Derivadas - Conceitos

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DERIVADA 
 
 Derivada de uma função em um ponto: 
Consideremos a função 𝑦 = 𝑓(𝑥), contínua e definida em um intervalo 𝐴, e 𝑥0 um 
elemento desse intervalo, representada no gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se à variável 𝑥 for acrescentado ∆𝑥 a partir do ponto 𝑥0, teremos: 𝑥0 + ∆𝑥 = 𝑥 ou 
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 (incremento da variável 𝑥). 
Logo, à função 𝑓(𝑥) também será acrescentado ∆𝑦 a partir de 𝑓(𝑥0). Então, 𝑓(𝑥0) +
 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) ou ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) (incremento da função). 
Dizemos que a função 𝑓(𝑥) é derivável no ponto 𝑥0, se o limite lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 
𝑥−𝑥0
 ou 
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
 existir e for finito. 
Neste caso, a derivada da função 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥0será determinada por: 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
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𝒇′(𝒙𝟎) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟎) 
𝒙 − 𝒙𝟎
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto 𝑥0 = 3. 
 
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ⟹ 𝑓(3) = 32 = 9 
Como 𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 
𝑥−𝑥0
, então: 
 𝑓′(3) = lim
𝑥→3
𝑓(𝑥)−𝑓(3) 
𝑥−3
= lim
𝑥→3
𝑥2−9 
𝑥−3
= lim
𝑥→3
(𝑥+3)(𝑥−3)
𝑥−3
= lim
𝑥→3
(𝑥 + 3) = 6 
 
 
2) Calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 1 no ponto 𝑥0 = −2. 
 
Se 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 1 ⟹ 𝑓(−2) = 2. (−2)3 − 1 = 2. (−8) − 1 = −16 − 1 = −17 
Como 𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 
𝑥−𝑥0
, então: 
𝑓′(−2) = lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) − 𝑓(−2) 
𝑥— 2
= lim
𝑥→−2
(2𝑥3 − 1)— 17
𝑥 − (−2)
 𝑥 + 2 = lim
𝑥→−2
2𝑥3 − 1 + 17
𝑥 + 2
= 
= lim
𝑥→−2
2𝑥3 + 16
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
2(𝑥3 + 8)
𝑥 + 2
= lim
𝑥→−2
2(𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4)
𝑥 + 2
= 
= lim
𝑥→−2
2(𝑥2 − 2𝑥 + 4) = 2((−2)2 − 2. (−2) + 4) = 2(4 + 4 + 4) = 2.12 = 24 
 
Observação: Em alguns casos usaremos as fatorações abaixo: 
𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) e 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 No exemplo 2 usamos a fatoração 𝑎3 + 𝑏3, ou seja: 
𝑥3 + 8 = 𝑥3 + 23 = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 22) = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4). 
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 Função Derivada: 
Consideremos a função 𝑦 = 𝑓(𝑥), contínua e definida em um intervalo 𝐴, e o intervalo 
𝐴′ ⊂ 𝐴, podemos dizer que, se 𝑦 = 𝑓(𝑥) é derivável para todo 𝑥 ∈ 𝐴′, então 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
é derivável em 𝐴′. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamamos de função derivada de 𝑓(𝑥), ou simplesmente de derivada de 𝑓(𝑥), à função 
𝑓′(𝑥), para todo 𝑥 ∈ 𝐴′, dada por: 
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
∆𝒚
∆𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) 
∆𝒙
 
Diversos símbolos são usados para representar a derivada de uma de uma função 𝑓. Se 
for urilizado a notação 𝑦 = 𝑓(𝑥), a derivada de 𝑓 pode ser representada por 𝒇′(𝒙), 𝒚′, 
𝑫𝒙 𝒇(𝒙), 𝑫𝒙 𝒚, 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
, ou 
𝒅
𝒅𝒙
𝒇(𝒙). 
Felizmente, você não precisa encontrar a derivada de uma função diretamente da 
definição de uma derivada. Em vez disso, você pode memorizar fórmulas padrão para 
diferenciar certas funções básicas: 
 
