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SEFAZ PE XEST estatistica jeronymo Aula 03 Espaço Amostral e Probabilidades OK

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Aula 03
Estatística p/ SEFAZ/PE
Professor: Jeronymo Marcondes
Estatística p/ICMS-PE 
Teoria e exercícios comentados 
Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 
 
 
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AULA 03 ± Espaço amostral e probabilidades 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
Conceitos Básicos 2 
Diagrama de Venn e Propriedades 5 
Probabilidade Condicional 16 
Teorema de Bayes 20 
Lista de Exercícios resolvidos em aula 61 
Gabarito 74 
 
 
%HP� YLQGRV� GH� YROWD��9DPRV� FRQWLQXDU� QRVVD� MRUQDGD�QR�PXQGR� ³PDUDYLOKRVR´� GD�
Estatística. Firmes no propósito, pois em breve você estará na Receita Estadual! 
 
Na aula de hoje iremos estudar Probabilidade e algumas de suas propriedades, tal 
como o Teorema de Bayes. Mas, antes, uma dica de concurseiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos nessa! 
 
 
 
 
 
Dica de um concurseiro 
 
No mundo dos concursos é muito comum aquela velha 
H[SUHVVmR�� ³ID]� D� SURYD�� YDL� TXH� YRFr� Gi� VRUWH´��
Pessoalmente, não acredito nisso. Os concursos estão cada 
vez mais concorridos e com pessoas focadas em editais 
específicos. Não há mais como conseguir passar sem 
dedicação e muito estudo! Fazer uma prova sem estudar e 
se dedicar é enriquecer a banca examinadora. 
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Estatística p/ICMS-PE 
Teoria e exercícios comentados 
Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 
 
 
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1. Conceitos básicos 
 
0XLWDV� YH]HV� QRV� GHSDUDPRV� FRP� DV� VHJXLQWHV� H[SUHVV}HV� QR� GLD� D� GLD�� ³D�
SUREDELOLGDGH� GH� FDLU� XP� SLDQR� QD� VXD� FDEHoD� p� SHTXHQD´�� ³D� SUREDELOLGDGH� GH�
UHHOHLomR�p�JUDQGH´��HWF��0DV��R�TXH queremos dizer com isso? 
 
1D�YHUGDGH��LVVR�HVWi�PXLWR�UHODFLRQDGR�FRP�R�FRQFHLWR�GH�³IUHTXrQFLD´��4XDQGR�VH�
afirma que a probabilidade de algo ocorrer é pequena, está sendo dito que, dado um 
determinado conjunto de resultados possíveis, o evento em questão ocorre em 
poucas das realizações deste. 
 
Não entendeu? Vamos a um exemplo. Suponha o lançamento de uma moeda não 
viciada, isso é, que possui uma cara e uma coroa. Qual a probabilidade de ocorrer 
³FDUD´��SRU�H[HPSOR" 
 
Com efeito, há duas possibilidades de realização deste evento: cara ou coroa, 
HQWUHWDQWR�QyV�Vy�HVWDPRV�LQWHUHVVDGRV�QR�UHVXOWDGR�³FDUD´��RX�VHMD��HP�XPD�GHVWDV�
SRVVLELOLGDGHV��3RUWDQWR��D�SUREDELOLGDGH�GH�GDU�³FDUD´�em um lançamento é: 
 ܲሺܿܽݎܽሻ ൌ ݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?��݋ݑ� ?ܿ݋ݎ݋ܽ ?ൌ ૚૛ 
 
-Professor, então, ao lançar uma moeda não viciada, na metade dos 
ODQoDPHQWRV�HX�REWHUHL�³FDUD´" 
 
Não é bem assim! Veja, antes GH�ODQoDU�D�PRHGD��D�SUREDELOLGDGH�GH�GDU�³FDUD´�p�
de ? , porém pode ser que isso não ocorra. Suponha a realização de três 
lançamentos seguidos, pode ser que o resultado seja: 
 
 
 
 
 
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 ? ?ൌ ܿ݋ݎ݋ܽ ? ?ൌ ܿ݋ݎ݋ܽ ? ?ൌ ܿܽݎܽ 
 
Isso quer dizer que a moeda é viciada? Pode ser, mas só com esse resultado não 
há como saber, pois este resultado é possível em uma moeda não viciada. A partir 
deste resultado você poderia inferir erroneamente inferir que a probabilidade de dar 
³FDUD´�QmR�p�GH�ò��PDV�GH� 
 ܲሺܿܽݎܽሻ ൌ ݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?��݋ݑ� ?ܿ݋ݎ݋ܽ ?ൌ ૚૜ 
 
Se você pensou assim, pense de novo! A forma correta 
de definir a probabilidade de ocorrência de um evento é encontrar qual a 
frequência de sua ocorrência com relação a todas as outras ocorrências 
possíveis quando o número de experimentos tende ao infinito. No nosso caso: 
 ܲሺܿܽݎܽሻ௡ ?ஶൌ ݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?��݋ݑ� ?ܿ݋ݎ݋ܽ ?ൌ ૚૛ 
 
Sendo ݊ o número de vezes que você realiza o experimento e a expressão ? ? 
significando que o mesmo tende para o infinito. 
 
Portanto, se você realizar um experimento infinitas vezes, sendo o nosso 
experimento o lançamento da moeda, a probabilidade de ocorrência de um 
GHWHUPLQDGR�HYHQWR� �QR�FDVR�H[HPSOR�� GDU� ³FDUD´�� VHUi�GDGD�SHOD� UHODomR� à priori 
entre a quantidade de vezes em que é possível sua ocorrência dividida pela 
quantidade de vezes que todos os outros eventos são possíveis (no caso, quantas 
³FDUDV´� H� ³FRURDV´� H[LVWHP� HP� XPD� PRHGD��� Aí sim, se você jogar a moeda 
LQILQLWDV�YH]HV��PHWDGH�GDV�YH]HV�D�IDFH�³FDUD´�VHUi�R�UHVXOWDGR�� 
 
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Nós podemos aprofundar este conceito de forma mais 
teórica, de forma a facilitar o entendimento. Se você lançar a moeda uma vez, quais 
são todos os resultados possíveis? 
 Ȱ ൌ ሺܥܽݎܽሻǢ ሺܥ݋ݎ݋ܽሻ 
 
E se você lançar duas vezes? 
 Ȱ ൌ ሺܥܽݎܽǡ ܥ݋ݎ݋ܽሻǢ ሺܥ݋ݎ݋ܽǡ ܥܽݎܽሻǢ ሺܥܽݎܽǡ ܥܽݎܽሻǢ ሺܥ݋ݎ݋ܽǡ ܥ݋ݎ݋ܽሻ 
 
Este conjunto formado por todas as realizações possíveis (que, no caso, chamamos 
de Ȱ) chama-se espaço amostral. 
 
Com base neste espaço amostral podemos atribuir uma probabilidade para um 
determinado evento, sendo este dado por um subconjunto de ሺȰሻ. 
 
Por exemplo, no caso de um lançamento único da moeda, qual a probabilidade de 
GDU�³FDUD´"�1yV�Mi�YLPRV�HVWD�UHVSRVWD�H�VDEHPRV�TXH�VH�WUDWD�GD�SUREDELOLGDGH�GH�
ocorrência do subconjunto dado por ሺܿܽݎܽሻ do espaço amostral ሺܿܽݎܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽሻ. 
 
Belezinha? Mas, e a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 cara em dois 
lançamentos? Bom, olhando nosso espaço amostral definido acima para este caso 
mostra que isso ocorre em 3 dos 4 lançamentos possíveis. 
 
Neste caso, cada um daqueles parênteses tem ቀଵସ ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ?ቁ de chance de 
ocorrer. Mas, nossa pergunta abrange 3 (três) daqueles casos, isso é, três daquelas 
realizações atendem ao nosso requisito. Portanto, a probabilidade de ocorrência do 
subconjunto do espaço amostral composto pelos resultados nos quais ocorrem pelo 
menos uma cara é de: 
 
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 ܲሺ ?�ܿܽݎܽ�ܽ ݋�݉݁݊݋ݏሻ ൌ ? ?൅ ? ?൅ ? ?ൌ ૜૝ 
 
Assim, teoricamente, para um determinado evento A qualquer, sua 
probabilidade de ocorrência é de: 
 ࡼሺ࡭ሻ ൌ ࡽ࢛ࢇ࢔࢚࢏ࢊࢇࢊࢋ�ࢊࢋ�࢜ࢋࢠࢋ࢙�࢛ࢗࢋ�࢕ࢉ࢕࢘࢘ࢋ�࡭ࡽ࢛ࢇ࢔࢚࢏ࢊࢇࢊࢋ�ࢊࢋ�ࢋ࢒ࢋ࢓ࢋ࢔࢚࢕࢙�࢔࢕�ࢋ࢙࢖ࢇ­࢕�ࢇ࢓࢕࢙࢚࢘ࢇ࢒ 
 
Maravilha? Vá comer um chocolate e relaxar um pouco, mas volte logo em 
seguida! 
 
 
2. Diagrama de Venn e propriedades 
 
Gente, a primeira coisa e mais óbvia é que toda probabilidade se situa entre 0 e 1. 
Não há como um evento ocorrer mais de 100% das vezes ou menos de 0% das 
vezes. Essa é a própria ideia da frequência relativa que já estudamos! Portanto, 
dado qualquer eventR�³$´� 
 ? ൏ ሺܲܣሻ ൏ ? 
 
Assim, a ideia de probabilidade se aproxima muito do conceito de frequência 
relativa, haja vista estarmos considerando que o experimento poderia ser realizado 
várias vezes e que o resultado sempre seria o mesmo. Isso é chamado de 
³$ERUGDJHP�)UHTXHQWLVWD�GD�3UREDELOLGDGH´� 
 
Uma forma interessante de vocês visualizarem probabilidades é pelo diagrama de 
Venn: 
 
 
 
 
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Olhempessoal, aquele círculo no meio representa o evento A no espaço amostral 
UHSUHVHQWDGR�SHOD�³FDL[D�8´��3HUFHED�TXH�R�FtUFXOR�QmR�RFXSD�PDLV�GR�TXH�D�FDL[D�
WRGD�QHP�PHQRV�GR����GD�FDL[D��LVVR�p��D�SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD�GH�³$´�HVWi�
entre 0 e 1. 
 
Obs. Muitas vezes você irá me ver referir a probabilidades como números entre 0 e 
1 ou 0% e 100%. Não é loucura do teacher! Toda probabilidade, com o intuito de 
facilitar a visualização, pode ser multiplicada por 100 de forma que obtenhamos o 
resultado em percentual. Por exemplo, uma probabilidade de 0,5 é equivalente à 
50%. 
 
Retornando! 
 
Então, outros dois casos interessantes, mas diametralmente opostos, são os casos 
de eventos certos e eventos impossíveis. 
 
