matrizes

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
CCAADDEERRNNOO UUNNIIVVEERRSSIITTÁÁRRIIOO 
 
 
GGEEOOMMEETTRRIIAA AANNAALLÍÍTTIICCAA EE ÁÁLLGGEEBBRRAA LLIINNEEAARR 
 
 
 
Prof. Moacyr Marranghello 
Prof. Jorge Tadeu Vargas da Silva 
 2 
GGEEOOMMEETTRRIIAA AANNAALLÍÍTTIICCAA EE ÁÁLLGGEEBBRRAA LLIINNEEAARR 
 
1. Introdução: 
EMENTA DA DISCIPLINA: 
Matrizes - Operações com matrizes - Matrizes inversíveis - Determinan-
tes - Sistemas lineares - Espaço vetorial - Combinação linear - Dependência linear - 
Base de um espaço vetorial - Vetor - Reta no espaço - O plano. 
 
OBJETIVOS 
GERAL: 
Que o aluno seja capaz de aplicar os conceitos de Álgebra Linear e Ge-
ometria nos problemas de engenharia. 
 
ESPECÍFICOS 
� Operar com matrizes e calcular matriz inversa e operações elementares. 
� Reconhecer os tipos de matrizes. 
� Calcular determinantes. 
� Resolver sistemas de equações aplicando o método de Cramer e de Gauss. 
� Identificar as características de um vetor e representá-lo. 
� Operar com vetores. 
� Identificar espaços e sub-espaços vetoriais. 
� Identificar a base de um espaço vetorial. 
� Realizar produtos entre vetores. 
� Representar a reta nas suas diferentes formas de equações. 
� Resolver problemas que envolvam equações de retas. 
� Determinar a equação de planos. 
� Identificar as posições relativas entre planos/retas e planos/planos. 
� Determinar e reconhecer equações de cônicas. 
 
PROGRAMA DA DISCIPLINA 
� Matriz – tipos, determinação e operações - matriz inversa. 
� Determinante - cálculo de determinantes e propriedades. 
� Sistemas lineares - classificação e resolução. 
 3 
� Vetor - definição, representação, características, tipos de vetores, versor de um 
vetor, combinação linear, dependência linear, espaços vetoriais, base de um 
espaço vetorial, projeção de vetores, expressão analítica e algébrica de vetor, 
módulo, distância entre dois pontos, cossenos diretores, paralelismo e perpen-
dicularismo, produtos vetoriais. 
� A reta - equações vetorial, paramétrica e simétrica da reta, ângulo entre retas, 
paralelismo e perpendicularismo, coplanaridade, posições relativas entre retas. 
� O plano - equação do plano, posições relativas e distâncias. 
 
AVALIAÇÃO: INSTRUMENTOS E CRITÉRIOS 
 
A avaliação será feita, basicamente por duas provas: 
1ª Nota: uma prova valendo nove (9,0) pontos, com os conteúdos até a oitava aula e 
trabalhos com exercícios de aplicação valendo um (1,0) ponto. 
2ª Nota: uma prova valendo oito (8,0) pontos na décima oitava aula, com os conteúdos 
da primeira até a décima sétima aulas e trabalhos valendo dois (2,0) pontos. 
Substituição: uma prova com os conteúdos da primeira até a décima nona aulas. 
 
A média para a aprovação é de acordo com a Resolução nº 0120, de 
25/09/2002, do Conselho Universitário, isto é: 
Serão realizadas duas (2) atividades para compor dois (2) graus parciais 
durante o período letivo. Depois de feita a média ponderada desses graus ( o primeiro 
com peso 1 e o segundo com peso 2), o aluno que possuir , no mínimo, 75% de fre-
qüência e média parcial igual ou superior a 6 será considerado aprovado.Para o aluno 
que tenha freqüência de 75% ou mais, mas média parcial inferior a 6, será oferecida 
uma prova de recuperação cumulativa de conteúdos e competências do semestre para 
substituir uma das notas dos dois primeiros graus (mantendo-se os respectivos pesos 
de cada grau): 
Grau 1 (G1) – Avaliação, com peso 1, com os conteúdos e competências desenvolvi-
dos no primeiro bimestre letivo. 
Grau 2 (G2) – Avaliação, com peso 2, com todos os conteúdos e competências desen-
volvidos no semestre letivo. 
Será considerado aprovado o aluno que obtiver média maior ou igual a 
6,0, calculada pela equação ( ) ( )
3
22G11G ×+×
. 
 
