Exercícios resolvidos de Eletromagnetismo análise vetorial

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011
 
 –– AANNÁÁLLIISSEE
 
 VVEETTOORRIIAALL 
CAPÍTULO 01 
 
ANÁLISE VETORIAL 
 
1.1) Um vetor B� é dado por: zyx 32 aaaB
����
++= . Determine um vetor A
�
 de módulo igual 
a 3 e componente x unitária de modo que A
�
 e B
�
 sejam perpendiculares entre si. 
 
 Resolução: 
 
 Dados:





==⊥
++=
++=
1 x 3 
zyx
32
zyx
zyx
AB A
aaaA
aaaB
���
����
����
 (01) 
 
 3=A
�
 ⇒ 12 + y2 + z2 = 3 (02) 
 B A
��
⊥ ⇒ 0=• BA
��
 ⇒ 1 + 2y + 3z = 0 (03) 
 
 De (03): 
2
1z3y −−= (04) 
 
 Substituindo (04) em (02), temos: 
 07z6z13 3z
4
1z6z91 3z
2
1z31 22
2
2
2
=−+⇒=+
++
+⇒=+




 −−
+ 
 
 1a raiz 
13
7
z1 = (05) 
 2a raiz: 1z 2 −= (06) 
 
 Substituindo (05) em (04), temos: 
 
 
13
17y 
2
1
26
21
2
1
13
73
y 11 −=⇒−−=
−⋅−
= (07) 
 
 Substituindo (06) em (04), temos: 
 1y 
2
13
2
113y 22 =⇒
−
=
−−⋅−
=
)(
 (08) 
 
 Substituindo (05) e (07) em (01), temos: 
 
 zyx1 13
7
13
17
aaaA ���
�
+−= 
 
 Substituindo (06) e (08) em (01), temos: 
 
 zyx2 aaaA
���
−+= 
 
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 VVEETTOORRIIAALL 
1.2) Transforme cada um dos seguintes vetores para coordenadas cilíndricas no ponto dado: 
a) � �A ax= 5 em P (ρ = 4, φ = 120o , z = 2); 
b) � �B ay= 6 em Q (x = 4, y = 3, z = -1); 
c) zyx a4a2a4C
����
−−= em R (x = 2, y = 3, z = 5). 
 
Resolução: 
 
a) zaaaA
����
zAAA ++= φφρρ onde: 
 






=⇒•=•=
−=⇒−=−=•=•=
−=⇒==•=•=
05
334120555
52120555
zz AA
,AsensenA
,AcoscosA
zxz
x
x
aaaA
aaaA
aaaA
����
����
����
�
�
φφφφ
ρρρρ
φ
φ
 
 φρ aaA
��� 33452 ,, −−=∴ 
 
b) Transformando o ponto Q (x = 4, y = 3, z = -1) de coordenadas cartesianas para cilíndricas, 
temos: 
( ) ( )1z87365Q
 
5
4
5
3
8736
x
y
arctg 
5yx
zQ
22
−=°==⇒














=
=
⇒°=⇒=
=+=
= ;,;
cos
sen
,
;; φρ
φ
φ
φφ
ρ
φρ 
 
 mas: 
 zz aaaB
����
BBB ++= φφρρ onde: 








=⇒•=•=
=⇒⋅==•=•=
=⇒⋅==•=•=
06
84
5
4666
63
5
3666
zzyzz
y
y
BB
,BcosB
,BsenB
aaaB
aaaB
aaaB
����
����
����
φφφφ
ρρρρ
φ
φ
 
 φρ aaB
��� 8463 ,, +=∴ 
 
c) Transformando o ponto R (x = 2, y = 3, z = 5) de coordenadas cartesianas para cilíndricas, 
temos: 
 
( ) ( )5z315613R
 
13
2
13
3
3156
x
y
arctg 
13yx
zR
22
=°==⇒















=
=
⇒°=⇒=
=+=
= ;,;
cos
sen
,
;; φρ
φ
φ
φφ
ρ
φρ 
 
 mas: 
 
 zaaaC
����
zCCC ++= φφρρ onde: 
 
