TEORIA DE CONTROLE PUCMG

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8_Teoria_Controle/116896_Exerc�cios Sugeridos do Livro do Nise.doc
EXERCÍCIOS SUGERIDOS DE CADA CAPÍTULO DO LIVRO TEXTO
Norman S. Nise
Capítulo 1: 3, 4, 5, 8, 9, 11 e 12.
Capítulo 2: a partir da página 81: 7, 8, 16, 17, 18, 20, 21, 24, 26, 30, 33, 45 e 48.
Capítulo 3: a partir da página 116: 1, 3, 6, 9, 19, 20 e 21,.
Capítulo 4: a partir da página 175: 52, 53, 59 e 61.
Capítulo 5: a partir da página 221: 1, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 26, 27 e 38.
Capítulo 7: a partir da página 291: 1,3, 9, 14, 16, 17, 22, 29, 30, 31, 33, 34, 37, 39, 43, 44 e 45.
8_Teoria_Controle/119775_1� Exercio_Aula on line FORMATADO.doc
Exercício de Aula On Line
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou fechada, justificando. 
Descreva o funcionamento passo-a-passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´. (04 pontos)
Desenhar o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, usando os conceitos do Capítulo 01. (06 pontos)
Solução:
a)
1. Pretende-se controlar o nível de água de um reservatório (reservatório 1) usando para tal um conjunto ´N´ de válvulas que são válvulas de saída de um outro reservatório (reservatório 2).
Uma bóia mede o nível do reservatório 1, enviando uma posição da coluna de nível real a um potenciômetro que varia a tensão proporcionalmente. Tal tensão é comparada com uma tensão de referência r(t) de outro potenciômetro e desta comparação obtém-se um sinal de erro de tensão e(t) que é o sinal de entrada do controlador. O controlador recebe o sinal de erro, manda um sinal de controle na saída, ei(t) que é amplificado com um ganho Ka, dando na saída do amplificador uma tensão ea(t) que excitará uma motor, cuja a força eletromotriz é eb(t) e o ângulo de variação angular no seu eixo é Θm (teta m). Esta posição angular no eixo do motor através de um trem de engrenagens é transformada na posição teta c que posiciona as cargas que são as válvulas. O sistema é de Malha fechada, pois possui a bóia que é um sensor que fecha a realimentação.
Ou
2. O diagrama esquemático mostrado na Fig. 1 representa um sistema de controle cujo objetivo é manter o nível do líquido do tanque em um nível fixado. O nível de líquido é controlado por uma bóia cuja posição é conectada a um terminal de potenciômetro detetor de erro. O sinal de erro entre o nível de referência e o nível real do líquido entra no controlador, cuja função de transferência é G(s). Os parâmetros do sistema são:
b) 
�
Segunda Parte do Exercício:
Considerando:
Desenhar um diagram de blocos do sistema total mostrando a relação funcional entre as funções de transferência.
Suponha a função de transferência do controlador, Gc(s), unitária. Determinar a função de transferência em malha aberta G(s) = H(s)E(s) e a função de transferência em malha fechada M(s) = H(s)/R(s). Determinar a equação característica do sistema em malha fechada. Note que todos os parâmetros do sistema são especificados, exceto N, o número de entradas.
Como um dos pólos da função de transferência de malha aberta está bastante à esquerda (relativamente) sobre o eixo real negativo no plano s (constante de tempo muito pequena), é razoável desprezar este pólo quando se trata da resposta transitória. Aproxime a função de transferência de malha aberta, de terceira ordem, G(s), por uma função de transferência de segunda ordemdesprezando adequadamente o pólo com a “menor” constante de tempo. Uma vez que temos um sistema de segunda ordem, podemos usar as equações do texto para estimar o máximo sobressinal e o instante de pico t(max). Calcule o sobressinal máximo e o instante de pico para o sistema aproximado de segunda ordem obtido, com N=2 e N=8.
Obtenha a resposta a degrau unitário do sistema aproximado de segunda ordem com N=2 e N=8. Compare o sobressinal máximo e o instante de pico com os resultados obtidos na parte ( c ).
Obtenha as respostas a degrau unitário do sistema dwe terceira ordem em malha fechada (incluindo o terceiro polo) com N=2 e N=8. Suponha condições iniciais nulas. Compare os sobressinas máximos e os instantes de pico com aqueles do sistema de segunda ordem. Compare também as respostas a degrau unitário. O que se pode dizer sobre a aproximação de segunda ordem? Como os valores aproximados dependem de N?
Solução:
Diagrama de Blocos:
Controlador
Amplificador
Motor
Trem de Engrenagens
Válvulas
Reservatório 
 1
 Bóia
8_Teoria_Controle/140039_Exerc�cio tanque frente.pdf
8_Teoria_Controle/140040_Exerc�cio tanque verso.pdf
8_Teoria_Controle/140042_Exerc�cio suspens�o.pdf
8_Teoria_Controle/183820_1� TP_12.doc
Trabalho Prático 
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou fechada, justificando. 
Descreva como o funcionamento passo a passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´. (04 pontos)
Desenhar o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, usando os conceitos do Capítulo 01. (06 pontos)
�
�
�
8_Teoria_Controle/207527_Sistema com Dist�rbio 05_2009.pdf
8_Teoria_Controle/595907_Links Gabaritos Provas.doc
http://dl.dropbox.com/u/57276722/1%C2%AA%20Prova%20An%C3%A1lise%20Presencial.rar
http://dl.dropbox.com/u/57276722/1%C2%AA%20Prova%20Automa%C3%A7%C3%A3o.rar
8_Teoria_Controle/595908_link Gabaritos_Virtual.doc
A Matéria da 1ª Prova de Análise de Sistemas Lineares I é:
Capítulo 1: Descrição de sistemas, Diagrama em Blocos e Análise em Malha Aberta e Malha fechada!
Capítulo 2: Função de Transferência, Diagrama em Blocos (simplificação).
Capítulo 3: Representação de sistemas em Espaço de Estados e Sistemas Análogos.
Será permitido o uso de Calculadora!
Anexado à prova terá um Formulário!
Estudem pelo livro e vejam no link abaixo Gabaritos de Provas Anteriores!
http://dl.dropbox.com/u/57276722/Gabaritos.rar
http://dl.dropbox.com/u/57276722/Atividade%20I.rar
http://dl.dropbox.com/u/57276722/Gabaritos.rar
http://dl.dropbox.com/u/57276722/Atividade%20I.rar
http://www.4shared.com/get/ILg31JCR/exerc_lineares.html 
8_Teoria_Controle/617368_1� TP_11.doc
11.
Trabalho Prático 
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou fechada, justificando. 
Descreva como o funcionamento passo a passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´. (04 pontos)
Desenhar
o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, usando os conceitos do Capítulo 01. (06 pontos)
�
8_Teoria_Controle/617372_1� TP_14.doc
14.
Trabalho Prático 
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou fechada, justificando. 
Descreva como o funcionamento passo a passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´. (04 pontos)
Desenhar o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, usando os conceitos do Capítulo 01. (06 pontos)
�
�
�
8_Teoria_Controle/617373_1� TP_21.doc
21.
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou Fechada, justificando. 
Descreva como o funcionamento passo a passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´! (04 pontos)
Desenhar o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, utilizando os conceitos do capítulo 1. (06 pontos)
8_Teoria_Controle/639819_Norman Nise - Exerc�cios.rar
8_Teoria_Controle/677202_Respostas exerc�cios cap 1 feitos em sala.rar
8_Teoria_Controle/760394_EXERC�CIOS SUGERIDOS DO LIVRO DO DORF.doc
EXERCÍCIOS SUGERIDOS DO LIVRO DO DORF, 
2001, 8ª EDIÇÃO
Capítulo 1: Página 19: E1.1, E1.4 e E1.7
 Página 20: P1.2, 1.3, 1.5 1.6
 Página 21: P1.9, 1.10, 1.11
 Página 22: P1.13, 1.18, 1.19, 1.20
Capítulo 2: Página 76: E2.4, 2.5
 Página 77: E2.8, 2.9, 2.10
 Página 78: E2.13, 2.14, 2.15, 2.18, 2.21
 Página 79: E2.23, 2.25, 2.26, 2.28
 Página 80: E2.29 P2.1, 2.2, 2.3
 Página 81: P2.7, 2.11
 Página 84: P2.26
 Página 85: P2.32, 2.34, 2.35
Capítulo 4: Página 166: E4.1, 4.2, 4.3, 4.4
 Página 168: P4.2
 Página 169: P4.5
 Página 170: P4.8
 Página 171: P4.11
 Página 173: P4.17
 Página 175: PA 4.5, 4.6
Capítulo 5: Página 218: E5.4,5.5
 Página 219: E5.9, 5.12, 5.13
 Página 220: E5.16
 Página 221: P5.4
 Página 222: P5.6
 Página 224: P5.19
 Página 226: PP5.2
8_Teoria_Controle/87361_Exercicio 1.JPG
8_Teoria_Controle/87362_Exercicio 2 - pag1.JPG
8_Teoria_Controle/87363_Exercicio 2 - pag2.JPG
8_Teoria_Controle/916_C7_lista de nivelamento.doc
			
 LISTA DE EXERCÍCIOS DE NIVELAMENTO
PROFa. ROSELY CAMPOS
É importante que o aluno estude pelo livro!
Encontre a Transformada de Laplace Y(s) das equações abaixo, considerando as condições iniciais nulas.
1º) 
2º) 
3º) 
4º) 
5º) 
Encontre a Transformada de Laplace Y(s) das equações abaixo, considerando as condições iniciais nulas.
