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Aula 02 Matemática Financeira e Raciocínio Lógico p/ SEFAZ/PE Professor: Arthur Lima ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� AULA 02: DESCONTOS SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria 01 2. Resolução de exercícios 14 3. Lista de exercícios resolvidos 62 4. Gabarito 85 Olá! Neste encontro vamos tratar dos tópicos relativo às operações de Descontos presentes no seu edital: Descontos simples e descontos compostos. Tenha uma boa aula! 1. TEORIA Imagine que você é proprietário de um comércio e recebeu de um cliente um cheque “pré-datado” para pagamento de uma venda efetuada. O cheque, no valor de R$1000,00, tem data de vencimento para daqui a 3 meses. Entretanto, você precisa renovar o estoque de seu comércio, motivo pelo qual precisa de dinheiro agora – e não daqui a 3 meses. Pensando assim, você vai ao banco, que se oferece para ficar com o cheque, aguardando a data correta de depósito, e te adiantar o valor em dinheiro. O banco não fará essa operação “de graça”. Para isso, o gerente te informa que será cobrada a taxa de desconto simples de 5% ao mês. Assim, o banco não te entregará R$1000,00, mas sim R$850,00. Isto é, ao efetuar a operação, o seu título (no caso, um cheque) sofreu o desconto de R$150,00, que é a remuneração do banco por ter antecipado 850 reais para você. Nesta situação, temos um título de crédito (cheque) com um determinado valor nominal N = 1000 reais (também conhecido como “valor de face” ou “valor futuro”) e prazo de vencimento t = 3 meses. Esse título sofre uma operação de 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� desconto, cuja taxa de desconto simples é j = 5% ao mês. Como resultado, você recebe apenas o valor atual (ou “valor presente”) do título, isto é, A = 850 reais, e o banco retém o valor do desconto D = 150 reais. O exemplo acima tem o intuito de auxiliá-lo a entender em que consiste uma operação de desconto, muito comum no comércio que trabalha com recebimentos a prazo (cheques “pré-datados”, duplicatas, notas promissórias etc.) mas precisa do dinheiro à vista para poder manter o seu negócio funcionando (pagar salários, impostos, comprar mercadorias etc.). Repare que o desconto é, em sua essência, uma operação inversa à aplicação de juros sobre um investimento. Nos próximos tópicos veremos as operações de desconto cobradas no seu edital. Para começar, saiba esses conceitos fundamentais: - valor nominal (N ou VF): é o valor do título na data do seu vencimento. Também é conhecido como valor futuro, ou valor de face (pois é o valor que está escrito no título). Em nosso exemplo, N = 1000 reais. - valor atual (A ou VP): é o valor do título na data da operação de desconto, também conhecido como valor presente. Em nosso exemplo, A = 850 reais. - desconto: é a diferença entre o valor nominal e o valor atual do título de crédito D = N – A = VF – VP 1.1 DESCONTO SIMPLES O desconto simples é aquele correspondente ao regime de juros simples. Existem duas formas principais de cálculo do desconto simples de um título de crédito: o desconto racional e o desconto comercial. Desconto racional simples (por dentro) 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Em uma operação de desconto racional simples (também conhecido como desconto “por dentro”), a relação entre o valor nominal (N) e valor atual (A) do título é dada por: 1 NA j t= + × ou N = A x (1 + j x t) Utilizando a fórmula acima, podemos calcular qual seria o valor atual (A) daquele cheque do exemplo dado acima. Lembrando que N = 1000, j = 5% ao mês e t = 3 meses, temos: A = 1000 / (1 + 0,05 x 3) A = 1000 / 1,15 A = 869,56 Isto é, se o banco tivesse utilizado o desconto “por dentro”, você receberia, naquele momento, R$869,56. Em outras palavras, o valor atual do seu cheque seria de R$869,56, apesar de seu valor de face ser R$1000,00. O valor do desconto seria: D = N – A D = 1000 – 869,56 D = 130,44 Assim, o banco teria ganho R$130,44 para ficar com o seu cheque, aguardando a data de vencimento do mesmo. Desconto comercial simples (por fora, bancário) Em uma operação de desconto comercial simples (desconto “por fora”), a relação entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) de um título é dada por: (1 )A N j t= × − × 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Esta operação é também conhecida como “desconto bancário simples”. Utilizando a fórmula acima, também podemos calcular qual seria o valor atual (A) daquele cheque do exemplo dado acima: A = 1000 x (1 - 0,05 x 3) A = 1000 x (0,85) A = 850 Veja que o gerente do banco provavelmente se referia a esse desconto. Assim, você recebeu R$850,00. Este é o valor atual do seu cheque, apesar de seu valor de face ser R$1000,00. O valor do desconto foi: D = N – A D = 1000 – 850 D = 150 Assim, o banco efetuou um desconto de R$150,00 para ficar com o seu cheque, aguardando a data de vencimento do mesmo. Veja que, no exemplo, eu apenas mencionei “desconto simples”, não explicitando se o desconto foi racional ou comercial. Em várias questões de sua prova ocorrerá o mesmo. Diante desta situação, você deve se lembrar que o desconto comercial também é chamado desconto bancário (típico de operações efetuadas pelos bancos). Assim, não sendo mencionado que o desconto a ser aplicado é o racional, você deve usar o desconto comercial / bancário / por fora. É bom ainda você saber que existe uma relação entre as taxas de desconto simples por dentro (jd) e por fora (jf) que levam um determinado valor nominal ao mesmo valor atual, que é: 1 1 f d tj j− = A título de exemplo, veja que a mesma taxa (5% ao mês) levou o valor nominal N = 1000 reais ao valor atual R$869,56, quando aplicado o desconto por 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� dentro, e ao valor atual R$850,00, quando aplicado o desconto por fora. Se quiséssemos saber qual taxa de desconto por fora é equivalente à taxa de desconto por dentro de 5% ao mês, para um título com vencimento em t = 3 meses, teríamos: 1/jf – 1/0,05 = 3 jf = 0,0434 = 4,34% Observe que, de fato, aplicando a taxa de desconto comercial (por fora) jf = 4,34%, obtemos o mesmo valor atual que havíamos obtido com a taxa de 5% ao mês no desconto por dentro: A = 1000 x (1 – 0,0434 x 3) = 869,56 Por outro lado, se aplicarmos a mesma taxa j tanto ao desconto por fora quanto ao desconto por dentro, vimos que os valores atuais (A) serão diferentes e, conseqüentemente, os valores dos descontos (D) serão diferentes também. A fórmula abaixo relaciona o desconto por dentro com o descontopor fora, quando é aplicada a mesma taxa j: Df = Dd x (1 + j x t) No nosso exemplo, vimos que Df = 150 e Dd = 130,44, para j = 5% ao mês e t = 3 meses. Veja que, de fato, Df = Dd x (1 + j x t) 150 = 130,44 x (1 + 0,05 x 3) 150 = 150 Antes de conhecermos o Desconto Composto, verifique se você compreendeu a teoria sobre Desconto Simples resolvendo essa questão: 1. FCC – Banco do Brasil – 2006) Uma empresa desconta em um banco um título com vencimento daqui a 4 meses, recebendo no ato o valor de R$ 19 800,00. Sabe- se que a operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Caso tivesse sido aplicada a de desconto racional simples, com a mesma taxa de desconto anterior i (i > 0), o valor que a empresa receberia seria de R$ 20 000,00. O valor nominal deste título é de (A) R$ 21 800,00 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� (B) R$ 22 000,00 (C) R$ 22 400,00 (D) R$ 22 800,00 (E) R$ 24 000,00 RESOLUÇÃO: Temos um título com valor atual A = 19800 reais e prazo para o vencimento de t = 4 meses. Seja N o valor nominal