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Notas de cálculo funções

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Notas de Cálculo – professor Augusto 1 
Funções 
 
Uma função f é uma lei que associa a cada elemento de um conjunto A, chamado 
domínio e denotado por Dom(f), um único elemento de um conjunto B, chamado 
contra-domínio. Representaremos esta definição por: 
 
f:A→B 
 
Assim para cada x

A existe um único y

B e denotaremos: 
 
y=f(x) 
 
e estes elementos formarão a imagem da função f, que será denotada por Im(f), isto é: 
 
Im(f)={y

B/y=f(x) para x

A}. 
 
 Os elementos de A recebem o nome de variável independente ou abcissa e os 
elementos de B de variável dependente ou ordenada. 
 
Exemplos: 
 
1) 
Tempo (seg.) 0 5 7 10 20 
Velocidade (m/seg.) 0 20 25 30 60 
 
 O domínio desta função é o conjunto {0, 5, 7, 10, 20} e a imagem é o conjunto 
{0, 20, 25, 30, 60}. 
 
2) f(x)=2x. 
 
Neste exemplo o domínio e o contra-domínio não foram citados e assim devem 
ser entendidos como o conjunto dos números reais R. 
 
3) f:Z→R 
 f(x)=2x 
 
Aqui x assume somente valores inteiros, uma vez que 
Zx 
, isto é Dom(f) = Z. 
 
 4) f(x) =
2x
6x5²x


 
 
Dom(f) = {x

R/x≠2} ou R-{2} 
 
5) g(x) = 
1x 
 
x-1≥0 
x≥1 
 
Dom(g)={x

R/x ≥1}=[1,∞) 
Notas de Cálculo – professor Augusto 2 
 
 O conjunto de todos os pares (x, f(x)) onde x

Dom(f) recebe o nome de gráfico 
de função f. Um par (x,f(x)) recebe o nome de coordenadas. 
 
 Exemplo: Construa o gráfico da função y=2x: 
 
x f(x)=2x 
-4 -8 
-2 -4 
0 0 
1 2 
2 4 
3 6 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Seja a função f(x)=
x
 construa o seu gráfico, determine o seu domínio e sua 
imagem. 
 
x f(x)=
x
 
0 0 
 1 1 
2 
2
 
3 
3
 
4 2 
9 3 
 
Como f(x)=
x
, temos que Dom(f)=R  ={x

R/x ≥ 0} e pelo gráfico 
observamos que Im(f)=R  ={x

R/x ≥ 0}. 
 
2) Considere agora a função f(x)=5. Construa seu gráfico e determine o seu 
domínio e a sua imagem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dom(f)=R 
Notas de Cálculo – professor Augusto 3 
 
Im(f)={5} 
 
Esta função recebe o nome de função constante. 
 
De maneira geral toda função real f:R→R tal que f(x)=K, onde K

R é uma 
função constante. 
 
 Função Afim 
 
Consideremos agora a função f:R→R dada por f(x)=ax+b, onde a

R* e b

R. 
Esta função recebe o nome de função afim. Observe que se a=0 então a função f é a 
função constante f(x)=b e quando b=0 então a função f é a função linear f(x)=ax. Desta 
forma muito do que afirmarmos para as funções afim também vale para as funções 
constante e linear, o que pode ser facilmente confirmado, quando for o caso. 
 
O gráfico desta função é uma reta. 
 
Exemplo: Seja f(x) =2x+1, construa seu gráfico e determine o domínio e a 
imagem: 
 
Como o gráfico de f é uma reta, para construí-lo basta conhecermos 2 de seus 
pontos. 
 
x f(x)=2x+1 
0 1 
2 5 
 
 
 
 
 
Observe que Dom(f)=R e Im(f)=R 
 
Observe que quando x=0 temos que f(x)=ax+b assume o valor f(x)=b, ou seja, o 
gráfico de f intercepta o eixo f(x) no ponto f(x)=b. Por outro lado quando f(x)=0 temos 
que: 
 
f(x)=ax+b 
 0=ax+b 
 x= 
a
b
 
 
ou seja, o gráfico de f intercepta o eixo x no ponto x = 
a
b
. Estes pontos recebem o 
nome de intercepto vertical e intercepto horizontal respectivamente. 
 
Exemplo: Construa o gráfico das seguintes funções: 
Notas de Cálculo – professor Augusto 4 
 
a) f(x)=-2x+1 
Intercepto vertical: y=1 
Intercepto horizontal: x= 
a
b
= 
2
1
2
1



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a<0 e a função é uma descida. 
 
b) f(x)=2x-1 
Intercepto vertical: y=-1 
Intercepto horizontal: x= 
a
b
= 
2
1
2
)1(


 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a>0 e a função é uma subida. 
 
c) f(x)=-2x-1 
Intercepto vertical: y=-1 
Intercepto horizontal: x= 
a
b
= 
2
1
2
)1(



 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a<0 e a função é uma descida. 
 
 De maneira geral, nas funções lineares ou afins, se a>0 então a função é uma 
subida, isto é crescente, e se a<0 então a função é uma descida, isto é decrescente. 
 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 5 
 De maneira mais formal, dizemos que uma função f(x) é crescente em um 
intervalo [a,b]

 Dom(f) se para todo x1, x2  [a,b] tal que x1<x2 então f(x1)<f(x2) e 
dizemos que uma função f(x) é decrescente em um intervalo [a,b]

 Dom(f) se para 
todo x1, x2  [a,b] tal que x1<x2 então f(x1)>f(x2). 
 
Agora, observando o exemplo anterior percebemos que: 
 
f(-2)=-3 
f(-1)=-1 
f(0)=1 
f(1)=3 
f(2)=5 
 
e assim: 
 
f(2)-f(1) = f(1)-f(0) = f(0)-f(-1) = f(-1)-f(-2) = 2. 
 
Assim concluímos que para esta função: 
 
f(x+1)–f(x)=2. 
 
Generalizando, para qualquer função afim f(x)=ax +b: 
 
f(x+1)–f(x)=a, 
 
pois: 
 
 f(x+1)=a(x+1)+b 
 
e 
 
 f(x)=ax+b, 
 
logo: 
 
 f(x+1)–f(x) = (a(x+1)+b)–(ax+b) 
 
 = ax+a+b–ax–b 
 
 = a. 
 
 Também, por exemplo: 
 
2
4
8
4
)3(5
)2(2
)2(f)2(f





 
 
como também: 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 6 
2
1
13
01
)0(f)1(f





 
 
entre outros pares na lista acima escolhidos. Assim concluímos que para esta função: 
 
2
h
)x(f)hx(f


 
 
para qualquer h escolhido. 
 
Generalizando, para qualquer função afim f(x)=ax+b temos: 
 
a
h
ah
h
)bax(b)hx(a
h
)x(f)hx(f




, 
 
que recebe o nome de coeficiente angular (ou inclinação) da reta y = ax+b e o valor b de 
coeficiente constante. 
 
De maneira geral 
 
f(x+h)–f(x) 
 
recebe o nome de variação da função f entre x e x+h e 
 
h
)x(f)hx(f 
 
 
de taxa de variação ou taxa média de variação - TMV da função f entre x e x+h. Através 
da TMV podemos obteremos informações mais relevantes sobre uma função, quanto 
menor for o incremento h escolhido. 
 
Assim, no caso da função afim f(x)=ax+b, como já vimos, a taxa de variação é 
sempre constante e igual a “a”. 
 
Conhecendo dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) de uma reta, a função correspondente 
pode ser escrita como y – yo = a(x-x0), onde a =
01
01
xx
yy


. Veja que este valor de a é o 
mesmo da função afim y = ax+b. 
 
Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos P0= (0,5) e 
P1= (1,7). 
Calculamos o coeficiente angular: a = 
2
01
57
xx
yy
01
01 





. Substituindo na 
fórmula y – yo = a(x-x0) temos y –5 = 2 (x-0), ou seja y-5 = 2x. Portanto a equação 
desejada é y = 2x+5. 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 7 
       








Vamos construir agora o gráfico de 
x)x(f 
, observando que : 






0sex ,x
0sex ,x
x
. 
Logo Dom(f) = R e seu gráfico é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o gráfico de 
x)x(f 
 é obtido do gráfico de y = x, pela reflexão 
em torno no eixo y para x < 0. 
 
FunçãoQuadrática 
 
São funções do tipo 
 
f(x)=ax²+bx+c 
 
onde a, b, c

R e a≠0. 
 
Exemplos: 
 
a) f(x)=x² -5x+6 é uma função quadrática onde a=1, b=-5 e c=6. 
 
b) g(x)=-2x²+4x -8 é uma função quadrática onde a=-2, b=4 e c=-8. 
 
c) h(x)=x²+1 é uma função quadrática onde a=1e c=6 (b=0). 
 
d) q(x)=2x²+x é uma função quadrática onde a=2 e b=1 (c=0). 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 8 
O domínio das funções quadráticas é o conjunto R. 
 
 O gráfico desta função recebe o nome de parábola e possui um dos seguintes 
traços: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns pontos importantes no gráfico de uma função quadrática: 
 
i) Intercepto vertical (interseção com o eixo y) 
 
Ocorre quando x=0, daí: 
 
f(0)=a.0²+b.0+c= c. 
 
Logo a intersecção com o eixo f(x) é o ponto (0, c). 
 
ii) Intercepto horizontal (interseção com o eixo x) 
 
Isto ocorre onde f(x)=0, ou seja: 
 
ax²+bx+c=0, 
 
e assim eles são obtidos, se existirem, pela fórmula de Báskara! 
 
ac4b2 
. 
 
 - Se 
0
 então 
a2
b
x1


 e 
a2
b
x2


 e temos dois interceptos 
horizontais distintos. 
 
- Se 
0
 então 
a2
b
xx 21


 e temos apenas um intercepto horizontal. 
 
