Potencial devido a um sistema de cargas puntiformes

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Potencial devido a um sistema de cargas puntiformes
Para calcularmos o potencial criado no espaço devido a uma distribuição de cargas puntiformes, 
primeiro devemos aprender como calcular o potencial em um ponto p a uma distância r de uma 
única carga pontual.
 
Figura 1: Uma carga de prova é trazida do infinito ao ponto p
Quando uma carga q se movimenta no mesmo sentido do campo seu potencial diminui, portanto na 
figura 1 o potencial gerado pela carga q no infinito é zero, V∞ = 0
O trabalho realizado por uma força conservativa para deslocar um corpo de um ponto a para um 
ponto b é numericamente igual ao negativo da variação da energia potencial.
 W a→ b=−Δ U
Mas o trabalho é dado pela expressão…
 W a → b=∫
a
b
F⃗ d l⃗
Com isso podemos dizer que a variação de energia potencial será…
José Roberto de Jesus Silva
 Δ U =−∫
a
b
F⃗ d l⃗
A força eletrostática responsável por esse deslocamento é dada por
 
 F⃗= q0 E⃗
Substituindo na equação teremos…
 Δ U =−∫
a
b
(q0 E⃗) d l⃗ ⇒ Δ U=−∫
a
b
q0 E⃗ d l⃗
Definimos anteriormente que a variação da energia potencial por unidade de carga é igual a 
diferença de potencial, para a nossa carga de prova temos
Δ V = Δ U
q0
, mas Δ U =−∫
a
b
q0 E⃗ d l⃗ , então
 Δ V =
(−∫
a
b
q0 E⃗ d l⃗ )
q0
⇒ Δ V =
q0 (−∫
a
b
E⃗ d l⃗ )
q0
⇒ Δ V =−∫
a
b
E⃗ d l⃗
O campo a que a nossa carga de prova está sujeita é produzido pela carga positiva que está fixa em 
um ponto do espaço substituindo a equação do campo na equação da diferença de potencial 
teremos.
 E⃗=
kq
r2
⋅r^
José Roberto de Jesus Silva
Δ V =−∫
a
b
( kqr2 ⋅r^ ) d l⃗ ⇒ Δ V =−∫a
b kq
r2
⋅r^ d l⃗ 
se dermos um “zoom” no ponto em que a nossa carga de prova se encontra, podemos observar 
que...
 
 Figura 2: Zoom no ponto em que se encontra a carga de prova
dr é a projeção de d l⃗ sobre r , podemos notar ainda que …
dr=|d l⃗|cos θ , podemos ver ainda que r^⋅d l⃗ =|^r|⋅|d l⃗|⋅cos θ
 mas |^r|=1 , então r^⋅d l⃗ =|d l⃗|⋅cos θ , podemos dizer então que 
r^⋅d l⃗ = dr Como dr aponta para baixo na direção da carga q , dr=−dr ,
 
substituindo na equação Δ V
Δ V =−∫
a
b kq
r2
⋅r^ d l⃗⏟
dr
⇒ Δ V =−∫
a
b kq
r2
⋅(−dr) , 
cancelando os sinais Δ V =∫
a
b kq
r2
dr
José Roberto de Jesus Silva
Estamos falando de trazer uma carga do infinito para o ponto p
quando isso acontece temos a=∞ , b= p e sabemos que Δ V = V p− V∞
Agora nossa expressão para o potencial fica da seguinte forma
 
V p−V ∞=∫
∞
p kq
r2
dr ⇒ V p−V ∞= kq∫
∞
p 1
r2
dr
⇒ V p−V ∞= kq⋅[ 1r2 ]∞
p
O potencial no infinito é zero e no ponto P podemos dizer que rp = r, substituindo na nossa equação 
temos…
⇒ V p− 0= kq⋅( rr2 − 0r2 ) , 0r2 = 0 ⇒ V p= kqr
 V =
kq
r
 (Potencial de Coulomb)
Esse potencial é denominado potencial de Coulomb, ele é negativo ou positivo, dependendo do 
sinal da carga que gera o campo elétrico.
Podemos calcular o potencial produzido em um certo ponto por um grupo de cargas pontuais, 
recorrendo ao princípio da superposição, ou seja.
 V r=V 1+V 2+V 3+ . . .+V n
Podemos escrever esse potencial como um somatório
 V r=∑
i=1
n
V i ⇒ V r=∑
i=1
n kqi
r i
 V r=∑
i=1
n kqi
r i
 (Potencial produzido por um sistema de cargas puntiformes)
José Roberto de Jesus Silva
Como o potencial depende do sinal da carga que gera o campo, calculamos separadamente o 
potencial de cada carga individualmente e depois somamos tudo, obtendo assim o potencial total 
produzido em um ponto por um conjunto de cargas puntiformes.
Para uma distribuição contínua de cargas , pegamos um elemento infinitesimal de carga dq , e 
usando a expressão para o calculo do potencial devido a um sistema de cargas, fazemos.
 dV =∑
i= 1
n
dV i ⇒ dV =∑
i= 1
n kdqi
r i
Como é uma distribuição continua de cargas, não podemos usar o somatório, em vez disso usamos a
integral, integrando dos dois lados temos.
∫
∞
n
dV =∫
i
n kdqi
ri
⇒ V n=∫
i
n kdq
r
 , Generalizando temos
 V =∫ kdqr (Potencial devido a um sistema continuo de cargas)
José Roberto de Jesus Silva