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Aula 03 Estatística p/ SEFAZ/PE Professor: Jeronymo Marcondes Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 74 AULA 03 ± Espaço amostral e probabilidades SUMÁRIO PÁGINA Conceitos Básicos 2 Diagrama de Venn e Propriedades 5 Probabilidade Condicional 16 Teorema de Bayes 20 Lista de Exercícios resolvidos em aula 61 Gabarito 74 %HP� YLQGRV� GH� YROWD��9DPRV� FRQWLQXDU� QRVVD� MRUQDGD�QR�PXQGR� ³PDUDYLOKRVR´� GD� Estatística. Firmes no propósito, pois em breve você estará na Receita Estadual! Na aula de hoje iremos estudar Probabilidade e algumas de suas propriedades, tal como o Teorema de Bayes. Mas, antes, uma dica de concurseiro: Vamos nessa! Dica de um concurseiro No mundo dos concursos é muito comum aquela velha H[SUHVVmR�� ³ID]� D� SURYD�� YDL� TXH� YRFr� Gi� VRUWH´�� Pessoalmente, não acredito nisso. Os concursos estão cada vez mais concorridos e com pessoas focadas em editais específicos. Não há mais como conseguir passar sem dedicação e muito estudo! Fazer uma prova sem estudar e se dedicar é enriquecer a banca examinadora. 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 2 de 74 1. Conceitos básicos 0XLWDV� YH]HV� QRV� GHSDUDPRV� FRP� DV� VHJXLQWHV� H[SUHVV}HV� QR� GLD� D� GLD�� ³D� SUREDELOLGDGH� GH� FDLU� XP� SLDQR� QD� VXD� FDEHoD� p� SHTXHQD´�� ³D� SUREDELOLGDGH� GH� UHHOHLomR�p�JUDQGH´��HWF��0DV��R�TXH queremos dizer com isso? 1D�YHUGDGH��LVVR�HVWi�PXLWR�UHODFLRQDGR�FRP�R�FRQFHLWR�GH�³IUHTXrQFLD´��4XDQGR�VH� afirma que a probabilidade de algo ocorrer é pequena, está sendo dito que, dado um determinado conjunto de resultados possíveis, o evento em questão ocorre em poucas das realizações deste. Não entendeu? Vamos a um exemplo. Suponha o lançamento de uma moeda não viciada, isso é, que possui uma cara e uma coroa. Qual a probabilidade de ocorrer ³FDUD´��SRU�H[HPSOR" Com efeito, há duas possibilidades de realização deste evento: cara ou coroa, HQWUHWDQWR�QyV�Vy�HVWDPRV�LQWHUHVVDGRV�QR�UHVXOWDGR�³FDUD´��RX�VHMD��HP�XPD�GHVWDV� SRVVLELOLGDGHV��3RUWDQWR��D�SUREDELOLGDGH�GH�GDU�³FDUD´�em um lançamento é: ܲሺܿܽݎܽሻ ൌ ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?��ݑ� ?ܿݎܽ ?ൌ -Professor, então, ao lançar uma moeda não viciada, na metade dos ODQoDPHQWRV�HX�REWHUHL�³FDUD´" Não é bem assim! Veja, antes GH�ODQoDU�D�PRHGD��D�SUREDELOLGDGH�GH�GDU�³FDUD´�p� de ? , porém pode ser que isso não ocorra. Suponha a realização de três lançamentos seguidos, pode ser que o resultado seja: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 3 de 74 ? ?ൌ ܿݎܽ ? ?ൌ ܿݎܽ ? ?ൌ ܿܽݎܽ Isso quer dizer que a moeda é viciada? Pode ser, mas só com esse resultado não há como saber, pois este resultado é possível em uma moeda não viciada. A partir deste resultado você poderia inferir erroneamente inferir que a probabilidade de dar ³FDUD´�QmR�p�GH�ò��PDV�GH� ܲሺܿܽݎܽሻ ൌ ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?��ݑ� ?ܿݎܽ ?ൌ Se você pensou assim, pense de novo! A forma correta de definir a probabilidade de ocorrência de um evento é encontrar qual a frequência de sua ocorrência com relação a todas as outras ocorrências possíveis quando o número de experimentos tende ao infinito. No nosso caso: ܲሺܿܽݎܽሻ ?ஶൌ ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?��ݑ� ?ܿݎܽ ?ൌ Sendo ݊ o número de vezes que você realiza o experimento e a expressão ? ? significando que o mesmo tende para o infinito. Portanto, se você realizar um experimento infinitas vezes, sendo o nosso experimento o lançamento da moeda, a probabilidade de ocorrência de um GHWHUPLQDGR�HYHQWR� �QR�FDVR�H[HPSOR�� GDU� ³FDUD´�� VHUi�GDGD�SHOD� UHODomR� à priori entre a quantidade de vezes em que é possível sua ocorrência dividida pela quantidade de vezes que todos os outros eventos são possíveis (no caso, quantas ³FDUDV´� H� ³FRURDV´� H[LVWHP� HP� XPD� PRHGD��� Aí sim, se você jogar a moeda LQILQLWDV�YH]HV��PHWDGH�GDV�YH]HV�D�IDFH�³FDUD´�VHUi�R�UHVXOWDGR�� 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 4 de 74 Nós podemos aprofundar este conceito de forma mais teórica, de forma a facilitar o entendimento. Se você lançar a moeda uma vez, quais são todos os resultados possíveis? Ȱ ൌ ሺܥܽݎܽሻǢ ሺܥݎܽሻ E se você lançar duas vezes? Ȱ ൌ ሺܥܽݎܽǡ ܥݎܽሻǢ ሺܥݎܽǡ ܥܽݎܽሻǢ ሺܥܽݎܽǡ ܥܽݎܽሻǢ ሺܥݎܽǡ ܥݎܽሻ Este conjunto formado por todas as realizações possíveis (que, no caso, chamamos de Ȱ) chama-se espaço amostral. Com base neste espaço amostral podemos atribuir uma probabilidade para um determinado evento, sendo este dado por um subconjunto de ሺȰሻ. Por exemplo, no caso de um lançamento único da moeda, qual a probabilidade de GDU�³FDUD´"�1yV�Mi�YLPRV�HVWD�UHVSRVWD�H�VDEHPRV�TXH�VH�WUDWD�GD�SUREDELOLGDGH�GH� ocorrência do subconjunto dado por ሺܿܽݎܽሻ do espaço amostral ሺܿܽݎܽǡ ܿݎܽሻ. Belezinha? Mas, e a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 cara em dois lançamentos? Bom, olhando nosso espaço amostral definido acima para este caso mostra que isso ocorre em 3 dos 4 lançamentos possíveis. Neste caso, cada um daqueles parênteses tem ቀଵସ ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ?ቁ de chance de ocorrer. Mas, nossa pergunta abrange 3 (três) daqueles casos, isso é, três daquelas realizações atendem ao nosso requisito. Portanto, a probabilidade de ocorrência do subconjunto do espaço amostral composto pelos resultados nos quais ocorrem pelo menos uma cara é de: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 5 de 74 ܲሺ ?�ܿܽݎܽ�ܽ �݉݁݊ݏሻ ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ Assim, teoricamente, para um determinado evento A qualquer, sua probabilidade de ocorrência é de: ࡼሺሻ ൌ ࡽ࢛ࢇ࢚ࢊࢇࢊࢋ�ࢊࢋ�࢜ࢋࢠࢋ࢙�࢛ࢋ�ࢉ࢘࢘ࢋ�ࡽ࢛ࢇ࢚ࢊࢇࢊࢋ�ࢊࢋ�ࢋࢋࢋ࢚࢙��ࢋ࢙ࢇ�ࢇ࢙࢚࢘ࢇ Maravilha? Vá comer um chocolate e relaxar um pouco, mas volte logo em seguida! 2. Diagrama de Venn e propriedades Gente, a primeira coisa e mais óbvia é que toda probabilidade se situa entre 0 e 1. Não há como um evento ocorrer mais de 100% das vezes ou menos de 0% das vezes. Essa é a própria ideia da frequência relativa que já estudamos! Portanto, dado qualquer eventR�³$´� ? ൏ ሺܲܣሻ ൏ ? Assim, a ideia de probabilidade se aproxima muito do conceito de frequência relativa, haja vista estarmos considerando que o experimento poderia ser realizado várias vezes e que o resultado sempre seria o mesmo. Isso é chamado de ³$ERUGDJHP�)UHTXHQWLVWD�GD�3UREDELOLGDGH´� Uma forma interessante de vocês visualizarem probabilidades é pelo diagrama de Venn: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 6 de 74 Olhempessoal, aquele círculo no meio representa o evento A no espaço amostral UHSUHVHQWDGR�SHOD�³FDL[D�8´��3HUFHED�TXH�R�FtUFXOR�QmR�RFXSD�PDLV�GR�TXH�D�FDL[D� WRGD�QHP�PHQRV�GR����GD�FDL[D��LVVR�p��D�SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD�GH�³$´�HVWi� entre 0 e 1. Obs. Muitas vezes você irá me ver referir a probabilidades como números entre 0 e 1 ou 0% e 100%. Não é loucura do teacher! Toda probabilidade, com o intuito de facilitar a visualização, pode ser multiplicada por 100 de forma que obtenhamos o resultado em percentual. Por exemplo, uma probabilidade de 0,5 é equivalente à 50%. Retornando! Então, outros dois casos interessantes, mas diametralmente opostos, são os casos de eventos certos e eventos impossíveis. Evento certo é aquele que coincide com o espaço amostral! Por exemplo, no nosso FDVR� GH� ³FDUD´� H� ³FRURD´�� XP� HYHQWR� FHUWR� VHULD� DTXHOH� FRPSRVWR� SRU� WRGRV� RV� resultados nos quais ocorrem, ao menos, uma cara ou uma coroa. Ou seja, todo o espaço amostral! 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 7 de 74 Evento impossível é o caso oposto! Este evento seria composto por elementos não constantes no espaço amostral, por exemplo, o caso de um lançamento em que não ocorresse nem cara nem coroa! 