Apostila Aritmética computacional Equações não lineares Sistemas de equações

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1
nunesp CAMPUS DE GUARATINGUETÁ
 
Computação e Cálculo Numérico 
Prof. G.J. de Sena - Depto. de Matemática – Ed. 2008 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE 
 
1.1. Representação de Números num Sistema de Aritmética de 
Ponto Flutuante 
 
O Sistema Computacional de Aritmética de Ponto Flutuante é 
utilizado por calculadoras e computadores na representação dos 
números e execução das operações. Um número qualquer na base β 
em aritmética de ponto flutuante de t dígitos tem a forma: 
eddd t ββ ×± )...(. 21 
onde 
• ( )tddd .... 21 é a mantissa, 10 −≤≤ βjd , tj K,1= ; 
• e é um expoente num intervalo [m, M]. 
 
Observações: 
• Os parâmetros m, M dependem da máquina utilizada. 
• Um número em aritmética de ponto flutuante está normalizado 
se 01 ≠d . 
• O número máximo de dígitos da mantissa (t) é definido em 
termos do comprimento da palavra do computador. 
• Dado um número N, sua representação em aritmética de ponto 
flutuante de t dígitos é efetuada por truncamento ou 
arredondamento. 
• Erros decorrentes da impossibilidade de se representar um 
número dado: 
"Overflow" SE e M> 
"Underflow" SE e m< 
Preservamos o máximo de exatidão normalizando todos os resultados. 
 
Exemplo: Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante: 
4,4,3,10 −==== mMtβ 
 REPRESENTAÇÃO 
x ARREDONDAMENTO TRUNCAMENTO 
1,25 
2.71828 
-238.15 
0.000007 
718235.82 
0.125 × 10 
0.272 × 10 
-0.238 × 103 
- 
- 
0.125 × 10 
0.271 × 10 
-0.238 × 103 
- 
-
 
 
Uma representação com t dígitos na mantissa é dada estar em precisão 
simples. Um sistema de precisão dupla é um sistema de aritmética de 
ponto flutuante com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis 
para a mantissa. 
 
 
 2
Exemplo [FRANCO, 2006]: 
Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante com as seguintes 
características: 
β = 2, t = 3, m = -1, M = 2 
Quantos números podem ser representados neste sistema? Quais são 
estes números? 
 
Resolução: 
Os números abaixo de cada elemento da representação indicam o 
número de possibilidades na respectiva posição: 
{ {{{ {
42
3
2
2
1
1
2
.0 eddd β×± 
Assim, a quantidade de números que pode ser representada é dada por: 
+=×××× 3242212 Representação do zero = 33 números. A tabela 
a seguir apresenta os números positivos possíveis neste sistema e a 
representação do zero. 
 
12100.0 −× 12101.0 −× 12110.0 −× 12111.0 −× 
02100.0 × 02101.0 × 02110.0 × 02111.0 × 
12100.0 × 12101.0 × 12110.0 × 12111.0 × 
22100.0 × 22101.0 × 22110.0 × 22111.0 × 
 ZERO = 12000.0 −× 
 
 
Exemplo: 
Representar, no sistema de aritmética de ponto flutuante anterior, os 
seguintes números: 
38.01 =x , 3.52 =x e 15.03 =x (números na base 10) 
 
Resolução: 
a) 38.01 =x 
Como a base do sistema é 2, é preciso converter os números para esta 
base1. 
210 011000010.038.0 K= 
1
1 2110.0 −×+=∴ x 
 
b) 3.52 =x 
210 1015 = 210 0100110011.03.0 K= 
⇒ 210 0100110011.1013.5 K= 
3
2 2101.0 ×=∴ x (não pode ser representado: overflow). 
 
c) 15.03 =x 
210 10010011001.015.0 K= 
2
3 2100.0
−×=∴ x (não pode ser representado: underflow). 
 
 
1
 Para maiores detalhes sobre o processo de conversão, veja o apêndice no final do 
capítulo. 
 
 3
Exercícios [FRANCO, 2006]: 
1) Considere o sistema de aritmética de ponto flutuante: 
β = 10, t = 3, m = -5, M = 5 
Efetue as operações indicadas: 
a) (1.386 – 0.987) + 7.6485 
b) 1.386 – (0.987 – 7.6485) 
c) 
577.4
038.2338.1 −
 
d) 





−





577.4
038.2
577.4
338.1
 
 
2) Para a expressão a seguir: 
85.1716.3
617.9
471.3
678.17 2
×
+=x , pede-se: 
a) Calcular x diretamente com o auxílio de uma calculadora (ou 
seja, sem utilizar um sistema de aritmética de ponto flutuante 
específico). 
b) Calcular x considerando o sistema: 
 β = 10, t = 3, m = -4, M = 3 (arredondamento) 
 
3) Considere o polinômio a seguir: 
2.28.16.03.2)( 22 −+−= xxxxP 
Seja calcular o valor numérico de )(xP para 61.1=x . Ped-se: 
a) Calcular )61.1(P usando uma calculadora. 
b) Calcular )61.1(P considerando o sistema: 
 β = 10, t = 3, m = -4, M = 3 (arredondamento) 
 
1.2. ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS 
 
ERRO ABSOLUTO: É a diferença entre o valor exato de um número 
x e seu valor aproximado x : 
EA x x
X
= − 
 
Exemplo: ( )pi pi∈ 314 315. , . , um valor tomado dentro deste 
intervalo, 
EA
pi
pi pi= − < 0 01. (limitante superior p/ o módulo do erro) 
 
Exemplo: 
( )x x
EA
x
=
⇒ ∈
<
2112 9
2112 8 2113
01
.
. ,
.
 
( )
1.0
4.5,2.5
3.5
<
∈⇒
=
yEA
y
y
 
 
 
 4
ERRO RELATIVO: É o quociente do erro absoluto pelo valor 
aproximado: 
ER
EA
x
x x
x
x
x
= =
−
 
 
Exemplo:
 
1.0
107,4
9.2112
1.0
9.2112
5
<
×≅<=⇒
=
−
x
x
x
EA
x
EA
ER
x
 
1.0
02.0
3.5
1.0
3.5
<
≅<=⇒
=
y
y
y
EA
y
EA
ER
y
 
 
∴ o erro relativo fornece uma indicação do grau de precisão da 
representação. 
 
 
1.3. ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO 
EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO 
FLUTUANTE 
 
Se um dado número x não tem representação finita na base numérica 
empregada numa máquina, ou se o comprimento da palavra não 
comporta x, uma aproximação será obtida por arredondamento ou por 
truncamento. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de t 
dígitos (base 10); x pode ser escrito na forma: 
 
 
.10 11.01010 <≤<≤×+×= − xx
te
x
e
x gefondegfx
 
Exemplo: 
7.02345.0
107.0102345.0
57.234,4
13
==⇒
×+×=
==
−
xx gef
x
xt
 
 
 
TRUNCAMENTO: 
O termo
 
dodespreza é10 texg
−× . Portanto, exfx 10×= 
 ter)pode f que mínimo valor o é 0.1 (pois
10
101.0
10
10
10
)1|g| (pois1010
x
1
x
+−
−
−
−−
=
×
<
×
×
==
<<×=−=
t
e
te
e
x
te
xx
x
tete
xx
f
g
x
EA
ER
gxxEA
 
 
ARREDONDAMENTO: 
 
Arredondamento simétrico: 






≥+×
<×
=
−
2
1
,1010
2
1
,10
x
tee
x
x
e
x
gsef
gsef
x 
 
 
 5
110
2
1
101.0
1021
10
10
10
2
110
:
2
1
+−
−
−
−−
×=
×
×
<
×
×
==
×<×=−=
<
t
e
te
e
x
te
xx
x
tete
xx
x
f
g
x
EA
ER
gxxEA
gSe
 
 
Se :21≥xg 
( ) ( )
( ) tetex
tete
x
tee
x
te
x
e
xx
xg
g
fxgfxxEA
−−
−−
−−
×≤×−=
−×=
+×−+×=−=
10
2
1101 
1010 
10101010
 
 
 
10
2
1
101.0
1021
10
1021
1010
1021 1+−−−
−
−
×=
×
×
<
×
×
<
+×
×≤= t
e
te
e
x
te
tee
x
te
x
x ffx
EA
ER
 
 
RESUMO 
 
TRUNCAMENTO
 
EA
ER
x
e t
x
t
<
<
−
− +
10
10 1
 
ARREDONDAMENTO 
110
2
1
10
2
1
+−
−
×<
×<
t
x
te
x
ER
EA
 
 
 
Exemplo: 
2
4
101272.0
? 
10937.0
×=
=+
×=
y
yx
x
 
 
Resolução: 
A mantissa do número de menor expoente deve ser deslocada para a 
direita de um número de casas igual à diferença entre os dois 
expoentes. 
 
{
4
24
4 10127200.010937.0 ×=×=
−
yx 
44 344 21
exato resultado
44 10938272.010)001272.0937.0( ×=×+=+∴ yx 
Para um sistema com t = 4: 
4109382.0 xyx =+ (truncamento)4109383.0 xyx =+ (arredondamento) 
 
Para o caso de arredondamento: 
5109841.2
9383.0
9383.0938272.0)()(
−
+ ×=
−
=
+
+−+
=
yx
yxyxER yx
4141 10510
2
110
2
1
−+−+− ×==< t 
 
 
 
 6
Exemplo:
 
1
2
1
103290.0
101246.0
−×=
×=
x
x
 
( )
)( 101278.101278. 
10003290.1246. 103290.101246.
1
21
1
111
21
otruncamentxx
xx
×=+∴×=
×+=×+×=+ −
 
 
Exemplo: 
x.y = ? 
 
Resolução: 
6
6
24
101191864.0
10)1272.0937.0(
)101272.0()10937.0(.
×=
××=
×××=yx
 
 
6101191.0. ×=∴ yx (truncamento). 
6101192.0. ×=yx (arredondamento). 
 
O zero em ponto flutuante é, em geral, representado com o menor 
expoente possível da máquina. O exemplo a seguir ilustra a razão 
desta necessidade. 
 
Exemplo: 
 
4
44
2
4
100012.0
10001234.010)001234.00000.0(
101234.0
100000.0
×=+⇒
=×+=+⇒
×=
×=
yx
xyx
y
x
 
 
∴ Exemplo de zero de ponto flutuante: 50100000.0 −× . 
 
1.4. PROPAGAÇÃO DE ERRO
 
 
1.4.1. Expressões de Erros para as Operações Aritméticas 
 
Obtenção de expressões para os erros absoluto e relativo no resultado 
de cada uma das quatro operações aritméticas, como funções de seus 
operandos e de seus erros. 
 
(a) Adição (x+y) 
)()()()( yxyx EAEAyxEAyEAxyx +++=+++=+ 
∴EA EA EA
x y x y+
= + 
ER
EA
x y
EA
x
x
x y
EA
y
y
x yx y
x y x y
+
+
=
+
=
+





+
+





 =. 
⇒ ER ER
x
x y
ER
y
x yx y x y+
=
+





 +
+





. 
 
 
 7
(b) Subtração (x-y) 
EA EA EA
x y x y−
= − 
ER ER
x
x y
ER
y
x yx y x y−
=
−





−
−





. 
 
(c) Multiplicação: (x.y)
 
x y x EA y EA xy xEA yEAx y y x. ( ).( )= + + = + + +
 
∴ ER x EA y EA
x y y x.
. .= + 
 
ER
x EA y EA
x y
EA
x
EA
yx y
y x x y
.
. .
.
=
+
= + 
∴ER ER ER
x y x y.
= + 
 
(d) Divisão (x/y) 
 
x
y
x EA
y EA
x EA
y EA
y
x EA
y
EA
y
x
y
x
y
x y
=
+
+
=
+
+






=
+
+






−
.
1
1
1
1
 
aproximaç ão do binômio
r nr p rn( ) , /1 1 1+ ≅ + << 
 
∴ ≅
+
−






x
y
x EA
y
EA
y
x y
. 1 
= − + −
x
y
xEAy
y
EAx
y2
 
∴ ≅ + −
∴ ≅ −
x
y
x
y
EA
y
x EA
y
EA
EA
y
x EA
y
x y
x y
x y
.
.
/
2
2
 
∴EA
y EA x EA
yx y
x y
/
. .
=
−
2 
 
ER
y EA xEA
y
y
x
EA
x
EA
yx y
x y x y
/
.
.=
−
= −2 
∴ = −ER
EA
x
EA
yx y
x y
/
 ∴ER ER ER
x y x y/
= − 
 
 
Exemplo: 
Sistema de aritmética de ponto flutuante 
 
t = 4
= 10β 





×=
×=
×=
−
1
3
4
102585.0
102145.0
107237.0
z
y
x
 números representados exatamente. 
 
