AP3 GAII 2016 1 gabarito correcao online

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AP3 - Geometria Anal´ıtica II - 2016-1
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questo˜es e as Folhas de
Respostas personalizadas para o registro das suas respostas.
2. Confira se a Folha de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova
e se nas Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula.
Caso contra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Voceˆ recebera´ o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superior
direito.
4. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no local
indicado para este fim.
5. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicac¸a˜o de prova.
6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamente
assinadas e a Folha de Questo˜es.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das
resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente a resoluc¸a˜o de cada questa˜o no espac¸o previsto para ela nas Folhas de Res-
postas.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o.
Portanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. E´ proibido o uso de corretivo nas respostas.
6. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assimcomo de qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Geometria Anal´ıtica II – 2016
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questa˜o 1 [2,5 pontos] Dadas as retas
r :

x = 1 + 2t
y = 2− t
z = −1− t,
e s :

x = 5
y = 3 + t′
z = −t′,
,
com t ∈ R, t′ ∈ R, deˆ uma parametrizac¸a˜o para a reta perpendicular, simultaneamente, a r e s.
SOLUC¸A˜O 1: [Adaptada da questa˜o 12, do EP4]
Como R ∈ r, R sera´ da forma
R = (x, y, z) = (1, 2,−1) + t(2,−1,−1)
para algum t ∈ R. Da mesma forma, como S ∈ s,
S = (x, y, z) = (5, 3, 0) + t′(0, 1,−1).
O segmento RS sera´ perpendicular a r e a s simultaneamente se o vetor
−→
RS for perpendicular aos
vetores direc¸a˜o das retas r e s, dados por (2,−1,−1) e (0, 1,−1). Como
−→
RS = ((5, 3, 0) + t′(0, 1,−1))− ((1, 2,−1) + t(2,−1,−1))
= (4− 2t, 1 + t′ + t, 1− t′ + t),
para que
−→
RS seja perpendicular a (2,−1,−1) e (0, 1,−1), precisamos ter{ 〈(4− 2t, 1 + t′ + t, 1− t′ + t), (2,−1,−1)〉 = 0
〈(4− 2t, 1 + t′ + t, 1− t′ + t), (0, 1,−1)〉 = 0
Com isso, calculando os produtos internos,{
8− 4t− 1− t′ − t− 1 + t′ − t = 0
1 + t′ + t− 1 + t′ − t = 0
que pode ser reescrito como {
6− 6t = 0
2t′ = 0.
Geometria Anal´ıtica II AP3 3
Com isso, resolvendo o sistema, t = 1, t′ = 0, logo
R = (1, 2,−1) + 1(2,−1,−1) = (3, 1,−2),
S = (5, 3, 0) + 0(0, 1,−1) = (5, 3, 0).
Como RS e´ perpendicular a`s retas r e s, a reta procurada e´ a determinada pelos pontos R = (3, 1,−2)
e S = (5, 3, 0). Esta reta pode ser parametrizada por
(x, y, z) = R + t · −→RS, t ∈ R
logo, como
−→
RS = (2, 2, 2), temos a reta
(x, y, z) = (3, 1,−2) + t · (2, 2, 2), t ∈ R.
SOLUC¸A˜O 2:
A reta perpendicular p comum a r e s possui direc¸a˜o dada por um vetor ortogonal, simultaneamente
aos vetores (2,−1,−1) e (0, 1,−1), vetores direc¸a˜o das retas r e s. Assim, o vetor direc¸a˜o da
perpendicular comum p pode ser dado por
~d = (2,−1,−1)× (0, 1,−1) =
∣∣∣∣∣∣∣
~e1 ~e2 ~e3
2 −1 −1
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣ = (2, 2, 2).
Conhecida a direc¸a˜o da reta p, falta encontrar um de seus pontos. Se considerarmos o plano Π que
conte´m a reta r e e´ paralelo a ~d, o ponto de intersec¸a˜o de Π com s dara´ um ponto S da reta p (veja
figura).
Como Π conte´m a reta r, sera´ paralelo a seu vetor direc¸a˜o (2,−1,−1). Ale´m disso, sabemos que Π
e´ paralelo ao vetor direc¸a˜o de p, dada]o por ~d = (2, 2, 2). Com isso, como P0 = (1, 2,−1) (o ponto
inicial da parametrizac¸a˜o de r) e´ um ponto de Π, um ponto P = (x, y, z) pertencera´ a Π se, e so´ se,
〈−−→
P0P , (2,−1,−1)× (2, 2, 2)
〉
= 0⇔
∣∣∣∣∣∣∣
x− 1 y − 2 z + 1
2 −1 −1
2 2 2
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔
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Geometria Anal´ıtica II AP3 4
⇔ −6y + 6z + 18 = 0⇔ −y + z = −3.
Assim
Π : −y + z = −3.
O ponto S da reta p e´ dado pela intersec¸a˜o de Π com s, logo
−(3 + t′) + (−t′) = −3⇔ −2t′ = 0⇔ t′ = 0.
Com isso, S = (5, 3 + 0,−0) = (5, 3, 0). Portanto,
p : (x, y, z) = (5, 3, 0) + t · (2, 2, 2), t ∈ R.
Questa˜o 2 [2,0 pontos] Determine a equac¸a˜o do(s) plano(s) paralelo a
Π : 2x + y − 2z = 6,
cuja distaˆncia a` reta
r : (x, y, z) = (t− 2,−4t, 1− t), t ∈ R.
seja igual a 3.
SOLUC¸A˜O:
Como o(s) plano(s) procurado(s) sa˜o paralelos a Π : 2x + y − 2z = 6,, sera˜o da forma
Σ : 2x + y − 2z = d.
A reta r pode ser escrita na forma
r : (x, y, z) = (−2, 0, 1) + t(1,−4,−1), t ∈ R.
Esta reta e´ paralela aos planos Σ, pois seu vetor direc¸a˜o (1,−4,−1) e´ ortogonal ao vetor normal
(2, 1,−2) de Σ, basta ver que 〈(1,−4,−1), (2, 1,−2)〉 = 0. Com isso, a distaˆncia entre r e o plano
Σ sera´ a distaˆncia entre um ponto qualquer de r, o (−2, 0, 1) por exemplo, e o plano Σ. Logo
3 = d(Σ, r) = d(Σ, (−2, 0, 1)) = |2(−2) + 0− 2(1)− d|√
22 + 12 + (−2)2
= | − d− 6|3 .
Com isso,
| − 6− d| = 9 ∴ −6− d = ±9 ∴ −6− d = 9 ou − 6− d = −9 ∴ d = −15 ou d = 3.
Assim, temos os planos
Σ : 2x + y − 2z = 3 ou Σ : 2x + y − 2z = −15
Questa˜o 3 [2,5 pontos] Determine a equac¸a˜o do paraboloide el´ıptico de ve´rtice (−1, 2,−1), com
eixo paralelo a um dos eixos coordenados e contendo a elipse
E :

