SEFAZ PE XEST estatistica jeronymo Aula 04 Variáveis Aleatórias Discretas

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Aula 04
Estatística p/ SEFAZ/PE
Professor: Jeronymo Marcondes
Estatística p/ ICMS-PE 
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AULA 04 ± Variáveis Aleatórias Discretas 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
Distribuição de Probabilidade 2 
Distribuição Uniforme 5 
Distribuição Binomial e de Bernoulli 7 
Distribuição de Poisson 12 
Distribuição Geométrica 14 
Distribuição Hipergeométrica 15 
Lista de Exercícios resolvidos em aula 43 
Gabarito 53 
 
 
Você quer mesmo passar em concurso? Não é nada fácil, portanto, força na peruca 
e vamos a mais essa aula. 
 
Assim, iremos abordar, de maneira bem rápida, as principais distribuições de 
probabilidade discretas cobradas em concurso. Então, vamos à nossa aula! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DICAS DE UM CONCURSEIRO 
 
Essa é para o pessoal que está estudando por livros para 
o concurso! Entenda uma coisa, você não está estudando 
para redigir sua tese de doutorado, ok? Foco no edital! 
Muitas pessoas vão te indicar livros mirabolantes de 1500 
páginas para estudo. Esse não é o objetivo! Tentem 
maximizar o tempo de estudo. Utilizem bibliografias que 
abordam o conteúdo de forma completa, mas simples! 
Lembrem-se, há uma dezena de matérias que caem, não 
é só uma! Objetividade galera! 
 
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1. Distribuição de Probabilidade 
 
Nós já discutimos isso, mas vamos tentar formalizar um pouco mais este conceito: 
Distribuição de probabilidade associa uma 
probabilidade a cada valor possível de uma variável. 
 
Nós já estudamos isso, veja o caso do lançamento de um dado, por exemplo: 
 
Face Probabilidade 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 
Viu? O que este gráfico está te mostrando é: qual a probabilidade associada a cada 
resultado possível deste experimento. Essa é a distribuição de probabilidade deste 
experimento. 
 
Nós já estudamos como chegar a tais probabilidades, o que não deve ser um 
problema para você. 
 
-³(�VH�IRU�XPD�YDULiYHO�FRQWtQXD��SURIHVVRU´" 
 
Boa pergunta! Vamos ao exemplo de nossa aula 00, a altura dos indivíduos de uma 
região com uma população muito grande. Nós já sabemos que este é um caso de 
uma variável contínua, pois a mesma deriva de uma mensuração. Assim, eu 
pergunto: qual a probabilidade de que uma pessoa tenha exatamente 1,70m, 
sabendo que a altura dos indivíduos vai de 1,60m a 1,80m? 
 
 
 
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Bom, você pode pensar que isso seria fácil, pois bastaria contar a quantidade de 
pessoas com 1,70m e dividir pelo total da população. Mas aí é que está o problema: 
há infinitas alturas possíveis. Tem uma pessoa que mede 1,701, outra que mede 
1,70001, e por aí vai. Neste caso, a probabilidade de encontrar alguém com, 
exatamente, 1,70 é de: 
 ܲሺ݄ ൌ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ܿܽݏ݋ݏ�݂ܽݒ݋ݎžݒ݁݅ݏݐ݋ݐ݈ܽ�݀݁�ܿܽݏ݋ݏ�݌݋ݏݏÀݒ݁݅ݏ ൌ ܿܽݏ݋ݏ�݂ܽݒ݋ݎžݒ݁݅ݏ൅ ? ൌ ૙ 
 
Pois, se você dividir qualquer número inteiro por infinito (൅ ?), o resultado será zero. 
Para qualquer valor pontual, a probabilidade será igual à zero. 
 
Assim, você teria de calcular uma probabilidade intervalar. Ou seja, qual a 
probabilidade de que algum determinado intervalo ocorra. Por exemplo, você 
poderia calcular qual a probabilidade de que alguém com altura entre 1,70m e 
1,80m seja selecionado. Suponha que a população se divida da seguinte forma: 
 
Altura (m) Nº de pessoas 
1,60-1,70 100 
1,70-1,80 100 
 
Neste caso, a probabilidade de encontrar alguém com altura entre 1,70m e 1,80m é 
de: 
 ܲሺ݄ ൌ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? 
 
Perceberam? No caso de variáveis contínuas, a probabilidade estará associada a 
um intervalo, pois a probabilidade de ocorrência de um determinado ponto é igual à 
zero. Essa probabilidade de ocorrência em variáveis contínuas pode ser 
representada por meio da função densidade de probabilidade (ࢌሺ࢞ሻ). Por meio do 
gráfico definido por esta função, podemos calcular a probabilidade de ocorrência de 
um intervalo�� 1D� YHUGDGH� QyV� Mi� ³PHLR´� TXH� HVWXGDPRV� LVVR� QD� DXOD� ��� TXDQGR�
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falamos em frequência, mas vamos repassar o conceito com base em nosso 
exemplo de alturas: 
 
 
 
Veja, a área do retângulo referente às alturas que ficam entre 1,70m e 1,80m deve 
equivaler à probabilidade de sua ocorrência. No caso, a base do retângulo é de 0,1 
(1,8 ± 1,7) e sua altura é de 5, sendo este o valor de ݂ሺݔሻ, portanto: 
 žݎ݁ܽ ൌ ܾܽݏ݁ ൈ ݈ܽݐݑݎܽ ൌ ?ǡ ? ൈ ? ൌ ૙ǡ ૞ 
 
Que é exatamente a probabilidade que calculamos. Perceba que a 
probabilidade de ocorrência de uma altura entre 1,60m e 1,80m é igual à 1 
(100%)! 
 
No caso, as coleções de pares ordenados formados por ሺݔǡ ݂ሺݔሻሻ nos dá a 
distribuição de probabilidade da variável contínua. 
 
-³3RU�TXH�YRFr�HVWi�IDODQGR�WXGR�LVVR��SURIHVVRU´" 
 
Porque existem distribuições de probabilidades que são bem definidas e já 
estudadas, com tabelas e propriedades que permitem realizar inferências de 
maneira simples, tal como no caso da distribuição normal da aula anterior. Vamos 
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estudar algumas distribuições de probabilidades discretas já definidas. Na próxima 
aula estudaremos o caso de variáveis contínuas de forma mais aprofundada. 
 
2. Distribuição Uniforme 
 
Distribuição uniforme é aquela em que todos os valores 
possíveis para a variável aleatória ocorrem com a mesma probabilidade. 
 
Vocês já viram um exemplo nesta aula: o lançamento de um dado. Vocês viram lá 
em cima que a probabilidade de ocorrência de qualquer face é sempre a mesma. No 
caso: 
 ܲሺݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?Ǣ ݔ ൌ ?ሻ ൌ ? ? 
 
Nós também vimos um caso de distribuição uniforme contínua, com um gráfico 
representativo de que ambos os intervalos têm a mesma chance de ocorrer: o 
exemplo das alturas. 
 
 
Essa distribuição é fácil de entender e tem propriedades muito simples. No caso do 
lançamento do dado, qual a média do processo? 
 
Para isso, lembrem-se da aula anterior: 
 
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1R� OXJDU� GH� IUHTXrQFLD� UHODWLYD�� FRORTXH� ³SUREDELOLGDGH� GH� RFRUUrQFLD´�� /HPEUH-se 
de que ambos os conceitos são estritamente ligados, sendo que a frequência liga-se 
DR�TXH�³Mi�RFRUUHX´��HQTXDQWR�D�SUREDELOLGDGH�QRV�GL]�R�TXH�³SRGH�RFRUUHU´� Daí tire 
a esperança do processo, que não é nada além de sua média: 
 ܧሺݔሻ ൌ ? ൈ ? ?൅ ? ൈ ? ?൅ ? ൈ ? ?൅ ? ൈ ? ?൅ ? ൈ ? ?൅ ? ൈ ? ?ൌ ૛૚૟ 
 
E a variância do processo? 
 