6º) 
7º) 
8º) 
�� EMBED Equation.3 
9º) 
�� EMBED Equation.3 
_1137332642.unknown
_1137332811.unknown
_1137332962.unknown
_1137332978.unknown
_1137333113.unknown
_1137332934.unknown
_1137332745.unknown
_1137332528.unknown
_1137332567.unknown
_1137332440.unknown
8_Teoria_Controle/986971_LR.pdf
Capítulo 4
O método do lugar das raízes
4.1 Introdução
Neste capítulo é apresentado o método do lugar das raízes, que consiste basicamente em
levantar a localização dos pólos de um sistema em malha fechada em função da variação
de um parâmetro K.
O projeto de controladores envolve sempre a escolha da localização de pólos e ze-
ros do sistema emmalha fechada, que deve ser traduzida através da escolha da estrutura
do controlador e dos seus parâmetros (Como em controlares P, PI, PD e PID).
Desta forma, a utilização do lugar das raízes pode ser útil no projeto de contro-
ladores pois neste pode-se observar a movimentação dos pólos em malha fechada a
medida que um parâmetro K varia.
Ao final apresenta-se exemplos da utilização do método do lugar das raízes para o
projeto de controladores.
4.2 O método do lugar das raízes
Considere o seguinte sistema em malha fechada ilustrado na Figura 4.1
E(s)R(s) Y(s)H(s)
Controlador
G(s)
Planta
−
+
referencia
saida
U(s)
Figura 4.1. Sistema de controle em malha fechada.
A equação em malha fechada deste sistema pode ser escrita como:
Y(s)
R(s)
= G(s)H(s)
1+G(s)H(s).
Os pólos em malha fechada deste sistema podem ser encontrados resolvendo-se a se-
guinte equação característica:
1+G(s)H(s) = 0,
ou
G(s)H(s) = −1.
53
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Figura 4.2. (a),(b): ângulos de dois pontos de teste em relação os pólos e zeros de
G(s)H(s).
Como G(s)H(s) é um número complexo, podemos escrever as seguintes equações:
Condição do ângulo: ∠G(s)H(s) = ±180o(2∗ k+ 1) (k = 0,1,2, . . .)
Condição do módulo: |G(s)H(s)| = 1.
Em muitos casos G(s)H(s) envolve um ganho K:
1+K (s + z1)(s + z2) . . . (s + zm)
(s + p1)(s + p2) . . . (s + pn)
= 0.
Para começarmos a esboçar o lugar das raízes é necessário conhecer os pólos e
zeros de G(s)H(s). Os ângulos de qualquer ponto s em relação aos pólos e zeros de
G(s)H(s) devem ser medidos no sentido anti-horário.
O lugar das raízes é um gráfico que fornece as raízes em malha fechada no plano s
em função da variação de K (0 < K <∞).
Por exemplo, seja o seguinte sistema:
K(s + z1)
(s + p1)(s + p2)(s + p3)(s + p4)
,
onde −p2 e −p3 são pólos complexos conjugados. Podemos escrever a condição de
ângulo como a seguir:
∠G(s)H(s) = φ1 − θ1 − θ2 − θ3 − θ4,
A Figura 4.2 ilustra os ângulos para dois pontos de teste distintos.
A condição do módulo é dada por:
|G(s)H(s)| = KB1
A1A2A3A4
.
onde A1, A2, A3, A4 e B1 são os módulos das grandezas complexas, s+p1, s+p2, s+p3,
s + p4 e s + z1, como pode ser observado na Figura 4.2(a).
Note que pelo fato dos pólos complexos conjugados ou zeros complexos conjuga-
dos (se existirem) serem simétricos, o lugar das raízes também é simétrico em relação
ao eixo real σ .
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 54 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Exemplo 4.1 Suponha que desejamos construir o lugar das raízes do sistema
de controle em malha fechada ilustrado na Figura 4.1. Onde:
G(s) = K
s(s + 1)(s + 2) ,
e
H(s) = 1.
Deseja-se construir
o lugar das raízes para se determinar o valor K tal que
o coeficiente de amortecimento ζ de um par de pólos complexos conjugados
dominantes seja igual a ζ = 0.5.
A condição do ângulo pode ser escrita como:
∠G(s)H(s) = ∠ K
s(s + 1)(s + 2) ,
= −∠s − ∠(s + 1)− ∠(s + 2),
= ±180o(2k+ 1) (k = 0,1,2, . . .).
A condição do módulo pode ser escrita como:
|G(s)| =
∣∣∣∣ Ks(s + 1)(s + 2)
∣∣∣∣ = 1.
O lugar das raízes pode agora ser construído através dos seguintes passos:
Passo 1: Determinar o lugar das raízes sobre o eixo real O primeiro passo
para a construção do lugar das raízes é a localização dos pólos emmalha aberta,
s = 0, s = −1, s = −2 no plano complexo (não existem zeros neste caso). Note
que os pontos de partida do lugar das raízes são as raízes de G(s)H(s). O
número de trechos do lugar das raízes é três o que equivale ao número de
pólos em malha aberta.
Vamos admitir alguns pontos de teste:
• Vamos supor que o ponto de teste se encontra na região positiva, i.e.,
s = σ > 0. Para qualquer ponto s = σ > 0 temos:
∠s = ∠(s + 1) = ∠(s + 2) = 0o.
Desta forma, a condição de ângulo para s = σ > 0 não é satisfeita.
• Para s = −1 < σ < 0 temos:
∠s = 180o,
∠(s + 1) = ∠(s + 2) = 0o.
Desta forma:
−∠s − ∠(s + 1)− ∠(s + 2) = −180o .
Logo, o trecho −1 < σ < 0 pertence ao lugar das raízes.
• Para s = −2 < σ < −1 temos
∠s = 180o ,
∠(s + 1) = 180o,
∠(s + 2) = 0o.
Desta forma:
−∠s − ∠(s + 1)− ∠(s + 2) = −360o .
Logo, o trecho −2 < σ < −1 não pertence ao lugar das raízes.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 55 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
• Para s = −∞ < σ < −2 temos
∠s = 180o ,
∠(s + 1) = 180o,
∠(s + 2) = 180o.
Desta forma:
−∠s − ∠(s + 1)− ∠(s + 2) = −3× 180o.
Logo, o trecho −∞ < σ < −2 pertence ao lugar das raízes
Portanto, no eixo real o lugar das raízes existe entre −1 < σ < 0 e −∞ <
σ < −2.
Passo2: Determinar as assíntotas no lugar das raízes Se o ponto de teste
está localizado longe da origem então:
lim
s=∞G(s) = lims=∞
K
s(s + 1)(s + 2) = lims=∞
K
s3
,
ou seja, a condição do ângulo pode ser escrita como:
−3∠s = ±180o(2k+ 1) (k = 0,1,2, . . .).
A equação do ângulo das assíntotas pode então ser escrita como:
ângulo das assíntotas = ±180
o(2k+ 1)
3
k = 0,1,2, . . ..
Os ângulos são portanto: 60o,−60o, e 180o.
Na Seção 4.3 a fórmula genérica da determinação do ângulo das assíntotas
é deduzida. Para qualquer sistema as assíntotas podem ser calculadas através
da seguinte equação:
ângulo das assíntotas = ±180
o(2k+ 1)
n−m k = 0,1,2, . . ..
Onde:
• n = número de pólos finitos de G(s)H(s),
• m = número de zeros finitos de G(s)H(s).
O ponto de intersecção das assíntotas σa pode ser calculado como a seguir:
σa = an−1 − bm−1
n−m .
Onde (Veja Equação 2.48):
an−1 =
∑
pólos em malha aberta,
bm−1 =
∑
zeros em malha aberta.
Na Seção 4.3 apresenta-se uma dedução completa desta equação.
Para o sistema em questão temos:
σa = an−1 − bm−1
n−m =
−3− 0
3− 0 = −1.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 56 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Passo 3: Cálculo do ponto de saída do eixo real (breakway point) O ponto
de saída do eixo imaginário se encontra entre os pólos de malha aberta s = 0 e
s = −1 e corresponde a um ponto onde os pólos são duplos.
O ponto de saída do eixo real pode ser determinado através da seguinte
equação3:
dK
ds
= 0.
Para o sistema em questão, a equação característica pode ser representada
como:
1+G(s)H(s) = 1+ K
s(s + 1)(s + 2) = 0,
o que resulta em:
K = −(s3 + 3s2 + 2s).
Calculando a derivada, obtemos:
dK
ds
= −(3s2 + 6s + 2) = 0.
As raízes desta equação de 2a. ordem são: s = −0.4226 que corresponde a
K = 0.3849, e s = −1.5774 que corresponde a K = −0.3849. Note que a raiz
s = −1.5774 não pode ser a solução pois corresponde a um ganho negativo.
Por outro lado, sabemos que a solução está no intervalo [−1,0], logo a solução
é dada por s = −0.4226.
Passo 4: Determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo ima-
ginário Esses pontos podem ser encontrados, utilizando o critério de estabi-
lidade de Routh-Hurwitz, já que o ponto de cruzamento representa o ponto de
transição de uma região estável para uma região instável.
A equação característica é dada por:
s3 + 3s2 + 2s +K = 0.
A tabulação de Routh-Hurwitz é a seguinte:
s3 1 2
s2 3 K
s1 6−K3
s0 K
Para que o sistema seja estável a primeira coluna deve conter todos os elemen-
tos com o mesmo sinal, então concluímos neste caso que todos os elementos
devem ser positivos. Na linha referente a s1, temos 6−K3 > 0 ⇒ K < 6. Ou seja,
K = 6 é o valor de transição.