 8
Efetuar as operações e obter o erro relativo no resultado 
(arredondamento) 
(a) x + y + z (d) (x y)/z 
(b) x - y -z (e) x . (y/z) 
(c) x/y 
 
Resolução de (b): 
{w x y z
s
s
= − −
1
2
124 34
 
4
1
4
4
1
107237.0
1072369998.0
10)00000002.07237.0(
×=∴
×=
×−=−=
s
yxs
 
 
 
4
2
44
12
314
1
107234.0
107234415.010)0002585.07237.0(
10
2
110
2
1
×=∴
×=×−=−=
×=×<∴ −+−
s
zss
ERs
 
ERs ERs
s
s z2 1
1
1
=
−





−.
z
s z
RA
1
−





+
 
143
2 102
1
7234.0
7237.010
2
1 +−− ×+×<∴ xERs 
 
3
4
3
2
100002.1
107234.0
100002.1
−
−−
−
×<
×=−−∴
×<
zyxER
zyx
ERs
 
 
 
Exercício: 
Supondo que x é representado num computador por x , onde x é 
obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os 
erros relativos de u=2x e w=x +x . 
Respostas: 
ERu
ERw
t
t
<
<
− +
− +
10
10
1
1 
 
Exercício: 
Idem para u=3x e w = x + x + x 
Respostas: 
ERu e ERw xt t< <− + − +10
4
3
101 1 
 
Exercício:
 
Sejam x e y as representações de x e y obtidas por arredondamento 
em um computador. Deduza expressões de limite de erro para mostrar 
 
 9
que o limite do erro relativo de u = 3x y é menor que o limite do erro 
relativo de w= .)( yxxx ++ 
Respostas: 
ER x ER xu
t
w
t< <− + − +2 10 7
3
101 1 
 
 
Exemplo: 
Resolução do item (d) do exemplo anterior: 
{
1
1
134
1
101552.0
10152336.0102145.07237.0(.
/).(
2
1
×=∴
×=×==
=
−
s
xyxs
zyxw
s
s 4321
 
 
6004.0
6003868.0
10)2585.01552.0(
10
2
1
10
2
110
2
110
2
1
2
11
12
3
1
3141
1
=∴
=
×==
<∴
×==×<∴
−
−
−+−+−
s
zss
ERs
ERs t
 
 
 
 
∴ < + =− − −ERs
2
3 3 31
2
10
1
2
10 10 
 
∴( . ) / .
( . ) /
x y z
ER x y z
=
<
−
0 6004
10 3 
 
Resolução do item (e): 
w x y z
s
s
= . ( / )
1
2
123
124 34
 
4
1
413
1
108298.0
108297872.010)2585.02145.0(
−
−−
×=
×=×==
s
zys
 
 
 
6005.0
6005262.010)8298.07237.0(.
2
44
12
=∴
=×== −
s
xsxs
 
ERs2 = ERs RA ERs1 2
3 31
2
10 1
2
10+ ∴ < +− −
 
 ⇒ < −ERs
2
310 
 
 10
 
∴( . ) / .
. ( / )
x y z
ERx y z
=
<
−
0 6005
10 3 
 
Exemplo:
 
Implementação com dígito de proteção ou dígito de guarda: 
(imediatamente à direita da mantissa do número de menor expoente). 
 
( ) 3321
2
2
3
1
1007467.1003173.1064.
103173.
101064.
×=×−=+
×−=
×=
xx
x
x
 
com dígito de guarda: x x x
1 2
27467 10+ =. 
sem digito de guarda: x x x
1 2
27460 10+ =. 
 
Exemplo:
 
 {
1
21
2
21
2
2
2
1
100655.100655.
101976.102631.
×=+∴×=+
×=×=
ivosignificat
não
zero
xxxxx
xx
 
 
Exemplo: 
99
21 10999.10999. ×=×= xx 43421 
Supor que é o maior valor possível na representação da máquina: 
 
flutuantepontodeOverflowxx ""109998.1 9921 ⇒×=+∴ 
(interrupção). 
 
 
1.4.2. Cálculo de Erros por Diferenciação de Funções Compostas 
 
Suponha que uma grandeza z dependa de duas outras, x e y, por uma 
determinada “lei”, ou seja: 
 
),( yxfz = 
 
O erro incorrido em um cálculo de z, zEA , será expresso como uma 
função dos erros xEA e yEA , das grandezas x e y respectivamente, de 
acordo com a equação: 
 
),(),( yxfEAyEAxfEA yxz −++= 
 
que pode assumir a forma [Maurer, 1968]: 
 
yxyxz EAEAEAy
fEA
x
fEA 21 ηη ++∂
∂
+
∂
∂
= 
 
onde o binômio yx EAEA 21 ηη + corresponde a um infinitésimo de 
ordem superior em relação a 
xEA e yEA . De uma forma geral, o erro 
absoluto de z, zEA , será obtido com uma aproximação suficiente pela 
diferencial total da função f, ou seja: 
 
yxz EAy
fEA
x
fEA
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
 
 11
No caso geral, se z é uma função de n variáveis, 
nxxx ,,, 21 K , 
segundo uma determinada “lei”, ou seja: 
 
),,( 21 nxxxfz K= 
 
com os erros absolutos das variáveis nxxx ,,, 21 K sendo dados por 
nxxx
EAEAEA ,,,
21
K , o erro absoluto no cálculo de z, zEA , será 
obtido a partir da diferencial total: 
 
nx
n
xxz EA
x
fEA
x
fEA
x
fEA
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
= K
21
21
 
 
Exemplo: determinar o valor de g a partir da fórmula do pêndulo 
simples, que é dada por: 
g
lT pi2=a partir dos valores medidos para l e T . Considerar cml 100= , com 
cmEAl 05,0≤ , e sT 2= , com sEAT 01,0≤ [Maurer, 1968]. 
 
Resolução: 
 
g
lT pi2= ⇒ 2
24
T
lg pi= 
 
Como g é função de l e T , diferenciando-se em relação a estas 
variáveis, obtém-se: 
 
Tlg EAT
l
T
EA
T
l
l
EA 





∂
∂
+





∂
∂
= 2
2
2
2 44 pipi
Tl EAT
lEA
T 3
2
2
2 84 pipi
−= 
 
Substituindo os valores de l e T , e dos respectivos erros absolutos, 
considerando a situação de máximo erro possível, obtém-se: 
 
( )01.0
2
100805.0
2
4
3
2
2
2
−×−×=
pipi
gEA ⇒ 363,10=gEA 
 
O erro relativo para o valor aproximado de g pode ser calculado 
facilmente a partir da definição de erro relativo. Inicialmente calcula-
se o valor aproximado2 de g para os valores de l e T dados: 
 
222
2
2
2
86961,9961,986
2
10044
s
m
s
cm
T
lg ==== pipi 
0105,0
961,986
363,10
===
g
EA
ER gg 
ou %05,1=gER 
 
 
Exercício: 
Considere o problema de cálculo do seno de um ângulo de um 
triângulo retângulo. Obter uma expressão para o erro absoluto 
incorrido no cálculo do seno, a partir dos valores das medidas da 
hipotenusa e do cateto oposto e dos respectivos erros absolutos. 
Aplicar para os seguintes valores de medidas: cm5 (hipotenusa) e 
 
2
 O cálculo apresentado aqui não considera um sistema de aritmética de ponto 
flutuante específico, dado que a ênfase é obter os valores dos erros envolvidos. 
 
 12
cm4 (cateto oposto), admitindo um erro absoluto nas medidas de 
mm5,0 (em módulo). 
Resp.: 0.018 
(Adaptado de [Maurer, 1968]). 
 
 
Exercício: 
Considere o problema de se determinar a distância c entre dois pontos 
A e B, a partir de um ponto de observação C, como mostra a figura a 
seguir: 
 
 B 
 
 a 
 c 
 
 
 A b C 
 
Para o triângulo ABC mostrado medem-se a hipotenusa a, o cateto b e 
o ângulo α cujo valor é de 45°. A distância c pode ser calculada por 
uma das três fórmulas a seguir: a) 22 bac −= ; b) αsenac = ; c) 
αtgbc = . Supondo que o processo de medição dos lados está 
sujeito a um erro de 1% e a do ângulo, a um erro de 2%, verificar qual 
das três fórmulas é a melhor para o cálculo de c. 
 
Resp.: Erro no cálculo de c: a) 0.03; b) 0.026; c) 0.041. Portanto a 
fórmula (b) é a melhor para o cálculo. 
(Adaptado de [Maurer, 1968]). 
 
 
1.5. EFEITOS NUMÉRICOS 
 
Nos processos em que métodos numéricos são aplicados, o seguintes 
efeitos podem ser observados [FRANCO, 2006]: 
 
• Cancelamento subtrativo 
• Propagação de erros 
• Instabilidade Numérica 
• Mal condicionamento 
 
Os efeitos da propagação de erros nas operações foram estudados na 
seção anterior. Nesta seção consideramos os outros efeitos, conforme 
discutidos em [FRANCO, 2006]. 
 
a) Cancelamento subtrativo 
 
Exemplo: 
Seja calcular 9876 - 9875 , em um sistema com 10=β e .10=t 
 
2109937806599.09876 ×= 2109937303457.09875 ×= 
Portanto, 
2100000503142.098759876 ×=− 
Normalizando: 
{
2100000503142.098759876 −×=−
ivossignificat
nãozeros
 
Observe-se que se os quatro dígitos significativos após a décima casa 
decimal não fossem “perdidos”, o resultado seria: 
2105031418680.098759876 −×=− 
 
 
 13
Para este exemplo, em particular, pode-se obter um resultado mais 
preciso, utilizando-se da transformação mostrada a seguir [FRANCO, 
2006]: 
 
( )( )
yx
yx
yx
yx
yxyx
+
−
=
+
+
−=− 
 
310060,19875110
1
98759876
9875987698759876
×
=
+
−
=−∴ 
 
-2105031418680,098759876 ×=−∴ 
 
 
b) Instabilidade Numérica 
 
Algoritmos estáveis são os algoritmos cujos erros intermediários 
ocorridos nos cálculos têm um efeito desprezível no resultado final, 
podendo até mesmo, em alguns casos, se cancelarem mutuamente, 
pelo menos em parte. Diz-se que uma instabilidade numérica ocorre 
se os erros intermediários têm uma influência muito grande no 
resultado final. 
 