-Se 
0
 então não temos interceptos horizontais. 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 9 
Exemplo: Dada a função f(x)=x²-5x+6, para obter os pontos onde seu gráfico 
intercepta o eixo x calculamos: 
 
∆=25-24=1 
 
e assim: 
 
x
1
=2 e x
2
=3 
 
são os interceptos horizontais e os pontos de intersecção com o eixo x são: 
 
(2,0) e (3,0). 
 
iii) Vértice do gráfico (máximo ou mínimo) 
 
O vértice da parábola é o ponto do gráfico, para o qual a variável x é o ponto 
médio entre x
1
 e x
2
. Isto é: 
 
xv=
a2
b
2
a2
b2
2
a2
bb
2
a2
b
a2
b













 








 
 
 
e assim: 
 
f(xv)=
c
a2
b
.b
a2
b
.a
2





 





 
 
f(xv)=
c
a2
²b
²a4
²b
.a 


 
f(xv)=
c
a2
²b
a4
²b

 
f(xv)=
a4
ac4²b2²b 
 
f(xv)=
a4
ac4²b 
 
f(xv)=
a4
)ac4²b( 
 
f(xv)=
a4

. 
 
Logo o vértice da parábola é o ponto 





 
a4
,
a2
b
. 
 
Além disso a reta x=
a2
b
 é o eixo de simetria da parábola. 
Notas de Cálculo – professor Augusto 10 
 
Na verdade este vértice é o ponto do gráfico, para o qual a variável x é o ponto 
médio entre x
1
 e x
2
, sendo estes dois valores do domínio da função que estão 
associados à mesma imagem. Isto decorre do fato do vértice estar sobre o eixo de 
simetria da parábola. 
 
iv) Concavidade 
 
Quando a>0 a concavidade da parábola está voltada para cima, e quando a<0, 
para baixo. 
 
Exemplo: Construir o gráfico e determinar a imagem da função: f(x)=x²-5x+6: 
 
i) intersecção com o eixo f(x): (0,6) 
 
ii) intersecção com o eixo x: 
 
x²-5x+6 

25-24=1 
x=
2
15 
 x
1
=2 x
2
= 3 
 
Portanto, (2,0) e (3,0) são as intersecções com o eixo x. 
 
iii) vértice: 
 
x
v
=
a2
b
= 
2
5
 
f(xv)=
a4

= -
4
1
 
 
Portanto o vértice é:







4
1
,
2
5
 
 
Conhecendo o vértice e sabendo que como a=1 a concavidade está voltada para 
cima podemos concluir que Im(f) = [
),
4
1

 
 
x f(x) 
2 0 
3 0 
2.5 0.25 
0 6 
-1 2 
5 6 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 11 
Exemplo: Construir o gráfico e determinar a imagem das seguintes funções: 
 
a) y = -x²: 
 
i) intersecção com o eixo f(x): (0,0) 
 
ii) intersecção com o eixo x: 
 
y=0 
-x²=0 
 
Portanto a única intersecção com o eixo x é o ponto (0,0). 
 
iii) vértice: 
 
xv =
a2
b
= 0 
f(xv)=
a4

= 0 
 
Portanto o vértice é o ponto (0,0). 
 
iv) a=-1<0 → concavidade para baixo. 
 
Assim Im=(-

,0]. 
 
x f(x) 
0 0 
1 -1 
1 -1 
2 -4 
 
 
b) y = x² +1 
 
i) intersecção com o eixo f(x): (0,1) 
 
ii) intersecção com o eixo x: 
 
x²+1=0 
Δ=0²-4=-4<0 
 
Portanto não existe raiz real. 
 
Logo não existe intercepto horizontal. 
 
iii) vértice: 
Notas de Cálculo – professor Augusto 12 
       







 
xv =
a2
b
= 
0
1.2
0


 
f(xv)=
a4

= 
1
1.4
4

 
 
Portanto o vértice é o ponto:
 1,0
. 
 
iv) a=1>0 → concavidade para cima. 
 
Assim Im= [1,

). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando os gráficos abaixo podemos concluir que quanto maior for |a| mais 
“fechada” será a nossa parábola: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a função afim f(x)=ax+b vimos que a taxa média de variação, dada por 
h
)x(f)hx(f 
 é sempre constante e igual a “a”. 
x f(x)=x²+1 
0 1 
1 2 
-1 2 
2 5 
-2 5 
 
y=x
2
-3x+2 
 
 
y=2x
2
-6x+4 
 
 
y=3x
2
-9x+6 
 
       







 
y=-x
2
+3x-2 
 
y=-2x
2
+6x-4 
 
 
y=-3x
2
+9x-6 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 13 
 
Considere agora a função quadrática f(x)=x²-5x +6 e calcule a taxa de variação 
nos intervalos [0,2] e [4,6]: 
 
•Intervalo [0,2] 
 
 
 h=2 
Taxa de variação = 
2
)0(f)2(f 
 = 
3
2
60


 
 
•Intervalo [4,6] 
 
 h=2 
 
Taxa de variação = 
2
)4(f)6(f 
 = 
5
2
212


 
 
Observe que os intervalos [0,2] e [4,6] possuem a mesma amplitude, ou seja, 
para ambos h=2, no entanto as taxas de variação são diferentes. 
 
Logo, para a função quadrática (e para todas as outras ainda não vistas) as taxas 
de variação não são constantes. Assim, para todas estas funções utilizaremos somente a 
nomenclatura taxa média de variação no intervalo [a,b] e não taxa de variação. 
 
Observe que no caso das funções afim a taxa de variação significa a variação 
sofrida pela função por unidade da variável independente variada, e esta relação é 
proporcional. Assim, a partir de um certo valor inicial de uma destas funções podemos, 
através da taxa de variação calcular o valor desta função em qualquer momento. Para as 
demais funções o mesmo não ocorre. 
 
A forma canônica da função quadrática 
 
A construção do gráfico da função quadrática 
cbx²axy 
 com o auxílio de 
uma tabela de valores x e y torna-se, às vezes, um trabalho impreciso, visto que nem 
sempre conseguimos, desta forma, detectar o seu vértice. Não podemos também confiar 
na memorização das fórmulas para o cálculo desse vértice e em muitos casos a função 
quadrática não possui raízes reais, o que impossibilita o cálculo deste vértice a partir da 
média das raízes. 
 
A seguir apresentamos a forma canônica, que como veremos, quando a função 
quadrática é apresentada nesta forma, ela torna explícito, o vértice da parábola. 
 













a
c
a4
b
a4
b
x
a
b
xa
a
c
x
a
b
xacbx²axy
2
2
2
2
22
 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 14












 

























2
22
2
2
2
2
2
a4
ac4b
a2
b
xa
a
c
a4
b
a4
b
x
a
b
xa
, 
 
ou seja: 
 
  v2v2
2
yxxa
a4a2
b
xay 













 





 

, 
 
a qual recebe o nome de forma canônica. 
 
Veja que se a < 0, o valor de y será tanto maior quanto menor for o valor da 
diferença 





 







2
2
a4a2
b
x
. Nessa diferença, 
2a4

 é constante e 
0
a2
b
x
2







 para 
todo x real. Então a diferença 





 







2
2
a4a2
b
x
assume o menor valor possível 
quando
0
a2
b
x
2







, ou seja, quando 
a2
b
x 
, confirmando que 
a2
b
x v 
. 
 
Veja que se a > 0, o valor de y será tanto menor quanto menor for o valor da 
diferença 





 







2
2
a4a2
b
x
. Nessa diferença, 
2a4

 é constante e 
0
a2
b
x
2







 para 
todo x real. Então a diferença 





 







2
2
a4a2
b
x
assume o menor valor possível 
quando
0
a2
b
x
2







, ou seja, quando 
a2
b
x 
, confirmando que 
a2
b
x v 
. 
 
 Veja que para ambos os casos temos 
a2
b
x v 
, e associado a este valor temos: 
 
a4a4
0a
a4a2
b
a2
b
a
a4a2
b
xay
2
2
2
2
2
2












 














 




















 







, 
 
ou seja, 
a4
y v


. 
 
 Perceba então que a forma canônica torna explícita as coordenadas do vértice da 
parábola. 
 
 Exemplo: Dada a função do segundo grau f(x)=x²-5x+6, para a qual 
temos ∆=25-24=1. A sua forma canônica é: 
Notas de Cálculo – professor Augusto 15 
 



















 

4
1
2
5
xy
2, 
 
da qual concluímos que o seu vértice é o ponto 







4
1
,
2
5
. 
 
 Exemplo: Dada a função do segundo grau f(x)=2[(x+3)
2
+1], apresentada 
na forma canônica, sabemos que o seu vértice é (-3,1). Veja que como a=2>0 e portanto 
a concavidade desta parábola é para cima concluímos que esta função não admite raízes 
reais. 
 
Às vezes nos deparamos com uma função do segundo grau, que não possui 
raízes reais e tão pouco nos lembramos das fórmulas para o cálculo do seu vértice. Se a 
mesma estiver na forma canônica, esta nos fornece este vértice, mas caso contrário 
devemos nos lembrar que o vértice de uma parábola esta sobre o eixo de simetria da 
mesma e assim a partir de quais dois valores distintos de x que nos forneçam a mesma 
imagem podemos obter xv calculando a média aritmética destes dois valores. Dada a 
função do segundo grau 
cbx²axy 
 estes cálculos são facilitados fazendo-se 
ccbx²ax 
 de onde obtemos 
0bx²ax 
 o que nos resulta em 
0x 
 ou 
a
b
x 
 
para obtermos que 
a2
b
x v 
. 
 
Exemplo: Dada a função do segundo grau f(x)=x²-5x+6, fazendo: 
 
x²-5x+6=6, 
 
obtemos: 
 
x²-5x=0, 
 
de onde obtemos x=0 ou x=5. 
 
