Microsoft Word ELM ER 09 Cap9

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099
 
 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 
CAPÍTULO 09 
 
CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL 
 
 
9.1) A figura abaixo mostra uma barra condutora paralela ao eixo y, que completa uma 
malha através de contatos deslizantes com os condutores em y = 0 e em y = 0,05 [m]. 
a) Calcular a tensão induzida quando a barra está parada em x = 0,05 [m] e 
[ ]T t10300 4sen,B = . 
b) Repita o item acima supondo que a barra desloca-se com velocidade [ ]
s
m
 150 xav = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 ( ) ∫∫ •−•×=
S t
 fem dSBdLBv ∂
∂
�
��
, onde z4 t10300 aB sen,= (01) 
 
a) Barra parada 0 0 =•×⇒=⇒ ∫ dLBvv )( 
 
 ∫ •−=∴
S t
 fem dSB∂
∂
�
, onde z dxdy adS = 
 
 
[ ]V t1057fem 050t1010300fem
dxdy t1010300fem
 dxdy t10300
t
 fem
4244
050
0y
050
0x
44
050
0y
050
0x
zz
4
cos,),(cos,
)cos,(
)sen,(
, ,
, ,
⋅−=⇒⋅⋅⋅−=
⋅⋅−=
•−=
∫ ∫
∫ ∫
= =
= =
aa∂
∂
 
 
b) t1057fem 4cos,)( ⋅−•×= ∫ dLBv
��
, onde y dy adL = (02) 
 
� Cálculo de Bv
��
× : 
 
 [ ]T t104590 y4y aBvaBv ������ sen)(senvB −=×⇒−°=× (03) 
 
 
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 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 
[ ]V t1057t10252fem
t1057050t1045fem
t1057 dyt1045fem
44
44
4
050
0y
yy
4
cos,sen,
cos,),(sen
cos,sen
,
⋅−−=
⋅−⋅−=
⋅−•⋅−= ∫
=
aa
��
 
 
 
9.2) Para o dispositivo mostrado abaixo, são dados: d = 5 [cm], [ ]T 250 zaB ,= e 
]sm[ y20 yav = . Se y = 4 [cm] em t = 0 [s], determinar as seguintes grandezas no 
instante t = 0,06 [s]: 
a) a velocidade v ; 
b) a posição y da barra; 
c) a diferença de potencial V12 medida pelo voltímetro; 
d) A corrente I12 entrando pelo terminal 1 do voltímetro se a resistência deste é igual a 
200 [KΩ]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
� Cálculo de )v(t : 
 
 ∫ ∫ +=⇒=⇒=⇒== Ct20y2dt20y
dydt20
y
dyy20
dt
dy
v (01) 
 
 Substituindo y = 4 [cm] e t = 0 em (01), temos: 
 
 40CC0201042 2 ,=⇒+⋅=⋅ − (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 20t10y40t20y2 ,, +=⇒+= (03) 
 
 ])(),( sm[ 4t200 20t1020 yy avav +=⇒+⋅=∴ (04) 
 
a) Substituindo t = 0,06 [s] em (04), temos: 
 
 ]v,v sm[ 16 4060200 =⇒+⋅= 
 
 
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b) Substituindo t = 0,06 [s] em (03), temos: 
 
 [ ]m 0,64y 80y2006010y =⇒=⇒+⋅= ,,. 
 
c) V12 = fem (05) 
 
� Cálculo da fem: 
 
 
[ ]
[ ]V 20fem6400505fem
y5femdxy5fem
 dx 250 y20femfem
0x
0x
xzy
,,,
),()(
−=⇒⋅⋅−=∴
−=⇒⋅−=
−•×=⇒•×=
∫
∫∫
=
=
d
d
d
aaadLBv
 
 
 Substituindo (06) em (05), temos: 
 
 V12 = – 0,2 [V] 
 
d) [ ]A 1I 
10200
20I
R
V
I 12312
v
12
12 µ−=⇒
⋅
−
=⇒=
,
 
 
9.3) Uma bobina de 50 espiras tem uma área de 20 [cm2] e gira em torno de um eixo situado 
em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme de 40 [mT]. 
a) Considerando que a bobina gira a uma velocidade de 360 [rpm], calcular o fluxo 
máximo que atravessa a espira e o valor médio da fem induzida nesta bobina; 
b) Considerando que a bobina está em repouso e seu plano é perpendicular ao campo, 
determinar o valor médio da fem induzida na bobina, quando se retira o campo em 
t = 0,004 [s]; 
c) Considerando que a bobina não se move e que seu plano forma um ângulo de 60o com 
a direção do campo de indução, calcular o valor médio da fem induzida na bobina, 
supondo que o campo de 40 [mT] se anula em t = 0,004 [s]. 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Cálculo de φmax: 
 