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








−=⇒⋅−−=⋅=
−=⇒⋅−⋅−=−−=⋅−−=⋅=
=⇒⋅−⋅=−=⋅−−=⋅=
4424
4384
13
22
13
3424424
5550
13
32
13
2424424
zz C)(C
,Ccossen)(C
,Csencos)(C
zzyxz
zyx
zyx
aaaaaC
aaaaaC
aaaaaC
������
������
������
φφφφ
ρρρρ
φφ
φφ
 
 
 zaaaC
���� 443845550 −−=∴ φρ ,, 
 
 
1.3) Um campo vetorial é definido no ponto P (ρ = 20, φ = 120o , z = 10) como 
sendo: z534 aaaV
����
++= φρ . Determinar: 
a) a componente vetorial de V� normal à superfície ρ = 20; 
b) a componente vetorial de V� tangente à superfície φ = 120o; 
c) a componente vetorial de V� na direção do vetor � � �R a a= +6 8ρ φ ; 
d) um vetor unitário perpendicular a V� e tangente ao plano φ = 120o; 
e) o vetor V� no sistema de coordenadas cartesianas; 
 
Resolução: 
 
a) 
 Dados: 
z534 aaaV
����
++= φρ em P (ρ = 20, φ = 120o , z = 10). 
 
Sabe-se que TN VVV
���
+= e que ρρ aaVVN
����
)( •= . 
 
 Portanto: ρρρφρ aVaaaaaV NN
�������� 4 534 z =⇒•++= ])[( 
 
 
 
b) 
Dados: 
z534 aaaV
����
++= φρ em P (ρ = 20, φ = 120o , z = 10). 
 
Sabe-se que TN VVV
���
+= e que φφ aaVVN
����
)( •= . 
 
� Cálculo de NV
�
: 
 
 
φφφφρ
φφ
aVaaaaaV
aaVV
NN
N
��������
����
3 534 z =⇒•++=
•=
])[(
)(
 
� 
 
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� Cálculo de TV
�
: 
 
 zz 54 3534 aaVaaaaVVV TNT
����������
+=⇒−++=−= ρφφρ )( 
 
c) Dados: φρ aaR
��� 86 += . 
 RR aaVVR
����
)( •= , onde φρ
φρ
aaa
aa
R
R
a
���
��
�
�
� 8060
6436
86
RR ,, +=⇒
+
+
== 
φρφρφρφρ aaVaaaaaaaV RR
����������� 843882 80608060534 z ,,),,)](,,()[( +=⇒++•++=∴
 
d) Seja zz aaaA ���
�
AAA ++= φφρρ o vetor procurado. 
 Pelas condições apresentadas, temos:






=
⊥=•
°==
 versor um é pois ,1
 pois ,0
120 plano ao tangenteé pois ,0
AA
VAVA
A
��
����
� φφA
 
 
De (01), conclui-se que zz aaA
���
AA += ρρ (04) 
 
De (02), conclui-se que: 
 054534 zzzz =+⇒++•+=• AA)()A(A ρφρρρ aaaaaVA
�������
 (05) 
 
De (03), conclui-se que 12z2 =+ AAρ (06) 
De (05): 
4
5
zAA −=ρ (07) 
Substituindo (07) em (06), temos: 
 6250
41
161
16
25
z
2
z
2
z ,AAA ±=±=⇒=+ (08) 
 
Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 7810 ,A ∓=ρ (09) 
 
 Substituindo (08) e (09) em (01), temos: 
 
 ( )z62507810 aaA ��� ,, +−±= ρ 
 
e) Cálculo das componentes, em coordenadas cartesianas, do vetor V
�
: 
 





=⇒•++=•=
=⇒°+=+=•++=•=
−=⇒°−=−=•++=•=
5534
96411203120434534
59841203120434534
zzz
yyzyy
xxzxx
V)(V
,Vcossencossen)(V
,Vsencossencos)(V
zz aaaaaV
aaaaaV
aaaaaV
������
������
������
�
�
φρ
φρ
φρ
φφ
φφ
 
 
 zyx 596415984 aaaV
����
++−=∴ ,, 
(01) 
(02) 
(03) 
 
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1.4) Se 1a
�
 é um vetor unitário dirigido da origem ao ponto (-2,1,2), determinar: 
a) um vetor unitário 2a
�
 paralelo ao plano x = 0 e perpendicular a 1a
� ; 
b) um vetor unitário 3a
�
 perpendicular a 1a
�
 e 2a
�
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
� Cálculo de 1a
�
: 
 
 zyx1222
zyx
1
1
1 3
2
3
1
3
2
212
22
aaaa
aaa
A
A
a
����
���
�
�
�
++−=⇒
++−
++−
==
)(
 
 
a) Seja z
z
2yy2xx22
aaaa
����
aaa ++= o vetor procurado. 
 
