Aula1 JuroSimples 2015

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UNIP – Tatuapé – Matemática Financeira - 
	:. Apostila 1
	
	
	:. Conceitos básicos: Capital, Juro, Taxa, Prazo, Montante
	:. Capitalização Simples
	:::. Juros simples utilizando o prazo exato e o prazo comercial
	:::. Desconto Simples
Conceitos Básicos
Capital
Em Matemática Financeira, entende-se por capital qualquer valor expresso em dinheiro e disponível em uma determinada data.
O capital que dá início a uma dada operação financeira é chamado de capital inicial ou principal. 
Ora indica-se o capital inicial por C (Capital), ora P (Principal), ora PV (present value).
Juro
É a remuneração que o tomador de um empréstimo deve pagar ao dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro. 
Indicaremos o juro por J.
Quem empresta dinheiro a alguém espera recebê-lo, depois de um certo tempo, acrescido de uma quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro.
quantia emprestada = quantia emprestada + adicional
A quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro emprestado é o que chamamos de juro.
Prazo
É o tempo que decorre desde o início até o final de uma dada operação financeira.
O prazo é contado em períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre, ano, etc.).
Ora indica-se o prazo por t (tempo), ora por n.
Na prática, o prazo pode ser contado a partir de duas convenções:
Prazo exato: é aquele que leva em conta o chamado ano civil, no qual os dias são contados pelo calendário, isto é, o mês pode ter 28 dias (fevereiro), 29 dias (fevereiro em anos bissextos), 30 dias (abril, junho, setembro, novembro) ou 31 dias (janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro ou dezembro); e o ano pode ter 365 dias ou 366 dias (anos bissextos).
Observação: a fim de agilizar e facilitar a contagem do número de dias entre duas datas do ano civil, apresentaremos na última página uma tabela com esse fim.
Prazo Comercial (ou aproximado): é o que leva em conta o chamado ano comercial, isto é, aquele em que o mês (qualquer que seja ele) é considerado como tendo 30 dias e o ano (qualquer que seja ele), 360 dias.
Taxa de juro
É a razão entre o juro obtido no fim do primeiro período financeiro e o capital inicial.
A Taxa de juro refere-se sempre a um dado período financeiro: ao dia (ad), ao mês (am), ao bimestre (ab), ao semestre (as), ao ano (aa), etc.
Indicaremos a taxa de juro por i.
A taxa de juro (i) costuma apresentar-se, principalmente, de duas maneiras.
Forma percentual: representa o juro de 100 unidades do capital, no período tomado como unidade de tempo. Exemplo: 30%am = 30 por cento ao mês.
Forma unitária (ou centesimal): representa o juro de 1 unidade do capital, no período tomado como unidade de tempo. Exemplo: i = 0,3 am.
Montante
Montante ou valor acumulado, relativo à aplicação de um capital C, é definido como o capital C acrescido de seu respectivo juro J.
Ora indica-se o montante por M (montante), ora por FV (Future Value).
Exercícios:
Qual o prazo de uma aplicação financeira iniciada em 7 de junho de 2012 e com vencimento em 14 de novembro de 2012 ?
Um empréstimo foi feito em 3 de fevereiro de 1990, com prazo de pagamento para 30 dias. Tendo em vista o critério do prazo exato, qual é a data de vencimento dessa operação ?
Reduzir pelo critério do prazo comercial, 3 anos, 4 meses e 12 dias a: um período anual, um período mensal e um período diário.
A quantos anos, meses e dias correspondem, pelo critério do prazo comercial, 1.926 dias ?
�
Capitalização Simples
Vamos supor o seguinte exemplo:
Um Capital inicial de $ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% ao ano:
�
Diagrama 1 – Juros Simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.
Valor Principal ou simplesmente principal ou capital é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. 
Transformando em fórmula temos:
	J = C . i . n
Onde:
	J=juros
C=principal (capital)
i=taxa de juros
n=número de períodos
�
	Dados:
	F. Algébrica
	
	HP 12c
	TECLAS
	C = 1.000
	J = C . i . n
	
	1.000
	ENTER
	i = 10%
	J = 1.000 . 0,10 . 3
	
	0,10
	
	n = 3 meses
	J = 1.000 . 0,3
	
	3
	
	J = ?
	J = 300
	
	J = 300
Cálculo 1 – Juros Simples
Cálculo do Montante a Juros Simples
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
Montante = Capital + Juros
M = C + J
Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Número de períodos)
M = C [1 + (i. n)]
	Dados:
	F. Algébrica
	
