livro Equilíbrio do ponto material

Prévia do material em texto

www.soexatas.com Página 1 
 
Equilíbrio do ponto material 
• “A resultante do sistema de forças aplicadas a um ponto material em equilíbrio deve ser constantemente nula 
��� = 0�". 
• Exercícios clássicos: 
1. (Ibmecrj 2013) Um bloco de 6 kg de massa é mantido em repouso, encostado em uma parede vertical, aplicando-se a ele uma 
força horizontal F
�
. Se a aceleração da gravidade vale 10 m/s
2
 e o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a parede é 0,2, 
qual é o menor valor de F
�
, em Newtons para que o bloco permaneça em repouso? 
a) 60 b) 120 c) 180 d) 240 e) 300 
 
Resposta: 
 [E] 
 
A figura mostra as forças que agem no bloco: peso, F
�
 e a força de contato com a parede que já está decomposta em normal e 
força de atrito. 
 
 
 
Para haver equilíbrio a resultante deve ser nula, portanto: 
 
max(Fat) P N mg 0,2N 60 N 300N
F N F 300N
μ= → = → = → =
= → =
 
 
 
2. (Uel 2012) Uma pessoa, de massa 80,0 kg, consegue aplicar uma força de tração máxima 
de 800,0 N. Um corpo de massa M necessita ser levantado como indicado na figura a seguir. 
O coeficiente de atrito estático entre a sola do sapato da pessoa e o chão de concreto é 
e
1,0µ = . 
Faça um esboço de todas as forças que atuam em todo o sistema e determine qual a maior 
massa M que pode ser levantada pela pessoa sem que esta deslize, para um ângulo 
45ºθ = . 
 
 Resposta: 
 Esboço das forças que atuam no sistema: 
 
 
 
Condição da questão: 
max
max
T 800N
P' T M.g T M.10 800
M 80kg
=
= → = → =
=
 
 
Para que a pessoa levante a caixa sem deslizar, temos: 
Na pessoa: A T.cosθ= 
Na caixa: T P' M.g= = 
Ou seja, A T.cos A P'.cos A M.g.cosθ θ θ= → = → = (EQUAÇÃO 1) 
 
Força de atrito que atua na pessoa: A .Nμ= 
Como: N T.sen P N P T.sen N m.g T.senθ θ θ+ = → = − → = − 
Teremos: A .N .(m.g T.sen )μ μ θ= = − 
 
Substituindo na equação 1: 
A M.g.cos .(m.g T.sen ) M.g.cosθ μ θ θ= → − = 
Lembre-se que: T P' M.g= = 
www.soexatas.com Página 2 
 
Ou seja: .(m.g T.sen ) M.g.cos .(m.g M.g.sen ) M.g.cosμ θ θ μ θ θ− = → − = 
 
Substituindo os valores: 
2 2
.(m.g M.g.sen ) M.g.cos 1.(80.10 M.10.sen45º ) M.10.cos 45º 800 M.10 M.10.
2 2
μ θ θ− = → − = → − = M 40 2kg= 
M<Mmax, a resposta satisfaz a questão. 
 
3. (G1 - ifsp 2012) Para facilitar a movimentação vertical de motores pesados em sua oficina, um mecânico montou a associação 
de roldanas mostrada de forma simplificada na figura. Todos os fios, roldanas, os ganchos 1 e 2 e a haste horizontal têm massas 
desprezíveis. Um motor de peso P será pendurado no gancho 1 e um contrapeso, de peso 
P
5
, é permanentemente mantido na 
posição indicada na montagem. 
 
 
 
O motor permanecerá em repouso, sem contato com o solo, se no gancho 2, preso no contrapeso, for pendurado outro corpo 
de peso 
a) 
P
2
 b) 
P
4
 c) 
P
8
 d) 
P
10
 e) 
P
20
. 
 
Resposta: 
 [E] 
 
 
 
A figura mostra como se distribuem as forças pelo sistema de polias. 
Analisando o equilíbrio na extremidade direita, temos: 
 
P P P P 5P 4P
P' P ' 
5 4 4 5 20
P
P' .
20
−
+ = ⇒ = − = ⇒
=
 
 
 
 
4. (Ufpr 2012) Três blocos de massas 1m , 2m e 3m , respectivamente, estão unidos por cordas de massa desprezível, conforme 
mostrado na figura. O sistema encontra-se em equilíbrio estático. Considere que não há atrito no movimento da roldana e que o 
bloco de massa 1m está sobre uma superfície horizontal. Assinale a alternativa que apresenta corretamente (em função de 1m
e 3m ) o coeficiente de atrito estático entre o bloco de massa 1m e a superfície em que ele está apoiado. 
 
 
a) 3
1
m
2m
 b) 1
3
m
2m
 c) 
3
1
3m
2m
 d) 
1
3
3m
2m
 e) 
1
3
3m
m
 
 
www.soexatas.com Página 3 
 
Resposta: 
 [A] 
A figura mostra as forças que agem sobre cada bloco e a junção dos três fios: 
 
 
 
Isolando a junção → 3 1 3 1T cos60 T m .gcos60 T° = → ° = (01) 
 
Isolando o bloco 1 → 1 1 1N .m .g Tμ μ= = (02) 
 
Igualando 02 e 01, vem: 31 3
1
m1
m g m g.
2 2m
μ μ= → = . 
 
 
5. (Fuvest 2012) Um móbile pendurado no teto tem três elefantezinhos presos um ao outro por fios, como 
mostra a figura. As massas dos elefantes de cima, do meio e de baixo são, respectivamente, 20g, 30g e 70g. 
Os valores de tensão, em newtons, nos fios superior, médio e inferior são, respectivamente, iguais a: 
a) 1,2; 1,0; 0,7. b) 1,2; 0,5; 0,2. c) 0,7; 0,3; 0,2. d) 0,2; 0,5; 1,2. e) 0,2; 0,3; 0,7. 
 