2XWUR�FRQFHLWR� LPSRUWDQWH�p�R�GH� ³FRPSOHPHQWDU´��'DGD�XPD�SUREDELOLGDGH de um HYHQWR�³$´�TXDOTXHU��D�SUREDELOLGDGH�GH�VHX�FRPSOHPHQWDU�ሺܣሻ é dada por: ܲሺܣሻ ൌ ? െ ܲሺܣሻ Entendeu? O complementar da probabilidade de ocorrência de um evento é a probabilidade de sua não ocorrência! Para ficar bem legal e fácil, olhe o Diagrama de Venn abaixo: 'DGR�XP�HYHQWR�³$´�TXDOTXHU��UHSUHVHQWDGR�SHOR�FtUFXOR�DFLPD��R�VHX�FRPSOHPHQWDU� é toda a parte vermelha da figura! Simples! Mas, agora que complica. Vamos a um exemplo para facilitar! Suponha dois grupos de pessoas concurseiras dentro de uma amostra com bacharéis em Engenharia, Direito e Economia, sendo que algumas passaram e que outras não passaram em concurso público. Podemos expressar os resultados da seguinte forma: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 8 de 74 Passou Não Passou Total Engenharia 20 10 30 Direito 40 70 110 Economia 30 60 90 Total 90 140 230 Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso a partir desta amostra ter sido estudante de Economia? Isso não tem segredo! O total de estudantes, ou seja, nosso espaço amostral é composto por 230 pessoas, sabendo-se que, desse total, 90 são economistas, temos que: ܲሺ݁ܿ݊݉݅ݏݐܽሻ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? Mas, e se eu te perguntar qual a probabilidade da pessoa ser formada em Economia e ter passado em concurso? Neste caso, estamos falando de intersecção destes dois subconjuntos. Em termos de Diagrama de Venn: Viram do que estamos falando? Trata-se de um evento que necessita que as duas condições sejam verdade (ser economista e ter passado em concurso), refere-se à intersecção entre os dois subconjuntos (parte vermelha). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 9 de 74 Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada SDUD�LGHQWLILFDU�D� LQWHUVHFomR�HQWUH�GRLV�VXEFRQMXQWRV�p�³ ?´. No nosso caso, se chamarmos os subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a intersecção entre os mesmos como ? . -³(�GH�TXDQWR�p�HVVD�SUREDELOLGDGH��SURIHVVRU´" Ora: ? ൌࢋࢉ࢙࢚ࢇ࢙�࢛ࢋ�ࢇ࢙࢙ࢇ࢘ࢇ࢚࢚ࢇ�ࢊࢇ�ࢇ࢙࢚࢘ࢇ ൌ ؆ ǡ E se eu te perguntar qual a probabilidade de encontrarmos economistas ou pessoas que passaram? Agora a coisa é diferente! Veja no diagrama para entender bem: Veja como aumentou a parte vermelha! Se uma ou outra condição for verdadeira, devemos computá-la! &KDPDPRV�D�LVVR�GH�³UHXQLmR´�HQWUH�GRLV�VXEFRQMXQWRV� 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 10 de 74 Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada para identificar a reunião enWUH� GRLV�VXEFRQMXQWRV� p� ³ ?´�� 1R�QRVVR� FDVR�� VH� chamarmos os subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a reunião entre os mesmos como ? . Como você encontraria tal probabilidade? -³2UD professor, faria como você fez anteriormente, somando as SUREDELOLGDGHV´� ܲሺ݁ܿ݊݉݅ݏݐܽ�ݑ�ܽݏݏݑሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? Então, meu amigo, tem um erro aí! Você percebeu que você está contando o economista que passou duas vezes? Por exemplo, dos 90 que passaram, 30 já são economistas, podendo ser feito o mesmo raciocínio inverso. Em termos de Diagrama de Venn, seria o mesmo que somar: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 11 de 74 + NestH� FDVR�� YRFr� HVWDUi� FRQWDQGR� GXDV� YH]HV� DTXHOD� ³SDUWH]LQKD´� TXH� p� D� intersecção entre ambos: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 12 de 74 Assim, o certo seria: ܲሺ݁ܿ݊݉݅ݏݐܽ�ݑ�ܽݏݏݑሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?െ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? Genericamente, para dois eventos A e B quaisquer, podemos afirmar que: ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ࡼሺሻ െ ࡼሺ ? ሻ Mas, cuidado com o caso especial dos eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos! A fim de exemplificar este conceito, imagine o lançamento de um dado honesto de forma que nosso espaço amostral seja dado por: ሼ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?ሽ Assim, somente uma destas realizações é possível, ou seja, o resultado só pode ser uma das faces do dado. Qual é a probabilidade de o resultado do lançamento gerar os números 4 ou 5? 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 13 de 74 Ora: ܲሺ ? ? ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ܲሺ ?ሻ െ ܲሺ ? ? ?ሻ Vamos começar com o mais fácil, qual é a probabilidade de cair qualquer das faces de um dado? O dado tem 6 faces no total, de forma que a probabilidade de que qualquer delas seja o resultado é de: ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ? ? Assim: ܲሺ ? ? ?ሻ ൌ ? ? ? ?െ ܲሺ ? ? ?ሻ E o último componente que se refere à intersecção entre os dois eventos? Qual é a probabilidade de ocorrer como resultado do experimento uma face do dado com número 4 e 5? É claro que é zero! Veja como seria a representação no Diagrama de Venn: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. JeronymoMarcondes www.estrategiaconcursos.com.br 14 de 74 Estes eventos não tem intersecção! Ou seja, quando um ocorre o outro não pode ocorrer! Assim, neste caso, aquele último componente de nossa fórmula será igual à zero, de forma que: ܲሺ ? ? ?ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ? ?ൌ Entendeu? Então, vamos adiante! Mas, antes, vamos tratar de um tópico bem especifico. Obs. Propriedades Pessoal, este tópico é muito pouco cobrado em concursos públicos, porém é importante passarmos por ele, afinal não se sabe o que será pedido! Uma forma de ajudar a decorar tais propriedades é pensando que quando você tira o complemento de ? ou ?�� R� UHVXOWDGR� p� LQYHUWHU� D� ³EDUULJXLQKD´� GD� RSHUDomR�� Assim, em termos nem um pouco formais, você deve pensar que: ሺ ?ሻ ൌ ? ሺ ?ሻ ൌ ? Assim, para três FRQMXQWRV�TXDLVTXHU�FKDPDGRV�GH�³$´, ³%´ H�³&´, destacam-se as seguintes propriedades: ሻ�ሺ ? ሻࢉ ൌ ࢉ ? ࢉ �����ሻ�ሺ ? ሻࢉ ൌ ࢉ ? ࢉ Beleza? Esta é a menos intuitiva das propriedades, assim, decore! Agora, as outras são bem mais fáceis de serem entendidas, tais como: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 15 de 74 ሻ� ? ? ൌ ? Sendo ( ?) um conjunto vazio, ou seja, sem nenhum elemento. Isso faz todo o VHQWLGR�� GDGR� TXH� D� LQWHUVHFomR� GH� XP� FRQMXQWR� ³$´� TXDOTXHU� FRP� RXWUR� FRQMXQWR� vazio não pode conter nenhum elemento. ሻ� ? ൌ ۯ Sendo () representativo do HVSDoR� DPRVWUDO�� $� LQWHUVHFomR� GH� XP� FRQMXQWR� ³$´� TXDOTXHU�FRP�R�HVSDoR�DPRVWUDO�p�R�SUySULR�FRQMXQWR�³$´� Com base nestes dois últimos, fica fácil visualizar que: ሻ� ? ? ൌ �ሻ� ? ൌ Outras propriedades intuitivas relacionam um determinado conjunto com seu complementar, assim, sabendo-se que ܲሺܣሻ ܲሺܣሻ ൌ ?, tem-se que: �ૠሻ� ? ࢉ ൌ �ૡሻ� ? ࢉ ൌ ? Para finalizar, devemos tratar de uma propriedade que relaciona intersecções e reuniões entre conjuntos: ૢሻ� ?ሺ ? ሻ ൌ ሺ ? ሻ ? ሺ ? ሻ Com base nestes três conjuntos, pode-se desenhar o seguinte Diagrama de Venn: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 16 de 74 ³(VWD�SURSULHGDGH�HVWi�GL]HQGR�TXH�D� LQWHUVHFomR�GH�XP�FRQMXQWR�FRP�XPD� reunião de outros dois é equivalente à reunião da intersecção deste conjunto FRP�HVWHV�RXWURV�GRLV´�� Isso não está a coisa mais bem escrita do mundo, mas, lendo o texto e olhando o gráfico, vocês conseguirão entender o conceito. 3. Probabilidade Condicional Voltemos a nosso exemplo da pesquisa sobre qual a formação superior que mais aprova em concurso público. Só relembrando a tabela: Passou Não Passou Total Engenharia 20 10 30 Direito 40 70 110 Economia 30 60 90 Total 90 140 230 Anteriormente, havíamos realizado o cálculo para a probabilidade de que alguém na nossa amostra fosse economista, o que não apresentou maiores dificuldades. E se tivéssemos a informação a priori de que os economistas em questão se restringiriam àqueles que já passaram em concurso público? Ou seja, qual a 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 74 probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser economista, dado que o mesmo passou em concurso público? Você entende o que estou falando? A forma de avaliação não é a mesma, pois, neste caso, temos mais informações do que tínhamos anteriormente e, portanto, devemos nos utilizar dela! Essa é a ideia de probabilidade condicional! A forma XVXDO�GH�UHSUHVHQWDUPRV�XPD�SUREDELOLGDGH�FRQGLFLRQDO�GH�XP�HYHQWR�TXDOTXHU�³$´�� GDGR�RXWUR�HYHQWR�TXDOTXHU�³%´�p� ܲሺܣȁܤሻ E como poderíamos incorporar esta informação, ou seja, de que forma este cálculo pode ser realizado? Vamos pensar intuitivamente para podermos chegar à fórmula! Veja o Diagrama de Venn abaixo: (X�WH�SHUJXQWR��GDGR�TXH�RFRUUHX�³%´��TXDO�SDUWH�GD�ILJXUD�UHSUHVHQWD�D�SRUomR�GH� ³$´�TXH�SRGH�RFRUUHU"�([DWDPHQWH��D�LQWHUVHFomR�HQWUH�RV�GRLV�FRQMXQWRV� Esta parte ODUDQMD� UHSUHVHQWD� D� SDUFHOD� GR� HYHQWR� ³$´� TXH� p� FRPSDWtYHO� FRP� D� LQIRUPDomR� a priori. 