Resolução Numérica de Equações

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Campus de Guaratinguetá 
 
 
Notas de Aula de Cálculo Numérico 
 
 
Prof. G. J. de Sena - Depto. de Matemática – Ed. 2016 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
 
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se determinar um número  
que anule uma determinada função F(x), isto é, F( ) = 0. Este número  é chamado de raiz da 
equação 0)( xF ou zero da função )(xFy  . 
 
Classificação: 
 
(i) Equações algébricas: Ex.: 08465 234  xxxx 
(ii) Equações transcendentes: Ex.: xexxsenx x cos)4( 2  
 
Etapas no cálculo de uma aproximação para a raiz: 
 
(i) Isolamento da raiz: determinação de um intervalo [a,b] o menor possível contendo uma e 
somente uma raiz da equação 0)( xF . 
(ii) Melhoramento do valor da raiz aproximada até o grau de exatidão requerido. 
 
 
EQUAÇÕES TRANSCENDENTES 
 
2.1.1 ISOLAMENTO DE RAÍZES - MÉTODO GRÁFICO 
 
Uma raiz real de uma equação 0)( xF é a abscissa de qualquer ponto no qual a função 
)(xFy  intercepta o eixo Ox : 
 
 2
 
 
Exemplo: seja 2)(  xsenexFy x 
 
-2 -1 1 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
 
 
Como se observa, para esta equação, 06.1 . 
 
 
Pode-se também identificar duas funções )(xg e )(xh a partir da função )(xFy  , impondo-
se a condição de que    xhxgxF )( . Constroem-se os gráficos de )(1 xgy  e de 
)(2 xhy  . Estes se interceptam num ponto cuja abscissa é 0xx  : 
 
     0)( 000  xFxhxg 
 
 0x 
 
 
 
 3
Exemplo: isolar todas as raízes da equação: 1)( 2  senxxxF 
 
 
)()(
22 )1(1)(
xhxg
senxxsenxxxF  
 
Gráfico de 2)( xxg  : 
 
-2 -1 1 2
1
2
3
4
 
 
 
Gráfico de 1)(  xsenxh : 
 
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
 
 
 
Gráficos de )(xg e )(xh superpostos: 
 
 
-2 -1 1 2
1
2
3
4
 
 
 
Como se observa, há duas raízes reais, localizadas nos seguintes intervalos: 
)0,1(1  e )2,1(2  . 
 
 
Exercício: 
Localize, graficamente, as raízes das equações abaixo: 
 
 4
032)
0
2
)
01log)
039)
0)cos(4)
3
2





xe
xtgxd
xxc
xxb
exa
x
x
 
 
 
2.1.2 GRAU DE EXATIDÃO DA RAIZ 
Uma vez isolada uma raiz num intervalo [a,b] passa-se a calculá-la através de métodos 
numéricos. Estes métodos fornecem uma seqüência  ix de aproximações cujo limite é a raiz 
exata . 
 
Teorema: Seja  uma raiz isolada exata e  uma raiz aproximada da equação 0)( xF , com 
 e  pertencentes ao intervalo [a,b] e ,0)('  mxF  bax , . 
Então a seguinte desigualdade se verifica: 
 
m
F )(
  
 
 
Exemplo: Sendo 1)()( 2  xsenxxF , delimitar o erro cometido com 4.1 no intervalo 
[1.0,1.5]. 
 
Resolução: 
)cos(2)('1)()( 2 xxxFxsenxxF  
 
Para achar o valor de m, pode-se visualizar o gráfico de )(' xFy  : 
 
 
 
 5
 
Observa-se que m ocorre em 1x . 
 
Outra forma: designando xy 21  e ),cos(2 xy  sobrepondo-se os gráficos destas duas 
funções, obtém-se: 
 
0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
 
 
Observa-se que o menor valor (m) de )(' xF no intervalo [1,1.5] ocorre em x = 1.0, ou seja: 
  460.11cos12 m . Substituindo: 
 

m
F )(
 017.0
46.1
025.0
460.1
)4.1(

F
 
417.1383.1017.04.1   
 
Observa-se que o cálculo de m é difícil de ser efetuado na maioria dos casos. Por esta razão, 
no cálculo de uma aproximação para uma raiz exata  de uma equação   0xF , a cada 
aproximação obtida, nx , utiliza-se um dos critérios abaixo para comparação do resultado 
obtido com uma tolerância L prefixada: 
 
L
nx
nxnxiiiLnxnxiiLnxFi 

1)(1)()()( 
 
Observações: 
(a) 
 
 
 
 6
(b) 
 
 
 
O MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
Seja )(xFy  uma função contínua num intervalo  ba, e     0 bFaF . 
 
Interpretação geométrica: 
 
Construção de uma seqüência   nni xxxxx ,,...,, 110  , tomando-se nx quando algum 
critério escolhido dentre os anteriores, por exemplo, Lxx nn  1 , for satisfeito: 
 
 
Na aplicação do método, a cada ix obtido, 1i , calcula-se 1 iii xx e verifica-se i 
satisfaz alguma condição especificada. 
 
 
Teorema: 
Seja )(xFy  uma função contínua num intervalo  ba, . Se 0)()(  bFaF então existe 
pelo menos um ponto x entre a e b que é zero de )(xFy  . 
 
 
 7
 
 
 
Sob as hipóteses do teorema anterior, se )(' xFh  existe e preserva o sinal em  ba, , então 
este intervalo contém um único zero de )(xFy  . 
 
 ],[,0)(' baxxF  ],[,0)(' baxxF  . 
 
Aplicação do método da bisseção: 
 
 
 
 














ii
i
ervalo
novo
i
ii
i
i
xxF
bFxFsebx
ou
xFaFsexa
xF
médiopontox
bFaF
ba
0
0)()(),(
0)()(,
:0
0)()(
),(
int

 
 
 
Exemplo: 
Determinar, usando o método da bisseção uma aproximação para a raiz da equação 
 01)()( 2  xsenxxF , no intervalo (1,2), com 0.01 . 
 
 
 
 8
Resolução: 
 
i a b xi F(a) F(b) F(xi)  i i ix x  1 
0 
1 
2 
3 
4 
 
1 
1 
1.25 
1.38 
1.38 
 
2 
1.5 
1.5 
1.5 
1.44 
 
1.5 
1.25 
1.38 
1.44 
1.41 
 
-0.84 
-0.84 
-0.39 
-0.08 
-0.08 
 
2.09 
0.25 
0.25 
0.25 
0.08 
 
0.25 
-0.39 
-0.09 
0.08 
0.00 
 
 
25.001  xxi

2 2 1
013  x x .

3 3 2
0 06  x x .

4 4 3
0 03  x x . 
 
 
Exemplo: 
Determinar, usando o método da bisseção uma aproximação para a raiz da equação 
05)(   xexxF , no intervalo (1,2), com grau de exatidão 0.01 . 
 
Resolução: 
i a b xi F(a) F(b) F(xi)  i i ix x  1 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
1 
1 
1.25 
1.38 
1.38 
1.41 
1.43 
2 
1.5 
1.5 
1.5 
1.44 
1.44 
1.44 
1.5 
1.25 
1.38 
1.44 
1.41 
1.43 
1.44 
-0.8 
-0.8 
-0.3 
-0.08 
-0.08 
-0.03 
-0.0007 
0.7 
0.1 
0.1 
0.1 
0.02 
0.02 
0.02 
0.1 
-0.3 
-0.08 
0.02 
-0.03 
-0.0007 
0.02 
 
25.001  xxi

2 2 1
013  x x .

3 3 2
0 06  x x .

4 4 3
0 03  x x .

5 5 4
0 02  x x .

6 6 5
0 01  x x . 
 
Assume-se para aproximação da raiz o último valor obtido para ix , ou seja, 44.1 . 
 
 
 
 9
Algoritmo 
Adaptado para determinar uma aproximação para a raiz da equação   01sen2  xxxF . 
 
Início 
 Defina F(x) = x^2-sen(x)-1 
 Solicite os extremos do intervalo, a e b 
 Leia(a, b) 
 Solicite a precisão P 
 Leia P 
 Xm=0 
 Faça 
 início 
 Xma=Xm 
 Xm=(a+b)/2 
 Se (f(a)*f(xm) < 0) 
 então b=xm 
 senão se (f(a)*f(xm) > 0) 
 então a=xm 
 senão 
 início 
 Escreva ‘raiz = ‘, xm 
 Pare 
 fim 
 fim 
 enquanto (|xm-xma| > P) 
 Escreva(“aproximação”, (xm+xma)/2) 
Fim 
 
 
2.1.4 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (M.I.L.) 
 
O M.I.L. consiste em transformar a equação   0xF na equação )(xx  , tal que 
    0 xxxF  , onde )(x é chamada de função de iteração. 
 
Suponha que 0x corresponda a uma primeira aproximação de ; geramos uma seqüência do 
seguinte modo: 
0x 
)( 01 xx  
)( 12 xx  
 
)(1 nn xx  
 
Se }{ nx é uma sequência convergente, então  tal que: 
 lim 
 nn
x 
 
Como  é contínua:)()lim()(limlim 11    nnnnnn xxx 
 
Portanto, quando ,n ).()(1   nn xx Ou seja, .  
 