	HP 12c
	TECLAS
	C = 1.000
	M = C . [1 + i . n )]
	
	1.000
	ENTER
	i = 10%
	M = 1.000 . [ 1 + 0,10 . 3)]
	
	0,10
	ENTER
	n = 3 meses
	M = 1.000 . [ 1 + 0,3]
	
	3
	
	M = ?
	M = 1.000 . 1,3
	
	1
	
	
	M = 1.300
	
	
	
	
	
	
	M = 1.300
Cálculo 2 – Montante a Juros Simples
Cálculo do Capital a Juros Simples
1ª) SOLUÇÃO:
	Fórmula do Capital
	
	C =
	 J
	
	 i . n
	
	
	Dados:
	F. Algébrica
	
	HP 12c
	TECLAS
	J = 300
	C =
	J
	
	300
	ENTER
	i = 10% a.m.
	
	i . n
	
	0,10
	ENTER
	N = 3 meses
	C =
	300
	
	3
	
	C = ?
	
	0,10 . 3
	
	0,30 Visor
	
	
	C = 
	300
	
	C = 1.000
	
	
	0,30
	
	
	
	
	C = 1.000
	
	
	
Cálculo 3 – Capital a Juros Simples
�
2ª) SOLUÇÃO: Quando não tiver o valor dos juros a outra opção é a fórmula do Montante.
M = C [1 + (i. n)]
	Dados:
	F. Algébrica
	
	HP 12c
	TECLAS
	M = 1.300
	M = C . [1 + (i . n )]
	
	1.300
	ENTER
	i = 10%
	1.300 = C . [ 1 + 0,10 . 3 ]
	
	0,10
	ENTER
	N = 3 meses
	1.300 = C . [ 1 + 0,3]]
	
	3
	
	C = ?
	1.300 = C . 1,3
	
	1
	
	
	C = 
	1.300
	
	1,3 Visor
	
	
	
	1,3
	
	C = 1.000
	
	
	C = 1.000
	
	
	
Cálculo 4 – Capital a Juros Simples
Cálculo do Período a Juros Simples
1ª) Solução:
	Fórmula do Período
	
	n =
	 J
	
	 C x i
	
	
	Dados:
	F. Algébrica
	
	HP 12c
	TECLAS
	M = 1.300
	n =
	J
	
	300
	ENTER
	C = 1.000
	
	C . i
	
	1.000
	ENTER
	i = 10% a.m.
	n =
	300
	
	0,1
	
	n = ?
	
	1.000 . 0,1
	
	100 (Visor)
	
	
	n =
	300
	
	n = 3
	
	
	100
	
	
	
	
	
	n = 3 
	
	
	
Cálculo 5 – Período a Juros Simples
�
2ª Solução: 
	Fórmula do Período
	
	J = C . i . n
	Dados:
	F. Algébrica
	
	HP 12c
	TECLAS
	M = 1.300
	J = C . i . n 
	
	300
	ENTER
	C = 1.000
	300 = 1.000 . 0,10 . n 
	
	1.000
	
	J = 300
	300
	 = 0,10 . n 
	
	0,3
	Mémoria
	i = 10% a.m.
	1.000
	
	
	0,1
	
	n = ?
	0,3 = 0,10 . n 
	
	n = 3 meses
	
	n = 
	0,3
	
	
	
	
	
	0,1
	
	
	
	n = 3 meses
	
	
Cálculo 6 – Período Simples – Fórmula dos Juros
Cálculo da Taxa a Juros Simples
1ª) Solução:
	Fórmula da Taxa
	
	i =
	J
	
	C . n
	
	
	Dados:
	F. Algébrica
	
	HP 12c
	TECLAS
	C = 1.000
	i =
	 J
	
	300
	ENTER
	N = 3 meses
	
	 C . n
	
	1.000
	ENTER
	J = 300
	i =
	 300
	
	3
	
	i = ?
	
	 1.000 . 3
	
	3.000 (Visor)
	
	
	i =
	 300
	
	100
	
	
	
	 3.000
	
	I = 10% ao mês
	
	i = 
	0,1
	
	
	
	i =
	0,1 . 100
	
	
	
	
	i = 
	10% ao mês
	
	
	
Cálculo 7 – Taxa de Juros Simples – Fórmula da Taxa
2ª Solução: 
	Fórmula da Taxa
	
	J = C . i . n
	Dados:
	F. Algébrica
	
	HP 12c
	TECLAS
	J = 300
	J = C . i . n 
	
	300
	ENTER
	C = 1.000
	300 = 1.000 . i . 3
	
	1.000
	ENTER
	N = 3 meses
	300 = 3000 . i
	
	3
	
	i = ?
	i =
 
	300
	
	3.000 visor
	
	
	
	3.000
	
	i = 0,10
	
	i = 0,10
	
	i = 10% a.m.
	
	i = 10% a.m.
	
