Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
– Página 5.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA CAPÍTULO 05 CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 5.1) Um capacitor de placas paralelas está cheio de ar, possui placas de áreas 4 x 4 cm2, separadas uma da outra por uma distância de 0,3 cm. Como devem ser usadas 2 cm3 de parafina ( εR = 2 25, ) para obter máxima capacitância? Qual é o valor desta máxima capacitância? Resolução: Dados: = =⋅⋅= ] ] 3 3 [cm 2parafina de Volume [cm 4,80,344placas as entre Volume Para aumentar a capacitância, a melhor combinação consiste em colocar toda a parafina entre as placas, de modo que sua capacitância fique em paralelo com a capacitância do restante do meio entre as placas (ar). Portanto, arparafinamax CCC += (01) � Cálculo de x: Volume de parafina [cm] 6671xx3042 ,, =⇒⋅⋅== � Cálculo de parafinaC : d S C parafinaparafina ε = , onde ⋅== ⋅==⋅= = − [m] 100,3cm 30d m106686cm 6686x4S 2- 242 parafina Ro , ][,, εεε [pF] 4284C 1030 106686252108548C 1030 106686 C parafina 2 412 parafina2 4 Ro parafina , , ,,, , , =∴ × ⋅⋅⋅⋅ =⇒ ⋅ ⋅⋅ = − −− − −εε � Cálculo de arC : d S C arar ε = , onde ( ) ⋅== ⋅⋅−= ε=ε [m] 100,3cm 3,0d ][m 10 4x4S 2- 24- ar o (02) – Página 5.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA ( ) ( ) [pF] 7542C 1030 104 1,667-4108548 1030 104 x-4 C ar 2 412 2 4 o ar , , , , =∴ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅ = − −− − −ε Substituindo (02) e (03) em (01), temos: [pF] 1827C 75424284C maxmax ,,, =⇒+= 5.2) As superfícies esféricas, r = 2 cm e r = 10 cm, são condutoras perfeitas. A corrente total passando radialmente para fora através do meio entre as esferas é de 2,5 A. Determinar: a) a diferença de potencial entre as esferas; b) a resistência entre as esferas; c) o campo elétrico E� na região entre as esferas. Assumir que a região está preenchida com um material dielétrico cuja condutividade é σσσσ = 0,02 mho/m (ou σσσσ = 0,02 S/m). Resolução: a) r2r r 4 I S I aJaJ � � � � pi =⇒= (01) r2r 4 I aEJEEJ � � � ��� piσσ σ =⇒=⇒= (02) � Cálculo de abV : ∫ •−= a b abV dLE � (03) Substituindo (02) em (03), temos: ∫ • −= a b rr2ab dr r 4 IV aa �� piσ (03) – Página 5.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA cm2r cm10r ab2 a br ab r 1 02,04 5,2V r dr 4 IV = = = − ⋅pi −=⇒ piσ −= ∫ [ ] ]V[398V105095,9V 10,0 1 02,0 195,9V ababab =⇒−⋅=⇒ −⋅= b) ][ 2159R 52 398R I V R ab Ω=⇒=⇒= , , c) Da Equação (02) do ítem a, temos: [ ] m V r 949 r 0204 52 r 4 I r2r2r2 aEaEaE � � � � � � , , , =⇒=⇒= pipiσ 5.3) Uma pequena esfera metálica de raio a, no vácuo, dista d (d >> a) de um plano condutor. Calcular o campo elétrico a meia distância entre a esfera e o