Evento certo é aquele que coincide com o espaço amostral! Por exemplo, no nosso 
FDVR� GH� ³FDUD´� H� ³FRURD´�� XP� HYHQWR� FHUWR� VHULD� DTXHOH� FRPSRVWR� SRU� WRGRV� RV�
resultados nos quais ocorrem, ao menos, uma cara ou uma coroa. Ou seja, todo o 
espaço amostral! 
 
 
 
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Evento impossível é o caso oposto! Este evento seria composto por elementos não 
constantes no espaço amostral, por exemplo, o caso de um lançamento em que não 
ocorresse nem cara nem coroa! 
 
2XWUR�FRQFHLWR� LPSRUWDQWH�p�R�GH� ³FRPSOHPHQWDU´��'DGD�XPD�SUREDELOLGDGH de um 
HYHQWR�³$´�TXDOTXHU��D�SUREDELOLGDGH�GH�VHX�FRPSOHPHQWDU�ሺܣ௖ሻ é dada por: 
 ܲሺܣ௖ሻ ൌ ? െ ܲሺܣሻ 
 
Entendeu? O complementar da probabilidade de ocorrência de um evento é a 
probabilidade de sua não ocorrência! Para ficar bem legal e fácil, olhe o 
Diagrama de Venn abaixo: 
 
 
'DGR�XP�HYHQWR�³$´�TXDOTXHU��UHSUHVHQWDGR�SHOR�FtUFXOR�DFLPD��R�VHX�FRPSOHPHQWDU�
é toda a parte vermelha da figura! 
 
Simples! Mas, agora que complica. Vamos a um exemplo para facilitar! 
 
Suponha dois grupos de pessoas concurseiras dentro de uma amostra com 
bacharéis em Engenharia, Direito e Economia, sendo que algumas passaram e que 
outras não passaram em concurso público. Podemos expressar os resultados da 
seguinte forma: 
 
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 Passou Não Passou Total 
Engenharia 20 10 30 
Direito 40 70 110 
Economia 30 60 90 
Total 90 140 230 
 
Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso a partir desta amostra ter 
sido estudante de Economia? 
 
Isso não tem segredo! O total de estudantes, ou seja, nosso espaço amostral é 
composto por 230 pessoas, sabendo-se que, desse total, 90 são economistas, 
temos que: 
 ܲሺ݁ܿ݋݊݋݉݅ݏݐܽሻ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? 
 
Mas, e se eu te perguntar qual a probabilidade da pessoa ser formada em Economia 
e ter passado em concurso? Neste caso, estamos falando de intersecção destes 
dois subconjuntos. Em termos de Diagrama de Venn: 
 
 
 
Viram do que estamos falando? Trata-se de um evento que necessita que as duas 
condições sejam verdade (ser economista e ter passado em concurso), refere-se à 
intersecção entre os dois subconjuntos (parte vermelha). 
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Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada 
SDUD�LGHQWLILFDU�D� LQWHUVHFomR�HQWUH�GRLV�VXEFRQMXQWRV�p�³ ?´. No nosso caso, 
se chamarmos os subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em 
concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a intersecção entre 
os mesmos como ࡭ ? ࡮. 
 
-³(�GH�TXDQWR�p�HVVD�SUREDELOLGDGH��SURIHVVRU´" 
 
Ora: ࡭ ? ࡮ ൌࢋࢉ࢕࢔࢕࢓࢏࢙࢚ࢇ࢙�࢛ࢗࢋ�࢖ࢇ࢙࢙ࢇ࢘ࢇ࢓࢚࢕࢚ࢇ࢒�ࢊࢇ�ࢇ࢓࢕࢙࢚࢘ࢇ ൌ ૜૙૛૜૙ ؆ ૙ǡ ૚૜ 
 
E se eu te perguntar qual a probabilidade de encontrarmos economistas ou pessoas 
que passaram? 
 
Agora a coisa é diferente! Veja no diagrama para entender bem: 
 
Veja como aumentou a parte vermelha! Se uma ou outra condição for verdadeira, 
devemos computá-la! &KDPDPRV�D�LVVR�GH�³UHXQLmR´�HQWUH�GRLV�VXEFRQMXQWRV� 
 
 
 
 
 
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Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada 
para identificar a reunião enWUH� GRLV�VXEFRQMXQWRV� p� ³ ?´�� 1R�QRVVR� FDVR�� VH�
chamarmos os subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em 
concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a reunião entre os 
mesmos como ࡭ ? ࡮. 
 
Como você encontraria tal probabilidade? 
 
-³2UD professor, faria como você fez anteriormente, somando as 
SUREDELOLGDGHV´� 
 ܲሺ݁ܿ݋݊݋݉݅ݏݐܽ�݋ݑ�݌ܽݏݏ݋ݑሻ ൌ ? ? ? ? ?൅ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? 
 
Então, meu amigo, tem um erro aí! 
 
Você percebeu que você está contando o economista que passou duas vezes? Por 
exemplo, dos 90 que passaram, 30 já são economistas, podendo ser feito o mesmo 
raciocínio inverso. Em termos de Diagrama de Venn, seria o mesmo que somar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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+ 
 
 
NestH� FDVR�� YRFr� HVWDUi� FRQWDQGR� GXDV� YH]HV� DTXHOD� ³SDUWH]LQKD´� TXH� p� D�
intersecção entre ambos: 
 
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Assim, o certo seria: 
 ܲሺ݁ܿ݋݊݋݉݅ݏݐܽ�݋ݑ�݌ܽݏݏ݋ݑሻ ൌ ? ? ? ? ?൅ ? ? ? ? ?െ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? 
 
Genericamente, para dois eventos A e B quaisquer, 
podemos afirmar que: 
 ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൅ ࡼሺ࡮ሻ െ ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ 
 
 
Mas, cuidado com o caso especial dos eventos disjuntos ou mutuamente 
exclusivos! 
 
A fim de exemplificar este conceito, imagine o lançamento de um dado honesto de 
forma que nosso espaço amostral seja dado por: 
 ሼ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?ሽ 
 
Assim, somente uma destas realizações é possível, ou seja, o resultado só pode ser 
uma das faces do dado. 
 
Qual é a probabilidade de o resultado do lançamento gerar os números 4 ou 5? 
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Ora: 
 ܲሺ ? ? ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൅ ܲሺ ?ሻ െ ܲሺ ? ? ?ሻ 
 
Vamos começar com o mais fácil, qual é a probabilidade de cair qualquer das faces 
de um dado? O dado tem 6 faces no total, de forma que a probabilidade de que 
qualquer delas seja o resultado é de: 
 ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ? ? 
 
Assim: 
 ܲሺ ? ? ?ሻ ൌ ? ?൅ ? ?െ ܲሺ ? ? ?ሻ 
 
E o último componente que se refere à intersecção entre os dois eventos? Qual é a 
probabilidade de ocorrer como resultado do experimento uma face do dado com 
número 4 e 5? É claro que é zero! Veja como seria a representação no Diagrama de 
Venn: 
 
 
 
 
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Estes eventos não tem intersecção! Ou seja, quando um ocorre o outro não pode 
ocorrer! Assim, neste caso, aquele último componente de nossa fórmula será igual à 
zero, de forma que: 
 
 ܲሺ ? ? ?ሻ ൌ ? ?൅ ? ?ൌ ? ?ൌ ૚૜ 
 
Entendeu? Então, vamos adiante! Mas, antes, vamos tratar de um tópico bem 
especifico. 
 
Obs. Propriedades 
 
Pessoal, este tópico é muito pouco cobrado em concursos públicos, porém é 
importante passarmos por ele, afinal não se sabe o que será pedido! 
 
Uma forma de ajudar a decorar tais propriedades é pensando que quando você tira 
o complemento de ? ou ?�� R� UHVXOWDGR� p� LQYHUWHU� D� ³EDUULJXLQKD´� GD� RSHUDomR��
Assim, em termos nem um pouco formais, você deve pensar que: 
 ሺ ?ሻ௖ ൌ ? ሺ ?ሻ௖ ൌ ? 
 
Assim, para três FRQMXQWRV�TXDLVTXHU�FKDPDGRV�GH�³$´, ³%´ H�³&´, destacam-se as 
seguintes propriedades: 
 ૚ሻ�ሺ࡭ ? ࡮ሻࢉ ൌ ࡭ࢉ ? ࡮ࢉ �����૛ሻ�ሺ࡭ ? ࡮ሻࢉ ൌ ࡭ࢉ ? ࡮ࢉ 
 
Beleza? Esta é a menos intuitiva das propriedades, assim, decore! Agora, as outras 
são bem mais fáceis de serem entendidas, tais como: 
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 ૜ሻ�࡭ ? ? ൌ ? 
 
Sendo ( ?) um conjunto vazio, ou seja, sem nenhum elemento. Isso faz todo o 
VHQWLGR�� GDGR� TXH� D� LQWHUVHFomR� GH� XP� FRQMXQWR� ³$´� TXDOTXHU� FRP� RXWUR� FRQMXQWR�
vazio não pode conter nenhum elemento. 
 ૝ሻ�࡭ ? ઴ ൌ ۯ 
 
Sendo (઴) representativo do HVSDoR� DPRVWUDO�� $� LQWHUVHFomR� GH� XP� FRQMXQWR� ³$´�
TXDOTXHU�FRP�R�HVSDoR�DPRVWUDO�p�R�SUySULR�FRQMXQWR�³$´� 
 
Com base nestes dois últimos, fica fácil visualizar que: 
 ૞ሻ�࡭ ? ? ൌ ࡭ �૟ሻ�࡭ ? ઴ ൌ ઴ 
 
Outras propriedades intuitivas relacionam um determinado conjunto com seu 
complementar, assim, sabendo-se que ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܣ௖ሻ ൌ ?, tem-se que: 
 �ૠሻ�࡭ ? ࡭ࢉ ൌ ઴ �ૡሻ�࡭ ? ࡭ࢉ ൌ ? 
 
Para finalizar, devemos tratar de uma propriedade que relaciona intersecções e 
reuniões entre conjuntos: 
 ૢሻ�࡭ ?ሺ࡮ ? ࡯ሻ ൌ ሺ࡭ ? ࡮ሻ ? ሺ࡭ ? ࡯ሻ 
 
Com base nestes três conjuntos, pode-se desenhar o seguinte Diagrama de Venn: 
 
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³(VWD�SURSULHGDGH�HVWi�GL]HQGR�TXH�D� LQWHUVHFomR�GH�XP�FRQMXQWR�FRP�XPD�
reunião de outros dois é equivalente à reunião da intersecção deste conjunto 
FRP�HVWHV�RXWURV�GRLV´�� Isso não está a coisa mais bem escrita do mundo, mas, 
lendo o texto e olhando o gráfico, vocês conseguirão entender o conceito. 
 
3. Probabilidade Condicional 
 
Voltemos a nosso exemplo da pesquisa sobre qual a formação superior que mais 
aprova em concurso público. Só relembrando a tabela: 
 
 Passou Não Passou Total 
Engenharia 20 10 30 
Direito 40 70 110 
Economia 30 60 90 
Total 90 140 230 
 
Anteriormente, havíamos realizado o cálculo para a probabilidade de que alguém na 
nossa amostra fosse economista, o que não apresentou maiores dificuldades. 
 