Daí: 
 
2
5
2
50
x v 


. 
 
Função polinomial 
 
As funções linear, afim e quadrática, já estudadas são casos particulares da 
função polinomial de grau n: 
 
p
n
(x)=a
n
x n + a
1n
x 1n +...+ a
3
x 3 + a
2
x 2 + a
1
x+a
0
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 16 
 
onde a
n
, a
1n
,..., a
3
, a
2
, a
1
, a
0

R e a
n
≠0 e n

N, n>0. 
 
Exemplos: 
 
a) f(x) = 2x -1 
 
b) g(x) = 5x² +2x -1 
 
c) h(x) = 3x³ -2x² +x 
 
O domínio da função pn(x) é o conjunto R. 
 
Observe que a função f(x) = x
n
, n

N, n > 0 é um caso especial da função 
polinomial. 
 
Seguem abaixo alguns gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Até 3 raízes 
reias 
distintas!? 
p3(x) 
Notas de Cálculo – professor Augusto 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esses gráficos foram separados em grau pares e ímpares devido às características 
comuns que podemos identificar nesses dois grupos. Observe que os gráficos das 
funções f(x) = x
n
, n

N, n > 0 e ímpar, se interceptam nos pontos (1,1) e (-1,-1) e os 
gráficos das funções f(x) = x
n
, n

N, n > 0 e par, se interceptam nos pontos (1,1) e 
(-1,1). 
 
A forma fatorada de uma função polinomial 
 
 Da uma função polinomial de grau n: 
 
p
n
(x) = a
n
x n + a
1n
x 1n +...+ a
3
x 3 + a
2
x 2 + a
1
x+a
0
 
 
onde a
n
, a
1n
,..., a
3
, a
2
, a
1
, a
0

R e a
n
≠0 e n

N, n>0, podemos escrevê-la na forma 
fatorada: 
 
p
n
(x) = a
n
((x - x1) (x – x2) (x – x2) ... (x – xn)) 
 
onde x1,x2,x3, ... , xn são as n raízes reais dessa função. 
 
Vamos, a seguir, demonstrar a forma fatorada para a função afim e para função 
quadrática, ou seja, para as funções polinomiais de graus 1 e 2. 
 
A forma fatorada da função afim 
 
Dada a função afim f(x)=ax+b, onde a

R* e b

R, como já sabemos sua única 
raiz é 
a
b
x1 
. Veja que para esta função a forma fatorada é: 
 
f(x)=a(x-x1), 
 p4(x) 
Até 4 
raízes 
reias 
distintas!? 
p4(x) 
Notas de Cálculo – professor Augusto 18 
 
a qual pode ser facilmente confirmada substituindo nela a raiz 
a
b
x1 
. 
 
A forma fatorada da função quadrática 
 
 Para demonstrar a forma fatorada para a função quadrática demonstraremos 
antes a fórmula de Baskara e a da soma e produto das suas raízes. 
 
Fórmula de Baskara 
 
Seja a função quadrática 
cbx²ax)x(f 
, com 
0a 
, e tomemos a equação: 
 
0cbx²ax 
, 
 
da qual obtemos: 
 
0
a
c
x
a
b
²x 
, 
dividindo por a e: 
 
0
a
c
²a4
²b
²a4
²b
x
a
b
²x 
, 
 
somando e subtraindo 
²a4
²b
, que é o mesmo que: 
 
0
a
c
²a4
²b
a2
b
x
2







. 
 
 Desta temos: 
 
a
c
²a4
²b
a2
b
x
2







, 
 
ou, 
 
²a4
ac4²b
a2
b
x
2








, 
 
da qual resulta: 
 
²a4
ac4²b
a2
b
x








, 
Notas de Cálculo – professor Augusto 19 
 
ou ainda: 
 
a2a2
b
x


, 
 
fazendo: 
ac4²b 
, da qual obtemos: 
 
a2a2
b
x


, 
 
ou, 
 
a2
b
x


, 
 
que é a fórmula de Baskara. 
 
Soma e produto das raízes 
 
Sendo 
a2
b
x1


 e 
a2
b
x 2


 obtidos pela fórmula de Baskara, 
sabemos que: 
 
a
b
xxS 21


, 
 
pois: 
 
a
b
a2
b2
a2
b
a2
b
S








. 
 
 Temos tambémque: 
 
a
c
xxP 21 
, 
 
pois: 
 
a
c
²a4
ac4
²a4
bb²b
a2
b
a2
b
P 








 







 

. 
 
Agora vamos verificar a validade da forma fatorada para a função quadrática 
cbx²axy 
, onde a, b, c

R e a≠0. Esta função pode ser escrita como: 
Notas de Cálculo – professor Augusto 20 
 







a
c
x
a
b
²xay
, 
 
ou seja: 
 
   )xxxxxxx(axxxxx²xay 2121
2
2121 
=, 
 
da qual obtemos: 
 
    121 xxxxxxay 
, 
 
colocando x e -x2 em evidência. 
 
Daí colocando 
 1xx 
 em evidência obtemos: 
 
   21 xxxxay 
, 
 
que é a forma fatorada da função quadrática. 
 
Exemplo: Dada a função quadrática f(x)=x²-5x+6 cujas raízes são x
1
=2 e x
2
= 3 
a sua forma fatorada é f(x) = (x-2)(x-3). 
 
Exemplo: Dada a função quadrática f(x)=x²-2x+1 cujas raízes são x
1
=1 e x
2
= 1 
a sua forma fatorada é f(x)=(x-1)(x-1)=(x-1)
2
. 
 
 Observação: Na construção dos gráficos que nos levaram a concluir que quanto 
maior for |a| mais “fechada” será a nossa parábola utilizamos a forma fatorada da função 
f(x)= x²-3x+2 que é f(x)=(x-1)(x-2) e variamos o valor da constante a, fazendo-a 
assumir os valores 1, 2 e 3 e depois -1, -2 e -3. 
 
 Encontrando uma função polinomial: 
 
 Quando temos uma função dada por uma tabela de pontos nos é muito útil um 
procedimento para obtermos a expressão desta função. Se desejarmos uma função 
polinomial: 
 
p
n
(x) = a
n
x n + a
1n
x 1n +...+ a
3
x 3 + a
2
x 2 + a
1
x+a
0
 
 
isto será sempre possível. 
 
 Para tanto, seja f dada sobre (n+1) pontos pela tabela: 
 
x x0 x1 x2 ... xn-1 xn 
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ... f(xn-1) f(xn) 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 21 
 Desejamos então uma função polinomial pn(x) tal que: 
 
f x p xk n k( ) ( )
, 
 
para 
k  0 1, , , n
. Para tanto, devemos resolver o sistema linear: 
 










)x(fxaxaxaa
)x(fxaxaxaa
)x(fxaxaxaa
n
2
nn
2
n2n10
1
2
1n
2
12110
0
n
0n
2
02010

, 
 
com 
( )n 1
 equações e 
( )n 1
 variáveis, 
a n0 1 2, , , , a a a
, gerado à partir da última 
igualdade, e com solução única, a qual determina a função pn(x). Ressaltamos que à 
partir de uma tabela com (n+1) pontos obtemos uma função polinomial de grau menor 
ou igual a n, sendo n quando na resolução do sistema obtivermos 
0a n 
 e caso 
contrário o grau será menor que n. Este procedimento recebe o nome de Interpolação 
Polinomial, mais detalhadamente estudo pela Matemática Computacional, ou mais 
especificamente, pelo Cálculo Numérico. 
 
Exemplo: Vamos encontrar a função polinomial de grau menor ou igual a 2 para 
a tabela abaixo: 
 
x -1 0 2 
f x( )
 4 1 -1 
 
 Temos que 
p x a a x a x2 0 1 2
2( )   
 e 
p x f x
p x f x
p x f x
2 0 0
2 1 1
2 2 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )








, ou seja: 
 
a a a
a
a a a
0 1 2
0
0 1 2
4
1
2 4 1
  

   





. 
 
 Resolvendo o sistema linear obtemos: 
a 0 1
, 
a1
7
3
 
 e 
a 2
2
3

. 
 
 Assim 
p x x x2
21
7
3
2
3
( )   
 é a função polinomial, ou seja, 
f x( )
 da tabela 
dada. 
 
Exemplo: Vamos encontrar a função polinomial de grau menor ou igual a 3 para 
a tabela abaixo: 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 22 
x -2 0 1 2 
f x( )
 5 1 4 15 
 
 Temos que 
33
2
2103 xaxaxaa)x(p 
 e 











)x(f)x(p
)x(f)x(p
)x(f)x(p
)x(f)x(p
333
223
113
003
, ou seja: 
 











15a8a4a2a
4aaaa
1a
5a8a4a2a
3210
3210
0
3210
. 
 
 Resolvendo o sistema linear obtemos: 
a 0 1
, 
1a1 
, 
1a 2 
 e 
1a 3 
. 
 
 Assim p3(x)=x
3
+x
2
+x+1 é a função polinomial, ou seja, 
f x( )
 da tabela 
dada. 
 
Função Racional 
 
Uma função racional f é uma função dada por: 
 
)x(q
)x(p
)x(f 
 
 
onde p e q são funções polinomiais. 
 
 É fácil perceber que 
 0)x(q/Rx)f(Dom 
. 
 
 Exemplos: 
 
1) A função 
x
1
)x(f 
 não é propriamente dita uma função polinomial, no 
entanto é muito útil conhecê-la antes de nos aventurarmos com as funções polinomiais 
propriamente ditas. 
 
Neste caso Dom(f) = R*. 
 
