exercicio vetores

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3.9. EXERCÍCIOS SOBRE VETORES 
1. Se o vetor )4,1x(u += é igual ao vetor )6y2,5(v −= , calcule x e y. 
 
2. Dados os vetores )1,4(u = e )6,2(v = , calcular vu + e u2r . 
 
3. Sendo )1,3(u −= e )4,2(v −= , calcule o vetor w na igualdade wv
2
1
u2w3 +=+ . 
 
4. Calcule os números a e b na igualdade )2,4.(b)2,1.(a)8,1( −+=− . 
 
5. Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determinar o ponto D(x,y) de modo que 
AB
2
1CD = . 
 
6. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor )5,2(v −= , saben-
do que sua origem é o ponto A(-1,3). 
 
7. Dados os vetores )1,3(u −= e )2.1(v −= , determinar o vetor w tal que: 
a) wu2w
3
1)vu(4 −=+− b) )u3w4(2)uv2(w3 −=−− 
 
8. Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3, -1), calcular: 
a) ABOA − b) BCOC − c) CB4BA3 − . 
 
9. Dados os vetores )4,3(u −= e )3,
4
9(v −= , verificar se existem os números a e b 
tais que v.au = e u.bv = . 
 
10. Dados os pontos A(-1,3), B(1,0), C(2,-1), determinar D tal que BADC = . 
 
 
 
 
 47 
 
11. Calcular as componentes dos vetores abaixo. Dados: ar = 10 N e b
r
 = 5 N 
a) y b) y 
 
 a
r
 a
r
 
 
 40º 450 
 x x 
 
c) y br d) y 
 300 500 b
r
 
 
 
 x x 
 
e) y f) y br 1050 
 
 b
r
 a
r
 
 120º 30º 
 x x 
 
12. Qual é a soma dos vetores: 
a) av = 4,2 i - 1,5 j 
 b
v
= -1,6 i + 2,9 j 
 c
v
 = - 3,7 j 
b) Qual é o módulo do vetor rv . 
 
13. Qual é o valor do produto escalar abaixo: 
a) b=20 N b) c=25 N 
 15º 25º 
 a=6 N d=3 N 
 
c) 20 N d) 15 N 
 40º 32º 
 36 N 35 N 
 
14. Qual é o produto escalar dos vetores, dados abaixo: 
a) av = ( 3 i - 2 j + 3 k ) ; bv = ( 4j - 2 k ) 
b) cv = ( - 2 i + j - 5 k ) ; dw = ( 2 i + 3 j + 4 k ) 
c) ev = ( j - K ) ; fv = ( 3 i - j + k ) 
 48 
d) rv= ( 2 i + 3 j - k ) ; pv = ( 3 i - 2 j + 2 k ) 
15. Qual é o valor do produto vetorial abaixo: 
a) 2 N b) 10 N 
 400 520 
 3 N 5 N 
c) 8 N d) 60 N 
 
 3000 
 6 N 25 N 
 
16. Qual é o ângulo φ entre: av = 3 i - 4 j e bv = - 2 i + 3 k . 
 
17. Para o sistema abaixo, determine que se pede: 
a) i . j; f) j x k; 
b) i . k; g) k x j; 
c) j . i; h) i x k; j 
d) i x i; i) k x i . k i 
e) j x i; 
 
18. Se av = 3 i - 4 j e bv = - 2 i + 5 k, qual é o vetor cv = a x b 
 
19. Na notação de vetor unitário, qual é a soma e o módulo: av =4i + 3j e bv = – 13i + 7j 
 
20. Para os seguintes três vetores, qual é o resultado de 3cv . (2 Av x Bv ) 
A
v
 = 2 i + 3 j - 4 k 
B
v
 = - 3 i + 4 j + 2 k 
c
v
 = 7 i - 8 j 
 
21. Usando a definição do produto escalar, av . b
v
 = a . b . cos φ, calcule o ângulo entre 
os vetores a
v
 = 3 i + 3 j + 3 k e bv = 2 i + 1 j + 3 k. 
 