deste título e i a taxa de juros praticada. Assim, utilizando a fórmula do desconto comercial simples, temos: A = N x (1 – j x t) 19800 = N x (1 – 4i) Se aplicássemos o desconto racional simples, o valor recebido seria A = 20000 reais. Ou seja, N = A x (1 + j x t) N = 20000 x (1 + 4i) Podemos substituir N, na equação 19800 = N x (1 – 4i), pela expressão encontrada logo acima, ou seja, 20000 x (1 + 4i). Fazendo isso, temos: 19800 = N x (1 – 4i) 19800 = 20000 x (1 + 4i) x (1 – 4i) 19800 = 20000 x (1– 16i2) 0,99 = (1 – 16i2) 16i2 = 1 – 0,99 i2 = 0,01 / 16 i = 0,1 / 4 i = 0,025 = 2,5% ao mês Assim, o valor nominal deste título é dado por: N = 20000 x (1 + 4i) N = 20000 x (1 + 4 x 0,025) N = 22000 reais Resposta: B 1.2 DESCONTO COMPOSTO 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Em muitos casos o desconto dado pelo banco numa operação como esta segue o regime de juros compostos. Se isso ocorre, temos uma operação de desconto composto, que também se divide em racional ou comercial. Desconto racional composto (por dentro) Aqui, a relação entre o valor nominal (N) e atual (A) do título de crédito é dada por: (1 )t NA j= + ou N = A x (1 + j)t Novamente, o valor do desconto é dado por D = N – A. Utilizando o mesmo exemplo que trabalhamos acima, teríamos: A = 1000 / (1 + 0,05)3 = 1000 / 1,053 A = 863,83 Isto é, se o cheque com valor nominal de 1000 reais for descontado, no regime de desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês, 3 meses antes do seu vencimento, você receberá R$863,83. O desconto será de: D = 1000 – 863,83 = 136,16 Desconto comercial composto (por fora) Aqui, a relação entre o valor nominal (N) e atual (A) do título de crédito é dada por: (1 )tA N j= × − Novamente, o valor do desconto é dado por D = N – A. Utilizando o mesmo exemplo que trabalhamos acima, teríamos: 31000 (1 0,05) 857,37 A A = × − = 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Isto é, se o cheque com valor nominal de 1000 reais for descontado, no regime de desconto comercial composto, à taxa de 5% ao mês, 3 meses antes do seu vencimento, você receberá R$857,37. O desconto foi de: D = 1000 – 857,37 = 142,62 A relação entre a taxa de desconto composto por dentro (jd) e por fora (jf) que levam um determinado valor nominal ao mesmo valor atual, que é: 1 1 1 f dj j − = Teste o seu aprendizado a respeito de desconto composto: 2. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Um título no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais próximo do desconto racional composto à taxa de desconto de 3% ao mês. a) R$ 84,86 b) R$ 90,00 c) R$ 87,33 d) R$ 92,73 e) R$ 82,57 RESOLUÇÃO: Temos um título com valor nominal (de face) N = 1000 reais, com prazo t = 3 meses até o seu vencimento, e taxa de desconto j = 3% ao mês. O enunciado pede para utilizarmos a fórmula do desconto racional composto: 3 (1 ) 1000 915,14(1 0,03) t NA j A = + = = + Assim, o desconto foi: D = N – A D = 1000 – 915,14 D = 84,85 reais 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ��������������������������������������������������������������������� Resposta: A 1.3 NOÇÕES ADICIONAIS SOBRE OPERAÇÕES DE DESCONTO Agora que você já teve uma visão geral das modalidades de descontos simples e compostos, racionais e comerciais, gostaria de tecer mais alguns comentários que vão te auxiliar a entender e memorizar as fórmulas de desconto racional/por dentro e desconto comercial/por fora. Veremos ainda alguns detalhes adicionais que podem ser cobrados em sua prova. Para começar: por quê as fórmulas 1 NA j t= + × e (1 )t NA j= + nos fornecem o desconto por dentro? E por quê as fórmulas (1 )A N j t= × − × e (1 )tA N j= × − nos fornecem o desconto por fora? Para responder a essas perguntas, é interessante que você visualize a figura abaixo: Como o valor atual é sempre inferior ao nominal, podemos imaginar que aquele está contido no interior deste. O desconto “por dentro” é aquele que parte de dentro para fora. Isto é, parte-se de um valor atual A que, se multiplicado pelo fator de acumulação de capital (1+jxt) ou (1+j)t, conforme o caso, leva ao valor nominal N após o período “t”, à taxa “j”. É por isto que: N = A x (1 + jxt), no desconto simples “por dentro” N = A x (1 + j)t, no desconto composto “por dentro” Já o desconto “por fora” é aquele que parte de fora para dentro. Assim, parte- se de um valor nominal N que, se multiplicado pelo fator de redução (1 – j x t) ou (1 – j)t, conforme o caso, leva ao valor atual A após o período “t”, à taxa “j”. É por isto que: A = N x (1 – j x t), no desconto simples “por fora” 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� A = N x (1 – j)t, no desconto composto “por fora” Acredito que assim fica mais fácil distinguir as fórmulas de desconto “por dentro” e “por fora”. Entretanto, é preciso também distinguir as fórmulas de desconto “racional” das fórmulas de desconto “comercial”. Você pode gravar assim: dentre as fórmulas N = Ax(1 + jxt) e N = Ax(1 – jxt), a primeira é a que segue a fórmula de juros simples M = C x (1 + j x t) que estudamos, sendo portanto a forma “racional” de se efetuar um cálculo de desconto. Já a segunda possui uma criação, que é o “fator de redução” (1 – j x t), sendo uma convenção utilizada nas transações bancárias e comerciais. Para o desconto composto, o raciocínio é análogo. A fórmula N = Ax(1+j)t é a que segueo que vimos ao estudar juros compostos, isto é, M = C x (1 + j)t, sendo o método “racional” de se calcular o desconto. Por sua vez, N = Ax(1-j)t contém uma criação, que é o fator de redução (1-j)t, que é uma convenção utilizada nas transações bancárias e comerciais. Outro ponto de interesse refere-se à taxa efetivamente utilizada na operação de desconto. No caso do desconto racional, como o desconto é calculado com base no valor atual do título, temos que a taxa de desconto j é a própria taxa efetiva da operação. Isto porque, se você aplicar o dinheiro adiantado pelo banco (valor atual, A) à taxa de juros j até a data de vencimento do título, o montante a ser retirado é exatamente o valor nominal (N). Exemplificando, imagine que você tem um cheque de valor nominal N = 11,5 mil reais, com vencimento daqui a t = 3 meses, e o banco oferece o desconto comercial simples à taxa de 5% ao mês. Neste caso, o valor atual é: A = 11500 / (1 + 5% x 3) = 10000 reais Se você aplicar esses 10000 reais adiantados em um investimento com taxa de 5% ao mês, pelos 3 meses restantes, obterá exatamente o valor nominal: M = C x (1 + j x t) = 10000 x (1 + 5% x 3) = 11500 reais 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� É por isso que a taxa aplicada no desconto racional pode ser considerada a taxa efetivamente praticada na operação de desconto. Já no desconto comercial, isso não ocorre. Mesmo que o banco te diga que aplicou uma taxa de desconto comercial de 5% ao mês, se você pegar o dinheiro adiantado (A) e aplicá-lo a exatamente 5% ao mês até a data de vencimento do título, acumulará um valor inferior ao valor nominal (N). É por isso que dizemos que a taxa de desconto j É MENOR que a taxa efetiva da operação, no caso do desconto comercial. Exemplificando, imagine que você tem um cheque de valor nominal N = 10 mil reais, com vencimento daqui a t = 3 meses, e o banco oferece o desconto comercial simples à taxa de 5% ao mês. Neste caso, o valor atual é: A = 10000 x (1 – 5% x 3) = 8500 reais Se você pegar esses 8500 reais e aplicar em um investimento que rende exatamente 5% ao mês, durante os 3 meses restantes, o montante acumulado será: M = C x (1 + j x t) M = 8500 x (1 + 5% x 3) = 9775 reais Percebeu que você obteve um valor inferior aos 10000 reais do cheque? Para que você obtivesse exatamente os 10000 reais, deveria ter aplicado seu dinheiro a uma taxa maior: 10000 = 8500 x (1 + j x 3) j = 5,88% Isso demonstra que, apesar de a taxa de desconto comercial ter sido de 5%, a taxa efetivamente praticada foi de 5,88% ao mês. Em síntese, grave que: 1. Desconto racional (por dentro) - calculado sobre o valor atual; - a taxa efetiva é a própria taxa de desconto. 