Ora, lembrem-se da propriedade ensinada na aula 01: 
 ܸܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ ൌ ݉±݀݅ܽ�݀݋ݏ�ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋ݏെ ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋�݀ܽ�݉±݀݅ܽ 
 
Mas, nós já temos a média, que é a esperança do processo (ܧሺݔሻ). Agora fica fácil 
ver que: 
 ܸܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ ൌ ܸܽݎሺݔሻ ൌ ࡱሺ࢞૛ሻ െ ሾࡱሺ࢞ሻሿ ? 
ܧሺܺሻ ൌ ܺଵ ڄ ଵ݂ ൅ ܺଶ ڄ ଶ݂ ǥ ܺ௡ ڄ ௡݂ 
Esperança matemática é um conceito intimamente relacionado com a média 
aritmética. No caso, para um dado conjunto de valores (ܺ) que vai de ܺଵ a ܺ௡, 
sua esperança é dada por: 
 
Sendo ௜݂ a frequência relativa de ܺ௜. 
 
3HUFHEHX"� $� DSOLFDomR� GR� RSHUDGRU� ³HVSHUDQoD´� D� XPD� VpULH� GH� GDGRV� QRV�
diz, em termos bem simples, a média do que pode acontecer com esta 
variável. 
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$JRUD�p�Vy�DSOLFDU�D�³IyUPXOD´��Só falta calcular (ܧሺݔଶሻ): 
 ܧሺݔ ?ሻ ൌ ? ? ൈ ? ?൅ ? ? ൈ ? ?൅ ? ? ൈ ? ?൅ ? ? ൈ ? ?൅ ? ? ൈ ? ?൅ ? ? ൈ ? ?ൌ ૢ૚૟ 
 
Portanto: 
 ܸܽݎሺݔሻ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿଶ ൌ ? ? ? െ ൬ ? ? ?൰ଶ ൌ ? ? ? ? ? 
 
Simples, não? Essa é a distribuição mais fácil. Basta ver quando a probabilidade de 
todos os elementos do espaço amostral é igual. 
 
3. Distribuição Binomial e de Bernoulli 
 
A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de dois eventos, 
mutuamente exclusivos: sucesso ou fracasso. 
 
-³&RPR�DVVLP��SURIHVVRU´" 
 
Simples, o nosso experimento pode ter 2 resultados: um resultado que ocorre com 
probabilidade (݌���TXH�SRGH�VHU�GHQRPLQDGR� ³VXFHVVR´��H�RXWUR�FRP�SUREDELOLGDGH�
( ? െ ݌), que pode ser chamado de fracasso. 
 
Um exemplo clássico seria o lançamento de uma moeda. Se apostarmos que este 
ODQoDPHQWR�WHUi�³FDUD´�FRPR�UHVXOWDGR��HQWmR�WHPRV��݌ ൌ ?ǡ ?��FKDQFHV�GH�³VXFHVVR´�
e ( ? െ ݌ ൌ ?ǡ ?��FKDQFHV�GH�³IUDFDVVR´� 
 
2X� VHMD�� D� GLVWULEXLomR� GH� %HUQRXOOL� p� DTXHOD� HP� TXH� ³RX� p� XP� RX� p� RXWUR´�� QR�
sentido que ou acertamos ou erramos, não há meio termo, sendo que nossa chance 
de acerto é dada por (݌) e de erro por ( ? െ ݌). 
 
Neste caso, qual a média do processo? 
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Ora, pode-se provar que: 
 ࡱሺ࢞ሻ ൌ ࢖ 
 
Com efeito, a esperança do processo é igual à probabilidade de ocorrência de 
sucesso. 
 
Não acredita? Vamos provar calculando a média do processo tirando sua 
esperança! No nosso exemplo, se atribuirmos o valor 1 para o caso de sucesso e o 
valor 0 para o fracasso, temos que: 
 ܧሺݔሻ ൌ ܺଵ ڄ ଵ݂ ൅ ܺଶ ڄ ଶ݂ ൌ ? ڄ ?ǡ ? ൅ ? ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? 
 
Outra característica importante de uma distribuição é sua variância! Do resultado 
acima fica fácil ver que: 
 ࢂࢇ࢘ሺ࢞ሻ ൌ ࢖ െ ࢖ ? 
 
Isso porque: 
 ܸܽݎሺݔሻ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿ ? 
 
Se ݔ ൌ ? para sucesso e ݔ ൌ ? para fracasso: 
 ܸܽݎሺݔሻ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿଶ ൌ ܧሺݔሻ െ ሾܧሺݔሻሿଶ ൌ ݌ െ ݌ ? 
 
Beleza? Mas, o caso da distribuição de Bernoulli é um caso particular de outra 
distribuição, chamada distribuição binomial. Pois, se repetíssemos um 
experimento de Bernoulli ݊ vezes, como se dariam as probabilidades de ocorrência? 
 
Quer um exemplo? E se nós jogássemos a moeda duas vezes, qual a 
probabilidade de obtermos duas caras? 
 
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Veja que esse não é mais um experimento de Bernoulli, pois o estamos realizando 
mais de uma vez! Para respondermos esta questão, vamos listar como seria o 
espaço amostral deste experimento (ȳ)? 
 ȳ ൌ ሺܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿܽݎܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽሻǢ ሺܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽሻ 
 
Assim, as probabilidades são: 
 ܲሺ ?�ܿܽݎܽݏሻ ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿ݋ݎ݋ܽݏሻ ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿܽݎܽ�݁� ?�ܿ݋ݎ݋ ሻܽ ൌ ? ? 
 
Neste caso, podemos perceber que: 
 ܲሺ ?�ݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏሻ ൌ ݌ ? ݌ ܲሺ ?�݂ݎܽܿܽݏݏ݋ݏሻ ൌ ሺ ? െ ݌ሻ ? ሺ ? െ ݌ሻ ܲሺ ?�ݏݑܿ݁ݏݏ݋�݁� ?�݂ݎܽܿܽݏݏ݋ሻ ൌ ? ڄ ݌ ? ሺ ? െ ݌ሻ 
 
O número 2 (dois) que multiplica o último membro se refere ao fato de que há duas 
possibilidades de obtermos 1 sucesso e 1 fracasso, ሺܿܽݎܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽሻ ou ሺܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿܽݎܽሻ. 
 
E se você jogar 3 (três) vezes? 
 ȳ ൌ ሺܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽǡ ܿܽݎ݋ܽሻǢ ሺܿܽݎܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿܽݎܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽሻǢ ሺܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿܽݎܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽሻǢ ሺܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽǡ ܿܽݎܽሻǢ ሺܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽሻ 
 
Assim, as probabilidades são: 
 
 
 
 
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 ܲሺ ?�ܿܽݎܽݏሻ ൌ ݌ ڄ ݌ ڄ ݌ ൌ ? ?ڄ ? ?ڄ ? ?ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿ݋ݎ݋ܽݏሻ ൌ ሺ ? െ ݌ሻ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿܽݎܽ�݁� ?�ܿ݋ݎ݋ܽݏሻ ൌ ? ڄ ݌ ڄሺ ? െ ݌ሻ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ ൌ ? ? ܲሺ ?�ܿܽݎܽݏ�݁� ?�ܿ݋ݎ݋ ሻܽ ൌ ? ڄ ݌ ڄ ݌ ڄሺ ? െ ݌ሻ ൌ ? ? 
 
Bom, daí você percebe que a probabilidade de qualquer resultado pode ser 
generalizada da seguinte forma: 
 ܲሺڄሻ ൌ ݌௞ሺ ? െ ݌ሻ௡ି௞ 
 
Sendo ݇ o número de sucessos, ݊ o número de experimentos e ݊ െ ݇ o número de 
fracassos. Isso porque os experimentos são independentes. 
Essa é uma pressuposição da distribuição binomial e de 
Bernoulli: os experimentos devem ser independentes. 
 
O problema é que qualquer sequência com ݇ sucessos e ݊ െ ݇�fracassos terá a 
mesma probabilidade acima descrita, tal como no exemplo de dois lançamentos da 
moeda, no qual há dois eventos em que há 1 sucesso: ሺܿܽݎܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽሻ e ሺܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿܽݎܽሻ! Então, nós precisamos multiplicar esta probabilidade encontrada pela 
quantidade de combinações em que há a quantidade de sucessos desejada 
(lembrar de análise combinatória). No exemplo de 1 sucesso em dois 
lançamentos, podemos fazer: 
 ܲሺ ?�ܿܽݎܽ�݁� ?�ܿ݋ݎ݋ ሻܽ ൌ ܥଶǡଵ ڄ ݌ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ ൌ ? ڄ ? ?ൌ ? ? 
 