22. Dois vetores são dados por av = 4 i - 3 j + 1 k; bv = -1 i + 1 j + 4 k. Na notação de 
vetor unitário, ache: 
a) av + bv 
 49 
b) av - bv 
23. Se A
v
 = 2 i + 4 j, qual o produto vetorial Av x Bv quando: 
a) Bv = 8 i + 16 j 
b) Bv = - 8 i - 16 j 
 
24. Achar o ângulo entre os dois vetores: A= 2i + 3j + 4k e B= i – 2j + 3k. 
 
25. Dois vetores cujos módulos são 1V = 4 e 2V = 6, são ortogonais. Calcular: 
a) O módulo do vetor soma 21 VVS += e os ângulos que S faz com 1V e .2V 
b) O módulo do vetor diferença 211 VVD −= e os ângulos que 1D faz com 1V e .2V 
c) O módulo do vetor diferença 122 VVD −= e os ângulos que 2D faz com 1V e .2V 
 
26. Dois vetores cujos módulos são 5 e 7 formam um ângulo de 72º entre si. Deter-
mine o ângulo formado entre o vetor soma e o vetor de maior módulo. 
 
27. Dois vetores cujos módulos são 26 e 32 formam um ângulo de 65º entre si. De-
termine o ângulo formado entre o vetor soma e o vetor de menor módulo. 
 
28. Um ponto percorre uma trajetória circular, conforme a figura ao lado, passando da 
posição P1 para a posição P2 em 5 s. Os módulos das velocidades são V1 = 40 
m/s e V2= 60 m/s. Calcular o módulo da aceleração média entre P1 e P2. 
 P1 V1 
 
 
 1000 
 P2 
 
 V2 
 
29. Dois vetores, U e V , têm módulos 5 e 8, respectivamente e formam um ângulo 
de 40o entre si. Sendo VUD −= pede-se calcular o ângulo formado entre D e V . 
 
30. Dados os pontos: A(5, -1, 2), B(6, 2, 4) e C(7, 1, 3), determinar: 
a) Os vetores BAACAB ,, e .CB 
 50 
b) Os módulos de AC e BC . 
c) Os vetores CAABV += , CABAU −= e .523 CABCABW +−= 
d) O versor do vetor CA . 
e) O vetor X tal que CBACABX −=+ 323 . 
 
31. Classificar o triângulo cujos vértices são os pontos A(3;-1;2), B(0;-4;2) e C(-3;2;1), 
como eqüilátero, isósceles ou escaleno. 
 
32. Os pontos M(4,0,0), N(2,2,0) e P(2,0,5) são vértices de um triângulo. Calcular o 
comprimento do segmento que une os pontos médios dos lados maiores. 
 
33. Os pontos P1 (0,4,2) m, P2 (-1,0,3) m e P3 (1,-5,4) m são vértices de um triângulo. 
Calcular o comprimento da mediana relativa ao lado maior. 
 
34. Dados os pontos A (3,-2,1) e B (2,-1,3) determine o versor do vetor OBAOU −= , 
sendo O (0,0,0). 
 
35. Determinar o ponto do eixo das ordenadas eqüidistante dos pontos A (1, -3, 7) e B 
(5, 7, -5). 
 
36. Dados os pontos A (3,0,0), B (-1,2,5) e C (0,-1,0), pede-se determinar o versor do 
vetor .CB2BAV −= 
 
37. Dados os pontos A (-2,1,0), B (0,-3,1), C (1,-3,2) e D (1,0,-4), calcular os ângulos 
diretores do vetor .DA2BCABV +−= . 
 
38. Determinar um ponto do eixo das abscissas cuja distância ao ponto A (-3, 4, 8) 
seja igual a 12 unidades. 
 
39. Determine, no eixo OZ, um ponto eqüidistante dos pontos (1, 4, 1) e (-6, 4, 6). 
 
40. Calcular a distância entre os pontos: 
 51 
a) A(-1, 1, 2) e B(-5, -5, -2) b) C(4, 3, 2) e D(5, 1, 5) c) E(0, 4, -2) e F(-3, -2, 4) 
41. Classificar os triângulos cujos vértices são: 
a) A(4, 3, -4) , B(-2,9, -4) e C(-2, 3, 2) b) D(3, -1, 6) , E(-1, 7, -2) e F(1, -3, 2) 
c) G(4, -1, 4) , H(0, 7, -4) e I(3, 1, -2) d) J(2, 3, -8) , K(4, -2, -7) e L(-1, -3, -4) 
e) M(7, 4, 4) , N(6, 6, 3) e O(0, 0, 0) f) P(-2, 0, 2) , Q(10, -2, 4) e R(4, 2, 6) 
g) S(0, 3, 0) , T(6, 0, 2) e U(8, 3, 8) h) V(6, 10, 10) , W(1, 0, -5) e X(6, -10, 0) 
 
42. Qual a expressão analítica do versor de direção definida pelos ângulos diretores 
α = 36º , β = 70º e γ. Sabe-se que γ é ângulo obtuso. 
 