plano condutor. Resolução: � Método das Imagens: O Campo Elétrico resultante no ponto P será: 21 EEE ��� += , onde . carga pela P ponto no gerado elétrico campo o é carga pela P ponto no gerado elétrico campo o é 2 1 2E 1E � � ; � Cálculo de E � : ( ) ( ) ( ) x2 o x2 o x2 o x2 o x2 o x2 o d9 Q10 9 11 d Q d94 Q4 d4 Q4 2 d34 Q 2 d4 Q aEaE aaEaaE � � � � �� � �� � piεpiε piεpiεpiεpiε =⇒ += +=⇒− − += – Página 5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 5.4) As superfícies esféricas, r = 2 cm e r = 6 cm, são condutoras perfeitas e a região entre elas é preenchida com um material de condutividade σσσσ = 80 mho/m. Se a densidade de corrente é r2 ar 10J � � = pi [A/m2] para 2 < r < 6 cm, determinar: a) A corrente I fluindo de uma superfície condutora perfeita para a outra; b) O campo elétrico E� na região entre as esferas; c) A diferença de potencial entre as duas superfícies condutoras; d) A potência total dissipada no material condutor. Resolução: a) ∫ •= S I dSJ � , onde = = r 2 r2 d d r a r 10 adS J � � � φθθ pi sen [ ] [ ] [A] 40I 2210I 10Id d r r 10I 200 0 2 0 2 2 =⇒⋅⋅= ⋅−=⇒⋅⋅=∴ ∫ ∫ = = pi pi φθ pi φθθ pi pipi pi θ pi φ cossen b) [ ] m V r 8 1 80 1 r 10 r2r2 aEaEJEEJ � � � � � ��� pipiσ σ =⇒⋅=⇒=⇒= c) ∫ •−= a b abV dLE � [ ] [V] 3261V 671650 8 1V 060 1 020 1 8 1V r 1 8 1V r dr 8 1V dr r8 1V ababab 020 060r ab 020 060r 2ab a b rr2ab ,, ,, , , , , =⇒−⋅=⇒ −⋅= −⋅−=⇒ −= • −= == ∫ ∫ pipi pipi pi aa �� d) [W] 0553P 403261PVIP ,, =⇒⋅=⇒= – Página 5.5 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 5..5) A fronteira entre dois dielétricos de permissividade relativas εR1 = 5 e εR2 = 2 é definida pela equação do plano 2 2x y+ = . Se, na região do dielétrico 1, a densidade de fluxo elétrico for dada por zyx1 a3a5a2 ��� � −+=D , determinar: a) 2nD � ; b) 2tD � ; c) 2D � ; d) 2P � ; e) A densidade de energia na região do dielétrico 2. Resolução: � Cálculo de na � : Seja 2yx2f −+= a fronteira entre os dois meios (plano de separação). yx2f aa �� � +=∇ . Logo, ( )yxnn 25 1 f f aaaa ��� � � � +⋅=⇒ ∇ ∇ = � Cálculo dos componentes de � D1 : 1t1n1 DDD ��� += � Cálculo de � Dn1: ( ) nn11n aaDD ���� •= ( ) + = + ⋅ + •= −+ 2 yx 1n yxyx z3y5x1n m C 5 918 5 2 5 2 2 ηaaD aaaa aaD a �� � ���� �� � � – Página 5.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA � Cálculo de � D t1: () −+−= + −−+= = − 2zyx1t yx zyx1t n111t m C 32361 5 918 352 ηaaaD aa aaaD DDD ��� � �� ��� � ��� ,, a) + =⇒= 2 yx n21nn2 m C 5 918 ηaaDDD �� ��� b) � � � � � � E E D D D Dt2 t2 o R2 t1 o R1 t2 R2 R1 t1= ⇒ = ⋅ ⇒ =t1 ε ε ε ε ε ε ( ) −+−=⇒−+−⋅= 2zyxt2zyxt2 mC 21281640 323615 2 ηaaaDaaaD ��� � ��� � ,,,,, c) � � �D D D2 = +n2 t2 ( ) −+= −+ + = 2zyx2 zyx yx 2 m C 210832,96 