discutido, o domínio da função exponencial 
xxfy 2)( 
 é o 
conjunto dos números reais. Depois, colocando x = 0 temos 
120 y
, valor onde f intercepta o eixo 
y. Não há interseção no eixo x, pois não existem valores de x para os quais y = 0. Para encontrar a 
imagem de f considere seguinte tabela: 
 
Vemos a partir destes cálculos que x2 decresce e se aproxima de zero à medida que x decresce 
ilimitadamente e que x2 cresce sem limites com o crescimento ilimitado dos valores de x. Portanto, o 
domínio de f é o intervalo 
),0( 
 ou seja, o conjunto dos números reais positivos. finalmente 
esboçamos o gráfico de 
xxfy 2)( 
 na figura abaixo. 
42 | P á g i n a 
 
 
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função x
y 






2
1 . 
O domínio da função exponencial 
 xy 2/1
 é o conjunto de todos os números reais. A intersecção 
com o eixo y dá-se em 
  12/1 0 
; não há interseção com o eixo x, pois não existem valores de x para 
os quais y = 0. De acordo com a tabela abaixo 
 
deduzimos que 
  xx 2/12/1 
 cresce sem limites à medida que x decresce ilimitadamente e que 
 x2/1
 decresce e se aproxima de zero à medida que x cresce ilimitadamente. Portanto, a imagem de 
f é o intervalo 
),0( 
. Na abaixo temos o esboço do gráfico de 
 xxfy 2/1)( 
. 
 
A partir dos dois exemplos acima, podemos enunciar as propriedades das funções exponenciais: 
 
43 | P á g i n a 
 
Propriedades da Função Exponencial: 
 
A Base e 
Funções exponenciais de base e (base de Euler, em homenagem ao matemático e físico suíço Leonhard 
Euler), onde e é um número irracional cujo vaiar é 2,7182818..., têm um papel importante em 
problemas teóricos e práticos. Pode ser demonstrado, apesar denão o fazermos aqui, que 
 
Entretanto, podemos nos convencer da plausibilidade desta definição do número e examinando a 
tabela abaixo, que pode ser construído, com a ajuda de uma calculadora. 
 
Exemplo 3: Esboce o gráfico da função 
xey 
. 
Como e > 1, segue da nossa discussão anterior que o gráfico de 
xey 
é semelhante ao gráfico de 
xy 2
. Com o auxílio de uma calculadora obtemos a seguinte tabela: 
 
O esboce o gráfico da função 
xey 
 está abaixo: 
 
 
 
 
 
 
44 | P á g i n a 
 
Exemplo 4: A quantidade 
Q
 de uma droga no corpo de um paciente no instante t é representada pela 
função 
)1( tkeSQ 
, onde 
S
e 
k
 são constantes positivas. Para 
0t
, descreva como 
Q
 varia 
com o tempo. O que 
S
 representa? 
Solução O gráfico de 
Q
 está ilustrado na figura abaixo. Inicialmente, nenhuma quantidade da droga 
está presente, mas a quantidade aumenta com o tempo. Como o gráfico é côncavo, a quantidade 
cresce a uma taxa decrescente. Isso é realista, pois, à medida que a quantidade da droga no corpo 
aumenta, a taxa segundo a qual o corpo elimina a droga também aumenta. Assim, esperamos que a 
quantidade atinja um patamar, ou seja, um nível S que é o nível de saturação. 
 
Como 
tkSeSQ 
 então 
tkSeQS 
 
Logo, a diferença entre o nível de saturação 
S
 e a quantidade 
Q
 no sangue está decaindo 
exponencialmente. 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Nos exercícios de 1 a 8, faça um esboço do gráfico de cada função. 
 
9. Em uma jazida de minério, os técnicos com aparelhos fazem estimativas da quantidade de estanho 
restante que pode ser extraída após a descoberta da jazida. Tais quantidades foram computadas, e 
duas dessas estimativas estão na tabela a seguir: 
Tempo após a descoberta da jazida (anos) 1 3 
Quantidade estimada de estanho na jazida (toneladas) 917.504 702.464 
Sabe-se ainda que, com a extração mineral, a quantidade estimada de estanho restante vem 
diminuindo de forma exponencial. 
45 | P á g i n a 
 
a) Obtenha a quantidade de estanho restante y como função dos anos x após a descoberta da jazida, 
isto é, y = f(x). 
b) Qual a diminuição percentual anual do estanho? 
c) Qual era a quantidade de estanho presente na jazida quando ela foi descoberta? d) Após quanto 
tempo a jazida terá a metade da quantidade inicial de estanho? 
 