 
 10
 
Exemplo: 
Seja 0)sen()( 2  xxxF . Obter funções de iteração para esta equação. 
 
Resolução: 
xsenxx x
senxxa


2
2
 
0 )(
 
  xxxx sen 21  
 
 
senxx=
senxsenxsenxx
senxxb



 
 
0 
2
2
 
  xx sen 2  
 
 
2
2
222
2
 
 
 
0 
xsenarcx
xxsen
xxsenxx
senxxc




 
  23 sen xarcx  
 
 
x
xsenx
x
xsenx
xsenx
xsenxd




4
2
2 0 )(

 
 
 
Exemplo: 
Determinar uma aproximação para a raiz da equação   012  senxxxF no intervalo 
[1.0, 1.5], com grau de exatidão 310 usando o M.I.L. 
 
Resolução: 
Função de iteração: 
  1101 22  senxxsenxxsenxxxF 
  1sen  xx 
 
Processo Iterativo: 
 
 11
   
3.1
10 1 3111

 
o
nnnnnnn
x
xxxsenxxx 
 
    4013.113.11  senxx o 
001.01013.03.14013.111  oxx 
    4091.114013.112  senxx  
001.00078.0140134091.1122  xx 
    4096.114091.123  senxx  
001.00005.0140914096.1233  xx 
4096.1 
 
Com grau de exatidão 310  
Obs.:       52 1038.614096.14096.1  senF  . 
 
 
Exemplo: 
Seja determinar, iterativamente, uma aproximação para 5 . 
 
(a) Tentativa com a função de iteração simplificada: 
x
ax
ax
ax



2
2 0
 
 
(função de iteração : )(xx  ) 
x
ax )( 
)(
5.1
5
1
0
nn xx
x
a







 
 
 
5.1
333.3
5)(
333.3
5.1
5)5.1()(
5.1
12
01
0



xx
xx
x

 
333.3
5.1
5)( 23  xx  
Observa-se que a sequência gerada por 
n
nn x
xx 5)(1   não converge para a raiz da 
equação   02  axxF . 
 
(b) Tentativa com uma função de iteração mais trabalhada: 
x
axaxax  22 0 
 
 12












 

n
nnnn x
axxxx
x
axxx
x
axx
2
1)(
2
1
11 
 
 





5.1
5
0x
a
 






n
nn x
axx
2
1
1 
 
1n
-3
 :passo cada 
10 :TOLERÂNCIA


nn xxa 

 
 











 







917.05.1417.2
417.2
5.1
55.1
2
15
2
1)(
5.1
1
0
001
0


x
xxx
x
 











 
174.0417.2443.2
243.2
417.2
5417.2
2
1)(
2
12

 xx
 











 
007.0243.2236.2
236.2
243.2
5243.2
2
1)(
3
23

 xx
 
236.2236.2
10236.2236.2
236.2
236.2
5236.2
2
1)(
3
4
34












 



 xx
 
Obs.: 2360679.25  
 
 
Convergência no M.I.L. 
 
Para o caso da equação 5x , com 5.1 0 x , observamos que: 
  convergenão
x
x 51  ;   




 
x
xx 5
2
1
2 converge! 
Por quê? Para concluir sobre isto, basta verificar o comportamento do M.I.L. 
geometricamente. Observe-se inicialmente a situação ilustrada na figura a seguir: 
 
 
 13
 
 
 
 
 













23
12
01
0
0
...
xx
xx
xx
x
xx
xF
LIM




 
 
   
     
 
   xxh
xxg
xhxgxF
xxxx






 
 :onde
0
0
 
nx pela direita; 
 xgy  é a bissetriz! 
  1' xg
   1'  x numa vizinhança de . 
 
Observe-se agora a situação ilustrada na figura a seguir: 
 
.1)('  devizinhançanumax  
 
A figura a seguir ilustra a situação de “convergência alternada”: 
 
 
 14
 
 
 
 
1)(' x 
 
Teorema da Convergência de M.I.L.: 
 
Seja 0x uma aproximação para a raiz  da equação   0xF numa vizinhança 
 .,  I Seja  uma função de iteração para a equação   0xF e suponha-se que 
 e ' sejam contínuos em I. Então, se   , ,1 ' Ixx  a sequência gerada por 
  ,3,2,1,0 ,1  nxx nn  converge para . 
 
Observação: como o valor de  é desconhecido, substitui-se o valor de 0x na derivada para se 
concluir sobre a convergência. 
 
Esboço da demonstração: 
 
M.I.L. 
     1nn xx 
 
Teorema do valor médio: 
 
         11 ' nnn xxx 
Seja L o valor máximo de  x' no intervalo I, ou seja,   Lx '  no intervalo I. 
  1 nn xLx 
 
 
 15
Do mesmo modo 
   2
2
21 nnnn xLxxLx 
 
Continuando, chega-se a: 
  0 xLx
n
n 
 
Se 1L em todo intervalo, Ix  0 , n aumentando  nx . 
 
 
 
 
 diverge processo o 1 ' 
converge processo o 1 '
Ix
x
x









 
 
Exemplo: estudar a convergência das funções de iteração do exemplo anterior. 
 
Resolução: 
 
  5.1 5 0 02  xaaxxF 
   
 
 
 
! para converge não fato de por gerada sequência a visto,Como 
1 222.2
25.2
5
5.1
5 
 
 
1
22
0
0
'
1
2
'
1
1







x
ax
x
ax
x
axa
 
 
   
 
   
! para converge por gerada sequência a visto,Como 
1 < 611.0222.21
2
1= 
96.1
51
2
1 
1
2
1 
2
1 
2
0
'
2
2
'
2
2









 





 





 
x
x
ax
x
axxb
 
 
 
Observações: 
(1) A maior dificuldade de M.I.L. está em encontrar uma função de iteração  satisfazendo 
o critério de convergência. 
(2) O teste   1 ' 0 x pode levar a um engano se 0x não estiver suficientemente próximo 
da raiz. 
(3) A velocidade de convergência dependerá de   :'  quanto menor este valor, mais 
rapidamente o processo convergirá. 
 
 
 
 16
Exemplo: 
 
 
 
  1 555.0
9
5'
2360679.2 
3
5
0
2
0
0
0
2









x
ax
x
a
x
ax
axxF



 
Aplicação: 
 
  !999.2
667.1
5
667.1
3
5
3
12
01
0



xx
xx
x

 
ou seja, o processo não converge para a raiz da equação! 
 
 
Exemplo: 
Estudar quanto à convergência as funções de iterações obtidas anteriormente para a equação 
0)()( 2  xsenxxF , considerando 0.90 x . Obter uma aproximação para a raiz da 
equação. 
 
Resolução: 
 
 
 
   
iteração de funções 
 
 
4
2
3
2
2
1











xxsenx
xsenarcx
xsenx
senxxxx




 
 
Derivadas: 
 
  x
x
x
xx
 cos 
 sen2
1
 xcos12
'
2
'
1




 
  x
x
x 2 
1
1
4
'
3 


 
     2
'
4
cos
x
xsenxxx  
No ponto :9.0 0 x 
        1 178.29.0cos19.029.0'10'1   x 
     
 
1 351.0
0885.2
622.0
9.02
9.0cos9.0'20
'
2  sen
x  
 
 17
   
 
1 069.3
9.01
9.029.0
4
'
30
'
3 


  x 
        1276.0
9.0
9.09.0cos9.09.0 2
'
40
'
4 


senx  
   2 x e   4 x convergirão,se 0x estiver suficientemente próximo de  . 
 
Isolamento da raiz: 
 
        .senxg= 
sen
2
2
xxhexxgondexh
xxxF


 
 
 
Aplicação de M.I.L     320 10 sen e 9.0   xxxx 
   
   
    001.0 878.0879.0
006.0 879.0885.0
015.0 885.09.0
9.0
323
212
101
0







senxx
senxx
senxx
x
 
   
    3-545
434
10 877.0877.0
001.0 877.0878.0




senxx
senxx
 
 877.0  é uma aproximação para  . 
Observação: 
        42 10051.3877.0877.0877.0  senFF  
 
 
Ordem de Convergência 
 
A ordem de convergência de um método fornece uma medida da velocidade com que as 
iterações produzidas pelo método aproximam-se da solução exata. Assim, quanto maior for a 
ordem de convergência, mais rapidamente se aproximará da solução exata da equação 
[FRANCO, 2006]. 
 
Definição: 
Seja  kx a seqüência gerada por uma aplicação de um método numérico e   kk x , onde 
kx representa a aproximação obtida na k-ésima iteração do método e  , a solução exata. 
Caso existam um número 1p e uma constante 0c , tais que: 
 
 18
 
cp
k
k
k

 
 1lim 
 
então p será a ordem de convergência do método aplicado. 
 
 
Teorema: 
A ordem de convergência do MIL é 1p (linear). 
 