 Vamos construir o gráfico de f: 
 
 
 
 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 23 
        








 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que quando x aumenta o valor da função se aproxima de 0 
superiormente, mas nunca assumirá o valor 0, e quando x diminui o valor da função se 
aproxima de 0 inferiormente, mas nunca assumirá o valor 0. Também, quando x se 
aproxima de zero superiormente o valor da função cresce e quando x se aproxima de 
zero inferiormente o valor da função diminui. 
 
A reta y = 0 recebe o nome de assíntota horizontal e a reta x = 0 de assíntota 
vertical. 
 
 2) 
x
1x
)x(f


. Neste caso Dom(f) = R*. 
 
 Observe que 
x
1
1)x(f 
 e agora vamos construir o gráfico de f: 
 
 
 
x f(x) 
-2 1/2 
-1 0 
-1/2 -1 
0 - 
1/2 3 
1 2 
2 3/2 
 
 
 
 
 
 
x f(x) 
-4 1/4 
-2 1/2 
-1 -1 
-1/2 -2 
0 - 
1/2 2 
1 1 
2 1/2 
4 1/4 
        








Notas de Cálculo – professor Augusto 24 
Observe que quando x aumenta o valor da função se aproxima de 1 
superiormente, mas nunca assumirá o valor 1, e quando x diminui o valor da função se 
aproxima de 1 inferiormente, mas nunca assumirá o valor 1. Também, quando x se 
aproxima de zero superiormente o valor da função cresce e quando x se aproxima de 
zero inferiormente o valor da função diminui. 
 
A reta y = 1 recebe o nome de assíntota horizontal e a reta x = 0 de assíntota 
vertical. 
 
3) 
x
1x
)x(f
2 

. Neste caso Dom(f) = R*. 
 
 Observe que 
x
1
x)x(f 
 e agora vamos construir o gráfico de f, sem nos 
preocuparmos com a tabela de pontos: 
 
No exemplo anterior, 
x
1
1)x(f 
 e observamos que quando |x| aumenta o valor 
da função se aproxima da reta y = 1, e quando |x| se aproxima de zero o valor de |f(x)| 
cresce. Analogamente, agora 
x
1
x)x(f 
 e assim é de se esperar que quando |x| 
aumentar o valor da função se aproximará da reta y = x e quando |x| se aproximar de 
zero o valor de |f(x)| cresça, ou melhor ainda, quando |x| se aproximar de zero os valores 
de f(x) se aproxima de 
x
1
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        








Notas de Cálculo – professor Augusto 25 
Em tonalidade mais clara temos o gráfico de 
x
1
y 
, apenas para orientação. 
 
Agora reta y = x é assíntota (oblíqua) e a reta x = 0 é assíntota vertical. 
 
4) Vamos construir agora o gráfico de 
2x
1
)x(f


. 
 
Agora 
 2x/Rx)f(Dom 
 e disto já podemos concluir que uma das 
assíntotas será a reta x = -2. O gráfico desejado é:5) Vamos construir agora o gráfico de 
3x
6x5x
)x(f
2



. 
 
Agora 
2x
3x
)3x)(2x(
3x
6x5x
)x(f
2







. Logo o gráfico de f(x) é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        








        








Notas de Cálculo – professor Augusto 26 
 
Observe que esta reta possui um “salto” quando x = 3, pois 
).f(Dom3x 
 
 
Observe que quando 
x
1
1)x(f 
, no exemplo 2), o gráfico de f(x) pode ser 
obtido do gráfico de 
x
1
y 
 deslocando-o uma unidade para cima, e quando 
2x
1
)x(f


, exemplo 4), o gráfico de f(x) pode ser obtido do gráfico de 
x
1
y 
 
deslocando-o duas unidades para a esquerda. Isto pode ser generalizado: 
 
“Dada f(x) o f(x)+k consiste no deslocamento de f(x) k unidades para cima e 
f(x+k) consiste no deslocamento de f(x) k unidades para a esquerda”. 
 
Função Exponencial e Função Logarítmica 
 
Suponha que aplicamos R$ 10,00 em uma poupança, a uma taxa mensal fixa de 
1% ao mês. Inicialmente temos: 
 
R$ 10,00 = 10.(1,01)º, 
 
e depois de 1 mês: 
 
R$ 10,10 = 10.(1,01)¹, 
 
depois de 2 meses: 
 
R$ 10,201 = 10,10.(1,01) = 10.(1,01).(1,01) = 10.(1,01)² 
 
e de maneira análoga, depois de n meses teremos que valor é dado por: 
 
10.(1,01) n 
 
que é uma função exponencial de base 1,01, na variável n. 
 
 Assim obtemos a seguinte tabela: 
 
Tempo R$ 
0 10,00000 
1 10,10000 
2 10,20100 
3 10,30301 
4 10,40604 
5 10,51010 
6 10,61520 
7 10,72135 
8 10,82857 
Notas de Cálculo – professor Augusto 27 
        








9 10,83685 
10 11,04622 
  
90 24,00000 
91 24,73119 
92 24,97850 
93 25,22879 
94 25,48057 
95 25,73538 
96 25,99273 
97 26,25266 
98 26,51518 
99 26,78033 
100 27,04814 
 
O gráfico desta função é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na função exponencial f(n) = 10.(1,01)
n
 a constante 10 é o valor onde o gráfico 
desta função intercepta o eixo y e: 
 
01,1
99273,25
25266,26
10000,10
20100,10
00000,10
10000,10
 
. 
 
Observe agora este outro exemplo, sobre um saque mensal de 2%, sobre um 
capital de R$ 200,00: 
 
Tempo R$ 
0 200,00000 
1 196,00000 
2 192,08000 
3 188,23840 
4 184,47363 
Notas de Cálculo – professor Augusto 28 
       








5 180,78416 
6 177,16848 
7 173,62511 
8 170,15260 
9 166,74955 
10 163,41456 

 

 
100 26,52391 

 

 
200 3,51759 

 

 
400 0,06187 
 
Agora a expressão desta nova função exponencial é: 
 
f(n) = 200.0,98
n 
 
onde 200 é o valor inicial e: 
 

08,192
2384,188
196
08,192
200
196
98,0 
 
 
ou ainda: 
 
0,98 = 1 - 2%. 
 
O gráfico desta função é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dada uma função exponencial, na forma geral: 
 
f(x) = K.a x 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 29 
a constante K é o valor onde o gráfico de f(x) intercepta o eixo f(x) e “a” é a base da 
função. Observe que devemos exigir a≠0 e a≠1 e além disso a>0, pois por exemplo, para 
a = -2 e 
2
1
x 
 temos 
R2)x(f 
, e se a =1 então 1
x 
= 1, para todo x Real, e 
quando a = 0 e x= -1 temos que f(x) não existe. 
 
Nestas condições é fácil concluir que o domínio de uma função exponêncial f(x) 
qualquer é o conjunto R. 
 
Quando a<0, alguns valores obtidos oscilam entre valores positivos e negativos. 
Como exemplo considere: 
 
200.(-0,98)
x 
 
para a qual obtemos os seguintes valores: 
 
x 200.(-0,98)
x 
 -5.00000 -84.67544 
 -4.00000 76.20790 
 -3.00000 -68.58711 
 -2.00000 61.72840 
 -1.00000 -55.55556 
 0.00000 50.00000 
 1.00000 -45.00000 
 2.00000 40.50000 
 3.00000 -36.45000 
 4.00000 32.80500 
 5.00000 -29.52450 
 
Para outros valores, como por exemplo x = 1/2 o valor da expressão 200.(-0,98)
x
 
nem pode ser calculado. Este último fato faz com que 200.(-0,98)
x
 não seja uma função 
real. 
 
De maneira geral vejamos o esboço dos gráficos de funções exponenciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = a
x
, a > 0 
y = -a
x
, a > 0 
      






y = a
x
 , 0 < a < 1 
y = -a
x
, 0 < a < 1 
Notas de Cálculo – professor Augusto 30 
        








 
 
 
As propriedades: 
 
1) Se a>1 e x<y então a
x 
< a
y
; 
 
2) Se 0<a<1 e x<y então a
x
 > a
y
; 
 
podem ser facilmente demonstradas, e nos mostram que: 
 
 i) se K>0 e a>1 então a função exponencial f(x) = K.a x é crescente; 
 
 ii) se K>0 e 0<a<1 então a função exponencial f(x) = K.a x é decrescente; 
 
 iii) se K<0 e a>1 então a função exponencial f(x) = K.a x é decrescente; 
 
 iv) se K<0 e 0<a<1 então a função exponencial f(x) = K.a x é crescente; 
 
o que pode ser verificado nos gráficos acima. 
 
A função exponencial de base “e” (e = 2.718281), 
 
f(x) = e
x
 
 
desempenha um importante papel na Matemática. O esboço do seu gráfico é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que se f(x) é uma função exponencial qualquer nunca teremos f(x) = 0. 
 
Suponha agora que desejamos saber por exemplo, no caso da poupança visto 
anteriormente, quando teremos R$ 15,00. Naquele exemplo: 
Notas de Cálculo – professor Augusto 31 
 
f(n) = 10.(1,01)
n
 
 
e assim temos que determinar n tal que: 
 
f(n)=15 
 
ou seja: 
10.(1,01)
n
 =15 
 
que é uma equação exponencial. Para isto é necessário conhecermos os logaritmos. 
 
Definição: Sejam a>0, a≠1 e β>0 dois números reais quaisquer. Então existe um 
único α

R tal que a  = β, chamado logaritmo de β na base “a” e denotado por log
a
β. 
 
Assim α = log
a
β 

a  = β. 
 
Nesta definição exigimos a≠1 por motivos óbvios, a>0 pois, como já vimos, se 
a<0 então nem sempre é possível calcular a  , e também exigimos que β>0, pois desde 
que a deve ser positivo β = a  também será positivo. 
 
Exemplos: 
 
1) log28 = 3 pois 2
3
 = 8. 
 
2) log327 = 3 pois 3
3
 = 27. 
 