 Pelas condições apresentadas, temos:





=
⊥=•
==
 versorum é pois ,1
 pois ,0
 0 xplano ao paralelo é pois ,0
22
1212
2x2
aa
aaaa
a
��
����
�
a
 
 
 De (01), conclui-se que: 
 
 zz2yy22 aaa
���
aa += (04) 
 
 De (02), conclui-se que: 
 
 
)()a(a zyxzz2yy212 3
2
3
1
3
2
aaaaaaa
�������
++−•+=•
 
 0
3
2
3
1
z2y212 =+=•∴ aaaa
��
 (05) 
 
 De (03), conclui-se que 12
z2
2
y2
=+ aa (06) 
 
 De (05), 
z2y2 2 aa −= (07) 
 
 Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
5
514
z2
2
z2
2
z2
±=⇒=+ aaa (08) 
(01) 
(02) 
(03) 
 
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 Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 
5
52
y2 ∓=a (09) 
 
 Substituindo (08) e (09) em (04), temos: 
 
 ( )zy2 255 aaa ��� +−±= 
 
b) Seja z
z
3yy3xx33
aaaa
����
aaa ++= o vetor procurado. 
 Pelas condições apresentadas, temos: 
 
 



=
⊥×=
 versor um é pois ,1
 e por formado plano ao pois ,
33
213213
aa
aaaaaa
��
������
 
 
 De (01), conclui-se que 
 
 zyx3
zyx
3 15
54
15
52
15
54
15
5
5
5
 5
52
 0 
3
2
 3
1
 3
2
 
aaaa
aaa
a
����
���
�
±±





±±=⇒
±±
−= 
 
 Logo: ( )zyx3 425155 aaaa ���� ++±= 
 
1.5) Determinar: 
a) qual é a componente escalar do vetor yx xy aaE
���
−−= no ponto P (3, -2, 6 ) que está 
apontada para o ponto Q (4, 0, 1 ); 
b) qual é a equação (escalar) da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor 
yx 43 aaA
���
−= e passa através do ponto P (1, 5, 0 )? 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
 
 
 Definições: 
 PE
�
 é o vetor dado E
�
 no ponto P yxPyxP 32xy aaEaaE
������
−=⇒−−=⇒ 
 PQ é um vetor dirigido do ponto P para o ponto Q. 
 
QP
E é a componente escalar de PE
�
 na direção de PQE
�
. 
 .PQa
�
 é o vetor unitário de PQ 
(01) 
(02) 
 
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� Cálculo de PQa
�
: 
30
52
2541
52 zyx
PQ
zyx
PQ
aaa
a
aaa
PQ
PQ
a
���
�
���
� −+
=⇒
++
−+
== 
 
� Cálculo de 
QP
E : 
 
30
4E 
30
52
32EE
QP
zyx
yxQPPQPQP
−=⇒







 −+
•−=⇒•=
aaa
aaaE
���
����
)( 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seja yx 5y1x aav
���
)()( −+−= o vetor dirigido de P para Q (vetor na direção da linha). 
 Mas Av
��
 ⊥ ⇒ 0=• vA �
�
 
 
 0174y-3x 05y41x305y1x43 yxyx =+⇒=−−−⇒=−+−•−∴ )()(])()[()( aaaa
����
 
 
 Assim, 3x-4y+17=0 é a equação da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor A
�
 e 
passa pelo ponto P 
 
1.6) Encontrar o vetor em coordenadas: 
a) cartesianas que se estende de P (ρ = 4, φ = 10o , z = 1) a Q (ρ = 7, φ = 75o , z = 4). 
b) cilíndricas no ponto M (x = 5, y = 1, z = 2) que se estende até N (x = 2, y = 4, z = 6). 
 
