LEI DOS COSSENOS

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Lei dos cossenos 
A lei dos cossenos permite encontrar o valor da medida de um lado de um 
triângulo qualquer se a medida dos outros lados e o ângulo por eles formado 
forem conhecidos. 
 
Conheça a lei dos cossenos, uma propriedade trigonométrica que pode ser aplicada em qualquer 
triângulo 
Algumas das propriedades trigonométricas que estudamos são válidas apenas 
para triângulos retângulos, mas existem propriedades que podem ser aplicadas em 
quaisquer triângulos, tais como alei dos senos e a lei dos cossenos, sobre a qual 
falaremos mais detalhadamente. 
A lei dos cossenos pode ser aplicada a qualquer triângulo. No triângulo acutângulo a 
seguir, vamos traçar sua altura (h), isto é, uma reta saindo do vértice A que forma um 
ângulo de 90° com o lado BC: 
 
Ao traçar a altura de um triângulo acutângulo, transformamos esse triângulo em dois triângulos retângulos. 
Para facilitar a análise desse triângulo, identificamos como b o lado oposto ao 
vértice B, c como o lado oposto ao vértice C, e como o lado oposto ao vértice A foi dividido 
em duas partes, chamamos o segmento BD como m e o segmento DC como a – m. Entre 
as propriedades trigonométricas conhecidas, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no 
triângulo ABD: 
c² = m² + h² → h² = c² – m² 
Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, agora para o triângulo ADC, teremos: 
b² = h² + (a – m)² 
Substituindo nessa equação o valor encontrado anteriormente para h², teremos: 
b² = h² + (a – m)² 
b² = c² – m² + (a – m)² 
b² = c² – m² + a² – 2am + m² 
b² = c² + a² – 2am 
Mas a medida do comprimento do lado m pode ser dada através de: 
cos = m → m = c . cos 
 c 
Substituindo o valor encontrado para m na fórmula anterior, teremos: 
b² = c² + a² – 2am 
b² = c² + a² – 2ac.cos 
Essa equação encontrada é o que chamamos de “Lei dos Cossenos”. Analogamente ao 
que foi feito, podemos escrever outras duas equações que compõem também a lei dos 
cossenos: 
c² = a² + b² – 2ab.cos 
a² = b² + c² – 2bc.cos  
Podemos então definir que, em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um 
lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos o 
dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por 
esses lados. A lei dos cossenos pode ser também aplicada a triângulos retângulos e 
obtusângulos. 
Vejamos a resolução de um exemplo: 
Considere um triângulo que possui dois lados de medidas 10 e 12 cm. O encontro 
desses lados forma um ângulo de 60°. Qual é o valor da medida do terceiro lado do 
triângulo? 
Para iniciar a resolução desse problema, vamos fazer um esboço do triângulo descrito: 
 
Esboço do triângulo descrito no exemplo 1 
Seja a = 12, b = x, c = 10 , = 60°, aplicando a lei dos cossenos, teremos: 
b² = c² + a² – 2ac.cos 
x² = 10² + 12² – 2.12.10.cos 60° 
x² = 100 + 144 – 240.½ 
x² = 244 – 120 
x² = 124 
x = √124 
x = 2√31 cm 
x ≈ 11,13 cm 
Portanto, o terceiro lado do triângulo mede aproximadamente 11,13 cm.