AD1 GA2 2014.1 Gabarito

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GABARITO AD1 - 2014.1
Questa˜o 1:(2,5 pt) Considere a reta r que passa pelos pontos A =
(1, 1, 3) e B = (2,−1, 4).
(a) Determine os pontos onde a reta r, possivelmente, intercepta cada
um dos treˆs planos coordenados;
(b) Encontre um ponto B′ de modo que a reta r′ que passa por A e
B′ na˜o intercepte o plano coordenado ΠXY . Justifique.
SOLUC¸A˜O:
(a) A reta r pode ser descrita por r : A + t.
−→
AB, isto e´, r : (1, 1, 3) +
t.(1,−2, 1), o que nos da´ equac¸o˜es parame´tricas
r :

x = 1 + t
y = 1− 2t
z = 3 + t
i. Intersec¸a˜o com o plano ΠXY = {(x, y, z) ∈ R3| z = 0}:
Fazendo z = 0 nas equac¸o˜es parame´tricas de r, teremos
z = 0
3 + t = 0
t = −3
Subsitituindo este valor de t em x e y, obtemos o ponto P1 =
(−2, 7, 0)
ii. Intersec¸a˜o com o plano ΠXZ = {(x, y, z) ∈ R3| y = 0}:
Fazendo y = 0 nas equac¸o˜es parame´tricas de r, teremos
y = 0
1− 2t = 0
t =
1
2
1
Subsitituindo este valor de t em x e z, obtemos o ponto P2 =(
3
2
, 0,
7
2
)
iii. Intersec¸a˜o com o plano ΠY Z = {(x, y, z) ∈ R3| x = 0}:
Fazendo x = 0 nas equac¸o˜es parame´tricas de r, teremos
z = 0
1 + t = 0
t = −1
Subsitituindo este valor de t em y e z, obtemos o ponto P3 =
(0, 3, 2)
(b) A fim de que a reta r′ na˜o intercepte o plano ΠXY e´ necessa´rio e
suficiente que o ponto B′ pertenc¸a ao mesmo plano horizontal que
conte´m A = (1, 1, 3), isto e´, ao plano Γ = {(x, y, z) ∈ R3| z = 3}.
Portanto qualquer ponto da forma B′ = (x, y, 3) pode ser esco-
lhido.
Questa˜o 2:(2,5 pt) Determine a equac¸a˜o da esfera S sabendo que a
reta r que passa pelos pontos (5, 7, 6) e (−3,−1,−2) de S passa tambe´m
pelo centro da esfera.
SOLUC¸A˜O:
De acordo com as informac¸o˜es podemos afirmar que o centro da esfera e´
exatamente o ponto me´dio dos pontos dados, logo
C =
(5, 7, 6) + (−3,−1,−2)
2
= (1, 3, 2).
O raio pode ser, enta˜o, calculado de duas maneiras diferentes: metade
da distaˆncia entre os pontos dados ou a distaˆncia entre um dos pontos e o
centro. Vamos calcular da segunda maneira:
r = dist((5, 7, 6), (1, 3, 2)) =
√
42 + 42 + 42 = 4
√
3.
Portanto a equac¸a˜o de S e´
(x− 1)2 + (y − 3)2 + (z − 2)2 = (4
√
3)2
2
Questa˜o 3:(2,5 pt) Considere o ponto P = (1, 2, 3) e os planos parame-
trizados por
pi : X = P + r (1, 1, 2) + s (0, 1, 2), r, s,∈ R,
σ : X = P + r′ (1, 0, 1) + s′ (1, 1, 1), r′, s′,∈ R.
(a) Encontre um ponto Q diferente de P e pertencente a` intersec¸a˜o
dos planos pi e σ.
Dica: Encontre Q de forma que
−→
PQ possa ser escrito nas formas
r (1, 1, 2) + s (0, 1, 2) e r′ (1, 0, 1) + s′ (1, 1, 1), para r, s, r′, s′ ∈ R.
(b) Utilizando o ponto obtido no item anterior, encontre uma parame-
trizac¸a˜o para a reta dada pela intersc¸a˜o de pi e σ.
Lembrete: A intersec¸a˜o entre dois planos na˜o paralelos e´ sempre
uma reta!
SOLUC¸A˜O:
(a) O ponto Q pertencera´ a pi se puder ser escrito na forma
Q = P + r (1, 1, 2) + s (0, 1, 2)
para r, s,∈ R. Isto equivale a escrever
−→
PQ = r (1, 1, 2) + s (0, 1, 2).
Da mesma forma, Q pertencera´ a σ se
−→
PQ = r′ (1, 0, 1) + s′ (1, 1, 1)
para r′, s′,∈ R.
