lista 2 de EA monitoria

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS ARAPIRACA - MATEMA´TICA
Estruturas Alge´bricas I
Prof. Eben Silva Lista de exerc´ıcios 2 - monitoria 2014.2
Conteu´do: Homomorfismo de grupos. Ane´is.
1. Sejam G e J grupos, com as operac¸o˜es ⊕ e �, respectivamente, e f : G −→ J um homomorfismo.
Prove que: se H e´ um subgrupo de G enta˜o f(H) e´ um subgrupo de J .
2. Sejam G, J e L grupos. Se f : G −→ J e g : J −→ L sa˜o homomorfismos mostre que g◦f : G −→ L
tambe´m e´.
3. Em cada item abaixo verifique se f e´ um homomorfismo e, em caso positivo, verifique quais sa˜o
injetores, quais sa˜o sobrejetores e determine o nu´cleo de cada um.
(a) f : Z −→ Z dada por f(x) = kx, sendo Z o grupo aditivo dos inteiros e k um inteiro dado.
(b) f : R∗ −→ R∗ dada por f(x) = |x|, sendo R∗ o grupo multiplicativo dos reais.
(c) f : R −→ R dada por f(x) = x + 1, sendo R∗ o grupo aditivo dos reais.
(d) f : Z −→ Z× Z dada por f(x) = (x, 0) em que Z e Z× Z denotam grupos aditivos.
(e) f : Z −→ R∗+ dada por f(x) = 2x, em que Z e´ um grupo aditivo e R∗+ e´ um grupo multiplicativo.
(f) f : Z× Z −→ Z dada por f(x, y) = x em que Z e Z× Z denotam grupos aditivos.
4. Mostre que ha´ pelo menos dois homomorfismos e ao menos um isomorfismo de um grupo nele
pro´prio.
5. Seja f : Q −→ Q uma func¸a˜o tal que, para quaisquer x, y ∈ Q, tem-se:
f(x + y) = f(x) + f(y) e f(x · y) = f(x) · f(y).
Mostre que f e´ a func¸a˜o identidade em Q ou f e´ a func¸a˜o constante igual a zero.
6. Prove que se A,+, · e´ um anel enta˜o sa˜o va´lidas, para quaisquer x, y, z ∈ A, as seguintes proprieda-
des:
(a) 0 · x = x · 0 = 0, onde 0 e´ o elemento neutro da soma;
(b) −(x · y) = (−x) · y = x · (−y);
(c) (−x) · (−y) = x · y;
(d) x · (y − z) = x · y − x · z e (y − z) · x = y · x− z · x.
E se A for um anel com unidade:
(e) (−1) · x = −x, onde 1 e´ elemento neutro da multiplicac¸a˜o;
(f) (−1) · (−1) = 1;
1
(g) (−1) · (−x) = x.
7. Sejam A um domı´nio de integridade e a, b, c ∈ A. Prove que se a 6= 0 e ab = ac enta˜o b = c.
8. Mostre que o anel C[0, 1] das func¸o˜es reais cont´ınuas definidas em [0, 1], com as operac¸o˜es usuais,
possui divisores de zero.
9. Sejam D um domı´nio de integridade e a ∈ D, com a 6= 0. Enta˜o
(a) A func¸a˜o ϕa : D −→ D, dada por ϕa(x) = a · x, e´ injetiva.
(b) Se D e´ finito enta˜o D e´ um corpo.
10. Mostre que o conjunto F(R) das func¸o˜es reais com a soma usual e o produto: (f · g)(x) = g(f(x)),
para todo x ∈ R, na˜o e´ um anel.
2