Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Notas de Cálculo – professor Augusto 1 Funções Uma função f é uma lei que associa a cada elemento de um conjunto A, chamado domínio e denotado por Dom(f), um único elemento de um conjunto B, chamado contra-domínio. Representaremos esta definição por: f:A→B Assim para cada x A existe um único y B e denotaremos: y=f(x) e estes elementos formarão a imagem da função f, que será denotada por Im(f), isto é: Im(f)={y B/y=f(x) para x A}. Os elementos de A recebem o nome de variável independente ou abcissa e os elementos de B de variável dependente ou ordenada. Exemplos: 1) Tempo (seg.) 0 5 7 10 20 Velocidade (m/seg.) 0 20 25 30 60 O domínio desta função é o conjunto {0, 5, 7, 10, 20} e a imagem é o conjunto {0, 20, 25, 30, 60}. 2) f(x)=2x. Neste exemplo o domínio e o contra-domínio não foram citados e assim devem ser entendidos como o conjunto dos números reais R. 3) f:Z→R f(x)=2x Aqui x assume somente valores inteiros, uma vez que Zx , isto é Dom(f) = Z. 4) f(x) = 2x 6x5²x Dom(f) = {x R/x≠2} ou R-{2} 5) g(x) = 1x x-1≥0 x≥1 Dom(g)={x R/x ≥1}=[1,∞) Notas de Cálculo – professor Augusto 2 O conjunto de todos os pares (x, f(x)) onde x Dom(f) recebe o nome de gráfico de função f. Um par (x,f(x)) recebe o nome de coordenadas. Exemplo: Construa o gráfico da função y=2x: x f(x)=2x -4 -8 -2 -4 0 0 1 2 2 4 3 6 Exercícios: 1) Seja a função f(x)= x construa o seu gráfico, determine o seu domínio e sua imagem. x f(x)= x 0 0 1 1 2 2 3 3 4 2 9 3 Como f(x)= x , temos que Dom(f)=R ={x R/x ≥ 0} e pelo gráfico observamos que Im(f)=R ={x R/x ≥ 0}. 2) Considere agora a função f(x)=5. Construa seu gráfico e determine o seu domínio e a sua imagem: Dom(f)=R Notas de Cálculo – professor Augusto 3 Im(f)={5} Esta função recebe o nome de função constante. De maneira geral toda função real f:R→R tal que f(x)=K, onde K R é uma função constante. Função Afim Consideremos agora a função f:R→R dada por f(x)=ax+b, onde a R* e b R. Esta função recebe o nome de função afim. Observe que se a=0 então a função f é a função constante f(x)=b e quando b=0 então a função f é a função linear f(x)=ax. Desta forma muito do que afirmarmos para as funções afim também vale para as funções constante e linear, o que pode ser facilmente confirmado, quando for o caso. O gráfico desta função é uma reta. Exemplo: Seja f(x) =2x+1, construa seu gráfico e determine o domínio e a imagem: Como o gráfico de f é uma reta, para construí-lo basta conhecermos 2 de seus pontos. x f(x)=2x+1 0 1 2 5 Observe que Dom(f)=R e Im(f)=R Observe que quando x=0 temos que f(x)=ax+b assume o valor f(x)=b, ou seja, o gráfico de f intercepta o eixo f(x) no ponto f(x)=b. Por outro lado quando f(x)=0 temos que: f(x)=ax+b 0=ax+b x= a b ou seja, o gráfico de f intercepta o eixo x no ponto x = a b . Estes pontos recebem o nome de intercepto vertical e intercepto horizontal respectivamente. Exemplo: Construa o gráfico das seguintes funções: Notas de Cálculo – professor Augusto 4 a) f(x)=-2x+1 Intercepto vertical: y=1 Intercepto horizontal: x= a b = 2 1 2 1 Observe que a<0 e a função é uma descida. b) f(x)=2x-1 Intercepto vertical: y=-1 Intercepto horizontal: x= a b = 2 1 2 )1( Observe que a>0 e a função é uma subida. c) f(x)=-2x-1 Intercepto vertical: y=-1 Intercepto horizontal: x= a b = 2 1 2 )1( Observe que a<0 e a função é uma descida. De maneira geral, nas funções lineares ou afins, se a>0 então a função é uma subida, isto é crescente, e se a<0 então a função é uma descida, isto é decrescente. Notas de Cálculo – professor Augusto 5 De maneira mais formal, dizemos que uma função f(x) é crescente em um intervalo [a,b] Dom(f) se para todo x1, x2 [a,b] tal que x1<x2 então f(x1)<f(x2) e dizemos que uma função f(x) é decrescente em um intervalo [a,b] Dom(f) se para todo x1, x2 [a,b] tal que x1<x2 então f(x1)>f(x2). Agora, observando o exemplo anterior percebemos que: f(-2)=-3 f(-1)=-1 f(0)=1 f(1)=3 f(2)=5 e assim: f(2)-f(1) = f(1)-f(0) = f(0)-f(-1) = f(-1)-f(-2) = 2. Assim concluímos que para esta função: f(x+1)–f(x)=2. Generalizando, para qualquer função afim f(x)=ax +b: f(x+1)–f(x)=a, pois: f(x+1)=a(x+1)+b e f(x)=ax+b, logo: f(x+1)–f(x) = (a(x+1)+b)–(ax+b) = ax+a+b–ax–b = a. Também, por exemplo: 2 4 8 4 )3(5 )2(2 )2(f)2(f como também: Notas de Cálculo – professor Augusto 6 2 1 13 01 )0(f)1(f entre outros pares na lista acima escolhidos. Assim concluímos que para esta função: 2 h )x(f)hx(f para qualquer h escolhido. Generalizando, para qualquer função afim f(x)=ax+b temos: a h ah h )bax(b)hx(a h )x(f)hx(f , que recebe o nome de coeficiente angular (ou inclinação) da reta y = ax+b e o valor b de coeficiente constante. De maneira geral f(x+h)–f(x) recebe o nome de variação da função f entre x e x+h e h )x(f)hx(f de taxa de variação ou taxa média de variação - TMV da função f entre x e x+h. Através da TMV podemos obteremos informações mais relevantes sobre uma função, quanto menor for o incremento h escolhido. Assim, no caso da função afim f(x)=ax+b, como já vimos, a taxa de variação é sempre constante e igual a “a”. Conhecendo dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) de uma reta, a função correspondente pode ser escrita como y – yo = a(x-x0), onde a = 01 01 xx yy . Veja que este valor de a é o mesmo da função afim y = ax+b. Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelos pontos P0= (0,5) e P1= (1,7). Calculamos o coeficiente angular: a = 2 01 57 xx yy 01 01 . Substituindo na fórmula y – yo = a(x-x0) temos y –5 = 2 (x-0), ou seja y-5 = 2x. Portanto a equação desejada é y = 2x+5. Notas de Cálculo – professor Augusto 7 Vamos construir agora o gráfico de x)x(f , observando que : 0sex ,x 0sex ,x x . Logo Dom(f) = R e seu gráfico é: Observe que o gráfico de x)x(f é obtido do gráfico de y = x, pela reflexão em torno no eixo y para x < 0. FunçãoQuadrática São funções do tipo f(x)=ax²+bx+c onde a, b, c R e a≠0. Exemplos: a) f(x)=x² -5x+6 é uma função quadrática onde a=1, b=-5 e c=6. b) g(x)=-2x²+4x -8 é uma função quadrática onde a=-2, b=4 e c=-8. c) h(x)=x²+1 é uma função quadrática onde a=1e c=6 (b=0). d) q(x)=2x²+x é uma função quadrática onde a=2 e b=1 (c=0). Notas de Cálculo – professor Augusto 8 O domínio das funções quadráticas é o conjunto R. O gráfico desta função recebe o nome de parábola e possui um dos seguintes traços: Alguns pontos importantes no gráfico de uma função quadrática: i) Intercepto vertical (interseção com o eixo y) Ocorre quando x=0, daí: f(0)=a.0²+b.0+c= c. Logo a intersecção com o eixo f(x) é o ponto (0, c). ii) Intercepto horizontal (interseção com o eixo x) Isto ocorre onde f(x)=0, ou seja: ax²+bx+c=0, e assim eles são obtidos, se existirem, pela fórmula de Báskara! ac4b2 . - Se 0 então a2 b x1 e a2 b x2 e temos dois interceptos horizontais distintos. - Se 0 então a2 b xx 21 e temos apenas um intercepto horizontal. -Se 0 então não temos interceptos horizontais. Notas de Cálculo – professor Augusto 9 Exemplo: Dada a função f(x)=x²-5x+6, para obter os