10. Após estudos, verificou-se que é exponencial o crescimento do consumo de energia elétrica em 
uma zona industrial de uma certa cidade. Foram computados os valores do consumo em relação ao 
número de anos transcorridos após o início do estudo, e dois desses valores são dados na tabela a 
seguir: 
Tempo após o inicio do estudo (anos) 3 7 
Consumo de energia (GWh) 192.000 468.750 
a) Obtenha o consumo de energia y como função dos anos x após o início do estudo, isto é, y = f(x). 
b) Qual o aumento percentual anual no consumo de energia? 
c) Qual era a quantidade de energia consumida no ano do início do estudo? 
d) Sabe-se que o limite para fornecimento de energia, antes de haver colapso do sistema, é de 
1.000.000 GWh para tal região industrial. Se o crescimento do consumo continuar com as mesmas 
características, após quanto tempo haverá colapso do sistema de distribuição de energia? 
Nos exercícios de 11 a 16, resolva as equações na variável x. 
 
 
 
 
 
 
46 | P á g i n a 
 
 
 
Nos exercícios de 18 a 21, de uma fórmula possível paras as funções exponenciais abaixo: 
 
 
Nos Problemas 22 e 23, seja 
tt rQaQtf )1()( 00 
. Utilize a calculadora. 
(a) Encontre a base a. 
(b) Encontre a taxa de crescimento percentual r. 
 
 
24. Em 1999, a população mundial chegou a 6 bilhões e estava crescendo a uma taxa de 1,3% ao ano. 
Suponha que essa taxa de crescimento permaneça constante. (De fato, a taxa de crescimento tem 
diminuído desde 1987.) 
(a) Escreva uma fórmula para a população mundial (em bilhões) como função do número de anos 
desde 1999. 
(b) Use sua fórmula para estimar a população mundial no ano 2020. 
(c) Esboce um gráfico da população mundial em função dos anos desde 1999. 
(d) Use o gráfico para estimar o tempo de duplicação da população mundial. 
 
 
47 | P á g i n a 
 
25. 
(a) A meia-vida do rádio-226 é de 1620 anos. Escreva uma fórmula para a quantidade 
Q
 de rádio que 
sobra depois de t anos se a quantidade inicial era 
0Q
. 
(b) Qual o percentual da quantidade original de rádio que sobra depois de 500 anos? 
26. Estime, graficamente, o tempo de duplicação da população exponencialmente crescente ilustrada 
no gráfico abaixo. Verifique se o tempo de duplicação é independente do local onde você começa no 
gráfico. Mostre, algebricamente, que, se 
taPP 0
 dobra entre os instantes te t + d, então d é o 
mesmo número qualquer que seja t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 | P á g i n a 
 
RESPOSTAS DE PROBLEMAS SELECIONADOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 | P á g i n a 
 
Funções Logarítmicas 
Logaritmos 
Já estamos familiarizados com equações exponenciais da forma 
xb y 
 (
1,0  bb
) 
onde a variável 
x
 é expressa em termos do número real 
b
uma variável 
y
. Mas como, fazer para 
resolver esta equação em 
y
? Podemos recordar do estudo de álgebra, que o número 
y
 é chamado 
de logaritmo de x na base b e é denotado por 
xblog
. Ele é o expoente ao qual a base b deve estar 
elevada para assim se obter o número x. 
Logaritmo de x na base b: 
xy blog
 se e somente se 
ybx 
, com 
0x
 
Observe que 
xblog
 é definido somente para valores positivos de x. 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
Exemplo 2: Resolva cada uma das seguintes equações em x: 
 
Solução: 
 
 
 
 
Dois sistemas de logaritmos amplamente usados são os logaritmos na base 10 e os logaritmos 
naturais, que usa o número irracional e = 2,7182818... na base (número de Euler). É comum na prática, 
escrever 
xlog
para 
x10log
 e 
xln
 para 
xelog
. 
Propriedades dos Logaritmos 
As propriedades dos logaritmos a seguir podem ser deduzidas das propriedades dos expoentes. Note 
que 
xlog
 e 
xln
não são definidos quando x é negativo ou nulo. 
50 | P á g i n a 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
 