 
 
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Ou seja, nós queremos multiplicar a probabilidade de ocorrência de um determinado 
tipo de sucesso pela quantidade de vezes que este ocorre de diferentes formas, no 
exemplo, ሺܿܽݎܽǡ ܿ݋ݎ݋ܽሻ e ሺܿ݋ݎ݋ܽǡ ܿܽݎܽሻ, o que corresponde a 1 sucesso. Assim, para 
este caso, multiplicaríamos a probabilidade de ocorrência pela quantidade de 
combinações possíveis de 1 sucesso em 2 experimentos. 
 
Portanto, podemos generalizar: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥ௡ǡ௞ ڄ ݌௞ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ௡ି௞ 
 
-³%HOH]D�SURIHVVRU��Mi�HQWHQGL�FRPR�FDOFXODU�D�SUREDELOLGDde de ocorrência de ࢑ sucessos em ࢔ H[SHULPHQWRV´� 
 
Ótimo! Mas, ainda falta definir quais são as expressões que definem a média e a 
variância em um processo deste tipo. 
 
Como a distribuição binomial corresponde à ݊ experimentos de Bernoulli, pode-se 
provar que: 
 
 
 
Muito parecido com os resultados para a distribuição de Bernoulli, decore isso. Não 
está acreditando? Vamos calcular a média do processo para o caso de dois 
lançamentos, se atribuirmos o valor 1 para 1 sucesso e 2 para 2 sucessos: 
 ܧሺݔሻ ൌ ? ڄ ? ?൅ ? ڄ ? ?൅ ? ڄ ? ?ൌ ૚ ൌ ࢔ ڄ ࢖ 
 
 
 
ࡱሺ࢞ሻ ൌ ࢔ ڄ ࢖ ࢂࢇ࢘ሺ࢞ሻ ൌ ࢔ ? ሺ࢖ െ ࢖૛ሻ 
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Calculando a esperança dos quadrados: 
 ܧሺݔ ?ሻ ൌ ? ? ڄ ? ?൅ ?ଶ ڄ ? ?൅ ? ڄ ? ?ൌ ૚ǡ ૞ 
 
A partir daí podemos calcular a variância: 
 ܸܽݎሺݔሻ ൌ ܧሺݔଶሻ െ ሾܧሺݔሻሿଶ ൌ ?ǡ ? െ ? ൌ ૙ǡ ૞ ൌ ࢔ ڄ ሺ࢖ െ ࢖૛ሻ 
 
Entendeu? Vamos estudar mais um tipo de distribuição,mas antes dê uma 
paradinha! Lembre-se que sempre é bom dar uma parada após algum tempo de 
estudo seguido, caso contrário, você perderá muita concentração. 
 
4. Distribuição de Poisson 
 
A distribuição de Poisson é uma generalização da distribuição binomial quando ݊ é 
muito grande e ݌ é pequeno. 
 
Não entendeu? Veja, qual a probabilidade de o telefone da sua casa tocar nos 
próximos 300 segundos? Esse é um exemplo em que podemos utilizar a distribuição 
de Poisson! Trata-se da análise de um evento em que podemos ter sucesso (tocar o 
telefone) ou não, porém, devido ao fato de a probabilidade ser muito baixa e o 
número de experimentos ser grande, pode-se aproximar a distribuição binomial pela 
seguinte forma: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ݇ሻ ൌ ݁ି௡௣ ڄ ሺ݊ ? ݌ሻ௞݇Ǩ 
 
Sendo ݁ um número real que vale aproximadamente 2,7. 
 
 
 
 
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 Muitas vezes, os livros textos substituem o operador ݊ ڄ ݌ pela letra grega ³ODPEGD´�
(ߣ). Assim: ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ݇ሻ ൌ ݁ିఒ ڄ ሺߣሻ௞݇Ǩ 
 
-³0DV��TXDQGR�HX�GHFLGR�VH�XVR�GLVWULEXLomR�ELQRPLDO�RX�GH�3RLVVRQ�em uma 
SURYD´" 
 
Normalmente, a banca vai te falar. Nós iremos realizar alguns exercícios que vão 
facilitar sua vida e você vai pegar o jeito, mas a minha dica é a seguinte: 
 
 
 
 
Porque isso? O negócio é o seguinte, quando você avalia a probabilidade de 
ocorrência de um evento em um intervalo de tempo, por exemplo, é como se você 
dividisse o tempo em intervalos bem pequenos, o que tornaria a probabilidade de 
ocorrência muito pequena. No exemplo do telefone tocar, a probabilidade de que o 
telefone toque em um determinado segundo é muito pequena mesma, apesar de 
estarmos avaliando 300 segundos! 
 
Assim, como o nosso ݌ é muito pequeno, ( ? െ ݌) se aproxima de 1. Portanto, 
sabendo que (݊ ڄ ݌ ൌ ߣ) e que a distribuição de Poisson é uma generalização da 
binomial: 
 ࡱሺ࢞ሻ ൌ ࣅ ࢂࢇ࢘ሺ࢞ሻ ൌ ࢔ ڄ ሺ࢖ െ ࢖૛ሻ ൌ ࢔ ڄ ࢖ ڄ ሺ૚ െ ࢖ሻ ൌ ࢔ ڄ ࢖ ൌ ࣅ 
 
Portanto, a distribuição de Poisson tem a característica de que sua média e 
sua variância são iguais! 
Em geral, utilize a distribuição binomial. 
Mas, quando o exercício quiser saber a 
probabilidade de ocorrência ou de encontrar 
algo em uma área ou espaço de tempo, use 
distribuição de Poisson. 
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5. Distribuição Geométrica 
 
A distribuição geométrica é facilmente entendida com base em nossos 
conhecimentos prévios da distribuição binomial. 
 
Suponha TXH� UHDOL]HPRV� XP� H[SHULPHQWR� GH� %HUQRXOOL� ³;´� YH]HV� DWp� REWHUPRV�
³VXFHVVR´�� 1HVWH� FDVR�� ³;´� p� XPD� YDULiYHO� FRP� GLVWULEXLomR� JHRPpWULFD�� 3RU�
H[HPSOR��³;´�SRGH�LQGLFDU�R�Q~PHUR�GH�YH]HV�HP�TXH�WHPRV�GH�ODQoDU�XPD�PRHGD�
até obtermos a primeira cara. 
 
Neste exemplo, a chance de obtermos a primeira cara na k-ésima jogada é de: 
 ࡼሺ࢙࢛ࢉࢋ࢙࢙࢕�࢔ࢇ�࢑ െ ±࢙࢏࢓ࢇ�࢐࢕ࢍࢇࢊࢇሻ ൌ ሺ૚ െ ࢖ሻ࢑ି૚ ൈ ࢖ 
 
Ora, isso é fácil de deduzir. Imagine que queiramos saber a probabilidade de que a 
primeira cara ocorra na 3ª jogada. Sem olhar a fórmula, como você faria? 
 
Bom, você calcularia a probabilidade de que ocorressem 2 coroas seguidas, que é 
de: 
 ൬ ? ?൰ ൈ ൬ ? ?൰ ൌ ? ? 
 
Daí você multiplicaria tal resultado pela probabilidade de uma cara, que é de: 
 ? ? 
 
Assim: 
 ? ?ൈ ? ?ൌ ૚ૡ 
 
Mas, isso é a própria fórmula: 
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 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋�݊ܽ�݇ െ ±ݏ݅݉ܽ�݆݋݃ܽ݀ܽሻ ൌ ሺ ? െ ݌ሻ௞ିଵ ൈ ݌ ൌ ൬ ? ?൰ଷିଵ ൈ ? ?ൌ ? ? 
 