2. Desconto comercial (por fora) - calculado sobre o valor nominal; 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� - a taxa efetiva é MAIOR que a taxa de desconto. Sobre estes assuntos, veja essa questão: 3. ESAF – AFRFB – 2005) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para operações de cinco meses. Deste modo, o valor mais próximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco deverá cobrar em suas operações de cinco meses deverá ser igual a: a) 19 % b) 18,24 % c) 17,14 % d) 22 % e) 24 % RESOLUÇÃO: Aqui podemos aplicar a fórmula que relaciona o desconto racional simples (por dentro) e o desconto comercial simples (por fora): 1 1 f d tj j− = Foi dada a taxa efetiva, que é a taxa de juros segundo o desconto racional (por dentro). Isto é, jd = 24% ao trimestre (ou melhor, jd = 8% ao mês). Como t = 5 meses: 1 1 5 0,08fj − = 1 12,5 5 fj − = 0,05714 5,714% ao mêsfj = = Como o enunciado pediu a taxa trimestral, temos que multiplicar essa taxa mensal por 3, obtendo 3 x 5,714% = 17,14% ao trimestre. Resposta: C Para finalizar, veja na tabela abaixo um resumo dos tópicos da aula de hoje. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� TABELA 01. Principais fórmulas e conceitos Fórmulas e definições Desconto: D = N – A Desconto simples: - Racional (por dentro): 1 NA j t= + × - Comercial (por fora): (1 )A N j t= × − × - Relação entre o desconto por dentro e por fora: Df = Dd x (1 + j x t) - Relação entre a taxa de desconto por fora e por dentro: 1 1 f d tj j− = Desconto composto: - Racional (por dentro): (1 )t NA j= + - Comercial (por fora, bancário): (1 )tA N j= × − - Relação entre a taxa de desconto por fora e por dentro: 1 1 1 f dj j − = - Obter o fator de acumulação de capital, (1 )tj+ , em tabelas - Desconto racional (por dentro): - calculado sobre o valor atual; - a taxa efetiva é a própria taxa de desconto. - Desconto comercial (por fora): - calculado sobre o valor nominal; - a taxa efetiva é MAIOR que a taxa de desconto. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS Vejamos agora mais uma bateria de exercícios para você fixar o aprendizado. 4. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um título de valor nominal igual a R$ 25 000,00 foi descontado por uma empresa 40 dias antes de seu vencimento, segundo a operação de desconto comercial simples, à taxa de desconto de 3% ao mês. Considerando a convenção do ano comercial, a empresa recebeu, no ato da operação, (A) R$ 24 000,00 (B) R$ 23 850,00 (C) R$ 23 750,00 (D) R$ 23 500,00 (E) R$ 22 500,00 RESOLUÇÃO: O título tem valor nominal N = 25000 reais, taxa de desconto j = 3% ao mês, e prazo de antecipação t = 40 dias. Considerando a convenção do ano comercial, um mês tem 30 dias, de modo que 40 dias correspondem a 40/30 mês, ou melhor, 4/3 de mês. Desta forma, A = N x (1 – j x t) A = 25000 x (1 – 0,03 x 4/3) A = 25000 x (1 – 0,01 x 4) A = 24000 reais Resposta: A 5. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) Uma empresa obteve um desconto de uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A, com as seguintes condições: • Prazo do título: 2 meses • Taxa de desconto simples cobrada pelo banco: 2,5% ao mês Considerando-se exclusivamente as informações acima, o valor creditado na conta corrente da empresa, em reais, foi de (A) 11.660,00 (B) 11.460,00 (C) 11.400,00 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� (D) 11.200,00 (E) 11.145,00 RESOLUÇÃO: Aqui, a duplicata tinha valor nominal N = 12000. O exercício informou ainda que t = 2 meses e j = 2,5% ao mês (desconto simples). O enunciado pede o valor que foi creditado na conta da empresa, isto é, o valor atual A. Colocando as informações dadasna fórmula de desconto comercial simples, temos: 12000 (1 ) 12000 (1 0,025 2) 11400 A j t A A = × − × = × − × = Resposta: C. 6. ESAF – AFRFB – 2005) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a: a) R$ 159.523,00 b) R$ 159.562,00 c) R$ 162.240,00 d) R$ 162.220,00 e) R$ 163.230,00 RESOLUÇÃO: Para resolver essa questão, vamos seguir os passos abaixo: - calcular o valor atual de cada um dos 2 títulos; - somar esses valores atuais, descobrindo com isso o valor atual do novo título (só podemos somar quantias monetárias que se referem à mesma data, pois o dinheiro muda de valor com o tempo. Somamos os valores atuais pois ambos referem-se a “hoje”); - calcular o valor nominal deste novo título. O primeiro título tem N = 50000, t = 2 meses e j = 4% ao mês. Portanto: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 1 (1 ) 50000 (1 0,04 2) 46000 A N j t A = × − × = × − × = O segundo título tem N = 100000, t = 3 meses e j = 4% ao mês. Assim: 2 (1 ) 100000 (1 0,04 3) 88000 A N j t A = × − × = × − × = Para substituir esses dois títulos, o valor atual do novo título deve ser igual à soma do valor atual dos dois títulos anteriores, isto é: 3 1 2 46000 88000 134000A A A= + = + = Como este título também tem j = 4%, e tem o prazo de vencimento t = 4 meses, podemos calcular o seu valor nominal: 3 3 3 3 (1 ) 134000 (1 0,04 4) 159523,80 A N j t N N = × − × = × − × = Isto é, o valor nominal do novo título é, aproximadamente, o valor apresentado na letra A. Resposta: A 7. FCC – Banco do Brasil – 2010) Um título descontado 2 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto racional simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 18% ao ano, apresenta um valor atual igual a R$ 21.000,00. Um outro título de valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro título é descontado 5 meses antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e com a utilização de uma taxa de desconto de 2% ao mês. O valor atual deste segundo título é de (A) R$ 42.160,80. (B) R$ 41.529,60. (C) R$ 40.664,40. (D) R$ 39.799,20. (E) R$ 38.934,00. RESOLUÇÃO: O primeiro título tem j = 18% ao ano, t = 2 meses = 2/12 anos, e A = 21000. Assim, usando a fórmula do desconto racional simples (conforme mencionado no enunciado): 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 1 NA j t= + × 21000 21 0,18 12 N = + × N = 21630 O segundo título tem valor nominal igual ao dobro do valor nominal do primeiro (21630), ou seja, tem N = 43260. Sabemos ainda que, neste caso, t = 5 meses e j = 2% ao mês. O valor atual, segundo a fórmula de desconto comercial simples (conforme mencionado no enunciado), é: (1 )A N j t= × − × 43260 (1 0,02 5) 38934A = × − × = Resposta: E 8. FCC – DNOCS – 2010) Dois títulos de valores nominais iguais foram descontados, em um banco, da seguinte maneira: Primeiro título: descontado 45 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples, apresentando um valor atual de R$ 21.000,00. Segundo título: descontado 60 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples. Utilizando a convenção do mês comercial, tem-se que a soma dos valores dos descontos correspondentes é igual a (A) R$ 1.260,00. (B) R$ 1.268,80. (C) R$ 1.272,60. (D) R$ 1.276,40. (E) R$ 1.278,90. RESOLUÇÃO: O exercício disse para usar o mês comercial, isto é, com 30 dias. Portanto, o primeiro título tem valor atual A = 21000, prazo de vencimento t = 1,5 mês (isto é, 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 45/30) e taxa de desconto j = 2% ao mês. Seu valor