 
Exemplo [FRANCO, 2006]: 
Seja resolver: 
∫−=
1
0
1 dxexeI xnn 
 
Resolução: 
Fórmula de recorrência para 
nI : 
Aplicando-se a relação de integração por partes: ∫ ∫−= vduuvudv , 
produz-se: 
 
[ ] 1
1
0
111
1
0
11
0
1 1
−
−−−−−
−=−=






−= ∫∫ nxnxnxnn nIdxexneeedxenxexeI 
 
K,2,1,1 1 =−=∴ − nnII nn 
6321.01)1( 11
1
0
1
0 =−=−==
−−− ∫ eeedxeeI x 
 
Conhecendo-se o valor 0I , calculam-se os demais valores da 
seqüência: 
0.36796321.011 01 =−=−= II 
2642.03679.02121 12 =×−=−= II 
2160.01120.01480.01704.02074.0 76543 ===== IIIII 
 
Observa-se que o valor obtido para 7I está errado, pois a seqüência 
nI é decrescente. Observe-se que: 
 
1
1)max(
1
010
1
1
0
1
+
<⇒<= ∫∫
≤≤
−−
n
IdxxeedxexeI n
n
x
xxn
n 43421
 
125.0
17
1
7 =+
<∴ I 
 
Diz-se que neste caso ocorreu uma instabilidade numérica. Observe-
se se considerássemos 5 casas decimais nos cálculos, a instabilidade 
iria ocorrer no cálculo de 9I : 
 
 14
 
n nI n nI 
0 0.63212 5 0.14560 
1 0.36788 6 0.12640 
2 0.26424 7 0.11520 
3 0.20728 8 0.07840 
4 0.17088 9 0.29440 
 
Vamos supor que 0I seja afetado por um erro inicial 0ε e que todas as 
operações subseqüentes sejam calculadas exatamente. Assim, o erro 
no cálculo de 
nI pode ser calculado como indicado a seguir: 
 
( ) ( ) )1(11 11111
1
−=−−=−−−=−=
−−−−−
−
nnnnnnnn nIInInnIII
n
εε
ε
43421
 
Já o cálculo de 1−nε é efetuado como indicado a seguir: 
 
( )[ ] ( )( )
43421
2
2222111 111)1(1
−
−−−−−−−
−−−=−−−−−=−=
n
nnnnnnn IInInInII
ε
ε 
( ) ( )11 21 −−=∴ −− nn n εε 
 
De modo análogo, obtém-se para 2−nε : 
( ) ( )12 32 −−= −− nn n εε 
 
Ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )n
nnnn
nnn
nnnnnn
11221
121111
0
3
3
2
21
−−−=
=−−−=−−=−=
−−−
ε
εεεε
L
L
 
( ) 0!1 εε nnn −=∴ 
 
Observa-se, portanto, que, o crescimento do erro é dado pelo fatorial 
do número de passos considerados. 
 
Um relação de recorrência instável na direção crescente de n não é 
necessariamente instável também na direção decrescente de n. 
Considere-se, por exemplo, a partir da relação para cálculo de 
nI : 
11 −−= nn nII , obtém-se: 
n
I
I nn
−
=
−
1
1 
 
Observe-se que 0→nI quando ∞→n . Assumindo 020 =I , obtém-
se, utilizando a expressão acima: 
 
n nI n nI n nI n nI 
19 0,05000 14 0,06273 9 0,09161 4 0,17089 
18 0,05000 13 0,06695 8 0,10093 3 0,20728 
17 0,05278 12 0,07177 7 0,11238 2 0,26424 
16 0,05572 11 0,07735 6 0,12680 1 0,36788 
15 0,05902 10 0,08388 5 0,14553 0 0,63212 
 
 
c) Mal condicionamento 
 
Problemas mal condicionados ou críticos são problemas que possuem 
infinitas soluções ou que não possuem nenhuma solução. 
 
 
 15
Exemplo; 
Seja resolver o sistema linear: 
 



=+
=+
01.201.1
2
yx
yx
 Solução: 1=x , 1=y . 
 
Alterando-se o sistema para: 
 



=+
=+
02.201.1
2
yx
yx
 Solução: 0=x , 2=y . 
 
Observa-se, portanto, que uma pequena modificação em um dos 
coeficientes implica em uma grande mudança na solução do sistema. 
 
Apresenta-se, a seguir, a interpretação geométrica, para o primeiro 
sistema. As equações das retas são as seguintes: 
 
 xy −= 2 
01.1
01.2 xy −= 
 
Plotando-se as duas retas, obtém-se o gráfico mostrado a seguir; 
 
 
 
 
Exemplo: 
Seja resolver o problema de valor inicial:




=′
=
=′′
by
ay
yy
)0(
)0( a, b: constantes. 
 
Resolução: 
xx eCeCxy −+= 21)( 
xx eCeCxy −−=′ 21)( 
 
Para 1=a e 1−=b , as equações das condições iniciais se tornam: 



−=−=′
=+=
1)0(
1)0(
21
21
CCy
CCy
 ⇒ 01 =C e 12 =C 
 
 16
 
xexy −=∴ )( 
 
Observe-se que 0)( →xy quando ∞→x . 
 
Para 1=a e δ+−= 1b , com δ arbitrariamente pequeno, o sistema 
para determinação das constantes 1C e 2C se torna: 



+−=−
=+
δ1
1
21
21
CC
CC
 
 
cuja solução é: 
21
δ
=C e 
2
12
δ
−=C . Substituindo na equação de 
)(xy , obtém-se: 
 
( ) 




 −
+=−+=





−+=
−
−−−−
222
1
2
)(
xx
xxxxxx ee
eeeeeexy δδδδ 
 
xexy x senh)( δ+=∴ − 
 
Observe-se que neste caso ∞→)(xy quando ∞→x . Ou seja, houve 
uma grande mudança na característica matemática da solução. 
 
 
1.6. REPRESENTAÇÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE 
NUMERAÇÃO 
 
 
a) Sistema decimal flutuante
 
 
e
xfx 10×= 110
1
<≤ xf 
 
110 +−< txER (truncamento) 
110
2
1 +−< txER (arredondamento) 
 
 
b) Sistema Binário de ponto flutuante 
 
e
xfx 2×= 12
1
<≤ xf 
 
t
xER
−< 2 (arredondamento) 
12 +−< txER (truncamento) 
 
 
c) Sistema Hexadecimal de Ponto Flutuante
 
 
e
xfx 16×= 116
1
<≤ xf 
 
t
xER
−×< 168 (arredondamento) 
t
xER
−×< 1616 (truncamento) 
 
 
Exercício: obter as expressões dos erros relativos para os sistemas 
binário e hexadecimal. 
 
 
 
 17
Diz-se que um computador digital tem uma precisão de t dígitos se há 
t dígitos na mantissa no número de ponto flutuante. A precisão está 
relacionada com o número de algarismos significativos. Também se 
diz que um computador tem t dígitos significativos se, quando os 
números são truncados, o limite do erro relativo é 10 1− +t . 
 
 
Exemplo: IBM 360 e 370 
 mantissa com 6 dígitos hexadecimais 
 p = ? (dígitos significativos) 
 
sist. decimal = 10 101 1− + − +=td p 
sist. hexadecimal = 56 1616161616 −−− =×=× th 
 
∴ =− + −10 161 5p 
( )
7
10ln
16ln51
10ln
16ln51
16ln510ln1
≅⇒+=
−
=+−
−=+−
pp
p
p
 
 
Exercício: computador binário com 27 bits na mantissa; p = ? 
(dígitos decimais significativos). 
 
 
Apêndice ao capítulo: breves considerações sobre sistemas de 
numeração 
 
A tabela a seguir sumariza algumas das características de algumas 
bases de sistemas de numeração: 
 
BASE DÍGITOS DENOMINAÇÃO 
 2 
 8 
 10 
 16 
0,1 
0,1,2,...,7 
0,1,2,...,7,8,9 
0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F, 
binário 
octal 
decimal 
hexadecimal 
 
Considere-se inicialmente o número 2526 (base 10), denotado aqui 
por 2526
10
 Este número pode ser escrito em termos de potências da 
base como: 
 
0123
10 1061021051022526 ×+×+×+×= 
 
 
Mudança de uma base para outra 
 
Para conversão de um número da base 10 para qualquer uma das 
outras bases, divide-se o número pela base, anotando-se o quociente e 
o resto. Caso o quociente seja diferente de zero, este deverá ser 
dividido pela base, anotando-se os novos valores de quociente e resto. 
O processo deve ser continuado até que se obtenha um quociente igual 
a 0. O número, na base de interesse, terá como dígitos os restos 
obtidos, justapostos em ordem contrária à de geração. 
 
 
Exemplo: Converter 29
10
 para os sistema binários, octal e 
hexadecimal. 
 
 
 
 
 18
29 2 
(1) 14 2 29 1110110 2= 
 (0) 7 2 
 (1) 3 2 
 (1) 1 2 
 (1) 0 
 
 
29 8 
(5) 3 8 29 3510 8= 
 (3) 0 
 
 
29 16 
(13) 1 16 29 110 16= D 
 (1) 0 
 
 
Para conversão da representação nas bases 2, 8 e 16, para a base 10, 
basta utilizar a representação do número em termos de potência das 
bases, como ilustrado no exemplo a seguir. 
 
Ex.:
 mostrar como são convertidos as representações 11101
2
, 
35 10
8 16
e para base 10 
 
( )
( )
( ) 100116
10
01
8
1010
01234
2
29161316110
29858335
29212021212111101
=×+×=
=×+×=
=×+×+×+×+×=
 
 
Para conversão da representação na base 2 para as bases 8 e 16, basta 
agrupar os bits da representação binária em conjuntos de 
( ) ( )3 2 8 4 2 163 4= =e bits, respectivamente, como ilustrado no 
exemplo a seguir. 
 
 
Ex.: obter as representações nas bases 8 e 16 para o número 11101
2
 
 
{{011101
11101 35
2 2 5
2 2 3
2 8
2 0
1 0
⇒ =
+ =
+ = 
 
 
0001 1101
11101 1
2 2 2 13
2 1
2 16
3 2 0
0
123 123
⇒ =
+ + =
=
D
 
 
 
Os exemplos a seguir ilustra a conversão de números fracionários, de 
base 10 para base 2. 
 
 
 
Ex.: obter a representação, na base 2, do número 106875.0 
 
 
 19
0.6875 × 2 =
0.375 × 2 =
0.75 × 2 =
0.50 × 2 =
0.00 × 2 =
1. 
0. 
1. 
1. 
0. 
375 
75 
50 
00 
00 
 
∴ =0 6785 0101110 2. . 
 
Observar que a conversão para a base 10 segue o mesmo esquema 
apresentado para inteiros, ou seja: ( ) 101043212 6875.0212120211011.0 =×+×+×+×= −−−− 
 
 
Ex.: obter a representação, na base 2, do número 0.110
 
0.1 × 2 = 0.2 
0.2 × 2 = 0.4 
0.4 × 2 = 0.8 
0.8 × 2 = 1.6 
0.6 × 2 = 1.2 
0.2 × 2 = 0.4 
0.4 × 2 = 0.8 
0.8 × 2 = 1.6 
0.6 × 2 = 1.2 
 . 
01 0 00011001100
10
. . ...= 
 
Notar que o número 0110. não tem representação exata na base 2. 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se 
determinar um número ρ que anule uma determinada função F(x), isto 
é, F(ρ ) = 0. Este número ρ é chamado de raiz da equação F(x) = 0 
ou zero da função )(xFy = . 
 
Classificação: 
 
(i) eq. algébricas: Ex.: x x x x4 3 25 6 4 8 0− + + − = 
(ii) eq. transcendentes: Ex.: x x x e xxsen ( ) cos+ + =2 4 
 
Etapas no cálculo de uma aproximação para a raiz: 
 
(i) isolamento da raiz: determinação de um intervalo [a,b] o menor 
possível contendo uma e somente uma raiz da equação F(x) = 0 
(ii) melhoramento do valor da raiz aproximada até o grau de exatidão 
requerido. 
 
 
EQUAÇÕES TRANSCENDENTES 
 
2.1.1 ISOLAMENTO DE RAÍZES - MÉTODO GRÁFICO 
 
Uma raiz real de uma equação 0)( =xF é a abscissa de qualquer 
ponto no qual a função )(xFy = intercepta o eixo Ox : 
 
 20
 
Ex.: seja 2sen)( −−== xexFy x 
 
-2 -1 1 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
 
 
Como se observa, para esta equação, 06.1≅ρ . 
 