E se tivéssemos a informação a priori de que os economistas em questão se 
restringiriam àqueles que já passaram em concurso público? Ou seja, qual a 
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probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser economista, dado que o 
mesmo passou em concurso público? 
 
Você entende o que estou falando? A forma de avaliação não é a mesma, pois, 
neste caso, temos mais informações do que tínhamos anteriormente e, portanto, 
devemos nos utilizar dela! Essa é a ideia de probabilidade condicional! A forma 
XVXDO�GH�UHSUHVHQWDUPRV�XPD�SUREDELOLGDGH�FRQGLFLRQDO�GH�XP�HYHQWR�TXDOTXHU�³$´��
GDGR�RXWUR�HYHQWR�TXDOTXHU�³%´�p� 
 ܲሺܣȁܤሻ 
 
E como poderíamos incorporar esta informação, ou seja, de que forma este cálculo 
pode ser realizado? Vamos pensar intuitivamente para podermos chegar à fórmula! 
 
Veja o Diagrama de Venn abaixo: 
 
 
 
(X�WH�SHUJXQWR��GDGR�TXH�RFRUUHX�³%´��TXDO�SDUWH�GD�ILJXUD�UHSUHVHQWD�D�SRUomR�GH�
³$´�TXH�SRGH�RFRUUHU"�([DWDPHQWH��D�LQWHUVHFomR�HQWUH�RV�GRLV�FRQMXQWRV� Esta parte 
ODUDQMD� UHSUHVHQWD� D� SDUFHOD� GR� HYHQWR� ³$´� TXH� p� FRPSDWtYHO� FRP� D� LQIRUPDomR� a 
priori. 
 
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Mas, você já sabe que probabilidades são calculadas com base na divisão da 
quantidade de elementos ³IDYRUiYHLV´ pelo espaço amostral! Qual é o espaço 
amostral no nosso exemplo? O WDPDQKR�GH�³%´�� 
 
Agora fica fácil: 
 ࡼሺ࡭ȁ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻࡼሺ࡮ሻ 
 
Esta fórmula é muito importante, assim vocês devem decorá-la, mas não deixem de 
entender de onde ela vem, ok? Nesse caso, ܲሺܣሻ é a probabilidade a priori GH�³$´��R�
TXH�SRGH�VHU�³DWXDOL]DGR´�FRP�DV�QRYDV�LQIRUPDo}HV�GH�³%´��SHUPLWLQGR�D�REWHQomR�
da probabilidade a posteriori, ܲሺܣȁܤሻ. 
 
³%HOH]D�SURIHVVRU��PDV�PH�Gr�XP�H[HPSOR��HVWi�WXGR�PXLWR�WHyULFR´� 
 
Claro, é pra já! Retornando ao exemplo do nosso quadro acima, eu quero saber: 
 ࡼሺࢋࢉ࢕࢔࢕࢓࢏࢙࢚ࢇȁ࢖ࢇ࢙࢙࢕࢛ሻ ൌ�ǫ 
 
Ou seja, eu quero saber qual a probabilidade de um indivíduo ser economista, 
dado que ele passou. Vamos aplicar a fórmula? O numerador nós já temos 
calculado: 
 ܣ ? ܤ ൌ݁ ܿ݋݊݋݉݅ݏݐܽݏ�ݍݑ݁�݌ܽݏݏܽݎܽ݉ݐ݋ݐ݈ܽ�݀ܽ�ܽ݉݋ݏݐݎܽ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? 
 
Ótimo! E o denominador? Trata-se da probabilidade de encontrar alguém que 
passou, o que não é difícil: 
 
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ܲሺ݌ܽݏݏ݋ݑሻ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? 
 
 
Pronto: 
 
ࡼሺࢋࢉ࢕࢔࢕࢓࢏࢙࢚ࢇȁ࢖ࢇ࢙࢙࢕࢛ሻ ൌ ቀ ? ? ? ? ?ቁቀ ? ? ? ? ?ቁ ؆ ૙ǡ ૜૜૝ 
 
Viram? A probabilidade de encontrar um economista que passou é menor do 
que encontrar um economista dado que estamos tratando só com os que 
passaram. A informação adicional nos ajudou a ter uma previsão com mais 
acurácia! 
 
Retornando à parte mais teórica, algo muito importante em termos de prova é o 
conceito de independência estatística! 
 
-³2�TXH�p�LVVR��SURIHVVRU´" 
 
Dois eventos são ditos independentes se: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ 
 
Isso não te lembra nada? Boa! O lançamento da moeda! 
 
Imagine que foram IHLWRV� GRLV� ODQoDPHQWRV�� TXDO� D� SUREDELOLGDGH� GH� ³FDUD´� QR�
SUy[LPR�ODQoDPHQWR�GDGR�TXH�³FRURD´�RFRUUHX�QR�SULPHLUR" Ora, a probabilidade de 
RFRUUrQFLD�GH� ³FDUD´�FRQWLQXD� LJXDO�j� ?ǡ ?, pois o resultado do primeiro lançamento 
não afeta o segundo. Assim: 
 ܲሺܿܽݎܽ�݊݋� ? ?ȁܿ݋ݎ݋ܽ�݊݋� ? ?ሻ ൌ ܲሺܿܽݎܽሻ ൌ ?ǡ ? 
 
 
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Este é um exemplo de eventos independentes! A definição de eventos 
independentes perpassa pela necessidade de que a ocorrência de um não afete a 
probabilidade de ocorrência do outro. No caso de eventos independentes, podemos 
reescrever nossa fórmula da seguinte maneira: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ? ࡼሺ࡭ሻ ڄ ࡼሺ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ 
 
Quer mais um exemplo? 
 
Suponhaque você esteja desmanchando sua árvore de natal e que a mesma só 
possua bolas vermelha e prata. Sabendo-se que há 10 bolas vermelhas e 10 
prateadas, se você fechar os olhos e tirar uma bola, qual a probabilidade de que a 
mesma seja vermelha? 
 
Bom, isso é fácil, há 20 bolas no total, sendo que 10 são vermelhas, assim: 
 ܲሺݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? 
 
Suponha que você tirou uma bola vermelha! Agora, você decide tirar outra bola com 
os olhos vendados, repondo a que você já tirou. Qual a probabilidade de que a 
mesma seja vermelha? 
 
Ora, o evento relacionado à retirada da segunda bola independe do que houve da 
primeira vez, pois a bola foi reposta na árvore! Assim, fica fácil ver que: 
 ܲሺݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽ� ? ?ȁݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽ� ? ?ሻ ൌ ܲሺݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽሻ ൌ ?ǡ ? 
 
Entendeu? Este é um caso de eventos independentes! 
 
 
 
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4. Teorema de Bayes 
 
À primeira vista você vai pensar que o Teorema de Byes não tem nada demais, pois 
ele é tão somente uma decorrência do que estudamos na seção anterior. Porém, 
preciso detalhá-lo para você, pois ele cai muito. 
 
Então, a maior parte dos exercícios de concurso você não vai precisar da 
fórmula por si só, porém, se estudarmos este tópico de uma maneira um 
pouco mais aprofundada, você saberá responder os exercícios de forma mas 
rápida! 
 
Uma coisinha básica que eu quero que vocês entendam, suponha dois eventos 
TXDLVTXHU� ³$´� H� ³%´� H� DSOLTXH� DTXHOD� ³IRUPXOD]LQKD´� GH� SUREDELOLGDGH� FRQGLFLRQDO�
TXH� Mi� HVWXGDPRV� GH� IRUPD� D� HQFRQWUDU� D� SUREDELOLGDGH� GH� ³$´� GDGR� ³%´� H� D�
SUREDELOLGDGH�GH�³%´�GDGR�³$´��9RFr�YDL�FKHJDU�QLVVR� 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܣሻ 
 
O que estas duas fórmulas têm em comum? Exatamente, o termo ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ! 
 
Suponha que você queira calcular ܲሺܣȁܤሻ, então faça assim, substitua ܲሺܣ ? ܤሻ de 
forma que: 
 
 ܲሺܤȁܣሻ ڄ ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻ 
 
O que levará à: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܤȁܣሻ ڄ ܲሺܣሻܲሺܤሻ 
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Entretanto, não conhecemos o denominador (essa é a premissa). Assim, queremos 
saber a probabilidade condicional de ܣ dado ܤ, mas suponha que o resultado ܤ não 
é o único possível, sendo que poderia ter ocorrido ܥ, com ܲሺܥሻ ് ?. Por exemplo, 
poderíamos querer saber qual a probabilidade de um time ganhar se um 
determinado jogador participar da partida, neste caso: 
 ܲሺܣሻ ൌ ݌ݎ݋ܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁�݀݋�ݐ݅݉݁�݄݃ܽ݊ܽݎ ܲሺܤሻ ൌ ݌ݎ݋ܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁�݀݋�݆݋݃ܽ݀݋ݎ�݆݋݃ܽݎ ܲሺܥሻ ൌ ݌ݎ݋ܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁�݀݋�݆݋݃ܽ݀݋ݎ�݊ ݋�݆݋݃ܽݎ 
Assim, o Teorema de Bayes garante que: 
 ࡼሺ࡭ȁ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡮ȁ࡭ሻ ڄ ࡼሺ࡭ሻࡼሺ࡮ȁ࡭ሻ ڄ ࡼሺ࡭ሻ ൅ ࡼሺ࡮ȁ࡯ሻ ڄ ࡼሺ࡯ሻ 
 
-³3URIHVVRU��HVWH�p�R�IDPRVR�H�WHPtYHO�7HRUHPD�GH�%D\HV´" 
 
É isso aí! A ideia deste teorema é que, a partir de informações das probabilidades a 
priori GH�³$´�H�GH�³%´�H�GD�SUREDELOLGDGH�FRQGLFLRQDO�GH�³%´�GDGR�³$´�SRGHPRV�REWHU�
a relação desejada. Muitos exercícios costumam dar estas informações para que 
você calcule a probabilidade condicional. Isso chove em concurso público. Mas, dá 
para resolver sem a fórmula, basta pensar um pouquinho, ok? Não tem nada 
demais mesmo, você só tem que entender o mecanismo de funcionamento do 
mesmo para responder alguns exercícios, tal como este: 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 1 
 
(Analista Judiciário ± FCC/2001) Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e 
B, sabe-se que entre n famílias: 160 assinam o jornal A, 35 assinam os dois 
jornais, 201 não assinam B e 155 assinam apenas um jornal. O valor de n e a 
probabilidade de que uma família selecionada ao acaso assinar A dado que 
assina B são dados respectivamente por: 
a) 180 e 160/266 
b) 250 e 35/75 
c) 266 e 7/13 
d) 266 e 35/76 
e) 266 e 35/266 
 
Resolução 
 
Vamos lá pessoal! A ideia básica deste tipo de exercício é utilizar o Diagrama de 
Venn para podermos encontrar algum valor faltante, tal como n. Conselho, comece 
preenchendo a intersecção! Veja: 
 
 
O raciocínio é assim: 
 
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1) Se 160 assinam o jornal A e 35 assinam os dois, 125 pessoas assinam só A. 
2) 155 pessoas assinam só 1 jornal, como há 125 pessoas que assinam só A, 
30 pessoas assinam só B 
3) Como 201 pessoas não assinam B e 125 pessoas assinam só A, 76 pessoas 
não assinam nenhum. 
 
