Exercícios resolvidos de Eletromagnetismo Lei de Coulomb e Intenidade de campo elétrico

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
CAPÍTULO 02 
 
LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
 
2.1) Um fio de 2 m está carregado uniformemente com 2 µC. A uma distância de 2 m de sua 
extremidade, no seu prolongamento, está uma carga pontual de 2 µC. Obter o ponto no 
espaço onde o campo elétrico seja nulo. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Definições: 
 P (2+d; 0; 0) é o ponto onde o campo elétrico resultante é nulo. 
 1E
�
 é o campo elétrico gerado em P pela carga Q. 
 2E
�
 é o campo elétrico gerado em P pelo fio. 
 
� Cálculo do campo elétrico gerado em P pela carga Q: 
 
 )(
)(
x2
o
1
d24
Q
aE �
�
−
−
=
piε
, onde Q = 2µC. (01) 
 
� Cálculo do campo elétrico gerado em P pelo fio: 
 
 ∫
+−
= x2
o
L
2
dx24
dL
aE �
�
)(piε
ρ
,onde: [ ]




=
=⇒=
∆
∆
=
dxdL
m
C1
m2
C2
L
Q
LL ρ
µρ
 (02) 
 
 De (01), conclui-se que ∫
=
+−
=
2
0x
x2
o
L
2
dx24
dx
 aE �
�
)(piε
ρ
 (03) 
 
 Substituição de variáveis na integral:



−=
+−=
dxdu
dx2u
 (04) 
 
 Substituindo (04) em (03), temos: 
 
 




+
−−=∴




+−
−=⇒
−
=⇒=
=
=
−
∫
d2
1
d
1
4
dx2
1
41
u
4u
du
 
4
o
L
2
x
2
0xo
L
2x
2
0x
1
o
L
2x2
o
L
2
piε
ρ
piε
ρ
piε
ρ
piε
ρ
E
aEaEaE
�
������
 
(05) 
 
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 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
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 Para o campo elétrico ser nulo em P, é necessário que 021 =+ EE
��
. (06) 
 
 Substituindo (01) e (05) em (06), temos: 
 
 
][
)())(()(
)()(
m 
3
2d0dd4d4dd4d4d2d88d2d4
0d2dd2d2d2d2
0
d2
1
d
1
d2
20
d2
1
d
1
4
101
d24
102
323222
22
2
o
6
2
o
6
=⇒=+−+−+−−+−+
=−+−+−+
=
+
+−
−
⇒=





+
−
⋅
−
−
⋅
−−
piεpiε
 
 
 Logo, as coordenadas do ponto P são: ( 2,67; 0; 0 ) [m] 
 
 
2.2) Uma linha de carga com ρL = 50 ηC/m está localizada ao longo da reta x = 2, y = 5, no 
vácuo. 
a) Determinar E� em P (1, 3, -4 ); 
b) Se a superfície x = 4 contém uma distribuição superficial de carga uniforme com 
ρS = 18 ηC/m2, determinar em que ponto do plano z = 0 o campo elétrico é nulo. 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Campo elétrico para uma linha de cargas: 
 
 ρρpiε
ρ
aE �
�
o
L
L 2
= , onde: 





=
ρ
ρρ
ρ
ρ
��
�
�
 de unitário o é 
 P ponto o para linha da dirigido vetor o é 
a
 (01) 
 
� Cálculo de ρ� e de ρ: 
 
 yxzyx 205321 aaaaa
�������
−−=⇒+−+−= ρρ )()( 
 (02) 
 521 22 =⇒+= ρρ 
 
� Cálculo de ρa
�
: 
 
5
2
 
yx aa
a
��
�
�
� −−
==
ρ
ρ
ρ (03) 
 
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 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 
][
)(
mV 360180
2180
5
2
52
1050
yx
yx
yx
o
9
aaE
aaE
aa
E
���
���
��
�
−−=
−−=⇒
−−
⋅
⋅
=
−
piε
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para TE
�
 ser nulo no ponto Q (x, y, 0 ), este deve estar localizado entre o plano e a linha. 
 