Do teorema de convergência: 
    kxk xx k1 ,   ,kx xk  
 
Assim, 
  M
x
x
kx
k
k 

 

1 
 
Logo a definição é satisfeita com 1p e Mc  . 
 
 
Observação: 
Para k suficientemente grande: 
 
p
kk c  1  
p
kk c 1  
 
 
p
k
k
k
k









1
1



  













1
1
log
log
k
k
k
k
p




 
 
 
Exemplo: Determinar a raiz positiva da equação: 
    0cos4  xexxF 
Utilizando o MIL. Estimar também a ordem convergência da aplicação do método a esta 
equação. 
 
Resolução: 
 
Isolamento da raiz pelo método gráfico: 
 
 
 19
 
 
Como se vê, há duas raízes  1,21  e  1,02  . A seguir obtém-se uma função de 
iteração para resolução da equação: 
 
  0cos4  xex    xex cos4    4cos
xex  
  4cos xearcx  
   4cos xearcx   
 
Verificação quanto à convergência: 
 
 
 
 
 22 414
4
41
1
x
xx
x e
ee
e
x







 
 
Para 9,00 x , tem-se: 
 
 
178.0
1544.3
4596.2
414
29.0
9.0
0 



e
ex 
 
Aplicação do MIL: 
9,00 x 
  9085.04cos 9.01  earcx 
0085.09.09085.0011  xx 
 
A tabela a seguir, construída no EXCEL, apresenta o resultado da aplicação do MIL, com a 
função de iteração anterior, para uma precisão 310 . A última coluna da tabela apresenta 
uma estimativa da ordem de convergência – valor de p – obtida a partir da expressão: 
 
 20














1
1
log
log
k
k
k
k
p




 
 
i ix )( ix i p 
0 0,9000 0,9085 
1 0,9085 0,9018 0,0085 
2 0,9018 0,9071 0,0067 
3 0,9071 0,9030 0,0053 0,9939 
4 0,9030 0,9062 0,0041 1,0048 
5 0,9062 0,9037 0,0033 0,9962 
6 0,9037 0,9057 0,0026 1,0030 
7 0,9057 0,9041 0,0020 0,9977 
8 0,9041 0,9053 0,0016 1,0018 
9 0,9053 0,9044 0,0012 0,9986 
10 0,9044 0,9051 0,0010 1,0011 
11 0,9051 0,9045 0,0008 0,9991 
12 0,9045 0,9050 0,0006 1,0007 
13 0,9050 0,9046 0,0005 0,9994 
14 0,9046 0,9049 0,0004 1,0004 
15 0,9049 0,9047 0,0003 0,9997 
16 0,9047 0,9049 0,0002 1,0003 
17 0,9049 0,9047 0,0002 0,9998 
18 0,9047 0,9048 0,0001 1,0002 
 
 
Exercícios: 
(1) Calcular a raiz da equação   .01.0 com 0ln2  xxxF Usar o M.I.L. 
 65.0 : R 
(2) Calcular a raiz da equação   .01.0 com 0103  xxF Usar o M.I.L. 
 15.2 : R 
(3) Calcular a raiz da equação   0332  xexxF , -310 com  , usando o M.I.L. 
 3521.0 : R 
 
 
 
 21
Algoritmo: 
 
Adaptado para determinar uma aproximação para a raiz da equação   012  xsenxxF , 
usando a função de iteração:   1  xsenx 
 
Início /* MIL */ 
 Defina Fi(x) = 1sen x 
 Solicite a aproximação inicial (x0) 
 Leia Xv 
 Solicite a precisão (E) 
 Leia E 
 Solicite o limite de iterações (N) 
 Leia N 
 Para i de 1 até N faça 
 início 
 Xn = Fi(Xv) 
 Se |Xn – Xv|  E 
 então início 
 Escreva “aprox “,Xn,“ com “,i,“ iteracoes” 
 Saia da repetição 
 fim 
 senão 
 Xv=Xn 
 fim 
 Se |Xn – Xv| > E 
 então início 
 Escreva “Aplicação não converge ou “ 
 Escreva “grau de exatidão não”, 
 “ pode ser alcançado com “, 
 N, “ iterações” 
 fim 
Fim /* MIL */ 
 
 
O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (N-R) 
 
Descrição 
 
Seja I um intervalo contendo a raiz  da equação   0xF . Suponha-se que   0' xF 
Ix . 
  0xF 0
)('
)(

xF
xF x
xF
xFx 
)('
)( 
)('
)()(
xF
xFxx  
,2,1,0,
)('
)(
1   nxF
xFxx
n
n
nn (N-R). 
 
 
 
 22
Como no M.I.L., o objetivo é gerar uma seqüência  nx a partir de uma aproximação inicial 
0x , segundo o esquema: 
)('
)()(
)('
)()(
)('
)()(
1
1
1
112
0
0
001
n
n
nnn xF
xFxxx
xF
xFxxx
xF
xFxxx



 



 
Encontra-se portanto, ao término do processo, uma aproximação 1 nx para a raiz  da 
equação   0xF . 
 
 
Exemplo: 
Seja obter uma aproximação para a raiz da eq.   012  xsenxxF no intervalo  5.1,0.1 , 
com grau de exatidão 310 , utilizando o método de N-R e adotando 3.10 x . 
 
Resolução: 
xxxFy
senxxxFy
cos2)(''
1)( 2

 
 
Equação para iteração: 








 
kk
kk
kk
k
k
kk xx
xxxx
xF
xFxx
cos2
1sen
)('
)( 2
11 
3101173.03.14173.1011
4173.1
3325.2
2736.03.1
)3.1cos()3.1(2
1)3.1(2)3.1(3.11
3.10

















xx
senx
x

 
 
0076.04173.14097.1122
4097.1
6817.2
0205.04173.1
)4173.1cos()4173.1.(2
1)4173.1(2)4173.1(4173.12













xx
senx

 
 
3100001.04097.14096.1233
4096.1
6590.2
41002.24097.1
)4097.1cos()4097.1.(2
1)4097.1(2)4097.1(4097.13















xx
senx

 
 
4096.1 
 
 23
 
Interpretação Geométrica 
 
 
 
)1(
)1(
12
)1(
)1()21(
)1()21()1(
)1(
21
0)1(
xF
xF
xx
xF
xF
xx
xFxxxF
xF
xx
xF
tg









 
)0(
)0(
01
01)0(
)0(
)1(0()0()0(
)0(
10
0)0(
xF
xF
xx
xx
xF
xF
xxxFxF
xF
xx
xF
tg










 
 
O método de N-R é conhecido como método das tangentes. 
 
)('
)(
1
n
n
nn xF
xFxx  ,...2,1,0
)(


n
RN
 
 
 
Obtenção da fórmula de N-R a partir do desenvolvimento de  xFy  em série de Taylor 
 
...).(
!2
)("))(()f(x=f(x)
:Taylor de Fórmula
2
00
000







xxxfxxxf
 
 
0))(()(
...2,1,0,0))(()()(
1
11




nnnn
nnnnn
xxxFxF
nxxxFxFxF
 
0
)(
)(
1 
  nn
n
n xx
xF
xF 
 
)(
)(
1
n
n
nn xF
xFxx

 n = 0,1,2...24
 
Sobre a convergência do método 
 
A condição suficiente para que um processo iterativo )(xx  seja convergente é 1)(  x , 
0Ix , onde 0I é uma vizinhança da raiz  da equação   0xF . 
 
Da função de iteração: 
)('
)()(
xF
xFxx  
Obtém-se: 
2))((
)(").(
2))((
)(").(2))((2))((
2))((
)](").()().([1)(
xF
xFxF
xF
xFxFxFxF
xF
xFxFxFxFx







 
Portanto, o processo será convergente se 
1
)]([
)(").()( 2 

xF
xFxFx 
 
Observe-se que, como 0)( F : 
10
)]([
)(").()( 2 




F
FF 
 
Se F  e F  são contínuos em I ,   é contínua em I e, portanto, desde que 0)(   , existe 
uma vizinhança II  tal que Ixx  ,1)( '. 
 
 
 
Conclui-se, portanto, que o método de N-R, quando pode ser aplicado, é sempre convergente. 
A dificuldade está em determinar este subintervalo I´ onde seguramente 1)(  x . 
 
 
Exemplo: 
Para o problema de se determinar uma aproximação para a raiz da equação 
01)( 2  xsenxxF no intervalo  5.1,0.1 , com 3.10 x , estudar quanto à convergência 
as funções de iterações utilizadas nos métodos M.I.L. e N-R. 
 
 
 25
Resolução: 
 
(a) M.I.L 
1sen2
coscos.
1sen2
1)(1sen)(




x
xx
x
xxx  
 1954.01)3.1(2
)3.1cos()( 0 


sen
x 
Portanto, se 0x estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do método deverá ser 
convergente. 
 
(b) método de N-R 
xsenxFxxxFxsenxxF
xF
xFxFx



2)("cos2)(1)(
)(
)(").()(
2
2 
    
 11490.0])3.1cos(3.12[
3.121)3.1()3.1(
)(
)(").()( 2
2
2
0
00
0 




sensen
xF
xFxFx 
Portanto, se 0x estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do método deverá ser 
convergente. 
 