Portanto, o total de famílias é: 
 ݊ ൌ ? ? ? ൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?ൌ ૛૟૟ 
 
Isso não resolveu seu problema, pois há mais três alternativas com esta 
possibilidade. 
 
O que eles querem saber é: qual a probabilidade de assinar A dado que assina B. 
Isso foi só para te confundir. Uma maneira mais direta de perguntar a mesma coisa 
é: qual a probabilidade assinar os dois jornais, dado que assina B! 
 
Assim: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ 
 
Você já tem ambas as definições a partir do diagrama de Venn, basta substituir: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ൌ ? ?ሺ ? ?൅ ? ?ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ૠ૚૜ 
 
Alternativa (c). 
Boa pessoal! Vamos praticar, porque essa é a maneira 
mais fácil de aprender sobre probabilidades! 
 
 
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Exercício 2 
 
(IRB ± (6$)������� 6HQGR� T[� D� SUREDELOLGDGH� GH� XPD� SHVVRD� GH� LGDGH� ³[´�
falecer nesta idade e qy D�SUREDELOLGDGH�GH�XPD�SHVVRD�GH� LGDGH�³\´� IDOHFHU�
nesta idade e px = (1 - qx) e py = (1 ± qy), pode-se afirmar que o resultado da 
equação (1 ± px*py) indica a: 
 
a) Probabilidade de ambos estarem vivos 
b) Probabilidade de pelo menos um vivo 
c) Probabilidade de pelo menos um morto 
d) Probabilidade de ambos mortos 
e) 3UREDELOLGDGH�GH�³[´�YLYR�H�³\´�PRUWR�RX�³\´�YLYR�H�³[´�PRUWR 
 
Resolução 
 
Questão interessante e puramente conceitual. 
 
Primeira coisa que você tem de perceber é que ambas as probabilidades são 
mutuamente exclXVLYDV��SRLV�QmR�Ki�FRPR�XPD�SHVVRD�WHU�LGDGH�³[´�H�³\´�DR�PHVPR�
tempo! Neste caso, nós já sabemos que: 
 ܲሺݔ�݁�ݕሻ ൌ ܲሺݔሻ ൈ ܲሺݕሻ 
 
Esta é a probabilidade de que ambas as pessoas estejam vivas! 
 
-³3RU�TXH��SURIHVVRU´" 
 
Ora, qx (qy�� QmR� p� D� SUREDELOLGDGH� GH� TXH� XPD� SHVVRD� GH� LGDGH� ³[´� �³\´�� PRUUD"�
Então, px = 1 ± qx (py = 1 ± T\��p�D�SUREDELOLGDGH�GH�TXH�XPD�SHVVRD�GH�LGDGH�³[´�
�³\´��QmR�PRUUD� 
 
Neste caso, 1 ± px*py é o complemento da probabilidade de ambas as pessoas 
estarem vivas. Qual é este complemento? 
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Ora, trata-se da probabilidade de, pelo menos, uma das pessoas estar morta! 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 3 
 
(ICMS\SP ± FCC\2009) Considere que numa cidade 40% da população adulta é 
fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos nãofumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao 
acaso na cidade ser mulher? 
a) 44% 
b) 52% 
c) 50% 
d) 48% 
e) 56% 
 
Resolução 
 
Esta questão é mais facilmente resolvida só com raciocínio! O que você tem de 
fazer é encontrar o quanto as mulheres representam da população total. A 
população se divide da seguinte forma: 
 
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É assim: 
 
1) 40% da população adulta é fumante e deste valor 40% são mulheres. 
Portanto, ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ? da população adulta total são mulheres que 
fumam. 
2) 60% da população adulta não fuma e 60% das pessoas que não fumam são 
mulheres, assim ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ? da população adulta que não fuma 
são mulheres. 
 
Estes são eventos mutuamente exclusivos, assim a soma das mulheres que fumam 
mais as que não fumam é o total da população feminina. Portanto: 
 ܲ݋݌�݂݁݉݅݊݅݊ܽ ൌ ? ? ?൅ ? ? ?ൌ ? ? ? 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 4 
 
(Petrobrás ± CESGRANRIO/2008) A tabela abaixo representa o peso de um 
grupo de pessoas e suas respectivas frequências. Não há observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
Classes (em kgf) Frequências 
40ٟ50 2 
50ٟ60 5 
60ٟ70 7 
70ٟ80 8 
80ٟ90 3 
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Uma pessoa de mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade de 
que o peso desta pessoa esteja entre 60 e 80 kgf é de, aproximadamente: 
 
a) 65% 
b) 63% 
c) 60% 
d) 58% 
e) 55% 
 
Resolução 
 
Perceba que a questão já afirma que estamos tratando de pessoas com mais de 50 
kgf, portanto, em termos de frequência relativa: 
 
Classes (em kgf) Frequências Relativa 
50ٟ60 5 0,217391 
60ٟ70 7 0,304348 
70ٟ80 8 0,347826 
80ٟ90 3 0,130435 
Total 23 1 
 
A probabilidade de estar no intervalo desejado é de ?ǡ ? ? ? ?൅ ?ǡ ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ?ൌ ૟૞ ? 
 
Alternativa (a). 
 
 
(Petrobrás ± CESGRANRIO/2005) Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a 
probabilidade de um homem ser míope é de 0,05 e de uma mulher é de 0,1. 
Com base nestas informações responda às seguintes perguntas. 
 
Exercício 5 
 
Selecionando uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de ela ser míope? 
 
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a) 0,05 
b) 0,06 
c) 0,07 
d) 0,08 
e) 0,09 
 
Resolução 
 
Esta questão é muito fácil! Basta encontrarmos o total de pessoas míopes na 
população e dividir este número pelo total da população de forma a que 
encontremos os elementos da fórmula: 
 ܲሺܣ ൌ ݉À݋݌݁ሻ ൌ ܳݑܽ݊ݐ݅݀ܽ݀݁�݀݁�ݒ݁ݖ݁ݏ�ݍݑ݁�݋ܿ݋ݎݎ݁�ܣܳݑܽ݊ݐ݅݀ܽ݀݁�݀݁�݈݁݁݉݁݊ݐ݋ݏ�݊݋�݁ݏ݌ܽ­݋�ܽ݉݋ݏݐݎ݈ܽ 
 
 
Temos 40 homens e 0,05 = 5% deles são míopes, assim: 
 ? ?ڄ ?ǡ ? ?ൌ ૛ 
 
Existem dois homens míopes! E mulheres? Existem 60 mulheres e 10% delas são 
míopes, portanto: 
 ? ?ڄ ?ǡ ? ൌ ૟ 
 
Portanto, há ሺ ? ൅ ? ൌ ?ሻ míopes na população. Assim, a probabilidade de encontrar 
um míope é de: 
 ܲሺ݉À݋݌݁ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ૙ǡ ૙ૡ 
 
Alternativa (d). 
 
 
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Exercício 6 
 
Selecionando um míope ao acaso, qual a probabilidade de o mesmo ser 
homem. 
 
a) 0,25 
b) 0,27 
c) 0,30 
d) 0,33 
e) 0,40 
 
Resolução 
 
Olha o Teorema de Bayes aí gente! O que ele está te perguntando é: qual a 
probabilidade de alguém escolhido ao acaso ser homem dado que o mesmo é 
míope. Com base em nossa fórmula: 
 ܲሺ݄݋݉݁݉ȁ݉À݋݌݁ሻ ൌ ܲሺ݄݋݉݁݉ ? ݉À݋݌݁ሻܲሺ݉À݋݌݁ሻ 
 
O numerador deriva do que já encontramos, no caso sabemos que há dois homens 
míopes, portanto, a probabilidade de alguém ser homem e míope é de: ܲሺ݄݋݉݁݉ ? ݉À݋݌ሻ݁ ൌ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? 
Agora, a probabilidade de ser míope independentemente do sexo, com base no que 
encontramos no exercício anterior é de: 
 ܲሺ݉À݋݌݁ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? 
 
Substituindo na fórmula: 
 
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ܲሺ݄݋݉݁݉ȁ݉À݋݌݁ሻ ൌ ܲሺ݄݋݉݁݉ ? ݉À݋݌݁ሻܲሺ݉À݋݌݁ሻ ൌ ?ǡ ? ? ?ǡ ? ?ൌ ૙ǡ ૛૞ 
 
Alternativa (a). 
 
Exercício 7 
 
(Auditor da Previdência ± ESAF/2002) Suponha que a probabilidade de um 
evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C 
ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de 
ocorrência de D e C. 
 
a) 0,5 
b) 0,08 
c) 0 
d) 1 
e) 0,6 
 
Resolução 
 
Essa questão é só aplicar a fórmula: 
 
 ܲሺܦȁܥሻ ൌ ܲሺܦ ? ܥሻܲሺܥሻ ? ?ǡ ? ൌܲ ሺܦ ? ܥሻ ?ǡ ? ? ࡼሺࡰ ? ࡯ሻ ൌ ૙ǡ ૙ૡ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 8 
 
(Auditor da Previdência ± ESAF/2002) Considere um ensaio aleatório com 
espaço amostral {T,U,V,W}. Considere os eventos M = {T}, N={U,V} e S={W}. 
Assinale a opção correta relativamente à probabilidade de ࡹ ? ࡺ ? ࡿ. 
 
a) Não se pode determinar a probabilidade de intersecção. 
b) É o produto das probabilidades de M, N e S. 
c) A probabilidade é um, pois pelo menos um dos três deve ocorrer. 
d) A probabilidade de intersecção é de 1/3. 
e) A probabilidade de intersecção é nula, pois os eventos são mutuamente 
exclusivos. 
 
Resolução 
 
Pessoal, a forma mais fácil de visualizar a solução é com base no Diagrama de 
Venn: 
 
 
 
Ficou fácil enxergar, não? Não há intersecção entre os conjuntos, os eventos são 
mutuamente exclusivos. 
 
Alternativa (e). 
 
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Exercício 9 
 
(BACEN ± FCC/2005) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores 
(A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa 
apresentar lucro é de 0,70 sendo empresa do setor A; 0,8 sendo empresa do 
setor B e 0,9 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economia 
existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo 
aleatoriamente uma empresa pertencente a esses 3 setores e detectando-se 
que ela não apresenta lucro, a probabilidade dela pertencer ao setor A é de: 
a) 30% 
b) 40% 
c) 50% 
d) 75% 
e) 80% 
 
Resolução 
 
Isso é um caso típico de probabilidade condicional. Voltemos novamente ao 
Teorema de Bayes: 
 ܲሺܣȁ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻ ൌ ܲሺܣ ? ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻܲሺ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻ 
 
Vamos começar a calcular! O exercício nos deu as probabilidades de que as 
empresas tenham lucro, assim a probabilidade de que elas não tenham é o 
complementar destas últimas: 
 ܲሺܣ ? ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ܲሺܤ ? ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ? ܲሺܥ ? ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? 
 
