AUAL 8 Conjuntos e probabilidade

Prévia do material em texto

UNIDADE I: CONJUNTOS E PROBABILIDADES
PAU DOS FERROS - RN
AGOSTO DE 2016
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO: BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
BASES TECNOLÓGICAS (EMENTA):
 Ementa do curso de estatística:
2
I
Estatística descritiva
Variáveis aleatórias. 
Conjuntos e probabilidades
II
Distribuições de probabilidade. 
Distribuições especiais de probabilidade. 
Teoria da amostragem
Teoria da estimação
III
Testes de hipóteses. 
Regressão linear
Correlação.
MARCAR PROVA – 1º AVALIAÇÂO
 Data da 1º avaliação:
 TURMA 01: 30/08/2016 
 TURMA 02: 30/08/2016
 Data da entrega da lista de exercício:
 TURMA 1: Até o dia 30/08/2016
 TURMA 2: Até o dia 30/08/2016
3
CONJUNTOS E PROBABILIDADES
4
Grandes matemáticos – cientistas
Ordem cronológica;
5
INGLES
RUSSO
BRITÂNICO
Século 19 e 20
Conjuntos
1. Conjunto finito;
2. Conjunto infinito;
3. Conjunto unitário;
4. Conjunto Vazio;
5. Conjunto Universo;
6
Conjunto finito
 Esse tipo de conjunto representa uma quantidade
limitada de elementos ou termos (n) amostra.
Exemplo 1:
 O conjunto dos números compreendidos entre 1 e 10. E
nesse caso, será representado da seguinte maneira:
 REPRESENTAÇÂO = {x / 1 < x < 10} ou {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
7
Conjunto infinito
 Apresenta uma quantidade infinita ou ilimitada de
elementos ou termos presente na população - N.
Por exemplo:
 O conjunto dos números reais é considerado um
conjunto infinito - ℝ;
 O conjunto dos números inteiros também é
considerado infinito.
8
Conjunto unitário
 Esse conjunto é caracterizado por possuir apenas um 
único elemento.
Por exemplo:
 O conjunto dos números naturais compreendidos
entre 0 e 2. Nesse caso, existe somente um elemento, o
número 1.
 Representação {1}.
9
Conjunto Vazio
 O conjunto vazio não possui nenhum elemento, e sua
representação pode ser feita de duas maneiras
simbólicas diferentes, tais como: { } ou Ø.
Por exemplo:
 O conjunto dos números naturais antecessores ao 0
(zero) é considerado vazio;
10
Conjunto Universo (“U”)
 É o conjunto representativo de todos os elementos da
conjuntura na qual estamos trabalhando;
 Refere-se a todos os conjuntos inter-relacionados, ou
seja, representa uma agregação de todos os conjuntos;
 Na representação do conjunto universo, utilizamos a
descrição da letra maiúscula “U”.
11
Representação do “U”
 Reunião de todos os outros conjunto antecessores
dentro universo.
12
MENOR
MAIOR
Características de conjuntos
 Conjunto: A, B, C, ...
 Conjunto das vogas: a, e, i, o, u;
 Conjunto dos algarismos romanos: I, V, X, L, C, D, M.
 Conjunto dos números ímpares: 1, 3, 5, etc.
 Conjunto dos números pares: 2, 4, 6, etc.
 Conjunto dos números primos: 1,3, 5, 7, 11, 13, etc.
 Entre outros.
13
Principais características dos conjuntos
 Conjunto: Indicamos um conjunto, de maneira geral,
sempre com uma letra maiúscula A, B, C, etc.
 Subconjunto: Os elementos de um conjunto ou
subconjunto com letras minúsculas a, b, c, x, y, etc.
 Universo (U): É o conjunto representativo de todos os
elementos. Ex.: U={letras do alfabeto};
14
Conjuntos Numéricos
15
Quais são os conjuntos numéricos?
Temos então os seguintes conjuntos numéricos:
16
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
17
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA DE CONJUNTOS
 IGUALDADE DE CONJUNTOS 
 SUBCONJUNTOS 
 REUNIÃO OU UNIÃO
 INTERSEÇÃO
 SUBTRAÇÃO
 COMPLEMENTAR
 PARTIÇÃO
18
IGUALDADE DE CONJUNTOS 
 Dois conjuntos são iguais se, e somente se, quando
possuem exatamente os mesmos elementos,
independentemente da posição.
EXEMPLO:
 A = {0, 1, 2, 3, 4}
 B = {4, 3, 2, 1, 0}
 A = B (A igual a B).
19
SUBCONJUNTOS
 O conjunto A é um subconjunto do conjunto B se 
todos os elementos de A forem elementos de B.
 Nesse caso, então, A é um subconjunto de B, ou seja A 
∁ B. 
 Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, A ∁ A,
 O conjunto vazio (Ø), por convenção, é subconjunto 
de qualquer conjunto, Ø ∁ A.
20
CONJUNTOS UNIÃO “U”
 São todos os elementos dos conjuntos inter-
relacionados.
