AP1 GAII 2016 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito - AP1 – Geometria Anal´ıtica II – 2016/1
Questa˜o 1 (2,5 pontos): Sejam P = (1, 2,−1) e a reta de equac¸o˜es parame´tricas
r :

x = 1 + t
y = 2− t
z = −1 + t
t ∈ R.
Encontre as equac¸o˜es cartesianas de dois planos Π e Γ tais que
(a) [1 pt] Π seja perpendicular a r e passe por P ;
(b) [1,5 pt] Γ seja o plano mediador do segmento PP ′, onde P ′ = (3, 0, 1). (ou seja, Γ e´ o
lugar geome´trico dos pontos equidistantes a P e P ′).
SOLUC¸A˜O
(a) [1 pt] Como Π e´ perpendicular a r, o vetor direc¸a˜o da reta e´ um vetor normal do plano,
isto e´, ~v = (1,−1, 1) e´ normal a Π. Assim, a equac¸a˜o cartesiana de Π e´ da forma x−y+z = d,
onde d pode ser determinado substituindo nessa u´ltima igualdade as coordenadas de P :
d = (1)− (2) + (−1) = −2.
Portanto, Π : x− y + z = −2.
(b) [1 pt] O plano mediador de um segmento e´ perpendicular a esse segmento e passa pelo
seu ponto me´dio. Como P ′ ∈ r (basta fazer t = 2), temos que a equac¸a˜o de Γ e´ da forma
x − y + z = d, como no item anterior. Para encontrar d, basta substituir, na equac¸a˜o, as
coordenadas de M =
P + P ′
2
= (2, 1, 0):
d = (2)− (1) + (0) = 1.
Logo, Γ : x− y + z = 1.
Questa˜o 2 (2,5 pontos): Sejam A = (1, 1, 1), B = (7,−2, 4), C = (10, 8, 1) e D = (a, 1, a).
(a) [1 pt] Calcule os produtos mistos
[−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD
]
e
[−−→
DA,
−−→
DB,
−−→
DC
]
.
(b) [1,5 pt] Determine a de maneira que o volume do tetraedro ABCD seja igual a 16 u.v.
SOLUC¸A˜O
(a) [1 pt] Vamos calcular as coordenadas dos vetores:
−→
AB = (6,−3, 3), −→AC = (9, 7, 0), −−→AD = (a− 1, 0, a− 1)
Assim, [−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD
]
=
∣∣∣∣∣∣
6 −3 3
9 7 0
a− 1 0 a− 1
∣∣∣∣∣∣ = 48(a− 1).
Para o segundo produto misto basta observar que
−−→
DB =
−−→
DA+
−→
AB e que
−−→
DC =
−−→
DA+
−→
AC,
logo
[−−→
DA,
−−→
DB,
−−→
DC
]
=
[−−→
DA,
−−→
DA+
−→
AB,
−−→
DA+
−→
AC
]
=
[−−→
DA,
−→
AB,
−→
AC
]
=
[−→
AB,
−→
AC,
−−→
DA
]
= −
[−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD
]
= 48(1− a).
Ou enta˜o fazer as contas com as coordenadas dos vetores como no caso anterior.
(b) [1 pt] O volume do tetraedroABCD e´ igual a 1
6
do mo´dulo do produto misto
[−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD
]
,
portanto, ele sera´ igual a 16 quando
16 =
1
6
48|a− 1|
Portanto, quando a = 3 ou a = −1.
Questa˜o 3 (2 pontos): Seja −→w = (1, 3, 3). Mostre que para quaisquer dois vetores u, v L.I. do
plano x+ y + z = 6, vale que [u, v, w] e´ mu´ltiplo de 7.
SOLUC¸A˜O
[Quest~ao 6 do EP6] Sejam u e v dois vetores LI quaisquer do plano x+ y + z = 6. Podemos
afirmar que o vetor u × v e´ paralelo ao vetor normal do plano, que e´ o vetor (1, 1, 1). Logo,
existe um nu´mero real δ tal que u× v = δ(1, 1, 1).
Sendo assim,
[u, v, w] = 〈u× v, w〉
= 〈δ(1, 1, 1), (1, 3, 3)〉
= δ 〈(1, 1, 1), (1, 3, 3)〉
= 7.δ
Ou seja, [u, v, w] e´ um mu´ltiplo de 7.
Questa˜o 4 (3 pontos): Questa˜o 4 (3 pontos): Seja r a reta parametrizada por
r :

x = t
y = −1− 2t
z = 2 + 2t,
t ∈ R.
2
Lembre-se de que a parametrizac¸a˜o acima significa que cada valor de t ∈ R nos da´ um ponto
Pt ∈ r, de coordenadas
Pt = (t,−1− 2t, 2 + 2t).
(a) [1 pt] Se A = (1, 2, 0), determine, para cada t ∈ R, o valor de d(t) = d(A,Pt).
(b) [1 pt] Determine o valor de t onde d(t) e´ mı´nimo, e prove que a distaˆncia entre o ponto
A e a reta r e´ igual a
√
5.
Dica: Se f(t) sempre e´ positiva,
√
f(t) e´ mı´nimo se, e somente se, f(t) e´ mı´nimo.
(c) [1 pt] Utilizando o item anterior, deˆ a equac¸a˜o da esfera de centro A e tangente a` reta r.
SOLUC¸A˜O
[Esse e´ o "Exemplo interessante" da Aula 5, semana 3, da Plataforma]
(a) Se Pt = (t,−1− 2t, 2 + 2t), enta˜o
d(t) = d(A,Pt) = d((1, 2, 0), (t,−1− 2t, 2 + 2t))
=
√
(1− t)2 + (2− (−1− 2t))2 + (0− (2 + 2t))2
=
√
(1− t)2 + (3 + 2t)2 + (−2− 2t)2
=
√
1− 2t+ t2 + 9 + 12t+ 4t2 + 4 + 8t+ 4t2
=
√
9t2 + 18t+ 14.
(b) Seguindo a dica, o menor valor da func¸a˜o d(t) =
√
5t2 + 18t+ 14 acontece quando f(t) =
5t2 + 18t + 1 tem seu menor valor. O menor valor da func¸a˜o de segundo grau
at2 + bt+ t acontece para t = − b
2a
, logo, o menor valor de f(t) = 9t2 +18t+1 acontece para
t = − 18
2·9 = −1.
Como t = −1 da´ o menor de d(t), temos que a menor distaˆncia entre A e um ponto da reta
r sera´ dada por d(−1), logo
d(A,Pt) = d(−1) =
√
9(−1)2 + 18(−1) + 14 = √9− 18 + 14 =
√
5.
(c) Sabendo que a distaˆncia entre o ponto A e a reta r e´
√
5, o raio da esfera com centro em
A e tangente a r sera´
√
5. Assim, a equac¸a˜o da esfera e´
(x− 1)2 + (y − 2)2 + (z − 0)2 = (
√
5)2,
que pode ser reescrita como
(x− 1)2 + (y − 2)3 + z2 = 5.
[Note que este item poderia ser respondido sem precisar resolver o item (b).
Basta usar que o raio e´
√
5, como informado em (b).]
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