Agora vamos encontrar a quantas empresas este valor corresponde, basta 
multiplicar a probabilidade pela quantidade de empresas: 
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 ܧ݉݌ݎ݁ݏܽݏ�ܣ�ݏ݁݉�݈ݑܿݎ݋ ൌ ?ǡ ? ڄ ? ? ?ൌ ? ? ? ܧ݉݌ݎ݁ݏܽݏ�ܤ�ݏ݁݉�݈ݑܿݎ݋ ൌ ?ǡ ? ڄ ? ? ?ൌ ? ? ܧ݉݌ݎ݁ݏܽݏ�ܥ�ݏ݁݉�݈ݑܿݎ݋ ൌ ?ǡ ? ڄ ? ? ?ൌ ? ? 
 
Agora ficou fácil! No total nós temos ( ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?ൌ ? ? ? ?) empresas. Deste 
total, ( ? ? ?൅ ? ?൅ ? ?ൌ ? ? ?). Portanto, a probabilidade de uma empresa não ter 
lucro é de: 
 ܲሺ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? 
 
No caso, a probabilidade de ser uma empresa A e não ter lucro é de: 
 
 
 ܲሺܣ ? ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? 
 
Agora aplique na fórmula: 
 ܲሺܣȁ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻ ൌ ܲሺܣ ? ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻܲሺ݊ ݋�ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎ݋ሻ ൌ ? ? ?Ȁ ? ? ? ? ? ? ?Ȁ ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ?ൌ ૠ૞ ? 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 10 
 
(CGU ± ESAF/2008) Dois eventos são independentes se: 
 
a) ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൅ ࡼሺ࡮ሻ 
b) ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൊ ࡼሺ࡮ሻ 
c) ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ െ ࡼሺ࡮ሻ 
d) ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡮ሻ ൅ ࡼሺ࡮ȁ࡭ሻ 
e) ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൈ ࡼሺ࡮ሻ 
 
Resolução 
 
4XHVWmR�FRQFHLWXDO��%DVWD�QRV� OHPEUDU�GDTXHOH� ³PDQWUD´��DVVLP�SDUD�GRLV�HYHQWRV�
³$´�H�³%´�TXDLVTXHU� 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ 
 
Se os eventos são independentes a probabilidade de A dado B é igual à 
probabilidade de A, assim: 
 ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ 
 
 
Multiplicando invertido: 
 ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
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Exercício 11 
 
(Petrobrás ± CESGRANRIO/2011) Dois eventos de um espaço amostral são 
independentes se e somente se: 
a) A informação e que um deles ocorreu não altera a probabilidade de 
ocorrência do outro. 
b) Um deles ocorrendo, o outro não poderá ocorrer. 
c) São disjuntos, ou seja, a probabilidade de ocorrerem juntos é negativa. 
d) São negativamente correlacionados. 
e) Têm a mesma probabilidade de ocorrer. 
 
Resolução 
 
Com base no que vimos no exercício acima, sabemos que dois eventos 
independentes têm a característica de que se um deles ocorrer, a probabilidade de 
ocorrência do outro não se altera. 
 
Gabarito (a). 
 
Exercício 12 
 
(Petrobrás ± CESGRANRIO/2005) Os eventos A e B são independentes e suas 
probabilidades são P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4. Quanto vale ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ? 
 
a) 0,5 
b) 0,6 
c) 0,7 
d) 0,8 
e) 0,9 
 
Resolução 
 
Esta resolução parte da nossa fórmula para reunião: 
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user
Realce
...informação de que...
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 ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ? ܤሻ 
 
Como os eventos são independentes: 
 ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ڄ ܲሺܤሻ ൌ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ൌ ૙ǡ ૛ 
 
Assim, vamos substituir na fórmula: 
 ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? െ ?ǡ ? ൌ ૙ǡ ૠ 
 
Alternativa (c). 
 
 
Exercício 13 
 
(CGU ± ESAF/2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de 
transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras 
e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para 
constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais 
sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 
a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,15 
d) 0,20 
e) 0,24 
 
Resolução 
 
Agora vamos nos utilizar de análise combinatória! 
 
O que nós temos de fazer é o seguinte, encontrar quantas combinações (pois a 
ordem em que os indivíduos forem escolhidos não importa) de três pessoas são 
possíveis em que o sexo de todas seja igual e dividir o resultado por todas as 
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combinações possíveis! Iremos fazer isso para os dois sexos. No caso dos homens, 
queremos saber quantas combinações de 3 homens são possíveis, dado que há 6 
pessoas do sexo masculino: 
 ܥ଺ǡଷ ൌ ?Ǩሺ ? െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ?ൌ ૛૙ 
 
Realizando a mesma operação para as mulheres: 
 ܥସǡଷ ൌ ?Ǩሺ ? െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ൌ ૝ 
 
Ótimo! Agora temos de encontrar todas as combinações possíveis, 
independentemente da disposição do grupo pelo sexo dos indivíduos. Neste caso, 
temos uma combinação de 10 elementos três a três: 
 ܥଵ଴ǡଷ ൌ ? ?Ǩሺ ? ?െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ?ൌ ૚૛૙ 
 
Para encontrarmos a probabilidade do que é pedido na questão precisamos calcular 
o quanto aquelas combinações representam do total: 
 ܲሺ݉݁ݏ݉݋�ݏ݁ݔ݋ሻ ൌ ? ? ? ? ?൅ ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ?ൌ ૙ǡ ૛ 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 14 
 
(ICMS\RJ ± FGV\2007) A tabela abaixo representa a distribuição de 1000 
pessoas classificadas por sexo e Estado Civil: 
 
 
Uma pessoa é selecionada ao acaso, a probabilidade de a mesma ser uma 
mulher ou viúva é de: 
 
a) 0,6 
b) 0,2 
c) 0,4 
d) 0,7 
e) 0,5 
 
Resolução 
 
Vamos à nossa fórmula de reunião de probabilidades: 
 ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ ?ݒ݅ïݒܽሻ ൌ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎሻ ൅ ܲሺݒ݅ïݒܽሻ െ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ ?ݒ݅ïݒܽሻ 
 
Agora fica bem fácil! Dado que nosso espaço amostra é de 1000 indivíduos e que 
há 400 mulheres e 200 viúvos: 
 ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? 
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user
Realce
...o Professor não falou a respeito, mas aqui está uma grande pegadinha, porque a palavra "viúva" não esta se referindo a mulheres, apesar no gênero ser feminino. Ela esta se referindo a "pessoas", onde estão inseridos "homens" e "mulheres", ou seja, 200 pessoas dentre 1.000. No entanto, ao consideramos as 400 mulheres, dentro delas ja estão 100 que são as "mulheres viúvas", as quais terão que ser deduzidas das 200 pessoas viúvas, haja vista ao considerarmos a proporção das mulheres, nesta proporção já estão considerados aquelas que são viúvas e que também ja estão dentro das 200 pessoas viúvas, senão estaremos incorrendo em duplicidade de contagem.
user
Realce
...ficaria mais claro falar em 200 "pessoas" viúvas, onde estão incluídos homens "viúvos" e mulheres "viúvas".
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ܲሺݒ݅ïݒ݋ሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? 
 
Agora temos de encontrar a probabilidade de intersecção, com vistas a excluir a 
dupla contagem. No caso, há 100 mulheres e viúvas, o que representa 10% do total. 
Assim: 
 ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ ?ݒ݅ïݒܽሻ ൌ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎሻ ൅ ܲሺݒ݅ïݒܽሻ െ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ ?ݒ݅ïݒܽሻ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? െ ?ǡ ? ൌ ૙ǡ ૞ 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 15 
 
(ATA\MF ± ESAF\2012) Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas 
bolassão retiradas desta caixa, uma a uma e sem reposição, qual a 
probabilidade de serem da mesma cor? 
 
a) 55% 
b) 50% 
c) 40% 
d) 45% 
e) 35% 
 
Resolução 
 
Este tipo de questão sem muitas alternativas de combinações, eu sempre aconselho 
a vocês resolverem com base em raciocínio. Vamos a dois casos possíveis, duas 
bolas brancas ou duas bolas pretas. 
 
1) 2 bolas pretas: na primeira extração haviam 5 bolas na caixa, sendo que 
destas duas eram pretas. Portanto, na 1ª extração a chance era de 2 para 5 
de vir uma bola preta, enquanto que, na segunda, a chance era de 1 para 4, 
dado que uma bola preta já foi extraída. Portanto: 
 
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ܲሺ݌ݎ݁ݐܽሻ ൌ ? ?ڄ ? ?ൌ ? ? ? 
 
2) 2 bolas brancas: por raciocínio análogo, pode-se inferir que a chance de 
extrair uma bola branca na primeira vez era de 3 para 5, enquanto que na 
segunda era de 2 para 4. Assim: 
 ܲሺܾݎܽ݊ܿܽሻ ൌ ? ?ڄ ? ?ൌ ? ? ? 
 
 
Não há como os dois casos ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja, os eventos são 
mutuamente exclusivos. Assim: 
 ܲሺܾݎܽ݊ܿܽ ? ݌ݎ݁ݐሻܽ ൌ ܲሺܾݎܽ݊ܿܽሻ ൅ ܲሺ݌ݎ݁ݐܽሻ െ ܲሺܾݎܽ݊ܿܽ ? ݌ݎ݁ݐሻܽ ൌ ? ? ?൅ ? ? ?ൌ ? ? ?ൌ ૙ǡ ૝ ൌ ૝૙ ? 
 
Alternativa (c). 
Pessoal, agora vou dar alguns exercícios mais teóricos e um 
pouco mais aprofundados. Estas questões eu tirei do exame da ANPEC 
(Associação Nacional dos Centros de Pós Graduação em Economia)! Apesar 
de elas não serem de nenhum concurso específico, o aprofundamento 
necessário para resolvê-ODV� YDL� GDU� D� YRFrV� XPD� ³PDWXULGDGH� LQWHOHFWXDO´�� R�
que ajuda a resolver as mais fáceis! 
 
(ANPEC ± 2010) Sobre a teoria das probabilidades e considerando A, B e C 
três eventos quaisquer, mas com probabilidades de ocorrência diferentes de 
zero, julgue as afirmativas: 
 
Exercício 16 ࡼሺ࡭ȁ࡮ሻࡼሺ࡮ȁ࡭ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻࡼሺ࡮ሻ 
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Resolução 
 
Vamos à nossa fórmula: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܣሻ 
 
 
Agora, basta dividir uma expressão pela outra: 
 ܲሺܣȁܤሻܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻܲሺܣ ? ܤሻܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣሻܲሺܤሻ 
 
Gabarito: alternativa correta. 
 