 [ ]Wb 80 10201040 max43maxmax µφφφ =⇒⋅⋅⋅=⇒= −−BS 
(06) 
 
 
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Cálculo do valor médio da fem: 
 
 
t
Nfemmed ∆
∆
⋅−=
φ
, onde ∆t é o tempo gasto para o fluxo variar de φmax até zero. (01) 
 
� Cálculo de ∆t: 
 [s] 
24
1
t
tvolta
4
1
1svoltas
60
1360
=∆⇒







∆→
→⋅
 (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
[ ]mV 96fem 
24
1
1080050fem med
6
med =⇒
⋅−
⋅−=
− )(
 
b) 
t
Nfemmed ∆
∆
⋅−=
φ
 
 
[ ]V 1fem
104
 1080050fem
t
0
Nfem
t
Nfem
med
3
6
med
max
med
inicialfinal
med
=
⋅
⋅−
⋅−=
∆
−
⋅−=
∆
−
⋅−=
−
− )(
)(
)(
φ
φφ
 
 
c) 
 
 
t
Nfem
t
Nfem
inicialfinal
med
med
∆
−
⋅−=
∆
∆
⋅−=
)( φφ
φ
 
 
 
� Cálculo de inicialφ : 
 
 
[ ]Wb 28269866010201040
3030d
inicial
43
inicial
inicial
S
inicial
S
inicial
µφφ
φφφ
,,
cosSBcosSB
=⇒⋅⋅⋅⋅=
°⋅⋅=⇒°⋅⋅=⇒•=
−−
∫∫ dSB
 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 [ ]V 8660fem 
104
10282690( 50fem med3
6
med ,
),
=⇒
⋅
⋅−
⋅−=
−
−
 
(01) 
(02) 
 
 
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9.4) Determinar o campo elétrico E em função do tempo, se a densidade de fluxo magnético 
no espaço livre é y221x21 xKt yKK xKt K aaB )sen()sen( −+−= ωω onde 1k , 2k 
e ω são constantes. 
 
Resolução: 
� Equação de Maxwell: 
t∂
∂ DJH +=×∇
���
b (01) 
Para o vácuo, temos:







=
=
=⇒=
.
;
;
HB
ED
J
o
o
00
µ
ε
ρ
 (02) 
 
 Substituindo o conjunto (02) em (01), temos: 
 
 
tt
1
t oooo ∂
∂
⋅=×∇⇒
∂
∂
⋅=×∇⋅⇒=×∇ EBEBDH εµε
µ∂
∂ ����
 (03) 
 
� Cálculo de B×∇
�
: 
 
 z
xy
y
zx
x
yz
yxxzzy
aaaB ���
�








−+





−+








−=×∇ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ BBBBBB
 
 
 onde: 







=
=⇒−=
=⇒−=
.B
);(B)cos(B
);(B)sen(B
0
yfxKt yKK
xfxKt K
z
y221y
x21x
ω
ω
 
 
 z2
2
21z
y
 xKt yKK
x
aBaB �
���
)sen(
B
−=×∇⇒=×∇∴ ω∂
∂
 (04) 
 
 Substituindo (04) em (03), temos: 
 
[ ]
[ ]
m
V
 xKt 
yKK
 dtxKt 
yKK
 xKt 
yKK
t
t
 xKt yKK
z2
oo
2
21
z
t
0
2
oo
2
21
z2
oo
2
21
ooz2
2
21
aE
aE
a
E
E
a
�
�
�
�
)cos(
)sen(
)sen(
)sen(
−⋅
−
=
−⋅=
−⋅=
∂
∂
∂
∂
⋅=−
∫
ω
εµ
ω
εµ
ω
εµ
εµω
 
 
 
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9.5) Os trilhos da figura abaixo estão separados por uma distância de 24 [cm] e 
])cos(, mWb[ t 12030 zaB pi= . Sendo y = 0 em t = 0, encontrar a tensão V12 para 
t = 2 [ms] , sendo: 
a) ]sm[ 12 yav = ; 
b) ])cos( sm[ t1012 yav pi=. 
 