Denotaremos log10β por logβ. 
 
O logaritmo na base “e” é indicado por ln, ou seja: 
 
α = ln β 

 e  = β 
 
e recebe o nome de logaritmo natural. 
 
Algumas propriedades do logaritmo: 
 
(1) log
a
(x.y)= log
a
(x)+ log
a
(y) 
(2) log
a
(x y )=y. log
a
(x) 
(3) log
a






y
x
= log
a
(x)- log
a
(y) 
Notas de Cálculo – professor Augusto 32 
(4) log
a
(x)=
alog
xlog
b
b
 
 
Daí para resolver o nosso problema fazemos: 
 
log(10.(1,01)
n
) = log(15) 
 
log10+log(1,01)
n
 = log(15) 
 
n.log(1,01) = log (15)–log(10) 
 
n = 
)01,1log(
10log)15log( 
 
 
n = 41, 
 
ou seja, precisamos deixar R$10,00 aplicados por 41 meses à taxa de 1% ao mês para 
obtermos R$15,00. 
 
Por outro lado, o cálculo de logaritmos em uma base qualquer “a” definem a 
função logarítmica na base “a” dada por: 
f(x)=log
a
(x) 
 
ondea>0 e a≠1. 
 
 Decorre da definição de logaritmo que o domínio desta função é R
+
. 
 
Abaixo seguem os gráficos das duas principais funções logarítmicas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que Dom(log(x))= R  , Im(log(x))=R, Dom(ln(x))= R  e Im(ln(x))=R. 
        







y = ln(x) 
y = log(x) 
Notas de Cálculo – professor Augusto 33 
É fácil verificar que se a > 1 e se x1 < x2 então log
a
(x1) < log
a
(x2), ou seja, a 
função f(x)=log
a
(x) é crescente, e que se 0 < a < 1 e se x1 < x2 então log
a
(x1) > log
a
(x2), ou seja, a função f(x)=log
a
(x) é decrescente, como pode ser observado nos 
esboços gerais dos gráficos de funções logarítmicas apresentadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da definição de logaritmo temos que 
 
α= log
a
β 

a  =β. 
 
Assim 
 
y = log
e
x 

e y = x 
 
isto é, 
 
y = lnx 

e y = x 
 
e disto concluímos que: 
 
e xln =x. 
 
Função Potência 
 
São funções do tipo f(x)=K.x 
c 
onde K

R* e c

R* - Z. 
 
Observe a função f dada por 
2
1
xx)x(f 
. Temos que: 
 
 0x/Rx)f(Dom 
. 
y = loga(x), a > 0 
        







        








y = loga(x), 0 < a < 1 
Notas de Cálculo – professor Augusto 34 
 
Quando x cresce, f(x) também cresce, no entanto mais lentamente que x. A partir 
de uma tabela de pontos obtemos o seu gráfico: 
 
x 0 1/16 1/4 1 4 9 16 25 
f(x) 0 1/4 1/2 1 2 3 4 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outra função potência muito comum é g(x)= 313 xx  , para a qual temos 
Dom(g) = R. O seu gráfico é: 
 
x 
g(x)=
3 x
 
0 0 
1 1 
-1 -1 
8 2 
-8 -2 
27 3 
27 -3 
 
Funções Trigonométricas 
 
Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três 
ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de 
medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0
o
 e 180
o
, de modo que, 
em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180
o
. 
 
Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são 
relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos 
ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos. 
 
    




       








Zoon 
Notas de Cálculo – professor Augusto 35 
Um triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, tem 
medida igual a 90
o
. Os outros dois ângulos, evidentemente, são agudos. 
 
 
 
No triângulo retângulo ABC, consideremos, por exemplo, o ângulo que tem 
vértice em B, cuja medida x, em graus, é um número real que está no intervalo (0,90). 
 
Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões: 
 
i) Seno: Seno de x é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo B e o 
comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o seno de x por senx, temos: 
 
BC
AC
senx 
, 
 
sendo dado um segmento 
AB
, indicamos o comprimento de 
AB
 por AB. 
 
ii) Cosseno: Cosseno de x é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo 
e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o cosseno de x por cosx, temos: 
 
BC
AB
xcos 
. 
 
iii) Tangente: Tangente de x é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do 
cateto adjacente ao ângulo. Indicando a tangente de x por tgx, temos: 
 
AB
AC
tgx 
. 
 
Um fato interessante é que, como pode ser observado na figura abaixo, usando o 
fato de que os triângulos A1BC1, A2BC2, A3BC3, A4BC4, ... são semelhantes, 
imediatamente concluímos que: 
 
4
44
3
33
2
22
1
11
BC
CA
BC
CA
BC
CA
BC
CA
senx 
 
 
assim como, 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 36 
4
44
3
33
2
22
1
11
BC
BA
BC
BA
BC
BA
BC
BA
xcos 
 
e 
 
BA
CA
BA
CA
BA
CA
BA
CA
tgx
4
44
3
33
2
22
1
11 
, 
 
 
ou seja, senx, cosx, tgx não dependem do particular triângulo retângulo ABC, mas 
apenas do ângulo , cuja medida é x graus. 
 
As Funções Trigonométricas são definidas no Ciclo Trigonométrico, que é uma 
circunferência orientada em que: 
- O centro é a origem do plano cartesiano; 
- O raio é unitário (r = 1); 
- O sentido positivo é o anti-horário e o sentido negativo é o horário; 
- O ponto I = (1,0) é a origem do ciclo trigonométrico; 
 
Os eixos cartesianos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos, cada qual 
contido em um quadrante. 
 
 
QI 
QIV 
QII 
QIII 
X 
Y 
I 
0° 
90° 
180° 
270° Sentido 
negativo 
Sentido 
Positivo 
Notas de Cálculo – professor Augusto 37 
Tome agora um ponto P de coordenadas (A, B) sobre o círculo trigonométrico: 
 
 
 
 1 
 
 B P 
 
 
 
 -1 O A I 
 
 
 
 
 
 
Considerando um arco IP, cuja medida é o número Real x, veja que o seno do 
ângulo que tem vértice em O ou seno do arco IP, é o valor da ordenada B do ponto P 
uma vez que o raio é unitário, ou seja, senx = B. 
 
Como os valores de senx são marcados no eixo das ordenadas, é fácil perceber 
que nos primeiro e segundo quadrante o valor de senx são positivos e nos terceiro e 
quarto são negativos. 
 
Veja que o cosseno do ângulo que tem vértice em O ou cosseno do arco IP, cuja 
medida é o número Real x, é o valor da abscissa A do ponto P, que denotamos por 
cosx = A. 
 
Como os valores de cosx são marcados no eixo das abscissas, é fácil perceber 
que nos primeiro e quarto quadrante o valor de cosx são positivos e nos segundo e 
terceiro são negativos. 
 
Para a interpretação geométrica x é a medida em radianos (rad) do arco 
IP
, 
lembrando que a medida de um arco é 1 radiano se o seu comprimento for igual ao raio 
de circunferência: 1 radiano = 57
o16’. Veja ainda que 

o
o
16,57
180
, nosso famoso 
número transcendental, donde vem a igualdade 
oo 16,57180 
 ou 
.rad180o 
 
 
Sendo “a” o menor número positivo tal que cos(a)=0 e sen(a)=1, definimos 
a2
. 
 
Veja que a tangente do ângulo que tem vértice em O ou a tangente do arco 
IP
, 
cuja medida é o numero Real x, é o valor 
xcos
senx
, com cosx 

 0, o que denotamos por 
tgx. 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 38 
No Ciclo Trigonométrico temos 
IC)x(tg 
. 
 
 
 
 P C 
 B 
 
 
 
 O A I 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, geometricamente, para os pontos cujas coordenadas são (0,1) (0,-1), 
ou seja, arcos de 90° e 270° ou, respectivamente, 
2

rad e 
2
3
rad, entre outros, a 
tangente não é definida. 
 
Apresentamos a seguir alguns valores das funções seno, cosseno e tangente: 
x 0
0
 ou 0rad 30
0
 ou 
6

rad 45
0
 ou 
4

rad
 
60
0
 ou 
3

rad
 
90
0
 ou 
2

rad
 
senx 0 
2
1
 
2
2 
2
3 1 
cosx 1 
2
3 
2
2 
2
1
 0 
tgx 0 
3
3 1 3 
 
 Observando que sen(180-x) = senx, cos(180-x) = -cosx e tg(180-x) = -tgx 
podemos usar a mesma tabela acima para obter valores do seno, cosseno e tangente no 
segundo quadrantedo ciclo trigonométrico, e com raciocínio análogo poderemos usa-la 
também no terceiro e quarto quadrantes. 
 
Os gráficos das funções 
 
f(x)=senx, 
 
g(x)=cosx e 
 
h(x)=tgx 
 
Eixo das tangentes 
Notas de Cálculo – professor Augusto 39 
são dados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a função Seno é uma função Ímpar, ou seja, f(-x) = -f(x) e a função 
Cosseno é uma função Par, ou seja, f(-x) = f(x). 
 
Observe que Dom(senx) = Dom(cosx) = R e Im(senx) = Im(cosx) = [-1,1]. 
Agora Dom(tgx) = 








 ímpar k,Zk/
2
kR
e Im(tgx) = R. 
 
O gráfico da função senx para 
 3x
 é o mesmo apresentado para 
 x
, e que também é igual ao gráfico desta função para 
 x3
 e assim 
sucessivamente para qualquer intervalo 
])2k(,k[ 
 com *Zk  . Assim dizemos que 
a função senx tem período 
2
. O mesmo ocorre com a função cosx enquanto que a 
função tgx apresenta período 

. 
    








