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Exercícios resolvidos de Eletromagnetismo Condutores, Dielétricos e Capacitância

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
CAPÍTULO 05 
 
CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 
 
 
5.1) Um capacitor de placas paralelas está cheio de ar, possui placas de áreas 4 x 4 cm2, 
separadas uma da outra por uma distância de 0,3 cm. Como devem ser usadas 2 cm3 de 
parafina ( εR = 2 25, ) para obter máxima capacitância? Qual é o valor desta máxima 
capacitância? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Dados:



=
=⋅⋅=
]
]
3
3
[cm 2parafina de Volume
[cm 4,80,344placas as entre Volume
 
 
 Para aumentar a capacitância, a melhor combinação consiste em colocar toda a parafina 
entre as placas, de modo que sua capacitância fique em paralelo com a capacitância do 
restante do meio entre as placas (ar). 
 
 Portanto, arparafinamax CCC += (01) 
 
� Cálculo de x: 
 
 Volume de parafina [cm] 6671xx3042 ,, =⇒⋅⋅== 
 
� Cálculo de parafinaC : 
 
 
d
S 
C parafinaparafina
ε
= , onde 





⋅==
⋅==⋅=
=
−
[m] 100,3cm 30d
m106686cm 6686x4S
2-
242
parafina
Ro
,
][,,
εεε
 
 
 
[pF] 4284C
1030
106686252108548C
1030
106686
C
parafina
2
412
parafina2
4
Ro
parafina
,
,
,,,
,
,
=∴
×
⋅⋅⋅⋅
=⇒
⋅
⋅⋅
=
−
−−
−
−εε
 
 
� Cálculo de arC : 
 
 
d
S 
C arar
ε
= , onde ( )





⋅==
⋅⋅−=
ε=ε
[m] 100,3cm 3,0d
][m 10 4x4S
2-
24-
ar
o
 
 (02) 
 
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 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
 
( ) ( )
[pF] 7542C
1030
104 1,667-4108548
1030
104 x-4
C
ar
2
412
2
4
o
ar
,
,
,
,
=∴
⋅
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
⋅⋅⋅
=
−
−−
−
−ε
 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 [pF] 1827C 75424284C maxmax ,,, =⇒+= 
 
5.2) As superfícies esféricas, r = 2 cm e r = 10 cm, são condutoras perfeitas. A corrente total 
passando radialmente para fora através do meio entre as esferas é de 2,5 A. Determinar: 
a) a diferença de potencial entre as esferas; 
b) a resistência entre as esferas; 
c) o campo elétrico E� na região entre as esferas. 
Assumir que a região está preenchida com um material dielétrico cuja condutividade é 
σσσσ = 0,02 mho/m (ou σσσσ = 0,02 S/m). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
a) r2r r 4
I
S
I
aJaJ �
�
�
�
pi
=⇒= (01) 
 
 r2r 4
I
 aEJEEJ �
�
�
���
piσσ
σ =⇒=⇒= (02) 
 
� Cálculo de abV : 
 
 ∫ •−=
a
b
abV dLE
�
 (03) 
 
 Substituindo (02) em (03), temos: 
 
 ∫ •






−=
a
b
rr2ab
 dr
r 4
IV aa ��
piσ
 
 (03) 
 
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cm2r
cm10r
ab2
a
br
ab
r
1
02,04
5,2V
r
dr
4
IV
=
=
=



−
⋅pi
−=⇒
piσ
−= ∫ 
 
 [ ] ]V[398V105095,9V
10,0
1
02,0
195,9V ababab =⇒−⋅=⇒





−⋅= 
 
b) ][ 2159R 
52
398R
I
V
R ab Ω=⇒=⇒= ,
,
 
 
c) Da Equação (02) do ítem a, temos: 
 
 
[ ]
m
V
 
r
949
 
r 0204
52
r 4
I
r2r2r2
aEaEaE �
�
�
�
�
� ,
,
,
=⇒=⇒=
pipiσ
 
 
5.3) Uma pequena esfera metálica de raio a, no vácuo, dista d (d >> a) de um plano condutor. 
Calcular o campo elétrico a meia distância entre a esfera e o plano condutor. 
 