Resolução: 
 
 V12 = fem (01) 
 
a) Cálculo de y para t = 2 [ms]: 
 
 
[ ]m 0240ydt12ydty
dt
dy
3102
0t
,vv =⇒=⇒=⇒= ∫ ∫
−
⋅
=
 
 Cálculo da fem: 
 
 ( ) ∫∫ •−•×=
S t
 fem dSBdLBv ∂
∂
�
��
 (02) 
 
� Cálculo de Bv
��
× : 
 
 xzy t12063 t1203012 aBvaaBv )cos(,)]cos(,[)( pipi =×⇒×=×
����
 (03) 
 
� Cálculo de 
t
 
∂
∂ B
�
: 
 
 [ ] zz t12036
t
 
 t12030
t
 
t
 
a
B
a
B
)sen()(cos, pipi∂
∂
pi∂
∂
∂
∂
−=⇒=
��
 (04) 
 
 Substituindo (03) e (04) em (02), temos: 
 
 
[ ]V t1202070t1208640fem
dxdyt12036dxt12063fem
 dxdy t12036 dx t12063fem
240
0x
0240
0y
240
0x
S
zzxx
)sen(,)cos(,
)sen()cos(,
][])sen([][))cos(,(
, ,,
pipipi
pipipi
pipipi
+−=
+−=
•−−−•=
∫ ∫∫
∫∫
= ==
aaaa
 
 
 Substituindo t = 2 [ms] em (05), temos: 
 
 [ ]V 184,0emf4459062990fem
0020120207000201208640fem
−=⇒+−=
⋅+⋅−=
,,
),sen(,),cos(, pipipi
 
 
 Substituindo (06) em (01), temos: 
 
 V12 = – 0,184 [V] 
(05) 
(06) 
 
 
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b) Cálculo de y para t = 2 [ms]: 
 [ ]m 0240y
10
t1012ydtt1012ydty
dt
dy
3102
0t
3102
0t
,
)sen(
)cos(vv
=∴






⋅=⇒=⇒=⇒=
−
⋅
=
−
⋅
=
∫ ∫ pi
pi
pi
 
 
 Cálculo da fem: 
 
 ∫∫ •−•×=
S t
 fem dSBdLBv ∂
∂
�
��
)( (02) 
� Cálculo de Bv
��
× : 
 
 
x
zy
 t120t1063
 t12030 t1012
aBv
aaBv
)cos()cos(,
)]cos(,[])cos([
pipi
pipi
=×
×=×
��
��
 
 
� Cálculo de 
t
 
∂
∂ B
�
: 
 
 zz t12036
t
 
 t12030
t
 
t
 
a
B
a
B
)sen()]cos(,[ pipi∂
∂
pi∂
∂
∂
∂
−=⇒=
��
 (04) 
 
 Substituindo (03) e (04) em (02), temos: 
 
 ∫∫ •−−−•=
S
zzxx dxdy t12036 dx t120t1063fem ][])sen([][])cos()cos(,[ aaaa pipipipi 
 [ ]V t1202070t120t108640fem
dxdyt12036dxt120t1063fem
240
0x
0240
0y
240
0x
)sen(,)cos()cos(,
)sen()cos()cos(,
, ,,
pipipipi
pipipipi
+−=
+−= ∫ ∫∫
= ==
 
 
 Substituindo t = 2 [ms] em (05), temos: 
 
 
( ) ( ) ( )
[ ]V 184,0emf
44606280fem68406510729099808640fem
0020120207000201200020108640fem
−=
+−=⇒⋅+⋅⋅−=
⋅+⋅⋅−=
,,,,,,,
,sen,,cos,cos, pipipipi
 
 
 Substituindo (06) em (01), temos: 
 
 
 V12 = – 0,184 [V] 
 
(05) 
(06) 
(03) 
 
 
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9.6) Na figura abaixo, B é constante com o tempo, mas não é uniforme no espaço. Encontrar 
a leitura V12 do voltímetro no instante t = 0,2 [s] se L = 0,4 [m] e: 
a) y = 10t [m] e z2
y aB 





= [T]; 
b) y = 50t2 [m] e z2
y aB 





= [T]; 
c) y = 50t2 [m] e ( ) z yx21 aB −= [T]. 
 