Pode-se também identificar duas funções g(x) e h(x) a partir da 
função F(x), impondo-se a condição de que F(x) = g(x) - h(x). 
Constroem-se os gráficos de y1 = g(x) e de y2 = h(x). Estes se 
interceptam num ponto cuja abscissa é x = x0: 
 
 
⇒ g(x0) - h(x0) = F(x0) = 0 
⇒ ρ = x0 
 
 
Exemplo:
 isolar todas as raízes da equação 
{ 43421
)()(
2
2
)1(sen
1sen)(
xhxg
xx
xxxF
+−=
−−=
 
Gráfico de 2)( xxg = : 
 
-2 -1 1 2
1
2
3
4
 
 
 
 
 21
Gráfico de h(x) = sen x + 1: 
 
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
 
 
 
Gráficos de g(x) e h(x) superpostos: 
 
 
-2 -1 1 2
1
2
3
4
 
 
 
Como se observa, há duas raízes reais, localizadas nos seguintes 
intervalos: 
)2,1(
2
)0,1(
1
∈−∈ ρρ e . 
 
 
Exercício: 
Localize, graficamente, as raízes das equações abaixo: 
032)
0
2
)
01log)
039)
0)cos(4)
3
2
=−
=−
=−
=+−
=−
xe
xtgxd
xxc
xxb
exa
x
x2.1.2 GRAU DE EXATIDÃO DA RAIZ
 
Uma vez isolada uma raiz num intervalo [a,b] passa-se a calculá-la 
através de métodos numéricos. Estes métodos fornecem uma 
seqüência {xi}de aproximações cujo limite é a raiz exata ρ. 
 
 
TEOREMA: Seja ρ uma raiz isolada exata e ρ uma raiz aproximada 
da equação F(x)=0, com ρ e ρ pertencentes ao intervalo [a,b] e 
.b][a, intervalo nox todopara,0)(' >≥ mxF 
Então a seguinte desigualdade se verifica: 
 
m
F )(ρρρ ≤−
 
 
 
Exemplo:
 Sendo 1)sen()( 2 −−= xxxF , delimitar o erro cometido 
com ρ = 1.4 no intervalo [1,0,1,5]. 
 
Resolução: 
 
 
 22
)cos(2)('1)sen()( 2 xxxFxxxF −=⇒−−= 
 
Para achar o valor de m, pode-se visualizar o gráfico de )(' xF : 
 
 
 
Observa-se que m ocorre em 1=x . 
 
Outra forma: 
Designando ),cos(2 21 xyexy == sobrepondo-se os gráficos destas 
duas funções, obtém-se: 
 
0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
 
 
 
Observa-se que o menor valor (m) de F’(x) no intervalo [1,1.5] ocorre 
em x = 1.0, ou seja: m = (2)(1) – cos(1) = 1.460 
 
=≤−∴
m
F )(ρρρ 017,0
46,1
025,0
460,1
)4,1(
==
F
 
417,1383.1017,04,1 ≤≤⇒≤−=−∴ ρρρρ
 
 
Observa-se que o cálculo de m é difícil de ser efetuado na maioria dos 
casos. Por esta razão, no cálculo de uma aproximação para uma raiz 
exata ρ de uma equação F(x) = 0, a cada aproximação obtida, xn, 
utiliza-se um dos critérios abaixo para comparação do resultado obtido 
com uma tolerância L prefixada: 
 
L
nx
nxnxiiiLnxnxiiLnxFi ≤
−
−
≤
−
−≤ 1)(1)()()( 
 
Observações:
 
(a) 
 
 23
 
 
(b) 
 
 
O MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
 
Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b] e F(a). F(b) < 0 
 
 
Interpretação geométrica: 
 
Construção de uma seqüência { }x x x x xi n n= −0 1 1, ,..., , , tomando-se 
ρ = xn quando algum critério escolhido dentre os anteriores, por 
exemplo, x x Ln n− ≤−1 , for satisfeito: 
 
 
Na aplicação do método, a cada xi obtido, (i ≥ 1), calcula-se 
∈ = −
−i i ix x 1 e verifica-se i∈ satisfaz alguma condição especificada. 
 
 
Teorema:
 
Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se 
0)()( <× bFaF então existe pelo menos um ponto x = ρ entre a e b 
que é zero de y = F(x). 
 
 
 24
 
 
Sob as hipóteses do teorema anterior, se )(' xFh = existe e preserva o 
sinal em (a, b), então este intervalo contém um único zero de y = F(x). 
 
 ],[,0)(' baxxF ∈∀> ],[,0)(' baxxF ∈∀< . 
 
 
Aplicação do método da bisseção: 
 









<×
<×
=
<×
0)()(),(
0)()(),(
0)()(
),(
int
bFxFsebx
ou
xFaFsexa
médiopontox
bFaF
ba
i
ervalo
novo
i
ii
i 321
 
 
 
Exemplo:
 
Determinar, usando o método da bisseção uma aproximação para a 
raiz da equação 
 01)sen()( 2 =−−= xxxF , no intervalo (1,2), com 
0.01≤ε . 
 
Resolução: 
 
i a b Xm F(a) F(b) F(Xm) Ei 
0 1,00 2,00 1,50 -0,84 2,09 0,25 
1 1,00 1,50 1,25 -0,84 0,25 -0,39 0,25 
2 1,25 1,50 1,38 -0,39 0,25 -0,09 0,13 
3 1,38 1,50 1,44 -0,08 0,25 0,08 0,06 
4 1,38 1,44 1,41 -0,08 0,08 0,00 0,03 
 
 
Exemplo:
 
Determinar, usando o método da bisseção uma aproximação para a 
raiz da equação 05)( =−= −xexxF , no intervalo (1,2), com grau de 
exatidão 0.01≤ε . 
 
 
 25
 
Resolução: 
i a b xi F(a) F(b) F(xi) ε i i ix x= − −1 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
1 
1 
1.25 
1.38 
1.38 
1.41 
1.43 
2 
1.5 
1.5 
1.5 
1.44 
1.44 
1.44 
1.5 
1.25 
1.38 
1.44 
1.41 
1.43 
1.44 
-0.8 
-0.8 
-0.3 
-0.08 
-0.08 
-0.03 
-0.0007 
0.7 
0.1 
0.1 
0.1 
0.02 
0.02 
0.02 
0.1 
-0.3 
-0.08 
0.02 
-0.03 
-0.0007 
0.02 
ε
i
x x= − =
1 0
0 25.
ε
2 2 1
013= − =x x .
ε
3 3 2
0 06= − =x x .
ε
4 4 3
003= − =x x .
ε
5 5 4
0 02= − =x x .
ε
6 6 5
0 01= − =x x . 
 
Assume-se para aproximação da raiz o último valor obtido para xi, ou 
seja, 44.1=ρ . 
 
Algoritmo 
Adaptado para determinar uma aproximação para a raiz da equação 
( ) 01sen2 =−−= xxxF . 
 
Início 
 Defina F(x) = x^2-sen(x)-1 
 Solicite os extremos do intervalo, a e b 
 Leia a, b 
 Solicite a precisão P 
 Leia P 
 Xm=0 
 Repita 
 Xma=Xm 
 Xm=(a+b)/2 
 Se f(a)*f(xm) < 0 
 Então b=xm 
 Senão se f(a)*f(xm) > 0 
 Então a=xm 
 Senão 
 Escreva ‘raiz = ‘, xm 
 Pare 
 Fim Se 
 Fim Se 
 Até que |xm-xma| ≤ P 
 Escreva “aproximação”, (xm+xma)/2 
Fim 
 
 
2.1.4 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (MIL) 
 
O MIL consiste em transformar a equação F(x) = 0 na equação 
)(xx ϕ= , tal que ( ) ( )F x x x= − =ϕ 0 , onde ( )ϕ x é chamada de função 
de iteração. 
 
Suponha que xo corresponda a uma primeira aproximação de ρ; 
geramos uma seqüência do seguinte modo: 
 
xo 
)( 01 xx ϕ= 
 )( 12 xx ϕ= 
)(1 nn xx ϕ=+ 
Se }{ nx é uma seq. convergente, então ∃ ρ tal que 
ρ=
∞→
n
n
x lim 
Como ϕ é contínua: 
)()lim()(limlim 11 ρϕϕϕρ ==== −
∞→
−
∞→∞→
n
n
n
n
n
n
xxx 
Portanto, quando ,∞→n ).()(1 ρϕρϕ =→=+ nn xx Ou seja, .ρρ = 
 
 
 26
Exemplo: 
Seja 0)sen()( 2 =−= xxxF . Obter funções de iteração para esta 
equação. 
 
Resolução:
 
xxx x
xxa
=−+
=−
sen 
0sen )(
2
2
 
( ) xxxx sen 21 −+=∴ϕ 
 
( )
senx= x
sensensen 
0sen 
2
2
±
=+−
=−
xxxx
xxb
 
( ) xx sen 2 =∴ϕ 
 
( )
2
2
222
2
 sen 
sen 
sen 
0sen 
xarcx
xx
xxxx
xxc
=
=
−=/−−/
=−
 
( ) 23 sen xarcx =∴ϕ 
 
 
Exemplo:
 
Determinar uma aproximação para a raiz da equação 
( )F x x x= − − =2 1 0sen no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão 
310−∈≤ usando o M.I.L. 
 
Resolução:
 
Função de iteração: 
( )
1sen
1sen
01sen
2
2
+=⇒
+=⇒
=−−=
xx
xx
xxxF
 
( ) 1sen +=∴ xxϕ 
 
Processo Iterativo: 
( ) ( )
3.1
10 1sen 3111
=
≤−=+=⇒= −
−++
o
nnnnnnn
x
xxxxxx εϕ
 
( ) ( ) 4013.113.1sen1 =+== oxx ϕ 
001.01013.03.14013.111 >=−=−= oxxε 
( ) ( ) 4091.114013.1sen12 =+== xx ϕ 
001.00078.0140134091.1122 >=−=−= xxε 
( ) ( ) 4096.114091.1sen23 =+== xx ϕ 
001.00005.0140914096.1233 <=−=−= xxε 
∴ = ρ 14096. 
 
com grau de exatidão ≤ − 10 3 
Obs.: ( ) ( ) ( ) 52 1038.614096.1sen4096.1 −−=−−= xF ρ . 
 
 
Exemplo: 
Seja determinar, iterativamente, uma aproximação para 5 . 
 
 
 27
(a) tentativa com a função de iteração simplificada: 
x
a
x
ax
ax
=
=
=−
2
2 0
 
 
(função de iteração : )(xx ϕ= ) 
x
a
x =)(ϕ
 
)(
5.1
5
1
0
nn xx
x
a
ϕ=



=
=
+
 
 
 
5.1
333.3
5)(
333.3
5.1
5)5.1()(
5.1
12
01
0
===
====
=∴
xx
xx
x
ϕ
ϕϕ
 
( ) 0x=xF 
equação da raiz a para converge não 5)(
333.3
5.1
5)(
2
1
23
=−
==∴
===
+
a
x
xx
xx
n
nn ϕ
ϕ
 
 
(b) 
 tentativa com uma função de iteração mais trabalhada: 
x
a
xaxax =⇒=⇒=− 22 0 






+=∴=






+=∴+=+
++
n
nnnn
x
a
xxxx
x
a
xxx
x
a
xx
2
1)(
2
1
11 ϕ
 
 



=
=
5.1
5
0x
a
 





+=+
n
nn
x
a
xx
2
1
1 
 
1n
-3
 :passo cada 
10 :TOLERÂNCIA
−
−=
≤
nn xxa ε
ε
 
 





=−=
=





+=





+==
=
917.05.1417.2
417.2
5.1
55.1
2
15
2
1)(
5.11
0
001
0
ε
ϕ
x
xxx
x
 





=−=
=





+==
174.0417.2443.2
243.2
417.2
5417.2
2
1)(
2
12
ε
ϕ xx
 





=−=
=





+==
007.0243.2236.2
236.2
243.2
5243.2
2
1)(
3
23
ε
ϕ xx
 
236.2236.2
10236.2236.2
236.2
236.2
5236.2
2
1)(
3
4
34
≅⇒=∴





<−=
=





+==
−
ρρ
ε
ϕ xx
 
Obs.: K2360679.25 = 
 
 
 28
 
Convergência no M.I.L. 
 