    








senx cosx 
    








tgx 
Notas de Cálculo – professor Augusto 40 
 
Por outro lado os valores da função senx e cosx variam no intervalo [-1,1], uma 
vez que Im(senx) = Im(cosx) = [-1,1]. Assim dizemos que estas funções possuem 
amplitude 1 (metade da diferença entre o maior e o menor valores assumidos pela 
função). 
 
Outras funções trigonométricas importantes são as funções secante (sec), 
cosecante (cosec) e cotangente (cotg), descritas por: 
 
xcos
1
xsec 
, 
senx
1
ecxcos 
 e 
tgx
1
senx
xcos
gxcot 
. 
 
É claro que os valores dessas funções podem ser obtidos à partir da funções 
seno, cosseno e tangente. No entanto veremos brevemente como aferir as duas primeiras 
no ciclo trigonométrico, ficando a terceira por conta do leitor. 
 
Dado um número real x , tal que 


 k
2
x
, considerando a reta tangente ao 
circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do cosseno no ponto C, 
definimos por secante o módulo do segmento que vai do centro do ciclo trigonométrico 
O até o ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado um número real x , tal que 
 kx
, considerando a reta tangente ao circulo 
trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do seno no ponto C, definimos por 
cossecante o módulo do segmento que vai do centro do ciclo trigonométrico O até o 
ponto C. 
 
 
 
 
 
C 
O A 
B 
P 
I 
Notas de Cálculo – professor Augusto 41 
         















         















         















 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os gráficos das funções secante (sec), cosecante (cosec) e cotangente (cotg), são 
apresentamos abaixo, nessa ordem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
O A 
B 
P 
I 
Notas de Cálculo – professor Augusto 42 
 
Veja que essas funções apresentam restrições nos respectivos domínios. Por 
exemplo, 





 

2
)1k2(x|Rx))x(sec(Dom
 com k:0,1,2,3,.... Observe também 
que 
),1[]1,())xIm(sec( 
. 
 
Para finalizar esta seção listamos as seguintes relações trigonométricas. 
 
1- sen2x + cos2x = 1 
2- sen2x = 1 – cos2x 
3- cos2x = 1 – sen2x 
4- 
xcos
senx
tgx 
 
5- tgx.cosx = senx 
6- 
tgx
senx
xcos 
 
7- 
senx
xcos
gxcot 
 
8- cotgx.senx = cosx 
9- 
gxcot
xcos
senx 
 
10- 
xcos
1
xsec 
 
11- secx.cosx = 1 
12- 
xsec
1
xcos 
 
13- 
senx
1
ecxcos 
 
14- cosecx.senx = 1 
15- 
ecxcos
1
senx 
 
16- 
xcos
1
xsec
2
2 
 
17- sec2x.cos2x = 1 
18- 
xsen
1
xeccos
2
2 
 
19- cosec2x.sen2x = 1 
20- sec2x = 1 + tg2x 
21- sec2x – tg2x = 1 
22- cosec2x = 1 + cotg2x 
23- cosec2x – cotg2x = 1 
24- 
2
x2cos1
xsen2


 
Notas de Cálculo – professor Augusto 43 
25- 
2
x2cos1
xcos2


 
26- sen2x = 2senx.cosx 
27- sen(-x) = -senx 
28- cos(-x) = cosx 
29- cos2x = cos2x – sen2x 
30- cos2x = cos2x + sen2x 
31- cos2x = 1 – 2 sen2x 
32- cos2x = 2cos2x – 1 
33- 
xcos1
senx
2
x
tg


 
34- tg(-x) = -tg x 
35- 
2
xcos1
2
x
cos


 
36- 
2
xcos1
2
x
sen


 
37- cos(a – b)= cosa.cosb + sena.senb 
38- cos(a + b)= cosa.cosb – sena.senb 
39- sen(a – b) = sena.cosb – senb.cosa 
40- sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa 
 
Veja que das quatro últimas identidades acima obtemos: 
 
senx
2
xcos 




 

, 
senx
2
xcos 




 

, 
xcos
2
xsen 




 

 e 
xcos
2
xsen 




 

, 
 
o que pode ser facilmente verificado nos gráficos das funções seno e cosseno. 
 
Operações com Funções 
 
Sejam f e g duas funções reais. Definimos as seguintes operações 
 
i) soma: f +g=f(x)+g(x) 
 
ii) subtração: f-g=f(x)-g(x) 
 
iii) multiplicação: f.g=f(x).g(x) 
 
iv) divisão: 
)x(g
)x(f
g
f

, g(x)≠0 
 
Para estas operações, temos que o domínio será dado por Dom(f)∩Dom(g), além 
da restrição g(x)≠0 para a operação iv). 
 
Exemplo: Seja f(x)=
1x2 
 e g(x)=3x. Assim: 
Notas de Cálculo – professor Augusto 44 
 
f+g=
1x2 
 + 3x . 
 
Como Dom(f) = 







2
1
x/Rx
 e Dom(g)=R temos que: 
 
Dom(f+g)=







2
1
x/Rx
. 
 
 Também: 
 
x3
1x2
g
f 

 
 
e assim: 
 
Dom






g
f
=







2
1
x/Rx
. 
 
v) composição: 
 
Considere a situação que durante uma viagem um dos ocupantes do veículo 
realizou anotações a respeito da distância percorrida, obtendo a tabela: 
 
Tempo de viagem (min) 0 10 20 30 40 
Distância percorrida (Km) 0 20 40 60 80 
 
 
 Um outro passageiro realizou anotações à respeito do consumo de combustível 
de acordo com a distância percorrida, indicado no computador de bordo, e obteve a 
tabela: 
 
Distância percorrida (km) 0 20 40 60 80 
Consumo de combustível (l) 0 2 4 6 8 
 
 Observe que a distância percorrida, d, em função do tempo de viagem, t, é dada 
pela função: 
 
d(t) = 2t, 
 
e o consumo de combustível, c, em função da distância percorrida, é dado pela função: 
 
c(d) = 0,1d. 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 45 
 É claro que podemos solicitar o consumo de combustível em função do tempo de 
viagem, ou seja, desejamos c(t). Para tanto, basta lembrarmos que quando escrevemos 
c(d) não consideramos que d é uma função do tempo. Se assim fizermos teremos: 
 
c(d) = c(d(t)) = c(2t) = 0,1(2t). 
 
 Veja que montando a tabela desta nova função obtemos: 
 
Tempo (t) 0 10 20 30 40 
Consumo de combustível (c(t)) 0 2 4 6 8 
 
a qual nos o consumode combustível em função do tempo da nossa viagem. 
 
 O que aqui fizemos recebe o nome de composição de funções, o que definiremos 
formalmente a partir de agora. 
 
Sejam f e g duas funções reais tais que Im(g)

Dom(f). Assim podemos definir 
a composição: 
(f○g).(x)=f(g(x)). 
 
 Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Sejam f(x)=
1x2 
 e g(x)=3x. Calcular gof e f○g: 
 
Temos que Dom(f) =







2
1
x/Rx
, Im(f) = R
+
 e Dom(g) = Im(g) = R. 
Observe que Im(f)

Dom(g) e assim o cálculo de gof pode ser executado sem 
problemas: 
 
g○f(x) = g(f(x))=g(
1x2 
) = 3.
1x2 
 e assim: 
 
Dom(g○f)=







2
1
x/Rx
. 
 
Agora Im(g)

Dom(f) e assim o domínio de fog, caso esta exista, deve ser 
minuciosamente estudado. 
 
g f 
Notas de Cálculo – professor Augusto 46 
f○g(x)=f(g(x))=f(3x) = 
1)x3.(2 
 = 
1x6 
 e assim: 
 
Dom(f○g)=






,
6
1
= 







6
1
x/Rx
, 
 
olhando fog como uma nova função. 
 
 Agora, como Dom(f)

 Dom(f○g) é razoável considerarmos: 
 
Dom(f○g) = Dom(f). 
 
vi) deslocamento: 
 
Seja f(x) uma função real. 
 
A função f(x+C) é obtida da função f(x) pelo deslocamento de C unidades no 
eixo x sendo que: 
 
se C>0 então o deslocamento é para a esquerda, e 
 
se C<0 então o deslocamento é para a direita. 
 
 Exemplo: A partir do gráfico de f(x)=x
3
, deslocando-o duas unidades para a 
direita obtemos o gráfico de (x-2)
3
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função f(x)+C é obtida da função f(x) pelo deslocamento de C unidades no 
eixo f(x), sendo que: 
 
se C>0 então o deslocamento é para cima, e 
 
se C<0 então o deslocamento é para baixo. 
        








x
3 (x-2)
3 
Notas de Cálculo – professor Augusto 47 
 
Exemplo: A partir do gráfico de f(x)=x
2
, deslocando-o três unidades para cima, 
obtemos o gráfico de x
2
+3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura abaixo, a partir do gráfico g(x)=x², deslocando-o três unidades para a 
esquerda obtivemos o gráfico de (x+3)
2
 e a partir desse último, deslocando-o duas 
unidades para cima obtivemos o gráfico da função (x+3)²+2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii) dilatação e contração: 
 
        








x
2 
x
2
+3 
(x+3)
2 
        








x
2 (x+3)
2
+2 
Notas de Cálculo – professor Augusto 48 
         















x
y
         















x
y
         















x
y
         















x
y
Seja f(x) uma função real. 
 
A função f(Cx) é obtida da função f(x) pela dilatação ou contração de fator C no 
sentido do eixo x, sendo que: 
 
se C>1 então ocorre a contração, 
 
se 0<C<1 então ocorre a dilatação, e 
 
quando C<0 ocrre também a reflexão em torno do eixo f(x). 
 
 Esta operação é muito utilizada com as funções trigonométricas, para acertos de 
períodos. 
 
