aula07_2007

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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
Projeto Turmas Especiais
RESUMO DA AULA TEÓRICA 7
DERIVADA E RETA TANGENTE
Seja 
 um ponto fixado no gráfico da função 
. Agora considere um outro ponto 
 sobre o gráfico dessa função. (veja figura abaixo).
O coeficiente angular da reta secante 
 é dado pela expressão 
. Conforme observamos na aula teórica 5, quando 
 tende ao número 
 aparentemente a reta secante 
 tende a uma certa posição. Se esse limite existir, diremos que a posição limite das retas secantes 
 é a reta tangente ao gráfico de 
 no ponto 
. Para formalizar esse conceito, vamos definir:
Definição: a derivada da função 
 no ponto 
 , denotada por 
, é o valor de qualquer um dos seguintes limites
,
caso eles existam. Caso exista 
, dizemos que 
 é derivável, ou que 
 possui derivada, no ponto 
.
Definição: se 
 é derivável no ponto 
 então a reta tangente ao gráfico de 
 no ponto 
 é definida como sendo a reta que passa por 
 e tem inclinação 
. Ou seja, é a reta de equação 
Exemplo 1: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da hipérbole 
 em 
.
Exemplo 2: (velocidade média e velocidade instantânea) Suponhamos que a distância percorrida por um objeto, entre os instantes 0 e 
, é dada por 
. Nesse caso, definimos a velocidade instantânea desse objeto no instante 
 por 
. Interpretar essa derivada como sendo o limite das velocidades médias 
, conforme fazemos 
 tender a zero.
Exemplo 3: O deslocamento de uma partícula em cada instante t, em segundos, é dado, em metros, por 
.
Substituir os extremos dos intervalos na expressão da velocidade média e apresentar os resultados na tabela:
	Intervalo de tempo
	Velocidade média (m/s)
	[2 ; 3]
	25
	[2 ; 2,1]
	20,5
	[2 ; 2,01]
	20,05
	[2 ; 2,001]
	20,005
Calcular a velocidade instantânea em t = 2.
Exemplo 4: calcular cada uma das seguintes derivadas:
Se 
 é uma função constante então 
.
Se 
 então 
.
Se 
 então 
.
Se 
, 
 natural, então 
.
Exemplo 5: se 
 então 
 não tem derivada no ponto 
.
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Suponhamos que as funções 
 e 
 sejam deriváveis. Então cada uma das funções listadas a seguir também é derivável, e além disso, valem as igualdades:
(a) 
			(b) 
(c) 
		(d) 
(e) 
, desde que 
.
(f) Se 
, então 
, para qualquer número real 
 e 
.
Exemplos: calcule a derivada de cada uma das funções a seguir:
 ,		
	e	
DERIVADAS DAS FUNÇÕES:
seno, cosseno, exponencial e logaritmo
Para os próximos exemplos e exercícios admita que:
	
	
	
	
Observação: essas derivadas serão calculadas na Aula Teórica 10.
Exemplos 1: usando as informações da tabela anterior e as regras de derivação, calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
a) 
				b) 
			c) 
d) 
				e) 
		f) 
Exemplo 2: Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de 
 no ponto de abscissa x = 1.
_1234681263.unknown
_1234682646.unknown
_1234683002.unknown
_1234683353.unknown
_1234782287.unknown
_1235806585.unknown
_1236541845.unknown
_1235800577.unknown
_1234684048.unknown
_1234684416.unknown
_1234684449.unknown
_1234704933.unknown
_1234782286.unknown
_1234684479.unknown
_1234684428.unknown
_1234684080.unknown
_1234683996.unknown
_1234684019.unknown
_1234683651.unknown
_1234683259.unknown
_1234683321.unknown
_1234683347.unknown
_1234683296.unknown
_1234683105.unknown
_1234683183.unknown
_1234683048.unknown
_1234682808.unknown
_1234682913.unknown
_1234682920.unknown
_1234682850.unknown
_1234682747.unknown
_1234682755.unknown
_1234682715.unknown
_1234682723.unknown
_1234682697.unknown
_1234681807.unknown
_1234682591.unknown
_1234682619.unknown
_1234682637.unknown
_1234682611.unknown
_1234681846.unknown
_1234682577.unknown
_1234681829.unknown
_1234681498.unknown
_1234681700.unknown
_1234681794.unknown
_1234681689.unknown
_1234681397.unknown
_1234681420.unknown
_1234681342.unknown
_1234619615.unknown
_1234681022.unknown
_1234681144.unknown
_1234681262.unknown
_1234681062.unknown
_1234619704.unknown
_1234681015.unknown
_1234619874.unknown
_1234619694.unknown
_1234618948.unknown
_1234618993.unknown
_1234619373.unknown
_1234619054.unknown
_1234618788/ole-[42, 4D, BA, AA, 03, 00, 00, 00]
_1234618916.unknown
_1218525493.unknown
_1234617981.unknown
_1218525219.unknown