 Dados um conjunto A formado pelos elementos, A={a, 
b, c} e B = {c, d, j}.
21
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS 
 Dados dois conjuntos A e B, a interseção de A e B,
representada por A∩B , é o conjunto de elementos que
pertencem simultaneamente a A e a B.
22
e
SUBTRAÇÃO
 Dados o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 6,
7}, a diferença desses conjuntos é representada por outro
conjunto, chamado de CONJUNTO DIFERENÇA.
 Então os elementos de A – B serão os elementos do
conjunto A menos os elementos que pertencerem ao
conjunto B.
 Dados
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5};
B={5, 6, 7};
A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.
23
Conjunto complementar
 Dados dois conjuntos A e B, o complementar
de B em A, designado por A∖B, é o conjunto cujos
elementos de A não pertencem a B:
Exemplos:
 {1,2,3}∖{1,2}={3};
 {1,2}∖{1,2,3}=∅.
24
A∖B={x : x ∈ A ∀ x ∉ B}
Para todo x 
PARTIÇÃO DE CONJUNTOS
 Uma partição ou conjunto quociente de um conjunto não
vazio A é uma coleção partições (P) de subconjuntos não
vazios de A tal que:
1. Cada elemento de A pertence a algum dos conjuntos em
P;
2. Se A1 e A2 são elementos distintos, nesse caso, são
elementos distintos em P, então A1∩A2 = ∅.
3. Os conjuntos em P são chamados de blocos ou células da
partição.
25
Exemplo de partição
 • Exemplo A={1,2,3,5,7,9,11,13};
26
Probabilidade
27
Probabilidade
 Todo o processo de realizar observações e obter dados
é denominado de experimento.
 EXPERIMENTO ALEATÓRIO, divide-se em:
 Experimentos Determinísticos
 Experimentos Estocásticos ou Aleatórios
28
Experimentos Determinísticos
 São aqueles cujos resultados podem ser
determinados antes de sua realização.
 Por exemplo: quanto tempo levará um carro para
percorrer um trajeto de 200 km numa velocidade
média de 100 km/h?
 Não é necessário executar o experimento para
determinar a resposta: 2 horas.
29
Experimentos Estocásticos ou Aleatórios
 É uma sequência de experimentos, no qual cada um
tem um número finito de resultados, com uma dada
atribuição de probabilidade
 Esse tipo de experimento fica sujeito às leis do acaso;
 Exemplo:
 Ex.: faces de um dado; se vai chover amanhã, etc.
30
Espaço Amostral (S)
Definiremos Espaço Amostral (S) associado a um
experimento o conjunto de seus resultados possíveis;
 Conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer;
 O Espaço Amostral (S) pode ter dimensão finita ou
infinita;
 O espaço ou simbólico pode ser discreto ou
contínuo;
31
Exemplos de Espaço Amostral
 EXEMPLO 1: Em um experimento aleatório de um
lançamento de um dado, determine o espaço amostral?
 O espaço amostral (S) desse experimento é o conjunto 
representado por S = {1,2,3,4,5,6}.
 EXEMPLO 2: O espaço amostral (S) de um experimento
pode ser entendido como um lançamento de dois dados,
simultaneamente.
 Como ficaria o espaço amostral desse experimento
(primeira face e segunda face) = {????}
32
Exemplo
 Vamos construir o espaço amostral do lançamento de
dois dados;
 Espaço amostral dos dois dados são: S = {(1, 1), (1, 2), (1,
3) ,....(6,6)};
33
Eventos (E)
 Qualquer subconjunto do espaço amostral (S)
de um experimento aleatório.
34
Evento certo
Evento elemento
Evento impossível
Exemplos de Eventos
EXEMPLO 3: Calcular a probabilidade no lançamento
de um dado equilibrado, obtero resultado quando:
(a) Um resultado for igual a 4.
Solução: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }; n = (S) = 6
A = {4}; m = (E) = 1,
então P(A) = n(E)/n(S); P = 1/6 = 16,67%
(b) Um resultado ímpar.
A = { 1, 3, 5 }; m = (E) = 3, então:
P(A) = n(E)/n(S); P = 3 / 6 = 0,50 ou 50%
35
Quantidades de resultados possíveis 
Resultados possíveis
Exemplos de Eventos
 EXEMPLO 4: Uma urna contem bolas numeradas de 1
a 20, determine a probabilidade de que seja retirada ao
acaso uma bola contendo um número múltiplo de 4:
 P(A) = n(E)/n(S);
 P(A) = ????????/
36
Exemplos de Eventos
 Dados da questão:
 P(A) = n(E)/n(S);
 A = {4, 8, 12, 16, 20};
 n(E) = 5
 n(S) = 20
 P(A) = 5/20
 P(A) = 25%
37
MARCAR PROVA – 1º AVALIAÇÂO
 Data da 1º avaliação:
 TURMA 01: 30/08/2016 
 TURMA 02: 30/08/2016 
 Data da entrega da lista de exercício:
 TURMA 1: Até o dia 30/08/2016 
 TURMA 2: Até o dia 30/08/2016 
38