Simples, não? Essa distribuição não costuma se muito cobrada em prova, mas 
vamos prevenir. 
Assim, pode-se provar que, para uma variável (ࢄ) com 
distribuição geométrica: 
 
 ࡱሺࢄሻ ൌ ૚࢖ ࢂࢇ࢘ሺࢄሻ ൌ ૚ െ ࢖࢖૛ 
 
 
6. Distribuição Hipergeométrica 
 
A distribuição hipergeométrica refere-se à probabilidade de que, ao retirarmos, sem 
reposição�� ³Q´� HOHPHQWRV� GH� XP� FRQMXQWR� GH� ³1´�� VDLDP� ³N´� elementos com o 
atributo sucesso. Sabendo-VH�³V´�HOHPHQWRV�SRVVXHP�R�DWULEXWR�VXFHVVR�H�TXH�³N ± 
V´ não o possuem, fica claro que a probabilidade de sucesso (݌) é: 
 ݌ ൌ ܰݏ 
 
Assim, ao retirarmos uma amostra de n elementos, qual a probabilidade de que ³k´ 
VHMDP�³VXFHVVR´�H�³n ± k´ VHMDP�³IUDFDVVR´" 
 
%RP��R�WRWDO�GH�SRVVLELOLGDGHV�p�XPD�FRPELQDomR�GH�³1´�elementos em grupos de 
³Q´. Assim: 
 ܥேǡ௡ 
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2�WRWDO�GH�SRVVLELOLGDGHV�GH�REWHUPRV�³N´�VXFHVVRV�GR�WRWDO�GH�³V´�elementos é: 
 ܥ௦ǡ௞ 
 
Por outro lado, o total de possibilidades de REWHUPRV�³n-k´�VXFHVVRV�GH�XP�WRWDO�GH�
³N-s´�HOHPHQWRV�FRP�FDUDFWHUtVWLFD�GH�IUDFDVVR�p�GH� 
 ܥேି௦ǡ௡ି௞ 
 
Portanto, a probabilidade (݌ሺ݇�ݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ�݁�݊ െ ݇�݂ݎܽܿܽݏݏ݋ݏሻ) de, ao retirarmos uma 
amostra de n elementos, sem reposição�� ³k´� VHUHP�GH�VXFHVVR�H� ³n-k´�VHUHP�GH�
fracasso é de: 
 ࢖ሺ࢑�࢙࢛ࢉࢋ࢙࢙࢕࢙�ࢋ�࢔ െ ࢑�ࢌ࢘ࢇࢉࢇ࢙࢙࢕࢙ሻ ൌ ࡯࢙ǡ࢑ ൈ ࡯ࡺି࢙ǡ࢔ି࢑࡯ࡺǡ࢔ 
 
Esse é outro tópico que não é muito cobrado em concurso, mas que é importante 
conhecer. Na seção de exercícios, vamos fazer um exercício que vai fazer com que 
vocês entendam direitinho. 
 
Veja que essa distribuição é muito semelhante à binomial, mas 
acontece que ela não tem reposição. Assim, pode-se provar que, para uma 
variável (ࢄ) com distribuição hipergeométrica: 
 ࡱሺࢄሻ ൌ ࢔ ? ࢖ ࢂࢇ࢘ሺࢄሻ ൌ ࢔ ڄ ࢖ ڄ ሺ૚ െ ࢖ሻ ڄ ൬ࡺ െ ࢔ࡺ െ ૚൰ 
 
9LUDP� TXH� DV� H[SUHVV}HV� VmR� EHP� SDUHFLGDV"� $� ~QLFD� GLIHUHQoD� p� R� µ´IDWRU� GH�
DMXVWH´�GD�YDULkQFLD�ቀேି௡ேିଵቁ. 
 
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Exercício 1 
 
(FINEP ± CESGRANRIO/2011) 
 
 
 
Considere a distribuição de probabilidade sobre os números 1, 2, 3 e 4 acima. 
Essa distribuição é: 
 
a) Continua 
b) Assimétrica 
c) Normal 
d) Uniforme 
e) Multivariada 
 
Resolução 
 
Pessoal, o que vocês estão vendo é a função distribuição de probabilidade de uma 
variável discreta, pois os pontos não estão ligados por uma linha reta. 
 
Mas, que distribuição é essa? Uma distribuição uniforme, pois todos os pontos têm 
a mesma probabilidade de ocorrência. Alternativa (d). 
 
 
 
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Exercício 2 
 
(TJ\RO ± CESGRANRIO/2008) Uma urna contem 10 bolas, cada uma gravada 
com um número diferente de 1 a 10. Uma bola é retirada aleatoriamente e um 
³;´�p�PDUFDGR�QD�PHVPD��;�p�XPD�YDULiYHO�DOHDWyULD� 
a) Com desvio padrão de 10 
b) Com 1º quartil de 0,25 
c) Com média de 5 
d) Com distribuição de probabilidade uniforme 
e) Com distribuição de probabilidade assimétrica 
 
Resolução 
 
Veja, todas as possíveis realizações decorrentes da extração de uma bola têm a 
mesma probabilidade. O que é isso? Distribuição uniforme. Viu como a 
CESGRANRIO gosta disso? 
 
Alternativa (d).(FINEP ± CESPE/2009) Uma empresa produz determinado tipo de peça. A 
probabilidade de cada peça ser perfeita é de 0,7, e a probabilidade de cada 
peça ser defeituosa é de 0,3. Tomando 0,06, 0,17 e 0,24 como valores 
aproximados de ૙ǡ ૠૡ, ૙ǡ ૠ૞ e ૙ǡ ૠ૝, respectivamente, julgue as afirmativas. 
 
Exercício 3 
 
Na produção de 400 itens o número esperado de peças defeituosas é de 150. 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Pessoal, nós estamos tratando de uma distribuição binomial, com o evento 
³HQFRQWUDU�SHoD�GHIHLWXRVD´�FRPR�VXFHVVR��portanto: 
 ܧሺݔሻ ൌ ݊ ? ݌ 
 
Assim: 
 ܧሺݔሻ ൌ ݊ ? ݌ ൌ ? ? ? ? ?ǡ ? ൌ૚૛૙ 
 
Alternativa falsa. 
 
Exercício 4 
 
A probabilidade de que uma amostra aleatória de 10 peças contenha 
exatamente 8 peças perfeitas é menor que 10%. 
 
Resolução 
 
9HMD�TXH�DJRUD��QRVVR� ³VXFHVVR´�p�encontrar uma peça sem defeito (perceba que 
tanto faz definir quem é sucesso ou fracasso, teste para ver). Assim, vamos utilizar 
nossa fórmula para distribuição binomial: 
 
 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥ௡ǡ௞ ڄ ݌௞ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ௡ି௞ 
 
Substituindo os valores: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥଵ଴ǡ଼ ڄ ?ǡ ?଼ ڄ ሺ ?ǡ ?ሻଶ ൌ ? ?Ǩሺ ?ሻǨ ?Ǩ ? ?ǡ ? ? ? ?ǡ ? ?ൌ ૙ǡ ૛૝૜ 
 
 
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Portanto, alternativa falsa. 
 
Exercício 5 
 
A probabilidade de que uma amostra aleatória de 5 peças contenha, (no 
máximo), 2 peças defeituosas é maior que 70%. 
 
Resolução 
 
Vamos refazer o cálculo anterior com as mudanças requisitadas, só que agora 
HVWDPRV�SURFXUDQGR���³VXFHVVRV´�HP�XPD�DPRVWUD�GH���SHoDV� 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥ௡ǡ௞ ڄ ݌௞ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ௡ି௞ 
 
Substituindo os valores: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡଷ ڄ ?ǡ ?ଷ ڄ ?ǡ ?ଶ ൌ ?Ǩሺ ?ሻǨ ?Ǩڄ ?ǡ ? ? ?ڄ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ? ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡସ ڄ ?ǡ ?ସ ڄ ?ǡ ?ଵ ൌ ?Ǩሺ ?ሻǨ ?Ǩڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡହ ڄ ?ǡ ?ହ ڄ ?ǡ ?଴ ൌ ?ǡ ? ? 
 
A probabilidade de existirem, no máximo, duas peças defeituosas é de: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ? ׫ ݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ? ׫ ݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ 
 
Como os eventos são independentes, basta somar: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ? ׫ ݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ? ׫ ݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ?ǡ ? ?൅ ?ǡ ? ?൅ ?ǡ ? ? ? ?ൌ ૙ǡ ૡ૜ૡૠ 
 
Alternativa verdadeira. 
 
 
 
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Exercício 6 
 
(CGU ± ESAF/2008) Seja X a soma de n variáveis aleatórias independentes de 
Bernoulli, isto é, que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p 
e 1-p, respectivamente. Assim, a distribuição de X é: 
a) Binomial com parâmetros n e p. 
b) Gama com parâmetros n e p. 
c) Qui quadrado com n graus de liberdade. 
d) Laplace. 
H��³W´�GH�6WXGHQW�FRP�Q-1 graus de liberdade. 
 
Resolução 
 
Essa é bem fácil! Por definição, letra (a). 
 