	
	
Cálculo 8 – Taxa de Juros Simples – Fórmula dos Juros
Outros Exemplos:
1) Calcule o montante resultante da aplicaçãode R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
M = C . [ 1 + (i.n) ]
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
O Segredo da Matemática Financeira
O segredo da matemática financeira está na taxa e no tempo. Para resolver qualquer problema de matemática financeira, devemos sempre nos preocupar com a taxa e o tempo, antes de substituir os dados do problema numa determinada fórmula financeira. Ou seja, só substitua os dados do problema numa determinada fórmula financeira após verificar se a taxa e o tempo estão na mesma unidade. Em outras palavras, significa dizer que se a taxa for, por exemplo, 12% a. m. e o tempo estiver diferente de mês, então deve-se converter o tempo para mês.
�
2) Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
É dividido por 6 porque um trimestre tem 6 quinzenas, logo 4m15d = 0.02167.
0.02167 X 9 = 0.195
É multiplicado por 9 porque 4 meses e 15 dias totalizam 9 quinzenas.
J = 1.200,00 x 0.195 = 234,00
3) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
Temos: J = C.i.n
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:
J = 40.000,00 x 0,001.125 = 5.000,00
4) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
Temos imediatamente: J = C.i.n ou seja: 3500 = C.(1,2/100).(75/30)
Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. 
Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = C . 0,030; Daí, vem:
C = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
5) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M = 2.C	Dobrar o capital
Dados: i = 150/100 = 1,5
Fórmula: M = C [1 + (i.n)]
Desenvolvimento:
2C = C [1 + 1,5 n]
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses				(2/3) . 12
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Exercícios sobre Juros Simples
Resolver os exercícios a seguir. 
Deve-se demonstrar os passos/fórmula utilizadas para encontrar a resposta.
Qual é o rendimento produzido por uma aplicação de $ 3.000,00 durante 8 meses a uma taxa de juros simples 5% a.m.? 
Resposta => J = 1.200,00
Qual é o rendimento produzido por uma aplicação de $ 2.400,00 durante 17 meses a uma taxa de 60% a.a.? 
Resposta => J = 2.040,00
Determine qual é o montante de um capital de $ 5.000,00 aplicado a uma taxa de 3% ao mês, durante 5 meses? 
Resposta => M = 5.750,00
Determine qual é o montante de um capital de 19.000,00 aplicado a uma taxa de 4% ao bimestre, após um período de 12 meses? 
Resposta => M = 23,560,00
Qual é o valor de um capital investido, que após 7 meses, na taxa de 4% ao mês produziu um montante de $ 15.000,00? 
Resposta => C = 11.718,75
Em quantos meses uma aplicação de $ 28.000 produz um montante de $ 38.080,00 à taxa de juros simples de 48% a.a.? 
Resposta => n = 9
Determine qual é taxa de juros simples numa aplicação de $ 20.000,00 que produz, um rendimento de $ 2.000,00 após 5 meses? 
Resposta => i = 2% a.m.
Qual é taxa de juros anual e mensal simples, numa aplicação de $ 1.300,00 que produz após um ano, um montante de 1.750,00? 
Resposta =>i = 34,62% a.a.
Um banco emprestou a quantia de R$70.000,00, à taxa de 91,25%aa, no dia 2 de agosto de 1995, com data de vencimento para 4 de dezembro de 1995. Quanto recebeu de juros simples exato ? 
Resposta =>J = 21.700,00.
Em quantos meses um capital dobra de valor, se aplicado a juro simples de 2%am ?
Resposta =>n = 50 meses.
�
Períodos
Capital Inicial
1.000,00
0
100
M1
J 1
( i ) Taxa de juros = 10%
1
2
3
1.100,00
1.200,00
1.300,00
100
100
M2
M3
J 2
J 3
n
_1250683325/ole-[42, 4D, 06, 0C, 00, 00, 00, 00]
_1250683741/ole-[42, 4D, 96, 0B, 00, 00, 00, 00]
_1250683301/ole-[42, 4D, 9A, 0B, 00, 00, 00, 00]
_1250683292/ole-[42, 4D, 9A, 0B, 00, 00, 00, 00]