Resolução: 
 
a) Dados: ( )( )

=°==
=°==
4z757 Q
1z104 P
;;
;;
φρ
φρ
 
 
Definindo PQ como o vetor, em coordenadas cartesianas, que 
estende-se do ponto P ao ponto Q, temos: 
zzyyxx aaaOPOQPQ
���
PQPQPQ ++=−= , onde OQ é 
o vetor dirigido da origem ao ponto Q e OP é o vetor dirigido 
da origem ao ponto P. 
� Cálculo do vetor OP : 
 zyx aaaOP
���
zyx OPOPOP ++= , onde: 




=⇒=
=⇒°==
=⇒°==
1z
695,0104
939,3104
zz
yy
xx
OPOP
OPsensenOP
OPcoscosOP
φρ
φρ
 
 zyx aaaOP
���
++=∴ 695,0939,3 
 
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� Cálculo do vetor OQ : 
 zyx aaaOQ
���
zyx OQOQOQ ++= ,onde: 




=⇒=
=⇒°==
=⇒°==
4z
761,6757
812,1757
zz
yy
xx
OQOQ
OQsensenOQ
OQcoscosOQ
φρ
φρ
 
 zyx aaaOQ
��� 476168121 ++=∴ ,, 
 
 mas: zzyyxx aaaOPOQPQ
���
PQPQPQ ++=−= , onde: 
 zyx aaaPQ
��� 3076132 
3
07,6
13,2
zzzz
yyyy
xxxx
++−=⇒




=⇒−=
=⇒−=
−=⇒−=
,,
OQOPOQPQ
PQOPOQPQ
PQOPOQPQ
 
b) Dados: ( )( )

=°==
===
4z757 Q
2z1y5x M
;;
;;
φρ 
 
Podemos escrever o vetor MN em coordenadas cartesianas 
da seguinte forma: 
zzyyxx aaaOMONMN
���
MNMNMN ++=−= , onde 
zyx aaaON
��� 642 ++= e zyx aaaOM
��� 25 ++= .Portanto, 
4 3 3 zyx ==−= MN;MN;MN e 
zyx aaaMN
��� 433 ++−= . 
 
� Cálculo do vetor MN em coordenadas cilíndricas: 
 
 zaaaMN
���
zMNMNMN ++= φφρρ onde: 
 
 







=⋅++−=⋅=
+=⋅++−=⋅=
+−=⋅++−=⋅=
4433
33433
33433
zzz aaaaaMN
aaaaaMN
aaaaaMN
zyx
zyx
zyx
�����
�����
�����
)(MN
cossen)(MN
sencos)(MN
φφ
φφ
φφφ
ρρρ
 
 No ponto M, temos: 
 
26
5x
26
1y
 
26yx 22









==
==
=+=
ρ
φ
ρ
φ
ρ
cos
sen 
 Portanto:








=
=⇒+=
−=⇒+−=
4
26
18
26
53
26
13
26
12
26
13
26
53
zMN
MNMN
MNMN
φφ
ρρ
 
 Logo: zz 4
26
18
26
12
 aaaMNaaaMN z
������
++−=⇒++= φρφφρρ MNMNMN 
 
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1.7) Sejam os pontos P ( 3, -4, 5 ) e Q ( 1, 2, 3 ) e W� um vetor localizado no ponto P cuja 
magnitude seja igual à distância entre P e Q. Determine o vetor W� apontado para Q: 
a) no sistema de coordenadas cartesianas; 
b) no sistema de coordenadas cilíndricas; 
c) no sistema de coordenadas esféricas. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 No ponto P, temos: 
 











−=
++
=−=
++
+
=°==
==−==°−==
=+=
70710
zyx
z
 ; 70710
zyx
yx
 ; 135
z
 arctg 
 60x ; 80y ; 1353
x
y
arctg
 5yx
222222
22
22
,cos,sen
,cos,sen,
θθρθ
ρ
φ
ρ
φφ
ρ
(01) 
 
a) zzyyxx aaaW
����
WWW ++= 
 zyxzyx 862 534231 aaaWaaaW
��������
++−=⇒−−+−−+−=∴ ))(())(()( 
 
b) zz aaaW
����
WWW ++= φφρρ 
 
� Cálculo das componentes, em coordenadas cilíndricas, do vetor W
�
: 
 





=⇒•++−=•=
=⇒+−=+=•++−=•=
−=⇒−+−=+−=•++−=•=
8862
260680262862
680660262862
zzzyxzz
zyx
zyx
W)(W
W),(),(cossen)(W
W),(),(sencos)(W
aaaaaW
aaaaaW
aaaaaW
������
������
������
φφφφ
ρρρρ
φφ
φφ
 
 
 z826 aaaW
����
++−=∴ φρ 
 
c) φφθθ aaaW
����
WWW ++= rr (01) 
 