Para o caso da equação x = 5 , com 5.1 =ox , observamos que: 
( ) convergenão
x
x 
5
1 =ϕ 
( ) converge
x
x+x 
5
2
1
2 





=ϕ 
Por quê? Para concluir sobre isto, basta verificar o comportamento do 
M.I.L. geometricamente. Observe-se inicialmente a situação ilustrada 
na figura a seguir: 
 
( )
( )
( )
( )
( )








=
=
=
=
=
23
12
01
0
0
...
xx
xx
xx
x
xx
xF
LIM
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )x
x
xhxgxF
xxxx
ϕ
ϕϕ
=
=
=−=
=−⇒=
xh 
xg :onde
0
0
 
( )
( )( )1'
! 
direita pela 
=
=
→
xg
bissetrizéxgy
xn ρ
 
 
( ) 1' <∴ xϕ numa vizinhança de ρ. 
 
Observe-se agora a situação ilustrada na figura a seguir: 
 
.1)(' ρϕ devizinhançanumax > 
 
A figura a seguir ilustra a situação de “convergência alternada”. 
 
 
 29
 
 
 
 
 
1)(' <xϕ
 
 
Teorema da Convergência de M.I.L.:
 
 
Seja xo uma aproximação para a raiz ρ da equação F(x) = 0 numa 
vizinhança [ ]., δρδρ +−=I Seja ϕ uma função de iteração para a 
equação F(x) = 0 e suponha-se que ϕ e ϕ ' sejam contínuos em I. 
Então, se ( ) , ,1 ' Ixx ∈∀<ϕ a sequência gerada por 
( ) K,3,2,1,0 ,1 ==+ nxx nn ϕ converge para ρ. 
 
Observação: como o valor de ρ é desconhecido, substitui-se o valor de 
xo na derivada para se concluir sobre a convergência. 
 
Esboço da demonstração: 
 
M.I.L. 
( ) ( )ρϕϕρ −=−
−1nn xx 
 
Teorema do valor médio: 
 
( ) ( ) ( ) ρεϕρϕϕρ −=−=−∴
−− 11 ' nnn xxx 
Seja L o valor máximo de ( )ϕ ' x no intervalo I, ou seja, ( ) Lx ' ≤ϕ no 
intervalo I. 
ρρ −≤−∴
−1 nn xLx 
Do mesmo modo 
ρε
ρρ
ρρρρ
→⇒∀〈
−≤−∴
−≤−⇒−≤−
−−−
n
n
n
nnnn
xnIxLSe
xLx
ocontinuand
xLxxLx
 aumentando , intervalo, todoem 1 
 
 
0
0
2
2
21
 
( )
( )
 
 
 diverge processo o 1 ' 
converge processo o 1 '
Ix
x
x
ε
ϕ
ϕ
∀




>
<∴
 
 
 
 
 
 30
Exemplo: estudar a convergência das funções de iteração do exemplo 
anterior. 
 
Resolução: 
( ) 5.1 5 0 02 ===−= xaaxxF 
( ) ( )
( )
( ) ( )
ρϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 para converge não 
1 222.2
25.2
5
5.1
5
 
 
 
1
22
0
0
'
1
2
'
1
1
>====
−=
=
x
a
x
x
a
x
x
a
xa
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
ρϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 para converge 
1 < 611.0222.21
2
1
= 
96.1
51
2
1
 
1
2
1
 
2
1
 
2
0
'
2
2
'
2
2
=−





−=






−=






+=
x
x
a
x
x
a
xxb
 
 
Observações: 
(1) A maior dificuldade de M.I.L. está em encontrar uma função 
de iteração ϕ satisfazendo o critério de convergência. 
(2) O teste ( ) 1 ' 0 <xϕ pode levar a um engano se 0x não estiver 
suficientemente próximo da raiz. 
(3) A velocidade de convergência dependerá de ( )ϕ ρ' : quanto 
menor este valor, mais rapidamente o processo convergirá. 
 
 
Exemplo: 
( )
( )
( )
( ) 1 555.0
9
5
'
2360679.2 
3
5
0
2
0
0
0
2
<==−=
≅



=
=
=
=−=
x
a
x
x
a
x
a
x
axxF
ϕ
ρ
ϕ
 
 
Aplicação:
 
( )
( )
( ) converge! não 667.1
999.2
5
999.2
667.1
5
667.1
3
5
3
23
12
01
0
===
===
===
=
xx
xx
xx
x
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
Exemplo:
 estudar a convergência das funções de iterações obtidas 
anteriormente para a equação 
( ) 9.0 0sen 02 ==−= xparaxxxF , 
 
 31
obter uma aproximação para a raiz da equação. 
 
Resolução:
 
( )
( )
( )
iteração de funções 
 sen 
 sen
sen
2
3
2
2
1






=
=
−+=
xarcx
xx
xxxx
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
Derivadas: 
( )
( ) x
x
x
xx
 cos 
 sen2
1
 xcos12
'
2
'
1
×=
−+=
ϕ
ϕ
 
( ) x
x
x 2 
1
1
4
'
3 ×
−
−
=ϕ 
No ponto :9.0 0 =x 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 1 069.39.01
9.029.0
1 351.0
0885.2
622.0
9.0sen2
9.0cos9.0
1 178.29.0cos19.029.0
4
'
30
'
3
'
20
'
2
'
10
'
1
>=
−
×
==
<====
>=−+×==
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
x
x
x
 
 
∴Somente ( )
 2 xϕ deverá convergir. 
 
Isolamento da raiz: 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) .senxg= 
sen
2
2
xxhexxgondexh
xxxF
==−
−=
 
 
 
Aplicação de M.I.L ( ) ( ) 320 10 sen e 9.0 −〈=== εϕϕ xxxx 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 001.0 878.0879.0sen
006.0 879.0885.0sen
015.0 885.09.0sen
9.0
323
212
101
0
====
====
====
=
εϕ
εϕ
εϕ
xx
xx
xx
x
 
( ) ( )
( ) ( ) 3-545
434
10 877.0877.0sen
001.0 877.0878.0sen
<===
====
εϕ
εϕ
xx
xx
 
 877.0=∴ ρ é uma aproximação para ρ . 
Observação: 
( ) ( ) ( ) ( ) 42 10051.3877.0sen877.0877.0 −=−== xFF ρ 
 
 
 
 
 32
Ordem de Convergência 
 
A ordem de convergência de um método fornece um medida da 
velocidade com que as iterações produzidas pelo método aproximam-
se da solução exata. Assim, quanto maior for a ordem de 
convergência, mais rapidamente se aproximará da solução exta da 
equação [FRANCO, 2006]. 
 
Definição: 
Seja { }kx a seqüência gerada por uma aplicação de um método 
numérico e ρε −= kk x , onde kx representa a aproximação obtida na 
k-ésima iteração do método e ρ , a solução exata. Caso existam um 
número 1≥p e uma constante 0>c , tais que: 
 
cp
k
k
k
=
+
∞→ ε
ε 1lim 
 
então p será a ordem de convergência do método aplicado. 
 
 
Teorema: 
A ordem de convergência do MIL é 1=p (linear). 
 
Do teorema de convergência: ( )( )ρεϕρ −′=−+ kxk xx k1 , ( )ρε ,kx xk ∈ 
 
Assim, 
( ) M
x
x
kx
k
k ≤′≤
−
−+ εϕ
ρ
ρ1
 
 
Logo a definição é satisfeita com 1=p e Mc = . 
 
Observação: 
Para k suficientemente grande: 
 
p
kk c εε ≅+1 ⇒ 
p
kk c 1−≅ εε 
 
⇒ 
p
k
k
k
k






≅
−
+
1
1
ε
ε
ε
ε
 ⇒ 












≅
−
+
1
1
log
log
k
k
k
k
p
ε
ε
ε
ε
 
 
 
Exemplo: Determinar a raiz positiva da equação: 
( ) ( ) 0cos4 =−= xexxF 
Utilizando o MIL. Estimar também a ordem convergência da 
aplicação do método a esta equação. 
 
Resolução: 
 
Isolamento da raiz pelo método gráfico: 
 
 
 33
 
 
Como se vê, há duas raízes ( )1,21 −−∈ρ e ( )1,02 ∈ρ . A seguir 
obtém-se uma função de iteração para resolução da equação: 
 
( ) 0cos4 =− xex ⇒ ( ) xex =cos4 ⇒ ( ) 4cos
xex = 
⇒ ( )4cos xearcx = 
( ) ( )4cos xearcx =∴ ϕ 
 
Verificação quanto à convergência: 
 
( ) ( ) ( ) ( )22 414441
1
x
x
x
x e
ee
e
x
−
−
=
′
×−
−
=′ϕ 
 
Para 9,00 =x , tem-se: 
( ) ( ) 178.01544.3
4596.2
414
29.0
9.0
0 <==
−
−
=′
e
e
xϕ 
 
Aplicação do MIL: 
9,00 =x ( ) 9085.04cos 9.01 == earcx 
0085.09.09085.0011 =−=−=∈ xx 
 
A tabela a seguir, construída no EXCEL, apresenta o resultado da 
aplicação do MIL, com a função de iteração anterior, para uma 
precisão 310−≤ε . A última coluna da tabela apresenta uma 
estimativa da ordem de convergência – valor de p – obtida a partir da 
expressão: 












≅
−
+
1
1
log
log
k
k
k
k
p
ε
ε
ε
ε
 
 
 
i ix )( ixϕ i∈ p 
0 0,9000 0,9085 
1 0,9085 0,9018 0,0085 
2 0,9018 0,9071 0,0067 
3 0,9071 0,9030 0,0053 0,9939 
4 0,9030 0,9062 0,0041 1,0048 
5 0,9062 0,9037 0,0033 0,9962 
6 0,9037 0,9057 0,0026 1,0030 
 
 34
7 0,9057 0,9041 0,0020 0,9977 
8 0,9041 0,9053 0,0016 1,0018 
9 0,9053 0,9044 0,0012 0,9986 
10 0,9044 0,9051 0,0010 1,0011 
11 0,9051 0,9045 0,0008 0,9991 
12 0,9045 0,9050 0,0006 1,0007 
13 0,9050 0,9046 0,0005 0,9994 
14 0,9046 0,9049 0,0004 1,0004 
15 0,9049 0,9047 0,0003 0,9997 
16 0,9047 0,9049 0,0002 1,0003 
17 0,9049 0,9047 0,0002 0,9998 
18 0,9047 0,9048 0,0001 1,0002 
 
 
Exercícios: 
(1) Calcular a raiz da equação ( ) .01.0 com 0ln2 ≤=+= εxxxF 
Usar o M.I.L. ( )65.0 : =ρR 
(2) Calcular a raiz da equação ( ) .01.0 com 0103 ≤=−= εxxF 
Usar o M.I.L. ( )15.2 : =ρR 
(3) Calcular a raiz da equação ( ) 0332 =−+= xexxF , 
-310 com ≤ε , usando o M.I.L. ( )3521.0 : =ρR 
Algoritmo: 
 
Adaptado para determinar uma aproximação para a raiz da equação 
( ) 01sen2 =−−= xxxF , usando a função de iteração: 
( ) 1sen += xxϕ 
 
Início (* MIL*) 
 Defina Fi(x) = 1sen +x 
 Solicite a aproximação inicial (x0) 
 Leia Xv 
 Solicite a precisão (E) 
 Leia E 
 Solicite o limite de iterações (N) 
 Leia N 
 Para i de 1 até N 
 Faça 
 Xn = Fi(Xv) 
 Se |Xn – Xv| ≤ E 
 Então 
 Escreva “aprox “,Xn,“ 
com “,i,“ iteracoes” 
 Saia da repetição 
 Senão 
 Xv=Xn 
 Fim Se 
 Fim para 
 Se |Xn – Xv| > E 
 Então 
 Escreva “Aplicação não converge ou “ 
 Escreva “grau de exatidão não”, 
“ pode ser alcançado com “, 
N, “ iterações” 
 Fim Se 
Fim (* MIL *) 
 
 
O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (N-R) 
 
Descrição 
 
Seja I um intervalo contendo a raiz ρ da equação F(x) = 0. Suponha-se 
que F'(x) ≠ 0 ∀ ∈x I. 
F(x) = 0 0)('
)(
=−⇒
xF
xF
x
xF
xF
x =−⇒ )('
)(
 )('
)()(
xF
xF
xx −=∴ϕ 
 
 35
∴ )('
)(
1
n
n
nn
xF
xF
xx −=+ 
,...2,1,0
)(
=
−
n
RN
 
 
Como no M.I.L., o objetivo é gerar uma seqüência {xn} a partir de 
uma aproximação inicial xo: 
)('
)()(
)('
)()(
)('
)()(
1
1
1
112
0
0
001
n
n
nnn
xF
xF
xxx
xF
xF
xxx
xF
xF
xxx
−==
−==
−==
+ ϕ
ϕ
ϕ
MM
 
Encontra-se portanto uma aproximação xn+1 de ρ. 
 