Funções Logarítmicas e Seus Gráficos 
A função definida por 
xxf blog)( 
 com 
10  beb
, 
é chamada de função logarítmica na base b . O domínio de 
f
 é o conjunto de todos os número 
positivos . 
Um jeito fácil de obter o gráfico na função logarítmica 
xy blog
 é construindo a tabela de valores 
de logaritmo (base b). Entretanto, outro método mais intuitivo é baseado na exploração da estreita 
relação entre funções logarítmicas e exponenciais. 
Se um ponto (u, v) pertence ao gráfico de 
xy blog
 então 
uv blog
 
Mas pela definição de logaritmo, podemos escrever esta equação na forma exponencial como 
vbu 
 
Assim o ponto (v, u) pertence ao gráfico da função 
xby 
. Vamos ver a relação entre os pontos (u, v) 
e (v, u) e a reta 
xy 
. Se pensarmos na reta 
xy 
 como um espelho, então o ponto (v, u) é a 
imagem ,especular do ponto (u, v). Da mesma forma, o ponto (u, v) é a imagem especular do ponto 
(v, u) . Podemos tirar vantagem desta relação para ajudar a construir o gráfico das funções 
logarítmicas. Por exemplo, se queremos desenhar o gráfico de 
xy blog
, onde 
1b
, então 
precisamos somente desenhar a imagemespecular do gráfico de 
xby 
 em relação à reta 
xy 
. 
51 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os pontos (u, v ) e (v, u) são a imagem especular um do outro. Da mesma forma, os gráficos de 
xby 
 
e 
xy blog
 são a imagem especular um do outro. Além do mais, a partir da análise acima, pode se 
concluir que as funções 
xby 
 (função exponencial) e
xy blog
 (função logarítmica) são inversas. 
Exemplo 4: Esboce o gráfico da função 
xy 10
 e 
xy log
. 
Solução: Como
xy 10
 e 
xy log
 são funções inversas, os gráficos dessas funções são reflexões 
uma da outra em relação à reta 
xy 
, desde que as escalas nos eixos dos 
x
 e 
y
sejam iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
Uma grande diferença entre 
xy 10
 e 
xy log
 é que a função exponencial cresce muito 
rapidamente, enquanto a função logarítmica cresce muito lentamente. No entanto, 
xlog
 tende a 
infinito, embora lentamente, quando 
x
 cresce ilimitadamente. 
A função 
xxf blog)( 
 com 
10  beb
, tem as seguintes propriedades: 
 
 
52 | P á g i n a 
 
Propriedades da Função Logarítmica: 
1. Seu domínio é 
),0( 
. 
2. Sua imagem é 
),( 
. 
3. Seu gráfico passa pelo ponto 
)0,1(
. 
4. Ela é contínua em 
),0( 
. 
5. Ela é crescente em 
),0( 
 se 
1b
 e decrescente em 
),0( 
 se 
1b
. 
 
Exemplo 5: Esboce o gráfico da função 
xy ln
. 
Solução: Primeiro esboçamos o gráfico de 
xey 
. Então, o gráfico desejado é obtido traçando a 
imagem espectral do gráfico de 
xey 
 em relação à reta 
xy 
. 
 
Resolvendo Problemas usando logaritmos 
Logaritmos são úteis, com frequência, quando temos de resolver problemas que envolvam 
equações exponenciais. Veja exemplos a seguir: 
Exemplo 5: Os carbonos fluorclorados usados nos aparelhos de ar condicionado e em sprays (como 
fixadores para cabelo, cremes de barbear etc). destroem a camada de ozônio na parte superior da 
atmosfera. Atualmente, a quantidade 
Q
 de ozônio está decaindo exponencialmente a uma taxa 
contínua de 0,25% ao ano. Qual a meia-vida do ozônio presente na atmosfera? 
Solução 
Queremos encontrar quanto tempo vai levar para metade do ozônio desaparecer. Se
0Q
é a 
quantidade inicial de ozônio, então 
teQQ 0025,00

 
Queremos encontrar o valor de 
t
 que faz 
2
0QQ 
 isto é 
2
00025,0
0
Q
eQ t 
. Tomando o logaritmo 
natural, obtemos 
53 | P á g i n a 
 
  