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 18 de 74 Mas, você já sabe que probabilidades são calculadas com base na divisão da quantidade de elementos ³IDYRUiYHLV´ pelo espaço amostral! Qual é o espaço amostral no nosso exemplo? O WDPDQKR�GH�³%´�� Agora fica fácil: ࡼሺȁሻ ൌ ࡼሺ ? ሻࡼሺሻ Esta fórmula é muito importante, assim vocês devem decorá-la, mas não deixem de entender de onde ela vem, ok? Nesse caso, ܲሺܣሻ é a probabilidade a priori GH�³$´��R� TXH�SRGH�VHU�³DWXDOL]DGR´�FRP�DV�QRYDV�LQIRUPDo}HV�GH�³%´��SHUPLWLQGR�D�REWHQomR� da probabilidade a posteriori, ܲሺܣȁܤሻ. ³%HOH]D�SURIHVVRU��PDV�PH�Gr�XP�H[HPSOR��HVWi�WXGR�PXLWR�WHyULFR´� Claro, é pra já! Retornando ao exemplo do nosso quadro acima, eu quero saber: ࡼሺࢋࢉ࢙࢚ࢇȁࢇ࢙࢙࢛ሻ ൌ�ǫ Ou seja, eu quero saber qual a probabilidade de um indivíduo ser economista, dado que ele passou. Vamos aplicar a fórmula? O numerador nós já temos calculado: ܣ ? ܤ ൌ݁ ܿ݊݉݅ݏݐܽݏ�ݍݑ݁�ܽݏݏܽݎܽ݉ݐݐ݈ܽ�݀ܽ�ܽ݉ݏݐݎܽ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? Ótimo! E o denominador? Trata-se da probabilidade de encontrar alguém que passou, o que não é difícil: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 19 de 74 ܲሺܽݏݏݑሻ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? Pronto: ࡼሺࢋࢉ࢙࢚ࢇȁࢇ࢙࢙࢛ሻ ൌ ቀ ? ? ? ? ?ቁቀ ? ? ? ? ?ቁ ؆ ǡ Viram? A probabilidade de encontrar um economista que passou é menor do que encontrar um economista dado que estamos tratando só com os que passaram. A informação adicional nos ajudou a ter uma previsão com mais acurácia! Retornando à parte mais teórica, algo muito importante em termos de prova é o conceito de independência estatística! -³2�TXH�p�LVVR��SURIHVVRU´" Dois eventos são ditos independentes se: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ Isso não te lembra nada? Boa! O lançamento da moeda! Imagine que foram IHLWRV� GRLV� ODQoDPHQWRV�� TXDO� D� SUREDELOLGDGH� GH� ³FDUD´� QR� SUy[LPR�ODQoDPHQWR�GDGR�TXH�³FRURD´�RFRUUHX�QR�SULPHLUR" Ora, a probabilidade de RFRUUrQFLD�GH� ³FDUD´�FRQWLQXD� LJXDO�j� ?ǡ ?, pois o resultado do primeiro lançamento não afeta o segundo. Assim: ܲሺܿܽݎܽ�݊� ? ?ȁܿݎܽ�݊� ? ?ሻ ൌ ܲሺܿܽݎܽሻ ൌ ?ǡ ? 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 20 de 74 Este é um exemplo de eventos independentes! A definição de eventos independentes perpassa pela necessidade de que a ocorrência de um não afete a probabilidade de ocorrência do outro. No caso de eventos independentes, podemos reescrever nossa fórmula da seguinte maneira: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ? ࡼሺሻ ڄ ࡼሺሻ ൌ ࡼሺ ? ሻ Quer mais um exemplo? Suponhaque você esteja desmanchando sua árvore de natal e que a mesma só possua bolas vermelha e prata. Sabendo-se que há 10 bolas vermelhas e 10 prateadas, se você fechar os olhos e tirar uma bola, qual a probabilidade de que a mesma seja vermelha? Bom, isso é fácil, há 20 bolas no total, sendo que 10 são vermelhas, assim: ܲሺݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? Suponha que você tirou uma bola vermelha! Agora, você decide tirar outra bola com os olhos vendados, repondo a que você já tirou. Qual a probabilidade de que a mesma seja vermelha? Ora, o evento relacionado à retirada da segunda bola independe do que houve da primeira vez, pois a bola foi reposta na árvore! Assim, fica fácil ver que: ܲሺݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽ� ? ?ȁݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽ� ? ?ሻ ൌ ܲሺݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽሻ ൌ ?ǡ ? Entendeu? Este é um caso de eventos independentes! 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 21 de 74 4. Teorema de Bayes À primeira vista você vai pensar que o Teorema de Byes não tem nada demais, pois ele é tão somente uma decorrência do que estudamos na seção anterior. Porém, preciso detalhá-lo para você, pois ele cai muito. Então, a maior parte dos exercícios de concurso você não vai precisar da fórmula por si só, porém, se estudarmos este tópico de uma maneira um pouco mais aprofundada, você saberá responder os exercícios de forma mas rápida! Uma coisinha básica que eu quero que vocês entendam, suponha dois eventos TXDLVTXHU� ³$´� H� ³%´� H� DSOLTXH� DTXHOD� ³IRUPXOD]LQKD´� GH� SUREDELOLGDGH� FRQGLFLRQDO� TXH� Mi� HVWXGDPRV� GH� IRUPD� D� HQFRQWUDU� D� SUREDELOLGDGH� GH� ³$´� GDGR� ³%´� H� D� SUREDELOLGDGH�GH�³%´�GDGR�³$´��9RFr�YDL�FKHJDU�QLVVR� ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܣሻ O que estas duas fórmulas têm em comum? Exatamente, o termo ࡼሺ ? ሻ! Suponha que você queira calcular ܲሺܣȁܤሻ, então faça assim, substitua ܲሺܣ ? ܤሻ de forma que: ܲሺܤȁܣሻ ڄ ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻ O que levará à: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܤȁܣሻ ڄ ܲሺܣሻܲሺܤሻ 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 22 de 74 Entretanto, não conhecemos o denominador (essa é a premissa). Assim, queremos saber a probabilidade condicional de ܣ dado ܤ, mas suponha que o resultado ܤ não é o único possível, sendo que poderia ter ocorrido ܥ, com ܲሺܥሻ ് ?. Por exemplo, poderíamos querer saber qual a probabilidade de um time ganhar se um determinado jogador participar da partida, neste caso: ܲሺܣሻ ൌ ݎܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁�݀�ݐ݅݉݁�݄݃ܽ݊ܽݎ ܲሺܤሻ ൌ ݎܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁�݀�݆݃ܽ݀ݎ�݆݃ܽݎ ܲሺܥሻ ൌ ݎܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁�݀�݆݃ܽ݀ݎ�݊ �݆݃ܽݎ Assim, o Teorema de Bayes garante que: ࡼሺȁሻ ൌ ࡼሺȁሻ ڄ ࡼሺሻࡼሺȁሻ ڄ ࡼሺሻ ࡼሺȁሻ ڄ ࡼሺሻ -³3URIHVVRU��HVWH�p�R�IDPRVR�H�WHPtYHO�7HRUHPD�GH�%D\HV´" É isso aí! A ideia deste teorema é que, a partir de informações das probabilidades a priori GH�³$´�H�GH�³%´�H�GD�SUREDELOLGDGH�FRQGLFLRQDO�GH�³%´�GDGR�³$´�SRGHPRV�REWHU� a relação desejada. Muitos exercícios costumam dar estas informações para que você calcule a probabilidade condicional. Isso chove em concurso público. Mas, dá para resolver sem a fórmula, basta pensar um pouquinho, ok? Não tem nada demais mesmo, você só tem que entender o mecanismo de funcionamento do mesmo para responder alguns exercícios, tal como este: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 23 de 74 Exercício 1 (Analista Judiciário ± FCC/2001) Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160 assinam o jornal A, 35 assinam os dois jornais, 201 não assinam B e 155 assinam apenas um jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma família selecionada ao acaso assinar A dado que assina B são dados respectivamente por: a) 180 e 160/266 b) 250 e 35/75 c) 266 e 7/13 d) 266 e 35/76 e) 266 e 35/266 Resolução Vamos lá pessoal! A ideia básica deste tipo de exercício é utilizar o Diagrama de Venn para podermos encontrar algum valor faltante, tal como n. Conselho, comece preenchendo a intersecção! Veja: O raciocínio é assim: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 24 de 74 1) Se 160 assinam o jornal A e 35 assinam os dois, 125 pessoas assinam só A. 2) 155 pessoas assinam só 1 jornal, como há 125 pessoas que assinam só A, 30 pessoas assinam só B 3) Como 201 pessoas não assinam B e 125 pessoas assinam só A, 76 pessoas não assinam nenhum. Portanto, o total de famílias é: ݊ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ Isso não resolveu seu problema, pois há mais três alternativas com esta possibilidade. O que eles querem saber é: qual a probabilidade de assinar A dado que assina B. Isso foi só para te confundir. Uma maneira mais direta de perguntar a mesma coisa é: qual a probabilidade assinar os dois jornais, dado que assina B! Assim: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ Você já tem ambas as definições a partir do diagrama de Venn, basta substituir: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ൌ ? ?