 
Exemplo: 
 
Seja calcular uma aproximação para a raiz da eq. F(x) = x2 - senx - 1 
= 0 no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão 310−≤ε , utilizando 
o método de N-R e adotando 3.10 =x . 
 
Resolução: 
 
xxxFy
xxxFy
cos2)(''
1sen)( 2
−==
−−==
 
 
Equação para iteração: 






−
−−
−=∴−= ++
kk
kk
kk
k
k
kk
xx
xx
xx
xF
xF
xx
cos2
1sen
)('
)( 2
11 
3101173.03.14173.1011
4173.1
3325.2
2736.0
3.1
)3.1cos()3.1(2
1)3.1sen(2)3.1(
3.11
3.10
−
>=−=−=
=
−
−=
−
−−
−=
=












xx
x
x
ε
 
4096.1
3100001.04097.14096.1233
4096.1
6590.2
41002.2
4097.1
)4097.1cos()4097.1.(2
1)4097.1sen(2)4097.1(
4097.13
0076.04173.14097.1122
4097.1
6817.2
0205.0
4173.1
)4173.1cos()4173.1.(2
1)4173.1sen(2)4173.1(
4173.12
=∴
















−
<=−=−=
=
−
−=
−
−−
−=
=−=−=
=−=
−
−−
−=
ρ
ε
ε
xx
x
x
xx
x
 
 
Interpretação Geométrica 
 
 36
 
 
)1(
)1(
12
)1(
)1()21(
)1()21()1(
)1(
21
0)1(
xF
xF
xx
xF
xF
xx
xFxxxF
xF
xx
xF
tg
′
−=⇒
′
−=−−⇒
=−′⇒
′=
−
−
=β
 
)0(
)0(
01
01)0(
)0(
)1(0()0()0(
)0(
10
0)0(
xF
xF
xx
xx
xF
xF
xxxFxF
xF
xx
xF
tg
′
−=⇒
−=
′
−⇒
−′=⇒
′=
−
−
=α
 
 
O método de N-R é conhecido como método das tangentes. 
 
∴ )('
)(
1
n
n
nn
xF
xF
xx −=+ 
,...2,1,0
)(
=
−
n
RN
 
 
 
Obtenção da fórmula de N-R a partir do desenvolvimento de 
y= f(x) em série de Taylor
 
 
...).(
!2
)("))(()f(x=f(x)
:Taylor de Fórmula
2
00
000
+−





+−′+
xxxf
xxxf 
0))(()(
...2,1,00))(()()(
1
11
=−′+⇒
==−′+=
+
++
nnnn
nnnnn
xxxFxF
nxxxFxFxF
 
0)(
)(
1 =−+
′
⇒ + nn
n
n xx
xF
xF
 
⇒ )(
)(
1
n
n
nn
xF
xF
xx
′
−=+ n = 0,1,2... 
 
 
SOBRE A CONVERGÊNCIA DO MÉTODO
 
Para que um processo iterativo x x= ϕ( ) seja convergente, devemos ter 
0,1)( Ix x ∈∀<′ϕ , onde I0 é uma vizinhança da raiz ρ da equação 
F(x)=0. 
2))((
)(").(
2))((
)(").(2))((2))((
2))((
)](").()().([
1)(
)(
)()(
xF
xFxF
xF
xFxFxFxF
xF
xFxFxFxF
x
xF
xF
xx
′
=
′
+′−′
=
′
−′′
−=′⇒
′
−=
ϕ
ϕ
 
Portanto, o processo será convergente se 
 
 37
1)]([
)(").()( 2 <
′
=′
xF
xFxF
xϕ 
Observe-se que: 
10)]([
)(").()(
0)(
2 <=
′
=′
=⇒=
ρ
ρρρϕ
ρρ
F
FF
Fx
 
Se F’ e F’’ são contínuos em I, ϕ’ é contínua em I e, portanto, desde 
que ϕ ρ′ =( ) 0, existe uma vizinhança I I′⊂ tal que Ixx ∈∀<′ 1)(ϕ '. 
 
 
Conclusão: o método de N-R, quando pode ser aplicado, é sempre 
convergente. A dificuldade está em determinar este 
subintervalo I´ onde seguramente ϕ′ <( )x 1 . 
 
Exemplo:
 
Para o problema de se determinar uma aproximação para a raiz da eq. 
F x x x( ) sen= − − =2 1 0 no intervalo [1.0, 1.5], com x0 1 3= . , estudar 
quanto à convergência as funções de iterações utilizadas nos métodos 
M.I.L. e N.R. 
 
Resolução: 
 
(a) M.I.L
 
1sen2
cos
cos.
1sen2
1)(1sen)(
+
=
+
=′∴+=
x
x
x
x
xxx ϕϕ 
43421
1954.0
1)3.1sen(2
)3.1cos()( 0 <=
+
=′ xϕ 
 0 xse∴ estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do 
método deverá ser convergente.
 
 
(b) método de N-R 
xxFxxxFxxxF
xF
xFxF
x
sen2)(",cos2)(,1sen)(
)(
)(").()(
2
2
+=−=′−−=
′
=′ϕ
 
[ ][ ]
[ ]
43421
11490.0
)3.1cos()3.1.(2
)3.1sen(21)3.1sen()3.1(
)(
)(").()( 2
2
2
0
00
0
<=
−
+−−
=
′
=′∴
xF
xFxF
xϕ
 
Portanto, se 0x estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do 
método deverá ser convergente. 
 
 
APLICABILIDADE DO MÉTODO N-R (Teorema de Fourier)
 
 
É condição suficiente para a convergência do método de N-R que 
F´(x) e F"(x) não se anulem e mantenham sinais constantes numa 
vizinhança I de uma raiz ρ da equação F(x)=0 e que o processo se 
inicie num ponto Ix ∈0 tal que 0)(").( 00 >xFxF . 
 
 38
 
Exemplo: 
Calcular a raiz da equação 0sen)( 2 =−= xxxF usando o método de 
N-R )10;9.0( 30 −∈<=x 
Resolução:
 
)(
)(
1
n
n
nn
xF
xF
xx
′
−=+ 
xxxF
xxxF
cos2)(
sen)( 2
−=′
−=
 
nn
nn
nn
xx
xx
xx
cos2
)sen( 2
1
−
−
−=⇒ + 
 
 
Condições para convergência:
 
xxF
xxxFa
sen2)("
cos2)()(
+=
−=′Conclui-se, pelo método grãfico, que ρ∈( . , )0 5 1 com relação a F´(x): 
 
 
 
 
4434421
anula se .não
sinal .preserva
0cos2)(
)0.1,5.0(
>−=′
∈∀∴
xxxF
x
 
 
Com relação a F"(x): 
.0sen2)(",)0.1,5.0( >+=∈∀ xxFx 
 
9.00
cos2
sen
2
1
0)0(").0(
783.2)9.0sen(2)9.0(")0("
03.0)9.0sen(2)9.0()9.0()0()(
=
−
−
−=+
>
=+==
=−==








x
nxnx
nxnx
nxnx
xFxF
FxF
FxFb
 
[ ]
[ ]
3100006.08773.08767.02
8767.0
1154.1
410395.6
8773.0
)8773.0cos()8773.0.(2
8773.0sen(2)8773.0(
8773.02
0227.09.08773.01
8773.0
1784.1
0267.0
9.0
)9.0cos()9.0.(2
)9.0sen(2)9.0(
9.01
−
<=−=
=
=
−
−=
−
−
−=
=−=
=−=
−
−
−=
ε
ε
x
x
x
 
∴ 8767.0=ρ 
 
 
Exemplo:
 
Calcular a raiz da equação F(x) = 2x - cos x usando o método de N-R ( )410−∈< 
 
Resolução:
 
 
 39
 
 
 
 
 
{ {h(x) - g(x) = F(x)
 xcos2x
 
 ]5.0,0[∈∴ρ 
 
Função de iteração
 
x
xx
xx
x
xx
xx
xxF
xxxF
n
xF
xF
xx
n
nn
nn
n
n
nn
sen2
)cos2()(
sen2
)cos2(
sen2)(
cos2)(
...2,1,0)(
)(
1
1
+
−
−=∴
+
−
−=⇒
−=′
−=
=
′
−=
+
+
ϕ
 
 
Condições para convergência (suficientes)
 
a. vizinhançna sinal o preservam e anulam se 
0)("
0)(
]5.0,0[
]5.0,0[
cos)("
sen2)(
não
xF
xF
xxF
xxF
x



>
>′
∈∀
∈
=
+=′ ρ
 
 
0)(").(
010cos)("
010cos0.2)(
0
0)(").()(
00
0
0
0
00
<⇒
>==
<−=−=
=
>
xFxF
xF
xF
x
xFxFb
 
0)(").(
0878.0)5.0cos()("
0>0.12=0.878-1)5.0cos(-)05.(2)(
5.0
00
0
0
0
>⇒
>==
==
=
xFxF
xF
xF
x
 
 
Aplicação do método de N-R
 
[ ] 4506.0
4794.2
1224.05.0
5.0sen2
)5.0cos()5.0.(25.0
5.0
sen2
)cos2(
1
0
1
=−=
+
−
−=
=
+
−
−=+
x
x
x
xx
xx
n
nn
nn
 
[ ]
4502.0
4355.2
10014.14506.0)4506.0sen(2
)4506.0cos()4506.0.(24506.0
0494.05.04506.0
3
2
011
=
−=
+
−
−=
=−=−=
−x
x
xxε
 
[ ]
4502.0
4355.2
1099.34502.0)4502.0sen(2
)4502.0cos()4502.0.(24502.0
0004.04506.04502.0
5
3
122
=
−=
+
−
−=
=−=−=
−x
x
xxε
 
 
 40
4
233 10
−<−=∴ xxε 
∴ 4502.0=ρ 
 
 
Ordem de Convergência do Método de N-R 
 
Teorema: 
Se F , F ′ e F ′′ são contínuas em um intervalo I , centrado em ρ , 
raiz da equação ( ) 0=xF , e se ( ) 0≠′ ρF , então a ordem de 
convergência do método de Newton-Raphson é quadrática ( 2=p ). 
 
 
Exemplo: Determinar a raiz positiva da equação: 
( ) ( ) 0cos4 =−= xexxF 
Utilizando o método de N-R. Estimar também a ordem convergência 
da aplicação do método a esta equação. 
 
Resolução: 
( ) ( ) xexxF −= cos4 ⇒ ( ) ( ) xexxF −−=′ sen4 
 
Pelo método gráfico, conforme já apresentado na seção relativa ao 
MIL, a raiz positiva da equação se encontra no intervalo ( )1,0 e é 
próxima de 1. No entanto, como o objetivo é ilustrar a obtenção de 
uma aproximação para p , ordem de convergência, adotaremos 
25.00 =x . 
 