Resolução: 
 
� Método das Imagens: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O Campo Elétrico resultante no ponto P será: 
 
 21 EEE
���
+= , onde 



. carga pela P ponto no gerado elétrico campo o é 
 carga pela P ponto no gerado elétrico campo o é 
2
1
2E
1E
�
�
;
 
 
� Cálculo de E
�
: 
 
 
( ) ( ) ( )
x2
o
x2
o
x2
o
x2
o
x2
o
x2
o
d9
Q10
 
9
11
d
Q
d94
Q4
d4
Q4
2
d34
Q
2
d4
Q
aEaE
aaEaaE
�
�
�
�
��
�
��
�
piεpiε
piεpiεpiεpiε
=⇒





+=
+=⇒−
−
+=
 
 
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5.4) As superfícies esféricas, r = 2 cm e r = 6 cm, são condutoras perfeitas e a região entre 
elas é preenchida com um material de condutividade σσσσ = 80 mho/m. Se a densidade de 
corrente é r2 ar 
10J �
�






=
pi
 [A/m2] para 2 < r < 6 cm, determinar: 
a) A corrente I fluindo de uma superfície condutora perfeita para a outra; 
b) O campo elétrico E� na região entre as esferas; 
c) A diferença de potencial entre as duas superfícies condutoras; 
d) A potência total dissipada no material condutor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) ∫ •=
S
I dSJ
�
, onde 





=






=
r
2
r2
 d d r
a
r 
10
adS
J
�
�
�
φθθ
pi
sen
 
 
 
[ ] [ ]
[A] 40I 2210I
10Id d r
r 
10I 200
0
2
0
2
2
=⇒⋅⋅=
⋅−=⇒⋅⋅=∴ ∫ ∫
= =
pi
pi
φθ
pi
φθθ
pi
pipi
pi
θ
pi
φ
cossen
 
 
b) [ ]
m
V
 
r 8
1
 
80
1
r 
10
 r2r2
aEaEJEEJ �
�
�
�
�
���
pipiσ
σ =⇒⋅=⇒=⇒= 
 
c) ∫ •−=
a
b
abV dLE
�
 
 
 
[ ] [V] 3261V 671650
8
1V
060
1
020
1
8
1V
r
1
 8
1V
r
dr
 8
1V
 dr
r8
1V
ababab
 020
060r
ab
020
060r
2ab
a
b
rr2ab
,,
,,
,
,
,
,
=⇒−⋅=⇒





−⋅=






−⋅−=⇒





−=
•





−=
==
∫
∫
pipi
pipi
pi
aa
��
 
 
d) [W] 0553P 403261PVIP ,, =⇒⋅=⇒= 
 
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5..5) A fronteira entre dois dielétricos de permissividade relativas εR1 = 5 e εR2 = 2 é definida 
pela equação do plano 2 2x y+ = . Se, na região do dielétrico 1, a densidade de fluxo 
elétrico for dada por zyx1 a3a5a2
���
�
−+=D , determinar: 
a) 2nD
�
; 
b) 2tD
�
; 
c) 2D
�
; 
d) 2P
�
; 
e) A densidade de energia na região do dielétrico 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
� Cálculo de na
�
: 
 
 Seja 2yx2f −+= a fronteira entre os dois meios (plano de separação). 
 yx2f aa
��
�
+=∇ . Logo, ( )yxnn 25
1
f
f
aaaa
���
�
�
�
+⋅=⇒
∇
∇
= 
 
� Cálculo dos componentes de 
�
D1 : 
 
 1t1n1 DDD
���
+= 
 
� Cálculo de 
�
Dn1: 
 
 ( ) nn11n aaDD ���� •= 
 
( )











 +
=







 +
⋅















 +
•= −+
2
yx
1n
yxyx
z3y5x1n
m
C
 
5
918
5
2
5
2
2
ηaaD
aaaa
aaD a
��
�
����
��
�
�
 
 
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� Cálculo de 
�
D t1: 
 
 
()




−+−=







 +
−−+=
= −
2zyx1t
yx
zyx1t
n111t
m
C
 32361
5
918
352
ηaaaD
aa
aaaD
DDD
���
�
��
���
�
���
,,
 
 
a) 