212810,64-+ 5 918 ηaaaD aaa aa D ��� � ��� �� � ,, ,, d) � � � � � � � � P D E P D D P D2 2 2 2 1 1 = − = − ⇒ = − ⇒2 2 2 2ε ε ε ε εo o o R2 R2 ( ) ( ) η−+=∴ −⋅−+= 2zyx zyx m C aaaP aaaP ��� � ��� � 6,054,148,1 2 112,108,396,2 2 2 e) dW d dW d dW d E vol E vol o R2 E vol o R2 = • ⇒ = • ⇒ = • 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 � � � � D E D D D ε ε ε ε =⇒ ⋅⋅ ⋅++ ⋅= − − 3 vol E 12 8222 vol E m J 5560 d dW 1085482 1021083962 2 1 d dW µ, , ),,,( Nota: � Cálculo de θ θ1 e 2 : θ θ θ1 1 2 2 2 2 2 1 1 6 3 2 3 3 6 1 8 49 3= ⇒ = + + + ⇒ = °arctg arctg � � D D t1 n1 , , , , , – Página 5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA θ θ θ2 2 2 2 2 2 2 2 0 64 1 28 1 2 3 6 1 8 24 9= ⇒ = + + + ⇒ = °arctg arctg � � D D t2 n2 , , , , , , 5.6) Duas pequenas esferas metálicas iguais de raio a estão bastante afastadas de uma distância d e imersas num meio de condutividade σ. Aplica-se a elas uma tensão V. Calcule a resistência oferecida pelo material entre as duas esferas. Resolução: Como d >> a, pode-se considerar as duas esferas como duas cargas pontuais. Deste modo, o campo elétrico gerado por qualquer uma delas será: r2 o r4 Q aE � � piε = . 1o modo: � Cálculo da resistência oferecida pelo material entre as esferas: ∫ ∫ • •− =⇒= S d d R I VR SJ LE �� �� (01) � Cálculo de V: aad d a d a oo r 2 or 2 o 2 QV11 4 Q2V r dr 4 Q2Vdr r4 Q2V piεpiε piεpiε =⇒ +−⋅= ⋅=⇒⋅= ∫∫ == � Cálculo de I: oo 2 0 0 2 2 o 2 oSS Q I22 4 Q Id d r r 1 4 Q I r4 Q I II ε σ pi piε σφθθ piε σ piε σ σ pi φ pi θ =⇒⋅⋅=⇒⋅= =⇒•=⇒•= ∫ ∫ ∫∫∫ = = sen S dSEdSJ �� (03) (02) – Página 5.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA Substituindo (02) e (03) em (01), temos: aa 2 1R Q 2 QR o o piσσ ε piε =⇒⋅= 2o modo: I d2 R I VR ∫ •⋅ =⇒= LE �� (01) � Cálculo de E � : r222 r 4 I r 4 IEE r 4 I E Area IJ aE � � σpiσpi σ pi σ =⇒=⇒= == � Cálculo de V: aad d a d a 2 IV11 4 I2V r dr 4 I2Vdr r 4 I2V r 2 r 2 piσpiσ piσpiσ =⇒ +−⋅= ⋅=⇒⋅= ∫∫ == Substituindo (03) em (01), temos: aa 2 1R I 1 2 IR piσpiσ =⇒⋅= 5.7) O vetor unitário ( )� � � �a a a aN12 2 3 6 7= − + +x y z , é dirigido da região 1 para a região 2, sendo normal a fronteira plana entre os dois dielétricos perfeitos com εεεεR1 = 3 e εεεεR2 = 2. Sendo [ ]� � � �E a a a1 100 80 60= + +x y z V m , determine �E2 . Resolução: � Cálculo dos componentes de � E1: � � � E E E1 1= +n t1 � Cálculo de � En1 : ( )� � � �E E a an N12 N121 1= • ( ) [ ] m V 9848492432716 7 632 7 632 6080100 zyx1n zyxzyx zyx1n aaaE aaaaaa aaaE ��� � ������ ��� � ,,, +−= − ⋅ − •+= + ++++ + (02) (03) – Página 5.9 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA � Cálculo de � E t1 : ( ) ( ) [ ]mV 02115155327116 93484924327166080100 zyx1t zyxzyx1t n111t