 
� Campo elétrico para uma linha de cargas: 
 
 ρρpiε
ρ
aE �
�
o
L
L 2
= , onde: 





=
ρ
ρρ
ρ
ρ
��
�
�
 de unitário o é 
 P ponto o para linha da dirigido vetor o é 
a
 (01) 
 
� Campo elétrico para uma distribuição superficial de cargas: 
 
 N
o
S
P 2
aE �
�
ε
ρ
= , onde: 0). y, (x, de direcão na superfície à normal unitário o é Na
�
 (02) 
 
� Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à linha: 
 
 









−+−
−+−
=
−+−=−+−=
22
yx
22
yx
5y2x
5y2x
5y2x ; 5y2x
)()(
)()(
)()()()(
aa
a
aa
��
�
���
ρ
ρρ
 (03) 
 
 
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 Substituindo (03) em (01), temos: 
 
 
22
yx
22
o
L
L
o
L
L
5y2x
 5y 2x
5y2x22 )()(
)()(
)()( −+−
−+−
−+−
=⇒=
aa
EaE
��
���
piε
ρ
ρpiε
ρ
ρ 
 ])()[(
])()[(
yx22
o
L
L 5y 2x
5y2x2
aaE ��
�
−+−
−+−
=∴
piε
ρ
 (04) 
 
� Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à superfície: 
 
 xN aa
��
−= (05) 
 
 Substituindo (05) em (02), temos: 
 
 x
o
S
P 2
aE �
�
ε
ρ
−= 
 
 Mas 0PLT =+= EEE
���
 (07) 
 
 Substituindo (04) e (06) em (07): 
 
 







=⇒=
−
⇒=−
−+−
−
=⇒=
−+−
−
∴
=








−+−
−
+








−
−+−
−
=
⋅
⋅
−
−+−
−+−
⋅
−+−⋅
⋅
=−
−+−
−+−
⋅
−+−
=
−
−
−
−
88,2x 324
2x
9000324
5y2x
2x900
5y 0
5y2x
5y900
0 
5y2x
5y900
 324
5y2x
2x900
0
36
102
1018
5y2x
 5y 2x
5y2x
36
102
1050
0
25y2x
5y 2x
5y2x2
22
22
y22x22
x9
9
22
yx
22
9
9
x
o
S
22
yx
22
o
L
T
pipi
pi
pipi
pi
ε
ρ
piε
ρ
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
aa
a
aa
a
aa
E
��
�
��
�
��
�
 
 
 
 Logo, as coordenadas do ponto Q são: (x = 2,88; y = 50;z = 0). 
 
 
2.3) Oito cargas pontuais de 1 µC cada uma estão localizadas nos vértices de um cubo de 1 m 
de lado, no espaço livre. Encontrar E
�
 no centro: 
a) do cubo; 
b) de uma face do cubo; 
c) de uma aresta do cubo; 
 
(06) 
 
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Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
P ( 0,5; 0,5; 0,5 )é o centro do cubo; 
K ( 0,5; 1; 0,5 )é o centro de uma face; 
M ( 1; 0,5; 0 )é o centro de uma aresta. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Como as cargas são todas iguais e simétricas, elas produzem campos iguais e em oposição. 
Logo, o campo elétrico em P é nulo. 
 
b) KKKKKKKKK EEEEEEEEE DHEAFBCG
���������
+++++++= , onde: 
 
 
D; em carga pela em gerado campo o é 
H; em carga pela em gerado campo o é 
E; em carga pela em gerado campo o é 
A; em carga pela em gerado campo o é 
F; em carga pela em gerado campo o é 
B; em carga pela em gerado campo o é 
C; em carga pela em gerado campo o é 
G; em carga pela em gerado campo o é 
D; e H E, A, F, B, C, G, em carga pelas em gerado campo o é 
D
H
E
A
F
B
C
G
KE
KE
KE
KE
KE
KE
KE
KE
KE
K
K
K
K
K
K
K
K
K
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
 
 Por simetria: 
 
 0FBCG =+++ KKKK EEEE
����
, o que torna KKKKK EEEEE DHEA
�����
+++= . (01) 
 