Exercício 17 
 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, eles são independentes. 
 
Resolução 
 
Questão importantíssima! Vamos ver se vocês entenderam o conceito de 
independência. 
 
Há como formalizar matematicamente esta resposta, mas eu prefiro utilizar a 
intuição. 
 
6H�GRLV�HYHQWRV�³$´�H�³%´�VmR�PXWXDPHQWH�H[FOXVivos isso significa que a ocorrência 
de um implica a não ocorrência do outro! Mas, isso é o oposto de independência, 
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user
Realce
....nos eventos mutuamente exclusivos, a ocorrência de um implica na impossibilidade da ocorrência do outro, ou seja, a ocorrência de um "depende" da não ocorrência do outro....já nos independentes a ocorrência de um implica apenas na não ocorrência do outro, mas não na impossibilidade desse outro ocorrer, ou seja, é possível que ambos ocorram ao mesmo tempos[[.
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SRLV��QHVWH�FDVR��D�SUREDELOLGDGH�GD�RFRUUrQFLD�GH�XP�GRV�HYHQWRV�� WDO� FRPR� ³$´��
QmR�SRGHULD�DIHWDU�D�SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD�GH�³%´��Entendeu a ideia? 
 
Portanto, alternativa errada. 
 
 
Exercício 18 
 
Probabilidade é uma função que relaciona elementos do espaço amostral a 
valores no intervalo fechado entre 1 e zero. 
 
Resolução 
 
Esta é a própria definição formal de probabilidade, associando uma parcela do 
espaço amostral à sua totalidade, sendo que este valor estará definido entre os 
valores de 0 a 1. 
 
Alternativa correta. 
 
(ANPEC ± 2011) Julgue as afirmativas: 
 
Exercício 19 
 
Se ࡼሺ࡭ሻ ൌ ૙ǡ ૝, ࡼሺ࡮ሻ ൌ ૙ǡ ૡ e ࡼሺ࡭ȁ࡮ሻ ൌ ૙ǡ ૛, então ࡼሺ࡮ȁ࡭ሻ ൌ ૙ǡ ૝ 
 
Resolução 
 
Basta lembrarmos que existe um elemento comum entre as fórmulas de ܲሺܣȁܤሻ e ܲሺܤȁܣሻ, dado por ܲሺܣ ? ܤሻ. Portanto: 
 ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ? ሺܲܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ڄ ܲሺܤሻ 
 
Substituindo na fórmula de ܲሺܤȁܣሻ: 
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 ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ڄ ܲሺܤሻܲሺܣሻ 
 
 
Essa é a nossa fórmula do Teorema de Bayes. Substituindo os valores: 
 ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ڄ ܲሺܤሻܲሺܣሻ ൌ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ?ǡ ? ൌ ૙ǡ ૝ 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 20 
 
Se ࡼሺ࡭ሻ ൌ ૙, então ࡭ ൌ ࢉ࢕࢔࢐࢛࢔࢚࢕�࢜ࢇࢠ࢏࢕ 
 
Resolução 
 
Outra pegadinha! Não necessariamente, pois nem todo evento que tem 
probabilidade de ocorrência igual à zero corresponde a um conjunto vazio. Isso é 
meio que intuitivo, pense nisso! 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
(BACEN ± FCC/2006) A probabilidade de um associado de um clube pagar a 
sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos 1 não atrasar sua mensalidade 
é de: 
a) ૚ െ ૙ǡ ૢ૞૞ 
b) ૙ǡ ૢ૞૞ 
c) ૝ǡ ૠ૞ ڄ ૙ǡ ૢ૞૞ 
d) ૞ ڄ ૙ǡ ૢ૞૞ 
e) ૚ െ ૙ǡ ૙૞૞ 
 
Resolução 
 
A resolução desta questão parece complicada, mas não é! A primeira coisa que 
vocês têm de perceber é que os eventos de diferentes associados atrasarem sua 
mensalidade são independentes. Portanto, a probabilidade de ocorrência de todos 
ao mesmo tempo é igual ao produto das probabilidades. Vamos chamar a 
SUREDELOLGDGH�GR�LQGLYtGXR�³L´�DWUDVDU�R�SDJDPHQWR�GH��ܣ௜), assim: 
 ܲሺܣଵ ? ܣଶ ? ܣଷ ? ܣସ ? ܣହሻ ൌ ܲሺܣଵሻ ڄ ܲሺܣଶሻ ڄ ܲሺܣଷሻ ڄ ܲሺܣସሻ ڄ ܲሺܣହሻ 
 
Portanto: 
 ܲሺܣଵሻ ڄ ܲሺܣଶሻ ڄ ܲሺܣଷሻ ڄ ܲሺܣସሻ ڄ ܲሺܣହሻ ൌ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ?ହ 
 
Esta é a probabilidade de que todos atrasem o pagamento! Então, ? െ ?ǡ ? ?ହ é a 
probabilidade de que ao menos um associado não atrase o pagamento. 
 
Alternativa (e). 
 
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Exercício 22 
 
(Integração Nacional ± ESAF/2012) Uma turma de escola de 1º grau tem 30 
alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são meninos. Ao se escolher, ao acaso, 
três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de 2 dos 3 
escolhidos serem meninas? 
a) ½ 
b) 12/27 
c) 45/91 
d) 95/203 
e) 2/3 
 
 
Resolução 
 
Bom, nós temos de escolher combinações possíveis das meninas de forma a 
preencher duas das vagas que precisamos preencher. A ordem não importa, assim: 
 ܥଶ଴ǡଶ ൌ ? ?Ǩሺ ? ?െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ? ? ڄ ? ൌ ૚ૢ૙ 
 
Como temos 10 meninos na escola, podemos encontrar o número de possibilidades 
apenas multiplicando estes dois números (tal como no exemplo do macho e da 
fêmea): 
 ܲ݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ ൌ ? ? ?ڄ ? ?ൌ ૚ૢ૙૙ 
 
Agora basta dividir este número pelo total de possibilidades! Isso será dado por 
todas as combinações possíveis, ou seja a combinação dos 30 elementos em 
conjuntosde três: 
 ܥଷ଴ǡଷ ൌ ? ?Ǩሺ ? ?െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ?ڄ ? ? ? ڄ ? ڄ ? ൌ ૝૙૟૙ 
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Assim, a probabilidade desejada é de: 
 ܲሺ ?݉݁݊݅݊ܽݏǡ ?݉݁݊݅݊݋ሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ૢ૞૛૙૜ 
 
Alternativa (d). 
 
Exercício 23 
 
(FINEP ± CESGRANRIO/2011) Um sistema de detecção de temporais é 
composto por dois subsistemas, A e B, que operam independentemente. Se 
ocorrer temporal, o sistema A acionará o alarme com probabilidade 90%, e o 
sistema B com probabilidade 95%. Se não ocorrer temporal, a probabilidade 
de que o sistema A acione o alarme, isto é, um falso alarme, é de 10%, e a 
probabilidade de que o sistema B acione o alarme é de 20%. O sistema foi 
acionado. A probabilidade de que ocorra um temporal é de, aproximadamente, 
 
a) 9/19 
b) 185/215 
c) 855/875 
d) 995/1000 
e) 995/1275 
 
Resolução 
 
Essa questão é difícil! Atenção aos detalhes. 
 
A primeira coisa que você tem de entender é que temos 2 SRVVLELOLGDGHV��³R�DODUPH�
VRRX� VHP� WHPSRUDO´� H� ³R� DODUPH� VRRX� FRP� WHPSRUDO´�� GDGR� TXH� R� QRVVR� HVSDoR�
amostral foi reduzido de forma a considerar que o alarme foi acionado! 
 
Assim, pense que devemos encontrar: 
 
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ܲሺݐ݁݉݌ȁݏ݋ܽݎሻ ൌ ܲሺݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽ�݁�ݏ݋ܽݎሻܲሺݏ݋ܽݎሻ 
 
A probabilidade de soar nós tiramos de uma reunião entre a probabilidade de soar 
com temporal e sem temporal, de forma que: 
 ܲሺݏ݋ܽݎሻ ൌ ܲሺݏ݋ܽݎܿ݋݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽ ? ݏ݋ܽݎݏ݁݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ 
 
 ܲሺݏ݋ܽݎሻ ൌ ܲሺݏ݋ܽݎܿ݋݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ ൅ ܲሺݏ݋ܽݎݏ݁݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ െ ܲሺݏ݋ܽݎܿ݋݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽ ? ݏ݋ܽݎݏ݁݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ 
 
É fácil visualizar que o último elemento é igual à zero, pois não há intersecção entre 
os eventos. Assim: 
 ܲሺݏ݋ܽݎሻ ൌ ܲሺݏ݋ܽݎܿ݋݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ ൅ ܲሺݏ݋ܽݎݏ݁݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ 
 
Mas, há mais de um alarme, portanto, a probabilidade de soar, com ou sem 
temporal, deve ser uma reunião das probabilidades de soar no alarme A e B: 
 ܲሺݏ݋ܽݎሻ ൌ ܲሺݏ݋ܽݎܿ݋݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ ൅ ܲሺݏ݋ܽݎݏ݁݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ 
 
Se nós detalharmos as duas probabilidades: 
 ܲሺݏ݋ܽݎܿ݋݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏ݋ܽݎ ? ?� ?ݏ݋ܽݎሻ ܲሺݏ݋ܽݎݏ݁݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏ݋ܽݎ ? ?� ?ݏ݋ܽݎሻ 
 
Nós já sabemos que ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൅ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ? ܤሻ, então vamos abrir estas 
expressões: 
 ܲሺݏ݋ܽݎܿ݋݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏ݋ܽݎሻ �൅ ܲሺ ?ܤ ?ݏ݋ܽݎሻ െ ܲሺ ?ܣ ?݁ ?ܤ ?ݏ݋ܽݎሻ ܲሺݏ݋ܽݎݏ݁݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏ݋ܽݎሻ �൅ ܲሺ ?ܤ ?ݏ݋ܽݎሻ െ ܲሺ ?ܣ ?݁ ?ܤ ?ݏ݋ܽݎሻ 
 
No enunciado é dito que ambos são independentes, de forma que: 
 
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ܲሺݏ݋ܽݎܿ݋݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏ݋ܽݎሻ �൅ ܲሺ ?ܤ ?ݏ݋ܽݎሻ െ ܲሺ ?ܣ ?ݏ݋ܽݎሻ � ڄ ܲሺ ?ܤ ?ݏ݋ܽݎሻ� ܲሺݏ݋ܽݎݏ݁݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏ݋ܽݎሻ �൅ ܲሺ ?ܤ ?ݏ݋ܽݎሻ െ ܲሺ ?ܣ ?ݏ݋ܽݎሻ � ڄ ܲሺ ?ܤ ?ݏ݋ܽݎሻ� 
 
Agora, é só substituir os valores do enunciado: 
 ܲሺݏ݋ܽݎܿ݋݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ܲሺݏ݋ܽݎݏ݁݉ݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽሻ஺�௘�஻ ൌ ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? െ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? 
 