 
Aplicabilidade do Método de N-R (Teorema de Fourier) 
 
É condição suficiente para a convergência do método de N-R que  xF  e  xF  não se 
anulem e mantenham sinais constantes numa vizinhança I de uma raiz  da equação 
  0xF e que o processo se inicie num ponto Ix 0 tal que 0)(").( 00 xFxF . 
 
 
Exemplo: 
Calcular a raiz da equação 0sen)( 2  xxxF usando o método de N-R 
)10;9.0( 30
x . 
Resolução: 
)(
)(
1
n
n
nn xF
xFxx

 xxxF
senxxxF
cos2)(
)( 2

 
nn
nn
nn xx
senxxxx
cos2
)( 2
1 

  
 
Condições para convergência (Teorema de Fourier): 
senxxF
xxxFa


2)("
cos2)()(
 
 
Pelo método gráfico, como visto em exemplo anterior, pode-se concluir que )1,5.0( . Com 
relação a  xF  , neste intervalo, pode-se observar o que segue: 
 
 26
 
 
 
 

anula se não
sinal preserva
0cos2)(
)0.1,5.0(


xxxF
x
 
 
Com relação a  xF  , no mesmo intervalo, observa-se que: 
.02)(",)0.1,5.0(  xsenxFx 
 
0)(").(
783.2)9.0(2)9.0(")("
03.0)9.0(2)9.0()9.0()()(
00
0
0



xFxF
senFxF
senFxFb
 
 
Processo iterativo: 
9.00
cos2
2
1














x
nxnx
nxsennx
nxnx 
 
0227.09.08773.01
8773.0
1784.1
0267.09.0
)9.0cos()9.0.(2
)9.0(2)9.0(9.01






senx
 
 
3100006.08773.08767.02
8767.0
1154.1
410395.68773.0
)8773.0cos()8773.0.(2
8773.0(2)8773.0(8773.02









xsenx
 
 
 8767.0 
 
 
Exemplo: 
Calcular a raiz da equação   0cos2  xxxF usando o método de N-R  410 . 
 
Resolução: 
 
 27
 
 
 
 
 
     
xx
xhxgxF
cos2
 
 
 
 
 ]5.0,0[ 
 
Função de iteração 
...2,1,0
)(
)(
1 
 nxF
xFxx
n
n
nn 
xsen
xxxx
xsen
xxxx
senxxF
xxxF
n
nn
nn









2
)cos2()(
2
)cos2(
2)(
cos2)(
1

 
 
Condições para convergência (suficientes): 
 
(a)   xxxF cos2    xsenxF  2   xxF cos 
]5.0,0[ 






0)("
0)(
],5.0,0[
xF
xF
x não se anulam e preservam o sinal na vizinhança da raiz. 
 
(b)     000  xFxF : 
0)(").(
010cos)("
010cos0.2)(
:0
00
0
0
0




xFxF
xF
xF
x
 
 
0878.0)5.0cos()("
0>0.12=0.878-1)5.0cos(-)05.(2)(
:5.0
0
0
0



xF
xF
x
 0)(").( 00  xFxF 
 
Aplicação do método de N-R: 
n
nn
nn senx
xxxx


 2
)cos2(
1 
5.00 x 
 
 28
 
 
4506.0
4794.2
1224.05.0
5.02
)5.0cos()5.0.(25.01 


sen
x 
  4502.0
4355.2
10014.14506.0
)4506.0(2
)4506.0cos()4506.0.(24506.0
0494.05.04506.0
3
2
011








sen
x
xx
 
  4502.0
4355.2
1099.34502.0
)4502.0(2
)4502.0cos()4502.0.(24502.0
0004.04506.04502.0
5
3
122








sen
x
xx
 
4
233 10
 xx 
 
 4502.0 
 
 
Ordem de Convergência do Método de N-R 
 
Teorema: 
Se F , F  e F  são contínuas em um intervalo I , centrado em  , raiz da equação   0xF , 
e se   0 F , então a ordem de convergência do método de Newton-Raphson é quadrática 
( 2p ). 
 
 
Exemplo: Determinar a raiz positiva da equação: 
    0cos4  xexxF 
Utilizando o método de N-R. Estimar também a ordem convergência da aplicação do método a 
esta equação. 
 
Resolução: 
    xexxF  cos4      xexxF  sen4 
 
Pelo método gráfico, conforme já apresentado na seção relativa ao MIL, a raiz positiva da 
equação se encontra no intervalo  1,0 e é próxima de 1. No entanto, como o objetivo é 
ilustrar a obtenção de uma aproximação para p , ordem de convergência, adotaremos 
25.00 x . 
 
Cálculo de 1x : 
 
 
 
 
 
3899.1
2736.2
5916.225.0
25.0sen4
25.0cos425.0 25.0
25.0
0
0
01 






e
e
xF
xFxx 
1399.125.03899.1011  xx 
 
A tabela a seguir, construída no EXCEL, apresenta o resultado da aplicação do método de N-
R, para a obtenção de uma aproximação para a raiz da equação com exatidão até a quarta casa 
decimal. A última coluna da tabela apresenta uma estimativa da ordem de convergência – valor 
 
 29
de p – obtida a partir da expressão: 
 













1
1
log
log
k
k
k
k
p




 
 
i ix  ixF  ixF  i p 
0 0,2500 2,5916 -2,2736 
1 1,3899 -3,2945 -7,9490 1,1399 
2 0,9754 -0,4089 -5,9640 0,4145 
3 0,9068 -0,0115 -5,6267 0,0686 1,7784 
4 0,9048 0,0000 -5,6166 0,0021 1,9505 
5 0,9048 0,0000 -5,6166 1,851E-06 1,9977 
6 0,9048 0,0000 -5,6166 1,508E-12 2,0000 
 
 
Exercício 
Dada a equação: 
  01ln  xxxF 
pede-se calcular uma aproximação para a sua raiz usando o método de N-R com 410 . 
 763.1 
 
 
Exercício: 
Usando o método de N-R determine a menor raiz positiva das equações abaixo. 
 
 
 43097.106)(
754.0cos2)(
2748.40
2
)(
5
2/






xc
exb
tgxxa
x 
Considere 410 . 
 
 
Exercício: 
Seja a equação:   04 2  xexF x . Obter uma aproximação para  com 410 usando o 
método de N-R. 
)7148.0(  
 
 
 
 30
Algoritmo: 
 
Adaptado para determinação de uma aproximação para a raiz da eq.   0cos2  xxxF por 
meio do método de N-R. 
 
 
Início /* N-R */ 
 Defina F(x) = 2x-cos(x) 
 Defina DF(x) = 2 + sen(x) 
 Solicite a aproximação inicial (x0) 
 Leia Xv 
 Solicite a precisão (E) 
 Leia E 
 Solicite o limite de iterações (N) 
 Leia N 
 Para i de 1 até N faça 
 início 
 Xn= xv – F(xv)/DF(xv) 
 Se |Xn – Xv|  E 
 então início 
 Escreva “aprox “,Xn,“ com “,i,“ iteracoes” 
 Saia da repetição 
 fim 
 senão 
 Xv=Xn 
 fim 
 Se |Xn – Xv| > E 
 então início 
 Escreva “Aplicação não converge ou “ 
 Escreva “grau de exatidão não”, 
 “ pode ser alcançado com “, 
 N, “ iterações” 
 fim 
Fim /* N-R */ 
 
 
O MÉTODO DAS SECANTES 
 
A discussão a seguir é baseada em [FRANCO, 2006]. Uma série desvantagem do método de 
N-R é a necessidade de se ter que obter )(' xF , bem como calcular o seu valor numérico a 
cada passo. No método das secantes, a derivada )(' xF é substituída pelo quociente das 
diferenças : 
 
1
1 )()()('





kk
kk
k xx
xFxFxF 
 
onde 1, kk xx são duas aproximações quaisquer para a raiz  . Substituindo na equação do 
método de Newton-Raphson, obtém-se: 
 
 
 31
)()(
)()(
)()(
)(
)('
)(
1
1
1
1
1




 





kk
kkk
k
kk
kk
k
k
k
k
kk xFxF
xFxxx
xx
xFxF
xFx
xF
xFxx 
 
)()(
)()(
1
11
1


 


kk
kkkk
k xFxF
xFxxFx
x 
 
Observe-se que são necessárias duas aproximações iniciais para que a equação acima possa ser 
utilizada. 
 