43. Achar a distância entre os pontos P (2, 1, 1) m e Q (0, 0, 3) m. 
 
44. Uma força F tem origem O (0,0,0) e extremidade em A (3, -2, -6) kgf. Pede-se 
calcular o módulo desta força e os ângulos que ela forma com os eixos coordena-
dos. 
 
45. Um sistema de forças apresenta as seguintes componentes: kziF += 501 , 
kjyiF 10542 ++=
 e kjixF 70303 −−= . A resultante deste sistema é 
kjiR 6054130 −−=
. Pede-se calcular o módulo de cada componente. Unidades 
SI. 
 
46. Uma força de módulo 100 N apresenta ângulos diretores α = 76º e γ = 123º. Cal-
cular as projeções da força sobre os eixos X , Y e Z. Sabe-se que β é um ângulo 
obtuso. 
 
47. Uma força de módulo 10 kgf está no plano XOY formando, com o eixo X um ângu-
lo de 20º . Escrever a expressão analítica desta força. 
 
48. São conhecidos os vetores 21 VVS += e 21 VVD −= , sendo jiS −= 3 e 
jiD 75 +−=
. Calcular 1V e .2V 
 
 52 
49. A expressão analítica de um vetor é jiv 73 += , o vetor VnA .= tem módulo A = 
12, mesma direção de v e sentido contrário a v . Calcular n. 
 
50. Dados os vetores kjNiv −+= 21 e kjiMv ++=2 , sabe-se que 
jivvS +=+= 21
 . Calcule M e N. 
 
51. Dados os vetores jiv −= 21 , jiv 32 += e jiv 773 += , achar os escalares m e n 
tais que 321 vvnvm =+ . 
 
52. Dados os vetores jiv += 31 , iv =2 e jv =3 , calcular os escalares M e N tais 
que 321 2 vNvMv −= . 
 
53. Dados os pontos A(1, α, 0) e B(2α , 8, α) , determinar o valor de α para que o 
módulo do vetor AB seja 9. 
 
54. Verificar se os ângulos diretores de um vetor podem ser 30º , 120º e 60º 
 
55. Os ângulos diretores de um vetor são 30º , 60º e γ. Calcule γ. 
 
56. Os vetores kjiXA −+= . e kjYIB 53 ++= têm mesma direção. Calcular X e Y. 
 
57. Os vetores kiV −= e, kiXP 2−= são perpendiculares. Calcular X. 
 
58. Dados os vetores: kjiu 543 −+= , kjiv 32 −+= e kjiw ++= 2 , determinar o 
vetor x
r
 tal que ( ) 0wvu2x =×−⋅+ rrrr 
 
59. Determinar a projeção do vetor u = ( 1,-2, 3) sobre o vetor v = ( 2, 4, 5 ). 
 
60. Determine m para que u e v sejam ortogonais, onde u = (1,m,-3) e v = (2,–5,4). 
 53 
 
61. Calcule as normas (comprimento) de cada um dos seguintes vetores. 
a) u = (1, -2, 4) b) v = (3, -2, 1). 
 
62. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam no meio. 
 
63. Demonstre que os pontos A(1,2,2), B(3,3,4), C(4,5,3) e D(2,4,1) são vértices de 
um paralelogramo. 
 
64. Dados os vetores A = (1, 2, 3) , B = (0, -4, 0) e C = (2, -4, 1). 
a)2 A .C b) 4 A + 3 B - 2C 
 
65. Determine X para que U e V sejam paralelos, onde U = (-6,10,4) e 
V
 = (3, -5, X). 
 
66. Determinar um vetor que seja ortogonal a U = (2, -4, 2) e V = (1, 7, -3). 
 
67. Determine o ângulo entre os vetores kjia 447 −−= e kib += 2 . 
 
68. Dados os vetores )1,1,( −−= αu e )5,,3( −= αv , determinar o valor de α para que: 
a) u seja ortogonal a v. b) u seja paralelo a v. 
 