nominal, segundo a fórmula de desconto racional simples, é: 21000 1 0,02 1,5 21630 N N = + × = Portanto, o desconto foi D = N – A = 21630 – 21000 = 630 reais. O segundo título tem o mesmo valor nominal, isto é, N = 21630; prazo de vencimento t = 2 meses (isto é, 60/30) e taxa de desconto j = 1,5% ao mês. Seu valor atual, segundo a fórmula de desconto comercial simples, é: 21630 (1 0,015 2) 20981,10A = × − × = Portanto, o desconto foi D = N – A = 21630 – 20981,10 = 648,9 reais. Somando os dois descontos, temos um total de 630 + 648,9 = 1278,9 reais. Resposta: E 9. FCC – DNOCS – 2010) Uma duplicata é descontada em um banco 50 dias antes de seu vencimento apresentando um valor atual igual a R$ 31.900,00. Considere que foi utilizada uma operação de desconto comercial simples, a uma taxa de 2% ao mês, com a convenção do mês comercial. O valor nominal da duplicata é de (A) R$ 33.000,00. (B) R$ 33.600,00. (C) R$ 32.900,00. (D) R$ 32.600,00. (E) R$ 32.800,00. RESOLUÇÃO: Aqui temos uma duplicata de valor atual A = 31900, taxa de desconto comercial simples j = 2% ao mês e prazo para vencimento t = 50 dias, ou melhor, t = 50/30 meses (considerando o mês comercial de 30 dias). Portanto, o valor nominal é: 31900 (1 0,02 50 / 30) 31900 33022,77 0,966 N N = × − × = = Temos, aproximadamente, o resultado da letra A. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� Resposta: A 10. FCC – MPE-RS – 2008) Uma duplicata é descontada em um banco 45 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples, apresentando um valor atual igual a R$ 20.055,00. Com a utilização de uma operação de desconto racional simples, a uma taxa de juros de 40% ao ano, o valor atual teria sido de R$ 20.000,00. Considerando o ano comercial em ambos os casos, a taxa de juros anual correspondente à operação de desconto comercial simples foi de (A) 36% (B) 48% (C) 24% (D) 45% (E) 30% RESOLUÇÃO: Observe que t = 45 dias, ou melhor, t = 45/360 ano (considerando o ano comercial de 360 dias). O enunciado disse que, se utilizarmos a taxa de desconto racional simples j = 40% ao ano, então o valor atual é A = 20000. Calculando o valor nominal, temos: 1 20000 451 0,40 360 21000 NA j t N N = + × = + × = Portanto, o título tem valor nominal N = 21000. Se, na operação de desconto comercial simples, com o mesmo prazo t = 45/360 ano, o valor atual foi A = 20055, podemos calcular a taxa de juros aplicada assim: (1 ) 4520055 21000 (1 ) 360 0,955 1 0,125 0,36 36% ao anoA N j t j j j = × − × = × − × = − × = = Resposta: A 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 11. FCC – SEFAZ-PB – 2006) Ao descontar em um banco, 2 meses antes de seu vencimento, um título de valor nominal igual a R$ 30.000,00, uma empresa recebe na data da operação de desconto comercial simples o valor de R$ 28.500,00. Utilizando a mesma taxa de desconto anterior e ainda a operação de desconto comercial simples, descontando um título de valor nominal de R$ 24.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, receberá (A) R$ 22.500,00 (B))R$ 22.200,00 (C) R$ 22.000,00 (D) R$ 21.000,00 (E) R$ 20.000,00 RESOLUÇÃO: Para calcular a taxa de desconto da primeira operação, temos t = 2 meses, N = 30000 e A = 28500. Sendo uma operação de desconto comercial simples, temos: (1 ) 28500 30000 (1 2) 2,5% ao mês A N j t j j = × − × = × − × = Utilizando essa mesma taxa no desconto do título de N = 24000 e t = 3 meses, temos: (1 ) 24000 (1 0,025 3) 22200 reais A N j t A A = × − × = × − × = Resposta: B 12. FCC – TRF/4ª – 2010) Uma duplicata é descontada em um banco 40 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples. O valor atual desta duplicata é igual a 97% de seu valor nominal. Considerando a convenção do ano comercial, tem-se que a taxa anual de desconto utilizada foi de (A) 15%. (B) 18%. (C) 21%. (D) 24%. (E) 27%. RESOLUÇÃO: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� Aqui temos t = 40 dias, ou melhor, 40/360 ano (veja que fiz essa mudança porque o exercício quer a taxa anual). Sendo N o valor nominal, o enunciado diz que o valor atual A é igual a 97% de N, isto é, A = 0,97N. Assim, na fórmula de desconto comercial simples, temos: (1 ) 400,97 (1 ) 360 10,97 1 9 0,27 27% ao ano A N j t N N j j j = × − × = × − × = − × = = Resposta: E 13. CESGRANRIO – ANP – 2008) A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o ano comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo Banco na conta corrente da empresa, em reais, foi (A) 28 888,08 (B) 28.808,88 (C) 27.062,61 (D) 26.062,12 (E) 26.026,21 RESOLUÇÃO: Aqui temos N = 28800, j = 2,5% ao mês e t = 120 dias, ou melhor, t = 4 meses (considerando o mês comercial de 30 dias). Portanto, utilizando a fórmula de desconto comercial composto (pois temos uma operação bancária), temos: 4 (1 ) 28800 (1 0,025) 26026,21 tA N j A A = × − = × − = Resposta: E 14. ESAF – AFRFB – 2005) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a: a) R$ 230.000,00 b) R$ 250.000,00 c) R$ 330.000,00 d) R$ 320.000,00 e) R$ 310.000,00 RESOLUÇÃO: Aqui temos que o valor nominal (N) é igual a 5 vezes o desconto (D), isto é: N = 5 D ou seja, D = N / 5 Sabemos também que o valor atual é A = 200000, e que a relação entre o desconto, o valor nominal e o valor atual é D = N – A. Portanto, 200000 5 4200000 5 5 250000 D N A N N N NN N = − = − = − = = Resposta: B Atenção: use a tabela abaixo para resolver a questão a seguir, da ESAF – CVM – 2010. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 15. ESAF – CVM – 2010) Um título é descontado quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 5% ao mês, sendo o valor do desconto racional composto calculado em R$ 4.310,00. Marque o valor mais próximo do valor nominal do título. a) R$ 20.000,00 b) R$ 24.309,00 c) R$ 21.550,00 d) R$ 25.860,00 e) R$ 15.690,00 RESOLUÇÃO: O desconto D foi de 4310 reais. Como D = N – A, então: 4310 = N – A A = N – 4310 Como o enunciado disse que t = 4 meses e j = 5% ao mês, podemos utilizar a fórmula do desconto racional composto: 4 (1 ) 4310 (1 0,05) 4310 1,2155 24309,41 t NA j NN NN N = + − = + − = = Resposta: B Obs.: repare que o valor de (1 + 0,05)4 foi retirado da tabela de fator de acumulação de capital fornecida, para j = 5% e n = 4. 16. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Um título é resgatado 2 anos antes do vencimento, segundo o critério do desconto racional composto. Se a taxa utilizada foi de 10% ao ano e o valor do desconto resultou em R$ 4.620,00, o valor nominal do título é (A) R$ 24.200,00 (B) R$ 24.805,00 (C) R$ 25.410,00 (D) R$ 26.015,00 (E)) R$ 26.620,00 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� RESOLUÇÃO: Sendo t = 2 anos, j = 10% ao ano e D = 4620, temos: D = N – A 4620 = N – A A = N – 4620 Na fórmula do desconto racional composto: 2 (1 ) 4620 (1 0,1) 4620 1,21 26620 t NA j NN NN N = + − = + − = = Resposta: E 17. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Dois títulos cujos valores nominais são R$ 16.500,00 e R$ 26.620,00, vencíveis no fim de 1 ano e 3 anos, respectivamente, serão substituídos por um único título equivalente, vencendo no final de 2 anos. Adotando a operação do desconto racional composto à taxa de juros compostos de 10% ao ano, o valor nominal deste único título é (A) R$ 39.200,00 (B)) R$ 42.350,00 (C) R$ 44.165,00 (D) R$ 44.770,00 (E) R$ 47.432,00 RESOLUÇÃO: Nessa questão precisaremos calcular o valor atual de cada título, para então somá-los, obtendo o valor atual do novo título. Após isso, calcularemos o valor nominal deste novo título. Para o primeiro título, N = 16500, t = 1 ano, j = 10% ao ano. Portanto: 1 1 16500 15000(1 0,1)A = =+ Para o segundo título, N = 26620, t = 3 anos, j = 10% ao ano. Portanto: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 2 3 26620 20000(1 0,1)A = =+ Somando os valores atuais dos dois títulos, temos o valor atual do novo título: A = A1 + A2 = 35000 Assim, podemos calcular o valor nominal deste novo título: 2 (1 ) 35000 (1 0,1) 42350 t NA j N N = + = + = Resposta: B 18. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimentosegundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de (A) R$ 21.780,00 (B) R$ 21.600,00 (C) R$ 20.702,00 (D) R$ 19.804,00 (E) R$ 19.602,00 RESOLUÇÃO: Vendo a primeira parte do enunciado, temos um título com valor atual A = 20000, se descontado 2 anos antes do vencimento (t = 2 anos) com a taxa j = 10% ao ano. Com a fórmula do desconto racional composto, conseguimos o valor nominal N: 220000 (1 0,1) 24200 N N = + = Portanto, o valor nominal do título é 24200 reais. Se o desconto fosse dado através da fórmula do desconto comercial composto, teríamos: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 2 (1 ) 24200 (1 0,1) 19602 tA N j A A = × − = × − = Resposta: E 19. FCC – ARCE – 2012) Uma pessoa tem com um certo credor a seguinte dívida: Hoje ela combinou com esse credor substituir esses títulos por dois outros, de valores nominais iguais entre si, um a vencer daqui a 4 meses e o outro daqui a 5 meses. Se, nessa transação, vão utilizar juros compostos à taxa de 6% ao mês, o valor nominal de cada um desses novos títulos, segundo o critério do desconto composto racional, será de, aproximadamente, (A) R$ 2.000,75. (B) R$ 2.002,64. (C) R$ 2.004,53. (D) R$ 2.006,21. (E) R$ 2.008,98. RESOLUÇÃO: Os 3 títulos originais devem ter valor atual igual aos 2 títulos novos. Só assim podemos dizer que são equivalentes (de modo a poder efetuar a troca). Calculando o valor atual dos títulos originais, temos: A1 = 1000 / 1,062 = 889,99 A2 = 1200 / 1,063 = 1007,54 A3 = 1500 / 1,064 = 1188,14 Assim, o valor atual desses 3 títulos soma A = 3085,67 reais. Os títulos novos terão valor nominal igual a N, e vencimentos em 4 e 5 meses. Assim, seus valores atuais podem ser expressos por: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� A1 = N / 1,064 = 0,792N A2 = N / 1,065 = 0,747N A soma de seus valores atuais também deve ser 3085,67 reais. Logo, 3085,67 = 0,792N + 0,747N N = 2004,9 reais (aproximadamente) Resposta: C 20. ESAF – AFT – 2010) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 60.000,00. b) R$ 46.157,00. c) R$ 56.157,00. d) R$ 50.000,00. e) R$ 55.000,00. RESOLUÇÃO: O desconto (10000) é igual à diferença entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) do título. Isto é, 10000 = N – A � logo, A = N – 10000 No desconto simples por dentro, a relação entre o valor nominal (N) e o valor atual (A) é dada por: 1 NA j t= + × Substituindo A por N – 10000, e já colocando os valores j = 4% ao mês e t = 5 meses, podemos obter o valor nominal N: − = + × 10000 1 4% 5 NN − =10000 1,2 NN − =1,2 12000N N 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� − =1,2 12000N N = 60000N reais Resposta: A 21. DOM CINTRA – ISS/BH – 2012) Marina possui dois títulos para serem resgatados, um no valor de R$30.000,00, a vencer em 4 meses, e outro no de R$70.000,00, a vencer em 5 meses. Sem condições de resgatá-los nas datas previstas, Marina propõe que sejam substituídos por um único título, com vencimento em 6 meses. Supondo-se que a Taxa de Desconto Comercial Simples utilizada na operação é de 5% ao mês, então o valor nominal do novo título será igual a: A) R$ 105.100,00 B) R$ 106.475,00 C) R$ 107.360,00 D) R$ 108.155,00 E) R$ 109.285,00 RESOLUÇÃO: A relação entre valor nominal e valor atual, no regime de desconto comercial simples, é dada por (1 )A N j t= × − × . Seguem os dados dos títulos que Marina possui, incluindo os respectivos valores atuais: � Título 1: N = 30000, t = 4 meses, j = 5%am, desconto comercial simples; = × − × =30000 (1 0,05 4) 24000A � Título 2: N = 70000, t = 5 meses, j = 5%am, desconto comercial simples; = × − × =70000 (1 0,05 5) 52500A Assim, HOJE os títulos valem 24000 + 52500 = 76500 reais, e não 100.000 (30.000 + 70.000). É isto o que significa o valor atual. O título que substituir estes dois deverá valer, também HOJE, os mesmos 76500 reais. Isto é, A = 76500. Além 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� disso, sabemos que j = 5%am e que o novo prazo de vencimento será t = 6 meses. Portanto, o valor nominal do título pode ser obtido assim: (1 )A N j t= × − × = × − ×76500 (1 0,05 6)N = 109285,71N Desprezando os centavos, temos a resposta da alternativa E. Resposta: E 22. FCC – MPE/PE – 2012) Dois títulos de valores nominais iguais são descontados, na data de hoje, com uma taxa de desconto de 2% ao mês. O primeiro título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento segundo uma operação de desconto comercial simples. O segundo título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento segundo uma operação de desconto racional simples. Se o valor presente do segundo título apresentou um valor de R$ 20.000,00, então a soma dos valores dos descontos dos dois títulos é igual a (A) R$ 2.400,00. (B) R$ 2.896,00. (C) R$ 3.100,00. (D) R$ 3.304,00. (E) R$ 3.392,00. RESOLUÇÃO: O segundo título tem t = 3 meses, j = 2% ao mês, A = 20000 reais, desconto racional simples. Assim, N = A x (1 + j x t) N = 20000 x (1 + 0,02 x 3) = 21200 reais O primeiro título tem este mesmo valor nominal N = 21200 reais. Além disso, tem j = 2% ao mês, t = 4 meses, desconto comercial simples. Logo, A = N x (1 – j x t) A = 21200 x (1 – 0,02 x 4) = 19504 reais Os valores dos descontos são obtidos subtraindo N – A para cada título. Assim, 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� Segundo título: D = 21200 – 20000 = 1200 reais Primeiro título: D = 21200 – 19504 = 1696 reais Somando os descontos, temos 2896 reais. Resposta: B 23. FGV – ICMS/RJ – 2007) Um banco desconta (desconto simples por fora), dois meses antes do vencimento, promissórias com taxa de desconto de 5% ao mês e exige que 20% do valor de face da promissória sejam aplicados em um CDB que rende 6% nesses dois meses. A taxa bimestral de juros cobrada pelo banco é de, aproximadamente: (A) 9,2%. (B) 12,6%. (C) 11,1%. (D) 10,3%. (E) 18,4%. RESOLUÇÃO: Se temos uma nota promissória com valor nominal N, o seu valor atual no regime de desconto simples por fora é (dado que j = 5% ao mês e t = 2 meses): (1 )A N jt= × − × = × − × =(1 5% 2) 0,9A N N Entretanto, ao invés de te entregar 0,9N, o banco exige que 0,2N (20% do valor de face) sejam aplicados em um CDB, de modo que o banco te entrega apenas 0,9N – 0,2N = 0,7N. Após 2 meses, os 0,2N retidos pelo banco terão rendido 6% de juros, passando a valer 1,06x0,2N = 0,212N. Portanto, ao final de 2 meses o banco não fica com o valor de face N, mas sim com N – 0,212N = 0,788N. Retirando a parcela investida no CDB, o banco entrega o valor inicial C = 0,7N e, após t = 1 bimestre, recebe o valor final M = 0,788N. Assim, a taxa de juros cobrada pelo banco é: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 0,788N = 0,7N x (1 + j x 1) j = 0,1257 = 12,57% ao bimestre Resposta: B 24. FCC – TJ/RJ – 2012) Um título de valor nominal igual a R$ 28.000,00 foi descontado 3 meses antes de seu vencimento com uma taxa de desconto de 18% ao ano. A operação utilizada foi a de desconto comercial simples. Na mesma data, outro título de valor nominal igual a R$ 30.000,00 foi descontado, com uma taxa de desconto de 18% ao ano, também com a utilização da operação de desconto comercial simples. Se o valor presente correspondente do segundo título supera o valor