Graficamente: 
 
 
 
11
1
1
1 )()()()(









kk
k
kk
kk
xx
xF
xx
xFxFtg  
 
)()()( 1
1
1
11









kk
kk
k
kk
xFxF
xx
xF
xx
 
 
)()(
))((
1
11
11


 


kk
kkk
kk xFxF
xxxFxx 
 
)()(
)()(
1
11
1


 


kk
kkkk
k xFxF
xFxxFx
x 
 
 
Exemplo: 0cos4)(  xexxF , )1,0( , 9.0)(' xF (método gráfico) 
Resolução: 
 
9.00 x e 0.11 x (valores arbitrados) 
?2 x ( 1k ) 
 
 32
0.0268)9.0cos(4)( 9.00  exF 
5571.0)1cos(4)( 11  exF 
9046.0
5839.0
5282.0
0268.05771.0
)0268.0)(1()577.0)(9.0(
)()(
)()(
01
0110
2 








xFxF
xFxxFxx 
0954.019046.0122  xx 
 
?3 x ( 2k ) 
5771.0)( 1 xF 
0011.0)9046.0cos(4)( 9046.02  exF 
9048.0
5582.0
5050.0
)5771.0(0011.0
)5771.0)(9046.0()0011.0)(1(
)()(
)()(
12
1221
3 





xFxF
xFxxFxx 
0002.09046.09048.0233  xx 
 
?4 x ( 3k ) 
0011.0)( 2 xF 
00004.0)9048.0cos(4)( 9048.03  exF 
9048.0
0010.0
0009.0
)0011.0(00004.0
)0011.0)(9048.0()00004.0)(9046.0(
)()(
)()(
23
2332
4 





xFxF
xFxxFx
x 
3
344 10
 xx 
 
Portanto, 9048.0 , com 310 . 
 
 
Ordem de Convergência – Método das Secantes [FRANCO, 2006] 
 
Teorema: 
A ordem de convergência do método das secantes é   .618.1
2
51


p 
 
 
Exercício: 
Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações a seguir 
[FRANCO, 2006]: 
a) xx ln7.2 
b) 0ln  xe x 
 
 
2.2 ESTUDO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
2.2.1 INTRODUÇÃO 
 
Seja uma equação algébrica (polinomial) de grau  1nn : 
 
 
 33
  0... 012211   axaxaxaxaxP nnnnnn 
 
onde os coeficientes ia são números reais e 0na . 
 
Teorema Fundamental da Álgebra 
Todo equação algébrica de grau n, 1n , tem exatamente n raízes, que podem ser reais ou 
complexas, e não necessariamente distintas. 
 
Uma raiz  da equação   0xP é dita ter multiplicidade m se: 
          0..."' 1    mPPP e     0mP . 
 
 
Exemplo: 
Mostrar que   2 é raiz da equação algébrica 
  08465 234  xxxxxP 
com multiplicidade m = 3 
 
Resolução: 
 
 
  0424603242.122.152.42'
412154' 
08824401682.42.62.522 
23
23
234



P
xxxxP
P
 
 
  0126048122.302.122"
123012" 
2
2


P
xxxP
 
 
  01830482'''
3024''' 


P
xxP
 
 2   é raiz e tem multiplicidade m = 3. 
 
 
2.2.2 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO 
 
Dado um polinómio  xP , um problema que se coloca é o de calcular o valor numérico de 
 xP para 0xx  , ou seja,  0xP . Observe-se que o cálculo de  0xP requer n adições e 
 
2
1nn multiplicações. De fato: 
 
  
produtoprodutosprodutos
axaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 0
1
01
1
1
0100 ... 


  
 
Assim, o número de multiplicações é dado por1: 
 
1 A expressão corresponde à soma dos termos de uma progressão aritmética, dada 
por  
2
1 n
n
aan
S

 , com na 1 , 1na e número de termos = n. 
 
 34
 
     
2
112...21  nnnnn 
 
Então, se o grau n do polinômio for elevado (digamos, 20n ), o cálculo de  0xP , além de 
se tornar muito laborioso, é também ineficiente do ponto de vista computacional. 
 
 
Exemplo: 
Dado o polinômio 
  5316231521023 23456789  xxxxxxxxxxP 
seja determinar  2P . 
 
Resolução: 
 
  3212
52.32.162.22.32.152.22.102.22.32 23456789


P
P 
 
 
2.2.3 MÉTODO DE BRIOT-RUFFINI 
 
Dado o polinômio   0111 . axaxaxaxP nnnn    , dividindo-se  xP pelo binômio 
 cx  , obtém-se a igualdade: 
 
      
divisão
da resto
quociente
polinômio
rxQcxxP  
 
onde  xQ é da forma: 
 
  12211 . bxbxbxbxQ nnnn    
 
Como determinar os coeficientes nibi ,,1,  e o resto r? 
 
     1rcxxQxP  
  0111 axaxaxaxP nnnn    
  12211 bxbxbxbxQ nnnn    
 
  
        rcbxcbbxcbbxcbbxcbbxb
rcxbxbxbxbaxaxaxa
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n










121
2
32
2
12
1
1
12
2
1
1
01
1
1


 
 
Obtém-se, da redução a termos semelhantes: 
 
 
 
 35
01
121
212
11
.
.
.
.
abcr
abcb
abcb
abcb
ab
nnn
nnn
nn








 
 
Ou, equivalentemente, 
 
01
1
.
11.
abcr
nkabcb
ab
knknkn
nn



 
(Algoritmo de Briot-Ruffini). 
 
 
Exemplo: Seja dividir 
  10167 23  xxxxP 
pelo binômio  2x , usando o método de Briot-Ruffini 
 
Resolução: 
     
  1223
.2
bxbxbxQ
rxQxxP


 
 
Cálculo dos bi's i  1 2 3, , : 
 
  6165.2.
571.2.
1
121
232
33



abcb
abcb
ab
 
 
Cálculo do resto: 
 
 
2
65
2106.2
2
01



r
xxxQ
acbr
 
 
Usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
    sai ' 
 1 -7 16 -10 
2 2 -10 12 
 1 -5 6 2 
   
sbi ' 

r 
 
 
 36
 
Exemplo: Seja dividir 
  10167 23  xxxxP 
Pelo binômio  3x , usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
 
Resolução: 
 
 1 -7 16 -10 
-3 -3 30 -138 
 1 -10 46 -148 
 
  14846102  RxxxQ 
 
Observe-se que:         148103163733 23 P 
 
 
Teorema: o valor numérico de  xP em cx  é igual ao resto da divisão de  xP por 
 cx  
 
Demonstração: 
 
      rxQcxxP  
 
Em cx  :         rcPrcQcccP  . 
 
 
Exemplo: 
Dado o polinômio 
  ,5316231521023 23456789  xxxxxxxxxxPseja calcular  2P usando 
o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
 
Resolução: 
 
 3 2 -10 2 -15 -3 2 -16 3 -5 
2 6 16 12 28 26 46 96 160 326 
 3 8 6 14 13 23 48 80 163 321 
  3212 P 
 
 
Teorema: o valor numérico da derivada de  xP para cx  é igual ao resto da divisão de 
 xQ por  cx  , onde  xQ é o polinômio quociente da divisão de  xP por  cx  . 
 
Demonstração: 
      rxQcxxP  . 
 
 37
      cxxQxQxP  '' 
 
Em cx  : 
         cQcccQcQcP  .'' 
 
Pelo teorema anterior sabemos que  cQ é igual ao resto da divisão de  xQ pelo binômio 
 cx  . 
 
 
Exemplo: 
Dado o polinômio   030202 23  xxxxP 
seja calcular  2P usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
 
Resolução: 
 
 1 -2 -20 +30 
2 2 0 -40 
 1 0 -20 -10 
2 2 4 
 1 2 -16 
   102 P e   162' P 
 
Observe-se que: 
 
       3020230202
30202
2
23


xxxxxxxP
xxxxP
 
     103040302202222 P 
   
    1620420242.32'
20432043' 2


P
xxxxxP 
 
 
2.2.4 MÉTODO DE HORNER 
 
 
 
  
   0121
1
012
3
1
2
012
2
1
1
01
2
2
1
1
)( axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxaxP
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n



















 
 
 
Exemplo: 
Dado   84252 234  xxxxxP , calcular  3P utilizando a fatoração de Horner. 
 
 
 38
Resolução: 
 
 
  
    84252
84252
84252
84252
2
23
234




xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxP
 
        13383432353.23  PP 
 
 
Exemplo: 
Dado   ,5316231521023 23456789  xxxxxxxxxxP 
calcular  2P pelo método de Horner. 
 
Resolução: 
 
 
  
   
    
     
      
       
        
           32152321622232152221022232
5316231521023
53162315210223
531623152102233
5316231522103243
53162315223104253
531623215324105263
5316223315425106273
53162233415526107283
532163243515627108293










P
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxP
 
 
Observe-se que é possível obter a forma fatorada final diretamente, em um único “passo”: 
 
        xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxP
3210215321635
3210215321635 98765432

 
 
 
2.2.5 NÚMERO DE ZEROS REAIS DE UM POLINÔMIO COM COEFICIENTES 
REAIS 
 
Regras de Sinais de Descartes: 
 
O número de raízes reais posistivas n de uma equação algébrica é igual ao número de 
variações de sinais na seqüência dos coeficientes, ou menor que este número por um inteiro, 
par, não negativo, sendo que uma raiz de multiplicidade m é contada como m raízes e que 
coeficientes iguais a zero não são considerados. 
Para se determinar o número e raízes reais negativas, n , aplica-se a regra anterior a  xP  . 
 