aaaE aaaaaaE EEE ��� � ������ � ��� ,,, ,,, ++=∴ ++−−++= = − � Cálculo dos componentes de � E2 : � � � E E E2 = +n2 t2 (01) � Cálculo de � En2 : � � � � � E D D E En2 n2 o R2 n1 o R2 n2 R1 R2 n1= = ⇒ =ε ε ε ε ε ε ( ) [ ] m V 47737353649124 9848492432716 2 3 zyxn2 zyxn2 aaaE aaaE ��� � ��� � ,,, ,,, +−=∴ +−⋅= + + � Cálculo de � E t2 : [ ] m V 02115155327116 zyx1t2t aaaEE ��� �� ,,, ++= = (03) Substituindo (02) e (03) em (01), temos: ( ) ( ) [ ] m V 449842459283691 47737353649124+02115155327116 zyx2 zyxzyx2 aaaE aaaaaaE ��� � ������ � ,,, ,,,,,, ++=∴ ++−++= 5.8) Dado o campo potencial 2r200V /)cossen( φθ= [V], determinar: a) A equação da superfície condutora na qual V = 100 V; b) O campo elétrico E� no ponto P (r, 30o, 30o) sobre a superfície condutora; c) A densidade superficial ρS no ponto P. ASSUMIR: ε = εo na superfície adjacente Resolução: a) Para determinar a equação da superfície condutora na qual V = 100 V, basta substituir este valor na equação de campo dada. Portanto: φθφθ cossen)cossen( 2r 100 r 200V 2 2 =⇒== (02) – Página 5.10 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA b) Dados: P (r,θ = 30o, φ = 30o ) φθ ∂φ ∂ θ∂θ ∂ ∂ ∂ aaaE ��� �� V r 1V r 1 r VV r sen −−−=∇−= ( ) ( ) ( )[ ]φθ φθ φθ φφθφθ φφθφθ φθ θ θφφθ aaaE aaaE aaaE ��� � ��� � ��� � 2 r 200 r 200 r 200 r 400 r 200 r 1 r 200 r 1 r 400 r3 32r3 22r3 sencoscoscossen sencoscoscossen sen sen sen cos coscossen +−= + − = −⋅− ⋅− −−= Substituindo as coordenadas de P em (01), temos: ( ) ( )[ ] ( )φθ φθ aaaE aaaE ��� � ��� � 50 750 8660 r 200 30303030302 r 200 r3 r3 ,,, sencoscoscossen +−= °+°°−°°= Mas φθcossen2r 2 = (item a).Portanto 93060r30302r 2 ,cossen =⇒°°= (03) Substituindo (03) em (02), temos:( ) [ ] m V 1124 1186 215 50 750 8660 93060 200 r r3 φθ φθ aaaE aaaE ��� � ��� � ,, ,,, , +−= +−= c) NS D=ρ � Cálculo de ND : ( ) ±==⇒±= ++=⇒=⇒=⇒= 2SNoN 222 oNoNNoNo m C 752D 256310D 11241186215DDED ηρε εεεε ,, ,,EED ��� (01) (02) – Página 5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 5.9) Duas cargas pontuais e simétricas de 100 ηηηηC estão localizadas acima de um plano condutor situado em z = 0, sendo a carga positiva em (ρρρρ = 1 m, φφφφ = pipipipi/2, z = 1 m) e a carga negativa em (ρρρρ = 1 m, φφφφ = 3pipipipi/2, z = 1 m). Determinar: a) A densidade superficial de carga na origem; b) A densidade superficial de carga no ponto A(ρρρρ = 1 m, φφφφ = pipipipi/2, z = 0); c) A densidade de fluxo elétrico D� no ponto B(ρρρρ = 0, φφφφ = 0, z = 1 m). Resolução: Dados: ( ) ( ) ( ) ( ) =⇒==== =⇒==== −=−===== 1001z00 0100z21 C100QQQ ; C100QQQ 3241 ,,,, ,,,, BB AA φρ piφρ ηη a) Na origem, o vetor densidade de fluxo elétrico ( 0D � ) é nulo, pois os campos criados pelas cargas objeto ( 2010 e DD �� ) são anulados pelos campos criados pelas cargas imagem ( 4030 e DD �� ). Logo, 00S == D � ρ b) AAS D � =ρ , onde AD � é o vetor densidade de fluxo elétrico resultante no ponto (01) � Cálculo de AD � : A4A3A2A1A DDDDD ����� +++= (02) A1R2 A1 1 A1 R4 Q aD � � pi = , onde − = =−= 5 2 5R ; 2 zy A1R A1zyA1 aa a aaR �� � �� � (03) – Página 5.