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o Derivada de uma Função Constante: 
A derivada de uma função constante é sempre zero, ou seja, se 𝒇(𝒙) = 𝒌 for 
uma função constante, logo 𝒇′(𝒙) = 𝟎 . 
Exemplos: 
1) Se 𝑓(𝑥) = 5, então 𝑓′(𝑥) = 0 . 
2) Se 𝑓(𝑥) = 29, então 𝑓′(𝑥) = 0 . 
3) Se 𝑓(𝑥) = −100, então 𝑓′(𝑥) = 0 . 
4) Se 𝑓(𝑥) = 2,54, então 𝑓′(𝑥) = 0 . 
 
 
o Derivada de uma Função Potência: 
A função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 , onde 𝑛 ∈ ℝ, é denominada função potência. A derivada 
de uma função potência é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒏 𝒙𝒏−𝟏 . 
Exemplos: 
1) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2, então 𝑓′(𝑥) = 2𝑥2−1 = 2𝑥 . 
2) Se 𝑓(𝑥) = √𝑥 ou 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
2, então 𝑓′(𝑥) =
1
2
𝑥
1
2
−1 =
1
2
𝑥
1−2
2 =
1
2
𝑥− 
1
2 =
1
2√𝑥
. 
3) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥4, então 𝑓′(𝑥) = 4𝑥4−1 = 4𝑥3 . 
4) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥−1, então 𝑓′(𝑥) = −1𝑥−1−1 = −𝑥−2 . 
 
o Derivadas de funções Trigonométricas: 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 . 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = −𝒔𝒆𝒏 𝒙 . 
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A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒕𝒈 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 . 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 . 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄 𝒙 . 𝒕𝒈 𝒙 . 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = −𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄 𝒙 . 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙 . 
 
o Derivada da função Exponencial Natural 𝒆𝒙: 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒆𝒙 . 
 
o Derivadas de funções Exponenciais com bases diferentes de 𝒆: 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 , 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é dada por 𝒇′(𝒙) = 𝒂𝒙. 𝒍𝒏 𝒂 . 
Exemplos: 
1) Se 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , então 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 𝑙𝑛2 . 
2) Se 𝑓(𝑥) = (
1
4
)
𝑥
, então 𝑓′(𝑥) = (
1
4
)
𝑥 
𝑙𝑛 (
1
4
) . 
 
o Derivada da função Logarítmica Natural 𝐥𝐧 𝒙: 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝒙
. 
 
o Derivadas de funções Logarítmicas com bases diferentes de 𝒆: 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é dada por 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝒙 .𝒍𝒏 𝒂
. 
Exemplos: 
1) Se 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, então 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 𝑙𝑛2
. 
2) Se 𝑓(𝑥) = log1
4
𝑥, então 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 𝑙𝑛 
1
4
. 
 
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o Derivadas de funções Trigonométricas Inversas: 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) =
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
. 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) =
− 𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
. 
A derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 é dada por 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝟏 + 𝒙𝟐
. 
 
 
Regras de Diferenciação: 
 Regra da Constante Múltipla de uma Função: 
A derivada de uma constante multiplicada por uma função diferenciável é o produto da 
constante multiplicada pela derivada da função, ou seja, suponha que 𝑢(𝑥) é uma 
função diferenciável qualquer e 𝑘 seja um número real qualquer, então 𝑘 𝑢(𝑥) é 
também diferenciável com sua derivada dada por: 
𝒅
𝒅𝒙
 𝒌 𝒖(𝒙) = 𝒌 𝒖′(𝒙) 
A derivada de uma função diferenciável dividida por uma constante é a derivada da 
função dividida pela constante, ou seja, suponha que 𝑢(𝑥) é uma função diferenciável 
qualquer e 𝑘 seja um número real qualquer, então 
𝑢(𝑥)
𝑘
 é também diferenciável com sua 
derivada dada por: 
𝒅
𝒅𝒙
 
𝒖(𝒙)
𝒌
=
𝟏
𝒌
 𝒖′(𝒙) 
 
Exemplos: 
1) Se 𝑓(𝑥) = −5𝑥2, então 𝑓′(𝑥) = −5 . 2𝑥2−1 = −10𝑥 . 
2) Se 𝑓(𝑥) =
𝑥4
3
, então 𝑓′(𝑥) =
4𝑥4−1
3
=
4𝑥3
3
. 
 