A solução para o problema, pode ser encontrado adotando o valor K = 6 e
3Na Seção 4.3 apresenta-se a dedução desta equação.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 57 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
a equação auxiliar referente a s2:
3s2 + K = 0⇒
3s2 + 6 = 0 ⇒
s2 = −2 ⇒
s = ±j
√
2.
Passo 5: Escolher pontos de teste na vizinhança do eixo jω e da origem
Escolha um ponto de teste na vizinhança do eixo jω e da origem como ilustrado
na Figura 4.3.
Figura 4.3. Escolha de um ponto de teste.
Verifique a condição de ângulo, caso não seja satisfeita escolha um outro
ponto. Determine um número de pontos suficiente para traçar o lugar das
raízes.
Passo 6: Desenhe o lugar das raízes A Figura 4.4 ilustra o lugar das raízes
resultante.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 58 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Figura 4.4. Lugar das raízes para G(s)H(s) = K/s(s + 1)(s + 2).
Passo 7: Determinar o par de pólos complexos conjugados para ζ = 0.5
Sabemos que cosβ = ζ (veja Figura 4.5), logo temos:
β = cos−1 0.5 = ±60o.
Ou seja, a solução do problema pode ser determinada pela intersecção entre
retas com um ângulo de 60o em relação ao eixo real e o lugar das raízes.
Os pólos correspondentes podem ser determinados no gráfico:
s1 = −0.3337 + j0.5780,
s2 = −0.3337 − j0.5780.
Para descobrir o valor de K correspondente podemos utilizar a condição de
módulo:
|G(s)H(s)| =
∣∣∣∣ Ks(s + 1)(s + 2)
∣∣∣∣ = 1 ⇒
|K| = |s(s + 1)(s + 2)|s=−0.3337+j0.5780 ⇒
K = 1.0383.
Com este valor de K é possível achar o terceiro pólo em s = −2.3326.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 59 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Figura 4.5. Pólos complexos e grandezas associadas.
Exemplo 4.2 Considere um sistema de controle em malha fechada ilustrado na
Figura 4.1 onde:
G(s) = K(s + 2)
s2 + 2s + 3 ,
e
H(s) = 1.
A função de transferência em malha aberta possui um par de pólos com-
plexos conjugados em −1 ± j√2. Determinar o lugar das raízes para este sis-
tema.
Passo 1: Determinar o lugar das raízes no eixo real Para qualquer ponto de
teste no eixo real a contribuição dos pólos complexos conjugados é 360o (veja
Figura 4.6). Ou seja, θ1 + θ2 = 360o.
Figura 4.6. Determinação do lugar das raízes no eixo real.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 60 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
é fácil verificar que o trecho no eixo real correspondente a s = −∞ < σ <
−2 pertence ao lugar das raízes já que:
∠G(s)H(s) = ∠
(
K(s + 2)
s2 + 2s + 3
)
,
= ∠(s + 2)− ∠(s2 + 2s + 3),
= ∠(s + 2)− 360o,
= ±180o(2k+ 1) k = 0,1,2,3, . . .
Passo 2: Determinar o ângulo de partida em relação ao par de pólos
com-
plexos conjugados é importante determinar neste caso, o ângulo de partida
do lugar das raízes em relação ao par de pólos complexos conjugados.
Vamos supor um ponto de teste ao redor (muito próximo) de s = −p1 (veja
Figura 4.7).
Figura 4.7. Determinação do ângulo de partida.
Se o ponto s pertence ao lugar das raízes, então deve satisfazer a condição
de ângulo.
φ′1 − (θ1 + θ′2) = ±180o(2k+ 1),
ou
θ1 = 180o − θ′2 +φ′1 = 180o − θ2 +φ1.
Se o ponto s está na vizinhança de p1 então podemos admitir que:
−θ′2 +φ′1 ≈ −θ2 +φ1.
Logo,
θ1 = 180o − θ2 +φ1 ≈ 180o − 90o + 55o = 145o.
Como o lugar das raízes é simétrico, o ângulo de partida em p2 é 145o.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 61 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Passo 3: Determinar o ponto de chegada no eixo real (break-in point) Sa-
bemos que o lugar das raízes deve se encontrar no eixo real num ponto corres-
pondente a um pólo duplo.
Podemos resolver este problema podemos utilizar:
dK
ds
= 0.
A equação característica do sistema é dada por:
1+G(s)H(s) = 1+ K(s + 2)
s2 + 2s + 3 = 0⇒ K = −
−(s2 + 2s + 3)
s + 2 .
Caculando a derivada obtemos:
dK
ds
= −(2s + 2)(s + 2)− (s
2 + 2s + 3)
(s + 2)2 = 0 ⇒
= −2s
2 + 4s + 2s + 4− s2 − 2s − 3
(s + 2)2 = 0 ⇒
= −s
2 + 4s + 1
(s + 2)2 = 0.
A equação característica é dada então por:
s2 + 4s + 1 = 0.
As raízes são dadas por:
• s = −3.732 ⇒ K = 5.4641: pertence ao lugar das raízes.
• s = −0.2680 ⇒ K = −1.4641 não pertence ao lugar das raízes.
Então o ponto de chegada é dado por s = −0.3732.
Passo 4: Desenhe o lugar das raízes Aqui, devemos testar vários pontos no
plano s para tentar se determinar o lugar das raízes. Para este caso, entretanto,
sabemos que o lugar das raízes na região dos pólos complexos conjugados
descreve um círculo.
Para se derivar a equação do círculo vamos escrever incialmente a condição
do ângulo:
∠(s + 2)− ∠(s + 1− j
√
2)− ∠(s + 1+ j
√
2) = ±180o(2k+ 1).
Substituindo s = σ + jω obtemos:
∠(σ + 2+ jω)−∠(σ + 1+ jω− j
√
2)−∠(σ + 1+ jω+ j
√
2) = ±180o(2k+1).
Esta equação pode ser escrita como:
tan−1
(
ω
σ + 2
)
− tan−1
(
ω−√2
σ + 1
)
− tan−1
(
ω+√2
σ + 1
)
= ±180o(2k+ 1).
ou
tan−1
(
ω−√2
σ + 1
)
+ tan−1
(
ω+√2
σ + 1
)
= tan−1
(
ω
σ + 2
)
± 180o(2k+ 1).
Tomando a tangente de ambos os lados e utilizando a seguinte relação:
tan(x ± y) = tanx ± tany
1∓ tanx tany ,
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 62 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
obtemos:
tan
[
tan−1
(
ω−√2
σ + 1
)
+ tan−1
(
ω+√2
σ + 1
)]
= tan
[
tan−1
(
ω
σ + 2
)
± 180o(2k+ 1)
]
.⇒
(
ω−√2
σ+1
)
+
(
ω+√2
σ+1
)
1−
(
ω−√2
σ+1
) (
ω+√2
σ+1
) = ωσ+2 ± 0
1∓ ω
σ+2 × 0
⇒
2ω(σ + 1)
(σ + 1)2 − (ω2 − 2) =
ω
σ + 2 ⇒
ω
[
(σ + 2)2 +ω2 − 3
]
= 0
Desta forma: 

ω = 0
ou
(σ + 2)2 +ω2 = (√3)2.
Obtemos portanto uma equação de um círculo de raio (
√
3)2 e centro em (−2,0).
A Figura 4.8 ilustra o lugar das raízes resultante.
Figura 4.8. Lugar das raízes resultante.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 63 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
4.3 Um resumo das regras gerais para a construção do
lugar das raízes
Inicialmente deve-se partir da equação característica:
1+G(s)H(s) = 0.
Esta equação deve agora ser rearranjada da seguinte forma:
1+K (s + z1)(s + z2)+ . . .+ (s + zm)
(s + p1)(s + p2)+ . . .+ (s + pn)
= 0,
onde K > 0.
Passo1: localizar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano s O lugar das raízes começa
em pólos de malha aberta e termina em zeros (zeros finitos ou infinitos4.).
Note que o lugar das raízes é sempre simétrico em relação ao eixo real no plano s,
devido ao fato que pólos complexos e zeros complexos são sempre pares conjugados.
Os pontos de partida do lugar das raízes são pólos em malha aberta e correspon-
dem a K = 0. Isto pode ser observado pela condição do módulo, |G(s)H(s)| = 1 fazendo
o valor de K tender a zero:
lim
K→0
∣∣∣∣∣ (s + z1)(s + z2)+ . . .+ (s + zm)(s + p1)(s + p2)+ . . .+ (s + pn)
∣∣∣∣∣ = limK→0
1
K
= ∞.
Esta equação implica que quando K tende a 0 o valor de s deve se aproximar dos pólos
em malha aberta.
Portanto, cada lugar das raízes se origina em um pólo da função de transferência
em malha aberta G(s)H(s). Quando K aumenta para infinito, cada lugar das raízes deve-
se aproximar de um zero da função de transferência em malha aberta ou infinito no
plano s. Isto pode ser concluído através da observação da seguinte equação:
lim
k→∞
∣∣∣∣∣ (s + z1)(s + z2)+ . . .+ (s + zm)(s + p1)(s + p2)+ . . .+ (s + pn)
∣∣∣∣∣ = limK→∞
1
K
= 0.
Portanto, no infinito, o valor de s deve se aproximar de um zero finito de malha aberta
ou um zero de malha aberta infinito.
O lugar das raízes terá tantos pedaços quanto forem o número de raízes da equação
característica. Se o número de raízes em malha aberta é igual ao número de raízes em
malha fechada (eventualmente em malha fechada pólos e zeros podem se cancelar) o
número de pedaços terminando em zeros finitos é igual ao númerom de zeros emmalha
aberta. Os n−m pedaços restantes terminam no infinito, tangenciando as assíntotas.
