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AD1 - GABARITO DA QUESTA˜O 4 - 2016–2 Questa˜o 4 [2,5 pontos] Para a pro´xima black friday, as Lojas Tabajaras S.A. estudam a possibilidade de dar um grande des- conto no prec¸o de um certo modelo de televisa˜o. O percentual deste desconto ainda na˜o foi definido pela equipe de marketing, e e´ denotado apenas por d%. Pore´m, para que tal desconto na˜o pese muito em seu faturamento, as Lojas Tabajaras pretendem aumentar, alguns meses antes, o prec¸o da mesma televisa˜o, em um percentual a%. Determine o valor m´ınimo de a para que, apo´s o aumento de a% e o desconto de d% da black friday, o prec¸o da televisa˜o na˜o seja inferior a 80% do prec¸o inicial. Atenc¸a˜o!!! Observe que a resposta que voceˆ encontrara´ estara´ em func¸a˜o de d, isto e´, inevitavel- mente o d aparecera´ em sua resposta. Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P o prec¸o da televisa˜o antes do aumento e do desconto da black friday (tambe´m conhecida como black fraude!). Vamos inicialmente interpretar nosso problema, enquanto identificamos o que e´ dado e o que esta´ sendo pedido. Temos um certo modelo de televisa˜o que possui um prec¸o inicial P . Este prec¸o P sofrera´ um aumento de a%, e a televisa˜o tera´ um prec¸o novo, que chamaremos de Pa. Durante a black friday, este novo prec¸o Pa, sofrera´ um desconto de d%, e a televisa˜o passara´ aa ter prec¸o final, que chamaremos de Pf . Deseja-se que o prec¸o final Pf na˜o seja inferior a 80% do prec¸o inicial P . Em outras palavras, queremos que o prec¸o final Pf seja maior ou igual a 80% do prec¸o inicial P . Pronto. Ja´ traduzimos nosso problema. Precisamos agora relacionar nossas varia´veis. Isto na˜o sera´ complicado, pois sabemos que nossas varia´veis foram sendo alteradas atrave´s de aumentos/diminuic¸o˜es percentuais. Vamos comec¸ar determinando quem e´ Pa. Observe que Pa resulta de um aumento de a% no prec¸o inicial P . Desta forma, o prec¸o no Pa e´ obtido efetuando-se um acre´scimo de a% em P . Sendo assim, apo´s um aumento de a%, novo prec¸o Pa da televisa˜o e´ dado por Pa = P + a%P = P + a 100 P = ( 1 + a 100 ) P = 100 + a 100 P. (1) Vamos agora descobrir quem e´ Pf . Observe que Pf resulta de um desconto de d% no novo prec¸o Pa. Portanto, o prec¸o final Pf e´ obtido aplicando-se uma subtrac¸a˜o de d% em Pa. Temos enta˜o, que apo´s um desconto de d%, o prec¸o final Pf da televisa˜o e´ dado por Pf = Pa − d%Pa = Pa − d 100 Pa = ( 1− d 100 ) Pa = 100− d 100 Pa. (2) Observe que nosso objetivo recai em uma relac¸a˜o entre o prec¸o final Pf e o prec¸o inicial P . Entretanto, na Equac¸a˜o (2) obtivemos Pf em func¸a˜o Pa. Mas, isto na˜o e´ problema, pois, em (1), obtivemos que Pa em func¸a˜o de P . Substituindo, enta˜o (1) em (2), temos que Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 4 2 Pf = 100− d 100 Pa = 100− d 100 · 100 + a 100 P = (100− d)(100 + a) 1002 P. logo Pf = (100− d)(100 + a) 1002 P. (3) Voltando agora ao nosso objetivo, queremos que Pf na˜o seja inferior a 80% do prec¸o original, isto e´, queremos que o prec¸o final Pf seja maior ou igual a 80% do prec¸o inicial P . Matematicamente, nossa condic¸a˜o se traduz em Pf > 80 100 P. (4) Substituindo-se na inequac¸a˜o (4) o valor obtido para Pf em (3), temos (100− d)(100 + a) 1002 P > 80 100 P. (5) Dividindo-se por P (que e´ positivo) a inequac¸a˜o (5), temos (100− d)(100 + a) 1002 > 80 100 . (6) Podemos multiplicar ambos os lados da inequac¸a˜o (6) por 1002, resultando em (100− d)(100 + a) > 100 · 80. (7) Observe que a inequac¸a˜o (7), embora apresente uma relac¸a˜o entre a e d, na˜o deixa muito claro qual deve ser o valor de a para um determinado d dado. Para termos esta relac¸a˜o clara, precisaremos isolar a. Para isto, temos que dividir por 100− d ambos os lados da inequac¸a˜o. Teremos enta˜o que nos certificar que 100− d > 0. De fato, como d e´ um desconto percentual, temos que 0 < d < 100. De fat, se d = 0, na˜o ha´ desconto e se d = 100, a televisa˜o e´ dada e na˜o vendida. Dividindo-se enta˜o (7) por 100− d (que ja´ sabemos ser positivo), temos 100 + a > 100 · 80 100− d. Assim, a > 100 · 80 100− d − 100. Simplificando, temos a > 100 · 80− 100(100− d) 100− d ∗ = 100(d− 20) 100− d . (Observe que em (*), utilizamos que BC − BE = B(C − E), B, C,E ∈ R. No caso, B = 100, C = 80 e E = 100− d.) Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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