Note e adote: Desconsidere as massas dos fios. 
Aceleração da gravidade 
2g 10 m/s= . 
 
Resposta: 
 [A] 
 
Dados: mS = 20 g = 20×10
–3
 kg; mS = 30 g = 30×10
–3
 kg; mS = 70 g = 70×10
–3
 kg; g = 10 m/s
2
. 
 
1ª Solução: 
 
Podemos pensar de uma maneira simples: 
 
– Se cortarmos o fio superior, os três elefantes cairão. Logo, a tração nesse fio superior equilibra os pesos dos três elefantes. 
Sendo TS a tensão nesse fio, temos: 
( ) ( ) 3S C M B C M B
S
T P P P m m m g 20 30 70 10 10 
T 1,2 N.
− = + + = + + = + + × ⇒ 
=
 
– Se cortarmos o fio médio, cairão os elefantes do meio e de baixo. Logo, a tração nesse fio do meio equilibra os pesos desses 
dois elefantes. Sendo TM a tensão nesse fio, temos:
 
( ) ( ) 3M M B M B
S
T P P m m g 30 70 10 10 
T 1,0 N.
− = + = + = + × ⇒ 
=
 
 
– Analogamente, se cortarmos o fio inferior, cairá apenas o elefante de baixo. Logo, a tração nesse fio equilibra o peso desse 
elefante. Sendo TB a tensão nesse fio, temos: 
3
B B B
B
T P m g 70 10 10 
T 0,7 N.
−= = = × × ⇒
=
 
 
 
 
2ª Solução: 
 
Racionando de uma maneira mais técnica, analisemos o diagrama de forças sobre cada móbile. 
 
 
 
www.soexatas.com Página 4 
 
De Cima (C) Do Meio (M) De Baixo (B) 
 
Como se trata de um sistema em equilíbrio, a resultante das forças em cada elefante é nula. Assim: 
 
( )
( )
S C M
M M B S C M B S C M B
B B
3 2
S S
S
(C) T P T 0
(M) T P T 0 + T P P P 0 T P P P 
(B) T P 0
T 20 30 70 10 10 T 120 10 
T 1,2 N.
− −
 ⇒ − − =

⇒ − − = ⇒ − − − = ⇒ = + + ⇒
 ⇒ − =
 = + + × × ⇒ = × ⇒ 
=
 
 
Em (B): 
3
B B B B
B
T P 0 T P 70 10 10 
T 0,7 N.
−− = ⇒ = = × × ⇒
=
 
Em (M):
 ( ) 3M M B M B B
B
T P T 0 T P T 30 70 10 10 
T 1,0 N.
− − − = ⇒ = + = + × × ⇒ 
=
 
 
6. (Ifsul 2011) Uma caixa A, de peso igual a 300 N, é suspensa por duas cordas B e C conforme a figura abaixo. 
 
 
 
O valor da tração na corda B é igual a 
a) 150,0 N. b) 259,8 N. c) 346,4 N. d) 600,0 N. 
 
Resposta: 
 [D] 
 
Dado: P = 300 N 
A Figura 1 mostra as forças que agem no nó. Como a caixa está em repouso, a resultante das forças que agem sobre ela é nula. 
Então pela regra poligonal, elas devem formar um triângulo, como mostrado na Figura 2. 
 
 
 
Da Figura 2: 
 
B
B
B B
P 1 300
sen30 T 600 N.
T 2 T
° = ⇒ = ⇒ = 
 
www.soexatas.com Página 5 
 
7. (Espcex (Aman) 2011) Um bloco de massa m = 24 kg é mantido suspenso em equilíbrio pelas cordas L e Q, inextensíveis e de 
massas desprezíveis, conforme figura abaixo. A corda L forma um ângulo de 90° 
com a parede e a corda Q forma um ângulo de 37° com o teto. Considerando a 
aceleração da gravidade igual a 
210m / s , o valor da força de tração que a corda 
L exerce na parede é de: 
 
(Dados: cos 37° = 0,8 e sen 37° = 0,6) 
 
a) 144 N b) 180 Nc) 192 N d) 240 N 
 
 
Resposta: 
 [E] 
Observe a figura abaixo. 
 
Para haver equilíbrio, a resultante de P
�
e LT
�
deve ter o mesmo módulo e ser 
oposta a QT
�
. Sendo assim e, a partir do triângulo sombreado, podemos 
escrever: 
0
L
L L
P 0,6 240
tg37 T 320N
T 0,8 T
= → = → = 
 
 
8. (Udesc 2010) Uma pessoa começa a empurrar um bloco de peso igual a 500 N, em repouso sobre um plano inclinado de 30o, 
com uma força crescente F, paralela ao plano e dirigida para baixo. 
Dados: cos 30º = 0,9; sen 30º = 0,5. 
 
 O coeficiente de atrito estático entre o plano e o bloco é 0,70. O valor do módulo da força para o qual 
o bloco começará a descer o plano inclinado é: 
a) superior a 350 N b) superior a 65 N c) superior a 315 N d) igual a 175 N e) igual a 500 N 
 
Resposta: 
 [B] 
 
A figura mostra as forças que agem no bloco. 
 
 
Como o corpo está em repouso → 
R
F 0= 
0N Pcos30 500 0,9 450N= = × = 
0F Psen30 Fat N F 500.0,5 0,7 450 F 65N+ = = µ → + = × → = 
Para haver movimento → F 65N> 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Junior, Francisco R.; Ferraro, Nicolau G. ; Soares, Paulo A. de Toledo. Fundamentos da física 1. 9ª Edição. São Paulo, moderna, 2007.