Buscar

Q4 AD1 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 2016 2 Gabarito

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

AD1 - GABARITO DA QUESTA˜O 4 - 2016–2
Questa˜o 4 [2,5 pontos]
Para a pro´xima black friday, as Lojas Tabajaras S.A. estudam a possibilidade de dar um grande des-
conto no prec¸o de um certo modelo de televisa˜o. O percentual deste desconto ainda na˜o foi definido
pela equipe de marketing, e e´ denotado apenas por d%. Pore´m, para que tal desconto na˜o pese
muito em seu faturamento, as Lojas Tabajaras pretendem aumentar, alguns meses antes, o prec¸o da
mesma televisa˜o, em um percentual a%.
Determine o valor m´ınimo de a para que, apo´s o aumento de a% e o desconto de d% da black friday,
o prec¸o da televisa˜o na˜o seja inferior a 80% do prec¸o inicial.
Atenc¸a˜o!!! Observe que a resposta que voceˆ encontrara´ estara´ em func¸a˜o de d, isto e´, inevitavel-
mente o d aparecera´ em sua resposta.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P o prec¸o da televisa˜o antes do aumento e do desconto da black friday
(tambe´m conhecida como black fraude!).
Vamos inicialmente interpretar nosso problema, enquanto identificamos o que e´ dado e o que esta´
sendo pedido.
Temos um certo modelo de televisa˜o que possui um prec¸o inicial P . Este prec¸o P sofrera´ um aumento
de a%, e a televisa˜o tera´ um prec¸o novo, que chamaremos de Pa. Durante a black friday, este novo
prec¸o Pa, sofrera´ um desconto de d%, e a televisa˜o passara´ aa ter prec¸o final, que chamaremos de
Pf . Deseja-se que o prec¸o final Pf na˜o seja inferior a 80% do prec¸o inicial P . Em outras palavras,
queremos que o prec¸o final Pf seja maior ou igual a 80% do prec¸o inicial P .
Pronto. Ja´ traduzimos nosso problema. Precisamos agora relacionar nossas varia´veis. Isto na˜o sera´
complicado, pois sabemos que nossas varia´veis foram sendo alteradas atrave´s de aumentos/diminuic¸o˜es
percentuais.
Vamos comec¸ar determinando quem e´ Pa. Observe que Pa resulta de um aumento de a% no prec¸o
inicial P . Desta forma, o prec¸o no Pa e´ obtido efetuando-se um acre´scimo de a% em P . Sendo
assim, apo´s um aumento de a%, novo prec¸o Pa da televisa˜o e´ dado por
Pa = P + a%P = P +
a
100
P =
(
1 +
a
100
)
P =
100 + a
100
P. (1)
Vamos agora descobrir quem e´ Pf . Observe que Pf resulta de um desconto de d% no novo prec¸o
Pa. Portanto, o prec¸o final Pf e´ obtido aplicando-se uma subtrac¸a˜o de d% em Pa. Temos enta˜o,
que apo´s um desconto de d%, o prec¸o final Pf da televisa˜o e´ dado por
Pf = Pa − d%Pa = Pa − d
100
Pa =
(
1− d
100
)
Pa =
100− d
100
Pa. (2)
Observe que nosso objetivo recai em uma relac¸a˜o entre o prec¸o final Pf e o prec¸o inicial P . Entretanto,
na Equac¸a˜o (2) obtivemos Pf em func¸a˜o Pa. Mas, isto na˜o e´ problema, pois, em (1), obtivemos que
Pa em func¸a˜o de P . Substituindo, enta˜o (1) em (2), temos que
Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 4 2
Pf =
100− d
100
Pa =
100− d
100
· 100 + a
100
P =
(100− d)(100 + a)
1002
P.
logo
Pf =
(100− d)(100 + a)
1002
P. (3)
Voltando agora ao nosso objetivo, queremos que Pf na˜o seja inferior a 80% do prec¸o original, isto
e´, queremos que o prec¸o final Pf seja maior ou igual a 80% do prec¸o inicial P . Matematicamente,
nossa condic¸a˜o se traduz em
Pf >
80
100
P. (4)
Substituindo-se na inequac¸a˜o (4) o valor obtido para Pf em (3), temos
(100− d)(100 + a)
1002
P > 80
100
P. (5)
Dividindo-se por P (que e´ positivo) a inequac¸a˜o (5), temos
(100− d)(100 + a)
1002
> 80
100
. (6)
Podemos multiplicar ambos os lados da inequac¸a˜o (6) por 1002, resultando em
(100− d)(100 + a) > 100 · 80. (7)
Observe que a inequac¸a˜o (7), embora apresente uma relac¸a˜o entre a e d, na˜o deixa muito claro qual
deve ser o valor de a para um determinado d dado. Para termos esta relac¸a˜o clara, precisaremos
isolar a. Para isto, temos que dividir por 100− d ambos os lados da inequac¸a˜o. Teremos enta˜o que
nos certificar que 100− d > 0. De fato, como d e´ um desconto percentual, temos que 0 < d < 100.
De fat, se d = 0, na˜o ha´ desconto e se d = 100, a televisa˜o e´ dada e na˜o vendida. Dividindo-se
enta˜o (7) por 100− d (que ja´ sabemos ser positivo), temos
100 + a > 100 · 80
100− d.
Assim,
a > 100 · 80
100− d − 100.
Simplificando, temos
a > 100 · 80− 100(100− d)
100− d
∗
=
100(d− 20)
100− d .
(Observe que em (*), utilizamos que BC − BE = B(C − E), B, C,E ∈ R. No caso, B = 100,
C = 80 e E = 100− d.)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

Outros materiais