 
 
 39
Exemplos: 
 
    0302975 234  xxxxxPa 
+   
n = 2 ou 0 raízes reais positivas 
 
  302975 234  xxxxxP 
  + 
n = 2 ou 0 raízes reais negativas 
 
 
    1432 345  xxxxxPb 
+ +   
n = 2 ou 0 raízes reais positivas 
 
  1432 345  xxxxxP 
  
n = 3 ou 1 raízes reais negativas 
 
 
    144 235  xxxxxPc 
     
n = 3 ou 1 raízes reais positivas 
 
  144 235  xxxxxP 
   + 
n = 2 ou 0 raízes reais negativas 
 
 
    1 7  xxPd 
  
n = 0 raízes reais positivas 
 
  17  xxP 
    
n = 1 raíz real negativa 
 
 
 
 40
2.2.6 LIMITAÇÃO DAS RAÍZES REAIS DE UMA EQUAÇÃO ALGÉBRICA: 
MÉTODO DE LAGUERRE 
 
Limitar as raízes de uma equação   0xF é determinar um intervalo onde estão todas as 
raízes da equação. 
 
 
O MÉTODO DE LAGUERRE 
 
Seja determinar um número real sL tal que, dada a função polinomial  xPy  ,   0xP , 
0  Lx . Diz-se que sL é um limitante superior para as raízes da equação algébrica 
  0xP . 
 
Para se determinar sL divide-se sucessivamente  xP por  kxx  , ,2,1kx até que para 
um particular valor de x, digamos Lx , tem-se todos os coeficientes do quociente e o resto da 
divisão positivos. 
 
Dividindo-se  xP pelo binômio  sLx  obtém-se: 
 
      RxQLxxP S  
 
onde  xQ é da forma: 
 
12
1
1
1 bxbnxnb
nxnb 


  
 
Obviamente: se 0 SLx , nibi ,,2,1 ,0  , e 0R , então   0xP . 
 
 
Exemplo: 
Seja o polinômio: 
  302975 234  xxxxxP . 
Encontrar um limitante superior para os seus zeros. 
 
Resolução: 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 1 -5 -7 29 30 
1 1 
 1  4 0 
 
 
 1 -5 -7 29 30 
2 2 
 1  3 0 
 
 
 41
 1 -5 -7 29 30 
3 3 
 1  2 0 
 
 1 -5 -7 29 30 
4 4 
 1 1 
 
 1 -5 -7 29 30 
5 5 0 
 1 0  7 0 
 
 
 
 
 1 -5 -7 29 30 
6 6 6 
 1 1  1 0 
 
 1 -5 -7 +29 +30 
7 7 14 49 546 
 1 2 7 78 576 
 
7 SL é um limitante superior para os zeros da função polinomial  xPy  . 
 
Para se determinar um limitante inferior, iL , para as raízes reais não positivas da equação 
algébrica   0xP , procede-se como indicado a seguir. Seja n o grau da equação algébrica 
  0xP . Então: 
(a) Se n é par, determina-se o limitante superior sK de  xPy  e toma-se si KL  . 
(b) Se n é ímpar, determina-se o limitante superior sK de )( xPy  e toma-se si KL  . 
 
Graficamente: 
Caso (a): 
 
 42
 
Caso (b): 
 
 
Exemplo: 
Determinar um limitante inferior para os zeros do polinômio do exemplo anterior. 
 
Resolução: 
  302975 234  xxxxxP 
Grau n = 4, par  si KL  , onde sK é o limitante superior para )( xPy  . 
 
Determinação de sK : 
 
 43
  302975 234  xxxxxP 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 1 5 -7 -29 30 
1 1 6 
 1 6 -1 < 0 
 
 1 5 -7 -29 30 
2 2 14 14 
 1 7 7 -15 < 0 
 
 1 5 -7 -29 30 
3 3 24 51 66  3sk 
 1 8 17 22 96 
 
3 si kL é um limitante inferior para os zeros da função polinomial  xPy  . 
 
Observação: as raízes da equação 0302975 234  xxxx são: 
21  , 12  , 33  e 54  . 
Portanto:   4,3,2,1 , 7,3  ii . 
 
 
2.2.7 MÉTODO DE BIRGE-VIETA 
 
O algorítmo obtido quando usamos os resultados dos teoremas anteriores para aplicar o 
método de N-R é chamado de método de Birge-Vieta: 
 
 
 
,...2,1,0
'1
 nxP
xPxx
n
n
nn 
onde: 
 
 nxP é o resto da divisão de  xP por  nxx  e  nxP' é o resto da divisão do quociente 
obtido quando do cálculo de  nxP pelo binômio  nxx  . 
 
 
Exemplo: 
Considere a equação algébrica: 
  04616327633  xxxxP 
Para esta equação, pede-se: 
a) Estimar o número de raízes reais positivas e negativas. 
b) Determinaros limitantes superior e inferior para as raízes reais. 
c) Verificar se existe raiz real no intervalo  25,20 . 
 
 44
d) Obter uma aproximação  para uma raiz  da equação no intervalo  25,20 com grau 
de exatidão 210 , usando o método de Brige-Vieta e assumindo 5.220 x (ponto 
médio do intervalo) como aproximação inicial da raiz. 
 
Resolução: 
 
a) Número de raizes reais da equação: 
 
  04616327633  xxxxP 
    
n = 3 ou 1 raízes reais positivas 
 
  04616327633  xxxxP 
n = 0 raízes reais negativas 
 
 
b) Limitantes superior ( sL ) e inferior ( iL ) para as raizes reais: 
sL = ? 
 3 -76 163 -46 
25 75 
 3 01 
 
 3 -76 163 -46 
26 78 52 5590 
 3 2 215 5544 
 
26 SL é um limitante superior para os zeros da função polinomial  xPy  . 
 
?iL 
Grau n = 3, ímpar  si KL  , onde sK é o limitante superior para )( xPy  . 
  04616327633  xxxxP 
  04616327633  xxxxP 
 
 3 76 163 46 
1 3 79 242 1 sk 
 3 79 242 288 
1 si kL é um limitante inferior para os zeros da função polinomial  xPy  . 
 
 
c) Verificação da existência de raiz real no intervalo  25,20 , por Briot-Ruffini: 
 
 
 
 45
 3 -76 163 -46 
20 60 -320 -3140 
 3 -16 -157 -3186 
 
 3 -76 163 -46 
25 75 -25 3450 
 3 -1 138 3404 
 
Como   0318620 P e   0340425 P , então existe pelo menos uma raiz real no 
intervalo  25,20 . 
 
 
d) Determinação de uma aproximação para uma raiz no intervalo  25,20 por Birge-Vieta: 
 
5.220 x 
 
Cálculo de 1x : 
)5.22('
)5.22(5.22
)('
)(
0
0
01 P
P
xP
xPxx  
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 3 -76 +163 -46 
22.5 67.5 -191.25 -635.63 
 3 -8.5 -28.25 -681.63 
22.5 67.5 1.327,5 
 3 59 1.299,25 = 
P'(22.5) 
 
02.23
25,299.1
63.6815.221 

 x 
52.05.2202.23011  xx 
 
Cálculo de 2x : 
)02.23('
)02.23(02.23
)('
)(
1
1
12 P
P
xP
xPxx  
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 3 -76 +163 -46 
23.02 69.06 -159.76 +74.61 
 3 -6.94 +3.24 +28.61 
23.02 69.06 1.430.00 
 3 61.12 1.433.24 = P'(23.02) 
 
 
 46
00.23
24.1433
61.2802.232  x 
 
02.002.2300.23122  xx 
 
Cálculo de 3x : 
 
)23('
)23(23
)('
)(
2
2
23 P
P
xP
xPxx  
 
 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 3 -76 +163 -46 
23 69 -161 46 
 3 -7 2 0 =  23P 
 
2
233 102300.23
 xx 
233  x 
 
 
Exemplo completo: 
Dada a equação algébrica:   013 345  xxxxxP 
pede-se determinar: 
(a) o número de raízes reais positivas 
(b) o número de raízes reais negativas 
(c) um limitante superior para as raízes reais 
(d) um limitante inferior para as raízes reais 
(e) um intervalo contendo no mínimo uma raiz real. 
(f) a raiz isolada usando o método de Birge-Vieta. 
 
Resolução: 
 
(a)   013 345  xxxxxP 
     
1 1
  
n = 2 ou 0 raízes reais positivas 
 
(b)   013 345  xxxxxP 
 
111
+  
n = 1 ou 3 raízes reais negativas 
 
(c) Limitante superior: 
 
 47
 
 3 -1 -1 0 
1 
1 
1 3 2 1 1 2  1SL 
 3 2 1 1 
2 
3 
 
(d) Limitante inferior: n = 5  si KL  , sK limitante superior de )( xPy  
 
    1313 345345  xxxxxPxxxxxP 
 
 3 1 -1 0 1 -1 
1 3 4 3 3 4 
 3 4 3 3 4 3 
 
 1 si KL 1 iL 
 
De (c) e (d):    1,10:   P 
 
(e)   ?ixP ,  1,1ix 
Do item (c) : P( 1 ) = 3 > 0 
P(0) = 1 > 0 
P( -1) = ? 
Do item (d): 3)1(  P  3)1( P 
 
Separação das raízes 
 
Raízes positivas (?) 
P( 0 ) = 1 > 0 P( 1 ) = 3 > 0 
P( 0.5) = ? 
 