2
1
lnln 0025,0 te 6931,0
2
1
ln0025,0 





 t
 
De modo que 
277
0025,0
6931,0



t
 anos. Portanto, a meia vida do ozônio é a aproximadamente 277 
anos. 
Exemplo 6: A população do Quênia era de 19,5 milhões de habitante em 1984 e de 21,2 milhões de 
habitantes em 1986. Supondo que ela cresce exponencialmente, encontre uma fórmula para a 
população do Quênia em função do tempo. 
Solução 
Se medirmos a população 
P
 em milhões e o tempo 
t
 em anos desde 1984, podemos escrever 
ktkt eePP 5,190 
 
Podemos encontrar 
k
 usando o fato de que 
2,21P
 quando 
2t
, assim 
25,192,21  ke
 
Para encontrar 
k
, dividimos os dois lados por 19,5, obtendo 
2087,1
5,19
2,21  ke
 
Tomando o logaritmo natural dos dois lados, 
042,020834,0)ln()087,1ln( 2   kkek
 
Como 
%2,4042,0 k
, a população do Quênia estava crescendo a uma taxa contínua de 4,2% ao 
ano. Assim temos, 
teP 042,05,19
 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Para os exercícios de 1 a 11, resolva as equações usando logaritmos. 
1. 
217 x
 2. 
113 x
 3. 
12  xx e
 4. 
x)5(225
 
5. 
x)04,1(5020 
 6. 
x410 
 7. 
xx 5734 
 8. 
xe 2,057 
 
9. 
xe 4,060050 
 10. 
xx ee 53 42 
 11. 
xx e1727 
 
Nos exercícios 12 a 17, esboce o gráfico associado a equação dada. 
12. 
xy 3/1log
 13. 
xy 3log
 14. 
xy 2ln
 
54 | P á g i n a 
 
15. 
xy 2
 e 
xy 2log
 16. 
xey 3
 e 
xy 3ln
 
Obs: Utilize o mesmo sistema de coordenadas nos exercícios 15 e 16 
17. Uma centena de quilogramas de uma substância radioativa decai para 40kg em 10 anos. Quanto 
permanece após 20 anos. 
18. Se o tamanho de uma colônia de bactérias dobra a cada 5 horas, quando tempo vai levar para a 
colônia triplicar? 
19. Encontre a meia-vida de uma substância radioativa que é reduzida em 30% em 20 horas. 
20. A pressão atmosférica 
P
 decai exponencialmente com a altura h, em metros, acima da superfície 
da terra: 
hePP 00012,00

 
onde 
0P
 é a pressão atmosférica no nível do mar. 
(a) No topo da montanha McKinley, com 6198 metros de altura, qual é a pressão atmosférica, como 
percentual da pressão no nível do mar? 
(b) A altitude de voo de um avião comercial comum é em torno de 12000 metros. A essa altitude, qual 
é a pressão atmosférica, em percentual da pressão no nível do mar? 
21. O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade 
P
 de determinado poluente 
(em mg/l) está diminuindo de acordo com a função 
ktePP  0
, onde t é o tempo em horas. Se 10% da 
poluição são removidos nas cinco primeiras horas: 
(a) Qual o percentual de poluição que permanece após 10 horas? 
(b) Quanto tempo vai levar para que a poluição seja reduzida de 50%? 
(c) Faça um gráfico da poluição em função do tempo. Mostre os resultados de seus cálculos no gráfico. 
(d) Explique porque a quantidade de poluentes pode diminuir dessa forma. 
 
22. Uma tela, pintada, supostamente por Vermeer (1632-1675), contém 99,5% de seu carbono-14 ( 
meia-vida de 5730 anos). Decida, dessa informação, se a tela é falsa. Explique seu raciocínio. 
23. A meia vida do estrôncio-90 radioativo é de 29 anos. Em 1960, foi liberada na atmosfera estrôncio-
90 radioativo, durante testes de armas nucleares, que foi absorvido pelos ossos das pessoas. Quantos 
anos levam para restar apenas 10% da quantidade original absorvida? 
23. Magnitude de Terremotos. Na escala Richter, a magnitude R de um terremoto é dada pela fórmula 
0
log
I
I
R 
 
55 | P á g i n a 
 
onde 
I
é a intensidade do terremoto que está sendo medida e 
0I
 é a referência padrão de 
intensidade. 
(a) Qual a intensidade 
I
de um terremoto de magnitude R= 5 em relação à intensidade padrão 
0I
? 
(b) Expresse a intensidade 
I
 de um terremoto de magnitude R = 8 em relação à intensidade padrão 
0I
. Quantas vezes a intensidade de um terremoto de magnitude R = 8 é maior que um terremoto R = 
5? 
(c) Um dos maiores terremotos das últimas décadas aconteceu no Chile em 1960. Esse terremoto 
matou 1655 pessoas e atingiu magnitude de 9,5 na escala Richter. Quantas vezes esse terremoto é 
maior do que a intensidade de um terremoto de magnitude R = 6,2 ( o maior que já ocorreu no Brasil 
Vitória – ES)? 
 