pontos onde seu gráfico intercepta o eixo x calculamos: ∆=25-24=1 e assim: x 1 =2 e x 2 =3 são os interceptos horizontais e os pontos de intersecção com o eixo x são: (2,0) e (3,0). iii) Vértice do gráfico (máximo ou mínimo) O vértice da parábola é o ponto do gráfico, para o qual a variável x é o ponto médio entre x 1 e x 2 . Isto é: xv= a2 b 2 a2 b2 2 a2 bb 2 a2 b a2 b e assim: f(xv)= c a2 b .b a2 b .a 2 f(xv)= c a2 ²b ²a4 ²b .a f(xv)= c a2 ²b a4 ²b f(xv)= a4 ac4²b2²b f(xv)= a4 ac4²b f(xv)= a4 )ac4²b( f(xv)= a4 . Logo o vértice da parábola é o ponto a4 , a2 b . Além disso a reta x= a2 b é o eixo de simetria da parábola. Notas de Cálculo – professor Augusto 10 Na verdade este vértice é o ponto do gráfico, para o qual a variável x é o ponto médio entre x 1 e x 2 , sendo estes dois valores do domínio da função que estão associados à mesma imagem. Isto decorre do fato do vértice estar sobre o eixo de simetria da parábola. iv) Concavidade Quando a>0 a concavidade da parábola está voltada para cima, e quando a<0, para baixo. Exemplo: Construir o gráfico e determinar a imagem da função: f(x)=x²-5x+6: i) intersecção com o eixo f(x): (0,6) ii) intersecção com o eixo x: x²-5x+6 25-24=1 x= 2 15 x 1 =2 x 2 = 3 Portanto, (2,0) e (3,0) são as intersecções com o eixo x. iii) vértice: x v = a2 b = 2 5 f(xv)= a4 = - 4 1 Portanto o vértice é: 4 1 , 2 5 Conhecendo o vértice e sabendo que como a=1 a concavidade está voltada para cima podemos concluir que Im(f) = [ ), 4 1 x f(x) 2 0 3 0 2.5 0.25 0 6 -1 2 5 6 Notas de Cálculo – professor Augusto 11 Exemplo: Construir o gráfico e determinar a imagem das seguintes funções: a) y = -x²: i) intersecção com o eixo f(x): (0,0) ii) intersecção com o eixo x: y=0 -x²=0 Portanto a única intersecção com o eixo x é o ponto (0,0). iii) vértice: xv = a2 b = 0 f(xv)= a4 = 0 Portanto o vértice é o ponto (0,0). iv) a=-1<0 → concavidade para baixo. Assim Im=(- ,0]. x f(x) 0 0 1 -1 1 -1 2 -4 b) y = x² +1 i) intersecção com o eixo f(x): (0,1) ii) intersecção com o eixo x: x²+1=0 Δ=0²-4=-4<0 Portanto não existe raiz real. Logo não existe intercepto horizontal. iii) vértice: Notas de Cálculo – professor Augusto 12 xv = a2 b = 0 1.2 0 f(xv)= a4 = 1 1.4 4 Portanto o vértice é o ponto: 1,0 . iv) a=1>0 → concavidade para cima. Assim Im= [1, ). Observando os gráficos abaixo podemos concluir que quanto maior for |a| mais “fechada” será a nossa parábola: Para a função afim f(x)=ax+b vimos que a taxa média de variação, dada por h )x(f)hx(f é sempre constante e igual a “a”. x f(x)=x²+1 0 1 1 2 -1 2 2 5 -2 5 y=x 2 -3x+2 y=2x 2 -6x+4 y=3x 2 -9x+6 y=-x 2 +3x-2 y=-2x 2 +6x-4 y=-3x 2 +9x-6 Notas de Cálculo – professor Augusto 13 Considere agora a função quadrática f(x)=x²-5x +6 e calcule a taxa de variação nos intervalos [0,2] e [4,6]: •Intervalo [0,2] h=2 Taxa de variação = 2 )0(f)2(f = 3 2 60 •Intervalo [4,6] h=2 Taxa de variação = 2 )4(f)6(f = 5 2 212 Observe que os intervalos [0,2] e [4,6] possuem a mesma amplitude, ou seja, para ambos h=2, no entanto as taxas de variação são diferentes. Logo, para a função quadrática (e para todas as outras ainda não vistas) as taxas de variação não são constantes. Assim, para todas estas funções utilizaremos somente a nomenclatura taxa média de variação no intervalo [a,b] e não taxa de variação. Observe que no caso das funções afim a taxa de variação significa a variação sofrida pela função por unidade da variável independente variada, e esta relação é proporcional. Assim, a partir de um certo valor inicial de uma destas funções podemos, através da taxa de variação calcular o valor desta função em qualquer momento. Para as demais funções o mesmo não ocorre. A forma canônica da função quadrática A construção do gráfico da função quadrática cbx²axy com o auxílio de uma tabela de valores x e y torna-se, às vezes, um trabalho impreciso, visto que nem sempre conseguimos, desta forma, detectar o seu vértice. Não podemos também confiar na memorização das fórmulas para o cálculo desse vértice e em muitos casos a função quadrática não possui raízes reais, o que impossibilita o cálculo deste vértice a partir da média das raízes. A seguir apresentamos a forma canônica, que como veremos, quando a função quadrática é apresentada nesta forma, ela torna explícito, o vértice da parábola. a c a4 b a4 b x a b xa a c x a b xacbx²axy 2 2 2 2 22 Notas de Cálculo – professor Augusto 14 2 22 2 2 2 2 2 a4 ac4b a2 b xa a c a4 b a4 b x a b xa , ou seja: v2v2 2 yxxa a4a2 b xay , a qual recebe o nome de forma canônica. Veja que se a < 0, o valor de y será tanto maior quanto menor for o valor da diferença 2 2 a4a2 b x . Nessa diferença, 2a4 é constante e 0 a2 b x 2 para todo x real. Então a diferença 2 2 a4a2 b x assume o menor valor possível quando 0 a2 b x 2 , ou seja, quando a2 b x , confirmando que a2 b x v . Veja que se a > 0, o valor de y será tanto menor quanto menor for o valor da diferença 2 2 a4a2 b x . Nessa diferença, 2a4 é constante e 0 a2 b x 2 para todo x real. Então a diferença 2 2 a4a2 b x assume o menor valor possível quando 0 a2 b x 2 , ou seja, quando a2 b x , confirmando que a2 b x v . Veja que para ambos os casos temos a2 b x v , e associado a este valor temos: a4a4 0a a4a2 b a2 b a a4a2 b xay 2 2 2 2 2 2 , ou seja, a4 y v . Perceba então que a forma canônica torna explícita as coordenadas do vértice da parábola. Exemplo: Dada a função do segundo grau f(x)=x²-5x+6, para a qual temos ∆=25-24=1. A sua forma canônica é: Notas de Cálculo – professor Augusto 15 4 1 2 5 xy 2, da qual concluímos que o seu vértice é o ponto 4 1 , 2 5 . Exemplo: Dada a função do segundo grau f(x)=2[(x+3) 2 +1], apresentada na forma canônica, sabemos que o seu vértice é (-3,1). Veja que como a=2>0 e portanto a concavidade desta parábola é para cima concluímos que esta função não admite raízes reais. Às vezes nos deparamos com uma função do segundo grau, que não possui raízes reais e tão pouco nos lembramos das fórmulas para o cálculo do seu vértice. Se a mesma estiver na forma canônica, esta nos fornece este vértice, mas caso contrário devemos nos lembrar que o vértice de uma parábola esta sobre o eixo de simetria da mesma e assim a partir de quais dois valores distintos de x que nos forneçam a mesma imagem podemos obter xv calculando a média aritmética destes dois valores. Dada a função do segundo grau cbx²axy estes cálculos são facilitados fazendo-se ccbx²ax de onde obtemos 0bx²ax o que nos resulta em 0x ou a b x para obtermos que a2 b x v . Exemplo: Dada a função do segundo grau f(x)=x²-5x+6, fazendo: x²-5x+6=6, obtemos: x²-5x=0, de onde obtemos x=0 ou x=5. Daí: 2 5 2 50 x v . Função polinomial As funções linear, afim e quadrática, já estudadas são casos particulares da função polinomial de grau n: p n (x)=a n x n + a 1n x 1n +...