Assim, o espaço amostral é dado por: 
 ࡼሺ࢙࢕ࢇ࢘ሻ ൌ ૚ǡ ૛ૠ૞ 
 
Nós já calculamos a probabilidade de soar com temporal, aí é só calcular: 
 ܲሺݐ݁݉݌ȁݏ݋ܽݎሻ ൌ ܲሺݐ݁݉݌݋ݎ݈ܽ�݁�ݏ݋ܽݎሻܲሺݏ݋ܽݎሻ ൌ ?ǡ ? ? ? ?ǡ ? ? ? 
 
Multiplicando o numerador e o denominador por 1000 chegamos à alternativa (e). 
 
 
Exercício 24 
 
(FINEP ± NCEUFRJ/2006) Um jogador está interessado em fazer apostas com 
base nos resultados obtidos com o lançamento de dois dados 
simultaneamente. Ele deseja determinar as probabilidades de dois tipos de 
resultados: a) a soma dos números que aparecem nos dois dados é menor do 
que 4; e b) o número que aparece em um dado é diferente do número que 
aparece no outro dado. As respostas corretas são, respectivamente: 
a) 1/9 e 5/6 
b) 1/12 e 5/6 
c) 1/9 e 5/12 
d) 1/12 e 2/3 
e) 1/6 e 5/12 
 
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Realce
...isso tem que ser feito porque "soar falso" não esta dentro de "soar verdadeiro", até porque não há nexo....ou seja, para calcular a resposta não podemos deduzir "soar falso" de "soar verdadeiro", mas sim calcular a proporção de "soar verdadeiro" no conjunto total de "soar", que incluir "soar verdadeiro" e "soar falso"
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Resolução 
 
Vamos por partes, primeiro iremos determinar a probabilidade de que a soma das 
faces seja menor do que 4. 
 
As possibilidades de que a soma das faces seja menor do que 4 são: 
 ሼሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻሽ 
 
Ora, com base no princípio fundamental da contagem, são três combinações de um 
total de: 
 ?�݊ï݉݁ݎ݋ݏ�݌݋ݏݏÀݒ݁݅ݏ�݀݋�݀ܽ݀݋� ? ൈ ?�݊ï݉݁ݎ݋ݏ�݌݋ݏݏÀݒ݁݅ݏ�݋݀�݀ܽ݀݋� ? ൌ૜૟ 
 
Assim: 
 ܲሺݏ݋݉ܽ�݉݁݊݋ݎ�ݍݑ݁� ?ሻ ൌ ? ? ?ൌ ૚૚૛ 
 
Beleza! Agora, vamos calcular a probabilidade de que os números dos dados sejam 
diferentes! 
 
É muito mais fácil calcularmos a probabilidade de que os mesmos sejam iguais e 
encontrar o complemento da mesma. As possibilidades de resultados iguais são: 
 ሼሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻሽ 
 
Ou seja, são 6 possibilidades de um total de 36! Assim: 
 ܲሺ݊ ?�݅݃ݑܽ݅ݏሻ ൌ ? ? ?ൌ ? ? 
 
O complemento desta última é dado por: 
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 ܲሺ݊ ?�݂݀݅݁ݎ݁݊ݐ݁ݏሻ ൌ ? െ ? ?ൌ ૞૟ 
 
Portanto, alternativa (b). 
 
Exercício 25 
 
(ATA ± ESAF/2012) Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a 
probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8? 
a) 41% 
b) 44% 
c) 42% 
d) 45% 
e) 43% 
 
 
Resolução 
 
Questão bem tranquila, mas tem que pensar um pouco. 
 
Primeira coisa é encontrar quantos números entre 1 e 100 são divisíveis por 3 e 8. 
 
Ora, pense comigo, quantos números que são múltiplos de 3 estão entre 1 e 100? 
Você precisa encontrar o maior valor possível de um múltiplo de 3 (ݔ) que seja 
menor do que 100, pois, neste caso, você encontrará quantos múltiplos de 3 
existem neste intervalo. 
 
Se você calcular, verá que: 
 ݔ ൌ ? ? 
 
Pois, ? ൈ ? ?ൌ ? ?, enquanto que ? ൈ ? ?ൌ ? ? ?, o que é maior do que 100. Assim, 
existem 33 múltiplos de 3 que estão entre 1 e 100. 
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E múltiplos de 8? Se você pensar da mesma forma, vai perceber que: 
 ݔ ൌ ? ? 
 
Pois, ? ൈ ? ?ൌ ? ?, enquanto que ? ൈ ? ?ൌ ? ? ?, o que é maior do que 100. Assim, 
existem 12 múltiplos de 8 que estão entre 1 e 100. 
 
Entretanto, existem números repetidos nesta lista, pois há números que são 
divisíveis por 3 e 8. Assim, qual é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC, lembra do 2º 
grau?) entre 3 e 8? Assim, para encontrar os números que são múltiplos de ambos, 
precisamos multiplicar um pelo outro, o que nos dá o valor de 24. 
 
Agora, temos de encontrar a quantidade de múltiplos de 24 no intervalo de 1 a 100. 
Este é bem mais fácil: 
 ݔ ൌ ? 
 
Assim, a quantidade de múltiplos de3 e 8 entre 1 e 100 é igual à quantidade de 
múltiplos de 3 mais os de 8, menos os valores conjuntos de ambos: 
 ܯï݈ݐ݅݌݈݋ݏ ൌ ? ?൅ ? ?െ ? ൌ ? ? 
 
Aí, fica fácil calcular a probabilidade. No caso, temos 100 possibilidades ao todo: 
 ܲሺ݉ݑ݈ݐ݅݌݈݋ݏ�݀݁� ?�݁� ?ሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ૝૚ ? 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
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Essa próxima questão vai trazer conteúdo novo, portanto resolvam comigo 
primeiro. 
 
Exercício 26 
(STN ± ESAF/2012) Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar 
que: 
a) se A e B são eventos independentes, então P(A U B) = P(A) + P(B). 
E��VH�$��%�H�&�VmR�HYHQWRV�TXDLVTXHU�FRP�3�&����� então P(A U B|C) = P (A|C) 
+ P(B|C). 
c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de 
repetição do experimento. 
d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, P(Aŀ B ŀC) = P(A). 
P(B). P(C). 
e) P(࡭) + P(࡭ഥ) = 0. 
 
Resolução 
 
Esta é muito difícil, vamos uma por uma! 
 
Letra (a). 
 
 Se os eventos são independentes, a probabilidade condicional é que muda, de 
forma que: 
 ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ 
Errada. 
 
Letra (b) 
 
Vamos substituir a equação: 
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 ܲሺܣ ? ܤȁܥሻ ൌ ܲሺሺܣ ? ܤሻ ? ܥሻܲሺܥሻ 
 
Pelas propriedades vistas em aula, sabemos que: 
 ܲሺሺܣ ? ܤሻ ? ܥሻܲሺܥሻ ൌ ܲሺሺܣ ? ܥሻ ?ሺܤ ? ܥሻሻܲሺܥሻ ൌ ܲሺܣ ? ܥሻ ൅ ܲሺܤ ? ܥሻ െ ܲሺሺܣ ? ܥሻ ?ሺܣ ? ܤሻሻܲሺܥሻ 
 
Substituindo a probabilidade condicional: 
 ܲሺܣ ? ܤȁܥሻ ൌ ܲሺܣ ? ܥሻ ൅ ܲሺܤ ? ܥሻ െ ܲሺሺܣ ? ܥሻ ?ሺܣ ? ܤሻሻܲሺܥሻൌ ܲሺܣȁܥሻ ൅ ܲሺܤȁܥሻ െ ܲሺሺܣ ? ܥሻ ?ሺܣ ? ܤሻሻܲሺܥሻ 
 
Alternativa errada. 
 
Letra (c). 
 
Esta está correta por definição. Já discutimos isso na aula. 
 
Letra (d). 
 
Esta é a mais complicada. Para que três eventos sejam independentes, é preciso 
que eles sejam independentes conjuntamente e entre si. Portanto, as condições 
necessárias e suficientes para que isso ocorra são: 
 ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൈ ࡼሺ࡮ሻ ࡼሺ࡮ ? ࡯ሻ ൌ ࡼሺ࡮ሻ ൈ ࡼሺ࡯ሻ ࡼሺ࡭ ? ࡯ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൈ ࡼሺ࡯ሻ ࡼሺ࡭ ? ࡮ ? ࡯ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൈ ࡼሺ࡮ሻ ൈ ࡼሺ࡯ሻ 
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Todas devem ocorrer conjuntamente. Alternativa falsa. 
 
Letra (e). 
 
$TXHOH� ³WUDFLQKR´� HP� FLPD� GR� A significa o seu complemento. A soma de um 
conjunto com seu complemento é sempre igual à 1. Alternativa errada. 
 
Assim, o gabarito é (c). 
 
Exercício 27 
 
(MPOG ± ESAF/2012) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja 
probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao 
acaso, um número z do FRQMXQWR�=�GDGR�SHOR�LQWHUYDOR�^]�İ�N _���”�]�”���`��6H 
ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {S�İ�N | 1 
”�S����`��HP�TXH�N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança 
uma moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, 
aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o 
lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou do conjunto 
P se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, 
então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a: 
a) 6/31 
b) 1/2 
c) 1/12 
d) 1/7 
e) 5/6 
 
Resolução 
 
Trata-se de um exercício com o uso da Regra de Bayes. Qual a probabilidade de ter 
dado coroa dado que o número encontrado é ímpar. 
 
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ܲሺܿ݋ݎ݋ܽȁ݅݉݌ܽݎሻ ൌ ܲሺ݅݉݌ܽݎȁܿ݋ݎ݋ܽሻ ڄ ܲሺܿ݋ݎ݋ܽሻܲሺ݅݉݌ܽݎȁܿ݋ݎ݋ܽሻ ڄ ܲሺܿ݋ݎ݋ܽሻ ൅ ܲሺ݅݉݌ܽݎȁܿܽݎܽሻ ڄ ܲሺܿܽݎܽሻ 
 
Bom, a probabilidade de termos um valor ímpar, dado que tiramos coroa é de 0,5, 
pois trata-se da metade dos casos do espaço amostral do evento coroa: 
 
 ܿ݋ݎ݋ܽ ൌ ሼ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?ሽ 
 
Já, a probabilidade de ser cara é de 0,6, pois o espaço amostral é: 
 ܿ݋ݎܽ ൌ ሼ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ? ?Ǣ ? ?ሽ 
 
Assim, vamos substituir: 
 
ܲሺܿ݋ݎ݋ܽȁ݅݉݌ܽݎሻ ൌ ?ǡ ? ൈ ? ?ቀ ?ǡ ? ൈ ? ?ቁ ൅ ቀ ?ǡ ? ൈ ? ?ቁ ൌ ? ? 
 