 +
=⇒= 2
yx
n21nn2
m
C
 
5
918
 
ηaaDDD
��
���
 
 
b) � � �
�
� �
E E D D D Dt2 t2 o R2 t1
o R1
t2
R2
R1
t1= ⇒ = ⋅ ⇒ =t1 ε ε ε ε
ε
ε
 
 
 ( ) −+−=⇒−+−⋅= 2zyxt2zyxt2 mC 21281640 323615
2 ηaaaDaaaD ���
�
���
�
,,,,, 
 
c) � � �D D D2 = +n2 t2 
 
( )




−+=
−+






 +
=
2zyx2
zyx
yx
2
m
C
 210832,96
212810,64-+
5
918
ηaaaD
aaa
aa
D
���
�
���
��
�
,,
,,
 
 
d) � � � � �
�
� �
P D E P D
D
P D2 2
2
2 1
1
= − = − ⇒ = −





⇒2 2 2 2ε ε ε ε εo o o R2 R2
 
 
( )
( ) η−+=∴






−⋅−+=
2zyx
zyx
m
C
 aaaP
aaaP
���
�
���
�
6,054,148,1
2
112,108,396,2
2
2
 
 
e) dW
d
dW
d
dW
d
E
vol
E
vol o R2
E
vol o R2
= • ⇒ = • ⇒ = •
1
2
1
2
1
22 2 2
2 2
2
� � �
�
D E D
D D
ε ε ε ε
 
 
 



=⇒
⋅⋅
⋅++
⋅=
−
−
3
vol
E
12
8222
vol
E
m
J
 5560
d
dW
 
1085482
1021083962
2
1
d
dW µ,
,
),,,(
 
 
Nota: 
 
� Cálculo de θ θ1 e 2 : 
 
 θ θ θ1 1
2 2 2
2 2 1
1 6 3 2 3
3 6 1 8
49 3=








⇒ =
+ +
+








⇒ = °arctg arctg
�
�
D
D
t1
n1
, ,
, ,
, 
 
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 θ θ θ2 2
2 2 2
2 2 2
0 64 1 28 1 2
3 6 1 8
24 9=








⇒ =
+ +
+








⇒ = °arctg arctg
�
�
D
D
t2
n2
, , ,
, ,
, 
 
5.6) Duas pequenas esferas metálicas iguais de raio a estão bastante afastadas de uma 
distância d e imersas num meio de condutividade σ. Aplica-se a elas uma tensão V. 
Calcule a resistência oferecida pelo material entre as duas esferas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Como d >> a, pode-se considerar as duas esferas como duas cargas pontuais. Deste modo, o campo 
elétrico gerado por qualquer uma delas será: r2
o r4
Q
aE �
�
piε
= . 
1o modo: 
 
� Cálculo da resistência oferecida pelo material entre as esferas: 
 
 
∫
∫
•
•−
=⇒=
S
d
d
R
I
VR
SJ
LE
��
��
 (01) 
� Cálculo de V: 
 
 
aad
d
a
d
a
oo
r
2
or
2
o
2
QV11
4
Q2V
r
dr
4
Q2Vdr
r4
Q2V
piεpiε
piεpiε
=⇒





+−⋅=
⋅=⇒⋅= ∫∫
==
 
 
� Cálculo de I: 
 
 
oo
2
0 0
2
2
o
2
oSS
Q I22
4
Q Id d r
r
1
4
Q I
r4
Q I II
ε
σ
pi
piε
σφθθ
piε
σ
piε
σ
σ
pi
φ
pi
θ
=⇒⋅⋅=⇒⋅=
=⇒•=⇒•=
∫ ∫
∫∫∫
= =
sen
S
dSEdSJ
��
 
 (03) 
 (02) 
 
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 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 
aa 2
1R Q 2
QR o
o piσσ
ε
piε
=⇒⋅= 
 
2o modo: 
 
I
d2
R
I
VR ∫
•⋅
=⇒=
LE
��
 (01) 
 