RESPOSTAS DE PROBLEMAS SELECIONADOS. 
1. 
24,0
 3. 
26,3
 5. 
4,23
 7. 
1,1
 9. 
212,6
 11. 
26,0
 
13. 14. 15. 
 
 
 
17. 16kg 19. 11,514 horas 21.(a) 81% (b) 32,9 horas16kg 23. 96,34 anos 
 
Funções Trigonométricas 
 
A trigonometria originou-se como parte do estudo dos triângulos. O nome tri-gono-metria significa 
medida de figuras com três lados e as primeiras definições de funções trigonométricas foram em 
termos de triângulos. Abaixo as relações trigonométricas em um triângulo retângulo: 
 
No entanto, as funções trigonométricas também podem ser definidas usando-se o círculo unitário, 
uma definição que as faz periódicas. Muitos processos que ocorrem naturalmentesão periódicos 
56 | P á g i n a 
 
também. O nível de água em uma bacia sujeita às marés, a pressão sanguínea em um coração, uma 
corrente elétrica alternada e a posição de moléculas no ar transmitindo uma nota musical variam 
regularmente. Tais fenômenos são representados por funções trigonométricas. Vamos usar as três 
funções trigonométricas encontradas em calculadoras: o seno, o cosseno e a tangente. 
Existem duas maneiras usadas normalmente para representar a variável de funções trigonométricas: 
radianos e graus. As fórmulas de cálculo, como você verá, ficam mais simples em radianos do que em 
graus. Um ângulo de 1 radiano é definido como sendo o ângulo no centro de um círculo unitário que 
limita um arco de comprimento 1, medida no sentido trigonométrico, ou seja, ao contrário dos 
ponteiros de um relógio, ou anti-horário. Um círculo unitário tem raio 1. 
 
É útil pensar em ângulos como rotações, já que podemos usar ângulos maiores do que 360°; por 
exemplo, um ângulo de 720° representa duas rotações completas no sentido trigonométrico. Como 
uma rotação completa de 360° delimita um arco de comprimento 
2
, a circunferência do círculo, 
segue que 
360° 

 
2
 radianos, logo 180° 

 

 radianos. 
Em outras palavras, 1 radiano = 

º180
, de modo que 1 radiano é em torno de 60°. A palavra radiano 
não é dita, muitas vezes, de modo que um ângulo ou rotação sem unidades significa que está em 
radianos. Radianos são úteis para se calcular o comprimento de um arco em qualquer círculo. Se o 
círculo tem raio r e o arco é delimitado por um ângulo central 

, como na figura abaixo, temos, então, 
o comprimento s do arco pode ser dado pela seguinte relação: 
 
 
 
57 | P á g i n a 
 
Funções Trigonométricas e seus gráficos 
Em cálculo convencionamos usar sempre a medida de ângulos em radianos (exceto quando 
explicitamente mencionado). Por exemplo, quando usamos a função 
xsenxf )(
, deve ser 
entendido que 
xsen
 significa o seno de um ângulo cuja medida é 
x
 Assim, os gráficos das funções 
seno e cosseno estão nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
Observe que tanto para a função seno quanto para a função cosseno o domínio é 
),( 
 e a 
variação é o intervalo fechado [— 1, 1]. Assim, para todos os valores de 
x
 temos 
 
ou, em termos valores absolutos, 
 
Os zeros das funções seno e cosseno ocorrem da seguinte maneira: 
 Nos múltiplos inteiros de 

 temos
xsen
= 0, isto é, para 
nx 
 em que 
n
é um inteiro. 
58 | P á g i n a 
 
 Nos múltiplos inteiros de 

 somados com 
2

 temos 
0cos x
, isto é, para 


nx 
2
 em 
que 
n
é um inteiro. 
Uma propriedade importante das funções seno e cosseno é que elas são periódicas com um período 
2
. Isso significa que, para todos os valores de x, 
 
A natureza periódica dessas funções torna-as adequadas à modelagem de fenômenos repetitivos, tais 
como ondas, cordas vibrantes e ondas sonoras. 
Outra função trigonométrica importante trata-se da função tangente, que relaciona-se com as funções 
seno e cosseno pela equação 
 
e seu gráfico está na figura abaixo. Ela não está definida, quando 
0cos x
, isto é, quando 
 nnx ,
2

. Sua variação é 
),( 
. Observe que a função tangente tem período 

: 
 
As três funções trigonométricas remanescentes, cossecante, secante e cotangente, são os recíprocos 
das funções seno, cosseno e tangente. 
 