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA A2R2 A2 2 A2 R4 Q aD � � pi = , onde −= =−= zA2R A2zA2 1R ; aa aR �� � � (04) A3R2 A3 3 A3 R4 Q aD � � pi = , onde + = =+= 5 2 5R ; 2 zy A3R A3zyA3 aa a aaR �� � �� � (05) A4R2 A4 4 A4 R4 Q aD � � pi = , onde = == zA4R A4zA4 1R ; aa aR �� � � (06) Substituindo (03), (04), (05) e (06) em (02), temos: ( ) ( ) = −⋅=∴ − ⋅=⇒ − ⋅=⇒ + − ⋅= + − ⋅=⇒ + + −+ − ⋅= ⋅+ + ⋅ − +−⋅ − + − ⋅= 2zA2zA zAzAzA zAz zy z zy A z zy z zy A m C 4914ou m C 5252 25 525 2 100 55 155 2 Q1 55 1 2 Q 2 55 2 4 Q 55 2 55 2 4 Q 4 Q 5 2 54 Q 4 Q 5 2 20 Q ηη pi pi η pipi pipi pipipipi aDaD aDaDaD aDa aa a aa D a aa a aa D � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � �� � �� � , Substituindo (07) em (01), temos: ( ) =−⋅= 2zS2zAS mC 4914ou mC 5252 ηρηpiρ aa �� , c) Cálculo de BD � : B4B3B2B1B DDDDD ����� +++= (01) B1R2 B1 1 B1 R4 Q aD � � pi = , onde = == yA1R B1yB1 1R ; aa aR �� � � (02) B2R2 B2 2 B2 R4 Q aD � � pi = , onde −= =−= yB2R B2yB2 1R ; aa aR �� � � (03) (07) – Página 5.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA B3R2 B3 3 B3 R4 Q aD � � pi = , onde + = =+= 5 2 5R ; 2 zy B3R B3zyB3 aa a aaR �� � �� � (04) B4R2 B4 4 B4 R4 Q aD � � pi = , onde +− = =+−= 5 2 5R ; 2 zy B4R B4zyB4 aa a aaR �� � �� � (05) Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01), temos: ( ) ( ) = −⋅= − ⋅=⇒ − ⋅= − ⋅=⇒ −⋅=⇒ −⋅= −⋅=⇒ +− + + −+⋅= +− ⋅+ + ⋅ − +−⋅ − +⋅= 2yB2yB yByB yByB y yB y yB zyzy yyB zy z zy yyB m C 4914ou m C 5252 25 525 2 100 25 525 2 Q 55 155 2 Q 55 11 2 Q 55 2 2 4 Q 55 2 2 4 Q 55 2 55 2 4 Q 5 2 54 Q 5 2 54 Q 4 Q 4 Q ηη pi pi η pi pipipi pipi pipipipi aDaD aDaD aDaD a aD a aD aaaa aaD aa a aa aaD � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� �� � �� � �� �� � , 5.10) A região entre as placas de metal de um capacitor é preenchida por 4 (quatro) camadas de dielétricos diferentes, com permissividades 2εεεεo, 3εεεεo, 4εεεεo e 5εεεεo, onde εεεεo é a permissividade elétrica do vácuo. Cada camada tem espessura a e área S. Determinar, para os arranjos de dielétricos em série e em paralelo: a) As magnitudes do campo elétrico (E) e da densidade de fluxo (D) em cada camada; b) A diferença de potencial (Vo) entre as placas; c) A capacitância total (C) resultante; Nota: Usar apenas os parâmetros dados, adotando as cargas das placas iguais ±±±±Q. Obs: Para um arranjo série de dielétricos, deve-se considerar que a área das placas que formam o capacitor é igual a área de cada camada de dielétrico , ou seja, Splaca = Scamada = S; (Arranjo Série) Para um arranjo paralelo de dielétricos, deve-se considerar que a área das placas que formam o capacitor foi dividida em quatro, de modo que Splaca = 4Scamada = 4S; (Arranjo Paralelo) – Página 5.