� Cálculo de E
�
: 
 
 
r222 r 4
I
r 4
IEE 
r 4
I
E 
Area
IJ
aE �
�
σpiσpi
σ
pi
σ
=⇒=⇒=
==
 
 
� Cálculo de V: 
 
 
aad
d
a
d
a
 2
IV11
4
I2V
r
dr
4
I2Vdr
r 4
I2V
r
2
r
2
piσpiσ
piσpiσ
=⇒





+−⋅=
⋅=⇒⋅= ∫∫
==
 
 
 Substituindo (03) em (01), temos: 
 
 
aa 2
1R 
I
1
 2
IR
piσpiσ
=⇒⋅= 
 
5.7) O vetor unitário ( )� � � �a a a aN12 2 3 6 7= − + +x y z , é dirigido da região 1 para a região 2, 
sendo normal a fronteira plana entre os dois dielétricos perfeitos com εεεεR1 = 3 e εεεεR2 = 2. 
Sendo [ ]� � � �E a a a1 100 80 60= + +x y z V m , determine �E2 . 
Resolução: 
 
� Cálculo dos componentes de 
�
E1: 
 
 
� � �
E E E1 1= +n t1 
 
� Cálculo de 
�
En1 : 
 
 ( )� � � �E E a an N12 N121 1= • 
 
 
( )
[ ]
m
V
 9848492432716
7
632
7
632
6080100
zyx1n
zyxzyx
zyx1n
aaaE
aaaaaa
aaaE
���
�
������
���
�
,,, +−=







 −
⋅















 −
•+=
+
++++
+
 
 (02) 
 (03) 
 
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� Cálculo de 
�
E t1 : 
 
 
( ) ( )
[ ]mV 02115155327116
93484924327166080100
zyx1t
zyxzyx1t
n111t
aaaE
aaaaaaE
EEE
���
�
������
�
���
,,,
,,,
++=∴
++−−++=
= −
 
 
� Cálculo dos componentes de 
�
E2 : 
 
 
� � �
E E E2 = +n2 t2 (01) 
 
� Cálculo de 
�
En2 : 
 
 
�
� �
� �
E
D D
E En2
n2
o R2
n1
o R2
n2
R1
R2
n1= = ⇒ =ε ε ε ε
ε
ε
 
 
 
( )
[ ]
m
V
 47737353649124
9848492432716
2
3
zyxn2
zyxn2
aaaE
aaaE
���
�
���
�
,,,
,,,
+−=∴
+−⋅=
+
+
 
 
� Cálculo de 
�
E t2 : 
 
 
[ ]
m
V
 02115155327116 zyx1t2t aaaEE
���
��
,,, ++= = (03) 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 
( ) ( )
[ ]
m
V
 449842459283691
47737353649124+02115155327116
zyx2
zyxzyx2
aaaE
aaaaaaE
���
�
������
�
,,,
,,,,,,
++=∴
++−++=
 
 
5.8) Dado o campo potencial 2r200V /)cossen( φθ= [V], determinar: 
a) A equação da superfície condutora na qual V = 100 V; 
b) O campo elétrico E� no ponto P (r, 30o, 30o) sobre a superfície condutora; 
c) A densidade superficial ρS no ponto P. 
 ASSUMIR: ε = εo na superfície adjacente 
 
Resolução: 
 
a) Para determinar a equação da superfície condutora na qual V = 100 V, basta substituir este 
valor na equação de campo dada. 
 
 Portanto: φθφθ cossen)cossen( 2r 100
r
200V 2
2
=⇒== 
(02) 
 
– Página 5.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
b) Dados: P (r,θ = 30o, φ = 30o ) 
 
 φθ ∂φ
∂
θ∂θ
∂
∂
∂
aaaE ���
�� V
r
1V
r
1
r
VV r
sen
−−−=∇−= 
 
 
( )
( ) ( )[ ]φθ
φθ
φθ
φφθφθ
φφθφθ
φθ
θ
θφφθ
aaaE
aaaE
aaaE
���
�
���
�
���
�
 2
r
200
 
r
200
 
r
200
 
r
400
 
r
200
r
1
 
r
200
r
1
 
r
400
r3
32r3
22r3
sencoscoscossen
sencoscoscossen
sen
sen
sen
cos
coscossen
+−=






+





−





=






−⋅−





⋅−





−−=
 
 
 Substituindo as coordenadas de P em (01), temos: 
 
 
( ) ( )[ ]
( )φθ
φθ
aaaE
aaaE
���
�
���
�
 50 750 8660
r
200
 30303030302
r
200
r3
r3
,,,
sencoscoscossen
+−=
°+°°−°°=
 