presente correspondente do primeiro título em R$ 560,00, então o número de meses antes do vencimento em que o segundo título foi descontado é igual a (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8. RESOLUÇÃO: O primeiro título tem N = 28000 reais, t = 3 meses para o vencimento, j = 18% ao ano, desconto comercial simples. Em juros (e descontos) simples, sabemos que taxas proporcionais são equivalentes. Assim, j = 18% ao ano corresponde a j = 1,5% ao mês (basta dividir por 12). O valor atual do título é: A = 28000 x (1 – 0,015 x 3) = 26740 reais O valor presente do segundo título supera este em 560 reais. Ou seja, é igual a A2 = 26740 + 560 = 27300 reais. Sobre este segundo título, também sabemos que N = 30000 reais, j = 18% ao ano (1,5% ao mês), desconto comercial simples. Portanto, A = N x (1 – j x t) 27300 = 30000 x (1 – 0,015 x t) 0,91 = 1 – 0,015t t = 6 meses Resposta: C 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 25. FGV – ICMS/RJ – 2010) Com relação aos diferentes tipos de desconto simples analise as afirmativas a seguir: I. O desconto racional (por dentro), no regime de capitalização simples, é dado pela diferença entre o valor futuro e o valor presente. II. O desconto comercial (por fora), no regime de capitalização simples, é dado pela relação D = VF*d*n, no qual VF é o valor futuro, d é a taxa de desconto por período e n é o número de períodos de desconto. III. o desconto bancário é o contrato pelo qual o banco (descontador) antecipa ao cliente (descontário) o valor de um crédito. Assinale: (A) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. (B) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. (C) se somente a afirmativa III estiver correta. (D) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. (E) se todas as afirmativas estiverem corretas. RESOLUÇÃO: Vamos analisar cada afirmativa separadamente: I. O desconto racional (por dentro), no regime de capitalização simples, é dado pela diferença entre o valor futuro e o valor presente. Em qualquer operação de desconto, sabemos que D = N – A, isto é, o desconto é a diferença entre o valor nominal, de face ou futuro (N) e o valor atual ou presente (A). Item VERDADEIRO. II. O desconto comercial (por fora), no regime de capitalização simples, é dado pela relação D = VF*d*n, no qual VF é o valor futuro, d é a taxa de desconto por período e n é o número de períodos de desconto. No desconto comercial simples, sabemos que: (1 )A N j t= × − × Por definição, D = N – A. Portanto, podemos efetuar a seguinte manipulação algébrica: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� = − = − × − × = − + × × = × × (1 ) D N A D N N j t D N N N j t D N j t A expressão acima é idêntica a D = VF*d*n, onde VF = N, d = j e n = t. Item VERDADEIRO. III. o desconto bancário é o contrato pelo qual o banco (descontador) antecipa ao cliente (descontário) o valor de um crédito. VERDEIRO. Uma operação de desconto é aquela onde o cliente entrega um título de crédito (ex.: cheque) ao banco, antes da data do vencimento do mesmo, recebendo por ele uma quantia inferior ao valor de face (valor nominal) do título, uma vez que o desconto efetuado é a própria remuneração do banco. Resposta: E 26. FCC – Banco do Brasil – 2011) Uma duplicata no valor de R$ 6 900,00 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento. Considerando que a taxa anual de desconto comercial simples foi de 48%, então, se o valor atual dessa duplicata era X reais, é correto afirmar que (A) X � 5 700. (B) 5 700 < X � 5 800. (C) 5 800 < X � 5 900. (D) 5 900 < X � 6 000. (E) X > 6 000. RESOLUÇÃO: Temos N = 6900 reais, t = 3 meses, j = 48% ao ano. Podemos dizer que j = 4% ao mês, pois em juros simples a taxa proporcional é também a taxa equivalente. Desta forma, o valor atual X é dado por: A = N x (1 – j x t) X = 6900 x (1 – 0,04 x 3) X = 6072 reais Portanto, X > 6000 reais. Resposta: E 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 27. FCC – Banco do Brasil – 2011) Uma duplicata foi descontada em R$ 700,00, pelos 120 dias de antecipação. Se foi usada uma operação de desconto comercial simples, com a utilização de uma taxa anual de desconto de 20%, o valor atual do título era de: (A) R$ 7 600,00. (B) R$ 8 200,00. (C) R$ 9 800,00. (D) R$ 10 200,00. (E) R$ 10 500,00. RESOLUÇÃO: Temos um desconto D = 700 reais, prazo de antecipação t = 1/3 ano (120 dias, utilizando a convenção do ano comercial de 360 dias) e j = 20% ao ano. Assim, D = N – A 700 = N – A N = 700 + A A = N x (1 – j x t) A = (700 + A) x (1 – 0,20 x 1/3) A = 653,33 + 0,9333A A = 9795,09 reais Resposta: C 28. FGV – ICMS/RJ – 2011) O valor do desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 25.000,00, se o prazo de vencimento é de 2 anos e a taxa de desconto é de 25% ao ano, é (A) R$ 6.500,00. (B) R$ 5.875,50. (C) R$ 7.247,50. (D) R$ 7.500,00. (E) R$ 9.000,00. RESOLUÇÃO: Temos N = 25000, t = 2 anos e j = 25% ao ano. Portanto, na fórmula do desconto racional composto, temos: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� (1 )t NA j= + = = + 2 25000 16000(1 0,25)A Portanto, o valor do desconto é: D = N – A D = 25000 – 16000 = 9000 Resposta: E 29. FGV – ICMS/RJ – 2011 – Adaptada) A respeito dos conceitos relacionados ao cálculo de montantes sob juros compostos(sendo VF o Valor Futuro, VP o Valor Presente, n o número de períodos e i a taxa de juros), analise as afirmativas a seguir: I. O Valor Futuro quando os juros são contínuos pode ser determinado por VF = VP i n. II. O número de períodos pode ser determinado pela fórmula n = ln(FV / PV) / ln(1 + i). III. O cálculo da taxa de juros é determinado por i = (FV / PV)1/n – 1. Assinale (A) se apenas as afirmativas I e II estiverem corretas. (B) se apenas as afirmativas II e III estiverem corretas. (C) se apenas as afirmativas I e III estiverem corretas. (D) se apenas a afirmativa III estiver correta. (E) se todas as afirmativas estiverem corretas. RESOLUÇÃO: Vamos analisar cada item. Antes, porém, repare que nessa questão não estão sendo usadas as letras M, C, j e t que estamos acostumados, mas sim VF, VP, i e n, respectivamente. I. O Valor Futuro quando os juros são contínuos pode ser determinado por VF = VP i n. FALSO. Sabemos que, no regime de juros contínuos (capitalização contínua), VF = VP x en x i. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� Repare que a fórmula VP x i x n é, na verdade, o valor referente aos juros em um regime de capitalização simples (J = C x j x t). II. O número de períodos pode ser determinado pela fórmula n = ln(FV / PV) / ln(1 + i). No regime de juros compostos, temos VF = VP x (1 + i)n. Para obter o valor de n, podemos isolá-lo efetuando a seguinte manipulação matemática: (1 ) (1 ) ln ln(1 ) ln ln(1 ) ln ln(1 ) n n n VF VP i VF i VP VF i VP VF n i VP VF VP n i = × + = + � � = +� � � � � � = × +� � � � � � � � � � = + Veja que a última fórmula reproduz aquela presente no enunciado deste item, desde que você considere FV = VF e PV = VP. Item VERDADEIRO. III. O cálculo da taxa de juros é determinado por i = (FV / PV)1/n – 1. Vamos manipular a fórmula de juros compostos de modo a isolar a variável “i”: 1 1 (1 ) (1 ) 1 1 n n n n VF VP i VF i VP VFi VP VFi VP = × + = + � � + = � � � � � � = −� � � � Chegamos à fórmula do enunciado, considerando FV = VF e PV = VP. Item VERDADEIRO. Resposta: B 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 30. FGV – ICMS/RJ – 2011) A tabela representa uma tabela de fatores para o cálculo do Valor Presente sob o regime de juros compostos, sendo as linhas as diferentes taxas e as colunas os diferentes períodos (meses). Utilizando-se a tabela, o Valor Presente (descontando- se os centavos) de um título cujo valor nominal é de R$ 3.500,00 com prazo de vencimento de 6 meses, a uma taxa de 4% ao mês, é (A) R$ 2.467,00. (B) R$ 2.766,00. (C) R$ 2.772,00. (D) R$ 3.301,00. (E) R$ 2.991,00. RESOLUÇÃO: Aqui temos N = 3500, t = 6 meses e j = 4% ao mês. Na tabela, veja que encontramos o fator 0,790315 para 6 meses e 4%. Portanto, o valor atual do título é: A = 3500 x 0,790315 = 2766,10 reais Resposta: B 31. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias. I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50. II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de (A) R$ 27.200,00 (B) R$ 27.800,00 (C) R$ 28.000,00 (D) R$ 28.160,00 (E) R$ 28.401,60 RESOLUÇÃO: A partir dos dados do desconto efetuado no banco A, podemos calcular o valor nominal do título, para em seguida descobrir o valor atual que seria recebido no banco B. Veja: � BANCO A: j = 2% ao mês, t = 1,5 mês (45 dias), A = 28178,50 reais, desconto comercial simples. A = N x (1 - j x t) 28178,50 = N x (1 – 2% x 1,5) N = 29050 reais � BANCO B: N = 29050 reais, j = 2,5% ao mês, t = 1,5 mês, desconto racional simples. N = A x (1 + j x t) 29050 = A x (1 + 2,5% x 1,5) A = 28000 reais Resposta: C 32. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a (A) R$ 40.000,00 (B) R$ 36.000,00 (C) R$ 34.000,00 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� (D) R$ 32.000,00 (E) R$ 30.000,00 RESOLUÇÃO: No caso do desconto racional composto, temos A = 25000 reais, t = 2 anos e j = i. Portanto, N = A x (1 + j)t N = 25000 x (1 + i)2 No caso do desconto comercial composto, temos A = 23040, t = 2 anos e j = i. Logo, A = N x (1 – j)t 23040 = N x (1 – i)2 Substituindo N por 25000 x (1 + i)2 nesta última equação, temos: 23040 = [25000 x (1 + i)2] x (1 – i)2 23040 = 25000 x [(1 + i) x (1 – i)]2 23040 = 25000 x (1 – i2)2 (1 – i2)2 = 0,9216 (1 – i2) = 0,96 i2 = 0,04 i = 0,2 = 20%aa Desta forma, podemos utilizar uma das equações de desconto para obter o valor de N: 23040 = N x (1 – 20%)2 23040 = N x 0,82 N = 36000 reais Resposta: B 33. ESAF – ISS/RJ – 2010) Um título sofre um desconto simples por fora de R$2.500,00 quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Qual é o valor mais próximo do valor nominal do título? a) R$ 22.500,00 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� b) R$ 25.000,00 c) R$ 17.500,00 d) R$ 20.000,00 e) R$ 27.500,00 RESOLUÇÃO: Temos D = 2500 reais, t = 4 meses, j = 2,5% ao mês, desconto simples por fora. Assim, D = N – A 2500 = N – A A = N – 2500 A fórmula do desconto simples por fora nos diz que: A = N x (1 – j x t) (N – 2500) = N x (1 – 2,5% x 4) N – 2500 = 0,9N N – 0,9N = 2500 0,1N = 2500 N = 25000 reais Resposta: B 34. FCC – ISS/SP – 2007) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado no dia primeiro de junho e no último dia de julho foi resgatado todo o montante de R$ 11.082,30. Nesse período, as taxas de inflação foram, respectivamente: Junho: 2% Julho: 2,5% A taxa real desse investimento, nesse período, foi de (A) 6,32% (B) 6,00% (C) 5,50% (D) 5,00% (E) 4,50% RESOLUÇÃO: A taxa aparente deste investimento é dada por: 83395105172 ����������� � � ������������������������������ ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 11082,30 = 10000 x (1 + jn) jn = 0,10823 = 10,823% A inflação acumulada é: (1 + i) = (1 + 0,02) x (1 + 0,025) 1 + i = 1,0455 i = 0,0455 = 4,55% Portanto, a taxa real do investimento é: (1 + jreal) = (1 + 10,823%) / (1 + 4,55%) jreal = 6% Resposta: B 35. FCC - ISS/SP - 2012) Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, foram descontados hoje, com desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma de seus valores nominais é R$5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$5.005,00. O maior dos valores nominais supera o menor deles em: a) R$ 1.502,50 b) R$ 1.484,00 c) R$ 1.417,50 d) R$ 1.215,50 e) R$ 1.195,00 RESOLUÇÃO: Sabemos que, no caso do desconto racional composto, a relação entre o valor nominal e o valor atual de um título é dada por: (1 )t NA j= + O primeiro título tem vencimento em 30 dias (t = 1 mês), e o segundo em 60 dias (t = 2 meses), e ambos tem taxa j = 5% ao mês. Assim, podemos dizer que: = 1 1 1,05 NA � = ×1 1 1,05N A e 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� = = 2 2 2 2(1,05) 1,1025 N NA � = ×2 2 1,1025N A Foi dito ainda que a soma dos valores nominais é de 5418 reais, ou seja: N1 + N2 = 5418 � 1,05A1 + 1,1025A2 = 5418 E a soma dos valores líquidos recebidos, ou valores atuais, é de 5005 reais: A1 + A2 = 5005 � A2 = 5005 – A1 Com essas duas equações, podemos obter os valores de A1 e A2, substituíndo esta expressão encontrada na última equação na anterior: 1,05A1 + 1,1025 (5005 – A1) = 5418 1,05A1 + 5518,01 – 1,1025 A1 = 5418 A1 = 1905 Com isso, temos: A2 = 5005 – A1 = 5005 – 1905 = 3100 = × = × =1 1 1,05 1905 1,05 2000,25N A = × = × =2 2 1,1025 3100 1,1025 3417,75N A Portanto, N2 – N1 = 1417,5, ou seja, o maior valor nominal supera o menor em 1417,5 reais. Resposta: C 36. FCC – ARCE – 2012) Um título de valor nominal R$ 1.100,00 vai ser descontado à taxa de 5% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Sejam: V1: o valor líquido a ser recebido se for utilizado o desconto simples comercial; V2: o valor líquido a ser recebido se for utilizado o desconto simples racional e V3: o valor líquido a ser recebido se for utilizado o desconto composto racional. É verdade que (A) V1 < V2 < V3 (B) V1 < V3 < V2 (C) V1 < V3 = V2 (D) V1 + V2 = R$ 1.999,00 (E) V3 − V2 = R$ 0,03 RESOLUÇÃO: 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� Temos N = 1100 reais, j = 5% ao mês, t = 2 meses. Vejamos qual seria o valor atual do título (ou valor líquido a ser recebido) para cada tipo de desconto solicitado pelo enunciado: V1 = 1100 x (1 – 0,05 x 2) = 990 reais V2 = 1100 / (1 + 0,05 x 2) = 1000 reais V3 = 1100 / (1 + 0,05)2 = 997,7 reais Logo, V1 < V3 < V2. Resposta: B Obs.: veja que ordenar V2 e V3 seria fácil, não necessitando efetuar cálculos. V2 é maior que V3, afinal (1 + 0,05 x 2) deve ser menor que (1 + 0,05)2 , pois em juros compostos o fator é maior para a mesma taxa de juros e tempo (desde que t > 1). Entre V1 e V2 também seria fácil ordenar, pois o desconto comercial é mais gravoso que o desconto racional (e, portanto, V1 < V2) – não é por outro motivo que os bancos preferem o desconto comercial... 37. FCC – TCE/PR – 2011) Um título de valor nominal igual a R$ 25.200,00 é descontado 75 dias antes de seu vencimento e seu valor atual é igual a R$ 24.444,00. Sabe-se que a operação foi a de desconto comercial simples e utilizou- se a convenção do mês comercial. A taxa anual de desconto desta operação foi de a) 14,4%. b) 15,6%. c) 16,8%. d) 18,0% e) 19,2%. RESOLUÇÃO: O enunciado informa que N = 25200 e A = 24444. Diz ainda que t = 75 dias. Considerando a convenção do mês comercial (30 dias), temos t = 75/30 = 2,5 meses. Desta forma, na operação de desconto comercial simples, A = N x (1 – j x t) 24444 = 25200 x (1 – j x 2,5) j = 1,2% ao mês 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� No regime de juros simples, a taxa proporcional é a própria taxa equivalente. Assim, a taxa anual equivalente a 1,2% ao mês é: 12 x 1,2% = 14,4% ao ano Resposta: A 38. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O valor do desconto de um título, em um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este título foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma operação de desconto comercial simples e considerando a convenção do ano comercial. A taxa anual de desconto correspondente é igual a a) 12% b) 15% c) 18% d) 20% e) 24% RESOLUÇÃO: O enunciado diz que o desconto (D) é igual a 2,5% do valor nominal (N). Isto é, D = N – A 2,5% x N = N – A A = 0,975N Além disso, é sabido que t = 50 dias, ou melhor, t = 50/360 ano (uma vez que é pedida a taxa anual – note que consideramos o ano comercial de 360 dias, como disse o enunciado). Deste modo, considerando o desconto comercial simples, temos: A = N x (1 – j x t) 0,975N = N x (1 – j x 50/360) 0,975 = 1 – j x 50/360 j x 50/360 = 0,025 j = 0,18 = 18% Resposta: C 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 39. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa de 10% ao ano, o valor atual seria de a) R$ 21.780,00 b) R$ 21.600,00 c) R$ 20.702,00 d) R$ 19.804,00 e) R$ 19.602,00 RESOLUÇÃO: O enunciado diz que A = 20000 reais, j = 10% ao ano, t = 2 anos, desconto racional composto. Assim, o seu valor nominal é: N = A x (1 + j)t = 20000 x (1 + 10%)2 = 24200 reais Se este título tivesse sido descontado segundo o desconto comercial composto, teríamos: A = N x (1 – j)t = 24200 x (1 – 10%)2 = 19602 reais Resposta: E 40. FCC – TRE/SP – 2012) Em uma mesma data, uma empresa desconta dois títulos da seguinte maneira: I. O primeiro título, de valor nominal igual a R$ 25.000,00, foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2% ao mês. II. O segundo título foi descontado 2 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabe-se que para o primeiro título considerou-se a operação de desconto comercial simples e para o segundo título a de desconto racional simples. Se a soma dos respectivos valores atuais foi igual a R$ 43.000,00, então o valor nominal do segundo título é igual a (A) R$ 21.000,00. (B) R$ 21.500,00. (C) R$ 22.000,00. (D) R$ 22.500,00.83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� (E) R$ 23.000,00. RESOLUÇÃO: Sobre o primeiro título, sabemos que: - N1 = 25000 reais, - t = 4 meses de antecipação, - j = 2% ao mês, - desconto comercial simples. Logo, seu valor atual (A1)é: A1 = N1 x (1 – j x t) A1 = 25000 x (1 – 0,02 x 4) = 23000 reais Como a soma dos valores atuais dos títulos é 43000 reais, então: A1 + A2 = 43000 23000 + A2 = 43000 A2 = 20000 reais Sobre este segundo título, sabemos ainda que: - t = 2 meses de antecipação - j = 2,5% ao mês - desconto racional simples Assim, seu valor nominal é dado por: N2 = A2 x (1 + j x t) N2 = 20000 x (1 + 0,025 x 2) = 21000 reais Resposta: A 41. FCC – BANESE – 2012) Um título de valor nominal igual a R$ 24.000,00 é descontado 3 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 2% ao mês. Outro título é descontado 2 meses antes de seu vencimento também a uma taxa de desconto de 2% ao mês. Sabe-se que o valor atual do primeiro título é igual ao valor atual do segundo título. Se nas duas operações utilizou-se o desconto comercial simples, então o valor do desconto do segundo título é (A) R$ 940,00. 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� (B) R$ 1.065,00. (C) R$ 1.190,00. (D) R$ 1.315,00. (E) R$ 1.440,00. RESOLUÇÃO: Sobre o primeiro título, temos: - N1 = 24000 reais, - t = 3 meses de antecipação, - j = 2% ao mês, - desconto comercial simples. Assim, seu valor atual é: A1 = N1 x (1 – j x t) = 24000 x (1 – 0,02 x 3) = 22560 reais Sabe-se que o valor atual do primeiro título é igual ao valor atual do segundo título. Portanto, A2 = A1 = 22560 reais. Além disso, sobre o segundo título sabemos: - t = 2 meses de antecipação, - j = 2% ao mês, - desconto comercial simples. Logo, seu valor nominal é dado por: A2 = N2 x (1 – j x t) 22560 = N2 x (1 – 0,02 x 2) N2 = 23500 reais E o desconto dado no segundo título é: D2 = N2 – A2 = 23500 – 22560 = 940 reais Resposta: A 42. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2012) A diferença entre os descontos racional e comercial de um título para 3 meses, à taxa de 120% a.a., é R$ 500,00. O valor nominal do título é: A) R$ 7.839,72 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� B) R$ 8.732,02 C) R$ 7.222,22 D) R$ 7.500,00 E) R$ 7.938,70 RESOLUÇÃO: Seja N o valor nominal do título. A taxa de 120%aa pode ser convertida para a taxa efetiva de 10% ao mês. Aplicando o desconto racional simples temos: = + × = 1 0,10 3 / 1,3 NA A N Assim, o desconto racional é Dr = N – A = N – N/1,3 Aplicando o desconto comercial temos: = × − × =(1 0,10 3) 0,7A N N Desse modo, o desconto comercial é Dc = N – 0,7N = 0,3N O enunciado disse que Dc – Dr = 500, ou seja: 0,3 ( /1,3) 500 0,39 (1,3 ) 650 0,09 650 7222,22 N N N N N N N N − − = − − = = = Resposta: C Considere a tabela abaixo para resolver a próxima questão 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 43. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Num Certificado de Depósito Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 (noventa) dias para o seu vencimento, e que a taxa de desconto é de 3,8% ao mês, o valor do desconto concedido foi de: A) R$ 22.990,00 B) R$ 21.991,23 C) R$ 21.994,57 D) R$ 21.888,88 E) R$ 22.189,11 RESOLUÇÃO: Utilizando a fórmula de desconto comercial composto, e lembrando que 90 dias = 3 meses (considerando o mês comercial de 30 dias), temos: (1 )tA N j= × − = × − = ×3 3200000 (1 0,038) 200000 (0,962)A Como a tabela forneceu (0,962)3 = 0,89027713, então: A = 178055,42 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� O desconto foi de: D = N – A = 21944,57 reais Resposta: C ATENÇÃO: utilize as tabelas abaixo para resolver as questões da prova CEPERJ – PROCON/RJ – 2012 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 44. CEPERJ – PROCON/RJ – 2012) Um título descontado 5 meses antes do seu vencimento sofreria um desconto de R$ 930,00 se fosse utilizado o desconto comercial simples. Porém uma negociação fez com que fosse utilizado o desconto racional composto. Se a taxa de desconto utilizada nas duas operações é de 3% ao mês, o valor do novo desconto é igual a: A) R$ 834,20 B) R$ 851,95 C) R$ 885,40 D) R$ 907,35 E) R$ 925,70 RESOLUÇÃO: Inicialmente foi dito que o desconto era D = 930 reais. Como D = N – A, temos que: 930 = N – A A = N – 930 No desconto comercial simples, sabemos que: A = N x (1 – j x t) N – 930 = N x (1 – 0,03 x 5) N – 930 = 0,85N 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 0,15N = 930 N = 6200 reais No caso do desconto racional composto, teríamos: N = A x (1 + j)t 6200 = A x (1 + 0,03)5 Da tabela de fator de acumulação de capital fornecida, temos que (1 + 0,03)5 = 1,1593. Portanto, 6200 = 1,1593A A = 5348,05 reais Neste caso, o desconto foi: D = 6200 – 5348,05 = 851,94 reais Resposta: B 45. CEPERJ – PROCON/RJ – 2012) Roberta possui um título para ser resgatado no valor de R$11.500,00 a vencer em 3 meses. A taxa de desconto racional simples utilizada na operação é de 5% ao mês. O valor do desconto é igual a: A) R$ 1.250,00 B) R$ 1.500,00 C) R$ 1.750,00 D) R$ 1.900,00 E) R$ 2.050,00 RESOLUÇÃO: No desconto racional simples, temos: N = A x (1 + j x t) 83395105172 ����������� � � ��������������� ��������������� ������ ��������������� ��������� ������ ��������������� !�∀���#!�∃%� � � � ��������������� !�������������������������������� ��� ���������������������������������������������������������������������� 11500 = A x (1 + 0,05 x 3) A = 10000 reais O desconto foi de D = N – A = 11500 – 10000 = 1500 reais. Resposta: B Observe os dados abaixo e responda as questões da prova CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2013 46. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2013) Um título foi descontado 5 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês. Sabe-se que esta operação produziu um desconto de R$ 39.000,00. Admitindo-se
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