AD1 GP 2016 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD1 – Gabarito – 2016.2
Questa˜o 1: [2,5 pts] Na figura ABCD e´ um quadrado e a reta
←→
AB divide o plano em dois semi-
planos β e θ, conforme figura.
Considere o triaˆngulo equila´tero ABE, tal que
E pertence ao semiplano β.
a) [1,6] Classifique o triaˆngulo ADE, quanto aos aˆngulos e quanto aos lados. Justifique suas
respostas.
b) [0,9] O ponto E esta´ no interior, sobre o lado DC ou exterior ao quadrado ABCD? Justifique
sua resposta.
Soluc¸a˜o:
a) Como o ponto E pertence a semiplano β, e o triaˆngulo ABE e´ equila´tero e AB e´ lado do qua-
drado, enta˜o temos que AE = AD, ou seja, ∆ADE tem dois lados congruentes. Logo o triaˆngulo
AED e´ iso´sceles.
Mas m(EÂB) = 60◦ e m(DÂB) = 90◦, logo m(DÂE) = 30◦ e
m(AD̂E) = m(DÊA) =
180◦ − 30◦
2
=
150◦
2
= 75◦
Enta˜o o triaˆngulo ADE tem treˆs aˆngulos agudos, portanto o triaˆngulo ADE e´ acutaˆngulo.
b) Como m(AD̂C) = 90◦ e m(AD̂E) = 75◦ < 90◦, enta˜o
o ponto E esta´ no interior do quadrado ABCD.
Observe figura ao lado.
Questa˜o 2: [2,5 pts] Na figura, r e s sa˜o retas paralelas.
Determine a medida do aˆngulos θ e γ. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Trace uma reta paralela as retas r e s passando por P , intersec¸a˜o das duas transversais.
Geometria Plana – Gabarito AD1 2
Essa paralela gera aˆngulos alternos internos aos aˆngulos
que medem 30◦ e 40◦.
Como aˆngulos opostos pelo ve´rtice sa˜o congruentes, temos que
θ = 40◦ + 30◦ = 70◦.
Como θ e γ + 30◦ sa˜o aˆngulos colaterais internos e r//s seus aˆngulos sa˜o suplementares. Portanto
θ + γ + 30◦ = 180◦ ⇒ 70◦ + γ + 30◦ = 180◦ ⇒ γ = 180◦ − 100◦ = 80◦
Logo a medida do aˆngulos θ e γ sa˜o 70◦ e 80◦, respectivamente.
Questa˜o 3: [2,5 pts] Considere a figura ao lado.
Mostre que se PS = QS, PV = QV e x̂ = ŷ, enta˜o SV ⊥ PQ.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Do enunciado PS = QS, PV = QV e x̂ = ŷ.
Vamos provar que ∆SPV ≡ ∆SQV .
De fato, m(SP̂V ) = 180◦ − x, m(SQ̂V ) = 180◦ − y e x̂ = ŷ , enta˜o
m(SP̂V ) = m(SQ̂V ) (1)
Da´ı pelo crite´rio LAL, temos 
PS = QS, (por hipo´tese)
m(SP̂V ) = m(SQ̂V ), de (1)
PV = QV , (por hipo´tese)
Portanto ∆SPV ≡ ∆SQV .
Temos que m(SV̂ P ) = m(SV̂ Q) e m(SV̂ P ) +m(SV̂ Q) = 180◦. Enta˜o 2 ·m(SV̂ P ) = 180◦ ⇒
m(SV̂ P ) = 90◦. Portanto SV ⊥ PQ.
Questa˜o 4: [2,5 pt] Um pol´ıgono convexo de n lados tem treˆs dos seus aˆngulos iguais a 83◦, 137◦
e 142◦. Qual e´ o menor valor de n para que nenhum dos outros aˆngulos desse pol´ıgono seja menor
que 121◦? Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Considere um pol´ıgono convexo de n lados com treˆs dos seus aˆngulos iguais a 83◦, 137◦ e
142◦. Enta˜o
83◦ + 137◦ + 142◦ = 362◦
A soma dos aˆngulos internos desse pol´ıgono e´
Si = 180
◦(n− 2) (1)
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Geometria Plana – Gabarito AD1 3
Como nenhum dos outros aˆngulos desse pol´ıgono pode ser menor que 121◦, para tentar encontrar
o valor pedido, suponha que os demais aˆngulos sejam todos de 121◦, enta˜o a soma dos aˆngulos
internos de tal pol´ıgono na˜o pode ser menor que
S = 362◦ + 121◦(n− 3) ⇒ S = 362◦ + 121◦n− 363◦ ⇒ S = 121◦n− 1◦
Logo
Si > S ⇒ 180◦(n− 2) > 121◦n− 1◦ ⇒ 180◦n− 121◦n > 360◦ − 1◦
59◦n > 359◦ ⇒ n > 359
◦
59◦
⇒ n > 6, 085
Da´ı n = 7. O menor valor e´ n = 7.
Conferindo os valores:
Se n = 7, Si = 180
◦(7− 2) = 900◦, mas temos treˆs aˆngulos, tais que : 83◦ + 137◦ + 142◦ = 362◦,
logo os quatro aˆngulos desse pol´ıgono convexo, tem como soma 900◦ − 362◦ = 538◦. Se todos os
quatro aˆngulos restantes forem congruentes, enta˜o cada aˆngulos teria como medida
538◦
4
= 134◦30′.
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