 Abaixo mostramos os gráficos das funções senx, sen2x, sen0.5x e sen(-x), nessa 
ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função Cf(x) é obtida da função f(x) pela dilatação ou contração de fator C no 
sentido do eixo f(x), sendo que: 
Notas de Cálculo – professor Augusto 49 
         















x
y
         















x
y
         















x
y
         















x
y
 
se C>1 então ocorre a dilação, 
 
se 0<C<1 então ocorre a contração, e 
 
quando C<0 ocorre também a reflexão em torno do eixo x. 
 
 Esta operação é muito utilizada com as funções trigonométricas, para acertos de 
amplitudes. 
 
 Abaixo mostramos os gráficos das funções senx, 2senx, 0.5senx e -senx, nessa 
ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que os gráficos de sen(-x) e de –senx são iguais, visto que como já 
comentamos a função seno é uma função ímpar. 
 
Função Inversa 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 50 
 Considere a tabela abaixo, que fornece o percentual de poluição de uma lagoa, à 
partir de 1950: 
 
Ano 1950 1970 1990 
Porcentagem poluída 0 4 16 
 
 A função P(t) que fornece a porcentagem poluída em função do tempo é dada 
pela tabela: 
 
t (ano) 0 20 40 
P(t) 0 4 16 
 
 Como essa tabela possui três pontos uma das possíveis funções associadas a ela 
é a função polinomial de grau menor ou igual a 2, P(t) = 0,01t
2
. 
 
 Se desejarmos saber qual o percentual de poluição em 1980, basta calcularmos: 
 
P(30) = 0,01.30
2
 = 9, 
 
ou seja, em 1980 9% da lagoa estava poluído. 
 
Agora, se desejarmos saber quando tivemos 10% da lagoa poluída devemos resolver: 
 
0,01t
2
 = 10, 
 
para obter t = -31,6 ou t = 31,6. Como a primeira solução deve ser descartada temos que 
a poluição atingiu 10% da lagoa em 1982. 
 
 E se desejarmos saber quando a poluição atingiu 20% da lagoa? Resolvendo 
 
0,01t
2
 = 20, 
 
obtemos t = -44,7 ou t = 44,7, e assim essa poluição foi atingida em 1995. 
 
Mas podemos fazer isso para um percentual P qualquer. Assim a nossa equação 
a ser resolvida é: 
 
0,01t
2
 = P, 
 
da qual obtemos: 
 
01,0
P
t 
, 
 
e assim, devemos escolher: 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 51 
01,0
P
t 
, 
 
ou seja, encontramos a função que nos fornece o tempo para um percentual de poluição 
qualquer, ou seja, t(P). 
 
Considere agora que a velocidade, v, em quilometros por hora, km/h, de um 
carro é dada pela função: 
 
v(t) = 50ln(t+1), 
 
onde o tempo, t, é dado em segundos. 
 
 Atribuindo-se valores a t podemos obter a tabela: 
 
t v(t) 
0 0 
1 35 
2 55 
3 69 
4 80 
5 90 
6 97 
7 104 
8 110 
9 115 
10 120 
11 124 
12 128 
13 132 
14 135 
15 139 
16 142 
17 145 
18 147 
19 150 
 
 
E se desejarmos saber quando a velocidade atingiu 100 km/h? 
 
 Veja que para conseguirmos esta resposta precisamos resolver a equação 
50ln(t+1) = 100, cuja solução é aproximadamente6,3, ou seja, em 6,3 segundos o carro 
atingiu 100 km/h. 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 52 
Mas podemos fazer isso para uma velocidade v qualquer. Assim a nossa equação 
a ser resolvida é: 
 
50ln(t+1) = v, 
 
da qual obtemos: 
 
50
v
)1tln( 
, 
 
e assim: 
 
1et 50
v
 , 
 
ou seja, encontramos a função que nos fornece o tempo para uma velocidade qualquer, 
ou seja, t(v). 
 
O que fizemos nestes dois últimos exemplos foi encontrar as respectivas funções 
inversas das funções P(t) = 0,01t
2
 e v(t) = 50ln(t+1). 
 
 Atente para o fato que no primeiro exemplo tivemos que escolher uma entre as 
duas opções de respostas. Isto ocorreu porque a função quadrática não é injetora, isto é, 
existem valores distinto em seu domínio associados a uma mesma imagem. Agora 
apresentaremos estas idéias com um pouco mais de rigor e generalidade. 
 
 Dizemos que uma função é injetora se, para quaisquer x e y no seu domínio, se 
yx 
 então 
).y(f)x(f 
 Vale a pena observar que quando f é crescente ou decrescente 
em todo o seu domínio então f é injetora. 
 
 Nestas condições, ou seja, quando f é injetora então para 
)fIm(y
existe um 
único 
)f(Domx 
 tal que f(x) = y. Assim podemos considerar a função g, definida em 
Im(f) e dada por: 
 
g(y) = x se e somente se f(x) = y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A função g denomina-se função inversa de f e é denotada por f 
-1
. 
 
 Se f for uma função que admite função inversa então dizemos que f é inversível. 
x y 
f 
g 
Notas de Cálculo – professor Augusto 53 
 
 Note que se f é inversível com inversa g então g também é inversível com 
inversa f, isto é: 
 
  ff 11 
. 
 
 Observe que a função inversa de f é dada implicitamente pela equação y = f(x) e 
assim para obtê-la devemos resolver esta equação para a variável x. Após isto é comum 
trocar a variável x por y e y por x, para que f e f
-1
 possam ser estudas no mesmo plano 
cartesiano. 
 
 Exemplos: 
 
 1) Considere 
x)x(f 
. Como Dom(f) = R
+
 e f é crescente em todo o seu 
domínio temos que f é inversível e para obter a sua inversa devemos resolver: 
 
xy 
 
 
para a variável x, isto é, obter x como função de y. Elevando ambos os lados ao 
quadrado temos o desejado: 
 
xy2 
, 
 
e apenas para ficarmos com nossa notação usual, isto é, x como variável independente, 
trocamos x por y e y por x, obtendo a função inversa de f: 
 
f
 -1
(x) = x
2
. 
 
 Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        








 
x
2 
Notas de Cálculo – professor Augusto 54 
 
 
 
2) A função f(x) = e
x
 é crescente em todo o seu domínio, e portanto é inversível, 
e como já vimos: 
y = lnx 

e
y
 = x, 
 
para todo x e y reais e x > 0. Logo 
  )xln(e 1x 
. 
 
 Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A função y = f(x) = x
2
 não é estritamente crescente (ou decrescente) em R, 
por isso devemos tomar um intervalo de crescimento ou decrescimento desta função 
para calcular a sua inversa nesse intervalo. Por exemplo, considerando a função y = f(x) 
= x
2
 definida no intervalo I = (0,+) ela é estritamente crescente. Daí de y =x2 obtemos 
x = f 
–1
(y) = +
y
, ou seja, y = +
x
 é a função inversa da f. Se tivéssemos tomado o 
intervalo decrescente I = (-,0) teríamos y = - 
x
 como função inversa de f. 
 
Observe que f e f
 -1
 são simétricas em relação à reta y = x. Também: 
 
(fof
 -1
)(x) = x e (f
 -1
of)(x) = x. 
 
As Inversas das Funções Trigonométricas 
 
Um problema comum em trigonometria é achar um ângulo cujas funções 
trigonométricas são conhecidas. Considere por exemplo, que um engenheiro está 
projetando uma rampa, conforme a figura abaixo. 
ln(x) 
        








e
x 
Notas de Cálculo – professor Augusto 55 
 
 
 
 
 
 
 Para que seja descrita no projeto é necessário determinar o ângulo x. Para tanto 
sabemos que tg(x) = 
2
1
, e assim, x = 26,6
o
. Esse mesmo resultado pode ser obtido à 
partir de sen(x) = 
20
2
 ou de cos(x) = 
20
4
. 
 
Veja que para cada valor assumido pelas funções seno, cosseno ou tangente 
associamos o ângulo correspondente. Lembrando que essas funções não são injetoras, 
com as devidas restrições nos respectivos domínios, podemos pensar na avaliação das 
respectivas funções inversas, ou seja, podemos estudar o problema da computação de 
funções arco, tais como arcsenx, arccosx, arctgx, e assim por diante. 
 
Como todas as funções trigonométricas são periódicas, para cada uma delas, vale 
que f(x + T) = f(x), para todo x do Dom(f), sendo f qualquer uma das referidas funções, 
e T o período, o que mostra que essas funções não são injetoras. Assim, nenhuma das 
funções trigonométricas é inversível em seu domínio. 
 
Entretanto, para cada uma delas podemos considerar uma restrição do domínio, a 
fim de obter uma função inversível. 
 
A Função Arcsen 
 
O domínio da função seno é o conjunto R. Vamos restringir o domínio dessa 
função ao intervalo 





 

2
,
2
, e assim obter a função seno restrita ao intervalo 





 

2
,
2
. 
 
Essa função, restrição da função seno ao intervalo 





 

2
,
2
, é inversível pois é 
uma função crescente. A sua inversa denomina-se arcsen cujo domínio é o intervalo 
[-1,1] e a imagem é o intervalo 





 

2
,
2
. 
 
Para obtermos o gráfico da função arcsen basta lembrarmos que ele é simétrico à 
função seno no intervalo 





 

2
,
2
, em relação à reta y = x: 
 
 
2m 
4m 
x 
Notas de Cálculo – professor Augusto 56 
 




x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função arcsen(x) é denotada também por sen
-1
(x). 
 
Poderíamos ter escolhido muitas outras restrições para o domínio da função 
seno, como por exemplo, 





 
2
3
,
2
, todas objetivando torná-la, nessa restrição, somente 
crescente ou decrescente. 
 
A Função Arccos 
 
A função cosseno restrita ao intervalo 
 ,0
 é crescente, e portanto inversível. 
Sua inversa denomina-se arccos cujo domínio é o intervalo [-1,1] e a imagem é o 
intervalo 
 ,0
. 
 