 
 Mas φθcossen2r 2 = (item a).Portanto 93060r30302r 2 ,cossen =⇒°°= (03) 
 
 Substituindo (03) em (02), temos:( )
[ ]
m
V
 1124 1186 215
 50 750 8660
93060
200
r
r3
φθ
φθ
aaaE
aaaE
���
�
���
�
,,
,,,
,
+−=
+−=
 
 
 
c) NS D=ρ 
 
� Cálculo de ND : 
 
 
( ) 


±==⇒±=
++=⇒=⇒=⇒=
2SNoN
222
oNoNNoNo
m
C
 752D 256310D
11241186215DDED
ηρε
εεεε
,,
,,EED
���
 
 
 
 
 
(01) 
(02) 
 
– Página 5.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
5.9) Duas cargas pontuais e simétricas de 100 ηηηηC estão localizadas acima de um plano 
condutor situado em z = 0, sendo a carga positiva em (ρρρρ = 1 m, φφφφ = pipipipi/2, z = 1 m) e a carga 
negativa em (ρρρρ = 1 m, φφφφ = 3pipipipi/2, z = 1 m). Determinar: 
a) A densidade superficial de carga na origem; 
b) A densidade superficial de carga no ponto A(ρρρρ = 1 m, φφφφ = pipipipi/2, z = 0); 
c) A densidade de fluxo elétrico D� no ponto B(ρρρρ = 0, φφφφ = 0, z = 1 m). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 Dados: ( ) ( )
( ) ( )




=⇒====
=⇒====
−=−=====
1001z00
0100z21
C100QQQ ; C100QQQ 3241
,,,,
,,,,
BB
AA
φρ
piφρ
ηη
 
 
a) Na origem, o vetor densidade de fluxo elétrico ( 0D
�
) é nulo, pois os campos criados pelas 
cargas objeto ( 2010 e DD
��
) são anulados pelos campos criados pelas cargas imagem ( 4030 e DD
��
). 
 
 Logo, 00S == D
�
ρ 
 
b) AAS D
�
=ρ , onde AD
�
 é o vetor densidade de fluxo elétrico resultante no ponto (01) 
 
� Cálculo de AD
�
: 
 
 A4A3A2A1A DDDDD
�����
+++= (02) 
 
A1R2
A1
1
A1
R4
Q
aD �
�
pi
= , onde 







−
=
=−=
5
2
5R ; 2
zy
A1R
A1zyA1
aa
a
aaR
��
�
��
�
 (03) 
 
– Página 5.12 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
 
A2R2
A2
2
A2
R4
Q
aD �
�
pi
= , onde 





−=
=−=
zA2R
A2zA2 1R ; 
aa
aR
��
�
�
 (04) 
 
 
A3R2
A3
3
A3
R4
Q
aD �
�
pi
= , onde 







+
=
=+=
5
2
5R ; 2
zy
A3R
A3zyA3
aa
a
aaR
��
�
��
�
 (05) 
 
 
A4R2
A4
4
A4
R4
Q
aD �
�
pi
= , onde 





=
==
zA4R
A4zA4 1R ; 
aa
aR
��
�
�
 (06) 
 
 Substituindo (03), (04), (05) e (06) em (02), temos: 
 
 
( )
( )




=



−⋅=∴






−
⋅=⇒





−
⋅=⇒





+
−
⋅=






+
−
⋅=⇒







+
+
−+
−
⋅=
⋅+
+
⋅
−
+−⋅
−
+
−
⋅=
2zA2zA
zAzAzA
zAz
zy
z
zy
A
z
zy
z
zy
A
m
C
 4914ou 
m
C
 5252
25
525
2
100
55
155
2
Q1
55
1
2
Q
2
55
2
4
Q
55
2
55
2
4
Q
4
Q
5
2
54
Q
4
Q
5
2
20
Q
ηη
pi
pi
η
pipi
pipi
pipipipi
aDaD
aDaDaD
aDa
aa
a
aa
D
a
aa
a
aa
D
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
��
�
��
�
,
 
 
 Substituindo (07) em (01), temos: 
 