Resolução: 
 
 V12 = fem para t = 0,2 [s] (01) 
 
 ( ) cte 
t
 fem
S
=•−•×= ∫∫ BdS
BdLBv
�
�
��
;∂
∂
 
 ( )∫ •×=∴ dLBv ��fem (02) 
 
a) Cálculo de ( )tv� : 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
s
m
 10t t10
dt
d
t
dt
dy
t yyy avavav =⇒=⇒=
���
 
 
� Cálculo de Bv
��
× : 
 
 xzy y52
y10 aBvaaBv =×⇒×=×
����
 (03) 
 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 
( ) LL y5femydx5femdxy5fem
0x
xx −=⇒−=⇒−•= ∫∫
=
aa 
 [ ]V t50fem L−=∴ (04) 
 
 Substituindo t = 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos: 
 
 [ ]V 04fem402050fem ,,, −=⇒⋅⋅−= (05) 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 V12 = –4,0 [V] 
 
 
b) Cálculo de ( )tv� : 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
s
m
 t100t t50
dt
d
t
dt
dy
t yy2y avavav =⇒=⇒=
���
 
 
 
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� Cálculo de Bv
��
× : 
 
 xzy ty502
y
 t100 aBvaaBv =×⇒×=×
����
 (03) 
 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 
( ) LL ty50femtydx50femdxty50fem
0x
xx −=⇒−=⇒−•= ∫∫
=
aa 
 [ ]V t2500fem 3L−=∴ (04) 
 
 Substituindo t = 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos: 
 
 ( ) [ ]V 08fem40202500fem 3 ,,, −=⇒⋅⋅−= (05) 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 V12 = –8,0 [V] 
 
 
c) Cálculo de )(tv� : 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
s
m
 t100t t50
dt
d
t
dt
dy
t yy2y avavav =⇒=⇒=
���
 
� Cálculo de Bv
��
× : 
 
 ( ) ( ) xzy yxt50 yx2
1
 t100 aBvaaBv −=×⇒−×=×
����
 (03) 
 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 
( ) ( ) ( )
[ ]
 V t25t2500femt25ty50fem
dxyxt50femdx yxt50fem
232
0x
xx
LLL-L
L
−=⇒=
−−=⇒−•−= ∫∫
=
aa
 
 
 Substituindo t = 0,2 [s] e L = 0,4 [m] em (04), temos: 
 
 ( ) ( ) [ ]V 27fem8008fem40202540202500fem 23 ,,,,,,, =⇒−=⇒⋅⋅−⋅⋅= (05) 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 V12 = 7,2 [V] 
(04) 
 
 
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9.7) O circuito mostrado na figura abaixo representa uma bobina de N espiras, resistência 
total R ocupando uma área igual a S submetida a um campo de indução magnética B 
indicado. Se a magnitude original deste campo (Bo) for reduzida a um quinto num 
intervalo de tempo ∆t, determinar: 
a) O valor médio da fem induzida no circuito; 
b) A direção e sentido da fem induzida (indicar na figura); 
c) O valor médio da corrente; 
d) A carga total que flui neste intervalo de tempo; 
e) A quantidade de energia que foi requerida para mudar a magnitude do campo 
magnético. 
 
 
 
 Dados: 







=
=
5
o
final
oinicial
B
B
BB
 
 
 
 
Resolução: 
 
a) 1o modo: 
 
 
( )
t5
N4
fem 
5t
Nfem
t
 
Nfem
t
 Nfem
td
 dNfemd
t
 Nfem
t
 Nfem
0 
t
 NNfem
o
médiao
o
média
inicialfinal
médiamédia
SS
S
∆
=⇒





−⋅
∆
−=
∆
−
⋅−=⇒
∆
∆
⋅−=
⋅−=⇒⋅⋅−=⇒•⋅−=
=•⋅−•×⋅=
∫∫
∫∫
SB
B
BS
BB
S
B
S
B
SS
B
;
∂
∂
∂
∂
∂
∂
dSB
vdSBdLBv
�
�
��
 
 
 2o modo: 
 
 
t
Nfemmed ∆
∆
⋅−=
φ
, onde BS=φ 
 
 
t5
N4
fem 
5t
Nfem
t
 
Nfem
t
Nfem
o
médiao
o
média
inicialfinal
médiamédia
∆
=⇒





−⋅
∆
−=
∆
−
⋅−=⇒
∆
∆
⋅−=∴
SB
B
BS
BB
S
B
S
 
 
 