Cálculo de 1x : 
 
( )
( )
( )
( ) 3899.12736.2
5916.225.0
25.0sen4
25.0cos425.0 25.0
25.0
0
0
01 =
−
−=
−−
−
−=
′
−=
e
e
xF
xF
xx
 
1399.125.03899.1011 =−=−= xxε 
 
 
A tabela a seguir, construída no EXCEL, apresenta o resultado da 
aplicação do método de N-R, para a obtenção de uma aproximação 
para a raiz da equação com exatidão até a quarta casa decimal. A 
última coluna da tabela apresenta uma estimativa da ordem de 
convergência – valor de p – obtida a partir da expressão: 
 












≅
−
+
1
1
log
log
k
k
k
k
p
ε
ε
ε
ε
 
 
i
 
ix ( )ixF ( )ixF ′ i∈ p 
0 0,2500 2,5916 -2,2736 
1 1,3899 -3,2945 -7,9490 1,1399 
2 0,9754 -0,4089 -5,9640 0,4145 
3 0,9068 -0,0115 -5,6267 0,0686 1,7784 
4 0,9048 0,0000 -5,6166 0,0021 1,9505 
5 0,9048 0,0000 -5,6166 1,851E-06 1,9977 
6 0,9048 0,0000 -5,6166 1,508E-12 2,0000 
 
 
Exercício
 
Dada a função: 
F(x) = x ln x - 1 = 0 
 
 41
pede-se calcular uma aproximação para a sua raiz usando o método de 
N-R com 410−≤∈ ( )763.1=ρ 
 
 
Exercício:
 
Usando o método de N-R determine a menor raiz positiva das 
equações abaixo. 
( )
( )
( )43097.106)(
754.0cos2)(
2748.40
2
)(
5
2/
==−
==
==−
ρ
ρ
ρ
xc
exb
tgxxa
x
 
Considere 410−≤ε . 
 
 
Exercício:
 
Seja F(x) = ex - 4x2 . Obter uma aproximação para ρ com 410−≤ε 
usando o método de N-R ( . )ρ = 0 7148 
 
 
Algoritmo: 
 
Adaptado para determinação de uma aproximação para a raiz da eq. 
F(x) = 2x - cos(x) = 0 através do método de N-R. 
 
Início (* N-R *) 
 Defina F(x) = 2x-cos(x) 
 Defina DF(x) = 2 + sen(x) 
 Solicite a aproximação inicial (x0) 
 Leia Xv 
 Solicite a precisão (E) 
 Leia E 
 Solicite o limite de iterações (N) 
 Leia N 
 Para i de 1 até N 
 Faça 
 Xn = xv – F(xv)/DF(xv) 
 Se |Xn – Xv| ≤ E 
 Então 
 Escreva “aprox “,xn,“ 
com “,i,“ iteracoes” 
 Saia da repetição 
 Senão 
 Xv=Xn 
 Fim Se 
 Fim para 
 Se |Xn – Xv| > E 
 Então 
 Escreva “Aplicação não converge ou “ 
 Escreva “grau de exatidão não”, 
” pode ser alcançado com “, 
N, “ iterações” 
 Fim Se 
Fim (* N-R *) 
 
 
 42
O MÉTODO DAS SECANTES 
 
A discussão a seguir é baseada em [FRANCO, 2006]. Uma série 
desvantagem do método de N-R é a necessidade de se ter que obter 
)(' xF , bem como calcular o seu valor numérico a cada passo. No 
método das secantes, a derivada )(' xF é substituída pelo quociente 
das diferenças : 
 
1
1)()()('
−
−
−
−
=
kk
kk
k
xx
xFxF
xF 
 
onde 1, −kk xx são duas aproximações quaisquer para a raiz ρ . 
Substituindo na equação do método de Newton-Raphson, obtém-se: 
 
)()(
)()(
)()(
)(
)('
)(
1
1
1
1
1
−
−
−
−
+
−
−
−=
−
−
−=−=
kk
kkk
k
kk
kk
k
k
k
k
kk
xFxF
xFxx
x
xx
xFxF
xF
x
xF
xF
xx 
 
)()(
)()(
1
11
1
−
−−
+
−
−
=
kk
kkkk
k
xFxF
xFxxFx
x 
 
Observe-se que são necessárias duas aproximações iniciais para que a 
equação acima possa ser utilizada. 
 
Graficamente: 
 
 
 
11
1
1
1 )()()()(
+−
−
−
−
−
=
−
−
=
kk
k
kk
kk
xx
xF
xx
xFxF
tg α 
 
)()()( 1
1
1
11
−
−
−
+−
−
−
=
−
⇒
kk
kk
k
kk
xFxF
xx
xF
xx
 
 
)()(
))((
1
11
11
−
−−
−+
−
−
−=⇒
kk
kkk
kk
xFxF
xxxF
xx 
 
)()(
)()(
1
11
1
−
−−
+
−
−
=⇒
kk
kkkk
k
xFxF
xFxxFx
x
 
 
 
Exemplo: 0cos4)( =−= xexxF , )1,0(∈ρ , 9.0)(' ≅ρxF (método 
gráfico) 
 
 43
Resolução: 
 
9.00 =x e 0.11 =x (valores arbitrados) 
?2 =x ( 1=k ) 
0.0268)9.0cos(4)( 9.00 =−= exF 
5571.0)1cos(4)( 11 −=−= exF 
9046.0
5839.0
5282.0
0268.05771.0
)0268.0)(1()577.0)(9.0(
)()(
)()(
01
0110
2
=
−
−
=
=
−−
−−
=
−
−
=
xFxF
xFxxFx
x
 
0954.019046.0122 =−=−= xxε 
 
?3 =x ( 2=k ) 
5771.0)( 1 −=xF 
0011.0)9046.0cos(4)( 9046.02 −=−= exF 
9048.0
5582.0
5050.0
)5771.0(0011.0
)5771.0)(9046.0()0011.0)(1(
)()(
)()(
12
1221
3
==
=
−−−
−−−
=
−
−
=
xFxF
xFxxFx
x
 
0002.09046.09048.0233 =−=−= xxε 
 
?4 =x ( 3=k ) 
0011.0)( 2 −=xF 
00004.0)9048.0cos(4)(9048.03 −=−= exF 
9048.0
0010.0
0009.0
)0011.0(00004.0
)0011.0)(9048.0()00004.0)(9046.0(
)()(
)()(
23
2332
4
==
=
−−−
−−−
=
−
−
=
xFxF
xFxxFx
x
 
3
344 10
−<−= xxε 
 
Portanto, 9048.0=ρ , com 310−<ε . 
 
 
Ordem de Convergência – Método das Secantes
 [FRANCO, 2006] 
 
Teorema: 
A ordem de convergência do método das secantes é ( )
.618.1
2
51
≅
+
=p 
 
Exercício: 
Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das 
equações a seguir [FRANCO, 2006]: 
a) xx ln7.2−= 
b) 0ln =−− xe x 
 
 
 
 44
 
2.2 ESTUDO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
2.2.1 INTRODUÇÃO 
 
Seja uma equação algébrica (polinomial) de grau ( )1≥nn : 
( ) 0... 012211 =+++++= −−−− axaxaxaxaxP nnnnnn 
onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
 
Todo eq. algébrica de grau n, n ≥ 1, tem exatamente n raízes, que 
podem ser reais ou complexas, e não necessariamente distintas. 
 
Uma raiz ρ da equação ( ) 0=xP é dita ter multiplicidade m se: 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) 0
0..."' 1
≠
=====
−
ρ
ρρρρρ
m
m
P
ePPP
 
 
Exemplo: 
Mostrar que ρ = 2 é raiz da equação algébrica 
( ) 08465 234 =−++−= xxxxxP 
com multiplicidade m = 3 
 
Solução: 
( )
( )
( ) 0424603242.122.152.42'
412154' 
08824401682.42.62.522 
23
23
234
=++−=++−=⇒
++−=
=−++−=−++−=
P
xxxxP
P
 
( )
( ) 0126048122.302.122"
123012" 
2
2
=+−=+−=⇒
+−=
P
xxxP
 
( )
( ) 01830482'''
3024''' 
≠=−=⇒
−=
P
xxP
 
 2 =∴ ρ é raiz e tem multiplicidade 3. 
 
2.2.2 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO 
 
Dado um polinómio ( )xP , um problema que se coloca é o de calcular 
o valor numérico de ( )xP para x x= 0 , ou seja, ( )0xP . Observe-se que 
o cálculo de ( )0xP requer n adições e ( )2
1+nn
 multiplicações. De 
fato: 
 
( )
{ {
produtoprodutosprodutos
axaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 0
1
01
1
1
0100 ... ++++=
−
−
− 43421
 
( ) ( ) ( )
2
112...21 +=+++−+−+ nnnnn 
 
Foi utilizada acima a fórumla da soma dos termos de uma progressão 
aritmética. 
( )
n. termosde número,1,com
2
.
1
1
===
+
=
n
n
n
ana
aanS
 
 
Então, se o grau n do polinômio for elevado (digamos, 20≥n ), o 
cálculo de ( )0xP , além de se tornar muito laborioso, é também 
ineficiente do ponto de vista computacional. 
 
 45
 
Exemplo: 
Dado o polinômio 
( ) 5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP 
seja determinar ( )2P . 
 
Resolução: 
( )
( ) 3212
52.32.162.22.32.152.22.102.22.32 23456789
=⇒
−+−+−−+−+=
P
P
 
 
2.2.3 MÉTODO DE BRIOT-RUFFINI 
 
Dado o polinômio ( ) 0111 . axaxaxaxP nnnn ++++= −− K , 
dividindo-se ( )xP pelo binômio ( )cx − , obtém-se a igualdade: 
 
( ) ( ) ( ){ {
divisão
da resto
quociente
polinômio
rxQcxxP +−= 
 
onde ( )xQ é da forma: 
 
( ) 12211 . bxbxbxbxQ nnnn ++++= −−− L 
 
Como determinar os coeficientes nibi ,,1, L= e o resto r? 
( ) ( )( )
( )
( ) 12211
01
1
1
bxbxbxbxQ
axaxaxaxP
rcxxQxP
n
n
n
n
n
n
n
n
++++=
++++=
+−=
−
−
−
−
−
L
L
 
 
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) rcbxcbbxcbb
xcbbxcbbxb
rcxbxbxbxb
axaxaxa
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+−−+−+
+−+−+=
+−++++
=++++
−
−−
−
−
−
−
−
−
−
121
2
32
2
12
1
1
12
2
1
1
01
1
1
L
L
L
 
 
Obtém-se, da redução a termos semelhantes: 
01
121
212
11
.
.
.
.
abcr
abcb
abcb
abcb
ab
nnn
nnn
nn
+=
+=
+=
+=
=
−−−
−−
M
 
 
Ou, equivalentemente, 
01
1
.
Ruffini)-Briot de (algoritmo11.
abcr
nkabcb
ab
knknkn
nn
+=
−≤≤+=
=
−+−− 
 
 
EXEMPLO:
 Seja dividir 
( ) 10167 23 −+−= xxxxP 
pelo binômio ( )2−x , usando o método de Briot-Ruffini 
 
Solução: 
( ) ( ) ( )
( ) 1223
.2
bxbxbxQ
rxQxxP
++=
+−=
 
 
 
 46
Cálculo dos bi's
 i = 1 2 3, , 
( )
( ) 6165.2.
571.2.
1
121
232
33
=+−=+=
−=−+=+=
==
abcb
abcb
ab
 
 
Cálculo do resto: 
( )
( )
2
65
2106.2
2
01
=
+−=∴
=−+=+=
r
xxxQ
acbr
 
 
Usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
ai s'6 74444444 84444444
 
 
1 7 16− 
-10 
2 2 10− 12 
 
1 5 6−
bi s'
1 2444 3444
 
{
r
2 
 
 
Exemplo:
 Seja dividir 
( ) 10167 23 −+−= xxxxP 
Pelo binômio ( )3+x , usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
 
Resolução: 
 
 
1 7 16− 
 -10 
-3 − 3 30 -138 
 
1 10 46−
 
 -148 
 
( )
148
46102
−=
+−=∴
R
xxxQ
 
 
Observe-se que: ( ) ( ) ( ) ( ) 148103163.733 23 −=−−+−−−=−P 
 
 
Teorema:
 o valor numérico de ( )xP em x c= é igual ao resto da 
divisão de ( )xP por ( )cx − 
Demonstração: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) rcP
rcQcccP
cx
rxQcxxP
=⇒
+−=⇒
=
+−=
.
 