 4 
O aluno que não atingir o mínimo exigido terá oportunidade de realizar 
uma atividade de revisão geral de conteúdos e competência e mais uma atividade de 
substituição de um dos graus do semestre. 
REVISÃO GERAL – Serão elaboradas atividades individuais para que os alunos pos-
sam trabalhar suas dificuldades com auxílio do professor. 
SUBSTITUIÇÃO DE GRAU – Será realizada uma avaliação final contendo todos os 
conteúdos e competências desenvolvidas no semestre letivo. 
O grau final será obtido, substituindo, na equação acima, o valor da nota 
da substituição de graus parciais G1 ou G2, a ser escolhido pelo aluno, pelo valor da 
nota da substituição de graus. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
BÁSICA: 
 
1. WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000. 232p. 
2. STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. 
583p. 
3. HOWARD, A., RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Artmed Editora 
Ltda, 2001.572p. 
4. KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: Prentice-Hall 
do Brasil ltda, 1998.554p. 
 
COMPLEMENTAR: 
 
5. BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra. 1980. 411p. 
6. BOULOS, P., CAMARGO, I. Geometria analítica - um tratamento vetorial. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1987.385p. 
7. JÚNIOR, O. G. Matemática por assunto – Geometria Plana e Espacial (nº 6). São Paulo. 
Ed. Scipione, 1988. 
8. MACHADO, A. dos S. Matemática temas e Metas – Áreas e Volumes (nº 4). São Paulo. 
Atual Editora. 1988. 
9. MACHADO, A. dos S. Matemática temas e Metas – Sistemas Lineares e Combinatória 
(nº 3). São Paulo. Atual Editora. 1988. 
10. LIPSCHUTS, S., LIPSOM M.L., Algebra Linear. São Paulo. 3°ed. BOOKMAN.2004, 400 p 
11. REIS, G. L. e Silva V. V., Geometria Analítica. São Paulo: 2° ed. LTC. 1996. 242 p. 
12. SANTOS, N. M. dos. Vetores e Matrizes. São Paulo: Thomson Learning, 2007. 287p. 
 5 
2. MATRIZES: 
 
2.1. CONCEITO: 
Denomina-se Matriz o conjunto de elementos formado por m linhas e n 
colunas, que são dispostas em um quadro, com um total de m.n elementos, que podem 
ser números, letras ou letras e números. 
 
2.2. REPRESENTAÇÃO: 
A representação de uma Matriz Retangular de m.n elementos é dada 
pelo seguinte quadro: 
Amxn = 












mn3m2m1m
n2232221
n1131211
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
 
Onde o 1.º Índice de cada elemento indica a sua linha e o 2.º Índice de 
cada elemento indica a sua coluna, assim o elemento a23 está localizado na 2.ª linha e 
3.ª coluna. 
 
Obs.: 1) Utilizam-se letras maiúsculas para representar uma Matriz. 
2) A ordem de uma Matriz é dada pelo seu número de linhas e colunas. Assim 
uma Matriz 3x2 possui 3 linhas e 2 colunas. 
 
2.3. TIPOS DE MATRIZES: 
2.3.1. MATRIZ LINHA: 
É aquela que possui uma única linha, sua ordem tem forma geral do ti-
po 1xn. 
A1xn = [ ]n1131211 a...aaa 
Ex.: A = ( )2153 − ordem 1X3 B = ( )36 ordem 1X2 
C = [ ]9752643 − ordem 1X6 
 6 
2.3.2. MATRIZ COLUNA: 
É aquela que possui uma única coluna, sua ordem tem forma geral do 
tipo mx1. 
Bmx1 = 












1m
21
11
b
...
b
b
 
Ex.: P = 










− 5
9
1
 ordem 3X1 Q = 












−
7
1
1
4
 ordem 4X1 
 
2.3.3. MATRIZ RETANGULAR: 
É aquela em que o número de linhas é diferente do número de colunas, 
sua ordem geral é do tipo mxn, com m≠n 
Amxn = 












mn3m2m1m
n2232221
n1131211
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
 
Ex.: M = 
240
192 −
 ordem 2X3 N = 















 −
250
957
142
008
2544
 ordem 5X3 
2.3.4. MATRIZ QUADRADA: 
É aquela em que o número de linhas é igual ao número decolunas, sua 
ordem geral é do tipo nxn, ou resumidamente, ordem n. 
 
Cnxn = 












nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
...
............
...
...
21
22221
11211
 
Obs.: As matrizes quadradas possuem uma Diagonal Principal, que é formada 
pelos elementos que possuem índices iguais, e uma Diagonal Secundária, 
que é formada pelos elementos cuja soma de seus índices resulta n + 1. 
 