+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+a 0 Notas de Cálculo – professor Augusto 16 onde a n , a 1n ,..., a 3 , a 2 , a 1 , a 0 R e a n ≠0 e n N, n>0. Exemplos: a) f(x) = 2x -1 b) g(x) = 5x² +2x -1 c) h(x) = 3x³ -2x² +x O domínio da função pn(x) é o conjunto R. Observe que a função f(x) = x n , n N, n > 0 é um caso especial da função polinomial. Seguem abaixo alguns gráficos: Até 3 raízes reias distintas!? p3(x) Notas de Cálculo – professor Augusto 17 Esses gráficos foram separados em grau pares e ímpares devido às características comuns que podemos identificar nesses dois grupos. Observe que os gráficos das funções f(x) = x n , n N, n > 0 e ímpar, se interceptam nos pontos (1,1) e (-1,-1) e os gráficos das funções f(x) = x n , n N, n > 0 e par, se interceptam nos pontos (1,1) e (-1,1). A forma fatorada de uma função polinomial Da uma função polinomial de grau n: p n (x) = a n x n + a 1n x 1n +...+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+a 0 onde a n , a 1n ,..., a 3 , a 2 , a 1 , a 0 R e a n ≠0 e n N, n>0, podemos escrevê-la na forma fatorada: p n (x) = a n ((x - x1) (x – x2) (x – x2) ... (x – xn)) onde x1,x2,x3, ... , xn são as n raízes reais dessa função. Vamos, a seguir, demonstrar a forma fatorada para a função afim e para função quadrática, ou seja, para as funções polinomiais de graus 1 e 2. A forma fatorada da função afim Dada a função afim f(x)=ax+b, onde a R* e b R, como já sabemos sua única raiz é a b x1 . Veja que para esta função a forma fatorada é: f(x)=a(x-x1), p4(x) Até 4 raízes reias distintas!? p4(x) Notas de Cálculo – professor Augusto 18 a qual pode ser facilmente confirmada substituindo nela a raiz a b x1 . A forma fatorada da função quadrática Para demonstrar a forma fatorada para a função quadrática demonstraremos antes a fórmula de Baskara e a da soma e produto das suas raízes. Fórmula de Baskara Seja a função quadrática cbx²ax)x(f , com 0a , e tomemos a equação: 0cbx²ax , da qual obtemos: 0 a c x a b ²x , dividindo por a e: 0 a c ²a4 ²b ²a4 ²b x a b ²x , somando e subtraindo ²a4 ²b , que é o mesmo que: 0 a c ²a4 ²b a2 b x 2 . Desta temos: a c ²a4 ²b a2 b x 2 , ou, ²a4 ac4²b a2 b x 2 , da qual resulta: ²a4 ac4²b a2 b x , Notas de Cálculo – professor Augusto 19 ou ainda: a2a2 b x , fazendo: ac4²b , da qual obtemos: a2a2 b x , ou, a2 b x , que é a fórmula de Baskara. Soma e produto das raízes Sendo a2 b x1 e a2 b x 2 obtidos pela fórmula de Baskara, sabemos que: a b xxS 21 , pois: a b a2 b2 a2 b a2 b S . Temos tambémque: a c xxP 21 , pois: a c ²a4 ac4 ²a4 bb²b a2 b a2 b P . Agora vamos verificar a validade da forma fatorada para a função quadrática cbx²axy , onde a, b, c R e a≠0. Esta função pode ser escrita como: Notas de Cálculo – professor Augusto 20 a c x a b ²xay , ou seja: )xxxxxxx(axxxxx²xay 2121 2 2121 =, da qual obtemos: 121 xxxxxxay , colocando x e -x2 em evidência. Daí colocando 1xx em evidência obtemos: 21 xxxxay , que é a forma fatorada da função quadrática. Exemplo: Dada a função quadrática f(x)=x²-5x+6 cujas raízes são x 1 =2 e x 2 = 3 a sua forma fatorada é f(x) = (x-2)(x-3). Exemplo: Dada a função quadrática f(x)=x²-2x+1 cujas raízes são x 1 =1 e x 2 = 1 a sua forma fatorada é f(x)=(x-1)(x-1)=(x-1) 2 . Observação: Na construção dos gráficos que nos levaram a concluir que quanto maior for |a| mais “fechada” será a nossa parábola utilizamos a forma fatorada da função f(x)= x²-3x+2 que é f(x)=(x-1)(x-2) e variamos o valor da constante a, fazendo-a assumir os valores 1, 2 e 3 e depois -1, -2 e -3. Encontrando uma função polinomial: Quando temos uma função dada por uma tabela de pontos nos é muito útil um procedimento para obtermos a expressão desta função. Se desejarmos uma função polinomial: p n (x) = a n x n + a 1n x 1n +...+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x+a 0 isto será sempre possível. Para tanto, seja f dada sobre (n+1) pontos pela tabela: x x0 x1 x2 ... xn-1 xn f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ... f(xn-1) f(xn) Notas de Cálculo – professor Augusto 21 Desejamos então uma função polinomial pn(x) tal que: f x p xk n k( ) ( ) , para k 0 1, , , n . Para tanto, devemos resolver o sistema linear: )x(fxaxaxaa )x(fxaxaxaa )x(fxaxaxaa n 2 nn 2 n2n10 1 2 1n 2 12110 0 n 0n 2 02010 , com ( )n 1 equações e ( )n 1 variáveis, a n0 1 2, , , , a a a , gerado à partir da última igualdade, e com solução única, a qual determina a função pn(x). Ressaltamos que à partir de uma tabela com (n+1) pontos obtemos uma função polinomial de grau menor ou igual a n, sendo n quando na resolução do sistema obtivermos 0a n e caso contrário o grau será menor que n. Este procedimento recebe o nome de Interpolação Polinomial, mais detalhadamente estudo pela Matemática Computacional, ou mais especificamente, pelo Cálculo Numérico. Exemplo: Vamos encontrar a função polinomial de grau menor ou igual a 2 para a tabela abaixo: x -1 0 2 f x( ) 4 1 -1 Temos que p x a a x a x2 0 1 2 2( ) e p x f x p x f x p x f x 2 0 0 2 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ou seja: a a a a a a a 0 1 2 0 0 1 2 4 1 2 4 1 . Resolvendo o sistema linear obtemos: a 0 1 , a1 7 3 e a 2 2 3 . Assim p x x x2 21 7 3 2 3 ( ) é a função polinomial, ou seja, f x( ) da tabela dada. Exemplo: Vamos encontrar a função polinomial de grau menor ou igual a 3 para a tabela abaixo: Notas de Cálculo – professor Augusto 22 x -2 0 1 2 f x( ) 5 1 4 15 Temos que 33 2 2103 xaxaxaa)x(p e )x(f)x(p )x(f)x(p )x(f)x(p )x(f)x(p 333 223 113 003 , ou seja: 15a8a4a2a 4aaaa 1a 5a8a4a2a 3210 3210 0 3210 . Resolvendo o sistema linear obtemos: a 0 1 , 1a1 , 1a 2 e 1a 3 . Assim p3(x)=x 3 +x 2 +x+1 é a função polinomial, ou seja, f x( ) da tabela dada. Função Racional Uma função racional f é uma função dada por: )x(q )x(p )x(f onde p e q são funções polinomiais. É fácil perceber que 0)x(q/Rx)f(Dom . Exemplos: 1) A função x 1 )x(f não é propriamente dita uma função polinomial, no entanto é muito útil conhecê-la antes de nos aventurarmos com as funções polinomiais propriamente ditas. Neste caso Dom(f) = R*. Vamos construir o gráfico de f: Notas de Cálculo – professor Augusto 23 Observe que quando x aumenta o valor da função se aproxima de 0 superiormente, mas nunca assumirá o valor 0, e quando x diminui o valor da função se aproxima de 0 inferiormente, mas nunca assumirá o valor 0. Também, quando x se aproxima de zero superiormente o valor da função cresce e quando x se aproxima de zero inferiormente o valor da função diminui. A reta y = 0 recebe o nome de assíntota horizontal e a reta x = 0 de assíntota vertical. 2) x 1x )x(f . Neste caso Dom(f) = R*. Observe que x 1 1)x(f e agora vamos construir o gráfico de f: x f(x) -2 1/2 -1 0 -1/2 -1 0 - 1/2 3 1 2 2 3/2 x f(x) -4 1/4 -2 1/2 -1 -1 -1/2 -2 0 - 1/2 2 1 1 2 1/2 4 1/4 Notas de Cálculo – professor Augusto 24 Observe que quando x aumenta o valor da função se aproxima de 1 superiormente, mas nunca assumirá o valor 1, e quando x diminui o valor da função se aproxima de 1 inferiormente, mas nunca assumirá o valor 1. Também, quando x se aproxima de zero superiormente o valor da função cresce e quando x se aproxima de zero inferiormente o valor da função diminui. A reta y = 1 recebe o nome de assíntota horizontal e a reta x = 0 de assíntota vertical. 