(x + 1)2
2 +
(y − 2)2
8 = 1
z = 1
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Geometria Anal´ıtica II AP3 5
e esboce este paraboloide.
SOLUC¸A˜O:
A elipse acima esta´ contida no plano z = 1, e possui centro (−1, 2, 1). Esboc¸ando esta elipse, junto
com o ve´rtice V do paraboloide, temos
Com isso, vemos que o paraboloide estudado possui eixo vertical e concavidade voltada para OZ+
(para cima). Assim, sua equac¸a˜o sera´ da forma
(x− x0)2
a2
+ (y − y0)
2
b2
= (z − z0),
ou, substituindo o ve´rtice (x0, y0, z0) = (−1, 2,−1),
P : (x + 1)
2
a2
+ (y − 2)
2
b2
= (z + 1).
Para z = 1, teremos
(x + 1)2
a2
+ (y − 2)
2
b2
= 2⇔ (x + 1)
2
2a2 +
(y − 2)2
2b2 = 1.
Mas esta deve ser a elipse
(x + 1)2
2 +
(y − 2)2
8 = 1,
logo 2a2 = 2 e 2b2 = 8. Com isso, a2 = 1 e b2 = 4, e enta˜o a equac¸a˜o do paraboloide sera´
P : (x + 1)
2
1 +
(y − 2)2
4 = (z + 1).
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Geometria Anal´ıtica II AP3 6
Questa˜o 4 [3,0 pontos] Considere a superf´ıcie S de equac¸a˜o
S : x2 − 4y2 − 4z2 = 0.
(a) [1 pt] Esboce e classifique a equac¸a˜o.
(b) [1 pt] Esta superf´ıcie e´ de revoluc¸a˜o? Justifique sua resposta.
(c) [1 pt] Dados os pontos U = (2, 0, 0), V = (0, 0, 0). Se tomarmos X = (x, y, z) ∈ S e x > 0,
o aˆngulo entre os vetores
−−→
V U e
−−→
V X depende do ponto X escolhido? Justifique sua resposta.SOLUC¸A˜O:
(a) Reescrevendo, temos
x2 − 4y2 − 4z2 = 0⇔ 4y2 + 4z2 = x2 ⇔ y2 + z2 = 14x
2 ⇔ y2 + z2 =
(1
2x
)2
.
Com isso, temos um cone el´ıptico de ve´rtice (0, 0, 0) e eixo x. Abaixo, o esboc¸o deste cone:
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Geometria Anal´ıtica II AP3 7
(b) A equac¸a˜o do cone poderia ser ainda reescrita como
y2
12 +
z2
12 =
x2
22 .
Como os denominadores sob y2 e z2 sa˜o iguais, o cone e´ de revoluc¸a˜o em torno do eixo x.
(c) Observe que o ponto V = (0, 0, 0) e´ o ve´rtice do cone e o ponto U = (2, 0, 0) pertence ao eixo
do cone (o eixo x). Considere agora um ponto X = (x, y, z) qualquer no cone, com x > 0,
representado genericamente na figura abaixo:
Como o cone e´ de revoluc¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores
−−→
V U e
−−→
V X e´ constante, sendo o aˆngulo
entre o eixo e uma geratriz do cone.
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