Passo 2: determinar a localização do lugar das raízes no eixo real O lugar das raízes
no eixo real é determinado através dos pólos e zeros em malha aberta que estão sobre
o mesmo. Os pólos e zeros complexos conjugados de malha aberta não tem influência
sobre o lugar das raízes no eixo real porque a contribuição à condição do ângulo de
pólos e zeros complexos conjugados é de 360o.
Cada porção do lugar das raízes no eixo real, se estende de um pólo ou zero em
malha aberta para outro pólo ou zero em malha aberta.
Ao se escolher um ponto de teste s no eixo real, se o número de pólos e zeros reais
à direita do ponto de teste for ímpar então este ponto faz parte do lugar das raízes.
Passo3: determinar as assíntotas do lugar das raízes Se o ponto de teste está loca-
lizado longe da origem então o ângulo de cada pólo complexo pode ser considerado o
4um sistema possui um número de zeros no infinito equivalente ao excesso de pólos, ou seja, n−m
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 64 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
mesmo. As assíntotas podem ser calculadas através da seguinte equação:
ângulo das assíntotas = ±180
o(2k+ 1)
n−m k = 0,1,2, . . ..
Onde:
• n = número de pólos finitos de G(s)H(s),
• m = número de zeros finitos de G(s)H(s).
O ponto de intersecção das assíntotas σa pode ser calculado como a seguir. Consi-
derando a equação característica do sistema em malha fechada:
1+G(s)H(s) = 0.
Que pode ser escrito também como:
1+ Ks
m + bm−1sm−1 + . . .+ b0
sn + an−1sn−1 + . . .+ a0
= 0, (4.1)
para valores grandes de s podemos considerar apenas os termos de maior ordem. Dessa
forma podemos escrever:
1+Ks
m
sn
= 0.
Desta aproximação resultam n −m assíntotas com início em s = 0. Uma aproximação
mais razoável é considerar que as assíntotas cruzam o eixo real num ponto denominado
σa:
1+K 1
(s −σa)n−m = 0.
Expandindo o denominador e tomando os dois termos de maior grau resulta em:
1+ K 1
sn−m + (n−m)σn−m−1a
= 0. (4.2)
Voltando à Equação 4.1, dividindo o denominador
pelo numerador obtemos:
1+ K 1
sn+an−1sn−1+...+a0
sm+bm−1sm−1+...+b0
= 0,
A divisão dos polinômios:
sn + an−1sn−1 + . . .+ a0
sm + bm−1sm−1 + . . .+ b0
,
considerando os dois primeiros termos do numerador e denominador é dada por:
sn + an−1sn−1
sm + bm−1sm−1
= sn−m + (an−1 − bm−1)sn−m−1 + (am−1 − bm−1)bm−1s
n−1
sm + bm−1sm−1
.
Desprezando a parte correspondente ao resto da divisão, a equação característica pode
então ser escrita como:
1+ K 1
sn−m + (an−1 − bm−1)sn−m−1
= 0. (4.3)
Comparando as Equações 4.2 e 4.3 obtemos:
an−1 − bm−1 = (n−m)σa,
então:
σa = an−1 − bm−1
n−m .
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 65 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Onde (Veja Equação 2.48):
an−1 =
∑
pólos em malha aberta,
bm−1 =
∑
zeros em malha aberta.
Passo 4: calcular os pontos de chegada (break-in) e de partida (breakaway) no eixo
real Se o lugar das raízes se encontra entre duas raízes de malha aberta no eixo real
então existe pelo menos um ponto de partida entre os dois pólos.
Similarmente se o lugar das raízes se encontra entre dois zeros de malha aberta (um
dos zeros pode estar em −∞) então sempre existirá pelo menos um ponto de chegada
entre os dois zeros.
Se o lugar das raízes se encontra entre um pólo de malha aberta e um zero (finito
ou infinito) no eixo real, então pode não existir um ponto de chegada ou partida, ou
podem existir ambos.
Os pontos de chegada ou partida podem ser determinados como a seguir. Inicial-
mente escrevemos a equação característica da seguinte forma:
f(s) = B(s)+KA(s) = 0, (4.4)
onde A(s) e B(s) não contêm K. Devemos notar que f(s) tem múltiplas raízes onde:
df(s)
ds
= 0.
Isto pode ser comprovado observando a seguinte equação característica onde s1 é uma
raiz com multiplicidade r . Então f(s) pode ser escrito como:
f(s) = (s − s1)r (s − s2) . . . (s − sn).
Se esta equação for diferenciada com respeito a s e calculada no ponto s1, então:
df(s)
ds
∣∣∣∣
s=s1
= 0. (4.5)
Isto significa que os pólos múltiplos satisfazem a Equação 4.5.
Vamos agora diferenciar a Equação 4.4,
df(s)
ds
= B′(s)+ KA′(s) = 0, (4.6)
onde:
A′(s) = dA(s)
ds
,
e
B′(s) = dB(s)
ds
.
O valor particular K que possui raízes múltiplas é obtido através da Equação 4.6
como:
K = −B
′(s)
A′(s)
. (4.7)
Substituindo o valor de K dado pela Equação 4.7 na Equação 4.4 obtemos:
f(s) = B(s)− B
′(s)
A′(s)
A(s) = 0,
ou
B(s)A′(s)− B′(s)A(s) = 0. (4.8)
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 66 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Se esta equação for resolvida para s a raiz múltipla pode ser encontrada. Por outro lado,
da Equação 4.4 obtemos:
K = −B(s)
A(s)
,
calculando a derivada obtemos:
dK
ds
= −B
′(s)A(s)− B(s)A′(s)
A2(s)
.
Se para esta equação for imposto que dK/ds = 0 então obtemos a mesma equação que
a Equação 4.8. Desta forma os pontos de chegada ou partida podem ser determinados
através da equação:
dK
ds
= − (B′(s)A(s)− B(s)A′(s)) = 0.
Deve-se notar que nem todas as raízes que satisfazem esta equação são pontos de
partida ou de chegada.
Passo 5: determine o ângulo de partida de um pólo complexo ou ângulo de chegada
em um zero complexo de malha aberta Para se determinar o ângulo de partida ou
chegada, deve-se fazer a suposição que para um teste nas vizinhanças de um pólo (ou
zero) a soma das contribuições angulares dos outros pólos e zeros pode ser considerada
constante. Desta forma, o ângulo de partida e chegada podem ser calculados da seguinte
forma:
ângulo de partida de um pólo complexo = 180o
− soma das contribuições angulares dos outros pólos
em relação ao pólo em questão
+ soma das contribuições angulares dos zeros
em relação ao pólo em questão.
e
ângulo de chegada em um zero complexo = 180o
− soma das contribuições angulares dos outros zeros
em relação ao zero em questão
+ soma das contribuições angulares dos pólos
em relação ao zero em questão.
Passo 6: determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Os
pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário pode ser determinado através do
critério de estabilidade de Routh-Hurwitz já que o ponto onde o lugar das raízes cruza
o eixo imaginário corresponde a um valor de K tal que torna o sistema instável.
Deve-se utilizar a Tabulação de Routh e determinar o valor limite de K que faz
com que o primeira coluna esteja no limite de uma troca de sinal, ou seja, impor que o
elemento da primeira coluna que esteja em função de K seja nulo. Calculado o valor de
K, facilmente determina-se os pontos do lugar das raízes que cruzam o eixo imaginário,
em geral utilizando a equação auxiliar na linha correspondente ao termo s2 na Tabulação
de Routh.
Passo 7: determinar o lugar das raízes na vizinhança global em torno da origem
Aqui, deve-se realizar um trabalho braçal, determinado-se o lugar das raízes utilizando
vários pontos de teste e a informação acumulada nos ítens anteriores.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 67 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Passo 8: identificar os pólos de malha fechada desejados e os valores do ganho K
associados Obviamente, qualquer ponto do lugar das raízes deve sastisfazer a condi-
ção de módulo. Desta forma, se for conhecida a localização de um pólo em malha
fechada o ganho K pode ser calculado através da seguinte equação:
K =
∏n
i=1 |sc − si|∏m
k=1 |sc − zk|
4.4 O efeito da introdução de pólos e zeros no lugar das
raízes
Adição de pólos
A adição de um pólo na função de transferência em malha aberta tem o efeito de deslo-
car o lugar das raízes para a direita, diminuindo a estabilidade relativa e aumentando o
tempo de acomodação do sistema.Lembre-se que a adiçao de um controle integral adi-
cona um pólo na origem tornando o sistema menos estável. A Figura 4.9 ilustra o efeito
da adição de um pólo para um sistema originalmente com um único pólo, e também o
efeito da adição de dois pólos.
Figura 4.9. (a) Lugar das raízes para um sistema com um único pólo. (b) Lugar
das raízes para um sistema com dois pólos. (c) Lugar das raízes para um sistema com
três pólos.
Adição de zeros
A adição de um zero na função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar
o lugar das raízes para a esquerda, aumentando a estabilidade relativa e diminuindo o
tempo de acomodação do sistema. Fisicamente, a adição de um zero corresponde a intro-
dução de uma ação de controle derivativa. O efeito desta ação de controle proporciona
uma ação antecipatória no sistema além de uma resposta transitória rápida. A Figura
4.10-(a) ilustra um sistema que é estável para ganhos pequenos e instável para ganhos
grandes. As Figuras 4.10-(b), (c) e (d) mostram o gráfico de lugar das raízes quando um
zero é adicionado à função de transferência de malha aberta. Note que quando um zero
é adicionado ao sistema da Figura 4.10-(a) o sistema se torna estável para qualquer valor
de ganho.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 68 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Figura 4.10. (a) Lugar das raízes de um sistema com três pólos. (b), (c) e (d)
Ilustrações com o efeito da adição de um zero ao sistema.
