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Seção 2: Bolas e Conjuntos Limitados
Questão 5) Seja T : Rm → Rn uma transformação Linear. Prove que
se T 6= 0 então T não e uma aplicação limitada. Se X ⊂ Rm e um conjunto
limitado, prove que a restrinção Tx : X → Rn de T ao conjunto X e uma
aplicação limitada.
Solucao:
Temos os seguintes casos:
(i) Se T 6= 0 então T não é limitada.
(ii) Se X ⊂ Rm é limitado então Tx : X → Rn é limitado.
(i) Queremos mostrar que
∀k > 0, ∃v ∈ Rm; ‖ T (v) ‖> k
. Sejam k > 0 e v ∈ Rm tal que
‖ T (v) ‖= c > 0
Dado n ∈ N temos que
T (n.v) = n.T (v) =‖ T (n.v) ‖=‖ n.T (v) ‖=| n | . ‖ T (v) ‖= n.c
logo, se n > k
c
temos
‖ n.T (v) ‖> k
c
.c =| n | . ‖ T (v) ‖> k
portanto T não e limitado.
(ii) Se X ⊂ Rm é limitado então Tx : X → Rn é limitado.
Como X ⊂ Rm é limitado, ou seja,
∃k > 0;
m∑
i=1
‖ xi ‖≤ k, ∀x = (x1, ..., xm) ∈ X
. Considere c = max{‖ T (e1) ‖, ..., ‖ T (em) ‖} onde e1, ..., em são os vetores
da base canônica β = {e1, ..., em} ⊂ Rm e m ∈ N.
Logo,
‖ x ‖=‖ (x1.e1 + ...+ xm.em) ‖, x ∈ X
1
‖ T (x) ‖=‖ T (x1.e1+...+xm.em) ‖=‖ T (x1.e1)+...+T (xm.em) ‖=‖ x1.T (e1)+...+xm.T (em) ‖
‖ T (x) ‖=‖
m∑
i=1
xi.T (ei) ‖≤
m∑
i=1
‖ xi.T (ei) ‖≤
m∑
i=1
‖ xi ‖ . ‖ T (ei) ‖≤
m∑
i=1
‖ xi ‖ .c ≤ k.c
Portanto Tx : X → Rn é limitada.
Seção 3: Conjuntos abertos
Questão 3) Dê exemplo de um conjunto X ⊂ Rn cuja fronteira tem in-
terior não-vazio e prove que isto não seria possível se X fosse aberto.
Solução:
O conjunto X = {(x, y) ∈ R2;x, y ∈ Q}. Pois dado p = (a, b) ∈ Fr(X)
temos que, para todo � > 0, B((a, b); �)∩X 6= ∅ pelo fato de X ser denso em
R2 e B((a, b); �) ∩ (R2 −X) 6= ∅, pois R2 −X = I2 também é denso em R2.
(I2 = {(x, y) ∈ R2;x, y ∈ I}).
Se X é aberto então X ∩ Fr(X) = ∅.
Vamos mostrar que int(Fr(X)) = ∅. Suponhamos que a ∈ int(Fr(X)) logo
a é ponto interior da Fr(X) então para todo r > 0 temos que B(a; r)∩X 6= ∅.
Observe que a ∈ int(Fr(X)) então existe � > 0 tal que B(a; �) ⊂ Fr(X) logo
X ∩ Fr(X) 6= ∅ e portanto é contradição pois X é aberto.
Seção 4: Sequências em R
n
Questão 3)Sejam A⊂ Rn aberta e a ∈ A. Prove que se lim
k→∞
xk = a então
existe k0 ∈ N tal que k > k0 ⇒ xk ∈ A.
Solucao:
Uma vez que a ∈ A e A é aberto, existe � > 0 tal que B(a; �) ⊂ A.
Como lim
k→∞
xk = a temos que existe k0 ∈ N de modo que
k > k0 ⇒ xk ∈ B(a; �) ⊂ A
⇒ xk ∈ A,∀k > k0.
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