 ( ) =−⋅= 2zS2zAS mC 4914ou mC 5252 ηρηpiρ aa �� , 
 
c) Cálculo de BD
�
: 
 
 B4B3B2B1B DDDDD
�����
+++= (01) 
 
 
B1R2
B1
1
B1
R4
Q
aD �
�
pi
= , onde 





=
==
yA1R
B1yB1 1R ; 
aa
aR
��
�
�
 (02) 
 
B2R2
B2
2
B2
R4
Q
aD �
�
pi
= , onde 





−=
=−=
yB2R
B2yB2 1R ; 
aa
aR
��
�
�
 (03) 
 (07) 
 
– Página 5.13 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
 
B3R2
B3
3
B3
R4
Q
aD �
�
pi
= , onde 







+
=
=+=
5
2
5R ; 2
zy
B3R
B3zyB3
aa
a
aaR
��
�
��
�
 (04) 
 
 
B4R2
B4
4
B4
R4
Q
aD �
�
pi
= , onde 







+−
=
=+−=
5
2
5R ; 2
zy
B4R
B4zyB4
aa
a
aaR
��
�
��
�
 (05) 
 
 Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01), temos: 
 
 
( )
( )




=



−⋅=






−
⋅=⇒





−
⋅=






−
⋅=⇒





−⋅=⇒







−⋅=








−⋅=⇒






 +−
+
+
−+⋅=
+−
⋅+
+
⋅
−
+−⋅
−
+⋅=
2yB2yB
yByB
yByB
y
yB
y
yB
zyzy
yyB
zy
z
zy
yyB
m
C
 4914ou 
m
C
 5252
25
525
2
100
25
525
2
Q
55
155
2
Q
55
11
2
Q
55
2
2
4
Q
55
2
2
4
Q
55
2
55
2
4
Q
5
2
54
Q
5
2
54
Q
4
Q
4
Q
ηη
pi
pi
η
pi
pipipi
pipi
pipipipi
aDaD
aDaD
aDaD
a
aD
a
aD
aaaa
aaD
aa
a
aa
aaD
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
����
��
�
��
�
��
��
�
,
 
 
5.10) A região entre as placas de metal de um capacitor é preenchida por 4 (quatro) camadas 
de dielétricos diferentes, com permissividades 2εεεεo, 3εεεεo, 4εεεεo e 5εεεεo, onde εεεεo é a 
permissividade elétrica do vácuo. Cada camada tem espessura a e área S. Determinar, 
para os arranjos de dielétricos em série e em paralelo: 
a) As magnitudes do campo elétrico (E) e da densidade de fluxo (D) em cada camada; 
b) A diferença de potencial (Vo) entre as placas; 
c) A capacitância total (C) resultante; 
 Nota: Usar apenas os parâmetros dados, adotando as cargas das placas iguais ±±±±Q. 
 
Obs: Para um arranjo série de dielétricos, deve-se considerar que a área das placas que formam o 
capacitor é igual a área de cada camada de dielétrico , ou seja, Splaca = Scamada = S; (Arranjo Série) 
 Para um arranjo paralelo de dielétricos, deve-se considerar que a área das placas que formam 
o capacitor foi dividida em quatro, de modo que Splaca = 4Scamada = 4S; (Arranjo Paralelo) 
 
– Página 5.14 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
Resolução: 
 
� Arranjo Série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Pelas condições de contorno, DDD 2n1n == . 
Sabe-se que 
S
Ψ
=D e que Q=Ψ . Portanto, 
S
QDDDDD 4321 ===== (01) 
 
 Mas E D ε= (02) 
 
 Substituindo (01) em (02), temos: 
 
 
oo S2
S
εεε 2
QE 
Q
E
D
E 11
1
1
1 =⇒=⇒= 
 
 
oo S3
S
εεε 3
QE 
Q
E
D
E 22
2
2
2 =⇒=⇒= 
 
 
oo S4
S
εεε 4
QE 
Q
E
D
E 33
3
3
3 =⇒=⇒= 
 
 
oo S5
S
εεε 5
QE 
Q
E
D
E 44
4
4
4 =⇒=⇒= 
 
b) 4321o VVVVV +++= 
 44332211o dEdEdEdEV +++= , onde 



 ====
(a) item no calculados foram EEEE
dddd
4321
4321
,,,
a
 (01) 
 