� Cálculo de KEA
�
: 
 
K
K
k aE AR2
Ao
A
R4Q ��
piε
= , onde: 







=
.
;
;
KK
KK
K
Ra
R
KAR
AAR
AA
A
 de versor um é
R
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
�
�
 
 
 
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K
K
KKK
R
aaaaR
A
A
ARAzyxA R 
 ; 51R ; 5050
�
�����
==++= ,,,
 
 
 K
K
k RE A23
Ao
A
R4
Q ��
piε
=∴ (02) 
 
� Cálculo de KEE
�
: 
 
K
K
k aE ER2
Eo
E
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
KK
KKKK
K
Ra
RR
KER
EER
AEAE
E
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
 
K
K
KKKK
R
aaaaR
A
E
ERAEzyxE R 
 ; 51RR ; 5050
�
�����
===++−= ,,,
 
 
 K
K
k RE E23
Ao
E
R4
Q ��
piε
=∴ (03) 
 
� Cálculo de KEH
�
: 
 
K
K
k aE HR2
Ho
H
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
KK
KKKK
K
Ra
RR
KHR
HHR
AHAH
H
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
 
K
K
KKKK
R
aaaaR
A
H
HRAHzyxH R 
 ; 51RR ; 5050
�
�����
===−+−= ,,,
 
 
 K
K
k RE H23
Ao
H
R4
Q ��
piε
=∴ (04) 
 
� Cálculo de KED
�
: 
 
K
K
k aE DR2
Do
D
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
KK
KKKK
K
Ra
RR
KDR
DDR
ADAD
D
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
K
K
KKKK
R
aaaaR
A
D
DRADzyxD R 
 ; 51RR ; 5050
�
�����
===−+= ,,,
 
 
 K
K
k RE D23
Ao
D
R4
Q ��
piε
=∴ (05) 
 
 
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 Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01): 
 
 )( KKKK
K
k RRRRE DHEA23
AoR4
Q �����
+++=
piε
 (06) 
 
 Mas: 
yDHEA
zyxzyxzyxzyxDHEA
4
5050505050505050
aRRRR
aaaaaaaaaaaaRRRR
KKKK
KKKK
�����
����������������
=+++∴
−++−+−+++−+++=+++ ),,(),,(),,(),,(
 
 Substituindo (07) em (06) ,temos: 
 
 [ ]
m
V
 57,19 57,19
51 4
104
R4
Q4
y
y23
o
9
y23
Ao
=⇒=
⋅
=⇒=
−
kk
k
K
k
EaE
aEaE
���
����
,piεpiε
 
 
 
c) MMMMMMMMM EEEEEEEEE DCGHBAFE
���������
+++++++= , onde: 
 
 
D; em carga pela em gerado campo o é 
C; em carga pela em gerado campo o é 
G; em carga pela em gerado campo o é 
H; em carga pela em gerado campo o é 
B; em carga pela em gerado campo o é 
A; em carga pela em gerado campo o é 
F; em carga pela em gerado campo o é 
E; em carga pela em gerado campo o é 
D; e C G, H, B, A, F, E, em cargas pelas em gerado campo o é 
D
C
G
H
B
A
F
E
ME
ME
ME
ME
ME
ME
ME
ME
ME
M
M
M
M
M
M
M
M
M
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
 
 Por simetria: 
 
 0FE =+ MM EE
��
 
 
 Portanto: MMMMMMM EEEEEEE DCGHBA
�������
+++++= (01) 
 
� Cálculo de MEA
�
: 
 
M
M
M aE AR2
Ao
A
R4
Q ��
piε
= , onde: 







=
.
;
;
MM
MM
M
Ra
R
MAR
AAR
AA
A
 de versor um é
R
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
�
�
 
 (07) 
 
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M
M
MMM
R
aaaaR
A
A
ARAzyxA R 
 ; 251R ; 050
�
�����
==++= ,,
 
 
 M
M
M RE A23
Ao
A
R4
Q ��
piε
=∴ (02) 
 
� Cálculo de MEB
�
: 
 