– Página 9.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099
 
 –– CCAAMMPPOOSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNOO TTEEMMPPOO EE AASS EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE MMAAXXWWEELLLL 
b) A fem gerada na bobina deve apresentar uma orientação de modo a reforçar o campo de 
indução B . Portanto, conclui-se que esta orientação deve seguir o sentido horário, conforme 
indicado na figura. 
 
c) 
tR5
N4
I 
R
femI o
∆
=⇒=
SB
 
 
d) A carga total que flui no intervalo ∆t pode ser representada por QT = ∆Q. 
 Do item (c), sabemos que 
tR5
N4
I o
∆
=
SB
 e que 
t
QI 
∆
∆
= . 
 Portanto: 
 
 
R5
N4Q 
tR5
N4
t
Q
 
oo SBSB
=∆⇒
∆
=
∆
∆
 
 
e) A energia fornecida ao circuito no intervalo ∆t pode ser representadapor WT = ∆W. 
 Sabemos que tPW ∆⋅=∆ e IfemP ⋅= , onde P é a potência fornecida ao circuito no 
intervalo ∆t. 
 Portanto: 
 
 
tR25
N15
W t
tR5
N4
t5
N4
WtIfemW
22
o
2
oo
∆
=∆⇒∆⋅
∆
⋅
∆
=∆⇒∆⋅⋅=∆
SBSBSB
 
 
9.8) Uma bobina retangular de 6×12 [cm2] com N = 100 espiras gira em um campo 
magnético variável dado por ( ) [ ]T t37760 sen,B = . A velocidade angular da espira é de 
ω = 60 [rps]. Pede-se determinar a tensão induzida na bobina. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Cálculo de ω em [ ]
s
rad : 
 
[ ]
s
rad
 377
rps 60
s
rad
 2rps 1
=⇒





→
→
ω
ω
pi
 
 ( ) ∫∫ •⋅−•×⋅=
S t
 NNfem dSBdLBv ∂
∂
�
��
 (01) 
 
 
– Página 9.12 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0099
 
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 A inspeção da figura relativa à visão frontal da bobina revela que os ângulos entre B e v e 
entre B e dS são iguais. Desta maneira, podemos designar este ângulo θ como sendo θ = ωt. 
 
� Cálculo de ( ) dLBv •× �� : 
 
 
( ) ( )
( ) ( )dLt377R 60
t dLR 0dL
2sen,
senBcossenvB
ω
ωωθ
=•×
=•×⇒°⋅=•×
dLBv
dLBvdLBv
��
����
 
 
� Cálculo de dSB •
t
 
∂
∂
�
: 
 
 
( )[ ] ( )
( ) ( )dSt3772226
t
 dSt37737760
t
 
t dSt37760
t
 
t
 dS
t
 
t
 
22 cos,cos,
cossen,cos
B
=•⇒⋅=•
=•⇒=•
dSBdSB
dSBdSB
∂
∂
∂
∂
ω∂
∂
∂
∂θ∂
∂
∂
∂
��
��
 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ]V t754864162fem
2
t7541864162
2
t7541864162fem
2
t37721107222620
2
t7541030377414fem
2
t3772122620
2
t37721R 414fem
t37722620t377R 414fem
t37722620240t377R 60fem
t37722620dL2t377R 60fem
t37722620dLt377R 60fem
dSt3772226100dLt377R 60100fem
4
22
22
2
120
0
2
22
S
22
cos,
cos
,
cos
,
coscos
,,
cos
S
cos
,
cosSsen,
cosS,sen
cosSsen
cosSsen
cos,sen,
,
−=





 +
⋅−




 −
⋅=





 ⋅+
⋅⋅⋅−




 −
⋅⋅⋅=





 ⋅+
⋅−




 ⋅−
⋅=
−=
−⋅=
−⋅⋅=
−⋅=
⋅−⋅=
−
∫
∫
∫∫
ω
ω
ω
ω
ω
ω
 
 
 
(03) 
(02) 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
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9.9) Um campo magnético uniforme [ ]mT 100=B estende-se sobre uma área quadrada de 
100 [mm] de lado, como mostra a figura abaixo, com campo nulo do lado de fora do 
quadrado. Uma espira retangular de fio de 40 [mm] por 80 [mm], com velocidade [ ]
s
mm
 100=v , é movimentada em direção à área de ação do campo (ver figura). 
Determinar a fem induzida na espira, plotando os resultados em um gráfico de fem x 
distância x, para [mm] 120x [mm] 20 ≤≤− . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 ( )∫ •×= dLBv ��fem (01) 
 
� Cálculo de Bv
��
× : 
 
 
( )y 90 aBv −°=× senvB�� (02) 
 
 
� Cálculo da fem na região 0x [mm] 20 <≤− : 
 
 fem = 0, pois nesta região B = 0. 
 