3) x 1x )x(f 2 . Neste caso Dom(f) = R*. Observe que x 1 x)x(f e agora vamos construir o gráfico de f, sem nos preocuparmos com a tabela de pontos: No exemplo anterior, x 1 1)x(f e observamos que quando |x| aumenta o valor da função se aproxima da reta y = 1, e quando |x| se aproxima de zero o valor de |f(x)| cresce. Analogamente, agora x 1 x)x(f e assim é de se esperar que quando |x| aumentar o valor da função se aproximará da reta y = x e quando |x| se aproximar de zero o valor de |f(x)| cresça, ou melhor ainda, quando |x| se aproximar de zero os valores de f(x) se aproxima de x 1 . Notas de Cálculo – professor Augusto 25 Em tonalidade mais clara temos o gráfico de x 1 y , apenas para orientação. Agora reta y = x é assíntota (oblíqua) e a reta x = 0 é assíntota vertical. 4) Vamos construir agora o gráfico de 2x 1 )x(f . Agora 2x/Rx)f(Dom e disto já podemos concluir que uma das assíntotas será a reta x = -2. O gráfico desejado é:5) Vamos construir agora o gráfico de 3x 6x5x )x(f 2 . Agora 2x 3x )3x)(2x( 3x 6x5x )x(f 2 . Logo o gráfico de f(x) é: Notas de Cálculo – professor Augusto 26 Observe que esta reta possui um “salto” quando x = 3, pois ).f(Dom3x Observe que quando x 1 1)x(f , no exemplo 2), o gráfico de f(x) pode ser obtido do gráfico de x 1 y deslocando-o uma unidade para cima, e quando 2x 1 )x(f , exemplo 4), o gráfico de f(x) pode ser obtido do gráfico de x 1 y deslocando-o duas unidades para a esquerda. Isto pode ser generalizado: “Dada f(x) o f(x)+k consiste no deslocamento de f(x) k unidades para cima e f(x+k) consiste no deslocamento de f(x) k unidades para a esquerda”. Função Exponencial e Função Logarítmica Suponha que aplicamos R$ 10,00 em uma poupança, a uma taxa mensal fixa de 1% ao mês. Inicialmente temos: R$ 10,00 = 10.(1,01)º, e depois de 1 mês: R$ 10,10 = 10.(1,01)¹, depois de 2 meses: R$ 10,201 = 10,10.(1,01) = 10.(1,01).(1,01) = 10.(1,01)² e de maneira análoga, depois de n meses teremos que valor é dado por: 10.(1,01) n que é uma função exponencial de base 1,01, na variável n. Assim obtemos a seguinte tabela: Tempo R$ 0 10,00000 1 10,10000 2 10,20100 3 10,30301 4 10,40604 5 10,51010 6 10,61520 7 10,72135 8 10,82857 Notas de Cálculo – professor Augusto 27 9 10,83685 10 11,04622 90 24,00000 91 24,73119 92 24,97850 93 25,22879 94 25,48057 95 25,73538 96 25,99273 97 26,25266 98 26,51518 99 26,78033 100 27,04814 O gráfico desta função é: Na função exponencial f(n) = 10.(1,01) n a constante 10 é o valor onde o gráfico desta função intercepta o eixo y e: 01,1 99273,25 25266,26 10000,10 20100,10 00000,10 10000,10 . Observe agora este outro exemplo, sobre um saque mensal de 2%, sobre um capital de R$ 200,00: Tempo R$ 0 200,00000 1 196,00000 2 192,08000 3 188,23840 4 184,47363 Notas de Cálculo – professor Augusto 28 5 180,78416 6 177,16848 7 173,62511 8 170,15260 9 166,74955 10 163,41456 100 26,52391 200 3,51759 400 0,06187 Agora a expressão desta nova função exponencial é: f(n) = 200.0,98 n onde 200 é o valor inicial e: 08,192 2384,188 196 08,192 200 196 98,0 ou ainda: 0,98 = 1 - 2%. O gráfico desta função é: Dada uma função exponencial, na forma geral: f(x) = K.a x Notas de Cálculo – professor Augusto 29 a constante K é o valor onde o gráfico de f(x) intercepta o eixo f(x) e “a” é a base da função. Observe que devemos exigir a≠0 e a≠1 e além disso a>0, pois por exemplo, para a = -2 e 2 1 x temos R2)x(f , e se a =1 então 1 x = 1, para todo x Real, e quando a = 0 e x= -1 temos que f(x) não existe. Nestas condições é fácil concluir que o domínio de uma função exponêncial f(x) qualquer é o conjunto R. Quando a<0, alguns valores obtidos oscilam entre valores positivos e negativos. Como exemplo considere: 200.(-0,98) x para a qual obtemos os seguintes valores: x 200.(-0,98) x -5.00000 -84.67544 -4.00000 76.20790 -3.00000 -68.58711 -2.00000 61.72840 -1.00000 -55.55556 0.00000 50.00000 1.00000 -45.00000 2.00000 40.50000 3.00000 -36.45000 4.00000 32.80500 5.00000 -29.52450 Para outros valores, como por exemplo x = 1/2 o valor da expressão 200.(-0,98) x nem pode ser calculado. Este último fato faz com que 200.(-0,98) x não seja uma função real. De maneira geral vejamos o esboço dos gráficos de funções exponenciais: y = a x , a > 0 y = -a x , a > 0 y = a x , 0 < a < 1 y = -a x , 0 < a < 1 Notas de Cálculo – professor Augusto 30 As propriedades: 1) Se a>1 e x<y então a x < a y ; 2) Se 0<a<1 e x<y então a x > a y ; podem ser facilmente demonstradas, e nos mostram que: i) se K>0 e a>1 então a função exponencial f(x) = K.a x é crescente; ii) se K>0 e 0<a<1 então a função exponencial f(x) = K.a x é decrescente; iii) se K<0 e a>1 então a função exponencial f(x) = K.a x é decrescente; iv) se K<0 e 0<a<1 então a função exponencial f(x) = K.a x é crescente; o que pode ser verificado nos gráficos acima. A função exponencial de base “e” (e = 2.718281), f(x) = e x desempenha um importante papel na Matemática. O esboço do seu gráfico é: Observe que se f(x) é uma função exponencial qualquer nunca teremos f(x) = 0. Suponha agora que desejamos saber por exemplo, no caso da poupança visto anteriormente, quando teremos R$ 15,00. Naquele exemplo: Notas de Cálculo – professor Augusto 31 f(n) = 10.(1,01) n e assim temos que determinar n tal que: f(n)=15 ou seja: 10.(1,01) n =15 que é uma equação exponencial. Para isto é necessário conhecermos os logaritmos. Definição: Sejam a>0, a≠1 e β>0 dois números reais quaisquer. Então existe um único α R tal que a = β, chamado logaritmo de β na base “a” e denotado por log a β. Assim α = log a β a = β. Nesta definição exigimos a≠1 por motivos óbvios, a>0 pois, como já vimos, se a<0 então nem sempre é possível calcular a , e também exigimos que β>0, pois desde que a deve ser positivo β = a também será positivo. Exemplos: 1) log28 = 3 pois 2 3 = 8. 2) log327 = 3 pois 3 3 = 27. Denotaremos log10β por logβ. O logaritmo na base “e” é indicado por ln, ou seja: α = ln β e = β e recebe o nome de logaritmo natural. Algumas propriedades do logaritmo: (1) log a (x.y)= log a (x)+ log a (y) (2) log a (x y )=y. log a (x) (3) log a y x = log a (x)- log a (y) Notas de Cálculo – professor Augusto 32 (4) log a (x)= alog xlog b b Daí para resolver o nosso problema fazemos: log(10.