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA Resolução: � Arranjo Série: a) Pelas condições de contorno, DDD 2n1n == . Sabe-se que S Ψ =D e que Q=Ψ . Portanto, S QDDDDD 4321 ===== (01) Mas E D ε= (02) Substituindo (01) em (02), temos: oo S2 S εεε 2 QE Q E D E 11 1 1 1 =⇒=⇒= oo S3 S εεε 3 QE Q E D E 22 2 2 2 =⇒=⇒= oo S4 S εεε 4 QE Q E D E 33 3 3 3 =⇒=⇒= oo S5 S εεε 5 QE Q E D E 44 4 4 4 =⇒=⇒= b) 4321o VVVVV +++= 44332211o dEdEdEdEV +++= , onde ==== (a) item no calculados foram EEEE dddd 4321 4321 ,,, a (01) Substituindo os valores de 4321 E e EEE ,, em (01), temos: oo o S a S a S a εε ε ⋅ ⋅ ⋅=⇒ +++ ⋅ ⋅ ⋅ = +++⋅ ⋅ ⋅ = Q 60 77V 60 12152030QV 5 1 4 1 3 1 2 1QV oo o – Página 5.15– EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA c) O cálculo da capacitância pode ser feito de duas maneiras. A primeira considera a definição de capacitância para um capacitor de placas paralelas ( oV QC = ). A segunda considera que a capacitância total (C)do arranjo acima é equivalente à capacitância resultante quando admitimos que os quatro capacitores formados pelas camadas de dielétricos acima estão colocados em série. 1o modo: a S S a o o o 77 60C Q 60 77 QC V QC ε ε ⋅ ⋅=⇒ ⋅ ⋅ ⋅ =⇒= 2o modo: a Sa S a S a S a S a S a S a o oo oooo4321 77 60C 60 77 1C 5 1 4 1 3 1 2 1 1C 5432 1C C 1 C 1 C 1 C 1 1C ε εε εεεε ⋅=⇒ ⋅ =⇒ +++⋅ = +++ =⇒ +++ = � Arranjo Paralelo: Para esta configuração, a solução torna-se mais simples quando iniciada em ordem inversa. c) 4321 CCCCC +++= (01) onde ⋅ =⇒ ⋅ = ⋅ =⇒ ⋅ = ⋅ =⇒ ⋅ = ⋅ =⇒ ⋅ = a S d S a S d S a S d S a S d S 4 4 3 3 2 2 1 1 o 4 4 4 o 3 3 3 o 2 2 2 o 1 1 1 5 CC 4 CC 3 CC 2 CC εε εε εε εε v (02) Substituindo (02) em (01), temos: ( ) a S a S a S a S a S a S oooooo 14C5432C5432C εεεεεε ⋅=⇒+++⋅=⇒⋅+⋅+⋅+⋅= b) S a a S o o o oo o Q 14 1V 14 QV C QV V QC εε ⋅ ⋅=⇒ ⋅ =⇒=⇒= (03) – Página 5.16 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA a) Sabe-se que : d VEEdV =⇒= (04) Mas ==== ==== 4321 4321o dddd VVVVV a (05) Substituindo (05) em (04), tem-se: Sa o o 4321 Q 14 1E V EEEEE ε ⋅=⇒===== (06) Sabe-se que : ED ⋅= ε (07) Substituindo (07) em (06) para cada região, tem-se: SS Q 14 2D 14 Q2DED 1 o o111 ⋅=⇒⋅=⇒⋅= ε εε SS Q 14 3D 14 Q3DED 2 o o222 ⋅=⇒⋅=⇒⋅= ε εε SS Q 14 4D 14 Q4DED 3 o o333 ⋅=⇒⋅=⇒⋅= ε εε SS Q 14 5D 14 Q5DED 4 o o444 ⋅=⇒⋅=⇒⋅= ε