M
M
M aE BR2
Bo
B
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
MM
MMMM
M
Ra
RR
MBR
BBR
ABAB
B
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
 
M
M
MMMM
R
aaaaR
A
B
BRABzyxB R 
 ; 251RR ; 050
�
�����
===+−= ,,
 
 
 M
M
M RE B23
Ao
B
R4
Q ��
piε
=∴ (03) 
 
� Cálculo de MEH
�
: 
 
M
M
M aE HR2
Ho
H
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
MM
MMMM
M
Ra
RR
MHR
HHR
AHAH
H
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
 
M
M
MMMM
R
aaaaR
A
H
HRAHzyxH R 
 ; 251RR ; 500
�
�����
===−+= ,,
 
 
 M
M
M RE H23
Ao
H
R4
Q ��
piε
=∴ (04) 
 
� Cálculo de MEG
�
: 
 
M
M
M aE GR2
Go
G
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
MM
MMMM
M
Ra
RR
MGR
GGR
AGAG
G
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
M
M
MMMM
R
aaaaR
A
G
GRAGzyxG R 
 ; 251RR ; 500
�
�����
===−−= ,,
 
 
 M
M
M RE G23
Ao
G
R4
Q ��
piε
=∴ (05) 
 
 
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� Cálculo de MED
�
: 
 
M
M
M aE DR2
Do
D
R4
Q ��
piε
= , onde: 







=
.
;
;
MM
MM
M
Ra
R
MDR
DDR
DD
D
 de versor um é
R
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
�
�
 
 
M
M
MMM
R
aaaaR
D
D
DRDzyxD R 
 ; 252R ; 50
�
�����
==−+= ,,
 
 
 M
M
M RE D23
Do
D
R4
Q ��
piε
=∴ (06) 
 
� Cálculo de MEC
�
: 
 
M
M
M aE CR2
Co
C
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
MM
MMMM
M
Ra
RR
MCR
CCR
DCDC
C
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
M
M
MMMM
R
aaaaR
D
C
CRDCzyxC R 
 ; 252RR ; 50
�
�����
===−−= ,,
 
 
 M
M
M RE C23
Do
CG
R4
Q ��
piε
=∴ (07) 
 
 Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos: 
 
 







 +
+
+++
= 23
D
CD
23
A
GHBA
o RR4
Q
M
MM
M
MMMM
M
RRRRRR
E
������
�
piε
 (08) 
 
 Mas: 
zxGHBA
zyzyyxyxGHBA
22
50505050
aaRRRR
aaaaaaaaRRRR
MMMM
MMMM
������
������������
−=+++∴
−+−+−++=+++ ),(),(),(),(
 
e 
 
zxCD
zyxzyxCD
22
5050
aaRR
aaaaaaRR
MM
MM
����
��������
−=+∴
−−+−+=+ ),(),(
 
 
 Substituindo (09) e (10) em (08), temos: 
 
 [ ]
m
V
 7625 21182118
252
22
251
22
4
101
zx
23
zx
23
zx
o
9
,,,
,,
=⇒−=








−
+
−⋅
=
−
MM
M
EaaE
aaaa
E
����
����
�
piε
 
 (09) 
(10) 
 
– Página 2.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEEDDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
2.4) Uma distribuição linear uniforme de cargas no eixo z é definida como sendo ρL = 10pi 
ηC/m para z ≥ 0 e ρL = 0 para z < 0. Determinar qual deverá ser a densidade superficial 
de cargas no plano infinito z = 0 de modo que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 
3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z. Determinar também o campo elétrico resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Cálculo do campo elétrico no ponto P devido ao plano: 
 z
o
S
PzNN
o
S
P 2
 :onde 
2
aEaaaE �
�����
ε
ρ
ε
ρ
=⇒== , (01) 
 
� Cálculo do campo elétrico no ponto P devido à linha: 
 
 
z9
z3
z9R
z3
 onde 
R4
dz
2
zy
R
2
zy
R2
o
L
L









+
−
=
+==
−=
= ∫
aa
a
R
aaR
aE
��
�
�
���
��
,
piε
ρ
 
 
z232
o
L
y232
o
L
L
zy232
zy
o
L
L
z9
zdz
4z9
dz3
4
dz
z9
z3
4
aaE
EE
aa
E
���
��
��
�
∫∫
∫
+
−
+
=
+=
+
−
=
)()(
)(
)(
piε
ρ
piε
ρ
piε
ρ
 