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3) Se 𝑓(𝑥) = 5 𝑠𝑒𝑛𝑥, então 𝑓′(𝑥) = 5 cos 𝑥 . 
 
4) Se 𝑓(𝑥) =
𝑡𝑔 𝑥
6
, então 𝑓′(𝑥) =
𝑠𝑒𝑐2𝑥
6
. 
 
 
 Regra das Somas e Diferenças: 
A derivada da soma (ou da diferença) de duas funções diferenciáveis é igual à soma (ou 
a diferença) das derivadas das funções individuais. 
Para qualquer 𝑥 onde tanto 𝑢(𝑥) quanto 𝑣(𝑥) são funções diferenciáveis, a função 
(𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)) é diferenciável com sua derivada dada por: 
𝒅
𝒅𝒙
 (𝒖(𝒙) + 𝒗(𝒙)) = 𝒖′(𝒙) + 𝒗′(𝒙) 
Similarmente, para qualquer 𝑥 onde tanto 𝑢(𝑥) quanto 𝑣(𝑥) são funções diferenciáveis 
a função (𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥)) é diferenciável com sua derivada dada por: 
𝒅
𝒅𝒙
 (𝒖(𝒙) − 𝒗(𝒙)) = 𝒖′(𝒙) − 𝒗′(𝒙) 
Exemplos: 
1) Se 𝑓(𝑥) = −5𝑥2 + 𝑥, então: 
𝑓′(𝑥) = −5 . 2𝑥2−1 + 1 = −10𝑥 + 1 . 
 
2) Se 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + 5𝑥 + 1, então: 
𝑓′(𝑥) = 3.4𝑥4−1 − 2.3𝑥3−1 + 5 + 0 = 12𝑥3 − 6𝑥2 + 5 . 
 
3) Se 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥2, então: 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 − 3(−𝑠𝑒𝑛 𝑥) + 2𝑥 = 𝑒𝑥 + 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥 . 
 
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4) Se 𝑓(𝑥) =
5
𝑥
+ √𝑥4
3
−
𝑠𝑒𝑐 𝑥
3
 ou ℎ(𝑥) = 5𝑥−1 + 𝑥
4
3 −
𝑠𝑒𝑐 𝑥
3
, então 
𝑓′(𝑥) = (−1). 5𝑥−1−1 +
4
3
𝑥
4
3 −1 −
𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥
3
= −5𝑥−2 +
4
3
𝑥
4−3
3 −
𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥
3
= 
= −
5
𝑥2
+
4
3
𝑥
1
3 −
𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥
3
= −
5
𝑥2
+
4
3
√𝑥
3 −
𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑡𝑔 𝑥
3
 
 
 Regra do Produto: 
A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é igual à primeira função 
multiplicada pela derivada da segunda função somada à segunda função multiplicada 
pela derivada da primeira função. 
Para qualquer 𝑥 onde tanto 𝑢(𝑥) quanto 𝑣(𝑥) são funções diferenciáveis, a função 
(𝑢(𝑥) . 𝑣(𝑥)) é diferenciável com sua derivada dada por: 
𝒅
𝒅𝒙
 (𝒖(𝒙) . 𝒗(𝒙)) = 𝒖(𝒙). 𝒗′(𝒙) + 𝒗(𝒙). 𝒖′(𝒙) 
 
 Exemplos: 
 
1) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥4. 𝑒𝑥 , então: 
𝑓′(𝑥) = 𝑥4. (𝑒𝑥) + 𝑒𝑥 . (4𝑥3) = 𝑥4𝑒𝑥 + 4𝑥3𝑒𝑥 = 𝑒𝑥𝑥3(𝑥 − 4) . 
 
2) Se 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 4)(2𝑥 − 3), então: 
𝑓′(𝑥) = (𝑥2 + 4). (2 + 0) + (2𝑥 + 0). (2𝑥 − 3) = 
= (𝑥2 + 4)2 + 2𝑥(2𝑥 − 3) = 2𝑥2 + 8 + 4𝑥2 − 6𝑥 = 6𝑥2 − 6𝑥 + 8 . 
 