4.5 Configurações típicas de pólos e zeros e lugares das
raízes correspondentes
Na prática, sempre utilizamos informações a priori, ou seja, muitas vezes já sabemos
qual o formato básico do lugar das raízes baseado no número de pólos e zeros da malha
aberta G(s)H(s) e sua localização
no plano s. Estas informações a priori em geral levam
a uma construção do lugar das raízes de maneira muito rápida.
A Figura reffig:tabelalr ilustra configurações típicas de pólos e zeros e os lugares
das raízes correspondentes.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 69 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Figura 4.11. Configurações típicas de pólos e zeros e lugares das raízes.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 70 DRAFT V 5.0
8_Teoria_Controle/986976_03� Trabalho Teoria Controle .pdf
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Teoria_Controle (1).zip
8_Teoria_Controle/101202_Notas de Aula 2008.rar
8_Teoria_Controle/116896_Exerc�cios Sugeridos do Livro do Nise.doc
EXERCÍCIOS SUGERIDOS DE CADA CAPÍTULO DO LIVRO TEXTO
Norman S. Nise
Capítulo 1: 3, 4, 5, 8, 9, 11 e 12.
Capítulo 2: a partir da página 81: 7, 8, 16, 17, 18, 20, 21, 24, 26, 30, 33, 45 e 48.
Capítulo 3: a partir da página 116: 1, 3, 6, 9, 19, 20 e 21,.
Capítulo 4: a partir da página 175: 52, 53, 59 e 61.
Capítulo 5: a partir da página 221: 1, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 26, 27 e 38.
Capítulo 7: a partir da página 291: 1,3, 9, 14, 16, 17, 22, 29, 30, 31, 33, 34, 37, 39, 43, 44 e 45.
8_Teoria_Controle/119775_1� Exercio_Aula on line FORMATADO.doc
Exercício de Aula On Line
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou fechada, justificando. 
Descreva o funcionamento passo-a-passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´. (04 pontos)
Desenhar o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, usando os conceitos do Capítulo 01. (06 pontos)
Solução:
a)
1. Pretende-se controlar o nível de água de um reservatório (reservatório 1) usando para tal um conjunto ´N´ de válvulas que são válvulas de saída de um outro reservatório (reservatório 2).
Uma bóia mede o nível do reservatório 1, enviando uma posição da coluna de nível real a um potenciômetro que varia a tensão proporcionalmente. Tal tensão é comparada com uma tensão de referência r(t) de outro potenciômetro e desta comparação obtém-se um sinal de erro de tensão e(t) que é o sinal de entrada do controlador. O controlador recebe o sinal de erro, manda um sinal de controle na saída, ei(t) que é amplificado com um ganho Ka, dando na saída do amplificador uma tensão ea(t) que excitará uma motor, cuja a força eletromotriz é eb(t) e o ângulo de variação angular no seu eixo é Θm (teta m). Esta posição angular no eixo do motor através de um trem de engrenagens é transformada na posição teta c que posiciona as cargas que são as válvulas. O sistema é de Malha fechada, pois possui a bóia que é um sensor que fecha a realimentação.
Ou
2. O diagrama esquemático mostrado na Fig. 1 representa um sistema de controle cujo objetivo é manter o nível do líquido do tanque em um nível fixado. O nível de líquido é controlado por uma bóia cuja posição é conectada a um terminal de potenciômetro detetor de erro. O sinal de erro entre o nível de referência e o nível real do líquido entra no controlador, cuja função de transferência é G(s). Os parâmetros do sistema são:
b) 
�
Segunda Parte do Exercício:
Considerando:
Desenhar um diagram de blocos do sistema total mostrando a relação funcional entre as funções de transferência.
Suponha a função de transferência do controlador, Gc(s), unitária. Determinar a função de transferência em malha aberta G(s) = H(s)E(s) e a função de transferência em malha fechada M(s) = H(s)/R(s). Determinar a equação característica do sistema em malha fechada. Note que todos os parâmetros do sistema são especificados, exceto N, o número de entradas.
Como um dos pólos da função de transferência de malha aberta está bastante à esquerda (relativamente) sobre o eixo real negativo no plano s (constante de tempo muito pequena), é razoável desprezar este pólo quando se trata da resposta transitória. Aproxime a função de transferência de malha aberta, de terceira ordem, G(s), por uma função de transferência de segunda ordemdesprezando adequadamente o pólo com a “menor” constante de tempo. Uma vez que temos um sistema de segunda ordem, podemos usar as equações do texto para estimar o máximo sobressinal e o instante de pico t(max). Calcule o sobressinal máximo e o instante de pico para o sistema aproximado de segunda ordem obtido, com N=2 e N=8.
Obtenha a resposta a degrau unitário do sistema aproximado de segunda ordem com N=2 e N=8. Compare o sobressinal máximo e o instante de pico com os resultados obtidos na parte ( c ).
Obtenha as respostas a degrau unitário do sistema dwe terceira ordem em malha fechada (incluindo o terceiro polo) com N=2 e N=8. Suponha condições iniciais nulas. Compare os sobressinas máximos e os instantes de pico com aqueles do sistema de segunda ordem. Compare também as respostas a degrau unitário. O que se pode dizer sobre a aproximação de segunda ordem? Como os valores aproximados dependem de N?
Solução:
Diagrama de Blocos:
Controlador
Amplificador
Motor
Trem de Engrenagens
Válvulas
Reservatório 
 1
 Bóia
8_Teoria_Controle/140039_Exerc�cio tanque frente.pdf
8_Teoria_Controle/140040_Exerc�cio tanque verso.pdf
8_Teoria_Controle/140042_Exerc�cio
suspens�o.pdf
8_Teoria_Controle/183820_1� TP_12.doc
Trabalho Prático 
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou fechada, justificando. 
Descreva como o funcionamento passo a passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´. (04 pontos)
Desenhar o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, usando os conceitos do Capítulo 01. (06 pontos)
�
�
�
8_Teoria_Controle/207527_Sistema com Dist�rbio 05_2009.pdf
8_Teoria_Controle/595907_Links Gabaritos Provas.doc
http://dl.dropbox.com/u/57276722/1%C2%AA%20Prova%20An%C3%A1lise%20Presencial.rar
http://dl.dropbox.com/u/57276722/1%C2%AA%20Prova%20Automa%C3%A7%C3%A3o.rar
8_Teoria_Controle/595908_link Gabaritos_Virtual.doc
A Matéria da 1ª Prova de Análise de Sistemas Lineares I é:
Capítulo 1: Descrição de sistemas, Diagrama em Blocos e Análise em Malha Aberta e Malha fechada!
Capítulo 2: Função de Transferência, Diagrama em Blocos (simplificação).
Capítulo 3: Representação de sistemas em Espaço de Estados e Sistemas Análogos.
Será permitido o uso de Calculadora!
Anexado à prova terá um Formulário!
Estudem pelo livro e vejam no link abaixo Gabaritos de Provas Anteriores!
http://dl.dropbox.com/u/57276722/Gabaritos.rar
http://dl.dropbox.com/u/57276722/Atividade%20I.rar
http://dl.dropbox.com/u/57276722/Gabaritos.rar
http://dl.dropbox.com/u/57276722/Atividade%20I.rar
http://www.4shared.com/get/ILg31JCR/exerc_lineares.html 
8_Teoria_Controle/617368_1� TP_11.doc
11.
Trabalho Prático 
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou fechada, justificando. 
Descreva como o funcionamento passo a passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´. (04 pontos)
Desenhar o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, usando os conceitos do Capítulo 01. (06 pontos)
�
8_Teoria_Controle/617372_1� TP_14.doc
14.
Trabalho Prático 
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou fechada, justificando. 
Descreva como o funcionamento passo a passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´. (04 pontos)
Desenhar o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, usando os conceitos do Capítulo 01. (06 pontos)
�
�
�
8_Teoria_Controle/617373_1� TP_21.doc
21.
Faça uma descrição detalhada do sistema mostrado na figura a seguir, mostrando quais são as variáveis de entrada e saída, se Malha Aberta ou Fechada, justificando. 