ሺ ? ? ? ?ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ૠ Alternativa (c). Boa pessoal! Vamos praticar, porque essa é a maneira mais fácil de aprender sobre probabilidades! 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 25 de 74 Exercício 2 (IRB ± (6$)������� 6HQGR� T[� D� SUREDELOLGDGH� GH� XPD� SHVVRD� GH� LGDGH� ³[´� falecer nesta idade e qy D�SUREDELOLGDGH�GH�XPD�SHVVRD�GH� LGDGH�³\´� IDOHFHU� nesta idade e px = (1 - qx) e py = (1 ± qy), pode-se afirmar que o resultado da equação (1 ± px*py) indica a: a) Probabilidade de ambos estarem vivos b) Probabilidade de pelo menos um vivo c) Probabilidade de pelo menos um morto d) Probabilidade de ambos mortos e) 3UREDELOLGDGH�GH�³[´�YLYR�H�³\´�PRUWR�RX�³\´�YLYR�H�³[´�PRUWR Resolução Questão interessante e puramente conceitual. Primeira coisa que você tem de perceber é que ambas as probabilidades são mutuamente exclXVLYDV��SRLV�QmR�Ki�FRPR�XPD�SHVVRD�WHU�LGDGH�³[´�H�³\´�DR�PHVPR� tempo! Neste caso, nós já sabemos que: ܲሺݔ�݁�ݕሻ ൌ ܲሺݔሻ ൈ ܲሺݕሻ Esta é a probabilidade de que ambas as pessoas estejam vivas! -³3RU�TXH��SURIHVVRU´" Ora, qx (qy�� QmR� p� D� SUREDELOLGDGH� GH� TXH� XPD� SHVVRD� GH� LGDGH� ³[´� �³\´�� PRUUD"� Então, px = 1 ± qx (py = 1 ± T\��p�D�SUREDELOLGDGH�GH�TXH�XPD�SHVVRD�GH�LGDGH�³[´� �³\´��QmR�PRUUD� Neste caso, 1 ± px*py é o complemento da probabilidade de ambas as pessoas estarem vivas. Qual é este complemento? 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 26 de 74 Ora, trata-se da probabilidade de, pelo menos, uma das pessoas estar morta! Alternativa (c). Exercício 3 (ICMS\SP ± FCC\2009) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos nãofumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso na cidade ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% Resolução Esta questão é mais facilmente resolvida só com raciocínio! O que você tem de fazer é encontrar o quanto as mulheres representam da população total. A população se divide da seguinte forma: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 27 de 74 É assim: 1) 40% da população adulta é fumante e deste valor 40% são mulheres. Portanto, ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ? da população adulta total são mulheres que fumam. 2) 60% da população adulta não fuma e 60% das pessoas que não fumam são mulheres, assim ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ? da população adulta que não fuma são mulheres. Estes são eventos mutuamente exclusivos, assim a soma das mulheres que fumam mais as que não fumam é o total da população feminina. Portanto: ܲ�݂݁݉݅݊݅݊ܽ ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? Alternativa (b). Exercício 4 (Petrobrás ± CESGRANRIO/2008) A tabela abaixo representa o peso de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências. Não há observações coincidentes com os extremos das classes. Classes (em kgf) Frequências 40ٟ50 2 50ٟ60 5 60ٟ70 7 70ٟ80 8 80ٟ90 3 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 28 de 74 Uma pessoa de mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade de que o peso desta pessoa esteja entre 60 e 80 kgf é de, aproximadamente: a) 65% b) 63% c) 60% d) 58% e) 55% Resolução Perceba que a questão já afirma que estamos tratando de pessoas com mais de 50 kgf, portanto, em termos de frequência relativa: Classes (em kgf) Frequências Relativa 50ٟ60 5 0,217391 60ٟ70 7 0,304348 70ٟ80 8 0,347826 80ٟ90 3 0,130435 Total 23 1 A probabilidade de estar no intervalo desejado é de ?ǡ ? ? ? ? ?ǡ ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ?ൌ ? Alternativa (a). (Petrobrás ± CESGRANRIO/2005) Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a probabilidade de um homem ser míope é de 0,05 e de uma mulher é de 0,1. Com base nestas informações responda às seguintes perguntas. Exercício 5 Selecionando uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de ela ser míope? 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 29 de 74 a) 0,05 b) 0,06 c) 0,07 d) 0,08 e) 0,09 Resolução Esta questão é muito fácil! Basta encontrarmos o total de pessoas míopes na população e dividir este número pelo total da população de forma a que encontremos os elementos da fórmula: ܲሺܣ ൌ ݉À݁ሻ ൌ ܳݑܽ݊ݐ݅݀ܽ݀݁�݀݁�ݒ݁ݖ݁ݏ�ݍݑ݁�ܿݎݎ݁�ܣܳݑܽ݊ݐ݅݀ܽ݀݁�݀݁�݈݁݁݉݁݊ݐݏ�݊�݁ݏܽ�ܽ݉ݏݐݎ݈ܽ Temos 40 homens e 0,05 = 5% deles são míopes, assim: ? ?ڄ ?ǡ ? ?ൌ Existem dois homens míopes! E mulheres? Existem 60 mulheres e 10% delas são míopes, portanto: ? ?ڄ ?ǡ ? ൌ Portanto, há ሺ ? ? ൌ ?ሻ míopes na população. Assim, a probabilidade de encontrar um míope é de: ܲሺ݉À݁ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ǡ ૡ Alternativa (d). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 30 de 74 Exercício 6 Selecionando um míope ao acaso, qual a probabilidade de o mesmo ser homem. a) 0,25 b) 0,27 c) 0,30 d) 0,33 e) 0,40 Resolução Olha o Teorema de Bayes aí gente! O que ele está te perguntando é: qual a probabilidade de alguém escolhido ao acaso ser homem dado que o mesmo é míope. Com base em nossa fórmula: ܲሺ݄݉݁݉ȁ݉À݁ሻ ൌ ܲሺ݄݉݁݉ ? ݉À݁ሻܲሺ݉À݁ሻ O numerador deriva do que já encontramos, no caso sabemos que há dois homens míopes, portanto, a probabilidade de alguém ser homem e míope é de: ܲሺ݄݉݁݉ ? ݉Àሻ݁ ൌ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? Agora, a probabilidade de ser míope independentemente do sexo, com base no que encontramos no exercício anterior é de: ܲሺ݉À݁ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? Substituindo na fórmula: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 31 de 74 ܲሺ݄݉݁݉ȁ݉À݁ሻ ൌ ܲሺ݄݉݁݉ ? ݉À݁ሻܲሺ݉À݁ሻ ൌ ?ǡ ? ? ?ǡ ? ?ൌ ǡ Alternativa (a). Exercício 7 (Auditor da Previdência ± ESAF/2002) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C. a) 0,5 b) 0,08 c) 0 d) 1 e) 0,6 Resolução Essa questão é só aplicar a fórmula: ܲሺܦȁܥሻ ൌ ܲሺܦ ? ܥሻܲሺܥሻ ? ?ǡ ? ൌܲ ሺܦ ? ܥሻ ?ǡ ? ? ࡼሺࡰ ? ሻ ൌ ǡ ૡ Alternativa (b). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 32 de 74 Exercício 8 (Auditor da Previdência ± ESAF/2002) Considere um ensaio aleatório com espaço amostral {T,U,V,W}. Considere os eventos M = {T}, N={U,V} e S={W}. Assinale a opção correta relativamente à probabilidade de ࡹ ? ࡺ ? ࡿ. a) Não se pode determinar a probabilidade de intersecção. b) É o produto das probabilidades de M, N e S. c) A probabilidade é um, pois pelo menos um dos três deve ocorrer. d) A probabilidade de intersecção é de 1/3. e) A probabilidade de intersecção é nula, pois os eventos são mutuamente exclusivos. Resolução Pessoal, a forma mais fácil de visualizar a solução é com base no Diagrama de Venn: Ficou fácil enxergar, não? Não há intersecção entre os conjuntos, os eventos são mutuamente exclusivos. Alternativa (e). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 33 de 74 Exercício 9 (BACEN ± FCC/2005) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores (A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa apresentar lucro é de 0,70 sendo empresa do setor A; 0,8 sendo empresa do setor B e 0,9 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economia existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo aleatoriamente uma empresa pertencente a esses 3 setores e detectando-se que ela não apresenta lucro, a probabilidade dela pertencer ao setor A é de: a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 80% Resolução Isso é um caso típico de probabilidade condicional. Voltemos novamente ao Teorema de Bayes: ܲሺܣȁ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ܲሺܣ ? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻܲሺ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ Vamos começar a calcular! O exercício nos deu as probabilidades de que as empresas tenham lucro, assim a probabilidade de que elas não tenham é o complementar destas últimas: ܲሺܣ ? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ܲሺܤ ? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ? ܲሺܥ ? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? Agora vamos encontrar a quantas empresas este valor corresponde, basta multiplicar a probabilidade pela quantidade de empresas: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 34 de 74 ܧ݉ݎ݁ݏܽݏ�ܣ�ݏ݁݉�݈ݑܿݎ ൌ ?