� Cálculo das componentes, em coordenadas esféricas, do vetor W
�
: 
 






+=⇒•++−=•=
−+−=⇒•++−=•=
++−=⇒•++−=•=
φφ
θφθφθ
θφθφθ
φφφφ
θθθθ
cossenW)(W
sensencoscoscosW)(W
cossensencossenW)(W
62862
862862
 862862
zyx
zyx
rrzyxrr
aaaaaW
aaaaaW
aaaaaW
������
������
������
 
(02) 
(03) 
(04) 
 
– Página 1.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011
 
 –– AANNÁÁLLIISSEE
 
 VVEETTOORRIIAALL 
 Substituindo (01) em (02), temos: 
 
 90,97071088070710660707102 rr −=⇒−+−+−= W),(),)(,(),)(,(W (05) 
 
 Substituindo (01) em (03), temos: 
 
 4117071088070710660707102 ,W),(),)(,(),)(,(W −=⇒−−−+−−= θθ (06) 
 
 Substituindo (01) em (04), temos: 
 
 2606802 −=⇒+= φφ W),(),(W (07) 
 
 Substituindo (05), (06) e (07) em (01), temos: 
 
 φθ aaaW
���� 2411909 r +−−= ,, 
 
 
1.8) Um campo vetorial é definido no ponto P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ) como sendo: 
φθ aaaG
���� 543 r ++= . Determinar: 
a) a componente vetorial de G
�
 normal a superfície r = 10; 
b) a componente vetorial de G
�
 tangente ao cone θ = 150o; 
c) a componente vetorial de G
�
 na direção do vetor φaaR
��� 86 r += ; 
d) um vetor unitário perpendicular a G
�
 e tangente ao plano φ = 60o; 
 
Resolução: 
 
a) Dados: 
 φθ aaaG
���� 543 r ++= em P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ). 
 
Sabe-se que TN GGG
���
+= e que rr aaGG N
����
)( •= . 
Portanto: 
rrrr 3 543 aGaaaaaGNN
��������
=⇒•++= ])[( φθ 
 
 
 
b) 
 
 Dados: 
 φθ aaaG
���� 543 r ++= em P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ). 
 
Sabe-se que TN GGG
���
+= e que θθ aaGG N
����
)( ⋅= . 
 
 
 
� Cálculo de NG
�
: 
 
 θθθφθθθ aGaaaaaaaGG NN
����������� 4 543 r =⇒•++=•= ])[()( 
 
– Página 1.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011
 
 –– AANNÁÁLLIISSEE
 
 VVEETTOORRIIAALL 
� Cálculo de TG
�
: 
 
 φθφθ aaGaaaaGGG TNT
���������� 53 4543 rr +=⇒−++=−= )( 
 
c) Dados: φaaR
��� 86 r += 
 RR aaGG R
����
)( •= , onde φ
φ
aaa
aa
R
R
a
���
��
�
�
� 8060
6436
86
rR
r
R ,, +=⇒
+
+
== 
 
φφφφθ aaGaaaaaaaG RR
����������� 644483 80608060543 rrrr ,,),,)](,,()[( +=⇒++•++=∴ 
 
d) 
 
Dados: 
φθ aaaG
���� 543 r ++= em P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ). 
 
 
 Seja φφθθ aaaS
����
SSS ++= rr o vetor procurado. 
 
 Pelas condições apresentadas, temos:






=
⊥=⋅
°==
 versor um é pois ,1
 pois ,0
 60 plano ao tangenteé pois ,0
SS
GSGS
S
��
����
� φφS
 
De (01), conclui-se que θθ aaS
���
SS += rr (04) 
 
De (02), conclui-se que : 
 
 043543 rrrr =+⇒++•+=• θφθθθ SS)()S(S aaaaaGS
�������
 (05) 
 
De (03), conclui-se que 122r =+ θSS (06) 
 
De (05): 
3
4
r θSS −= (07) 
 
Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
5
31
9
16 22 ±=⇒=+ θθθ SSS (08) 
 
Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 
5
4
r ∓=S (09) 
 Substituindo (08) e (09) em (04), temos: 
 
 





−±= θaaS
���
5
3
5
4
r 
(01) 
(02) 
(03)