 3 -1 -1 0 1 1 
0.5 1.5 0.25 -0.3753 -0.188 0.407 
 3 0.5 -0.75 -0.375 0.813 1.407 
 
 P(0.5) = 1.407 > 0 
 
Nada se pode concluir sobre as raízes positivas a partir dos valores obtidos. 
 
Raízes negativas (?) 
P( 0 ) = 1 > 0 
P( -1) = -3 < 0 
P( -0,5) = ? real  ;  0,1  
 
 3 -1 -1 0 1 1 
- 0.5 -1.5 1.25 -0.125 0.0625 -0.531 
 3 -2.5 0.25 -0.125 1.0625 0.469 
 
 
 48
 P(-0.5) = 0.469 > 0  5.0- ,1 ;   real 
 
(f) Determinação da raiz real negativa: 
 
Método de Birge-Vieta: 
 
 
)(arbitrado6.0,2,1,0 , 
' 01
 xnxP
xP
xx
n
n
nn  
 
Verificação quanto à convergência: 
 
 3 -1 -1 0 1 1 
-0.6 -1.8 1.68 -0,41 0.25 -0.75 
 3 -2.8 0.68 -0.41 1.25 0.25 =  6.0P 
-0.6 -1.8 2.76 -2.06 1.48 
 3 -4.6 3.44 -2.47 2.73 =  6.0P 
-0.6 -1.8 3.84 -4.368 
 3 -6.4 7.28 -6.838   6.0P = -13.676 
 
1459.0
)73.2(
)676.13)(25.0(
)(
)(").()( 22
0
00
0 




xP
xPxPx 
 
Portanto, haverá convergência se 0x estiver suficientemente próximo de  . 
 
Cálculo de 1x : 
 
 
 
 
 6.0'
6.06.0
' 10
0
01 


P
Px
xP
xPxx 690
732
25060 11 .x .
. .x  
 
  2011 1009.06.0069  xx 
 
Cálculo de 2x : 
 
 
 
 
 69.0'
69.069.0
' 1
1
12 


P
P
xP
xPxx 
 
 3 -1 -1 0 1 1 
-0.69 -2.07 2.12 -0.77 0.53 -1.06 
 3 -3.07 1.12 -0.77 1.53 -0.06 =  69.0P 
-0.69 -2.07 3.55 -3.22 2.75 
 3 -5.14 4.67 -3.99 4.28 =  69.0P 
 
68.0
28.4
06.069.02 

 x 
  01.069.068.0122  xx 
 
 49
 
 68.0 
 
  ?P 
 
 3 -1 -1 0 1 1 
-0.68 -2.04 2.07 -0.73 0.50 -1.02 
 3 -3.04 1.07 -0.73 1.50 0.02 =  68.0P 
 
 
Exercício: 
Dada a equação algébrica: 
  0104079218579 2345  xxxxxxP 
pede-se determinar: 
(a) o número de raízes reais positivas 
(b) o número de raízes reais negativas 
(c) um limitante superior para as raízes reais 
(d) um limitante inferior para as raízes reais 
(e) a forma obtida da aplicação do método de Honer. 
(f) o valor numérico de  xP nos pontos -5 e 4. 
 
 
Exercício: 
Dada a equação algébrica: 
  0306 23  xxxxP 
pede-se determinar: 
(a) o número de raízes reais positivas 
(b) o número de raízes reais negativas 
(c) um limitante superior para as raízes reais 
(d) um limitante inferior para as raízes reais 
(e) a forma obtida da aplicação do método de Honer. 
(f) o valor numérico de  xP nos pontos -2 e 99. usando a expressão obtida no item interior. 
 
 
Exercício: 
Dada a equação algébrica: 
  096106 234  xxxxxP 
pede-se determinar: 
(a) o número de raízes reais positivas e negativas. 
(b) um limitante superior e um limitante inferior para as raízes reais. 
(c) a forma obtida da aplicação do método de Honer. 
 
 
Exercício: 
Dada a equação algébrica: 
  022 23  xxxP 
Pede-se determinar: 
 
 50
(a) o número de raízes positivas 
(b) o número de raízes negativas 
(c) um limitante superior para as raízes reais 
(d) um limitante inferior para as raízes reais 
(e) um intervalo contendo no mínimo uma raiz real positiva 
(f) uma raiz real positiva (  ) no intervalo identificado no item anterior (Birge-Vieta) 
(g) o valor numérico de  P . 
Precisão: 310 
Resp.: 8581.0 
 
 
2.2.9 MÉTODO DAS SEQÜÊNCIAS DE STURM 
 
Seqüência de funções        xgxgxgxg noi ,,,: 1  construída do seguinte modo: 
   xPxg o  ; 
   xPxg '1  ; 
  2, kxg k , é igual ao simétrico do resto da divisão de 2kg por 1kg . 
 
O número de zeros da função  xPy  no intervalo  ba, é a diferença entre o número de 
variações de sinal da seqüência      agagag n,,,, 10  e da seqüência      bgbgbg n,,, 10  . 
 
 
Exemplo 
Aplicar o método das seqüências de Sturm para localizar todas as raízes reais de: 
 
  032.06.003.14.2 234  xxxxxP 
 
Resolução: 
 
(a) Sequência   xgi 
      32.06.003.14.2 23400  xxxxxgxPxg 
       46.006.22.74' 2311  xxxxgxPxg 
  15.0515.08.1 231  xxxxg 
      xgxgrestoxg 102  
 
23.0759.0565.0
09.0309.008.16.0
32.045.0515.06.0
6.015.0515.08.1
15.0515.08.132.06.003.14.2
2
23
23
234
23234





xx
xxx
xxx
xxxxx
xxxxxxx
 
 
      4071.0343.1565.023.0759.0565.0 2222  xxxgxxxg 
 
 
 51
      xgxgrestoxg 213  
336.05059.0
1860.0613.0457.0
15.01079.0457.0
457.04071.0343.1
4071.0343.115.0515.08.1
2
2
23
223





x
xx
xx
xxx
xxxxx
 
 
      6642.05059.0336.05059.0 33  xxgxxg 
 
      xgxgrestoxg 324  
0438.0
4509.06788.0
4071.06788.0
6788.06642.0
6642.04071.0343.1
2
2





x
x
xxx
xxx
 
  0438.04  xg 
 
 
(b) Tabela de sinais: 
 
?SL 
 
 1 -2.4 1.03 0.6 -0.32 
3 3.0 1.8 8.49 27.27  LS  3 
 1 0.6 2.83 9.09 26.95 =P(3) 
 
?iL 
32.06.003.14.2)(
32.06.003.14.2)(
234
234


xxxxxP
xxxxxP
 
 
 
 1 2.4 1.03 -0.6 -0.32 
1 1 3.4 4.43 3.83 LI  1 
 1 3.4 4.43 3.83 3.51 = P(-1) 
 
 
 
 
 
 
 
 52
 
Tabela: 
x 0g 1g 2g 3g 4g Variação 
-1 + - + - + 4 
 0 - + + - + 3 
 1 - - + + + 1 
 2 + + + + + 0 
 3 + + + + + 0 
 
Observações sobre a construção da tabela acima: 
 
  30g  3P = 26.95 > 0 
 31g ?   15.0515.08.1 231  xxxxg    31g 12.495 > 0 
  32g ?   4071.0343.122  xxxg    32g 5.3781 
  33g ?   6642.03  xxg   033  g 
  034 g 
 
(c) Interpretação: 
 
Seja  ixv o número de variações de sinal da seqüência   xg i em ixx  . 
)0,1(
3)0(
4)1(
1 


v
v
 )1,0(,
1)1(
3)0(
32 


v
v
 )2,1(
0)2(
1)1(
4 


v
v
 
 
(d) continuação da aplicação do método de Sturm: 
  6.00g 0.022 > 0 
  6.01g ?   6.01g 0.027 
  6.02g ?   6.02g 0.0387 
  6.03g 0.6 - 0.6642 = -0.0642 < 0 
  6.04g > 0 
 
 0 - + + - + 3 
 0.6 + + - - + 2 
 1 - - + + + 1 
 
)1,6.0(
1)1(
2)6.0(
)6.0,0(
2)6.0(
3)0(
32 





v
v
v
v
 
 
Observação quanto às raízes isoladas: 
 
 
 53
(e) verificação dos intervalos: 
 
)0,1(
032.0)0(
051.3)1(
1 






P
P
 )2,1(
08.1)2(
009.0)1(
4 






P
P
 
 
)6.0,0(
0)6.0(
0)0(
2 






P
P
 )1,6.0(
0)1(
0)6.0(
3 






P
P
 )2,1(
0)2(
0)1(
4 






P
P
 
 
(f) raízes da equação   0xP : 
6.1,8.0,5.0,5.0 4321   
 
 
Exemplo completo: 
Dada a equação algébrica: 
  ,0245.44.0 23  xxxxP 
determinar aproximações para as suas raízes utilizando o método de Birge-Vieta  01.0  
Resolução: 
 
(a) Regra de sinais de Descartes (número de raízes) 
 
 
 + + + 
245.44.0 23

 xxxxP
  n = 2 ou 0 raízes reais positivas 
 
 
 + 
245.44.0 23

 xxxxP
  n = 1 raiz real negativa 
 
(b) Limitantes para as raízes 
 
Método de Laguerre 
 
?SL 
 
 1 0 4 4 45. . 2 
1 1 1 4. 
 1 1 4 - 3.05. 
 