 
 
z9
zdz
4
z9
dz3
4
z232
o
L
z
y232
o
L
y







+
−=
+
=
∴
∫
∫
aE
aE
��
��
)(
)(
piε
ρ
piε
ρ
 
(02) 
(03) 
(04) 
 
– Página 2.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Para que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z, a 
condição de zP EE
��
= deve ser satisfeita. 
 Fazendo (01) = (04), temos: 
 
 ∫
+
= 2322
o
L
o
S
z3
zdz
42 )(piε
ρ
ε
ρ
 (05) 
 
 Substituição de variáveis na integral:




=
=
θθ
θ
d3dz
3tg z
2sec
 (06) 
 
 Substituindo (06) em (05), temos: 
 
 
[ ]
 
m
C
 
3
5
 
3
105
d
3
105
27
d3tg3
2
1010
2S
90
0
9
S
9
S3
29
S




=⇒−
⋅
=
⋅
=⇒⋅
⋅
=
°
=
−
−−
∫∫
ηρθρ
θ
θ
θθρ
θ
θθθ
pi
piρ
θcos
cos
cos.sen
sec
sec.
 
 
 
� Cálculo do campo elétrico resultante ( TOTALE
�
): 
 Como o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) apresenta somente uma componente 
na direção de ya
�
, conclui-se que yTOTAL EE
��
= (07) 
 
 Substituindo (03) em (07), temos: 
 
 y2322
o
L
TOTAL
z3
dz3
4
aE �
�
∫
+
=
)(piε
ρ
 (08) 
 
 Substituição de variáveis na integral:




=
=
θθ
θ
d3dz
3tg z
2sec
 (09) 
 
 Substituindo (09) em (08), temos: 
 
 
[ ] [ ] 
m
V
 1294 
6
105
d
6
105
 
27
d33
4
1010
TOTALy
90
0
o
9
TOTAL
y
o
9
y3
2
o
9
TOTAL
,sen
cos
sec
sec.
=⇒
⋅
=
⋅
⋅
=⋅
⋅
=
°
=
−
−−
∫∫
EaE
aaE
���
���
θθε
θθ
εθ
θθ
piε
pi
 
 
– Página 2.12 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
2.5) Dado o campo vetorial ( ) zyx2 xyzyx aaaD ���
�
+++= [C/m2]. Determinar o fluxo de D
�
 
através da superfície triangular no plano xz, delimitada pelo eixo x, pelo eixo z, e pela 
reta x z+ = 1 . 
 
 
 
 
 Dados: ( )




=
+++=
y
zyx
2
dxdz
xyzyx
adS
aaaD
�
����
; 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
( )
[ ]C 
6
1
 
3
111
2
1
3
x
xx
2
1
dx
2
xx21dx
2
x1
dx
2
z
zdzdxdzdxzy
 dxdz xy zyx
1
0x
3
2
1
0x
21
0x
2
1
0x
1
0x
x1
0z
2x1
0z
1
0x
x1
0z 0y
S
yzyx
2
S
=Φ⇒





+−=Φ⇒








+−=Φ
+−
=Φ⇒−=Φ








=Φ⇒=Φ⇒+=Φ
•+++=Φ⇒•=Φ
=
==
= =
−
=
−
==
−
=
=
∫∫
∫ ∫∫∫ ∫
∫∫
)(
)(
)(
)(
aaaadSD ����
�
 
 
 
2.6) Dado o campo y3x2 y5 yx15 aaE
���
+= , encontrar, no plano xy: 
a) a equação da linha de força que passa através do ponto P ( 2, 3, -4 ); 
b) um vetor unitário Ea
�
 especificando a direção de E
�
 no ponto P; 
c) um vetor unitário Na
�
 que é perpendicular a E
�
 no ponto P. 
 