69. Dados os vetores )3,6,2(=U e )2,3,6(−=V , calcule o ângulo entre os vetores 
VU +
 e VU − . 
 
70. Dados os pontos: A(-3, 4, 2), B(m, -2, 4), C(-1, 2, -3) e D(-5, m, -4), calcule m de 
modo que: 
a) Os vetores AB e CD sejam paralelos. 
b) Os vetores AB e CD sejam ortogonais 
 
 54 
71. Calcular o valor de m para que seja de 60º o ângulo entre os vetores U =(1, m, -2) 
e V =(2, 1, m). 
 
72. Dados os pontos A(3, -5, 2) , B(4, -4, 6) e c(m, 0, 10), determine m para que seja 
45º o ângulo entre os vetores AB e BC . 
 
73. Dados os vetores: kjiU 543 −+= , kjiV 32 −+= e kjiW 52 ++= , determinar: 
a) VU . 
b) WU . 
c) ).( WVU + 
d) O ângulo entre V e .W 
e) O vetor X tal que 2. =UX , 0. =VX e .8. =WX 
f) O valor de m para que o vetor kjimP 45 ++= seja ortogonal ao vetor VU − . 
g) O valor de m para que o vetor kmjimT )2( ++−= satisfaça a igualdade 
WTVTU ).2(. −=
. 
 
74. O vetor X é ortogonal ao vetor kjiA 34 ++= e satisfaz as condições: 
10)22.( =−+ kjiX
 e 4)345.( =++ kjiX . Calcule X . 
 
75. Calcular o produto escalar entre os vetores kjV −= 31 e kiV +=2 . 
 
76. Uma força kjiF −−= 2 (N) atua sobre um ponto que se desloca desde a origem 
até a extremidade do vetor kjid 523 −+= (m). Calcule o trabalho realizado pela 
força F . 
 
77. Calcular o ângulo formado por duas diagonais de um cubo. 
 
78. Dados os pontos A(1, -2, 3) , B(4, 2, 4) e C(0, -2, 4), determine: 
a) O vetor BCABV .3.2 −= b) O vetor CBACBAU .3.2.4 −+= 
 55 
c) O vetor X tal que ).(2 XACXAB −=+ d) BC 
e) O versor do vetor AC f) Os cossenos diretores de CA 
g) Se o vetor ACAB − é unitário 
 
79. Dados os vetores )2,4,3(=u e )1,1,2(=v , determinar: 
a) vXu . 
b) O versor de )()2( vuXvu +− . 
c) O valor de m para que o vetor )5,2,9( mm +−+ seja paralelo a vXu . 
 
80. Dados os vetores )5,7,4(1 =V e )2,8,11(2 −=V . Calcule os produtos vetoriais 
21 VXV
 e 12 VXV . 
 
81. Os vetores M = (2, y, z) e N = (1, -1, 1) têm produto vetorial nulo. Calcule y e 
z. 
 
82. Constrói-se um paralelogramo cujos lados são os vetores iV 5= e kjU += . 
Calcular a área deste paralelogramo. 
 
83. Achar a área do paralelogramo cujos lados são os vetores M = (2, 4, 10) e N 
= (3, 12, 5). 
 
84. Dados os pontos A(1, 4, 0), B(2, 5, 0) e C(0, 1, 0), calcular a área do triângulo 
ABC. 
 
85. Calcular a área do paralelogramo cujos lados são os vetores a = (1, 3, -2) e b = 
(2, 1, -1). 
 
86. Calcular o valor de m para que seja de 35 unidades a área do paralelogramo cu-
jos lados são os vetores kjmiu 32 −+= e kjiv −+= 34 . 
 
 56 
87. Determinar a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(1, 2, 2) , B(4, 4, 3) 
e C(10, 6, 5). 
 
88. Dados os vetores )0,3,2(1 −=V , )1,1,1(2 −=V e )1,0,3(3 −=V , calcular o produto 
misto ).( 321 VXVV . 
 
89. Dados os pontos A(2, 3, 1), B(-1, 2, 0), C(1, -3, -1) e D(2, -1, -1) calcular o volume 
do prisma cujas arestas são AB , AD e AC . 
 