 
� Cálculo da fem na região [mm] 80x 0 <≤ : 
 
 
( )
[ ]mV 40fem 10401010010100fem
yfemdyfem
333
yy
,
vBvB
−=⇒⋅⋅⋅⋅⋅−=
−=⇒•−=
−−−
∫ aa
 
 
 
� Cálculo da fem na região [mm] 100x [mm] 80 <≤ : 
 
 
( ) ( ) ( )
0fem 104104fem
yyfemdydyfem
44
yyyy
−=⇒⋅+⋅−=
+−=⇒−•−+•−=
−−
∫∫ vBvBvBvB aaaa
 
 
 
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� Cálculo da fem na região [mm] 120x [mm] 100 <≤ : 
 
 
( ) ( )
[ ]mV 40fem 10401010010100fem
yfemdyfem
333
yy
,
vBvB
=⇒⋅⋅⋅⋅⋅=
=⇒−•−=
−−−
∫ aa
 
 
 Gráfico fem x distância x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.10) Uma espira retangular, girando na presença de um campo magnético uniforme B , está 
equipada com um comutador de dois segmentos, como na figura, e, por isso, pode 
funcionar tanto como um gerador cc como um motor cc. 
a) Se a espira girar a F [rps], encontre a tensão média cc gerada (gerador); 
b) Se uma corrente I fluir na espira, encontre o torque médio (motor); 
c) Se a corrente fluir como indicado na figura, encontrar o sentido de rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
a) ( ) cte 
t
 fem
S
=•−•×= ∫∫ BdS
BdLBv
�
�
��
;∂
∂
 
 ( )∫ •×=∴ dLBv ��fem (01) 
 
� Cálculo de ( ) dLBv •× �� : 
 
 ( ) ( ) t dLR 0dL ωωθ senBcossenvB =•×⇒°⋅=•× dLBvdLBv ���� (02) 
–20 60 
80 
100 120 40 20 x [mm] 
fem [mV] 
0,4 
–0,4 
 
 
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 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
( )
( )
B
senBsenB
,
senB
,senBsenB
senBsenB
R F 8fem
 td t R F 4fem td t R F 41fem
periodo; o é T onde tdtfem
T
2fem
t R F 4tfem
F; 2 onde t R 2femdL2t R fem
dLt R femt dLR fem
média
0
média
0
média
2
T
0
média
0
�
��
�
�
�
=
⋅=⇒⋅=∴
⋅=
=∴
==⇒⋅=
⋅=⇒=
∫∫
∫
∫
∫∫
pipi
ωωωωpi
pi
ω
ωpi
piωωωωω
ωωωω
 
 
b) tIT tdS ITIT
SS
ωω senBSsenB =⇒⋅=⇒×= ∫∫ BdS 
 
( )
( )
pi
ωω
pi
ωω
pi
ω
ω
pipi
B
sen
B
senB
,
senB
RI 4T
 td t RI 2T td t RI 21T
periodo; o é T onde tdtT
T
2T
 tIR2tT
médio
0
médio
0
médio
2
T
0
médio
�
�
�
�
=
⋅=⇒⋅=∴
⋅=
=
∫∫
∫
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Figura1 indica que não existe conjugado quando a espira está na posição vertical. As 
Figuras2 e 3 indicam que, em qualquer outra posição existe um conjugado resultante que tende a 
girar a espira no sentido horário. 
 
 
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9.11) A figura abaixo mostra a região de atuação dos campos elétrico e magnético dados, 
respectivamente, por: yo aE E= e zo aB B= , sendo Eo e Bo constantes. Uma pequena carga 
teste Q com massa m é colocada em repouso na origem no instante t = 0. Determinar: 
a) A equação da velocidade ( )zyx ;;v da carga em um instante t qualquer; 
b) A equação da posição ( )zyxP ;; da carga em um instante t qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) aFF mME =+ , onde: 








+==
×==
yyxx
ME
vv ; 
dt
d
Q ; Q
aav
v
a
BvFEF
. 
 