Descreva como o funcionamento passo a passo como se a pessoa que estivesse lendo não estivesse vendo o desenho ou não estivesse em campos, ´cuidado com o português´! (04 pontos)
Desenhar o Diagrama em Blocos que melhor represente a explicação dada na letra a), mostrando e justificando se é de malha Aberta ou Fechada, utilizando os conceitos do capítulo 1. (06 pontos)
8_Teoria_Controle/639819_Norman Nise - Exerc�cios.rar
8_Teoria_Controle/677202_Respostas exerc�cios cap 1 feitos em sala.rar
8_Teoria_Controle/760394_EXERC�CIOS SUGERIDOS DO LIVRO DO DORF.doc
EXERCÍCIOS SUGERIDOS DO LIVRO DO DORF, 
2001, 8ª EDIÇÃO
Capítulo 1: Página 19: E1.1, E1.4 e E1.7
 Página 20: P1.2, 1.3, 1.5 1.6
 Página 21: P1.9, 1.10, 1.11
 Página 22: P1.13, 1.18, 1.19, 1.20
Capítulo 2: Página 76: E2.4, 2.5
 Página 77: E2.8, 2.9, 2.10
 Página 78: E2.13, 2.14, 2.15, 2.18, 2.21
 Página 79: E2.23, 2.25, 2.26, 2.28
 Página 80: E2.29 P2.1, 2.2, 2.3
 Página 81: P2.7, 2.11
 Página 84: P2.26
 Página 85: P2.32, 2.34, 2.35
Capítulo 4: Página 166: E4.1, 4.2, 4.3, 4.4
 Página 168: P4.2
 Página 169: P4.5
 Página 170: P4.8
 Página 171: P4.11
 Página 173: P4.17
 Página 175: PA 4.5, 4.6
Capítulo 5: Página 218: E5.4,5.5
 Página 219: E5.9, 5.12, 5.13
 Página 220: E5.16
 Página 221: P5.4
 Página 222: P5.6
 Página 224: P5.19
 Página 226: PP5.2
8_Teoria_Controle/87361_Exercicio 1.JPG
8_Teoria_Controle/87362_Exercicio 2 - pag1.JPG
8_Teoria_Controle/87363_Exercicio 2 - pag2.JPG
8_Teoria_Controle/916_C7_lista de nivelamento.doc
			
 LISTA DE EXERCÍCIOS DE NIVELAMENTO
PROFa. ROSELY CAMPOS
É importante que o aluno estude pelo livro!
Encontre a Transformada de Laplace Y(s) das equações abaixo, considerando as condições iniciais nulas.
1º) 
2º) 
3º) 
4º) 
5º) 
Encontre a Transformada de Laplace Y(s) das equações abaixo, considerando as condições iniciais nulas.
6º) 
7º) 
8º) 
�� EMBED Equation.3 
9º) 
�� EMBED Equation.3 
_1137332642.unknown
_1137332811.unknown
_1137332962.unknown
_1137332978.unknown
_1137333113.unknown
_1137332934.unknown
_1137332745.unknown
_1137332528.unknown
_1137332567.unknown
_1137332440.unknown
8_Teoria_Controle/986971_LR.pdf
Capítulo 4
O método do lugar das raízes
4.1 Introdução
Neste capítulo é apresentado o método do lugar das raízes, que consiste basicamente em
levantar a localização dos pólos de um sistema em malha fechada em função da variação
de um parâmetro K.
O projeto de controladores envolve sempre a escolha da localização de pólos e ze-
ros do sistema emmalha fechada, que deve ser traduzida através da escolha da estrutura
do controlador e dos seus parâmetros (Como em controlares P, PI, PD e PID).
Desta forma, a utilização do lugar das raízes pode ser útil no projeto de contro-
ladores pois neste pode-se observar a movimentação dos pólos em malha fechada a
medida que um parâmetro K varia.
Ao final apresenta-se exemplos da utilização do método do lugar das raízes para o
projeto de controladores.
4.2 O método do lugar das raízes
Considere o seguinte sistema em malha fechada ilustrado na Figura 4.1
E(s)R(s) Y(s)H(s)
Controlador
G(s)
Planta
−
+
referencia
saida
U(s)
Figura 4.1. Sistema de controle em malha fechada.
A equação em malha fechada deste sistema pode ser escrita como:
Y(s)
R(s)
= G(s)H(s)
1+G(s)H(s).
Os pólos em malha fechada deste sistema podem ser encontrados resolvendo-se a se-
guinte equação característica:
1+G(s)H(s) = 0,
ou
G(s)H(s) = −1.
53
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Figura 4.2. (a),(b): ângulos de dois pontos de teste em relação os pólos e zeros de
G(s)H(s).
Como G(s)H(s) é um número complexo, podemos escrever as seguintes equações:
Condição do ângulo: ∠G(s)H(s) = ±180o(2∗ k+ 1) (k = 0,1,2, . . .)
Condição do módulo: |G(s)H(s)| = 1.
Em muitos casos G(s)H(s) envolve um ganho K:
1+K (s + z1)(s + z2) . . . (s + zm)
(s + p1)(s + p2) . . . (s + pn)
= 0.
Para começarmos a esboçar o lugar das raízes é necessário conhecer os pólos e
zeros de G(s)H(s). Os ângulos de qualquer ponto s em relação aos pólos e zeros de
G(s)H(s) devem ser medidos no sentido anti-horário.
O lugar das raízes é um gráfico que fornece as raízes em malha fechada no plano s
em função da variação de K (0 < K <∞).
Por exemplo, seja o seguinte sistema:
K(s + z1)
(s + p1)(s + p2)(s + p3)(s + p4)
,
onde −p2 e −p3 são pólos complexos conjugados. Podemos escrever a condição de
ângulo como a seguir:
∠G(s)H(s) = φ1 − θ1 − θ2 − θ3 − θ4,
A Figura 4.2 ilustra os ângulos para dois pontos de teste distintos.
A condição do módulo é dada por:
|G(s)H(s)| = KB1
A1A2A3A4
.
onde A1, A2, A3, A4 e B1 são os módulos das grandezas complexas, s+p1, s+p2, s+p3,
s + p4 e s + z1, como pode ser observado na Figura 4.2(a).
Note que pelo fato dos pólos complexos conjugados ou zeros complexos conjuga-
dos (se existirem) serem simétricos, o lugar das raízes também é simétrico em relação
ao eixo real σ .
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 54 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Exemplo 4.1 Suponha que desejamos construir o lugar das raízes do sistema
de controle em malha fechada ilustrado na Figura 4.1. Onde:
G(s) = K
s(s + 1)(s + 2) ,
e
H(s) = 1.
Deseja-se construir o lugar das raízes para se determinar o valor K tal que
o coeficiente de amortecimento ζ de um par de pólos complexos conjugados
dominantes seja igual a ζ = 0.5.
A condição do ângulo pode ser escrita como:
∠G(s)H(s) = ∠ K
s(s + 1)(s + 2) ,
= −∠s − ∠(s + 1)− ∠(s + 2),
= ±180o(2k+ 1) (k = 0,1,2, . . .).
A condição do módulo pode ser escrita como:
|G(s)| =
∣∣∣∣ Ks(s + 1)(s + 2)
∣∣∣∣ = 1.
O lugar das raízes pode agora ser construído através dos seguintes passos:
Passo 1: Determinar o lugar das raízes sobre o eixo real O primeiro passo
para a construção do lugar das raízes é a localização dos pólos emmalha aberta,
s = 0, s = −1, s = −2 no plano complexo (não existem zeros neste caso). Note
que os pontos de partida do lugar das raízes são as raízes de G(s)H(s). O
número de trechos do lugar das raízes é três o que equivale ao número de
pólos em malha aberta.
Vamos admitir alguns pontos de teste:
• Vamos supor que o ponto de teste se encontra na região positiva, i.e.,
s = σ > 0. Para qualquer ponto s = σ > 0 temos:
∠s = ∠(s + 1) = ∠(s + 2) = 0o.
Desta forma, a condição de ângulo para s = σ > 0 não é satisfeita.
• Para s = −1 < σ < 0 temos:
∠s = 180o,
∠(s + 1) = ∠(s + 2) = 0o.
Desta forma:
−∠s − ∠(s + 1)− ∠(s + 2) = −180o .
Logo, o trecho −1 < σ < 0 pertence ao lugar das raízes.
• Para s = −2 < σ < −1 temos
∠s = 180o ,
∠(s + 1) = 180o,
∠(s + 2) = 0o.
Desta forma:
−∠s − ∠(s + 1)− ∠(s + 2) = −360o .
Logo, o trecho −2 < σ < −1 não pertence ao lugar das raízes.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 55 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
• Para s = −∞ < σ < −2 temos
∠s = 180o ,
∠(s + 1) = 180o,
∠(s + 2) = 180o.
Desta forma:
−∠s − ∠(s + 1)− ∠(s + 2) = −3× 180o.
Logo, o trecho −∞ < σ < −2 pertence ao lugar das raízes
Portanto, no eixo real o lugar das raízes existe entre −1 < σ < 0 e −∞ <
σ < −2.
Passo2: Determinar as assíntotas no lugar das raízes Se o ponto de teste
está localizado longe da origem então:
lim
s=∞G(s) = lims=∞
K
s(s + 1)(s + 2) = lims=∞
K
s3
,
ou seja, a condição do ângulo pode ser escrita como:
−3∠s = ±180o(2k+ 1) (k = 0,1,2, . . .).
A equação do ângulo das assíntotas pode então ser escrita como:
ângulo das assíntotas = ±180
o(2k+ 1)
3
k = 0,1,2, . . ..
Os ângulos são portanto: 60o,−60o, e 180o.
Na Seção 4.3 a fórmula genérica da determinação do ângulo das assíntotas
é deduzida. Para qualquer sistema as assíntotas podem ser calculadas através
da seguinte equação:
ângulo das assíntotas = ±180
o(2k+ 1)
n−m k = 0,1,2, . . ..
Onde:
• n = número de pólos finitos de G(s)H(s),
• m = número de zeros finitos de G(s)H(s).
O ponto de intersecção das assíntotas σa pode ser calculado como a seguir:
σa = an−1 − bm−1
n−m .
Onde (Veja Equação 2.48):
an−1 =
∑
pólos em malha aberta,
bm−1 =
∑
zeros em malha aberta.
Na Seção 4.3 apresenta-se uma dedução completa desta equação.
Para o sistema em questão temos:
σa = an−1 − bm−1
n−m =
−3− 0
3− 0 = −1.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 56 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Passo 3: Cálculo do ponto de saída do eixo real (breakway point) O ponto
de saída do eixo imaginário se encontra entre os pólos de malha aberta s = 0 e
s = −1 e corresponde a um ponto onde os pólos são duplos.