ǡ ? ڄ ? ? ?ൌ ? ? ? ܧ݉ݎ݁ݏܽݏ�ܤ�ݏ݁݉�݈ݑܿݎ ൌ ?ǡ ? ڄ ? ? ?ൌ ? ? ܧ݉ݎ݁ݏܽݏ�ܥ�ݏ݁݉�݈ݑܿݎ ൌ ?ǡ ? ڄ ? ? ?ൌ ? ? Agora ficou fácil! No total nós temos ( ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ?) empresas. Deste total, ( ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ?). Portanto, a probabilidade de uma empresa não ter lucro é de: ܲሺ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? No caso, a probabilidade de ser uma empresa A e não ter lucro é de: ܲሺܣ ? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? Agora aplique na fórmula: ܲሺܣȁ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ܲሺܣ ? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻܲሺ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? ? ?Ȁ ? ? ? ? ? ? ?Ȁ ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ?ൌ ૠ ? Alternativa (d). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 35 de 74 Exercício 10 (CGU ± ESAF/2008) Dois eventos são independentes se: a) ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ࡼሺሻ b) ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൊ ࡼሺሻ c) ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ െ ࡼሺሻ d) ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ࡼሺȁሻ e) ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ Resolução 4XHVWmR�FRQFHLWXDO��%DVWD�QRV� OHPEUDU�GDTXHOH� ³PDQWUD´��DVVLP�SDUD�GRLV�HYHQWRV� ³$´�H�³%´�TXDLVTXHU� ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ Se os eventos são independentes a probabilidade de A dado B é igual à probabilidade de A, assim: ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ Multiplicando invertido: ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ Alternativa (e). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 36 de 74 Exercício 11 (Petrobrás ± CESGRANRIO/2011) Dois eventos de um espaço amostral são independentes se e somente se: a) A informação e que um deles ocorreu não altera a probabilidade de ocorrência do outro. b) Um deles ocorrendo, o outro não poderá ocorrer. c) São disjuntos, ou seja, a probabilidade de ocorrerem juntos é negativa. d) São negativamente correlacionados. e) Têm a mesma probabilidade de ocorrer. Resolução Com base no que vimos no exercício acima, sabemos que dois eventos independentes têm a característica de que se um deles ocorrer, a probabilidade de ocorrência do outro não se altera. Gabarito (a). Exercício 12 (Petrobrás ± CESGRANRIO/2005) Os eventos A e B são independentes e suas probabilidades são P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4. Quanto vale ࡼሺ ? ሻ? a) 0,5 b) 0,6 c) 0,7 d) 0,8 e) 0,9 Resolução Esta resolução parte da nossa fórmula para reunião: 83395105172 user Realce ...informação de que... Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 37 de 74 ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ? ܤሻ Como os eventos são independentes: ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ڄ ܲሺܤሻ ൌ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ൌ ǡ Assim, vamos substituir na fórmula: ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? െ ?ǡ ? ൌ ǡ ૠ Alternativa (c). Exercício 13 (CGU ± ESAF/2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 Resolução Agora vamos nos utilizar de análise combinatória! O que nós temos de fazer é o seguinte, encontrar quantas combinações (pois a ordem em que os indivíduos forem escolhidos não importa) de três pessoas são possíveis em que o sexo de todas seja igual e dividir o resultado por todas as 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 38 de 74 combinações possíveis! Iremos fazer isso para os dois sexos. No caso dos homens, queremos saber quantas combinações de 3 homens são possíveis, dado que há 6 pessoas do sexo masculino: ܥǡଷ ൌ ?Ǩሺ ? െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ?ൌ Realizando a mesma operação para as mulheres: ܥସǡଷ ൌ ?Ǩሺ ? െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ൌ Ótimo! Agora temos de encontrar todas as combinações possíveis, independentemente da disposição do grupo pelo sexo dos indivíduos. Neste caso, temos uma combinação de 10 elementos três a três: ܥଵǡଷ ൌ ? ?Ǩሺ ? ?െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ?ൌ Para encontrarmos a probabilidade do que é pedido na questão precisamos calcular o quanto aquelas combinações representam do total: ܲሺ݉݁ݏ݉�ݏ݁ݔሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ?ൌ ǡ Alternativa (d). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 39 de 74 Exercício 14 (ICMS\RJ ± FGV\2007) A tabela abaixo representa a distribuição de 1000 pessoas classificadas por sexo e Estado Civil: Uma pessoa é selecionada ao acaso, a probabilidade de a mesma ser uma mulher ou viúva é de: a) 0,6 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,7 e) 0,5 Resolução Vamos à nossa fórmula de reunião de probabilidades: ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ ?ݒ݅ïݒܽሻ ൌ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎሻ ܲሺݒ݅ïݒܽሻ െ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ ?ݒ݅ïݒܽሻ Agora fica bem fácil! Dado que nosso espaço amostra é de 1000 indivíduos e que há 400 mulheres e 200 viúvos: ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? 83395105172 user Realce ...o Professor não falou a respeito, mas aqui está uma grande pegadinha, porque a palavra "viúva" não esta se referindo a mulheres, apesar no gênero ser feminino. Ela esta se referindo a "pessoas", onde estão inseridos "homens" e "mulheres", ou seja, 200 pessoas dentre 1.000. No entanto, ao consideramos as 400 mulheres, dentro delas ja estão 100 que são as "mulheres viúvas", as quais terão que ser deduzidas das 200 pessoas viúvas, haja vista ao considerarmos a proporção das mulheres, nesta proporção já estão considerados aquelas que são viúvas e que também ja estão dentro das 200 pessoas viúvas, senão estaremos incorrendo em duplicidade de contagem. user Realce ...ficaria mais claro falar em 200 "pessoas" viúvas, onde estão incluídos homens "viúvos" e mulheres "viúvas". Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 40 de 74 ܲሺݒ݅ïݒሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? Agora temos de encontrar a probabilidade de intersecção, com vistas a excluir a dupla contagem. No caso, há 100 mulheres e viúvas, o que representa 10% do total. Assim: ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ ?ݒ݅ïݒܽሻ ൌ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎሻ ܲሺݒ݅ïݒܽሻ െ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ ?ݒ݅ïݒܽሻ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? െ ?ǡ ? ൌ ǡ Alternativa (e). Exercício 15 (ATA\MF ± ESAF\2012) Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolassão retiradas desta caixa, uma a uma e sem reposição, qual a probabilidade de serem da mesma cor? a) 55% b) 50% c) 40% d) 45% e) 35% Resolução Este tipo de questão sem muitas alternativas de combinações, eu sempre aconselho a vocês resolverem com base em raciocínio. Vamos a dois casos possíveis, duas bolas brancas ou duas bolas pretas. 1) 2 bolas pretas: na primeira extração haviam 5 bolas na caixa, sendo que destas duas eram pretas. Portanto, na 1ª extração a chance era de 2 para 5 de vir uma bola preta, enquanto que, na segunda, a chance era de 1 para 4, dado que uma bola preta já foi extraída. Portanto: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 41 de 74 ܲሺݎ݁ݐܽሻ ൌ ? ?ڄ ? ?ൌ ? ? ? 2) 2 bolas brancas: por raciocínio análogo, pode-se inferir que a chance de extrair uma bola branca na primeira vez era de 3 para 5, enquanto que na segunda era de 2 para 4. Assim: ܲሺܾݎܽ݊ܿܽሻ ൌ ? ?ڄ ? ?ൌ ? ? ? Não há como os dois casos ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja, os eventos são mutuamente exclusivos. Assim: ܲሺܾݎܽ݊ܿܽ ? ݎ݁ݐሻܽ ൌ ܲሺܾݎܽ݊ܿܽሻ ܲሺݎ݁ݐܽሻ െ ܲሺܾݎܽ݊ܿܽ ? ݎ݁ݐሻܽ ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ?ൌ ǡ ൌ ? Alternativa (c). Pessoal, agora vou dar alguns exercícios mais teóricos e um pouco mais aprofundados. Estas questões eu tirei do exame da ANPEC (Associação Nacional dos Centros de Pós Graduação em Economia)! Apesar de elas não serem de nenhum concurso específico, o aprofundamento necessário para resolvê-ODV� YDL� GDU� D� YRFrV� XPD� ³PDWXULGDGH� LQWHOHFWXDO´�� R� que ajuda a resolver as mais fáceis! (ANPEC ± 2010) Sobre a teoria das probabilidades e considerando A, B e C três eventos quaisquer, mas com probabilidades de ocorrência diferentes de zero, julgue as afirmativas: Exercício 16 ࡼሺȁሻࡼሺȁሻ ൌ ࡼሺሻࡼሺሻ 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 42 de 74 Resolução Vamos à nossa fórmula: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܣሻ Agora, basta dividir uma expressão pela outra: ܲሺܣȁܤሻܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻܲሺܣ ? ܤሻܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣሻܲሺܤሻ Gabarito: alternativa correta. Exercício 17 Se dois eventos são mutuamente exclusivos, eles são independentes. Resolução Questão importantíssima! Vamos ver se vocês entenderam o conceito de independência. Há como formalizar matematicamente esta resposta, mas eu prefiro utilizar a intuição. 6H�GRLV�HYHQWRV�³$´�H�³%´�VmR�PXWXDPHQWH�H[FOXVivos isso significa que a ocorrência de um implica a não ocorrência do outro! Mas, isso é o oposto de independência, 83395105172 user Realce ....nos eventos mutuamente exclusivos, a ocorrência de um implica na impossibilidade da ocorrência do outro, ou seja, a ocorrência de um "depende" da não ocorrência do outro....já nos independentes a ocorrência de um implica apenas na não ocorrência do outro, mas não na impossibilidade desse outro ocorrer, ou seja, é possível que ambos ocorram ao mesmo tempos[[. Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 43 de 74 SRLV��QHVWH�FDVR��D�SUREDELOLGDGH�GD�RFRUUrQFLD�GH�XP�GRV�HYHQWRV�� WDO� FRPR� ³$´�� QmR�SRGHULD�DIHWDU�D�SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD�GH�³%´��Entendeu a ideia? Portanto, alternativa errada. Exercício 18 Probabilidade é uma função que relaciona elementos do espaço amostral a valores no intervalo fechado entre 1 e zero. Resolução Esta é a própria definição formal de probabilidade, associando uma parcela do espaço amostral à sua totalidade, sendo que este valor estará definido entre os valores de 0 a 1. Alternativa correta. (ANPEC ± 2011) Julgue as afirmativas: Exercício 19 Se ࡼሺሻ ൌ ǡ , ࡼሺሻ ൌ ǡ ૡ e ࡼሺȁሻ ൌ ǡ , então ࡼሺȁሻ ൌ ǡ Resolução Basta lembrarmos que existe um elemento comum entre as fórmulas de ܲሺܣȁܤሻ e ܲሺܤȁܣሻ, dado por ܲሺܣ ? ܤሻ. Portanto: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ ? ܤሻܲሺܤሻ ? ሺܲܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ڄ ܲሺܤሻ Substituindo na fórmula de ܲሺܤȁܣሻ: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 44 de 74 ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ڄ ܲሺܤሻܲሺܣሻ Essa é a nossa fórmula do Teorema de Bayes. Substituindo os valores: ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣȁܤሻ ڄ ܲሺܤሻܲሺܣሻ ൌ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ?ǡ ? ൌ ǡ Alternativa correta. Exercício 20 Se ࡼሺሻ ൌ , então ൌ ࢉ࢛࢚�࢜ࢇࢠ Resolução Outra pegadinha! Não necessariamente, pois nem todo evento que tem probabilidade de ocorrência igual à zero corresponde a um conjunto vazio. Isso é meio que intuitivo, pense nisso! Alternativa errada. 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 45 de 74 Exercício 21 (BACEN ± FCC/2006) A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos 1 não atrasar sua mensalidade é de: a) െ ǡ ૢ b) ǡ ૢ c) ǡ ૠ ڄ ǡ ૢ d) ڄ ǡ ૢ e) െ ǡ Resolução A resolução desta questão parece complicada, mas não é! A primeira coisa que vocês têm de perceber é que os eventos de diferentes associados atrasarem sua mensalidade são independentes. Portanto, a probabilidade de ocorrência de todos ao mesmo tempo é igual ao produto das probabilidades. Vamos chamar a SUREDELOLGDGH�GR�LQGLYtGXR�³L´�DWUDVDU�R�SDJDPHQWR�GH��ܣ), assim: ܲሺܣଵ ? ܣଶ ? ܣଷ ? ܣସ ? ܣହሻ ൌ ܲሺܣଵሻ ڄ ܲሺܣଶሻ ڄ ܲሺܣଷሻ ڄ ܲሺܣସሻ ڄ ܲሺܣହሻ Portanto: ܲሺܣଵሻ ڄ ܲሺܣଶሻ ڄ ܲሺܣଷሻ ڄ ܲሺܣସሻ ڄ ܲሺܣହሻ ൌ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ?ହ Esta é a probabilidade de que todos atrasem o pagamento! Então, ? െ ?ǡ ? ?ହ é a probabilidade de que ao menos um associado não atrase o pagamento. Alternativa (e). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 46 de 74 Exercício 22 (Integração Nacional ± ESAF/2012) Uma turma de escola de 1º grau tem 30 alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são meninos. Ao se escolher, ao acaso, três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de 2 dos 3 escolhidos serem meninas? a) ½ b) 12/27 c) 45/91 d) 95/203 e) 2/3 Resolução Bom, nós temos de escolher combinações possíveis das meninas de forma a preencher duas das vagas que precisamos preencher. A ordem não importa, assim: ܥଶǡଶ ൌ ? ?Ǩሺ ? ?െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ? ? ڄ ? ൌ ૢ Como temos 10 meninos na escola, podemos encontrar o número de possibilidades apenas multiplicando estes dois números (tal como no exemplo do macho e da fêmea): ܲݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ ൌ ? ? ?ڄ ? ?ൌ ૢ Agora basta dividir este número pelo total de possibilidades! Isso será dado por todas as combinações possíveis, ou seja a combinação dos 30 elementos em conjuntosde três: ܥଷǡଷ ൌ ? ?Ǩሺ ? ?െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ?ڄ ? ? ? ڄ ? ڄ ? ൌ 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 47 de 74 Assim, a probabilidade desejada é de: ܲሺ ?݉݁݊݅݊ܽݏǡ ?݉݁݊݅݊ሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ૢ Alternativa (d). Exercício 23 (FINEP ± CESGRANRIO/2011) Um sistema de detecção de temporais é composto por dois subsistemas, A e B, que operam independentemente. Se ocorrer temporal, o sistema A acionará o alarme com probabilidade 90%, e o sistema B com probabilidade 95%. Se não ocorrer temporal, a probabilidade de que o sistema A acione o alarme, isto é, um falso alarme, é de 10%, e a probabilidade de que o sistema B acione o alarme é de 20%. O sistema foi acionado. A probabilidade de que ocorra um temporal é de, aproximadamente, a) 9/19 b) 185/215 c) 855/875 d) 995/1000 e) 995/1275 Resolução Essa questão é difícil! Atenção aos detalhes. A primeira coisa que você tem de entender é que temos 2 SRVVLELOLGDGHV��³R�DODUPH� VRRX� VHP� WHPSRUDO´� H� ³R� DODUPH� VRRX� FRP� WHPSRUDO´�� GDGR� TXH� R� QRVVR� HVSDoR� amostral foi reduzido de forma a considerar que o alarme foi acionado! Assim, pense que devemos encontrar: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 48 de 74 ܲሺݐ݁݉ȁݏܽݎሻ ൌ ܲሺݐ݁݉ݎ݈ܽ�݁�ݏܽݎሻܲሺݏܽݎሻ A probabilidade de soar nós tiramos de uma reunião entre a probabilidade de soar com temporal e sem temporal, de forma que: ܲሺݏܽݎሻ ൌ ܲሺݏܽݎܿ݉ݐ݁݉ݎ݈ܽ ? ݏܽݎݏ݁݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ ܲሺݏܽݎሻ ൌ ܲሺݏܽݎܿ݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ ܲሺݏܽݎݏ݁݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ െ ܲሺݏܽݎܿ݉ݐ݁݉ݎ݈ܽ ? ݏܽݎݏ݁݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ É fácil visualizar que o último elemento é igual à zero, pois não há intersecção entre os eventos. Assim: ܲሺݏܽݎሻ ൌ ܲሺݏܽݎܿ݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ ܲሺݏܽݎݏ݁݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ Mas, há mais de um alarme, portanto, a probabilidade de soar, com ou sem temporal, deve ser uma reunião das probabilidades de soar no alarme A e B: ܲሺݏܽݎሻ ൌ ܲሺݏܽݎܿ݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� ܲሺݏܽݎݏ݁݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� Se nós detalharmos as duas probabilidades: ܲሺݏܽݎܿ݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏܽݎ ? ?� ?ݏܽݎሻ ܲሺݏܽݎݏ݁݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏܽݎ ? ?� ?ݏܽݎሻ Nós já sabemos que ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ ? ܤሻ, então vamos abrir estas expressões: ܲሺݏܽݎܿ݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏܽݎሻ � ܲሺ ?ܤ ?ݏܽݎሻ െ ܲሺ ?ܣ ?݁ ?ܤ ?ݏܽݎሻ ܲሺݏܽݎݏ݁݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏܽݎሻ � ܲሺ ?ܤ ?ݏܽݎሻ െ ܲሺ ?ܣ ?݁ ?ܤ ?