Resolução: 
 




=
=
⇒+=+= 3
y
2
x
y
3
x
2
yyxx
y5
yx15
 y5 yx15
E
E
EE aaaaE ����
�
 
a) Dados: P ( 2, 3, -4 ) 
 
 c
x
1
y
1
 3 
x
dx
y
dy3 
 
x
dx
y
dy3 
x3
y
dx
dy
 
yx15
y5
dx
dy
 
dx
dy
22
222
2
2
3
y
x
+−=





−⇒=
=⇒=⇒=⇒=
∫ ∫
E
E
 
(01) 
 
– Página 2.13 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Substituindo em (01) as coordenadas do ponto P, temos: 
 
 
2
1
-c c
2
1
3
1
 3 =⇒+−=





− (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
2
1
x
1
y
3
- −−= 
 
 Portanto, a Equação da linha de Força é: 
 
 0xyy2x-6 ou 0xyy2x6 - =−=++ 
 
b) ). 4- 3, 2, ( P ponto no definido vetor o é P EE
��
 
 
 yxPy
3
x
2
P 135 180 3 . 5 3 .2 15 aaEaaE
������
+=⇒+=∴ )().( 
 
yxE
yx
E
22
yx
E
P
P
E
 60 80 
225
 135 180
 
135180
 135 180
 
aaa
aa
a
aa
a
E
E
a
���
��
�
��
�
�
�
�
,, +=⇒
+
=
+
+
=⇒=
 
 
c) 




=
⊥=•
+=
 versor.um é pois 1 
 pois 0 
 :que modo de n m Seja
NN
ENEN
yxN
aa
aaaa
aaa
��
����
���
,
;,
 
 
 De (01), conclui-se que: 
 
 
 n75,0-m n 
0,8
0,6
-m n6,0 m8,0
 0 n6,0 m8,0 0 60 80 n m yxyx
=⇒=⇒−=
=+⇒=+•+ aaaa ),,()(
����
 
 
 De (02), conclui-se que: 1n m 22 =+ (04) 
 
 Substituindo (04) em (03) ,temos: 
 
 8,0 n 640n 
7501
1
n 1nn) (-0,75 2
2
222 ±=⇒=⇒
+
=⇒=+ ,,
),(
 (05) 
 
 Substituindo (05) em (03), temos: 
 
 6,0 m 0,8)( . -0,75m ∓=⇒±= (06) 
 
 Substituindo (05) e (06) em (01), temos: 
 
 yxN 80 6,0 aaa
��
∓
�
,±= 
(01) 
(02) 
 
– Página 2.14 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
1 
2.7) Um cilindro de raio a e altura 2a possui as bases com cargas simétricas de densidade 
ρS constante. Calcular o campo elétrico no seu eixo, a meia distância entre as bases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Sabe-se que zRzRR21R aaaEEE
������
EEE ++=+= φφρρ onde, RE
�
 é o campo resultante, 
1E
�
é o campo gerado no ponto em questão devido à distribuição da base do cilindro (1) e 2E
�
 é o 
campo gerado no ponto em questão devido à distribuição do topo do cilindro (2). 
 Devido à simetria das distribuições, RE
�
 não apresenta componentes nas direções de 
φρ aa
��
 de e ( 0RR == φρ EE ). Deste modo, as componentes de 1E
�
 e de 2E
�
 na direção de za
�
 
definem a direção e a magnitude de RE
�
.Assim, 
z2z1R 22 EEE
���
== . (01) 
 
� Cálculo de 1E
�
: 
 









+
+−
=
+=+−=
∴







=
=
=
22
z
R
22
z
R
R2
o
S
1
a
 a
aR ; a
 de unitário um é 
R
); a 0, 0, ( ponto o para
 área de ldiferencia elemento do dirigido vetor o é 
d d dS
 onde ,
R4
dSd
ρ
ρ
ρρ
φρρ
piε
ρ
ρ
ρ
aa
a
aaR
Ra
R
R
aE
��
�
���
��
�
�
��
.
;
;
 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
z111z2322
o
 S
1 )a 
a4
dd
d EEEaaE
������
+=⇒+−
+
= ρρρρpiε
φρρρ
(
)(
 
