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AP 02 – 2016-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 6 CEDERJ Gabarito da Avaliação Presencial 2 Pré-Cálculo Questão 1 [Valor: 1,2] Considere 𝜃 ∈ [0,2𝜋] e se possível, resolva as equações: (I) sec 𝜃 = −2 (II) sec 𝜃 = 1 2 Se possível, marque as soluções de cada equação no círculo trigonométrico correspondente, desenhado no espaço da resposta desta questão. Indique as soluções em radianos, no intervalo [0,2𝜋]. Se não for possível marcar, justifique. RESOLUÇÃO (I) Por definição, sec 𝜃 = 1 cos𝜃 , logo, sec 𝜃 = −2 ⟺ 1 cos𝜃 = −2 ⟺ cos 𝜃 = − 1 2 Para 𝜃 ∈ [0,2𝜋], temos que cos 𝜃 = − 1 2 ⟺ 𝜃 = 𝜋 − 𝜋 3 = 2𝜋 3 𝑜𝑢 𝜃 = 𝜋 + 𝜋 3 = 4𝜋 3 (II) Por definição, sec 𝜃 = 1 cos𝜃 , logo, sec 𝜃 = 1 2 ⟺ 1 cos𝜃 = 1 2 ⟺ cos 𝜃 = 2. A equação cos 𝜃 = 2 não tem solução, pois para todo 𝜃 ∈ ℝ, vale −1 ≤ cos 𝜃 ≤ 1. Portanto, nada pode ser marcado no círculo trigonométrico. AP 02 – 2016-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 6 Questão 2 [Valor: 0,8] Resolva a equação sec(2𝑥) = −2, para 𝑥 ∈ ℝ. Sugestão: faça a substituição 2𝑥 = 𝜃 e use a solução da equação (I) da questão 1, estendida para 𝜃 ∈ ℝ. RESOLUÇÃO Usando a substituição 2𝑥 = 𝜃, 𝑥 ∈ ℝ, temos que impor também 𝜃 ∈ ℝ. Usando as soluções da equação (I) da questão 1 e considerando que 𝜃 ∈ ℝ, 𝜃 = 2𝜋 3 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝜃 = 4𝜋 3 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 2𝑥 = 2𝜋 3 + 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 = 4𝜋 3 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Logo, dividindo tudo por 2, concluímos que: 𝑥 = 𝜋 3 + 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 2𝜋 3 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. Questão 3 [Valor: 1,2] Determine o domínio da função 𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1). RESOLUÇÃO: Temos duas restrições: 1ª.) O radicando 𝑥 + 4 deve ser positivo ou nulo, logo, é preciso que 𝑥 + 4 ≥ 0 . Temos: 𝑥 + 4 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −4 2ª.) O domínio da função arco seno é [−1, 1], logo, temos que −1 ≤ √𝑥 + 4 − 1 ≤ 1 + 1 ⇔ 0 ≤ √𝑥 + 4 ≤ 2 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 ⇒ 0 ≤ 𝑥 + 4 ≤ 4 −4 ⇔ −4 ≤ 𝑥 ≤ 0 . Como − 4 ≤ 𝑥 ≤ 0 e 𝑥 ≥ −4 , então 𝑫𝒐𝒎 (𝒇) = {𝒙 ∈ ℝ: − 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎 } = [−𝟒 , 𝟎]. _______________________________________________________________________ AP 02 – 2016-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 6 Questão 4 [Valor: 1,2] Encontre os pontos onde a função 𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1) corta ou toca os eixos coordenados. RESOLUÇÃO: Com o eixo 𝑥 . Fazendo 𝑦 = 0 em 𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1): 𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1) = 0 ⟺ √𝑥 + 4 − 1 = 0 + 2 ⇔ √𝑥 + 4 = 1 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 ⇔ 𝑥 + 4 = 12 = 1 ⟺ 𝑥 = −3 . O ponto é (−3 ,0). Com o eixo 𝑦. Fazendo 𝑥 = 0 em 𝑓(𝑥) = arcsen(√𝑥 + 4 − 1) ∶ 𝑓(0) = arcsen(√0 + 4 − 1) = arcsen(√4 − 1) = arcsen(1) = 𝜋 2 , pois sen ( 𝜋 2 ) = 1 e 𝜋 2 ∈ [− 𝜋 2 , 𝜋 2 ] , intervalo de inversão da função seno. O ponto é (0 , 𝜋 2 ) . Questão 5 [Valor: 1,0] Para a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 3, determine o domínio, esboce seu gráfico na figura do espaço para resposta e observando o gráfico, dê a sua imagem. Justifique o domínio e o gráfico. RESOLUÇÃO 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 3 = √𝑥2 3 , o índice da raiz é impar e 2 3 > 0, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞,∞). Como 0 < 2 3 < 1, para 𝑥 > 0 o gráfico de 𝑓 tem o mesmo comportamento do gráfico da função raiz quadrada 𝑦 = √𝑥. Para justificar o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 3 para 𝑥 < 0 , vamos verificar a paridade: O domínio é simétrico em relação à origem da reta numérica. 𝑓(−𝑥) = (−𝑥) 2 3 = √(−𝑥)2 3 = √𝑥2 3 = 𝑓(𝑥), portanto a função 𝑓 é par e seu gráfico é simétrico em relação ao 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 (𝑓) = [0,∞). AP 02 – 2016-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 4 de 6 Questão 6 [Valor: 1,0] Para a função g(𝑥) = 𝑥 5 3, determine o domínio, esboce seu gráfico na figura do espaço para resposta e observando o gráfico, dê a sua imagem. Justifique o domínio e o gráfico. RESOLUÇÃO 𝑔(𝑥) = 𝑥 5 3 = √𝑥5 3 , o índice da é impar e 5 3 > 0, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞,∞). Como 5 3 > 1, para 𝑥 > 0 o gráfico de 𝑔 tem o mesmo comportamento do gráfico da parábola 𝑦 = 𝑥2 para 𝑥 > 0. Para justificar o gráfico de 𝑔(𝑥) = 𝑥 5 3 para 𝑥 < 0 , vamos verificar a paridade, o domínio é simétrico em relação à origem da reta numérica. 