(1,01) n ) = log(15) log10+log(1,01) n = log(15) n.log(1,01) = log (15)–log(10) n = )01,1log( 10log)15log( n = 41, ou seja, precisamos deixar R$10,00 aplicados por 41 meses à taxa de 1% ao mês para obtermos R$15,00. Por outro lado, o cálculo de logaritmos em uma base qualquer “a” definem a função logarítmica na base “a” dada por: f(x)=log a (x) ondea>0 e a≠1. Decorre da definição de logaritmo que o domínio desta função é R + . Abaixo seguem os gráficos das duas principais funções logarítmicas: Observe que Dom(log(x))= R , Im(log(x))=R, Dom(ln(x))= R e Im(ln(x))=R. y = ln(x) y = log(x) Notas de Cálculo – professor Augusto 33 É fácil verificar que se a > 1 e se x1 < x2 então log a (x1) < log a (x2), ou seja, a função f(x)=log a (x) é crescente, e que se 0 < a < 1 e se x1 < x2 então log a (x1) > log a (x2), ou seja, a função f(x)=log a (x) é decrescente, como pode ser observado nos esboços gerais dos gráficos de funções logarítmicas apresentadas abaixo: Da definição de logaritmo temos que α= log a β a =β. Assim y = log e x e y = x isto é, y = lnx e y = x e disto concluímos que: e xln =x. Função Potência São funções do tipo f(x)=K.x c onde K R* e c R* - Z. Observe a função f dada por 2 1 xx)x(f . Temos que: 0x/Rx)f(Dom . y = loga(x), a > 0 y = loga(x), 0 < a < 1 Notas de Cálculo – professor Augusto 34 Quando x cresce, f(x) também cresce, no entanto mais lentamente que x. A partir de uma tabela de pontos obtemos o seu gráfico: x 0 1/16 1/4 1 4 9 16 25 f(x) 0 1/4 1/2 1 2 3 4 5 Outra função potência muito comum é g(x)= 313 xx , para a qual temos Dom(g) = R. O seu gráfico é: x g(x)= 3 x 0 0 1 1 -1 -1 8 2 -8 -2 27 3 27 -3 Funções Trigonométricas Um triângulo é uma figura geométrica plana, constituída por três lados e três ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0 o e 180 o , de modo que, em qualquer triângulo, a soma dessas medidas é 180 o . Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos. Zoon Notas de Cálculo – professor Augusto 35 Um triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, tem medida igual a 90 o . Os outros dois ângulos, evidentemente, são agudos. No triângulo retângulo ABC, consideremos, por exemplo, o ângulo que tem vértice em B, cuja medida x, em graus, é um número real que está no intervalo (0,90). Entre os lados do triângulo podemos estabelecer as seguintes razões: i) Seno: Seno de x é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo B e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o seno de x por senx, temos: BC AC senx , sendo dado um segmento AB , indicamos o comprimento de AB por AB. ii) Cosseno: Cosseno de x é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa do triângulo. Indicando o cosseno de x por cosx, temos: BC AB xcos . iii) Tangente: Tangente de x é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto adjacente ao ângulo. Indicando a tangente de x por tgx, temos: AB AC tgx . Um fato interessante é que, como pode ser observado na figura abaixo, usando o fato de que os triângulos A1BC1, A2BC2, A3BC3, A4BC4, ... são semelhantes, imediatamente concluímos que: 4 44 3 33 2 22 1 11 BC CA BC CA BC CA BC CA senx assim como, Notas de Cálculo – professor Augusto 36 4 44 3 33 2 22 1 11 BC BA BC BA BC BA BC BA xcos e BA CA BA CA BA CA BA CA tgx 4 44 3 33 2 22 1 11 , ou seja, senx, cosx, tgx não dependem do particular triângulo retângulo ABC, mas apenas do ângulo , cuja medida é x graus. As Funções Trigonométricas são definidas no Ciclo Trigonométrico, que é uma circunferência orientada em que: - O centro é a origem do plano cartesiano; - O raio é unitário (r = 1); - O sentido positivo é o anti-horário e o sentido negativo é o horário; - O ponto I = (1,0) é a origem do ciclo trigonométrico; Os eixos cartesianos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos, cada qual contido em um quadrante. QI QIV QII QIII X Y I 0° 90° 180° 270° Sentido negativo Sentido Positivo Notas de Cálculo – professor Augusto 37 Tome agora um ponto P de coordenadas (A, B) sobre o círculo trigonométrico: 1 B P -1 O A I Considerando um arco IP, cuja medida é o número Real x, veja que o seno do ângulo que tem vértice em O ou seno do arco IP, é o valor da ordenada B do ponto P uma vez que o raio é unitário, ou seja, senx = B. Como os valores de senx são marcados no eixo das ordenadas, é fácil perceber que nos primeiro e segundo quadrante o valor de senx são positivos e nos terceiro e quarto são negativos. Veja que o cosseno do ângulo que tem vértice em O ou cosseno do arco IP, cuja medida é o número Real x, é o valor da abscissa A do ponto P, que denotamos por cosx = A. Como os valores de cosx são marcados no eixo das abscissas, é fácil perceber que nos primeiro e quarto quadrante o valor de cosx são positivos e nos segundo e terceiro são negativos. Para a interpretação geométrica x é a medida em radianos (rad) do arco IP , lembrando que a medida de um arco é 1 radiano se o seu comprimento for igual ao raio de circunferência: 1 radiano = 57 o16’. Veja ainda que o o 16,57 180 , nosso famoso número transcendental, donde vem a igualdade oo 16,57180 ou .rad180o Sendo “a” o menor número positivo tal que cos(a)=0 e sen(a)=1, definimos a2 . Veja que a tangente do ângulo que tem vértice em O ou a tangente do arco IP , cuja medida é o numero Real x, é o valor xcos senx , com cosx 0, o que denotamos por tgx. Notas de Cálculo – professor Augusto 38 No Ciclo Trigonométrico temos IC)x(tg . P C B O A I Observe que, geometricamente, para os pontos cujas coordenadas são (0,1) (0,-1), ou seja, arcos de 90° e 270° ou, respectivamente, 2 rad e 2 3 rad, entre outros, a tangente não é definida. Apresentamos a seguir alguns valores das funções seno, cosseno e tangente: x 0 0 ou 0rad 30 0 ou 6 rad 45 0 ou 4 rad 60 0 ou 3 rad 90 0 ou 2 rad senx 0 2 1 2 2 2 3 1 cosx 1 2 3 2 2 2 1 0 tgx 0 3 3 1 3 Observando que sen(180-x) = senx, cos(180-x) = -cosx e tg(180-x) = -tgx podemos usar a mesma tabela acima para obter valores do seno, cosseno e tangente no segundo quadrantedo ciclo trigonométrico, e com raciocínio análogo poderemos usa-la também no terceiro e quarto quadrantes. Os gráficos das funções f(x)=senx, g(x)=cosx e h(x)=tgx Eixo das tangentes Notas de Cálculo – professor Augusto 39 são dados abaixo: Observe que a função Seno é uma função Ímpar, ou seja, f(-x) = -f(x) e a função Cosseno é uma função Par, ou seja, f(-x) = f(x). Observe que Dom(senx) = Dom(cosx) = R e Im(senx) = Im(cosx) = [-1,1]. Agora Dom(tgx) = ímpar k,Zk/ 2 kR e Im(tgx) = R. O gráfico da função senx para 3x é o mesmo apresentado para x , e que também é igual ao gráfico desta função para x3 e assim sucessivamente para qualquer intervalo ])2k(,k[ com *Zk . Assim dizemos que a função senx tem período 2 . O mesmo ocorre com a função cosx enquanto que a função tgx apresenta período . senx cosx tgx Notas de Cálculo – professor Augusto 40 Por outro lado os valores da função senx e cosx variam no intervalo [-1,1], uma vez que Im(senx) = Im(cosx) = [-1,1]. Assim dizemos que estas funções possuem amplitude 1 (metade da diferença entre o maior e o menor valores assumidos pela função). Outras funções trigonométricas importantes são as funções secante (sec), cosecante (cosec) e cotangente (cotg), descritas por: xcos 1 xsec , senx 1 ecxcos e tgx 1 senx xcos gxcot . É claro que os valores dessas funções podem ser obtidos à partir da funções seno, cosseno e tangente. No entanto veremos brevemente como aferir as duas primeiras no ciclo trigonométrico, ficando a terceira por conta do leitor. Dado um número real x , tal que k 2 x , considerando a reta tangente ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do cosseno no ponto C, definimos por secante o módulo do segmento que vai do centro do ciclo trigonométrico O até o ponto C. Dado um número real x , tal que kx , considerando a reta tangente ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do seno no ponto C, definimos por cossecante o módulo do segmento que vai do centro do ciclo trigonométrico O até o ponto C. C O A B P I Notas de Cálculo – professor Augusto 41 Os gráficos das funções secante (sec), cosecante (cosec) e cotangente (cotg), são apresentamos abaixo, nessa ordem: C O A B P I Notas de Cálculo – professor Augusto 42 Veja que essas funções apresentam restrições nos respectivos domínios. Por exemplo, 2 )1k2(x|Rx))x(sec(Dom com k:0,1,2,3,.... Observe também que ),1[]1,())xIm(sec( . Para finalizar esta seção listamos as seguintes relações trigonométricas. 