90. Dados os vetores U = (3, 4, -5) , V = (1, 2, -3) e W = (2, 1, 5), calcular: 
a) ).( WXVU b) ).( VXWU 
c) O valor de m para que os vetores U , W e T = (5, 6, m) sejam coplanares 
d) O valor de n para que seja 37 unidades o volume do paralelepípedo cujas ares-
tas são os vetores V , W e )1,0,( += nnP . 
 
91. Dados os vetores )0,3,2( −=a , ),,( ααα −=b e ),0,3( α−=c , calcule o valor de 
α a fim de que seja de 4 unidades o volume do paralelepípedo cujas arestas são 
os vetores a , b e c . 
 
92. Calcular Y a fim de os vetores V = (2, -1, 1), U = (1, 2, -3) e W = (3, Y, 5) sejam 
coplanares. 
 
93. Calcule o valor de α para que os vetores u = (1, α, 3) , v = (α, -α, 5) e w = (4, 
α, 11) sejam coplanares. 
 
94. Calcule: 
a) iXi b) jXi c) kXi d) JXj e) iXj f) kXj g) kXk h) iXk i) jXk 
 
 57 
95. Um barco cuja velocidade em relação à água é 1 2. 30.V i j= +
ur r r
 (km/h), parte do pon-
to 0, para atravessar um rio de 500 m de largura. A velocidade do rio é 2 10.V i=
uur r
 
(km/h). Determine: 
a) As coordenadas do ponto final da viagem (ponto F). 
b) A distância percorrida pelo barco. 
c) O tempo de viagem. 
 
 Y F 
 
 
 
 500 m 
 
 
 
 O x 
 
96. Um avião se desloca desce uma cidade A até uma cidade B, em 7 h 36 min. As 
coordenadas das cidades são A(200, 500, 0) km e B(4000, 350, 0) km. Sopra um 
vento sudeste com velocidade 40 km/h. Determine a expressão analítica do vetor 
velocidade do avião, em relação ao ar. 
 
97. Um avião, cuja velocidade em relação ao ar é 1 200. 300.V i j= +
ur r r
 (km/h) voa durante 
15 minutos, partindo de uma cidade A e chegando a uma cidade B. Sopra um ven-
to cuja velocidade é 2 80. 80.V i j= −
uur r r
 (km/h). Qual é a distância entre as cidades A e 
B? 
 
98. Um avião se desloca desde uma cidade A até uma cidade B. As coordenadas das 
cidades são A(-100, 300, 0) km e B(600, 800, 0) km. Sopra um vento noroeste 
com velocidade 35 km/h. a velocidade do avião em relação ao ar é 300. .V i y j= +
ur r r
 
(km/h). Calcule o tempo de viagem. 
 
99. Uma força dada pelo vetor 3. 4. 5.F i j k= + +
r r r
 (N) move uma partícula do ponto P(2, 
1, 0) (m) para o ponto Q(4, 6, 2) (m). Determine o trabalho realizado. 
 58 
 