Exercício 7 
 
(AFRFB ± ESAF/2009) Em um experimento binomial com três provas, a 
probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de 
ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e 
fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a: 
a) 20 % e 80 % 
b) 80 % e 20 % 
c) 60 % e 40 % 
d) 30 % e 70 % 
e) 25 % e 75 % 
 
Resolução 
 
No caso de 3 experimentos a probabilidade de 2 sucessos é de: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ?ሻ ൌ ܥଷǡଶ ڄ ݌ଶ ڄ ሺ ? െ ݌ሻଵ ൌ ? ڄ ݌ ? ڄ ሺ ? െ ݌ሻ 
 
Já a probabilidade de 3 sucessos é de: 
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 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ?ሻ ൌ ܥଷǡଷ ڄ ݌ଷ ൌ ݌ ? 
 
Do enunciado sabemos que: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ?ሻ ൌ ? ? ? ሺܲݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ?ሻ 
 
Agora é só substituir e resolver a equação: 
 ? ڄ ݌ଶ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ ൌ ? ?ڄ ݌ ? ?݌ ? െ ?݌ଷ ൌ ? ? ? ݌ ? ?݌ ? െ ? ?݌ଷ ൌ ? 
 
 
Se isolarmos p², tem-se que: 
 ݌ଶሺ ? െ ? ?݌ሻ ൌ ? 
 
Para que essa expressão seja verdade, ou ሺ݌ ൌ ?ሻ, o que não corresponde à 
solução que buscamos, ou ሺ ? െ ? ?݌ ൌ ?ሻ. Assim, resolvendo a expressão: 
 ? െ ? ?݌ ൌ ? ՜ ݌ ൌ ? ?ൌ ૙ǡ ૛ 
 
Assim, a chance de fracasso é de: 
 ܲሺ݂ݎܽܿܽݏݏ݋ሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ૙ǡ ૡ 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
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Exercício 8 
(SEJUS ± UNIVERSA/2010) Em certo plano amostral, em uma população de 
100 elementos, optou-se pelo seguinte critério: joga-se uma moeda (honesta) 
e, se der cara, o elemento entra na amostra; se der coroa, ele não entra na 
amostra. Qual o tamanho esperado dessa amostra? 
a)10 
b)20 
c)30 
d)40 
e)50 
 
Resolução 
 
Outra questão mais tranquila para relaxar. O que o exercício está te pedindo é a 
esperança da quantidade de caras! Isso é fácil, basta: 
 ܧሺݔሻ ൌ ݊ ڄ ݌ ൌ ? ? ?ڄ ?ǡ ? ൌ૞૙ 
 
Alternativa (e). 
 
Pessoal, o próximo exercício também entra no caso que vocês devem 
acompanhar e depois tentar responder sozinhos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 9 
 
(TRF ± FCC/2001) A probabilidade de que um item produzido por uma máquina 
seja defeituoso é 10%. Uma amostra de 30 itens produzidos por esta máquina 
é selecionada ao acaso. Usando-se a aproximação pela distribuição de 
Poisson para determinar a probabilidade de que não mais que um item 
defeituoso seja encontrado na amostra, obtemos 
a) ૝ࢋି૜ 
b) ૝ࢋି૛ 
c)�૜ࢋି૜ 
d) ૚ െ ૝ࢋି૜ 
e)�૚ െ ૜ࢋି૜ 
 
Resolução 
 
Veja que nós podemos resolver o problema com a distribuição binomial (precisaria 
de calculadora), mas como nós já fizemos exercício deste conteúdo, vamos treinar a 
aplicação da fórmula da distribuição de Poisson. 
 
O que é pedida é a probabilidade de que não haja mais do que uma peça 
GHIHLWXRVD��RX�VHMD��QR�Pi[LPR�XPD��$VVLP��QRVVR�³VXFHVVR´�p�HQFRQWUDU�XPD�SHoD�
GHIHLWXRVD�� 9DPRV� HQFRQWUDU� DV� SUREDELOLGDGHV� UHIHUHQWHV� D� ³�´� H� ³�´� SHoDV�
defeituosas. 
 
Então, em uma amostra de 30 elementos, espera-se que 3 (10%) sejam 
defeituosos, portanto: 
 ߣ ൌ ݊ ڄ ݌ ൌ ? ?ڄ ?ǡ ? ൌ ૜ 
 
Agora basta substituirmos: 
 
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ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ݇ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିఒ ? ߣ௞݇Ǩ ൌ ݁ିଷ ? ?଴ ?Ǩ ൌ ࢋି૜ ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ݇ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିఒ ? ߣ௞݇Ǩ ൌ ݁ିଷ ? ?ଵ ?Ǩ ൌ ૜ ? ࢋି૜ 
 
Como os eventos são independentes, a probabilidade conjunta se dará pela 
soma de ambos: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ?�݋ݑ� ?ሻ ൌ ? ? ݁ିଷ ൅ ݁ିଷ ൌ ૝ ? ࢋି૜ 
 
Alternativa (a). 
 
Exercício 10 
 
(BACEN ± FCC/2005) A probabilidade de um associado de um clube de pagar 
sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade 
sem atraso é: 
 
a)�૞ ? ሺ૙ǡૢ ૞ሻ૞b) ૚ െ ሺ૙ǡ ૙૞ሻ૞ 
c)�૚ െ ሺ૙ǡ ૢ૞ሻ૞ 
d)�ሺ૙ǡ ૢ૞ሻ૞ 
e)�૝ǡ ૠ૞ ڄ ሺ૙ǡ ૢ૞ሻ૞ 
 
Resolução 
 
Para facilitar a resolução deste exercício, fica mais fácil avaliar a probabilidade de 
ninguém pagar a mensalidade com atraso (ܲሺݔ ൌ ?ሻ) e fazer: 
 ? െ ሺܲݔ ൌ ?ሻ ൌ ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൅ ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൅ ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൅ ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൅ ܲሺݔ ൌ ?ሻ 
 
Ou seja, o cálculo fica bem mais fácil, pois só calculamos a probabilidade de que 
ninguém pague com atraso. 
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Assim, sabendo que a chance de sucesso é de 95% (100% ± 5%) e a de fracasso é 
de 5%: 
 ܲሺݔ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡ଴ ڄ ?ǡ ? ?଴ ? ?ǡ ? ?ହ ൌ ૙ǡ ૙૞૞ 
 
Assim, a probabilidade pedida é de: 
 ૚ െ ૙ǡ ૙૞૞ 
 
Alternativa (b). 
 
 
Exercício 11 
 
(SEFAZ-ES ± CESPE/2013) O número de reclamações diárias registradas por 
uma central de atendimento ao cidadão for uma variável aleatória que segue a 
distribuição de Poisson com média igual a ln10, então a probabilidade P(N= 0) 
será igual a 
 
a) 0,09 
b) 0,14 
c) 0,18 
d) 0,1 
e) 0,05 
 
Resolução 
 
Em primeiro lugar, nós sabemos que se trata de uma distribuição de Poisson, 
portanto, a média do processo é equivalente à variável (ߣ). No caso, o exercício 
quer saber a probabilidade de 0 (zero) sucessos. 
 
Vamos usar a fórmula: 
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 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ݇ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିఒ ? ߣ௞݇Ǩ 
 
No caso, substituindo os valores: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ݇ ൌ ?ሻ ൌ ݁ି௟௡ଵ଴ ?ሺ݈݊ ? ?ሻ଴ ?Ǩ ൌ ݁ି௟௡ଵ଴ 
 
Veja, este ݈݊ trata-se do logaritmo neperiano! Ou seja, ݈݊ de um número qualquer é: 
R�YDORU�D�TXH�YRFr�GHYH�HOHYDU�³݁´��FKDPDGR�GH�QHSHU�H�TXH��FRPR�YLPRV��WHP�YDORU�
próximo a 2,7) a fim de resultar neste número. Por exemplo: 
 ݔ ൌ ݈݊�ሺ ?ሻ 
Isso significa que: 
 ࢋ࢞ ൌ ૛ 
 
Assim, sempre que você vir ݁ elevado a ݈݊, o resultado é o número na frente do ݈݊. 
Por exemplo: 
 ݁௟௡ଶ ൌ ? 
 