Alternativa (d). 
 
 
Exercício 28 
 
(ICMS-RJ ± 2014/FCC) Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 
defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 
artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é 
a) 13/100 
b) 13/55 
c) 7/55 
d) 9/110 
e) 9/55 
 
 
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Realce
...como ocorreram dous eventos, o arremesso do dado e a extração do elemento numérico, então temos que considerar que o espaço amostral de uma seleção do elemento numérico tem que considerar tanto a proporção de números impares na hipótese de ter saído Coroa (1/6 x 2/4) como Cara (5/6 x 3/5), ou seja, no caso de Cara temos 1/6 no arremesso do dado vezes 2/4 de se extrai um número ímpar, e de Coroa temos 5/6 no arremesso do dado vezes 3/5 de se extrai um número impar. Assim, somando-se esse montante teremos o espaço amostral total, do qual podemos calcular a probabilidade de cada caso, ou seja, número ímpar tendo saído Cara ou número ímpar tendo saído Coroa
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Resolução 
 
O total de combinações possíveis que podemos formar é: 
 ܥଵଶǡଷ ൌ ? ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ?ൈ ? ?ൈ ? ? ? ൈ ? ൌ ? ൈ ? ?ൈ ? ൌ૛૛૙ 
 
A partir daí, precisamos encontrar a quantidade de combinações possíveis 
compostas só de artigos ruins e todas que seriam possíveis só com 1 artigo bom. 
 ܵ×�ݎݑ݅݊ݏ ൌ ܥସǡଷ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ൈ ? ൈ ? ? ൈ ? ൌ ૝ 
 
Assim, há 4 combinações possíveis de só escolhermos 4 itens ruins. 
 
No caso de 1 item bom e outros 2 ruins, precisamos encontrar o total de 
combinações possíveis de itens ruins primeiro: 
 ?�ݎݑ݅݊ݏ ൌ ܥସǡଶ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ൈ ? ? ൌ ૟ 
 
Bom, nós temos 6 possibilidades de escolhermos 2 ruins primeiro, seguindo-se a 
escolha de um item bom. É fácil perceber que o total de possibilidades será dado 
pela multiplicação deste total de combinações pelo total de itens bons ainda 
presentes na amostra. Assim: 
 ?�݅ݐ݁݉�ܾ݋݉�݁� ?�ݎݑ݅݊ݏ ൌ ? ൈ ? ൌ૝ૡ 
 
Portanto, a probabilidade de encontrarmos a combinação pedida no enunciado é: 
 ܲሺ݊݋�݉žݔ݅݉݋� ?�ܾ݋ ሻ݉ ൌ ? ?൅ ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? 
 
Alternativa (b). 
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Exercício 30 
 
(ALESP ± 2010\FCC) Numa pesquisa respondida por todos os funcionários de 
uma empresa, 75% declararam praticar exercícios físicos regularmente, 68% 
disseram que fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos 
e 17% informaram que não possuem nenhum dos dois hábitos. Em relação ao 
total, os funcionários desta empresa que afirmaram que praticam exercícios 
físicos regularmente e fazem todos os exames de rotina recomendados pelos 
médicos representam 
a) 43% 
b) 60% 
c) 68% 
d) 83% 
e) 100%Resolução 
 
Questão que a gente usa para testar conhecimentos de Diagrama de Venn. Vamos 
supor, para fins de simplificação que haja 100 funcionários na empresa. 
 
Quantas pessoas não preenchem nenhum dos requisitos (exercícios e exames 
regulares)? 
 ? ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ?�݂ݑ݊ܿ݅݋݊žݎ݅݋ݏ 
 
Portanto há 83 funcionários (83%) que preenchem um ou dois dos requisitos. Mas, o 
exercício quer os funcionários que preenchem os dois. Portanto, vamos usar um 
diagrama de Venn: 
 
 
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Como encontrar a parte amarela? Vamos usar nossa fórmula: 
 ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൅ ࡼሺ࡮ሻ െ ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ 
 
Rearranjando: 
 ࡼሺ࡭ሻ ൅ ࡼሺ࡮ሻ െ ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ 
 
Esta fórmula nos permite encontrar a probabilidade da intersecção! Aí é só 
substituir: 
 ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ૠ૞ ? ൅ ૟ૡ ? െ ૡ૜ ? ൌ ૟૙ ? 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 31 
 
(INFRAERO ± 2011\FCC) Em uma comunidade 10% de todos os adultos com 
mais de 60 anos têm certa doença. Um teste diagnostica corretamente 90% de 
todos os adultos com mais de 60 anos, como portadores da mesma e 
incorretamente 5% de todos aqueles que não têm a doença, como portadores 
da mesma. A probabilidade de um adulto com mais de 60 anos ter de fato a 
doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador da mesma é 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 1/5 
d) 2/5 
e) 3/5 
 
Resolução 
 
Vamos fazer assim (sem Teorema de Bayes, só no raciocínio mesmo), imagine que 
essa população tenha 1000 indivíduos. Assim: 
 ? ? ?�ݏܽݑ݀žݒ݁݅ݏ ൌ ? ? ?�݌݁ݏݏ݋ܽݏ ? ? ?�ܿ݋݉�ܽ�݀݋݁݊­ܽ ൌ ? ? ?�݌݁ݏݏ݋ܽݏ 
 
Como o teste diagnosticaria essa população? Ora, ele vai diagnosticar corretamente 
90% da população com a doença e 5% de pessoas sem doença: 
 ݏܽݑ݀žݒ݁݅ݏ�݀݅ܽ݃݊݋ݏݐ݅ܿܽ݀݋ݏ�ܿ݋݉�ܽ�݀݋݁݊­ܽ ൌ ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ? ݀݋݁݊ݐ݁ݏ�݀݅ܽ݃݊݋ݏݐ݅ܿܽ݀݋ݏ�ܿ݋݉�ܽ�݀݋݁݊­ܽ ൌ ? ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ? 
 
Portanto, 135 (90+45) foram diagnosticadas com a doença. Porém, só 90 realmente 
a possui. Assim: 
 ܲሺ݀݋݁݊­ܽȁ݀݅ܽ݃݊×ݏݐ݅ܿ݋�݌݋ݏ݅ݐ݅ݒ݋ሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? 
Alternativa (b). 
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user
Realce
null0,1 x 0,09 = 0,09 (certo, com doença)null0,9 x 0,05 = 0,045 (errado, com doença)nullnull==> 0,09 de 0,135 = 2/3
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Lista de exercícios resolvidos 
 
Exercício 1 
 
(Analista Judiciário ± FCC/2001) Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e 
B, sabe-se que entre n famílias: 160 assinam o jornal A, 35 assinam os dois 
jornais, 201 não assinam B e 155 assinam apenas um jornal. O valor de n e a 
probabilidade de que uma família selecionada ao acaso assinar A dado que 
assina B são dados respectivamente por: 
 
a) 180 e 160/266 
b) 250 e 35/75 
c) 266 e 7/13 
d) 266 e 35/76 
e) 266 e 35/266 
 
 
Exercício 2 
 
(IRB ± (6$)������� 6HQGR� T[� D� SUREDELOLGDGH� GH� XPD� SHVVRD� GH� LGDGH� ³[´�
IDOHFHU�QHVWD� LGDGH�H�T\�D�SUREDELOLGDGH�GH�XPD�SHVVRD�GH� LGDGH�³\´� IDOHFHU�
nesta idade e px = (1 - qx) e py = (1 ± qy), pode-se afirmar que o resultado da 
equação (1 ± px*py) indica a: 
 
a) Probabilidade de ambos estarem vivos 
b) Probabilidade de pelo menos um vivo 
c) Probabilidade de pelo menos um morto 
d) Probabilidade de ambos mortos 
e) 3UREDELOLGDGH�GH�³[´�YLYR�H�³\´�PRUWR�RX�³\´�YLYR�H�³[´�PRUWR 
 
 
 
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Exercício 3 
 
(ICMS\SP ± FCC\2009) Considere que numa cidade 40% da população adulta é 
fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não 
fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao 
acaso na cidade ser mulher? 
a) 44% 
b) 52% 
c) 50% 
d) 48% 
e) 56% 
 
Exercício 4 
 
(Petrobrás ± CESGRANRIO/2008) A tabela abaixo representa o peso de um 
grupo de pessoas e suas respectivas frequências. Não há observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
Classes (em kgf) Frequências 
40ٟ50 2 
50ٟ60 5 
60ٟ70 7 
70ٟ80 8 
80ٟ90 3 
 
Uma pessoa de mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade de 
que o peso desta pessoa esteja entre 60 e 80 kgf é de, aproximadamente: 
 
a) 65% 
b) 63% 
c) 60% 
d) 58% 
e) 55% 
 
 
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(Petrobrás ± CESGRANRIO/2005) Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a 
probabilidade de um homem ser míope é de 0,05 e de uma mulher é de 0,1. 
Com base nestas informações responda às seguintes perguntas. 
 
Exercício 5 
 
Selecionando uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de ela ser míope? 
 
a) 0,05 
b) 0,06 
c) 0,07 
d) 0,08 
e) 0,09 
 
Exercício 6 
 
Selecionando um míope ao acaso, qual a probabilidade de o mesmo ser 
homem. 
 
Exercício 7 
 
(Auditor da Previdência ± ESAF/2002) Suponha que a probabilidade de um 
evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C 
ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de 
ocorrência de D e C. 
 
a) 0,5 
b) 0,08 
c) 0 
d) 1 
e) 0,6 
 
 
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Exercício 8 
 
(Auditor da Previdência ± ESAF/2002) Considere um ensaio aleatório com 
espaço amostral {T,U,V,W}. Considere os eventos M = {T}, N={U,V} e S={W}. 
Assinale a opção correta relativamente à probabilidade de ࡹ ? ࡺ ? ࡿ. 
 
a) Não se pode determinar a probabilidade de intersecção. 
b) É o produto das probabilidades de M, N e S. 
c) A probabilidade é um, pois pelo menos um dos três deve ocorrer. 
d) A probabilidade de intersecção é de 1/3. 
e) A probabilidade de intersecção é nula, pois os eventos são mutuamente 
exclusivos. 
 
Exercício 9 
 
(BACEN ± FCC/2005) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores 
(A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa 
apresentar lucro é de 0,70 sendo empresa do setor A; 0,8 sendo empresa do 
setor B e 0,9 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economia 
existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo 
aleatoriamente uma empresa pertencente a esses 3 setores e detectando-se 
que ela não apresenta lucro, a probabilidade dela pertencer ao setor A é de: 
a) 30% 
b) 40% 
c) 50% 
d) 75% 
e) 80% 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 10 
 
(CGU ± ESAF/2008) Dois eventos são independentes se: 
 
a) ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൅ ࡼሺ࡮ሻ 
b) ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ ൊ ࡼሺ࡮ሻ 
c) ࡼሺ࡭ ? ࡮ሻ ൌ ࡼሺ࡭ሻ

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