100. Um parafuso é apertado por uma chave 
de boca que aplica uma força de 40 N 
em uma chave de 25 cm, como mostra 
o esquema. Determine o módulo do tor-
que em torno do centro do parafuso. 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1. x = 4 ; y = 5 
2. )7,6(vu =+ ; )2,8(u2 = 
3. )2,
2
7(w −= 
4. a = 3 ; b = -1 
5. )
2
5
,0(D = 
6. (1, -2) 
7. a) )
2
15
,
2
15(− b) )
5
11
,
5
23( − 
8. a) (-4,1) b) (2,5) c) (-5, -30) 
9. a = 
3
4
− b = 
4
3
− 
10. D (4, -4) 
11. a) Fx= 15,32N e Fy=12,85N 
b) Fx=7,07N e Fy=7,07N 
c) Fx= 25N e Fy= 43,30N 
d) Fx= 30,64N e Fy= 25,71N 
e) Fx= 25N e Fy= 43,30N 
f) Fx= 5,12N e Fy= 8,54N 
12. a) r = 2,6i – 2,3j: r= 1,21 
13. a) 115,91N ; b) 67,97N, c) 551,55N; d) 445,2N 
14. a)– 8i+6j+12k b)11i–2j–8k c)–3j–3k d)4i–7j–
13k. 
15. a) 3,85N ; b) 39,40N ; c) 48N ; d) 1299N; 
16. φ = 109,47° 
17. a) 0; b) 0 ; c) 1 ; d) 0 ; e) –k ; f) i ; g) –i ; h) –j ; j) j. 
18. –20i – 15j – 8k 
19. r= -9i + 3j + 7k 
20. 540 
21. φ = 22,14° 
22. a) 3i – 2j + 5k ; b) 5i - 4j 3k 
23. a) 0 ; b) o 
24. 66,6° 
25. a) S≅7,2; 56º com 1V e 34º com 2V ; 
b) D1≅7,2; 56º com 1V e 146º com 2V ; 
c) D2 ≅ 7,2; 124º com 1V e 34º com 2V . 
26. 29,1º 
27. 36,27º 
28. am ≅ 15,5 m/s2 
29. 142º 
30. a) (1,3,2); (2,2,1); (-1,-3,-2); (-1,1,1) b) 3 e 
3 
c) (-1,1,1); (1,-1,-1); (-9,1,3) 
d) (-2/3, -2/3, -1/3) e) (5/3, -1/3, -2/3) 
31. Isósceles 
32. 2 
33. 1,58 m 
34. k565,0j424,0i707,0U0
rrr
−+−= 
35. (0, 2, 0) 
36. k83,0j44,0i33,0Vo
rrr
−−= 
37. α = 121º ; β = 102º ; γ = 34º 
38. (5,0,0) ou (-11,0,0) 
39. (0,0,7) 
40. a) 172 b) 14 c) 9 
41. a) eqüilátero acutângulo b) escaleno retângulo 
c) escaleno obtusângulo d) escaleno acutângu-
lo 
e) isósceles acutângulo f) isósceles obtusângu-
lo 
g) isósceles obtusângulo h) escaleno retângulo 
42. k4780,0j3420,0i8090,0Vo
rrr
−+= 
43. d = 3 m 
44. F = 7 kgf ; α = 65º ; β = 107º ; γ = 149º 
45. F1 = 50 N; F2 = 60 N ; F3 = 80 N 
46. Fx = 24,2 N; Fy = – 79,9 N ; Fz = – 54,5 N 
47. j4,3i4,9F
rr
±= (kgf) 
48. j3iV1 +−= ; j4i4V2 −= 
49. N = -3 
50. M = -1 e N = 0 
51. M = 2 e n = 3 
52. M = 3/2 e N = -1 
53. 4 ou –2/3 
54. Não 
55. 90º 
56. X = -3/5 e Y = -5 
57. X = – 2 
58. 
59. ( )1,54,52 
60. 
61. 
62. 
63. 
64. 
65. 2X −= 
66. 
67. 60º 12’ 16’’ 
68. a) –5/2 b) Impossível 
69. 90º 
70. a) 5 b) –1/5 
71. m = -1 
72. 2 ou 11 
73. a) 26 b) –15 c) 11 d) θ ≅ 123º 
e) kjiX ++= f) m = -1 g) –17/5 
74. k3j2iX −+= 
 59 
75. –1 
76. 9 J 
77. 109,5º ou 70,5º 
78. a) (18,20,2) b) (-26, -28,-2) c) (-5/3,-
4/3,1/3) 
d) 24 e) )
2
2
,0,
2
2( − f) 0,
2
2
 e 
2
2−
 g) 
Não é 
79. a) k5ji2 −+ b) )
6
30
,
30
30
,
15
30( − c) m = -5 
80. k109j47i54 −+ e k109j47i54 +−− 
81. y = -2 e z = 2 
82. 50 u.a. 
83. 102,7 u.a. 
84. A = 1 u. a. 
85. 35 u.a. 
86. –6 ou 168/17 
87. 10 u.a. 
88. 4 
89. 7 
90. a) 10 b) –10 c) m = -5 d) n = 4 ou n = – 17/5 
91. 1 ou 4/5 
92. Y = – 4 
93. 0 ou 2 
94. a)0 b) k c) j
r
− d)0 e)– k f) i g)0 h) j
r
 
i)– i 
95. a) F (200 ; 500) b) d ≅ 538,5 m c) t = 1 min 
96. ( )48;3;528V −=r 
97. d ≅ 89 km 
98. t ≅ 2 h 9 min 
99. 36 J 
100. 9,66 N.m