Entendeu? Agora vamos voltar ao exercício. 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ݇ ൌ ?ሻ ൌ ݁ି௟௡ଵ଴ ൌ ?݁௟௡ଵ଴ ൌ ? ? ?ൌ ૙ǡ ૚ 
 
O gabarito original não tinha a resposta correta, mas neste nosso exemplo 
modificado, alternativa (d). 
 
 
 
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Pessoal, o próximo exercício é sobre distribuição hipergeométrica. 
Acompanhem comigo! 
 
Exercício 12 
 
(MDIC ± ESAF\2013) Em uma população de 50 empresas de uma região, 20 são 
empresas exportadoras. Qual o valor mais próximo do número esperado de 
empresas exportadoras em uma amostra aleatória de tamanho 20 retirada sem 
reposição da amostra. 
 
a) 10 
b) 8 
c) 7,5 
d) 6 
e) 4 
 
Resolução 
 
9HMD�D�SDODYULQKD�FKDYH��³VHP�UHSRVLomR´��7UDWD-se de uma variável com distribuição 
hipergeométrica. 
 
Qual a esperança de uma variável com distribuição hipergeométrica? 
 ܧሺܺሻ ൌ ݊ ? ݌ ൌ ? ?ڄ ? ? ? ?ൌ ૡ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 13 
 
(SUSEP ± ESAF/2010) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em 
clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, a 
probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. Desse 
modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: 
a) 37/64 
b) 45/216 
c) 1/64 
d) 45/512 
e) 9/16 
 
Resolução 
 
Queremos saber a probabilidade de 2 sucessos (filhos homens) em 5 experimentos 
(5 filhos). Assim: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ?ሻ ൌ ܥହǡଶ ? ൬ ? ?൰ଶ ? ൬ ? ?൰ଷ ൌ ? ? ? ? ? ?ڄ ? ? ? ?ൌ ૚૜૞૞૚૛ 
 
A questão foi anulada, pois não há alternativa certa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 14 
 
(ISS-SP ± FCC\2012) Suponha que ao realizar um experimento ocorra o evento 
A com probabilidade p e não ocorra com probabilidade (1-p). Repetimos o 
experimento de forma independente até que A ocorra pela primeira vez. Seja: 
X = número de repetições do experimento até que A ocorra pela primeira vez. 
Sabendo que a média de X é 3, a probabilidade condicional expressa por P (X 
 ���_�;�”����p�LJXDO�D 
a) 5/27 
b) 4/27 
c) 2/9 
d) 1/3 
e) 6/19 
 
Resolução 
 
Bom, em primeiro lugar temos de encontrar a probabilidade de sucesso. O exercício 
nos deu o valor da média do processo, assim: 
 ܧሺܺሻ ൌ ? 
 
Como esta é uma variável com distribuição geométrica (leia o enunciado e veja se 
entendeu): 
 ܧሺܺሻ ൌ ?݌ ൌ ? ՜ ࢖ ൌ૚૜ 
 
 
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Agora, atenção! O exercício está te pedindo uma probabilidade condicional: 
 
3��;� ���_�;�”��� 
 
Como se encontra isso? 
 ܲሺܺ ൌ ?ȁܺ ൑ ?ሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܺ ൑ ?ሻ�ܲሺܺ ൑ ?ሻ 
 
Bom, o numerador é a própria probabilidade de que X seja igual à 2. O denominador 
será o somatório da probabilidade de que X VHMD�LJXDO�j�³�´��³�´�H�³�´� 
 
Assim: 
 ܲሺܺ ൌ ?ሻ ൌ ݌ ൌ ? ? ܲሺܺ ൌ ?ሻ ൌ ݌ ൈ ሺ ? െ ݌ሻ ൌ ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ܲሺܺ ൌ ?ሻ ൌ ݌ ൈ ሺ ? െ ݌ሻଶ ൌ ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ? 
 
Agora, substitua na fórmula da probabilidade condicional: 
 
ܲሺܺ ൌ ?ȁܺ ൑ ?ሻ ൌ ܲሺܺ ൌ ?�݁�ܺ ൑ ?ሻ�ܲሺܺ ൑ ?ሻ ൌ ቀ ? ?ቁቀ ? ?൅ ? ?൅ ? ? ?ቁ ൌ ቀ
 ? ?ቁቀ ? ? ? ?ቁ ൌ ૟૚ૢ 
 
Letra (e). 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 15 
 
(TER-ES ± FCC/2011) O custo para a realização de um experimento é de 500 
reais. Se o experimento falhar haverá um custo adicional de 100 reais para a 
realização de uma nova tentativa. Sabendo-se que a probabilidade de sucesso 
em qualquer tentativa é 0,4 e que todas são independentes, o custo esperado 
de todo o procedimento até que o primeiro sucesso seja alcançado é 
a)1.500. 
b)1.400. 
c)1.300. 
d)1.200. 
e) 1.000. 
 
Resolução 
 
Em primeiro lugar, precisamos encontrar quantas vezes o experimento terá de ser 
realizado, na média, até termos sucesso. Perceba que trata-se de um caso de 
distribuição geométrica, assim: 
 ܧሺܺሻ ൌ ?݌ ൌ ? ?ǡ ?ൌ ૛ǡ ૞ 
 
Isso quer dizer que o experimento será realizado, na média, duas vezes e meia taé 
³DFHUWDUPRV´� 
 
Bom, agora pense! Na primeira vez, você terá que desembolsar 500 reais para 
realizar o experimento, mas você vai errar. Assim, você terá que desembolsar mais 
600 reais (100 reais adicionais mais os 500 necessários para realizar o experimento 
de novo) para tentar uma segunda vez. Até aí você já gastou 1100 reais para jogar 
duas vezes. 
 
Mas, ainda falta 0,5 vezes para você acertar. Assim, na média, você irá gastar mais: 
 
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 ?ǡ ? ൈ ? ? ?ൌ ૜૙૙ 
 
Portanto, até acertar, você gastará, na média: 
 ? ? ? ? ൅ ? ? ?ൌ ૚૝૙૙ 
 
Alternativa (b). 
 
 
Exercício 16 
 
(AFRFB ± ESAF/2013\modificada) Em uma cidade de colonização alemã, a 
probabilidade de uma pessoa falar alemão é de 60%. Selecionando-se ao 
acaso 4 pessoas desta cidade, a probabilidade de, exatamente, 3 delas não 
falarem alemão é, em valores percentuais, igual a 
a) 6,4. 
b) 12,26. 
c) 15,36. 
d) 3,84. 
e) 24,5. 
 
Resolução 
 
Tranquilo, não? Basta lembrar-se da nossa distribuição binomial. 
 
9HMD�� YDPRV� VXSRU� TXH� QRVVR� ³VXFHVVR´� VHMD� HQFRQWUDU� DOJXpP� TXH� IDOD� DOHPmR��
Assim: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡଵ ? ?ǡ ?ଵ ? ?ǡ ?ଷ ൌ ?Ǩሺ ?ሻǨ ? ?Ǩ ? ?ǡ ? ? ?ǡ ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ?ൌ ? ?ǡ ? ? ? 
 
Alternativa (c). 
 
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A questão original foi anulada por não possuir a palavra ³exatamente´, tal como 
coloquei no enunciado. Se essa palavra não constasse, o sucesso seria obtido se 3 
ou 4 pessoas falassem alemão, pois, neste caso, pelo menos, três pessoas 
estariam falando alemão! 
 
 
Exercício 17 
 
(DNIT ± ESAF/2013) Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, 
e os números das faces voltadas para cima são somados. A probabilidade da 
soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a: 
a) 35% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 15% 
e) 25% 
 
 
Resolução 
 
Vamos pensar no nosso espaço amostral. 
 ȳ ൌ ሼሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻሽ 
 
Ou seja, há trinta e seis combinações possíveis. 
 
Quantas combinações têm soma menor do que 5? 
 ሺܵ݋݉ܽ ൏ ?ሻ ൌ ሼሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻሽ 
 
Quantas somam dez? 
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 ሺܵ݋݉ܽ ൌ ? ?ሻ ൌ ሼሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻሽ 
 
Portanto: 
 ܲሺݏ݋݉ܽ ൏ ?�݋ݑ�ݏ݋݉ܽ ൌ ? ?ሻ ൌ ? ? ?ൌ ? ?ൌ ? ? ? 
 
Alternativa (e). 
 