Assim, precisamos obter r, s, r′, s′ ∈ R tais que
r (1, 1, 2) + s (0, 1, 2) =
−→
PQ = r′ (1, 0, 1) + s′ (1, 1, 1),
ou seja,
r (1, 1, 2) + s (0, 1, 2) = r′ (1, 0, 1) + s′ (1, 1, 1),
ou ainda
(r, r + s, 2r + 2s) = (r′ + s′, s′, r′ + s′).
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Escrevendo esta equac¸a˜o como um sistema, temos
r = r′ + s′
r + s = s′
2r + 2s = r′ + s′.
Vamos agora resolver este sistema. A primeira equac¸a˜o nos da´ r
em func¸a˜o de r′ e s′ e, substituindo na segunda, temos
(r′ + s′) + s = s′ ∴ r′ + s = 0 ∴ r′ = −s.
Voltando a` primeira equac¸a˜o, como r = r′+ s′, temos r = −s+ s′.
Substituindo na terceira equac¸a˜o o r e o r′ obtidos, temos
2(−s+ s′) + 2s = (−s) + s′ ∴ s′ = −s.
Organizando, temos
r = −s+ s′ = −s+ (−s) = −2s,
r′ = −s,
s′ = −s.
Como sa˜o 4 varia´veis e 3 equac¸o˜es lineares, na˜o conseguiremos
resolver o sistema, apenas deixar todas as inco´gnitas em func¸a˜o
de apenas uma, no caso, o s. Isso significa que sera˜o infinitas as
possibilidades de escolha de Q. Vamos fixar, por exemplo, s = 1.
Assim, temos r = −2 e, substituindo em
Q = P + r (1, 1, 2) + s (0, 1, 2),
temos
Q = (1, 2, 3)− 2 (1, 1, 2) + 1 (0, 1, 2) = (−1, 1, 1).
(b) A intersec¸a˜o entre os planos pi e σ e´ uma reta a` qual pertencem
os pontos P e Q, uma vez que estes pontos esta˜o nos dois planos
simultamentamente. Assim, r sera´ a reta passando por P e Q,
que pode ser parametrizada, por exemplo, na forma
r : X = P + t
−→
PQ, t ∈ R.
Como P = (1, 2, 3) e
−→
PQ = Q − P = (−1, 1, 1) − (1, 2, 3) =
(−2,−1,−2), temos
r : X = (1, 2, 3) + t (−2,−1,−2), t ∈ R.
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Questa˜o 4:(2,5 pt) Considere o ponto P = (1, 1, 1) e a reta r parametrizada
por
r : (x, y, z) = (4, 1,−2) + t (1, 2,−2), t ∈ R.
(a) Encontre, a distaˆncia de P ao ponto de r determinado por cada
valor de t ∈ R. Este distaˆncia sera´, obviamente, em func¸a˜o de t.
(b) A partir da expressa˜o obtida no item acima, determine a distaˆncia
de P a` reta r e o ponto desta reta mais pro´ximo de P .
SOLUC¸A˜O:
(a) O ponto de r determinado por um valor de t sera´
Xt = (xt, yt, zt) = (4, 1,−2) + t (1, 2,−2) = (4 + t, 1 + 2t,−2−2t).
A distaˆncia deste ponto a P = (1, 1, 1) e´ dada por
d(Xt, P ) =
√
(4 + t− 1)2 + (1 + 2t− 1)2 + (−2− 2t− 1)2
=
√
(3 + t)2 + (2t)2 + (−3− 2t)2
=
√
9 + 6t+ t2 + 4t2 + 9 + 12t+ 4t2
=
√
9t2 + 18t+ 18
=
√
9(t2 + 2t+ 2)
= 3
√
t2 + 2t+ 2
(b) A distaˆncia do ponto P a` reta r e´ a menor distaˆncia entre P e um
ponto Xt da reta r. No item anterior, calculamos essa distaˆncia
para todos os valores de t, obtendo
d(Xt, P ) = 3
√
t2 + 2t+ 2.
A distaˆncia entre P e r sera´ enta˜o o menor valor da expressa˜o
acima. Mas este valor mı´nimo acontecera´ quando a expressa˜o
dentro do radical tiver tambe´m seu mı´nimo.
O menor valor de t2 + 2t+ 2 e´ dado por
−∆
4a
= −2
2 − 4 · 1 · 2
4 · 1 = −
−4
4
= 1,
e e´ dado por
t = − b
2a
= − 2
2 · 2 = −1.
5
Assim, a distaˆncia entre P e r e´
d(X−1, P ) = 3
√
1 = 3,
e o ponto de r mais pro´ximo de P e´ aquele dado por t = −1, ou
seja,
X−1 = (4, 1,−2)− 1 (1, 2,−2) = (3,−1, 0).
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