1- sen2x + cos2x = 1 2- sen2x = 1 – cos2x 3- cos2x = 1 – sen2x 4- xcos senx tgx 5- tgx.cosx = senx 6- tgx senx xcos 7- senx xcos gxcot 8- cotgx.senx = cosx 9- gxcot xcos senx 10- xcos 1 xsec 11- secx.cosx = 1 12- xsec 1 xcos 13- senx 1 ecxcos 14- cosecx.senx = 1 15- ecxcos 1 senx 16- xcos 1 xsec 2 2 17- sec2x.cos2x = 1 18- xsen 1 xeccos 2 2 19- cosec2x.sen2x = 1 20- sec2x = 1 + tg2x 21- sec2x – tg2x = 1 22- cosec2x = 1 + cotg2x 23- cosec2x – cotg2x = 1 24- 2 x2cos1 xsen2 Notas de Cálculo – professor Augusto 43 25- 2 x2cos1 xcos2 26- sen2x = 2senx.cosx 27- sen(-x) = -senx 28- cos(-x) = cosx 29- cos2x = cos2x – sen2x 30- cos2x = cos2x + sen2x 31- cos2x = 1 – 2 sen2x 32- cos2x = 2cos2x – 1 33- xcos1 senx 2 x tg 34- tg(-x) = -tg x 35- 2 xcos1 2 x cos 36- 2 xcos1 2 x sen 37- cos(a – b)= cosa.cosb + sena.senb 38- cos(a + b)= cosa.cosb – sena.senb 39- sen(a – b) = sena.cosb – senb.cosa 40- sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa Veja que das quatro últimas identidades acima obtemos: senx 2 xcos , senx 2 xcos , xcos 2 xsen e xcos 2 xsen , o que pode ser facilmente verificado nos gráficos das funções seno e cosseno. Operações com Funções Sejam f e g duas funções reais. Definimos as seguintes operações i) soma: f +g=f(x)+g(x) ii) subtração: f-g=f(x)-g(x) iii) multiplicação: f.g=f(x).g(x) iv) divisão: )x(g )x(f g f , g(x)≠0 Para estas operações, temos que o domínio será dado por Dom(f)∩Dom(g), além da restrição g(x)≠0 para a operação iv). Exemplo: Seja f(x)= 1x2 e g(x)=3x. Assim: Notas de Cálculo – professor Augusto 44 f+g= 1x2 + 3x . Como Dom(f) = 2 1 x/Rx e Dom(g)=R temos que: Dom(f+g)= 2 1 x/Rx . Também: x3 1x2 g f e assim: Dom g f = 2 1 x/Rx . v) composição: Considere a situação que durante uma viagem um dos ocupantes do veículo realizou anotações a respeito da distância percorrida, obtendo a tabela: Tempo de viagem (min) 0 10 20 30 40 Distância percorrida (Km) 0 20 40 60 80 Um outro passageiro realizou anotações à respeito do consumo de combustível de acordo com a distância percorrida, indicado no computador de bordo, e obteve a tabela: Distância percorrida (km) 0 20 40 60 80 Consumo de combustível (l) 0 2 4 6 8 Observe que a distância percorrida, d, em função do tempo de viagem, t, é dada pela função: d(t) = 2t, e o consumo de combustível, c, em função da distância percorrida, é dado pela função: c(d) = 0,1d. Notas de Cálculo – professor Augusto 45 É claro que podemos solicitar o consumo de combustível em função do tempo de viagem, ou seja, desejamos c(t). Para tanto, basta lembrarmos que quando escrevemos c(d) não consideramos que d é uma função do tempo. Se assim fizermos teremos: c(d) = c(d(t)) = c(2t) = 0,1(2t). Veja que montando a tabela desta nova função obtemos: Tempo (t) 0 10 20 30 40 Consumo de combustível (c(t)) 0 2 4 6 8 a qual nos o consumode combustível em função do tempo da nossa viagem. O que aqui fizemos recebe o nome de composição de funções, o que definiremos formalmente a partir de agora. Sejam f e g duas funções reais tais que Im(g) Dom(f). Assim podemos definir a composição: (f○g).(x)=f(g(x)). Graficamente: Exemplo: Sejam f(x)= 1x2 e g(x)=3x. Calcular gof e f○g: Temos que Dom(f) = 2 1 x/Rx , Im(f) = R + e Dom(g) = Im(g) = R. Observe que Im(f) Dom(g) e assim o cálculo de gof pode ser executado sem problemas: g○f(x) = g(f(x))=g( 1x2 ) = 3. 1x2 e assim: Dom(g○f)= 2 1 x/Rx . Agora Im(g) Dom(f) e assim o domínio de fog, caso esta exista, deve ser minuciosamente estudado. g f Notas de Cálculo – professor Augusto 46 f○g(x)=f(g(x))=f(3x) = 1)x3.(2 = 1x6 e assim: Dom(f○g)= , 6 1 = 6 1 x/Rx , olhando fog como uma nova função. Agora, como Dom(f) Dom(f○g) é razoável considerarmos: Dom(f○g) = Dom(f). vi) deslocamento: Seja f(x) uma função real. A função f(x+C) é obtida da função f(x) pelo deslocamento de C unidades no eixo x sendo que: se C>0 então o deslocamento é para a esquerda, e se C<0 então o deslocamento é para a direita. Exemplo: A partir do gráfico de f(x)=x 3 , deslocando-o duas unidades para a direita obtemos o gráfico de (x-2) 3 : A função f(x)+C é obtida da função f(x) pelo deslocamento de C unidades no eixo f(x), sendo que: se C>0 então o deslocamento é para cima, e se C<0 então o deslocamento é para baixo. x 3 (x-2) 3 Notas de Cálculo – professor Augusto 47 Exemplo: A partir do gráfico de f(x)=x 2 , deslocando-o três unidades para cima, obtemos o gráfico de x 2 +3: Na figura abaixo, a partir do gráfico g(x)=x², deslocando-o três unidades para a esquerda obtivemos o gráfico de (x+3) 2 e a partir desse último, deslocando-o duas unidades para cima obtivemos o gráfico da função (x+3)²+2: vii) dilatação e contração: x 2 x 2 +3 (x+3) 2 x 2 (x+3) 2 +2 Notas de Cálculo – professor Augusto 48 x y x y x y x y Seja f(x) uma função real. A função f(Cx) é obtida da função f(x) pela dilatação ou contração de fator C no sentido do eixo x, sendo que: se C>1 então ocorre a contração, se 0<C<1 então ocorre a dilatação, e quando C<0 ocrre também a reflexão em torno do eixo f(x). Esta operação é muito utilizada com as funções trigonométricas, para acertos de períodos. Abaixo mostramos os gráficos das funções senx, sen2x, sen0.5x e sen(-x), nessa ordem. A função Cf(x) é obtida da função f(x) pela dilatação ou contração de fator C no sentido do eixo f(x), sendo que: Notas de Cálculo – professor Augusto 49 x y x y x y x y se C>1 então ocorre a dilação, se 0<C<1 então ocorre a contração, e quando C<0 ocorre também a reflexão em torno do eixo x. Esta operação é muito utilizada com as funções trigonométricas, para acertos de amplitudes. Abaixo mostramos os gráficos das funções senx, 2senx, 0.5senx e -senx, nessa ordem. Observe que os gráficos de sen(-x) e de –senx são iguais, visto que como já comentamos a função seno é uma função ímpar. Função Inversa Notas de Cálculo – professor Augusto 50 Considere a tabela abaixo, que fornece o percentual de poluição de uma lagoa, à partir de 1950: Ano 1950 1970 1990 Porcentagem poluída 0 4 16 A função P(t) que fornece a porcentagem poluída em função do tempo é dada pela tabela: t (ano) 0 20 40 P(t) 0 4 16 Como essa tabela possui três pontos uma das possíveis funções associadas a ela é a função polinomial de grau menor ou igual a 2, P(t) = 0,01t 2 . Se desejarmos saber qual o percentual de