 
Exercício 18 
 
(MTUR ± ESAF/2013) Com os dígitos 3, 4, 5, 7, 8 e 9 serão formadas centenas 
com dígitos distintos. Se uma centena for selecionada ao acaso, a 
probabilidade de ser menor do que 500 e par é 
a) 15% 
b) 10% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 20% 
 
 
Resolução 
 
Vamos pensar quantos números pares e menores do que 500 podem ser formados. 
 
Bom, o primeiro digito deve ser 3 ou 4, pois o número deverá ser menor do que 500. 
 
Vamos começar com 3, neste caso temos 5 possibilidades para o algarismo da 
dezena. Entretanto, como é exigido que o número seja par, só temos 2 opções para 
o algarismo da unidade: 4 e 8. 
 
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Neste caso, se a dezena não for composta nem por 4 ou 8, temos 3 possibilidades 
para a mesma e 2 para a unidade, o que nos leva à: 
 ? ? ? ? ? ൌ ?�݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ 
 
Mas, caso a dezena seja composta por um destes números: 
 ? ? ? ? ? ൌ ?�݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ 
 
E no caso de 4? Bom, o número 8 não pode estar na dezena, pois, caso contrário, 
não sobraria um número par para a unidade. 
 ? ? ? ? ? ൌ ?�݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ 
 
Portanto, temos um total de 12 possibilidades com a nossa característica desejada. 
O total de possibilidades será dada pela permutação dos 6 elementos, de forma 
que: 
 ? ? ? ? ? ൌ ? ? ?�݌݋ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ 
 
Portanto, a probabilidade desejada é de: 
 ܲሺ൏ ? ? ?�݁�݌ܽݎሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 19 
 
(AFRFB ± ESAF/2009) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria 
ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros 
por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três 
petroleiros em dois dias é igual a: 
 
a) 
૜૛ૠ૜ ࢋି૝ 
b) 
૜ૠ૚ ࢋ૝ 
c) 
ૠ૚૜ ࢋି૝ 
d) 
ૠ૚૜ ࢋି૛ 
e) 
૜૛૜ ࢋି૛ 
 
Resolução 
 
Olha a distribuição de Poisson aí gente! 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ݇ሻ ൌ ݁ି௡௣ ڄ ሺ݊ ? ݌ሻ௞݇Ǩ 
 
O que nós queremos saber é qual a probabilidade de que a refinaria receba zero, 
um, dois ou três petroleiros em dois dias. Portanto, sabemos que nossa média é de 
2 petroleiros por dia e a quantidade de vezes que o experimento é realizado é igual 
à 2, pois são dois dias. Qual a chance de ݇ ൌ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?? 
 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻ଴ ?Ǩ ൌ ݁ିସ 
 
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 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଵ ?Ǩ ൌ ? ? ݁ିସ 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଶ ?Ǩ ൌ ? ڄ ݁ି ସ 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଷ ?Ǩ ൌ ? ? ? ? ݁ିସ ൌ ? ? ? ? ݁ିସ 
 
Agora some! 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ ൑ ?ሻ ൌ ݁ିସ ൅ ?݁ି ସ ൅ ?݁ି ସ ൅ ? ? ? ݁ିସ ൌ ?݁ି ସ ൅ ? ?݁ିସ ൅ ? ?݁ିସ ൅ ? ?݁ିସ ? ൌ ? ? ? ݁ିସ 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 20 
 
(ICMS-RJ ± 2014/FCC) O número de atendimentos, via internet, realizados pela 
Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson 
com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar 
pelo menos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é 
a) 0,594 
b) 0,910 
c) 0,766 
d) 0,628 
e) 0,750 
 
Dados: ࢋି૛ ൌ ૙ǡ ૚૝Ǣ ࢋି૝ ൌ ૙ǡ ૙૚ૡ 
 
Resolução 
 
Vamos lembrar da fórmula de novo: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ݇ሻ ൌ ݁ିఒ ڄ ሺߣሻ௞݇Ǩ 
 
A média (݊ ? ݌) é igual à 12 atendimentos por hora, a quantidade de sucesso que 
queremos é igual à 3 e o tempo desejado é 1/3 de hora. 
 
-³����GH�KRUD��SURIHVVRU´" 
 
Exatamente! Você tem que usar a mesma unidade de medida para todas as 
informações. 
 
Assim, se em uma hora são realizados 12 atendimentos, em 1/3 de hora: 
 ߣ ൌ ? ? ? ൌ ? 
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A probabilidade de realizar, pelo menos, 3 atendimentos em uma hora é igual à: 
 ܲሺ݌݈݁݋�݉݁݊݋ݏ� ?ሻ ൌ ? െ ሺܲ ?ሻ െ ܲሺ ?ሻ െ ܲሺ ?ሻ 
 
Agora basta encontrar estes valores: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻ଴ ?Ǩ ൌ ݁ିସ ? ? ? ൌ ݁ିସ ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଵ ?Ǩ ൌ ݁ିସ ? ? ? ൌ ?݁ି ସ ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ݁ିସ ڄ ሺ ?ሻଶ ?Ǩ ൌ ݁ିସ ? ? ? ? ൌ ?݁ି ସ 
 
Portanto: 
 ܲሺ݌݈݁݋�݉݁݊݋ݏ� ?ሻ ൌ ? െ ሺܲ ?ሻ െ ܲሺ ?ሻ െ ܲሺ ?ሻ ൌ ? െሺ݁ିସ ൅ ?݁ି ସ ൅ ?݁ି ସሻ ? െ ? ?݁ ିସ ൌ ? െ ? ?ሺ ?ǡ ? ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? ? 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
(ICMS-SP ± FCC/2013) Sabe-se que em determinado município, no ano de 
2012, 20% dos domicílios tiveram isenção de determinado imposto. 
Escolhidos, ao acaso e com reposição, quatro domicílios deste município a 
probabilidade de que pelo menos dois tenham tido a referida isenção é igual a 
a) 0,4096 
b) 0,4368 
c) 0,1808 
d) 0,3632 
e) 0,2120 
 
Resolução 
 
Vamos nos utilizar da velha e boa fórmula: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ݇ሻ ൌ ܥ௡ǡ௞ ڄ ݌௞ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ௡ି௞ 
 
%RP�� QyV� VDEHPRV� TXH� D� SUREDELOLGDGH� GH� ³VXFHVVR´� p� GH� ���� ������� $VVLP�� D�
SUREDELOLGDGH�GH���VXFHVVRV�HP����³MRJDGDV´�p�GH� 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡଶ ڄ ?ǡ ?ଶ ڄ ሺ ?ǡ ?ሻଶ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൈ ?ǡ ? ?ൈ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ? 
 
Porém, como sempre, o exercício pede a probabilidade de que ao menos 2 jogadas 
tenham sucesso. Assim, precisamos das probabilidades de 3 e 4 sucessos: 
 ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡଷ ڄ ?ǡ ?ଷ ڄ ሺ ?ǡ ?ሻଵ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൈ ?ǡ ? ? ?ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? ? ? ܲሺݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏ ൌ ?ሻ ൌ ܥସǡସ ڄ ?ǡ ?ସ ڄ ሺ ?ǡ ?ሻ଴ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൈ ?ǡ ? ? ? ?ൈ ? ൌ ?ǡ ? ? ? ? 
 
 
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Assim: 
 ܲሺܽ݋�݉݁݊݋ݏ� ?�ݏݑܿ݁ݏݏ݋ݏሻ ൌ ?ǡ ? ? ? ?൅ ?ǡ ? ? ? ?൅ ?ǡ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ? 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de exercícios resolvidos 
 
Exercício 1 
 
(FINEP ± CESGRANRIO/2011) 
 
 
 
Considere a distribuição de probabilidade sobre os números 1, 2, 3 e 4 acima. 
Essa distribuição é: 
 
a) Continua 
b) Assimétrica 
c) Normal 
d) Uniforme 
e) Multivariada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 2 
 
(TJ\RO ± CESGRANRIO/2008) Uma urna contem 10 bolas, cada uma gravada 
com um número diferente de 1 a 10. Uma bola é retirada aleatoriamente e um 
³;´�p�PDUFDGR�QD�PHVPD��;�p�XPD�YDULiYHO�DOHDWyULD� 
a) Com desvio padrão de 10 
b) Com 1º quartil de 0,25 
c) Com média de 5 
d) Com distribuição de probabilidade uniforme 
e) Com distribuição de probabilidade assimétrica 
 
 
 
(FINEP ± CESPE/2009) Uma empresa produz determinado tipo de peça. A 
probabilidade de cada peça ser perfeita é de 0,7, e a probabilidade de cada 
peça ser defeituosa é de 0,3. Tomando 0,06, 0,17 e 0,24 como valores 
aproximados de ૙ǡ ૠૡ, ૙ǡ ૠ૞ e ૙ǡ ૠ૝, respectivamente, julgue as afirmativas. 
 