𝑔(−𝑥) = (−𝑥) 5 3 = √(−𝑥)5 3 = √−𝑥5 3 = −√𝑥5 3 = −𝑔(𝑥), portanto a função 𝑔 é ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem (0,0). 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑚 (𝑔) = ℝ = (−∞,∞). Questão 7 [Valor: 0,8] Considere a função ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3) cujo gráfico está ao lado. Calcule o domínio da função ℎ . Dê a resposta na forma de intervalo ou de união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos são os que não têm pontos em comum). RESOLUÇÃO: Calculando o domínio de ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3) É preciso impor que 𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0 Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2 − 4𝑥 + 3: 𝑥 = 4±√(−4)2−4.1.3 2.1 = 4±√16−12 2 = 4±√4 2 = 4±2 2 ⟹ 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 3. Como o coeficiente do termo 𝑥2 é 1 , positivo, então a parábola que é o gráfico de 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 tem concavidade voltada para cima e assim, 𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0 ⟺ 𝑥 < 1 ou 𝑥 > 3 . Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, 1) ∪ (3,∞). AP 02 – 2016-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 5 de 6 Questão 8 [Valor: 1,2] Encontre os pontos onde a função ℎ da Questão 7 corta os eixos coordenados. Mostre os cálculos com as devidas justificativas. Encontre as coordenadas dos pontos A , B , C , D , E indicados no gráfico da função ℎ, que se encontra no espaço de resposta desta questão. Justifique!!! RESOLUÇÃO: Com o eixo 𝒙 . Fazendo 𝑦 = 0 em ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3): ln(𝑥2 − 4𝑥 + 3) = 0 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 1 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 2 = 0 Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2 − 4𝑥 + 2 : 𝑥 = 4 ± √(−4)2 − 4.1.2 2.1 = 4 ± √16 − 8 2 = 4 ± √8 2 = 4 ± 2√2 2 = 2 ± √2 ⟹ 𝑥 = 2 − √2 ou 𝑥 = 2 + √2. Logo, a função ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3) corta o eixo 𝑥 nos pontos (2 − √2 , 0) e (2 + √2 , 0) . Com o eixo 𝒚. Fazendo 𝑥 = 0 em ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3): ℎ(0) = ln(3). Logo, a função 𝑦 = ℎ(𝑥) corta o eixo 𝑦 no ponto ( 0 , ln (3)). Pelo domínio da função 𝒉 , temos que : A(1,0) e B(3,0) Pela interseção com o eixo 𝒙, temos que: C(2 − √2 , 0) e D(2 + √2 , 0) Pela interseção com o eixo 𝒚, temos que: 𝐄( 𝟎 , 𝐥𝐧 (𝟑)) __________________________________________________________________________________ Questão 9 [Valor: 1,6] Esboce o gráfico da função 𝑔(𝑥) = |ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3)| + 1. Explique a construção do gráfico da função 𝑔 através de transformações (translações, etc.) no gráfico da função ℎ(𝑥) = ln (𝑥2 − 4𝑥 + 3) da Questão 7. Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝒈 corta os eixos coordenados, se existirem. Justifique! Identifique esses pontos, no gráfico da função 𝑔 , através das suas coordenadas. Observando o gráfico da função 𝒈 , diga qual é a imagem da função 𝑔. AP 02 –2016-1 – GABARITO Pré-Cálculo Página 6 de 6 OBSERVAÇÃO: O espaço de resposta desta questão têm duas figuras onde poderão ser traçados gráficos de funções. Em um deles você deve esboçar o gráfico pedido da função 𝑔 , o outro você usará se desejar, se lhe ajudar a chegar ao gráfico da função 𝑔 . RESOLUÇÃO: ℎ(𝑥) = ln(𝑥2 − 4𝑥 + 3) 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 ⇒ 𝑦 = |ln(𝑥2 − 4𝑥 + 3)| 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 ⇒ 𝑔(𝑥) = |ln (𝑥2−4𝑥+3)|+1 Como |ln(𝑥2 − 4𝑥 + 3)| + 1 ≥ 1 , ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , então o gráfico da função 𝑔 não corta e nem toca o eixo 𝑥 . Fazendo 𝑥 = 0 , temos: 𝑔(0) = |ln (3)| + 1 = 1 + ln (3) 𝐼𝑚(𝑔) = [1,∞) = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≥ 𝟏 } .
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