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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Plana – AD1 – Gabarito – 2016.2 Questa˜o 1: [2,5 pts] Na figura ABCD e´ um quadrado e a reta ←→ AB divide o plano em dois semi- planos β e θ, conforme figura. Considere o triaˆngulo equila´tero ABE, tal que E pertence ao semiplano β. a) [1,6] Classifique o triaˆngulo ADE, quanto aos aˆngulos e quanto aos lados. Justifique suas respostas. b) [0,9] O ponto E esta´ no interior, sobre o lado DC ou exterior ao quadrado ABCD? Justifique sua resposta. Soluc¸a˜o: a) Como o ponto E pertence a semiplano β, e o triaˆngulo ABE e´ equila´tero e AB e´ lado do qua- drado, enta˜o temos que AE = AD, ou seja, ∆ADE tem dois lados congruentes. Logo o triaˆngulo AED e´ iso´sceles. Mas m(EÂB) = 60◦ e m(DÂB) = 90◦, logo m(DÂE) = 30◦ e m(AD̂E) = m(DÊA) = 180◦ − 30◦ 2 = 150◦ 2 = 75◦ Enta˜o o triaˆngulo ADE tem treˆs aˆngulos agudos, portanto o triaˆngulo ADE e´ acutaˆngulo. b) Como m(AD̂C) = 90◦ e m(AD̂E) = 75◦ < 90◦, enta˜o o ponto E esta´ no interior do quadrado ABCD. Observe figura ao lado. Questa˜o 2: [2,5 pts] Na figura, r e s sa˜o retas paralelas. Determine a medida do aˆngulos θ e γ. Justifique suas respostas. Soluc¸a˜o: Trace uma reta paralela as retas r e s passando por P , intersec¸a˜o das duas transversais. Geometria Plana – Gabarito AD1 2 Essa paralela gera aˆngulos alternos internos aos aˆngulos que medem 30◦ e 40◦. Como aˆngulos opostos pelo ve´rtice sa˜o congruentes, temos que θ = 40◦ + 30◦ = 70◦. Como θ e γ + 30◦ sa˜o aˆngulos colaterais internos e r//s seus aˆngulos sa˜o suplementares. Portanto θ + γ + 30◦ = 180◦ ⇒ 70◦ + γ + 30◦ = 180◦ ⇒ γ = 180◦ − 100◦ = 80◦ Logo a medida do aˆngulos θ e γ sa˜o 70◦ e 80◦, respectivamente. Questa˜o 3: [2,5 pts] Considere a figura ao lado. Mostre que se PS = QS, PV = QV e x̂ = ŷ, enta˜o SV ⊥ PQ. Justifique suas respostas. Soluc¸a˜o: Do enunciado PS = QS, PV = QV e x̂ = ŷ. Vamos provar que ∆SPV ≡ ∆SQV . De fato, m(SP̂V ) = 180◦ − x, m(SQ̂V ) = 180◦ − y e x̂ = ŷ , enta˜o m(SP̂V ) = m(SQ̂V ) (1) Da´ı pelo crite´rio LAL, temos PS = QS, (por hipo´tese) m(SP̂V ) = m(SQ̂V ), de (1) PV = QV , (por hipo´tese) Portanto ∆SPV ≡ ∆SQV . Temos que m(SV̂ P ) = m(SV̂ Q) e m(SV̂ P ) +m(SV̂ Q) = 180◦. Enta˜o 2 ·m(SV̂ P ) = 180◦ ⇒ m(SV̂ P ) = 90◦. Portanto SV ⊥ PQ. Questa˜o 4: [2,5 pt] Um pol´ıgono convexo de n lados tem treˆs dos seus aˆngulos iguais a 83◦, 137◦ e 142◦. Qual e´ o menor valor de n para que nenhum dos outros aˆngulos desse pol´ıgono seja menor que 121◦? Justifique suas respostas. Soluc¸a˜o: Considere um pol´ıgono convexo de n lados com treˆs dos seus aˆngulos iguais a 83◦, 137◦ e 142◦. Enta˜o 83◦ + 137◦ + 142◦ = 362◦ A soma dos aˆngulos internos desse pol´ıgono e´ Si = 180 ◦(n− 2) (1) Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Geometria Plana – Gabarito AD1 3 Como nenhum dos outros aˆngulos desse pol´ıgono pode ser menor que 121◦, para tentar encontrar o valor pedido, suponha que os demais aˆngulos sejam todos de 121◦, enta˜o a soma dos aˆngulos internos de tal pol´ıgono na˜o pode ser menor que S = 362◦ + 121◦(n− 3) ⇒ S = 362◦ + 121◦n− 363◦ ⇒ S = 121◦n− 1◦ Logo Si > S ⇒ 180◦(n− 2) > 121◦n− 1◦ ⇒ 180◦n− 121◦n > 360◦ − 1◦ 59◦n > 359◦ ⇒ n > 359 ◦ 59◦ ⇒ n > 6, 085 Da´ı n = 7. O menor valor e´ n = 7. Conferindo os valores: Se n = 7, Si = 180 ◦(7− 2) = 900◦, mas temos treˆs aˆngulos, tais que : 83◦ + 137◦ + 142◦ = 362◦, logo os quatro aˆngulos desse pol´ıgono convexo, tem como soma 900◦ − 362◦ = 538◦. Se todos os quatro aˆngulos restantes forem congruentes, enta˜o cada aˆngulos teria como medida 538◦ 4 = 134◦30′. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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