 1 0.4 -
4.45 
2 
2 2 4.8 0.7  2SL 
 1 2.4 
0.35 
2.7 
 
?iL 
 
 54
 
   245.44.0 23 xxxxP   245.44.0 23  xxxxP 
  245.44.0 23  xxxxP 
 
 1 -0.4 -4.45 -2 
1 1 0.6 
 1 0.6 -3.85 
 
 1 -0.4 -4.45 -2 
2 2 3.2 
 1 1.6 -
1.25 
 
 
 1 -0.4 -4.45 -2 
3 3 7.8 10.05  3iL 
 1 2.6 3.35 8.05 
 
(c) Isolamento das raízes 
 
(c.1) Método das seqüências de Sturm: 
 
(c.1.1) Seqüência  (x)g i : 
 
245.44.0)( 230  xxxxg 
 
 )3(45.48.03)( 21 xxxg 483.1267.0)(
2
1  xxxg 
 
 )(/)(g resto - )( 102 xgxxg  
 
197.2003.3/
197.0036.0133.0
2967.2133.0/
133.0483.1267.0
483.1267.0|245.44.0
2
2
23
223





x
xx
xx
xxxx
xxxxx
 
 )003.3(197.2003.3)(2 xxg 732.0)(2  xxg 
 
 )(/)(g resto - )( 213 xgxxg  
 
 1 0.267 -1.483 
0.732 0.732 0.731 
 1 0.999 -0.752 
 
 
 55
752.0)(3  xg 
 
 
(c.1.2) Tabela de sinais 
 
3iL , 2SL 
 
x 
0g 1g 2g 3g Variação 
-3 - + - + 3 
-2 + + - + 2 )2,3(1  
 1 + - - + 2 
0 + - - + 2 )1,0(2  
1 - - + + 1 
2 + + + + 0 )2,1(3  
 
 
(c.2) Briot-Ruffini 
 
  245.44.0 23  xxxxP 
 1 0.4 -4.45 2 
2.0 2.0 4.8 0.7 
 1 2.4 0.35 2.7 = P (2.0) > 0 
 
 
 1 0.4 -4.45 2 
1.0 1.0 1.4 -3.05 
 1 1.4 -3.05 -1.05 = P (1.0) < 0 
 
 
)0.2,0.1(3   
 
)1,0(02)0( 2 P 
 
 1 0.4 -4.45 2 
-1.0 -1.0 +0.6 3.85 
 1 -0.6 -3.85 5.85 = P (-1.0) > 0 
 
 
)0.2,0.3(
005.8)3(
05.4)2(
1 






P
P
 
 
 
(d) Verificação quanto à convergência 
 
5.10 x (arbitrado) 
 
 
 56
 20
00
0 )('
)(").()('
xP
xPxPx  
 
 
 1 0.4 -4.45 +2 
1.5 1.5 2.85 -2.4 
 1 1.9 -1.60 -0.4 = P(1.5) 
1.5 1.5 5.1 
 1 3.4 3.5 = P'(1.5) 
1.5 1.5 
 1 8.9)5.1("2/)5.1("9.4  PP    
 O resto da terceira aplicação do método 
de Briot-Ruffini é igual à metade da 
derivada segunda de P(x) no ponto 
considerado. 
 
 132.0)5.3(
)8.9)(4.0()(' 20 

 x 
 
Portanto, 0x suficientemente próximo da raiz implicará na convergência da aplicação do 
método. 
 
(e) Cálculo das raízes 
 
(e.1) Cálculo de ))0.2,0.1(( 33  
,2,1,0,
)('
)(
1  kxP
xPxx
k
k
kk 
5.10 x 
61.1
5.3
4.05.1
)5.1('
)5.1(5.11 




 
P
Px 
2
011 1011.05.161.1
 xx 
 
)61.1('
)61.1(61.12 P
Px  
 1 0.4 -4.45 +2 
1.61 1.61 3.2361 -1.9544 
 1 2.01 -1.2139 0.0456 = P(1.61) 
1.61 1.61 5.8282 
 1 3.62 4.6143 = P'(1.61) 
 
 
 57
01.061.160.1
60.1
6143.4
0456.061.1
122
2


xx
x

 
 
60.13  
 
Verificação: 
P(1.60) = ? 
 1 0.4 -4.45 2 
1.60 1.60 3.20 -2 
 1 2.0 -1.25 0.0 = 
P(1.60) 
 
 
Exercício: obter aproximações para as demais raízes usando Birge-Vieta. 
 
 
Exercício: 
Dada a equação algébrica: 
  020102 23  xxxxP 
 
pede-se: 
(a) o número de raízes reais positivas ( n ) e negativas (n ); 
(b) os limitantes superior ( SL ) e inferior ( iL ) para as raízes reais; 
(c) um intervalo com extremos inteiros contendo exatamente uma raiz real positiva, usando o 
método das sequüências de Sturm; 
(d) verificar se o ponto médio do intervalo identificado em (c) satisfaz o critério de 
convergência do método de Newton; 
(e) calcular uma aproximação para a raiz isolada usando o método de Birge-Vieta com 
01.0  . 
Resposta: 3688.1 
 
Algoritmo para o cálculo do valor numérico de um polinômio: 
 
Seja o problema de se calcular o valor numérico de um polinômio  xP da forma: 
 
  0111 axaxaxaxP nnnn    
 
em cx  (ou seja,  cP . Deve ser utilizado o esquema a seguir: 
 
01
1
.
11.
abcr
nkabcb
ab
knknkn
nn



 (algoritmo de Briot-Ruffini) 
 
Por meio do qual são obtidos os coeficientes do polinômio quociente: 
 
 58
 
  12211 bxbxbxbxQ nnnn    
 
A seguir apresenta-se um esquema para o cálculo da derivada de um polinômio: 
 
 bn bn-1 bn-2 … b2 b1 
c dn-1*c dn-2*c … d2*c d1*c 
 bn bn-1+dn-1*c bn-2+dn-2*c b2+d2*c b1+d1*c 
 dn-1 dn-2 dn-3 d1 resto 
 
 dn-1 = bn; 
 dn-k-1 = bn-k + dn-k*c, k =1,2,...n-2; 
 resto = b1+d1*c (valor numérico da derivada do polinômio). 
 
O algoritmo é apresentado a seguir. 
 
SEJAM 
A: VETOR DOS COEFICIENTES DO POLINÔMIO: A(0:N) 
B: VETOR DOS COEF. DO POL. QUOCIENTE: B(1:N) 
D: VETOR COEF. POL. P/ CÁLC. DE P’(C): D(1:N-1) 
/* 
 INICIO ALGORITMO 
*/ DADOS 
SOLICITAR O GRAU DO POLINÔMIO 
LER N 
SOLICITAR OS COEFICIENTES 
LER (A(I),I=0,...,N) 
SOLICITAR C 
LER C 
/* 
 APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE BRIOT-RUFFINI: P(C) 
*/ 
B(N)=A(N) 
PARA K DE 1 ATÉ N-1 
FAÇA INÍCIO 
 B(N-K)=C*B(N-K+1)+A(N-K) 
 FIM 
// VALOR NUMÉRICO DO POLINÔMIO 
VNP = C*B(1) + A(0) 
ESCREVA (‘P(‘,C,’)=’, VNP) 
/* 
 APLICAÇÃO DO ALGORITMO BRIOT-RUFFINI: P’(C) 
*/ 
D(N-1)=B(N) 
PARA K DE 1 ATÉ N-2 
FAÇA INÍCIO 
 D(N-K-1)=C*D(N-K)+B(N-K) 
 FIM 
 
 
 59
// VALOR NUMÉRICO DERIVADA P’(C) 
VNDP = C*D(1)+B(1) 
ESCREVA (‘D/DX(P(‘,C,’))=’,VNDP) 
/* FIM ALGORITMO */ 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
1. BARROSO, L.C. & outros. Cálculo Numérico (com aplicações). Editora Harbra Ltda, 
1987. 
2. DORN, W.S. & MAcCRACKEN, D. D. Cálculo Numérico com Estudo de Casos em 
Fortran IV. Campus, 1978. 
3. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
4. MAURER, W. A. Curso de Cálculo Diferencial e Integral: Funções de Várias Variáveis 
e Aplicações. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1968. 
5. RUGGIERO, M.A.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e 
Computacionais. São Paulo: MAKRON Books, 1996.