 
( )[ ] ( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( ) yyxxyoxoxoy
y
y
x
x
xoyyoxyo
yyxxzoyyxxyo
yyxxzoyo
dt
d
m
dt
d
m QQQ
dt
d
m
dt
d
mQQQ
dt
d
m QQ
dt
d
m Q
dt
d
m Q
aaaa
aaaaa
aaaaaa
aaava
vBvE
vv
BvEBv
vv
BvBvE
vvBvvE
vvBE
+=−+
+=+−
+=×++
+=×+⇒=×+
 
 
 Igualando as componentes correspondentes de (01), temos: 
 
 






−=⇒=−
=⇒=
x
ooyy
oxo
y
oxx
oy
m
Q
m
Q
dt
d
dt
d
mQQ
m
Q
dt
d
dt
d
mQ
v
BEvv
BvE
v
Bvv
Bv
 
(01) 
 
 
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 Seja 







−⋅=⇒−=
⋅=⇒=
⇒=
x
o
oy
x
oy
x
yy
x
o
dt
d
m
Q
dt
d
dt
d1
dt
d
m
Q
v
B
Ev
v
Ev
v
vv
v
B
ααα
α
α
α 
 
 Substituindo (02) em (03), temos: 
 
 x
2
o
o2
2
x
2
x
o
ox
dt
d
dt
d1
dt
d
v
B
Ev
v
B
Ev
αααα
α
−⋅=⇒−⋅=





⋅ (04) 
 
 Resolvendo (04), temos: 
 
 
t Bt A
dt
d
t Bt A
dt
d
Ct Bt A
22
2
x
2
x
x
αααα
αααα
αα
sencos
v
cossen
v
sencosv
+−=
+−=
++=
 
 
 Substituindo (05) e (07) em (04), temos: 
 
 
( )
o
o
2
o
o222
C
Ct Bt At Bt A
B
E
sencos
B
E
sencos
=∴
++−⋅=+− αααααααα
 
 
 Substituindo (08) em (05), temos: 
 
 
o
o
x t Bt A
B
E
sencosv ++= αα (09) 
 
 Substituindo (06) em (02), temos: 
 
 ( )t Bt A1y ααα cossenv +−⋅= (10) 
 
� Condições iniciais para a solução de (09) e (10): vx = vy = 0 em t = 0 (11) 
 
 Substituindo (11) em (09) e em (10), temos: 
 
 







=⇒+==
−=⇒++==
0BB00
A0A0
y
o
o
o
o
x
v
B
E
B
E
v
 (12) 
(02) 
(03) 
(08) 
(05) 
(06) 
(07) 
 
 
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 Substituindo (12) em (09) e em (10), temos: 
 
 
( )











=
⋅=
−⋅=⇒+⋅−=
0
t 
t 1t 
z
o
o
y
o
o
x
o
o
o
o
x
v
sen
B
E
v
cos
B
E
v
B
E
cos
B
E
v
α
αα
 
 
 
 Portanto: ( )[ ]yx
o
o
 t t 1 aav αα sencos
B
E
+−⋅= 
 
 
b) ( )∫∫ −⋅=⇒=⇒= dt t 1xdtxdt
dx
o
o
xx αcos
B
E
vv 
 D ttx
o
o
o
o +−=∴ α
α
sen
B
E
B
E
 (01) 
 
 Et ydt t ydty
dt
dy
o
o
o
o
yy +−=⇒=⇒=⇒= ∫∫ αα
α cos
B
E
sen
B
E
vv (02) 
 
� Condições iniciais para a solução de (01) e (02): x
 
= y = 0 em t = 0 (03) 
 
 Substituindo (03) em (01) e em (02), temos: 
 
 







=⇒+−==
=⇒+−==
o
o
o
o EE0y
0DD000x
B
E
B
E
αα
 (04) 
 
 Substituindo (04) em (01) e em (02), temos: 
 
 
( )











=
−⋅=






⋅−⋅=
0z
t 1y
t 
1
tx
o
o
o
o
α
α
α
α
cos
B
E
sen
B
E
 
 
 Portanto: ( ) ( ) 





=−⋅=





−⋅== 0zt 1yt 1txzyxP
o
o
o
o ;cos
B
E
;sen
B
E
;; α
α
α
α