 Substituindo os valores de 4321 E e EEE ,, em (01), temos: 
 
 
oo
o
S
a
S
a
S
a
εε
ε
⋅
⋅
⋅=⇒




 +++
⋅
⋅
⋅
=






+++⋅
⋅
⋅
=
Q
60
77V 
60
12152030QV
5
1
4
1
3
1
2
1QV
oo
o
 
 
– Página 5.15– 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
c) O cálculo da capacitância pode ser feito de duas maneiras. A primeira considera a definição 
de capacitância para um capacitor de placas paralelas (
oV
QC = ). A segunda considera que a 
capacitância total (C)do arranjo acima é equivalente à capacitância resultante quando admitimos 
que os quatro capacitores formados pelas camadas de dielétricos acima estão colocados em série. 
 
 1o modo: 
 
a
S
S
a
o
o
o 77
60C Q
60
77
QC
V
QC ε
ε
⋅
⋅=⇒
⋅
⋅
⋅
=⇒= 
 
 2o modo: 
 
a
Sa
S
a
S
a
S
a
S
a
S
a
S
a
o
oo
oooo4321
77
60C 
60
77
1C
5
1
4
1
3
1
2
1
1C
5432
1C
C
1
C
1
C
1
C
1
1C
ε
εε
εεεε
⋅=⇒
⋅
=⇒






+++⋅
=
+++
=⇒
+++
=
 
 
� Arranjo Paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 Para esta configuração, a solução torna-se mais simples quando iniciada em ordem inversa. 
 
c) 4321 CCCCC +++= (01) 
 
 onde 











⋅
=⇒
⋅
=
⋅
=⇒
⋅
=
⋅
=⇒
⋅
=
⋅
=⇒
⋅
=
a
S
d
S
a
S
d
S
a
S
d
S
a
S
d
S
4
4
3
3
2
2
1
1
o
4
4
4
o
3
3
3
o
2
2
2
o
1
1
1
5
CC
4
CC
3
CC
2
CC
εε
εε
εε
εε
v (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 ( )
a
S
a
S
a
S
a
S
a
S
a
S oooooo 14C5432C5432C εεεεεε ⋅=⇒+++⋅=⇒⋅+⋅+⋅+⋅= 
 
b) 
S
a
a
S o
o
o
oo
o
Q
14
1V 
14
QV
C
QV
V
QC
εε
⋅
⋅=⇒
⋅
=⇒=⇒= (03) 
 
– Página 5.16 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
a) Sabe-se que : 
d
VEEdV =⇒= (04) 
 
 Mas 




====
====
4321
4321o
dddd
VVVVV
a
 (05) 
 
 Substituindo (05) em (04), tem-se: 
Sa o
o
4321
Q
14
1E 
V
EEEEE
ε
⋅=⇒===== (06) 
 
 Sabe-se que : ED ⋅= ε (07) 
 
 Substituindo (07) em (06) para cada região, tem-se: 
 
 
SS
Q
14
2D 
14
Q2DED 1
o
o111 ⋅=⇒⋅=⇒⋅= ε
εε 
 
 
SS
Q
14
3D 
14
Q3DED 2
o
o222 ⋅=⇒⋅=⇒⋅= ε
εε 
 
 
SS
Q
14
4D 
14
Q4DED 3
o
o333 ⋅=⇒⋅=⇒⋅= ε
εε 
 
 
SS
Q
14
5D 
14
Q5DED 4
o
o444 ⋅=⇒⋅=⇒⋅= ε
εε 
 
Nota: Das equações (02) e (03) , pode-se calcular a forma com que a carga total Q foi distribuída 
entre as camadas de dielétricos. 
 