Exercício 3 
 
Na produção de 400 itens o número esperado de peças defeituosas é de 150. 
 
 
Exercício 4 
 
A probabilidade de que uma amostra aleatória de 10 peças contenha 
exatamente 8 peças perfeitas é menor que 10%. 
 
Exercício 5 
 
A probabilidade de que uma amostra aleatória de 5 peças contenha, (no 
máximo), 2 peças defeituosas é maior que 70%. 
 
 
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Exercício 6 
 
(CGU ± ESAF/2008) Seja X a soma de n variáveis aleatórias independentes de 
Bernoulli, isto é, que assumem apenas os valores 1 e 0 com probabilidades p 
e 1-p, respectivamente. Assim, a distribuição de X é: 
a) Binomial com parâmetros n e p. 
b) Gama com parâmetros n e p. 
c) Qui quadrado com n graus de liberdade. 
d) Laplace. 
H��³W´�GH�6WXGHQW�FRP�Q-1 graus de liberdade. 
 
 
Exercício 7 
 
(AFRFB ± ESAF/2009) Em um experimento binomial com três provas, a 
probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de 
ocorrerem três sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e 
fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a: 
a) 20 % e 80 % 
b) 80 % e 20 % 
c) 60 % e 40 % 
d) 30 % e 70 % 
e) 25 % e 75 % 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 8 
(SEJUS ± UNIVERSA/2010) Em certo plano amostral, em uma população de 
100 elementos, optou-se pelo seguinte critério: joga-se uma moeda (honesta) 
e, se der cara, o elemento entra na amostra; se der coroa, ele não entra na 
amostra. Qual o tamanho esperado dessa amostra? 
a)10 
b)20 
c)30 
d)40 
e)50 
 
Exercício 9 
 
(TRF ± FCC/2001) A probabilidade de que um item produzido por uma máquina 
seja defeituoso é 10%. Uma amostra de 30 itens produzidos por esta máquina 
é selecionada ao acaso. Usando-se a aproximação pela distribuição de 
Poisson para determinar a probabilidade de que não mais que um item 
defeituoso seja encontrado na amostra, obtemos 
a) ૝ࢋି૜ 
b) ૝ࢋି૛ 
c)�૜ࢋି૜ 
d) ૚ െ ૝ࢋି૜ 
e)�૚ െ ૜ࢋି૜ 
 
 
 
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Exercício 10 
 
(BACEN ± FCC/2005) A probabilidade de um associado de um clube de pagar 
sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos 
aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade 
sem atraso é: 
 
a)�૞ ? ሺ૙ǡૢ ૞ሻ૞ 
b) ૚ െ ሺ૙ǡ ૙૞ሻ૞ 
c)�૚ െ ሺ૙ǡ ૢ૞ሻ૞ 
d)�ሺ૙ǡ ૢ૞ሻ૞ 
e)�૝ǡ ૠ૞ ڄ ሺ૙ǡ ૢ૞ሻ૞ 
 
Exercício 11 
 
(SEFAZ-ES ± CESPE/2013) O número de reclamações diárias registradas por 
uma central de atendimento ao cidadão for uma variável aleatória que segue a 
distribuição de Poisson com média igual a ln10, então a probabilidade P(N= 0) 
será igual a 
 
a) 0,09 
b) 0,14 
c) 0,18 
d) 0,1 
e) 0,05 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 12 
 
(MDIC ± ESAF\2013) Em uma população de 50 empresas de uma região, 20 são 
empresas exportadoras. Qual o valor mais próximo do número esperado de 
empresas exportadoras em uma amostra aleatória de tamanho 20 retirada sem 
reposição da amostra. 
 
a) 10 
b) 8 
c) 7,5 
d) 6 
e) 4 
 
Exercício 13 
 
(SUSEP ± ESAF/2010) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em 
clima muito frio e com uma dieta de baixa ingestão de gordura animal, a 
probabilidade de os casais terem filhos dosexo masculino é igual a 1/4. Desse 
modo, a probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a: 
a) 37/64 
b) 45/216 
c) 1/64 
d) 45/512 
e) 9/16 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 14 
 
(ISS-SP ± FCC\2012) Suponha que ao realizar um experimento ocorra o evento 
A com probabilidade p e não ocorra com probabilidade (1-p). Repetimos o 
experimento de forma independente até que A ocorra pela primeira vez. Seja: 
X = número de repetições do experimento até que A ocorra pela primeira vez. 
Sabendo que a média de X é 3, a probabilidade condicional expressa por P (X 
 ���_�;�”����p�LJXDO�D 
a) 5/27 
b) 4/27 
c) 2/9 
d) 1/3 
e) 6/19 
 
Exercício 15 
 
(TER-ES ± FCC/2011) O custo para a realização de um experimento é de 500 
reais. Se o experimento falhar haverá um custo adicional de 100 reais para a 
realização de uma nova tentativa. Sabendo-se que a probabilidade de sucesso 
em qualquer tentativa é 0,4 e que todas são independentes, o custo esperado 
de todo o procedimento até que o primeiro sucesso seja alcançado é 
a)1.500. 
b)1.400. 
c)1.300. 
d)1.200. 
e) 1.000. 
 
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Exercício 16 
 
(AFRFB ± ESAF/2013\modificada) Em uma cidade de colonização alemã, a 
probabilidade de uma pessoa falar alemão é de 60%. Selecionando-se ao 
acaso 4 pessoas desta cidade, a probabilidade de, exatamente, 3 delas não 
falarem alemão é, em valores percentuais, igual a 
a) 6,4. 
b) 12,26. 
c) 15,36. 
d) 3,84. 
e) 24,5. 
 
 
 
Exercício 17 
 
(DNIT ± ESAF/2013) Dois dados de seis faces são lançados simultaneamente, 
e os números das faces voltadas para cima são somados. A probabilidade da 
soma obtida ser menor do que cinco ou igual a dez é igual a: 
a) 35% 
b) 20% 
c) 30% 
d) 15% 
e) 25% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 18 
 
(MTUR ± ESAF/2013) Com os dígitos 3, 4, 5, 7, 8 e 9 serão formadas centenas 
com dígitos distintos. Se uma centena for selecionada ao acaso, a 
probabilidade de ser menor do que 500 e par é 
a) 15% 
b) 10% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 20% 
 
 
Exercício 19 
 
(AFRFB ± ESAF/2009) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria 
ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros 
por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três 
petroleiros em dois dias é igual a: 
 
a) 
૜૛ૠ૜ ࢋି૝ 
b) 
૜ૠ૚ ࢋ૝ 
c) 
ૠ૚૜ ࢋି૝ 
d) 
ૠ૚૜ ࢋି૛ 
e) 
૜૛૜ ࢋି૛ 
 
 
 
 
 
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Exercício 20 
 
(ICMS-RJ ± 2014/FCC) O número de atendimentos, via internet, realizados pela 
Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de Poisson 
com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar 
pelo menos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é 
a) 0,594 
b) 0,910 
c) 0,766 
d) 0,628 
e) 0,750 
 
 
Exercício 21 
 
(ICMS-SP ± FCC/2013) Sabe-se que em determinado município, no ano de 
2012, 20% dos domicílios tiveram isenção de determinado imposto. 
Escolhidos, ao acaso e com reposição, quatro domicílios deste município a 
probabilidade de que pelo menos dois tenham tido a referida isenção é igual a 
a) 0,4096 
b) 0,4368 
c) 0,1808 
d) 0,3632 
e) 0,2120 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1-d 
2-d 
3-F 
4-F 
5-V 
6-a 
7-d 
8-e 
9-a 
10-b 
11-d 
12-b 
13-anulada 
14-e 
15-b 
16-c 
17-e 
18-b 
19-c 
20-c 
21-c 
 
 
Muito bom pessoal! Foco no ICMS-PE, pois logo vocês realizarão seu sonho! 
 
Um abraço e bons estudos. 
 
jeronymo@estrategiaconcursos.com.br 
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