poluição em 1980, basta calcularmos: P(30) = 0,01.30 2 = 9, ou seja, em 1980 9% da lagoa estava poluído. Agora, se desejarmos saber quando tivemos 10% da lagoa poluída devemos resolver: 0,01t 2 = 10, para obter t = -31,6 ou t = 31,6. Como a primeira solução deve ser descartada temos que a poluição atingiu 10% da lagoa em 1982. E se desejarmos saber quando a poluição atingiu 20% da lagoa? Resolvendo 0,01t 2 = 20, obtemos t = -44,7 ou t = 44,7, e assim essa poluição foi atingida em 1995. Mas podemos fazer isso para um percentual P qualquer. Assim a nossa equação a ser resolvida é: 0,01t 2 = P, da qual obtemos: 01,0 P t , e assim, devemos escolher: Notas de Cálculo – professor Augusto 51 01,0 P t , ou seja, encontramos a função que nos fornece o tempo para um percentual de poluição qualquer, ou seja, t(P). Considere agora que a velocidade, v, em quilometros por hora, km/h, de um carro é dada pela função: v(t) = 50ln(t+1), onde o tempo, t, é dado em segundos. Atribuindo-se valores a t podemos obter a tabela: t v(t) 0 0 1 35 2 55 3 69 4 80 5 90 6 97 7 104 8 110 9 115 10 120 11 124 12 128 13 132 14 135 15 139 16 142 17 145 18 147 19 150 E se desejarmos saber quando a velocidade atingiu 100 km/h? Veja que para conseguirmos esta resposta precisamos resolver a equação 50ln(t+1) = 100, cuja solução é aproximadamente6,3, ou seja, em 6,3 segundos o carro atingiu 100 km/h. Notas de Cálculo – professor Augusto 52 Mas podemos fazer isso para uma velocidade v qualquer. Assim a nossa equação a ser resolvida é: 50ln(t+1) = v, da qual obtemos: 50 v )1tln( , e assim: 1et 50 v , ou seja, encontramos a função que nos fornece o tempo para uma velocidade qualquer, ou seja, t(v). O que fizemos nestes dois últimos exemplos foi encontrar as respectivas funções inversas das funções P(t) = 0,01t 2 e v(t) = 50ln(t+1). Atente para o fato que no primeiro exemplo tivemos que escolher uma entre as duas opções de respostas. Isto ocorreu porque a função quadrática não é injetora, isto é, existem valores distinto em seu domínio associados a uma mesma imagem. Agora apresentaremos estas idéias com um pouco mais de rigor e generalidade. Dizemos que uma função é injetora se, para quaisquer x e y no seu domínio, se yx então ).y(f)x(f Vale a pena observar que quando f é crescente ou decrescente em todo o seu domínio então f é injetora. Nestas condições, ou seja, quando f é injetora então para )fIm(y existe um único )f(Domx tal que f(x) = y. Assim podemos considerar a função g, definida em Im(f) e dada por: g(y) = x se e somente se f(x) = y. A função g denomina-se função inversa de f e é denotada por f -1 . Se f for uma função que admite função inversa então dizemos que f é inversível. x y f g Notas de Cálculo – professor Augusto 53 Note que se f é inversível com inversa g então g também é inversível com inversa f, isto é: ff 11 . Observe que a função inversa de f é dada implicitamente pela equação y = f(x) e assim para obtê-la devemos resolver esta equação para a variável x. Após isto é comum trocar a variável x por y e y por x, para que f e f -1 possam ser estudas no mesmo plano cartesiano. Exemplos: 1) Considere x)x(f . Como Dom(f) = R + e f é crescente em todo o seu domínio temos que f é inversível e para obter a sua inversa devemos resolver: xy para a variável x, isto é, obter x como função de y. Elevando ambos os lados ao quadrado temos o desejado: xy2 , e apenas para ficarmos com nossa notação usual, isto é, x como variável independente, trocamos x por y e y por x, obtendo a função inversa de f: f -1 (x) = x 2 . Graficamente: x 2 Notas de Cálculo – professor Augusto 54 2) A função f(x) = e x é crescente em todo o seu domínio, e portanto é inversível, e como já vimos: y = lnx e y = x, para todo x e y reais e x > 0. Logo )xln(e 1x . Graficamente: 3) A função y = f(x) = x 2 não é estritamente crescente (ou decrescente) em R, por isso devemos tomar um intervalo de crescimento ou decrescimento desta função para calcular a sua inversa nesse intervalo. Por exemplo, considerando a função y = f(x) = x 2 definida no intervalo I = (0,+) ela é estritamente crescente. Daí de y =x2 obtemos x = f –1 (y) = + y , ou seja, y = + x é a função inversa da f. Se tivéssemos tomado o intervalo decrescente I = (-,0) teríamos y = - x como função inversa de f. Observe que f e f -1 são simétricas em relação à reta y = x. Também: (fof -1 )(x) = x e (f -1 of)(x) = x. As Inversas das Funções Trigonométricas Um problema comum em trigonometria é achar um ângulo cujas funções trigonométricas são conhecidas. Considere por exemplo, que um engenheiro está projetando uma rampa, conforme a figura abaixo. ln(x) e x Notas de Cálculo – professor Augusto 55 Para que seja descrita no projeto é necessário determinar o ângulo x. Para tanto sabemos que tg(x) = 2 1 , e assim, x = 26,6 o . Esse mesmo resultado pode ser obtido à partir de sen(x) = 20 2 ou de cos(x) = 20 4 . Veja que para cada valor assumido pelas funções seno, cosseno ou tangente associamos o ângulo correspondente. Lembrando que essas funções não são injetoras, com as devidas restrições nos respectivos domínios, podemos pensar na avaliação das respectivas funções inversas, ou seja, podemos estudar o problema da computação de funções arco, tais como arcsenx, arccosx, arctgx, e assim por diante. Como todas as funções trigonométricas são periódicas, para cada uma delas, vale que f(x + T) = f(x), para todo x do Dom(f), sendo f qualquer uma das referidas funções, e T o período, o que mostra que essas funções não são injetoras. Assim, nenhuma das funções trigonométricas é inversível em seu domínio. Entretanto, para cada uma delas podemos considerar uma restrição do domínio, a fim de obter uma função inversível. A Função Arcsen O domínio da função seno é o conjunto R. Vamos restringir o domínio dessa função ao intervalo 2 , 2 , e assim obter a função seno restrita ao intervalo 2 , 2 . Essa função, restrição da função seno ao intervalo 2 , 2 , é inversível pois é uma função crescente. A sua inversa denomina-se arcsen cujo domínio é o intervalo [-1,1] e a imagem é o intervalo 2 , 2 . Para obtermos o gráfico da função arcsen basta lembrarmos que ele é simétrico à função seno no intervalo 2 , 2 , em relação à reta y = x: 2m 4m x Notas de Cálculo – professor Augusto 56 x y A função arcsen(x) é denotada também por sen -1 (x). Poderíamos ter escolhido muitas outras restrições para o domínio da função seno, como por exemplo, 2 3 , 2 , todas objetivando torná-la, nessa restrição, somente crescente ou decrescente. A Função Arccos A função cosseno restrita ao intervalo ,0 é crescente, e portanto inversível. Sua inversa denomina-se arccos cujo domínio é o intervalo [-1,1] e a imagem é o intervalo ,0 . Para obtermos o gráfico da função arccos basta lembrarmos que ele é simétrico à função cosseno no intervalo ,0 , em relação à reta y = x: Notas de Cálculo – professor Augusto 57 x y A função arccos(x) é denotada também por cos -1 (x). Poderíamos ter escolhido muitas outras restrições para o