 Q
14
2QQ
14
12QVCQ 1
o
o
1o11 ⋅=⇒
⋅
⋅⋅
⋅
=⇒=
S
a
a
S
ε
ε
 
 
 Q
14
3QQ
14
13QVCQ 2
o
o
2o22 ⋅=⇒
⋅
⋅⋅
⋅
=⇒=
S
a
a
S
ε
ε
 
 
 Q
14
4QQ
14
14QVCQ 3
o
o
3o33 ⋅=⇒
⋅
⋅⋅
⋅
=⇒=
S
a
a
S
ε
ε
 
 
 Q
14
5QQ
14
15QVCQ 4
o
o
4o44 ⋅=⇒
⋅
⋅⋅
⋅
=⇒=
S
a
a
S
ε
ε
 
 
Logo, devido às diferentes permissividades, a carga Q não foi igualmente distribuída entre as 
camadas. Deve-se ressaltar que a relação 4321 QQQQQ +++= continua verdadeira. 
 
 
 
– Página 5.17 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
5.11) Duas esferas condutoras concêntricas de raios r = 3 mm e r = 7 mm são separadas por 
dois dielétricos diferentes, sendo a fronteira entre os dois dielétricos localizada em r = 5 
mm. Se as permissividades relativas são εεεεR1 = 4, para o dielétrico mais interno, e εεεεR2 = 6, 
para o outro dielétrico, e ρρρρS = 10 ηηηηC/m2 na esfera interna, determinar: 
a) A expressão que fornece o campo elétrico entre as duas esferas, utilizando a Lei de 
Gauss; 
b) A diferença de potencial entre as duas esferas; 
c) A capacitância (*) do capacitor esférico formado. 
(*) A fórmula da capacitância do capacitor esférico não poderá ser usada diretamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Dados:






=
==
== 2S62R41R m
C10 ; ; 
mm7 ; mm3
ηρεε
ba
 
 
a) Pela Lei de Gauss: ∫∫ ==•
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
 
 
� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a: 
 
 0 0Q pois ,0 1interna1 =⇒== ED
��
 
 
� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b: 
 interna
S
Q=•∫ dSD
�
, onde: 









=
==
=
∫
S
Sinterna
r
2
rr
rr
dSQ
 d d r
ρ
φθθ ;sendS
D ;
aadS
aD
��
�
�
 
 
– Página 5.18 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0055
 
 –– CCOONNDDUUTTOORREESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA 
 
r2
15
2
239
r2
2
S
r
2
0 0
2
S
2
0 0
r
2
rinterna
S
r
1090
r
1031010
r
 d d d d rQ
aD
a
aadSD
�
�
�
�
−−−
= == =
⋅
=⇒
⋅⋅⋅
=⇒
⋅
=
=⇒=• ∫ ∫∫ ∫∫
)(
DD
sensenD
ρ
φθθρφθθ
pi
φ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
 
 
 Mas ED
��
 ε= e portanto, teremos duas expressões para o campo elétrico entre as duas esferas. 
 
� Campo elétrico para 3mm < r < 5mm: 
 
[ ]
m
V
 10
r
5412
1085484
r
1090
r
3
21r12
2
15
1
1Ro
1
1
1 aEaE
DEDE �
�
�
�
�
�
�
�
−
−
−
⋅=⇒
⋅⋅
⋅
=⇒=⇒=
,
,εεε
 
 
� Campo elétrico para 5mm < r < 7mm: 
 
 
[ ]
m
V
 10
r
6941
 
1085486
r
1090
r
3
22r12
2
15
2
2Ro
2
2
2 aEaE
DEDE �
�
�
�
�
�
�
�
−
−
−
⋅=⇒
⋅⋅
⋅
=⇒=⇒=
,
,εεε
 
 
b) 








•+•−=⇒•−= ∫∫∫
a
b
a
b
drEdrEdLE
mm5
1
mm5
2abab VV
���
 
 
[ ]V 43560V 10833810808596V
10
r
541210
r
6941V
dr10
r
5412dr10
r
6941V
ab
33
ab
3103
3105
3
3105
3107
3
ab
mm3
mm5
3
2
mm5
mm7
3
2ab
,,,
,,
,,
=⇒⋅+⋅=






⋅+





⋅=








⋅+⋅−=
−−
−
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
−−
∫∫
 
 
 
c) 
ab
S
2
ab
S
S
ab
interna
o V
4
C
V
dS
C
V
Q
C
V
QC ρpi
ρ
a
=⇒=⇒=⇒=
∫
 
 
[ ]F 5962C 
43560
10101034C
923
ηpi ,
,
)(
=⇒
⋅⋅⋅⋅
=
−−

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