 
 
Exemplo: 
Dado o polinômio 
( ) ,5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP seja 
calcular ( )2P usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
 
Resolução: 
 
 3 2 -10 2 -15 -3 2 -16 3 -5 
2 6 16 12 28 26 46 96 160 326 
 3 8 6 14 13 23 48 80 163 321 
 
( ) 3212 =∴P 
 
 
 47
 
Teorema: o valor numérico da derivada de ( )xP para x c= é igual ao 
resto da divisão de ( )xQ por ( )cx − , onde ( )xQ é o polinômio 
quociente da divisão de ( )xP por ( )cx − . 
 
Demonstração: 
( ) ( ) ( )
tecons
rxQcxxP
tan
. +−= 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )cQcP
cQcccQcQcP
temoscxpara
cxxQxQxP
=⇒
=−+=
=
−+=
'
.''
:,
''
 
 
 
Pelo teorema anterior sabemos que ( )cQ é igual ao resto da divisão de 
( )xQ pelo binômio ( )cx − . 
 
 
Exemplo: 
Dado o polinômio ( ) 030202 23 =+−−= xxxxP 
seja calcular ( )2'P usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
 
Resolução: 
 
 1 -2 -20 +30 
 
2 2 0 -40 
 
 1 0 -20 -10 
2 2 4 
 
 1 2 -16 
 
 ( ) 102 −=∴P e ( ) 162' −=P 
 
Observe-se que: 
( )
( ) ( ) (( ) ) 3020230202
30202
2
23
+−−=+−−=⇒
+−−=
xxxxxxxP
xxxxP
 
( ) (( ) ) 103040302202222 −=+−=+−⋅−=∴P 
( ) ( )
( ) ( ) 1620420242.32'
20432043' 2
−=−=−⋅−=⇒
−−=−−=
P
xxxxxP
 
 
 
2.2.4 MÉTODO DE HORNER 
 
( )
( )
(( ) )
(({ ) ) 0121
1
012
3
1
2
012
2
1
1
01
2
2
1
1
)( axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxaxP
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+++++=
+++++=
+++++=
+++++=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
LL
M
L
L
L
 
 
 
Exemplo: 
Dado ( ) 84252 234 −+−−= xxxxxP , calcular ( )3P (Horner). 
 
Resolução: 
( )
( )
( )( )
( )( )( ) 84252
84252
84252
84252
2
23
234
−+−−=
−+−−=
−+−−=
−+−−=
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxP
 
 
 48
( ) ( )( )( ) ( ) 13383432353.23 =⇒−⋅+⋅−⋅−=∴ PP 
 
 
Exemplo: 
Dado ( ) ,5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP 
calcular ( )2P pelo método de Horner. 
 
Resolução: 
 
( )
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) 32152321622232152221022232
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
2
23
234
2345
23456
2345672345678
23456789
=−+−+−−+−⋅+⋅=∴
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
P
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxP
 
 
Observe-se que é possível obter a forma fatorada final diretamente, 
em um único “passo”: 
 
( )
( )( )( )( )( )( )( )( )xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxP
3210215321635
3210215321635 98765432
++−++−+−++−++−=
++−+−−+−+−=
 
 
2.2.5 MÉTODO DE BIRGE-VIETA 
 
O algorítmo obtido quando usamos os resultados dos teoremas 
anteriores para aplicar o método de N-R é chamado de método de 
Birge-Vieta: 
 
( )
( ) ,...2,1,0'1 =−=+ nxP
xP
xx
n
n
nn 
onde: 
 
( )nxP é o resto da divisão de ( )xP por ( )nxx − ( )nxP' é o resto da 
divisão do quociente obtido quando do cálculo da divisão de ( )nxP 
pelo binômio ( )nxx − . 
 
 
Exemplo:
 
Calcule uma aproximação ρ para a raiz ρ de 
( ) 4616327633 −+−= xxxxp no intervalo (20,25) tal que 210−<ε , 
usando o método de Brige-Vieta. Assumir x0 22 5= . como 
aproximação inicial da raiz. 
 
Resolução: 
 
Cálculo de 1x : 
 
)5.22('
)5.22(5.22)('
)(
0
0
01 P
P
xP
xP
xx −=−= 
 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 49
 3 -76 +163 -46 
22.5 67.5 -191.25 -635.63 
 3 -8.5 -28.25 -681.63 
22.5 67.5 1.327,5 
 3 59 1.299,25 = P'(22.5) 
 
02.23
25,299.1
63.6815.221 =
−
−=⇒ x 
52.05.2202.23011 =−=−= xxε 
 
Cálculo de 2x : 
 
)02.23('
)02.23(02.23)('
)(
1
1
12 P
P
xP
xP
xx −=−= 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 3 -76 +163 -46 
23.02 69.06 -159.76 +74.61 
 3 -6.94 +3.24 +28.61 
23.02 69.06 1.430.00 
 3 61.12 1.433.24 = P'(23.02) 
 
00.23
24.1433
61.2802.232 =−=⇒ x 
02.002.2300.23122 =−=−= xxε 
 
Cálculo de 3x : 
 
)23('
)23(23)('
)(
2
2
23 P
P
xp
xp
xx −=−= 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 3 -76 +163 -46 
23 69 -161 46 
 3 -7 2 0 = p(23) 
 < 10-2 
232 ===∴ xρρ 
 
 
2.2.6 NÚMERO DE ZEROS REAIS DE UM POLINÔMIO COM 
COEFICIENTES REAIS 
 
Regras de Sinais de Descartes: 
 
O número de raízes reais posistivas n+ de uma equação algébrica é 
igual ao número de variações de sinais na seqüência dos coeficientes, 
ou menor que este número por um inteiro, par, não negativo, sendo 
que uma raiz de multiplicidade m é contada como m raízes e que 
coeficientes iguais a zero não são considerados. 
Para se determinar o número e raízes reais negativas, n-, aplica-se a 
regra anterior a P(-x). 
 
Exemplos: 
 
( ) ( ) 0302975 234 =+++−= xxxxxPa 
+ − − + +123 123 
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas 
 
 50
( ) 302975 234 +−−+=− xxxxxP 
+ + − − +123 123 
n- = 2 ou 0 raízes reais negativas 
 
( ) ( ) 1432 345 ++−−= xxxxxPb 
+ + 321321 −−+ 
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas 
( ) 1432 345 +−+−−=− xxxxxP 
− − + − + 123123123 
n- = 3 ou 1 raízes reais negativas 
 
( ) ( ) 144 235 −−+−= xxxxxPc 
{{{ −−+−+ 
n+ = 3 ou 1 raízes reais positivas 
 
( ) 144 235 −+++−=− xxxxxP 
− + + − + 123 123 
n- = 2 ou 0 raízes reais negativas 
 
( ) ( ) 1 7 += xxPd 
+ + 123 
n+ = 0 raízes reais positivas 
( ) 17 +−=− xxP 
− + 123 
n- = 1 raíz real negativa 
 
2.2.7 LIMITAÇÃO DAS RAÍZES REAIS DE UMA EQUAÇÃO 
ALGÉBRICA: MÉTODO DE LAGUERRE 
 
Limitar as raízes de uma equação F(x)=0 é determinar um intervalo 
onde estão todas as raízes da equação. 
 
 
O MÉTODO DE LAGUERRE 
 
Seja determinar um número real Ls tal que, dada a função polinomial 
y = P(x), P(x) > 0 0 >≥∀ Lx .Diz-se que Ls é um limitante superior 
para as raízes da equação algébrica P(x) = 0. 
 
Para se determinar Ls divide-se sucessivamente P(x) por (x - xk), xk 
= 1, 2, ... até que para um particular valor de x, digamos xL, tem-se 
todos os coeficientes do quociente e o resto da divisão positivos. 
 
Dividindo-se P(x) pelo binômio (x - Ls) obtém-se: 
 
( ) ( ) ( ) RxQLxxP S +−= 
onde Q( x ) é da forma: 
 
12
1
1
1 bxbnx
n
bnxnb +++
−
−
+− L 
 
Obviamente: 
( ) .0 0R e ,,,2,1 ,0 ,0 >>=>>≥ xPentãonibLxSe iS L 
 
 
Exemplo: 
Seja o polinômio: 
 
 51
( ) 302975 234 ++−−= xxxxxP . 
Encontrar um limitante superior para os seus zeros. 
 
Resolução:
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 1 -5 -7 29 30 
1 1 
 1 − <4 0 
 
 1 -5 -7 29 30 
2 2 
 1 − <3 0 
 
 1 -5 -7 29 30 
3 3 
 1 − <2 0 
 
 1 -5 -7 29 30 
4 4 
 1 −1 
 
 1 -5 -7 29 30 
5 5 0 
 1 0 − <7 0 
 
 1 -5 -7 29 30 
6 6 6 
 1 1 − <1 0 
 
 
 1 -5 -7 +29 +30 
7 7 14 49 546 
 1 2 7 78 576 
 
∴ =LS 7 é um limitante superior para os zeros da função 
polinomial y = P(x). 
 
Para se determinar um limitante inferior, Li, para as raízes reais não 
positivas da eq. algébrica P(x) = 0, procede-se como indicado a seguir. 
Seja n o grau da equação algébrica P(x) = 0. Então: 
(a) se n é par, determina-se o limitante superior Ks de )( xPy −= e 
toma-se si KL −= . 
(b) se n é ímpar, determina-se o limitante superior Ks de )( xPy −−= 
e toma-se si KL −= . 
 
 
Graficamente: 
Caso (a): 
 
 52
 
Caso (b): 
 
 
Exemplo: 
Determinar um limitante inferior para os zeros do polinômio do 
exemplo anterior. 
 
Solução: 
( ) 302975 234 ++−−= xxxxxP 
n = 4, par ⇒ si KL −= 
onde Ks limit sup. para )( xPy −= 
 
Determinação de Ks: ( ) 302975 234 +−−+=− xxxxxP 
 
 53
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 1 5 -7 -29 30 
1 1 6 
 1 6 -1 < 0 
 
 1 5 -7 -29 30 
2 2 14 14 
 1 7 7 -15 < 0 
 
 1 5 -7 -29 30 
3 3 24 51 66 ⇒ ks = 3 
 1 8 17 22 96 
 
3−=−=∴ si kL é um limitante inferior para os zeros da função 
polinomial y = P(x). 
 
Observação: as raízes da equação 0302975 234 =++−− xxxx são: 
( ) 4,3,2,1 , 7,3 
,5 ,3 ,1 ,2 4321
=−∈∴
==−=−=
iiρ
ρρρρ
 
 
 
Exemplo completo: 
Dada a equação algébrica: ( ) 013 345 =++−−= xxxxxP 
pede-se determinar: 
(a) o número de raízes reais positivas 
(b) o número de raízes reais negativas 
(c) um limitante superior para as raízes reais 
(d) um limitante inferior para as raízes reais 
(e) um intervalo contendo no mínimo uma raiz real. 
(f) a raiz isolada usando o método de Birge-Vieta. 
 
( ) ( ) 013 345 =++−−= xxxxxPa 
+ − − + + 
1 1
123 123 
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas 
 
( ) ( ) 013 345 =+−+−−=− xxxxxPb 
− − + − +
11 1
123123123 
n- = 1 ou 3 raízes reais negativas 
 
(c) 
 3 -1 -1 0 1 1 
1 3 2 1 1 2 ⇒ Ls = 1 
 3 2 1 1 2 3 
 
(d) n = 5 ⇒ Li = - Ks Ks limitante superior de -P( -x) 
 
( )
( ) 13
13
345
345
−+−+=−−
+−+−−=−
xxxxxP
xxxxxP
 
 3 1 -1 0 1 -1 
1 3 4 3 3 4 
 3 4 3 3 4 3 
⇒ Li = - Ks = -1 ∴ = − Li 1 
 
De ( ) ( ) ( ) ( )1,10:: e −∈⇒=ℜ∈∀ ρρρ Pdc 
 
(e) P(xi ) = ? xi ∈(-1, 1) 
 Do item (c) : P( 1 ) = 3 > 0 
P(0) = 1 > 0 
P( -1) = ? 
Do item (d): - P ( -1) = 3 ⇒ P( -1 ) = -3