 
 
 
 
59 | P á g i n a 
 
6. Interpretação de Gráficos – Taxas de Crescimento e Decrescimento 
Nesta seção usaremos gráficos de funções para descrever e interpretar informações sobre de taxas de 
variação, crescimento e decrescimento de curvas de funções. 
Quando uma função 
)(xf
 cresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para cima; quando ela 
cresce a taxas decrescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo. 
Basicamente, em cada intervalo considerado, estas são as três formas de crescimento: 
 crescer linearmente, com taxa de variação constante; 
 
 crescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes, o que faz com 
que o gráfico resulte encurvado para cima; 
 
 crescer cada vez mais lentamente, o que faz com que o gráfico resulte encurvado para baixo. 
O gráfico a seguir ilustra as três formas de crescimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De forma análoga, em dado intervalo, uma função pode decrescer de três modos distintos: 
 decrescer linearmente, com taxa de variação constante; 
 
 decrescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes em valor 
absoluto (as taxas são negativas); 
 
 decrescer cada vez mais lentamente, ou seja, com taxas de variação decrescentes em valor 
absoluto (as taxas são negativas). 
O gráfico a seguir ilustra as três formas de decrescimento: 
 
60 | P á g i n a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando uma função decresce a taxas decrescentes seu gráfico fica encurvado para cima; quando ela 
decresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo. 
Exemplo: O gráfico a seguir mostra a evolução mensal do custo da cesta básica na cidade de 
Piracicaba-SP entre janeiro e setembro de 2012. Fonte: ICB-ESALQ/FEALQ. 
 
A partir do gráfico é possível tirar algumas conclusões: 
Entre Janeiro e Fevereiro o preço da cesta básica decresce a uma taxa decrescente. Isso significa que o 
preço está diminuído e a intensidade dessa redução também está diminuindo. 
Entre Abril e Junho o preço da cesta básica cresce a uma taxa decrescente. Isso significa que o preço 
está crescendo e a intensidade desse crescimento está diminuindo. Alguns economistas diriam a que o 
preço da cesta básica está desacelerando. 
R$ 369,32 
R$ 363,01 
R$ 364,28 
R$ 369,84 
R$ 374,28 
R$ 376,99 
R$ 374,37 
R$ 375,01 
R$ 392,25 
R$ 355,00
R$ 360,00
R$ 365,00
R$ 370,00
R$ 375,00
R$ 380,00
R$ 385,00
R$ 390,00
R$ 395,00
Preço da Cesta Básica 
61 | P á g i n a 
 
Entre Junho e Julho o preço da cesta básica decresce a uma taxa crescente. Isso significa que o preço 
está decrescendo e a intensidade desse decrescimento está aumentando. 
Entre Agosto e Setembro o preço da cesta básica cresce a uma taxa crescente. Isso significa que o 
preço está crescendo e a intensidade desse crescimento está aumentando. Alguns economistas diriam 
a que o preço da cesta básica está acelerando. 
 
Exercícios 
Os gráficos a seguir representam o preço médio 
P
 dos alimentos de uma cesta básica, em diferentes 
países, em função do tempo 
t
, ao longo de determinado ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
1) Pergunta-se: 
a) Em que país os preços estiveram estabilizados ao longo do ano? 
b) Em que país os preços cresceram à taxa constante? 
c) Em que país os preços cresceram a taxas crescentes? 
d) Em que país os preços decresceram à taxa constante? 
e) Em que país os preços cresceram a taxas decrescentes? 
f) Em que país os preços decresceram a taxas decrescentes? 
63 | P á g i n a 
 
g) Em que país os preços inicialmente cresceram à taxa constante, e, posteriormente, cresceram a 
taxas decrescentes? 
i) Em que país os preços inicialmente cresceram a taxas crescentes, depois cresceram a taxas 
decrescentes? 
j) Em que país os preços inicialmente decresceram a taxas crescentes, depois decresceram a taxas 
decrescentes?