O ponto de saída do eixo real pode ser determinado através da seguinte
equação3:
dK
ds
= 0.
Para o sistema em questão, a equação característica pode ser representada
como:
1+G(s)H(s) = 1+ K
s(s + 1)(s + 2) = 0,
o que resulta em:
K = −(s3 + 3s2 + 2s).
Calculando a derivada, obtemos:
dK
ds
= −(3s2 + 6s + 2) = 0.
As raízes desta equação de 2a. ordem são: s = −0.4226 que corresponde a
K = 0.3849, e s = −1.5774 que corresponde a K = −0.3849. Note que a raiz
s = −1.5774 não pode ser a solução pois corresponde a um ganho negativo.
Por outro lado, sabemos que a solução está no intervalo [−1,0], logo a solução
é dada por s = −0.4226.
Passo 4: Determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo ima-
ginário Esses pontos podem ser encontrados, utilizando o critério de estabi-
lidade de Routh-Hurwitz, já que o ponto de cruzamento representa o ponto de
transição de uma região estável para uma região instável.
A equação característica é dada por:
s3 + 3s2 + 2s +K = 0.
A tabulação de Routh-Hurwitz é a seguinte:
s3 1 2
s2 3 K
s1 6−K3
s0 K
Para que o sistema seja estável a primeira coluna deve conter todos os elemen-
tos com o mesmo sinal, então concluímos neste caso que todos os elementos
devem ser positivos. Na linha referente a s1, temos 6−K3 > 0 ⇒ K < 6. Ou seja,
K = 6 é o valor de transição.
A solução para o problema, pode ser encontrado adotando o valor K = 6 e
3Na Seção 4.3 apresenta-se a dedução desta equação.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 57 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
a equação auxiliar referente a s2:
3s2 + K = 0⇒
3s2 + 6 = 0 ⇒
s2 = −2 ⇒
s = ±j
√
2.
Passo 5: Escolher pontos de teste na vizinhança do eixo jω e da origem
Escolha um ponto de teste na vizinhança
do eixo jω e da origem como ilustrado
na Figura 4.3.
Figura 4.3. Escolha de um ponto de teste.
Verifique a condição de ângulo, caso não seja satisfeita escolha um outro
ponto. Determine um número de pontos suficiente para traçar o lugar das
raízes.
Passo 6: Desenhe o lugar das raízes A Figura 4.4 ilustra o lugar das raízes
resultante.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 58 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Figura 4.4. Lugar das raízes para G(s)H(s) = K/s(s + 1)(s + 2).
Passo 7: Determinar o par de pólos complexos conjugados para ζ = 0.5
Sabemos que cosβ = ζ (veja Figura 4.5), logo temos:
β = cos−1 0.5 = ±60o.
Ou seja, a solução do problema pode ser determinada pela intersecção entre
retas com um ângulo de 60o em relação ao eixo real e o lugar das raízes.
Os pólos correspondentes podem ser determinados no gráfico:
s1 = −0.3337 + j0.5780,
s2 = −0.3337 − j0.5780.
Para descobrir o valor de K correspondente podemos utilizar a condição de
módulo:
|G(s)H(s)| =
∣∣∣∣ Ks(s + 1)(s + 2)
∣∣∣∣ = 1 ⇒
|K| = |s(s + 1)(s + 2)|s=−0.3337+j0.5780 ⇒
K = 1.0383.
Com este valor de K é possível achar o terceiro pólo em s = −2.3326.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 59 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Figura 4.5. Pólos complexos e grandezas associadas.
Exemplo 4.2 Considere um sistema de controle em malha fechada ilustrado na
Figura 4.1 onde:
G(s) = K(s + 2)
s2 + 2s + 3 ,
e
H(s) = 1.
A função de transferência em malha aberta possui um par de pólos com-
plexos conjugados em −1 ± j√2. Determinar o lugar das raízes para este sis-
tema.
Passo 1: Determinar o lugar das raízes no eixo real Para qualquer ponto de
teste no eixo real a contribuição dos pólos complexos conjugados é 360o (veja
Figura 4.6). Ou seja, θ1 + θ2 = 360o.
Figura 4.6. Determinação do lugar das raízes no eixo real.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 60 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
é fácil verificar que o trecho no eixo real correspondente a s = −∞ < σ <
−2 pertence ao lugar das raízes já que:
∠G(s)H(s) = ∠
(
K(s + 2)
s2 + 2s + 3
)
,
= ∠(s + 2)− ∠(s2 + 2s + 3),
= ∠(s + 2)− 360o,
= ±180o(2k+ 1) k = 0,1,2,3, . . .
Passo 2: Determinar o ângulo de partida em relação ao par de pólos com-
plexos conjugados é importante determinar neste caso, o ângulo de partida
do lugar das raízes em relação ao par de pólos complexos conjugados.
Vamos supor um ponto de teste ao redor (muito próximo) de s = −p1 (veja
Figura 4.7).
Figura 4.7. Determinação do ângulo de partida.
Se o ponto s pertence ao lugar das raízes, então deve satisfazer a condição
de ângulo.
φ′1 − (θ1 + θ′2) = ±180o(2k+ 1),
ou
θ1 = 180o − θ′2 +φ′1 = 180o − θ2 +φ1.
Se o ponto s está na vizinhança de p1 então podemos admitir que:
−θ′2 +φ′1 ≈ −θ2 +φ1.
Logo,
θ1 = 180o − θ2 +φ1 ≈ 180o − 90o + 55o = 145o.
Como o lugar das raízes é simétrico, o ângulo de partida em p2 é 145o.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 61 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
Passo 3: Determinar o ponto de chegada no eixo real (break-in point) Sa-
bemos que o lugar das raízes deve se encontrar no eixo real num ponto corres-
pondente a um pólo duplo.
Podemos resolver este problema podemos utilizar:
dK
ds
= 0.
A equação característica do sistema é dada por:
1+G(s)H(s) = 1+ K(s + 2)
s2 + 2s + 3 = 0⇒ K = −
−(s2 + 2s + 3)
s + 2 .
Caculando a derivada obtemos:
dK
ds
= −(2s + 2)(s + 2)− (s
2 + 2s + 3)
(s + 2)2 = 0 ⇒
= −2s
2 + 4s + 2s + 4− s2 − 2s − 3
(s + 2)2 = 0 ⇒
= −s
2 + 4s + 1
(s + 2)2 = 0.
A equação característica é dada então por:
s2 + 4s + 1 = 0.
As raízes são dadas por:
• s = −3.732 ⇒ K = 5.4641: pertence ao lugar das raízes.
• s = −0.2680 ⇒ K = −1.4641 não pertence ao lugar das raízes.
Então o ponto de chegada é dado por s = −0.3732.
Passo 4: Desenhe o lugar das raízes Aqui, devemos testar vários pontos no
plano s para tentar se determinar o lugar das raízes. Para este caso, entretanto,
sabemos que o lugar das raízes na região dos pólos complexos conjugados
descreve um círculo.
Para se derivar a equação do círculo vamos escrever incialmente a condição
do ângulo:
∠(s + 2)− ∠(s + 1− j
√
2)− ∠(s + 1+ j
√
2) = ±180o(2k+ 1).
Substituindo s = σ + jω obtemos:
∠(σ + 2+ jω)−∠(σ + 1+ jω− j
√
2)−∠(σ + 1+ jω+ j
√
2) = ±180o(2k+1).
Esta equação pode ser escrita como:
tan−1
(
ω
σ + 2
)
− tan−1
(
ω−√2
σ + 1
)
− tan−1
(
ω+√2
σ + 1
)
= ±180o(2k+ 1).
ou
tan−1
(
ω−√2
σ + 1
)
+ tan−1
(
ω+√2
σ + 1
)
= tan−1
(
ω
σ + 2
)
± 180o(2k+ 1).
Tomando a tangente de ambos os lados e utilizando a seguinte relação:
tan(x ± y) = tanx ± tany
1∓ tanx tany ,
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 62 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
obtemos:
tan
[
tan−1
(
ω−√2
σ + 1
)
+ tan−1
(
ω+√2
σ + 1
)]
= tan
[
tan−1
(
ω
σ + 2
)
± 180o(2k+ 1)
]
.⇒
(
ω−√2
σ+1
)
+
(
ω+√2
σ+1
)
1−
(
ω−√2
σ+1
) (
ω+√2
σ+1
) = ωσ+2 ± 0
1∓ ω
σ+2 × 0
⇒
2ω(σ + 1)
(σ + 1)2 − (ω2 − 2) =
ω
σ + 2 ⇒
ω
[
(σ + 2)2 +ω2 − 3
]
= 0
Desta forma: 

ω = 0
ou
(σ + 2)2 +ω2 = (√3)2.
Obtemos portanto uma equação de um círculo de raio (
√
3)2 e centro em (−2,0).
A Figura 4.8 ilustra o lugar das raízes resultante.
Figura 4.8. Lugar das raízes resultante.
20 de setembro de 2007 - 3:24 PM 63 DRAFT V 5.0
Notas de Aula PMR2360 - Cap. 4 NM
4.3 Um resumo das regras gerais para a construção do
lugar das raízes
Inicialmente deve-se partir da equação característica:
1+G(s)H(s) = 0.
Esta equação deve agora ser rearranjada da seguinte forma:
1+K (s + z1)(s + z2)+ . . .+ (s + zm)
(s + p1)(s + p2)+ . . .+ (s + pn)
= 0,
onde K > 0.