εε Nota: Das equações (02) e (03) , pode-se calcular a forma com que a carga total Q foi distribuída entre as camadas de dielétricos. Q 14 2QQ 14 12QVCQ 1 o o 1o11 ⋅=⇒ ⋅ ⋅⋅ ⋅ =⇒= S a a S ε ε Q 14 3QQ 14 13QVCQ 2 o o 2o22 ⋅=⇒ ⋅ ⋅⋅ ⋅ =⇒= S a a S ε ε Q 14 4QQ 14 14QVCQ 3 o o 3o33 ⋅=⇒ ⋅ ⋅⋅ ⋅ =⇒= S a a S ε ε Q 14 5QQ 14 15QVCQ 4 o o 4o44 ⋅=⇒ ⋅ ⋅⋅ ⋅ =⇒= S a a S ε ε Logo, devido às diferentes permissividades, a carga Q não foi igualmente distribuída entre as camadas. Deve-se ressaltar que a relação 4321 QQQQQ +++= continua verdadeira. – Página 5.17 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 5.11) Duas esferas condutoras concêntricas de raios r = 3 mm e r = 7 mm são separadas por dois dielétricos diferentes, sendo a fronteira entre os dois dielétricos localizada em r = 5 mm. Se as permissividades relativas são εεεεR1 = 4, para o dielétrico mais interno, e εεεεR2 = 6, para o outro dielétrico, e ρρρρS = 10 ηηηηC/m2 na esfera interna, determinar: a) A expressão que fornece o campo elétrico entre as duas esferas, utilizando a Lei de Gauss; b) A diferença de potencial entre as duas esferas; c) A capacitância (*) do capacitor esférico formado. (*) A fórmula da capacitância do capacitor esférico não poderá ser usada diretamente. Resolução: Dados: = == == 2S62R41R m C10 ; ; mm7 ; mm3 ηρεε ba a) Pela Lei de Gauss: ∫∫ ==• vol vinterna S dvQ ρdSD � � Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a: 0 0Q pois ,0 1interna1 =⇒== ED �� � Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b: interna S Q=•∫ dSD � , onde: = == = ∫ S Sinterna r 2 rr rr dSQ d d r ρ φθθ ;sendS D ; aadS aD �� � � – Página 5.18 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA r2 15 2 239 r2 2 S r 2 0 0 2 S 2 0 0 r 2 rinterna S r 1090 r 1031010 r d d d d rQ aD a aadSD � � � � −−− = == = ⋅ =⇒ ⋅⋅⋅ =⇒ ⋅ = =⇒=• ∫ ∫∫ ∫∫ )( DD sensenD ρ φθθρφθθ pi φ pi θ pi φ pi θ Mas ED �� ε= e portanto, teremos duas expressões para o campo elétrico entre as duas esferas. � Campo elétrico para 3mm < r < 5mm: [ ] m V 10 r 5412 1085484 r 1090 r 3 21r12 2 15 1 1Ro 1 1 1 aEaE DEDE � � � � � � � � − − − ⋅=⇒ ⋅⋅ ⋅ =⇒=⇒= , ,εεε � Campo elétrico para 5mm < r < 7mm: [ ] m V 10 r 6941 1085486 r 1090 r 3 22r12 2 15 2 2Ro 2 2 2 aEaE DEDE � � � � � � � � − − − ⋅=⇒ ⋅⋅ ⋅ =⇒=⇒= , ,εεε b) •+•−=⇒•−= ∫∫∫ a b a b drEdrEdLE mm5 1 mm5 2abab VV ��� [ ]V 43560V 10833810808596V 10 r 541210 r 6941V dr10 r 5412dr10 r 6941V ab 33 ab 3103 3105 3 3105 3107 3 ab mm3 mm5 3 2 mm5 mm7 3 2ab ,,, ,, ,, =⇒⋅+⋅= ⋅+ ⋅= ⋅+⋅−= −− − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − −− ∫∫ c) ab S 2 ab S S ab interna o V 4 C V dS C V Q C V QC ρpi ρ a =⇒=⇒=⇒= ∫ [ ]F 5962C 43560 10101034C 923 ηpi , , )( =⇒ ⋅⋅⋅⋅ = −−
Compartilhar