lista 3 algebra

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A´lgebra Linear
Terceira Lista de Exercı´cios
01. Calcular o determinante das matrizes abaixo:
(a)

1 0 −1 3
2 3 4 2
0 2 5 1
4 1 0 0
 (b)

2 4 2 4
0 1 1 0
1 0 2 3
3 0 1 0

02. Deˆ exemplos de matrizes quadradas A e B, de mesmo tamanho, tais que det(A) + det(B) 6=
det(A + B).
03. Usando as propriedades elementares dos determinantes, mostre que as seguintes matrizes
possuem determinante nulo.
(a)

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
 (b)
 a− b m− n x− yb− c n− p y − z
c− a p−m z − x

04. Sejam A e B matrizes n×n. Dizemos que A e B sa˜o semelhantes se existe uma matriz n×n
invert´ıvel C tal que A = C−1BC. Mostre que duas matrizes semelhantes possuem o mesmo
determinante.
05. Se A e´ uma matriz n × n, denotamos por adjA a transposta da matriz dos cofatores
de A. Usando a fo´rmula
A−1 =
1
det(A)
adjA,
calcule a inversa das matrizes abaixo:
(a)

1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 1 0
 (b)
 −1 2 10 1 −3
4 0 2

06. Dizemos que uma matriz A e´ anti-sime´trica se At = −A. Seja A uma matriz anti-sime´trica
n× n. Mostre que, se n e´ ı´mpar, enta˜o det(A) = 0.