Passo1: localizar os pólos e zeros de G(s)H(s) no plano s O lugar das raízes começa
em pólos de malha aberta e termina em zeros (zeros finitos ou infinitos4.).
Note que o lugar das raízes é sempre simétrico em relação ao eixo real no plano s,
devido ao fato que pólos complexos e zeros complexos são sempre pares conjugados.
Os pontos de partida do lugar das raízes são pólos em malha aberta e correspon-
dem a K = 0. Isto pode ser observado pela condição do módulo, |G(s)H(s)| = 1 fazendo
o valor de K tender a zero:
lim
K→0
∣∣∣∣∣ (s + z1)(s + z2)+ . . .+ (s + zm)(s + p1)(s + p2)+ . . .+ (s + pn)
∣∣∣∣∣ = limK→0
1
K
= ∞.
Esta equação implica que quando K tende a 0 o valor de s deve se aproximar dos pólos
em malha aberta.
Portanto, cada lugar das raízes se origina em um pólo da função de transferência
em malha aberta G(s)H(s). Quando K aumenta para infinito, cada lugar das raízes deve-
se aproximar de um zero da função de transferência em malha aberta ou infinito no
plano s. Isto pode ser concluído através da observação da seguinte equação:
lim
k→∞
∣∣∣∣∣ (s + z1)(s + z2)+ . . .+ (s + zm)(s + p1)(s + p2)+ . . .+ (s + pn)
∣∣∣∣∣ = limK→∞
1
K
= 0.
Portanto, no infinito, o valor de s deve se aproximar de um zero finito de malha aberta
ou um zero de malha aberta infinito.
O lugar das raízes terá tantos pedaços quanto forem o número de raízes da equação
característica. Se o número de
raízes em malha aberta é igual ao número de raízes em
malha fechada (eventualmente em malha fechada pólos e zeros podem se cancelar) o
número de pedaços terminando em zeros finitos é igual ao númerom de zeros emmalha
aberta. Os n−m pedaços restantes terminam no infinito, tangenciando as assíntotas.
Passo 2: determinar a localização do lugar das raízes no eixo real O lugar das raízes
no eixo real é determinado através dos pólos e zeros em malha aberta que estão sobre
o mesmo. Os pólos e zeros complexos conjugados de malha aberta não tem influência
sobre o lugar das raízes no eixo real porque a contribuição à condição do ângulo de
pólos e zeros complexos conjugados é de 360o.
Cada porção do lugar das raízes no eixo real, se estende de um pólo ou zero em
malha aberta para outro pólo ou zero em malha aberta.
Ao se escolher um ponto de teste s no eixo real, se o número de pólos e zeros reais
à direita do ponto de teste for ímpar então este ponto faz parte do lugar das raízes.
Passo3: determinar as assíntotas do lugar das raízes Se o ponto de teste está loca-
lizado longe da origem então o ângulo de cada pólo complexo pode ser considerado o
4um sistema possui um número de zeros no infinito equivalente ao excesso de pólos, ou seja, n−m
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mesmo. As assíntotas podem ser calculadas através da seguinte equação:
ângulo das assíntotas = ±180
o(2k+ 1)
n−m k = 0,1,2, . . ..
Onde:
• n = número de pólos finitos de G(s)H(s),
• m = número de zeros finitos de G(s)H(s).
O ponto de intersecção das assíntotas σa pode ser calculado como a seguir. Consi-
derando a equação característica do sistema em malha fechada:
1+G(s)H(s) = 0.
Que pode ser escrito também como:
1+ Ks
m + bm−1sm−1 + . . .+ b0
sn + an−1sn−1 + . . .+ a0
= 0, (4.1)
para valores grandes de s podemos considerar apenas os termos de maior ordem. Dessa
forma podemos escrever:
1+Ks
m
sn
= 0.
Desta aproximação resultam n −m assíntotas com início em s = 0. Uma aproximação
mais razoável é considerar que as assíntotas cruzam o eixo real num ponto denominado
σa:
1+K 1
(s −σa)n−m = 0.
Expandindo o denominador e tomando os dois termos de maior grau resulta em:
1+ K 1
sn−m + (n−m)σn−m−1a
= 0. (4.2)
Voltando à Equação 4.1, dividindo o denominador pelo numerador obtemos:
1+ K 1
sn+an−1sn−1+...+a0
sm+bm−1sm−1+...+b0
= 0,
A divisão dos polinômios:
sn + an−1sn−1 + . . .+ a0
sm + bm−1sm−1 + . . .+ b0
,
considerando os dois primeiros termos do numerador e denominador é dada por:
sn + an−1sn−1
sm + bm−1sm−1
= sn−m + (an−1 − bm−1)sn−m−1 + (am−1 − bm−1)bm−1s
n−1
sm + bm−1sm−1
.
Desprezando a parte correspondente ao resto da divisão, a equação característica pode
então ser escrita como:
1+ K 1
sn−m + (an−1 − bm−1)sn−m−1
= 0. (4.3)
Comparando as Equações 4.2 e 4.3 obtemos:
an−1 − bm−1 = (n−m)σa,
então:
σa = an−1 − bm−1
n−m .
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Onde (Veja Equação 2.48):
an−1 =
∑
pólos em malha aberta,
bm−1 =
∑
zeros em malha aberta.
Passo 4: calcular os pontos de chegada (break-in) e de partida (breakaway) no eixo
real Se o lugar das raízes se encontra entre duas raízes de malha aberta no eixo real
então existe pelo menos um ponto de partida entre os dois pólos.
Similarmente se o lugar das raízes se encontra entre dois zeros de malha aberta (um
dos zeros pode estar em −∞) então sempre existirá pelo menos um ponto de chegada
entre os dois zeros.
Se o lugar das raízes se encontra entre um pólo de malha aberta e um zero (finito
ou infinito) no eixo real, então pode não existir um ponto de chegada ou partida, ou
podem existir ambos.
Os pontos de chegada ou partida podem ser determinados como a seguir. Inicial-
mente escrevemos a equação característica da seguinte forma:
f(s) = B(s)+KA(s) = 0, (4.4)
onde A(s) e B(s) não contêm K. Devemos notar que f(s) tem múltiplas raízes onde:
df(s)
ds
= 0.
Isto pode ser comprovado observando a seguinte equação característica onde s1 é uma
raiz com multiplicidade r . Então f(s) pode ser escrito como:
f(s) = (s − s1)r (s − s2) . . . (s − sn).
Se esta equação for diferenciada com respeito a s e calculada no ponto s1, então:
df(s)
ds
∣∣∣∣
s=s1
= 0. (4.5)
Isto significa que os pólos múltiplos satisfazem a Equação 4.5.
Vamos agora diferenciar a Equação 4.4,
df(s)
ds
= B′(s)+ KA′(s) = 0, (4.6)
onde:
A′(s) = dA(s)
ds
,
e
B′(s) = dB(s)
ds
.
O valor particular K que possui raízes múltiplas é obtido através da Equação 4.6
como:
K = −B
′(s)
A′(s)
. (4.7)
Substituindo o valor de K dado pela Equação 4.7 na Equação 4.4 obtemos:
f(s) = B(s)− B
′(s)
A′(s)
A(s) = 0,
ou
B(s)A′(s)− B′(s)A(s) = 0. (4.8)
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Se esta equação for resolvida para s a raiz múltipla pode ser encontrada. Por outro lado,
da Equação 4.4 obtemos:
K = −B(s)
A(s)
,
calculando a derivada obtemos:
dK
ds
= −B
′(s)A(s)− B(s)A′(s)
A2(s)
.
Se para esta equação for imposto que dK/ds = 0 então obtemos a mesma equação que
a Equação 4.8. Desta forma os pontos de chegada ou partida podem ser determinados
através da equação:
dK
ds
= − (B′(s)A(s)− B(s)A′(s)) = 0.
Deve-se notar que nem todas as raízes que satisfazem esta equação são pontos de
partida ou de chegada.
Passo 5: determine o ângulo de partida de um pólo complexo ou ângulo de chegada
em um zero complexo de malha aberta Para se determinar o ângulo de partida ou
chegada, deve-se fazer a suposição que para um teste nas vizinhanças de um pólo (ou
zero) a soma das contribuições angulares dos outros pólos e zeros pode ser considerada
constante. Desta forma, o ângulo de partida e chegada podem ser calculados da seguinte
forma:
ângulo de partida de um pólo complexo = 180o
− soma das contribuições angulares dos outros pólos
em relação ao pólo em questão
+ soma das contribuições angulares dos zeros
em relação ao pólo em questão.
e
ângulo de chegada em um zero complexo = 180o
− soma das contribuições angulares dos outros zeros
em relação ao zero em questão
+ soma das contribuições angulares dos pólos
em relação ao zero em questão.
Passo 6: determinar os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Os
pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário pode ser determinado através do
critério de estabilidade de Routh-Hurwitz já que o ponto onde o lugar das raízes cruza
o eixo imaginário corresponde a um valor de K tal que torna o sistema instável.
Deve-se utilizar a Tabulação de Routh e determinar o valor limite de K que faz
com que o primeira coluna esteja no limite de uma troca de sinal, ou seja, impor que o
elemento da primeira coluna que esteja em função de K seja nulo. Calculado o valor de
K, facilmente determina-se os pontos do lugar das raízes que cruzam o eixo imaginário,
em geral utilizando a equação auxiliar na linha correspondente ao termo s2 na Tabulação
de Routh.
Passo 7: determinar o lugar das raízes na vizinhança global em torno da origem
Aqui, deve-se realizar um trabalho braçal, determinado-se o lugar das raízes utilizando
vários pontos de teste e a informação acumulada nos ítens anteriores.
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