domínio da função cosseno, todas objetivando torná-la, nessa restrição, somente crescente ou decrescente. A Função Arctg Restringindo a função tangente ao intervalo 2 , 2 , de forma análoga obtemos o gráfico da função acrtg(x): Notas de Cálculo – professor Augusto 58 A função arctg(x) é denotada também por tg -1(x). Poderíamos ter escolhido muitas outras restrições para o domínio da função tangente, todas objetivando torná-la, nessa restrição, somente crescente ou decrescente. De maneira completamente análoga, podemos definir as inversas das outras três funções trigonométricas. Sempre é preciso tomar cuidado com a restrição do domínio, a fim de obter uma função inversível. x y Notas de Cálculo – professor Augusto 59 Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1) Calcule: a) f(-1) e f(1/2) sendo x2x)x(f 2 b) g(0), g(2) e )2(g sendo 1x x )x(g 2 c) ab )ba(f)ba(f sendo 2x)x(f e 0ab d) ab )ba(f)ba(f sendo 1x3)x(f e 0ab 2) Dê o domínio, a imagem e esboce o gráfico: a) f(x) = 3x b) g(x) = -x c) h(x) = -x +1 d) f(x) = 2x+1 e) g(x) = -2x+3 f) g(x) = 3 g) f(x) = -2 h) 3 5 x 3 1 )x(h i) x 2 1 )x(f j) 2 xse 3, 2 xse x, )x(g k) -1 xse 1,x- -1 xse 2x, )x(f l) 1x)x(h m) 2x)x(f n) x2x)x(f 2 o) x2x4)x(g 2 p) 8x6x)x(g 2 q) 8x6x)x(h 2 r) 2x)x(f 2 s) 9x6x)x(f 2 t) 1x 1x )x(h 2 u) 1x 1x2x )x(g 2 v) x x )x(g Notas de Cálculo – professor Augusto 60 w) 1x 1x )x(g x) 1x2 1x2 )x(f y) h(x) = log(x) z) f(x) = senx aa) g(x) = cosx bb) f(x) = tgx cc) g(x) = senx – 3 dd) h(x) = cosx + 3 ee) f(x) = sen(x-3) ff) g(x) = cos(x+3) 3) A pesca marinha total do mundo em toneladas de peixe foi de 17 milhões em 1950 e 91 milhões de 1996. Qual foi a taxa de variação média na quantidade de pesca marinha? Dê unidades e interprete sua resposta. 4) A tabela abaixo dá a produção mundial de bicicletas para anos escolhidos entre 1950 e 1993. a) Ache a variação na produção de bicicletas entre 1950 e 1990. Dê unidades. b) Ache a taxa média de variação na produção de bicicletas entre 1950 e 1990. Dê unidades e interprete sua resposta em termos da produção de bicicletas. Ano 1950 1960 1970 1980 1990 1993 Produção mundial de bicicletas ( milhões ) 11 20 36 62 90 108 5) A Pepsico Inc. opera dois grandes negócios de refrigerantes e de salgadinhos. A tabela seguinte dá as vendas em milhões de dólares de 1991 1997. a) Ache a variação em vendas entre 1991 a 1995. b) Ache a taxa média de variação nas vendas entre 1991 a 1994. Dê unidades e interprete sua resposta. Ano 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Vendas (milhões) 19.608 21.970 25.021 28.472 30.421 31.645 21.000 6) A Gap Inc. opera cerca de 2.000 lojas de roupas. A tabela seguinte dá o lucro líquido em milhões de dólares de 1990 e 1997. Ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Lucro Líquido (milhões) 144,5 229,9 210,7 258,4 350,2 354,0 452,9 530,0 a) Ache a variação do lucro entre 1993 a 1996. b) Ache a taxa média de variação de um lucro entre 1993 a 1996. Dê unidades e interprete sua resposta. c) De 1990 a 1997, houve intervalos de um ano em que a taxa média de variação foi negativa? Se sim, quando? 7) A tabela seguinte mostra a dívida pública dos E.U.A (em bilhões de dólares) entre 1980 e 1993: Ano Dívida ( $ bilhões ) Ano Dívida ( $ bilhões ) Notas de Cálculo – professor Augusto 61 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 907,7 997,9 1.142,0 1.377,2 1.572,3 1.823,1 2.125,3 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 2.350,3 2.602,3 2.857,4 3.233,3 3.665,3 4.064,6 4.351,2 (a) Ache a variação da dívida pública entre 1980 e 1993. (b) Ache a taxa média de variação da dívida pública entre 1980 e 1993. Dê unidades e interprete sua resposta. 8) Usando a tabela do exercício 5) ache a taxa média de variação da dívida pública E.U.A entre 1980 e 1985 e entre 1985 e 1993. 9) A figura abaixo mostra o valor total das exportações no mundo (mercadorias negociadas internacionalmente), em bilhões de dólares. (a) O valor das exportações é maior em 1990 ou em 1960? Aproximadamente, quanto maior? (b) Avalie a taxa média de variação entre 1960 e 1990. Dê unidades e interprete sua resposta em termos do valor das exportações mundiais. 10) A tabela abaixo mostra a quantia total (em bilhões de dólares) gasta em produtos de tabaco nos EUA. (a) Qual é a taxa média de variação na quantia gasta em produtos de tabacos entre 1987 e 1993? Dê unidades e interprete sua resposta em termos de dinheiro gasto em produtos de tabaco. (b) Durante este período de seis anos, há algum intervalo durante o qual a taxa média de variação foi negativa? Se sim, quando? Ano 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 Despesas com tabaco 35,6 36,2 40,5 43,4 45,4 50,9 50,5 11) A Intel Corporation é importante produtora de circuitos integrados. A tabela seguinte dá as vendas em milhões de dólares de 1990 a 1997. (a) Ache a variação de vendas entre 1991 e 1995. 0 1000 2000 3000 4000 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Notas de Cálculo – professor Augusto 62 (b) Ache a taxa média de variação de vendas entre 1991 e 1995. Dê unidades e interprete sua resposta. (c) Se a taxa média de variação fica constante entre 1995 e 1997, em que ano as vendas atingirão 40.000 milhões de dólares? Ano Vendas ( $ milhões ) Ano Vendas ( $ milhões ) 1990 1991 1992 1993 3.921,3 4.778,6 5.844,0 8.782,0 1994 1995 1996 1997 11.521,0 16,202,0 20.847,0 25.070,0 12) A General Motors é a maior produtora de carros do mundo. A tabela seguinte dá os lucros em milhões de 1987 a 1997. (a) Ache a variação dos lucros entre 1989 e 1997. (b) Ache a taxa média de variação dos lucros entre 1989 e 1997. Dê unidades e interprete sua resposta. (c) De 1987 a 1997, houve intervalos de um ano durante os quais a taxa média de variação foi negativa? Se sim, quando? Ano Receita ($ m) Ano Receita ($ m) 1987 1988 1989 1990 1991 1992 101.782 120.388 123.212 122.021 123.056 132.429 1993 1994 1995 1996 1997 138.220 154.951 168.829 164.069 172.000 13) O número de vendas por mês, S, de um item em promoção num restaurante é função da quantia a gasta em propaganda, p, nesse mês, assim S = f(p). a) Interprete a declaração f(1000) = 3500. b) Qual dos gráficos abaixo mais provavelmente representará essa função? S S i) ii) p p c) O que significa o intercepto vertical no gráfico dessa função, em termos de vendas e propaganda? 14) Seguem quatro funções. Em cada caso ache f(5), de o domínio e o contradomínio: a) f(x) = 2x + 3 b) 2x10)x(f Notas de Cálculo – professor Augusto 63 c) f(x) x d) x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 2,3 2,8 3,2 3,7 4,1 4,9 5,6 6,2 15) Seja 2x)x(fy 2 . a) Ache o valor de y quando x = 0. b) Quanto é f(3)? c) Quais valores de x dão a y o valor 11? d) Existem valores de x que dêem a y o valor 1? 16) Seja f(x) = 3x - 5. a) Quanto é f(1)? b) Ache o valor de y quando x = 5. c) Ache o valor de x quando y = 4. d) Ache a taxa média de variação de f entre x = 2 e x = 4. 17) A posição d = S(t), de um carro é dada na tabela abaixo: t (Seg.) 0
Compartilhar