Para obtermos o gráfico da função arccos basta lembrarmos que ele é simétrico à 
função cosseno no intervalo 
 ,0
, em relação à reta y = x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 57 
  




x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função arccos(x) é denotada também por cos
-1
(x). 
 
Poderíamos ter escolhido muitas outras restrições para o domínio da função 
cosseno, todas objetivando torná-la, nessa restrição, somente crescente ou decrescente. 
 
 
A Função Arctg 
 
Restringindo a função tangente ao intervalo 





 

2
,
2
, de forma análoga 
obtemos o gráfico da função acrtg(x): 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 58 
 
 
A função arctg(x) é denotada também por tg
-1(x). 
 
Poderíamos ter escolhido muitas outras restrições para o domínio da função 
tangente, todas objetivando torná-la, nessa restrição, somente crescente ou decrescente. 
 
De maneira completamente análoga, podemos definir as inversas das outras três 
funções trigonométricas. Sempre é preciso tomar cuidado com a restrição do domínio, a 
fim de obter uma função inversível. 
  




x
y
Notas de Cálculo – professor Augusto 59 
Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 
 
1) Calcule: 
a) f(-1) e f(1/2) sendo 
x2x)x(f 2 
 
b) g(0), g(2) e 
)2(g
 sendo 
1x
x
)x(g
2 

 
c) 
ab
)ba(f)ba(f 
 sendo 
2x)x(f 
 e 
0ab 
 
d) 
ab
)ba(f)ba(f 
 sendo 
1x3)x(f 
 e 
0ab 
 
2) Dê o domínio, a imagem e esboce o gráfico: 
a) f(x) = 3x 
b) g(x) = -x 
c) h(x) = -x +1 
d) f(x) = 2x+1 
e) g(x) = -2x+3 
f) g(x) = 3 
g) f(x) = -2 
h) 
3
5
x
3
1
)x(h 
 
i) 
x
2
1
)x(f 
 
j) 






2 xse 3,
2 xse x,
)x(g
 
k) 






-1 xse 1,x-
-1 xse 2x,
)x(f
 
l) 
1x)x(h 
 
m) 
2x)x(f 
 
n) 
x2x)x(f 2 
 
o) 
x2x4)x(g 2 
 
p) 
8x6x)x(g 2 
 
q) 
8x6x)x(h 2 
 
r) 
2x)x(f 2 
 
s) 
9x6x)x(f 2 
 
t) 
1x
1x
)x(h
2



 
u) 
1x
1x2x
)x(g
2



 
v) 
x
x
)x(g 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 60 
w) 
1x
1x
)x(g



 
x) 
1x2
1x2
)x(f



 
y) h(x) = log(x) 
z) f(x) = senx 
aa) g(x) = cosx 
bb) f(x) = tgx 
cc) g(x) = senx – 3 
dd) h(x) = cosx + 3 
ee) f(x) = sen(x-3) 
ff) g(x) = cos(x+3) 
 
3) A pesca marinha total do mundo em toneladas de peixe foi de 17 milhões em 1950 e 
91 milhões de 1996. Qual foi a taxa de variação média na quantidade de pesca 
marinha? Dê unidades e interprete sua resposta. 
 
4) A tabela abaixo dá a produção mundial de bicicletas para anos escolhidos entre 1950 
e 1993. 
a) Ache a variação na produção de bicicletas entre 1950 e 1990. Dê unidades. 
b) Ache a taxa média de variação na produção de bicicletas entre 1950 e 1990. Dê 
unidades e interprete sua resposta em termos da produção de bicicletas. 
Ano 1950 1960 1970 1980 1990 1993 
Produção mundial de bicicletas ( milhões ) 11 20 36 62 90 108 
 
5) A Pepsico Inc. opera dois grandes negócios de refrigerantes e de salgadinhos. A 
tabela seguinte dá as vendas em milhões de dólares de 1991 1997. 
a) Ache a variação em vendas entre 1991 a 1995. 
b) Ache a taxa média de variação nas vendas entre 1991 a 1994. Dê unidades e 
interprete sua resposta. 
Ano 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 
Vendas (milhões) 19.608 21.970 25.021 28.472 30.421 31.645 21.000 
 
6) A Gap Inc. opera cerca de 2.000 lojas de roupas. A tabela seguinte dá o lucro 
líquido em milhões de dólares de 1990 e 1997. 
Ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 
Lucro Líquido 
(milhões) 
144,5 229,9 210,7 258,4 350,2 354,0 452,9 530,0 
a) Ache a variação do lucro entre 1993 a 1996. 
b) Ache a taxa média de variação de um lucro entre 1993 a 1996. Dê unidades e 
interprete sua resposta. 
c) De 1990 a 1997, houve intervalos de um ano em que a taxa média de variação foi 
negativa? Se sim, quando? 
 
7) A tabela seguinte mostra a dívida pública dos E.U.A (em bilhões de dólares) entre 
1980 e 1993: 
Ano Dívida ( $ bilhões ) Ano Dívida ( $ bilhões ) 
Notas de Cálculo – professor Augusto 61 
1980 
1981 
1982 
1983 
1984 
1985 
1986 
907,7 
997,9 
1.142,0 
1.377,2 
1.572,3 
1.823,1 
2.125,3 
1987 
1988 
1989 
1990 
1991 
1992 
1993 
2.350,3 
2.602,3 
2.857,4 
3.233,3 
3.665,3 
4.064,6 
4.351,2 
(a) Ache a variação da dívida pública entre 1980 e 1993. 
(b) Ache a taxa média de variação da dívida pública entre 1980 e 1993. Dê unidades e 
interprete sua resposta. 
 
8) Usando a tabela do exercício 5) ache a taxa média de variação da dívida pública 
E.U.A entre 1980 e 1985 e entre 1985 e 1993. 
 
9) A figura abaixo mostra o valor total das exportações no mundo (mercadorias 
negociadas internacionalmente), em bilhões de dólares. 
(a) O valor das exportações é maior em 1990 ou em 1960? Aproximadamente, quanto 
maior? 
(b) Avalie a taxa média de variação entre 1960 e 1990. Dê unidades e interprete sua 
resposta em termos do valor das exportações mundiais. 
10) A tabela abaixo mostra a quantia total (em bilhões de dólares) gasta em produtos de 
tabaco nos EUA. 
(a) Qual é a taxa média de variação na quantia gasta em produtos de tabacos entre 1987 
e 1993? Dê unidades e interprete sua resposta em termos de dinheiro gasto em 
produtos de tabaco. 
(b) Durante este período de seis anos, há algum intervalo durante o qual a taxa média de 
variação foi negativa? Se sim, quando? 
Ano 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 
Despesas com tabaco 35,6 36,2 40,5 43,4 45,4 50,9 50,5 
 
11) A Intel Corporation é importante produtora de circuitos integrados. A tabela 
seguinte dá as vendas em milhões de dólares de 1990 a 1997. 
(a) Ache a variação de vendas entre 1991 e 1995. 
0
1000
2000
3000
4000
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Notas de Cálculo – professor Augusto 62 
(b) Ache a taxa média de variação de vendas entre 1991 e 1995. Dê unidades e 
interprete sua resposta. 
(c) Se a taxa média de variação fica constante entre 1995 e 1997, em que ano as vendas 
atingirão 40.000 milhões de dólares? 
Ano Vendas ( $ milhões ) Ano Vendas ( $ milhões ) 
1990 
1991 
1992 
1993 
3.921,3 
4.778,6 
5.844,0 
8.782,0 
1994 
1995 
1996 
1997 
11.521,0 
16,202,0 
20.847,0 
25.070,0 
 
12) A General Motors é a maior produtora de carros do mundo. A tabela seguinte dá os 
lucros em milhões de 1987 a 1997. 
(a) Ache a variação dos lucros entre 1989 e 1997. 
(b) Ache a taxa média de variação dos lucros entre 1989 e 1997. Dê unidades e 
interprete sua resposta. 
(c) De 1987 a 1997, houve intervalos de um ano durante os quais a taxa média de 
variação foi negativa? Se sim, quando? 
 Ano Receita ($ m) Ano Receita ($ m) 
1987 
1988 
1989 
1990 
1991 
1992 
101.782 
120.388 
123.212 
122.021 
123.056 
132.429 
1993 
1994 
1995 
1996 
1997 
138.220 
154.951 
168.829 
164.069 
172.000 
 
13) O número de vendas por mês, S, de um item em promoção num restaurante é função 
da quantia a gasta em propaganda, p, nesse mês, assim S = f(p). 
a) Interprete a declaração f(1000) = 3500. 
b) Qual dos gráficos abaixo mais provavelmente representará essa função? 
 S S 
 
 
i) ii) 
 
 
 
 p p 
 
c) O que significa o intercepto vertical no gráfico dessa função, em termos de vendas e 
propaganda? 
 
14) Seguem quatro funções. Em cada caso ache f(5), de o domínio e o contradomínio: 
a) f(x) = 2x + 3 
b) 
2x10)x(f 
 
 
 
 
 
Notas de Cálculo – professor Augusto 63 
c) f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
d) 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 
f(x) 2,3 2,8 3,2 3,7 4,1 4,9 5,6 6,2 
 
15) Seja 
2x)x(fy 2 
. 
a) Ache o valor de y quando x = 0. 
b) Quanto é f(3)? 
c) Quais valores de x dão a y o valor 11? 
d) Existem valores de x que dêem a y o valor 1? 
 
16) Seja f(x) = 3x - 5. 
a) Quanto é f(1)? 
b) Ache o valor de y quando x = 5. 
c) Ache o valor de x quando y = 4. 
d) Ache a taxa média de variação de f entre x = 2 e x = 4. 
 
17) A posição d = S(t), de um carro é dada na tabela abaixo: 
t (Seg.) 0

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