3) Se 𝑓(𝑥) = (2𝑥3 + 1)(−𝑥2 + 5𝑥 + 10), então 
𝑓′(𝑥) = (2𝑥3 + 1)(−2𝑥 + 5 + 0) + (6𝑥2 + 0)(−𝑥2 + 5𝑥 + 10) = 
= (2𝑥3 + 1)(−2𝑥 + 5) + 6𝑥2(−𝑥2 + 5𝑥 + 10) = 
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= 2𝑥3. (−2𝑥) + 2𝑥3. 5 + 1. (−2𝑥) + 1.5 + 6𝑥2. (−𝑥2) + 6𝑥2. 5𝑥 + 6𝑥2. 10 = 
= −4𝑥4 + 10𝑥3 − 2𝑥 + 5 − 6𝑥4 + 30𝑥3 + 60𝑥2 = 
= −10𝑥4 + 40𝑥3 + 60𝑥2 − 2𝑥 + 5 . 
 
4) Se 𝑓(𝑥) = √𝑥 . 𝑙𝑛 𝑥, então 𝑓′(𝑥) = √𝑥 . 
1
𝑥
+ 𝑙𝑛 𝑥 .
1
2√𝑥
= √
𝑥
𝑥
+ 
𝑙𝑛 𝑥
2√𝑥
. 
 
 Regra do Quociente: 
A derivada do quociente de duas funções diferenciáveis é igual à função denominador 
multiplicada pela derivada da função numerador menos a função numerador 
multiplicada pela derivada da função denominador e tudo dividido pelo quadrado da 
função denominador, para todos os números reais 𝑥 cujo denominador da função seja 
diferente de zero. 
Para qualquer 𝑥 onde tanto 𝑢(𝑥) quanto 𝑣(𝑥) são funções diferenciáveis e 𝑣(𝑥) ≠ 0, 
a função (
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
) é diferenciável com sua derivada dada por: 
𝒅
𝒅𝒙
 (
𝒖(𝒙)
𝒗(𝒙)
) =
𝒗(𝒙). 𝒖′(𝒙) − 𝒖(𝒙). 𝒗′(𝒙)
(𝒗(𝒙))
𝟐 
 Exemplos: 
1) Se 𝑓(𝑥) =
− 5𝑥2 + 4
3𝑥
, então: 
𝑓′(𝑥) =
(3𝑥) . (−5.2𝑥 + 0) − (− 5𝑥2 + 4) . (3)
(3𝑥)2
= 
=
(3𝑥) . (− 10𝑥) − (− 5𝑥2 + 4) . (3)
9𝑥2
= 
=
−30𝑥2 − (−15𝑥2 + 12)
9𝑥2
=
−30𝑥2 + 15𝑥2 − 12
9𝑥2
= 
=
−15𝑥2 − 12
9𝑥2
= −
(5𝑥2 + 4)
3𝑥2
 
 
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2) Se 𝑓(𝑥) =
2𝑥3−3𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
, então: 
𝑓′(𝑥) =
(𝑠𝑒𝑛 𝑥) . (3.2𝑥2 − 3) − (2𝑥3 − 3𝑥) . (𝑐𝑜𝑠 𝑥)
(𝑠𝑒𝑛 𝑥)2
= 
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥 (6𝑥2 − 3) − 𝑐𝑜𝑠 𝑥(2𝑥3 − 3𝑥)
𝑠𝑒𝑛2𝑥
 
 
3) Se 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥− 𝑥
𝑙𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥
, então: 
𝑓′(𝑥) =
(𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥) . (𝑒𝑥 − 1) − (𝑒𝑥 − 𝑥) . (
1
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
(𝑙𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2
 
 
4) Se 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥
√𝑥
, então: 
𝑓′(𝑥) =
(√𝑥) . (
1
1 + 𝑥2
) − (𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥) . (
1
2√𝑥
)
(√𝑥)
2 =
√𝑥
1 + 𝑥2
 − 
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥
2√𝑥
𝑥