(03) 
(02) 
 
– Página 2.15 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 
 
 
a4
dd a
) SimetriaPor ( 0
)a 
a4
dd
2
0
a
0
z2322
o
 S
z1
1
2
0
a
0
z2322
o
 S
1









+
=
=
∴
+−
+
=
∫ ∫
∫ ∫
= =
= =
pi
φ ρ
ρ
pi
φ ρ
ρ
ρpiε
φρρρ
ρ
ρpiε
φρρρ
aE
E
aaE
��
�
���
)(
(
)(
 
 
 
� Cálculo de RE
�
: 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 
∫∫
∫ ∫
==
= =
+
=
+
=
a
0
z2322
2
0o
 S
R
2
0
a
0
z2322
o
 S
R
 d
a
d
4
 a2
 
a4
d d a
2
ρ
pi
φ
pi
φ ρ
ρ
ρ
ρφ
piε
ρ
ρpiε
φρρρ
aE
aE
��
��
)(
)(
 
 
 
 Substituição de variáveis na integral: 



=
=
θθρ
θρ
d ad
tg a
 2sec
 
 
 
 
 
 Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
 
[ ] [ ]
[ ]mV 
2
1
-1
 
 )(-cos0-)(-cos45 cos- 
 d 
 
 
sec a
d sec tga 
 
sec a
d sec a tga2
4
 a2
z
o
 S
R
z
o
 S
Rz
4
0
o
 S
R
z
4
0o
 S
Rz
4
0
33
23
o
 S
R
z
4
0
33
2
o
 S
R
aE
aEaE
aEaE
aE
��
����
����
��






=∴
°°=⇒=
=⇒=
⋅=
=
==
=
∫∫
∫
ε
ρ
ε
ρθ
ε
ρ
θθ
ε
ρ
θ
θθθ
ε
ρ
θ
θθθ
pi
piε
ρ
pi
θ
pi
θ
pi
θ
pi
θ
sen
 
 
 
 
(04) 
(05) 
(06) 



=⇒=
°=⇒=
4a
00
piθρ
θρ
 (07) 
 
– Página 2.16 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
2.8) Uma carga Q (Q > 0) está localizada na origem do sistema de coordenadas. Determinar 
em que ponto na linha definida por x = 1 e z = 3 está yE no seu máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
� Cálculo do campo elétrico para a carga pontual: 
 
 









+
++
=
+=++=
∴





==
2
zyx
R
2
zyx
R
R2
o
y10
 3y 
y10R ; 3y
 de unitário um é 
R
) 3 y, (1, ponto o para origem da dirigido vetor o é 
 onde ,
R4
Q
aaa
a
aaaR
Ra
R
R
aE
���
�
����
��
�
�
��
piε
 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 











⋅
+
=
⋅
+
=
⋅
+
=
∴
+
++
⋅=⇒
+
++
⋅
+
=
 
y104
Q3
 
y104
Q y
 
 
y104
Q
y10
 3y 
4
Q
y10
 3y 
y104
Q
z232
o
z
y232
o
y
x232
o
x
232
zyx
o2
zyx
22
o
aE
aE
aE
aaa
E
aaa
E
��
��
��
���
�
���
�
)(
)(
)(
)()(
piε
piε
piε
piεpiε
 
 
 
 De (03), conclui-se que 232
o
yy
y10
y
4
Q E
)( +
⋅==
piε
E
�
 
 
(01) 
(02) 
(03) 
 
– Página 2.17 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
� Cálculo de 
máxy
E : 
 0
y10
.y y2 . y102
3y10
4
Q 0
y
E
32
212232
o
y
=
+
+−+
⋅⇒=
∂
∂
)(
)()(
piε
 
 
 
5y y3y10
y3
y10
y10yy103y10
22
2
212
232
2212232
±=⇒=+
=
+
+
⇒+=+
)(
)(
.).()(
 
 
 
 Logo, 
maxy
E ocorre nos pontos ( ) ( )3, 5, -1 e 3, 5, 1 .