 7 
 
Ex.: A = 





− 18
23
 ordem 2X2 ou de 2ª ordem 
 diag. Secundária diag. Principal 
 
B = 









 −
724
790
8564
 3X3 ordem ou de 3ª ordem 
 diag. Secundária diag. Principal 
 
2.3.5. MATRIZ TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ: 
Dada uma Matriz A, sua transposta é outra matriz, que se representa 
por At, quando os elementos das linhas de uma matriz são os elementos das colunas 
da outra matriz. 
A2x3 = 





−
−
164
752
 At3x2 = 










−
−
17
65
42
 
Obs.: Os elemento de posição ij da Matriz A ocupará a posição ji na Matriz At. 
Ex.: sendo A = 










−
19
39
24
, sua transposta é a matriz At = 




 −
132
994
 
 
2.3.6. MATRIZ NULA: 
É aquela em que todos os seus elementos são nulos (“zeros”). 
A2x2 = 





00
00
 B2x3 = 





000
000
 
 
2.3.7. MATRIZ IDENTIDADE: 
É aquela matriz quadrada que possui os elementos da Diagonal Princi-
pal iguais a 1 e os demais elementos nulos (“zeros”). 
I2 = 





10
01
 I3 = 










100
010
001
 I4 = 














1000
0100
0010
0001
 e assim por diante. 
 8 
2.3.8. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: 
É aquela em que todos os elementos que ficam acima da Diagonal 
Principal são nulos (“zeros”). 
A3X3 = 










−
−
310
052
007
 B4x4 = 














−
−
4508
0473
0086
0002
 
 
2.3.9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: 
É aquela em que todos os elementos que ficam abaixo da Diagonal 
Principal são nulos (“zeros”). 
M3X3 = 










−
−
300
250
2/137
 P2x2 = 




−
70
28
 Q4x4 = 














−
−
3000
4600
3650
3601
 
 
 
2.4. CONSTRUÇÃO DE MATRIZES: 
Para se construir uma Matriz dependemos de sua Lei de Formação, 
muito embora possam ser criadas matrizes sem uma lei específica, são apenas um 
amontoado de números, letras ou letras e números. De um modo geral a Lei de Forma-
ção depende da posição de cada elemento na matriz. 
Ex.: Construir as seguintes matrizes: 
a) A = (aij) 4x2 = 3i – 2j 
b) B = (bij) 2x4 = i2 – 3j 
c) C = (cij) 4x4 = 





<→+
>→−
=→
jiseij
jiseji
jise
,23
,2
,1
2
2
 
Respostas: 
a) A = 











 −
8
5
2
10
7
4
11
 b) B = 





−
−
−
−
−
−−
8
11
5
8
2
5
1
2
 c) C = 












1101214
30157
201712
141181
 
 
 9 
2.5. OPERAÇÕES COM MATRIZES: 
2.5.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: 
Para somarmos ou subtrairmos duas matrizes, é necessário inicialmente 
que as matrizes possuam a mesma ordem. A operação é feita pela adição ou subtração 
em cada posição das duas matrizes resultando uma terceira matriz de mesma ordem, 
ou seja, teremos que Amxn +/- Bmxn = Cmxn, se todo cij = aij +/- bij. 
2.5.2. MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO: 
Para multiplicarmos um número por uma Matriz devemos multiplicar to-
dos os seus elementos pelo número escolhido, ou seja, teremos que dada a Matriz Amxn 
a Matriz B = 3.Amxn, é tal que todo bij = 3.aij. 
2.5.3. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: 
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário inicialmente que a 1.ª 
matriz tenha o número de colunas igual ao número de linhas da 2.ª matriz. Para obter-
mos o elemento cij da matriz produto, deveremos fazer: 
cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bmj 
A4x2 x B2x3 = C4x3 
Exemplo: 












−
−
12
03
47
31
 x 





−
−
304
523
 = 












−
−−
−
−
7410
1569
231437
1429
 
 
2.5.4. MATRIZ INVERSA: 
Sendo uma Matriz Quadrada A, de ordem M. Dizemos que a Matriz A é 
inversível se existir B tal que: 
A . B = B . A = In ou A . A-1 = In 
A Matriz B é chamada inversa da Matriz A e será indicada por A-1. 
Nota: 
a) Se existir a Matriz inversa, dizemos que a Matriz A é inversível, como contrá-
rio ela é não-inversível ou singular. 
b) Existindo a Matriz inversa, ela é única 
Ex: Sendo a Matriz A = 





−15
20
 , Obtenha sua inversa. 
 10 
Solução: 





25
13
. 





dc
ba
 = 





10
01
 





++
++
d2b5c2a5
db3ca3
 = 





10
01
 
Pela igualdade de Matrizes, obtemos: 
 
A-1 = 





−−
−
35
12