ݏܽݎሻ No enunciado é dito que ambos são independentes, de forma que: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 49 de 74 ܲሺݏܽݎܿ݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏܽݎሻ � ܲሺ ?ܤ ?ݏܽݎሻ െ ܲሺ ?ܣ ?ݏܽݎሻ � ڄ ܲሺ ?ܤ ?ݏܽݎሻ� ܲሺݏܽݎݏ݁݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� ൌ ܲሺ ?ܣ ?ݏܽݎሻ � ܲሺ ?ܤ ?ݏܽݎሻ െ ܲሺ ?ܣ ?ݏܽݎሻ � ڄ ܲሺ ?ܤ ?ݏܽݎሻ� Agora, é só substituir os valores do enunciado: ܲሺݏܽݎܿ݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ܲሺݏܽݎݏ݁݉ݐ݁݉ݎ݈ܽሻ�� ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? െ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? Assim, o espaço amostral é dado por: ࡼሺ࢙ࢇ࢘ሻ ൌ ǡ ૠ Nós já calculamos a probabilidade de soar com temporal, aí é só calcular: ܲሺݐ݁݉ȁݏܽݎሻ ൌ ܲሺݐ݁݉ݎ݈ܽ�݁�ݏܽݎሻܲሺݏܽݎሻ ൌ ?ǡ ? ? ? ?ǡ ? ? ? Multiplicando o numerador e o denominador por 1000 chegamos à alternativa (e). Exercício 24 (FINEP ± NCEUFRJ/2006) Um jogador está interessado em fazer apostas com base nos resultados obtidos com o lançamento de dois dados simultaneamente. Ele deseja determinar as probabilidades de dois tipos de resultados: a) a soma dos números que aparecem nos dois dados é menor do que 4; e b) o número que aparece em um dado é diferente do número que aparece no outro dado. As respostas corretas são, respectivamente: a) 1/9 e 5/6 b) 1/12 e 5/6 c) 1/9 e 5/12 d) 1/12 e 2/3 e) 1/6 e 5/12 83395105172 user Realce ...isso tem que ser feito porque "soar falso" não esta dentro de "soar verdadeiro", até porque não há nexo....ou seja, para calcular a resposta não podemos deduzir "soar falso" de "soar verdadeiro", mas sim calcular a proporção de "soar verdadeiro" no conjunto total de "soar", que incluir "soar verdadeiro" e "soar falso" Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 50 de 74 Resolução Vamos por partes, primeiro iremos determinar a probabilidade de que a soma das faces seja menor do que 4. As possibilidades de que a soma das faces seja menor do que 4 são: ሼሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻሽ Ora, com base no princípio fundamental da contagem, são três combinações de um total de: ?�݊ï݉݁ݎݏ�ݏݏÀݒ݁݅ݏ�݀�݀ܽ݀� ? ൈ ?�݊ï݉݁ݎݏ�ݏݏÀݒ݁݅ݏ�݀�݀ܽ݀� ? ൌ Assim: ܲሺݏ݉ܽ�݉݁݊ݎ�ݍݑ݁� ?ሻ ൌ ? ? ?ൌ Beleza! Agora, vamos calcular a probabilidade de que os números dos dados sejam diferentes! É muito mais fácil calcularmos a probabilidade de que os mesmos sejam iguais e encontrar o complemento da mesma. As possibilidades de resultados iguais são: ሼሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻǢ ሺ ?ǡ ?ሻሽ Ou seja, são 6 possibilidades de um total de 36! Assim: ܲሺ݊ ?�݅݃ݑܽ݅ݏሻ ൌ ? ? ?ൌ ? ? O complemento desta última é dado por: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 51 de 74 ܲሺ݊ ?�݂݀݅݁ݎ݁݊ݐ݁ݏሻ ൌ ? െ ? ?ൌ Portanto, alternativa (b). Exercício 25 (ATA ± ESAF/2012) Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8? a) 41% b) 44% c) 42% d) 45% e) 43% Resolução Questão bem tranquila, mas tem que pensar um pouco. Primeira coisa é encontrar quantos números entre 1 e 100 são divisíveis por 3 e 8. Ora, pense comigo, quantos números que são múltiplos de 3 estão entre 1 e 100? Você precisa encontrar o maior valor possível de um múltiplo de 3 (ݔ) que seja menor do que 100, pois, neste caso, você encontrará quantos múltiplos de 3 existem neste intervalo. Se você calcular, verá que: ݔ ൌ ? ? Pois, ? ൈ ? ?ൌ ? ?, enquanto que ? ൈ ? ?ൌ ? ? ?, o que é maior do que 100. Assim, existem 33 múltiplos de 3 que estão entre 1 e 100. 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 52 de 74 E múltiplos de 8? Se você pensar da mesma forma, vai perceber que: ݔ ൌ ? ? Pois, ? ൈ ? ?ൌ ? ?, enquanto que ? ൈ ? ?ൌ ? ? ?, o que é maior do que 100. Assim, existem 12 múltiplos de 8 que estão entre 1 e 100. Entretanto, existem números repetidos nesta lista, pois há números que são divisíveis por 3 e 8. Assim, qual é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC, lembra do 2º grau?) entre 3 e 8? Assim, para encontrar os números que são múltiplos de ambos, precisamos multiplicar um pelo outro, o que nos dá o valor de 24. Agora, temos de encontrar a quantidade de múltiplos de 24 no intervalo de 1 a 100. Este é bem mais fácil: ݔ ൌ ? Assim, a quantidade de múltiplos de3 e 8 entre 1 e 100 é igual à quantidade de múltiplos de 3 mais os de 8, menos os valores conjuntos de ambos: ܯï݈ݐ݈݅ݏ ൌ ? ? ? ?െ ? ൌ ? ? Aí, fica fácil calcular a probabilidade. No caso, temos 100 possibilidades ao todo: ܲሺ݉ݑ݈ݐ݈݅ݏ�݀݁� ?�݁� ?ሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? Alternativa (a). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 53 de 74 Essa próxima questão vai trazer conteúdo novo, portanto resolvam comigo primeiro. Exercício 26 (STN ± ESAF/2012) Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar que: a) se A e B são eventos independentes, então P(A U B) = P(A) + P(B). E��VH�$��%�H�&�VmR�HYHQWRV�TXDLVTXHU�FRP�3�&����� então P(A U B|C) = P (A|C) + P(B|C). c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de repetição do experimento. d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, P(Aŀ B ŀC) = P(A). P(B). P(C). e) P() + P(ഥ) = 0. Resolução Esta é muito difícil, vamos uma por uma! Letra (a). Se os eventos são independentes, a probabilidade condicional é que muda, de forma que: ܲሺܣ ? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ Errada. Letra (b) Vamos substituir a equação: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 54 de 74 ܲሺܣ ? ܤȁܥሻ ൌ ܲሺሺܣ ? ܤሻ ? ܥሻܲሺܥሻ Pelas propriedades vistas em aula, sabemos que: ܲሺሺܣ ? ܤሻ ? ܥሻܲሺܥሻ ൌ ܲሺሺܣ ? ܥሻ ?ሺܤ ? ܥሻሻܲሺܥሻ ൌ ܲሺܣ ? ܥሻ ܲሺܤ ? ܥሻ െ ܲሺሺܣ ? ܥሻ ?ሺܣ ? ܤሻሻܲሺܥሻ Substituindo a probabilidade condicional: ܲሺܣ ? ܤȁܥሻ ൌ ܲሺܣ ? ܥሻ ܲሺܤ ? ܥሻ െ ܲሺሺܣ ? ܥሻ ?ሺܣ ? ܤሻሻܲሺܥሻൌ ܲሺܣȁܥሻ ܲሺܤȁܥሻ െ ܲሺሺܣ ? ܥሻ ?ሺܣ ? ܤሻሻܲሺܥሻ Alternativa errada. Letra (c). Esta está correta por definição. Já discutimos isso na aula. Letra (d). Esta é a mais complicada. Para que três eventos sejam independentes, é preciso que eles sejam independentes conjuntamente e entre si. Portanto, as condições necessárias e suficientes para que isso ocorra são: ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ ࡼሺ ? ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 55 de 74 Todas devem ocorrer conjuntamente. Alternativa falsa. Letra (e). $TXHOH� ³WUDFLQKR´� HP� FLPD� GR� A significa o seu complemento. A soma de um conjunto com seu complemento é sempre igual à 1. Alternativa errada. Assim, o gabarito é (c). Exercício 27 (MPOG ± ESAF/2012) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do FRQMXQWR�=�GDGR�SHOR�LQWHUYDOR�^]�İ�N _����]����`��6H ocorrer coroa, seleciona-se, ao acaso, um número p do intervalo P = {S�İ�N | 1 �S����`��HP�TXH�N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a: a) 6/31 b) 1/2 c) 1/12 d) 1/7 e) 5/6 Resolução Trata-se de um exercício com o uso da Regra de Bayes. Qual a probabilidade de ter dado coroa dado que o número encontrado é ímpar. 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 56 de 74 ܲሺܿݎܽȁ݅݉ܽݎሻ ൌ ܲሺ݅݉ܽݎȁܿݎܽሻ ڄ ܲሺܿݎܽሻܲሺ݅݉ܽݎȁܿݎܽሻ ڄ ܲሺܿݎܽሻ ܲሺ݅݉ܽݎȁܿܽݎܽሻ ڄ ܲሺܿܽݎܽሻ Bom, a probabilidade de termos um valor ímpar, dado que tiramos coroa é de 0,5, pois trata-se da metade dos casos do espaço amostral do evento coroa: ܿݎܽ ൌ ሼ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?ሽ Já, a probabilidade de ser cara é de 0,6, pois o espaço amostral é: ܿݎܽ ൌ ሼ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ? ?Ǣ ? ?ሽ Assim, vamos substituir: ܲሺܿݎܽȁ݅݉ܽݎሻ ൌ ?ǡ ? ൈ ? ?ቀ ?ǡ ? ൈ ? ?ቁ ቀ ?ǡ ? ൈ ? ?ቁ ൌ ? ? Alternativa (d). Exercício 28 (ICMS-RJ ± 2014/FCC) Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é a) 13/100 b) 13/55 c) 7/55 d) 9/110 e) 9/55 83395105172 user Realce ...como ocorreram dous eventos, o arremesso do dado e a extração do elemento numérico, então temos que considerar que o espaço amostral de uma seleção do elemento numérico tem que considerar tanto a proporção de números impares na hipótese de ter saído Coroa (1/6 x 2/4) como Cara (5/6 x 3/5), ou seja, no caso de Cara temos 1/6 no arremesso do dado vezes 2/4 de se extrai um número ímpar, e de Coroa temos 5/6 no arremesso do dado vezes 3/5 de se extrai um número impar. Assim, somando-se esse montante teremos o espaço amostral total, do qual podemos calcular a probabilidade de cada caso, ou seja, número ímpar tendo saído Cara ou número ímpar tendo saído Coroa Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 57 de 74 Resolução O total de combinações possíveis que podemos formar é: ܥଵଶǡଷ ൌ ? ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ?ൈ ? ?ൈ ? ? ? ൈ ? ൌ ? ൈ ? ?ൈ ? ൌ A partir daí, precisamos encontrar a quantidade de combinações possíveis compostas só de artigos ruins e todas que seriam possíveis só com 1 artigo bom. ܵ×�ݎݑ݅݊ݏ ൌ ܥସǡଷ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ൈ ? ൈ ? ? ൈ ? ൌ Assim, há 4 combinações possíveis de só escolhermos 4 itens ruins. No caso de 1 item bom e outros 2 ruins, precisamos encontrar o total de combinações possíveis de itens ruins primeiro: ?�ݎݑ݅݊ݏ ൌ ܥସǡଶ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ൈ ? ? ൌ Bom, nós temos 6 possibilidades de escolhermos 2 ruins primeiro, seguindo-se a escolha de um item bom. É fácil perceber que o total de possibilidades será dado pela multiplicação deste total de combinações pelo total de itens bons ainda presentes na amostra. Assim: ?�݅ݐ݁݉�ܾ݉�݁� ?�ݎݑ݅݊ݏ ൌ ? ൈ ? ൌૡ Portanto, a probabilidade de encontrarmos a combinação pedida no enunciado é: ܲሺ݊�݉ݔ݅݉� ?�ܾ ሻ݉ ൌ ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? Alternativa (b). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 58 de 74 Exercício 30 (ALESP ± 2010\FCC) Numa pesquisa respondida por todos os funcionários de uma empresa, 75% declararam praticar exercícios físicos regularmente, 68% disseram que fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos e 17% informaram que não possuem nenhum dos dois hábitos. Em relação ao total, os funcionários desta empresa que afirmaram que praticam exercícios físicos regularmente e fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos representam a) 43% b) 60% c) 68% d) 83% e) 100%Resolução Questão que a gente usa para testar conhecimentos de Diagrama de Venn. Vamos supor, para fins de simplificação que haja 100 funcionários na empresa. Quantas pessoas não preenchem nenhum dos requisitos (exercícios e exames regulares)? ? ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ?�݂ݑ݊ܿ݅݊ݎ݅ݏ Portanto há 83 funcionários (83%) que preenchem um ou dois dos requisitos. Mas, o exercício quer os funcionários que preenchem os dois. Portanto, vamos usar um diagrama de Venn: 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 59 de 74 Como encontrar a parte amarela? Vamos usar nossa fórmula: ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ࡼሺሻ െ ࡼሺ ? ሻ Rearranjando: ࡼሺሻ ࡼሺሻ െ ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺ ? ሻ Esta fórmula nos permite encontrar a probabilidade da intersecção! Aí é só substituir: ࡼሺ ? ሻ ൌ ૠ ? ૡ ? െ ૡ ? ൌ ? Alternativa (b). 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 60 de 74 Exercício 31 (INFRAERO ± 2011\FCC) Em uma comunidade 10% de todos os adultos com mais de 60 anos têm certa doença. Um teste diagnostica corretamente 90% de todos os adultos com mais de 60 anos, como portadores da mesma e incorretamente 5% de todos aqueles que não têm a doença, como portadores da mesma. A probabilidade de um adulto com mais de 60 anos ter de fato a doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador da mesma é a) 1/3 b) 2/3 c) 1/5 d) 2/5 e) 3/5 Resolução Vamos fazer assim (sem Teorema de Bayes, só no raciocínio mesmo), imagine que essa população tenha 1000 indivíduos. Assim: ? ? ?�ݏܽݑ݀ݒ݁݅ݏ ൌ ? ? ?�݁ݏݏܽݏ ? ? ?�ܿ݉�ܽ�݀݁݊ܽ ൌ ? ? ?�݁ݏݏܽݏ Como o teste diagnosticaria essa população? Ora, ele vai diagnosticar corretamente 90% da população com a doença e 5% de pessoas sem doença: ݏܽݑ݀ݒ݁݅ݏ�݀݅ܽ݃݊ݏݐ݅ܿܽ݀ݏ�ܿ݉�ܽ�݀݁݊ܽ ൌ ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ? ݀݁݊ݐ݁ݏ�݀݅ܽ݃݊ݏݐ݅ܿܽ݀ݏ�ܿ݉�ܽ�݀݁݊ܽ ൌ ? ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ? Portanto, 135 (90+45) foram diagnosticadas com a doença. Porém, só 90 realmente a possui. Assim: ܲሺ݀݁݊ܽȁ݀݅ܽ݃݊×ݏݐ݅ܿ�ݏ݅ݐ݅ݒሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? Alternativa (b). 83395105172 user Realce null0,1 x 0,09 = 0,09 (certo, com doença)null0,9 x 0,05 = 0,045 (errado, com doença)nullnull==> 0,09 de 0,135 = 2/3 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 61 de 74 Lista de exercícios resolvidos Exercício 1 (Analista Judiciário ± FCC/2001) Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160 assinam o jornal A, 35 assinam os dois jornais, 201 não assinam B e 155 assinam apenas um jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma família selecionada ao acaso assinar A dado que assina B são dados respectivamente por: a) 180 e 160/266 b) 250 e 35/75 c) 266 e 7/13 d) 266 e 35/76 e) 266 e 35/266 Exercício 2 (IRB ± (6$)������� 6HQGR� T[� D� SUREDELOLGDGH� GH� XPD� SHVVRD� GH� LGDGH� ³[´� IDOHFHU�QHVWD� LGDGH�H�T\�D�SUREDELOLGDGH�GH�XPD�SHVVRD�GH� LGDGH�³\´� IDOHFHU� nesta idade e px = (1 - qx) e py = (1 ± qy), pode-se afirmar que o resultado da equação (1 ± px*py) indica a: a) Probabilidade de ambos estarem vivos b) Probabilidade de pelo menos um vivo c) Probabilidade de pelo menos um morto d) Probabilidade de ambos mortos e) 3UREDELOLGDGH�GH�³[´�YLYR�H�³\´�PRUWR�RX�³\´�YLYR�H�³[´�PRUWR 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 62 de 74 Exercício 3 (ICMS\SP ± FCC\2009) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso na cidade ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56% Exercício 4 (Petrobrás ± CESGRANRIO/2008) A tabela abaixo representa o peso de um grupo de pessoas e suas respectivas frequências. Não há observações coincidentes com os extremos das classes. Classes (em kgf) Frequências 40ٟ50 2 50ٟ60 5 60ٟ70 7 70ٟ80 8 80ٟ90 3 Uma pessoa de mais de 50 kgf será escolhida ao acaso. A probabilidade de que o peso desta pessoa esteja entre 60 e 80 kgf é de, aproximadamente: a) 65% b) 63% c) 60% d) 58% e) 55% 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 63 de 74 (Petrobrás ± CESGRANRIO/2005) Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a probabilidade de um homem ser míope é de 0,05 e de uma mulher é de 0,1. Com base nestas informações responda às seguintes perguntas. Exercício 5 Selecionando uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de ela ser míope? a) 0,05 b) 0,06 c) 0,07 d) 0,08 e) 0,09 Exercício 6 Selecionando um míope ao acaso, qual a probabilidade de o mesmo ser homem. Exercício 7 (Auditor da Previdência ± ESAF/2002) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C. a) 0,5 b) 0,08 c) 0 d) 1 e) 0,6 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 64 de 74 Exercício 8 (Auditor da Previdência ± ESAF/2002) Considere um ensaio aleatório com espaço amostral {T,U,V,W}. Considere os eventos M = {T}, N={U,V} e S={W}. Assinale a opção correta relativamente à probabilidade de ࡹ ? ࡺ ? ࡿ. a) Não se pode determinar a probabilidade de intersecção. b) É o produto das probabilidades de M, N e S. c) A probabilidade é um, pois pelo menos um dos três deve ocorrer. d) A probabilidade de intersecção é de 1/3. e) A probabilidade de intersecção é nula, pois os eventos são mutuamente exclusivos. Exercício 9 (BACEN ± FCC/2005) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores (A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa apresentar lucro é de 0,70 sendo empresa do setor A; 0,8 sendo empresa do setor B e 0,9 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economia existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo aleatoriamente uma empresa pertencente a esses 3 setores e detectando-se que ela não apresenta lucro, a probabilidade dela pertencer ao setor A é de: a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 80% 83395105172 Estatística p/ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 03 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 65 de 74 Exercício 10 (CGU ± ESAF/2008) Dois eventos são independentes se: a) ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ࡼሺሻ b) ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൊ ࡼሺሻ c) ࡼሺ ? ሻ ൌ ࡼሺሻ
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