Cálculo II - Todo material do curso (TEORIA)

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NB002 – CÁLCULO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2016 
 
 2
1ª PARTE: CÁLCULO DE FUNÇÕES COM VÁRIAS VARIÁVEIS 
1 INTRODUÇÃO 
Esta nota de aula tem como objetivo familiarizar o aluno no entendimento das funções 
reais de variáveis reais. Tais funções são importantes, pois aprecem em muitos problemas 
práticos como os listados a seguir. 
a) Um cilindro circular reto, fechado nas extremidades, com base de raio r a altura h, 
tem a área da superfície S dada por: 
222 rrhS pipi += 
 
Cada par de valores (r,h), corresponde um valor finito para a área S. Deste modo, é 
possível afirmar que a variável S, conhecida como variável dependente, é uma função de 
duas variáveis r e h, estas conhecidas como variáveis independentes. A simbologia utilizada 
para representar esta função é dada por 
),( hrfS = . 
b) O volume V de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y, z é dado por 
xyzV = , 
onde V é função das três variáveis independentes x, y, z e representada simbolicamente por 
),,( zyxfV = . 
c) A potência elétrica instantânea P de um sinal é dado por 
2RiP = , 
 
onde, R é a resistência elétrica e i a corrente elétrica. Logo, a potência P é função das 
variáveis R e i sendo representada simbolicamente por 
),( iRfP = 
d) Considere a expressão 
tx
tzv
u
++
++
=
1
222
, 
 
 3
onde, u, é a variável dependente e as demais variáveis são independentes. Assim, pode-se 
considerar que a variável dependente, u, é função das variáveis x, t, v, z, sendo representada 
simbolicamente por 
),,,( zvtxfu = 
e) Quando um corpo é lançado verticalmente, no vácuo, de cima para baixo com 
velocidade inicial vo, o espaço x percorrido após t segundos de queda é dado pela fórmula 
conhecida e dada por 
2
0 2
1 gttvx += , 
 
onde g é a aceleração da gravidade. Admitindo g constante, observa-se que o espaço x é 
função das duas variáveis t e vo. 
 
f) Uma locadora de automóveis que aluga carros cobra R$ 40,00 por dia e 15 centavos 
por quilômetro rodado. 
a) Obtenha uma fórmula para o custo C do aluguel em função do número d de dias e do 
número q de quilômetros. 
b) Se ( )qdfC ,= , calcule ( )300,5fC = e interprete o resultado. 
Solução para o item (a): O custo total em reais do aluguel de um carro é igual a 40 vezes 
o número de dias mais 0,15 multiplicado pelo número de quilômetros rodados. Então: 
qdC 15,040 += 
Solução para o item (b): Segue que ( ) 245300,5 == fC . Isto significa que se alugar um 
carro por 5 dias e dirigir 300 quilômetros, o custo será de R$ 245,00. 
 
g) Ao injetar um medicamento em um tecido muscular, ele se espalha na corrente 
sanguínea. A concentração do medicamento no sangue aumenta até atingir um máximo e 
depois decresce. A concentração C(em mg por litro) do medicamento no sangue é uma 
função de duas variáveis: a quantidade x(em mg) do medicamento injetado e o número de 
horas t desde que a injeção foi administrada. A concentração pode ser modelada por: 
( ) ( )xtettxfC −−== 5, para 40 ≤≤ x e 0≥t . 
 4
Explique o significado das seções retas a seguir em termos de concentração de 
medicamentos no sangue: 
a) ( )tf ,4 
b) ( )1,xf 
Solução para o item (a): Mantendo x fixo e igual a 4, significa que estamos considerando 
uma injeção de 4 mg do medicamento; permitir que t varie significa investigar o efeito 
desta dose ao longo do tempo. Portanto, a função ( )tf ,4 descreve a concentração do 
medicamento no sangue devido a uma injeção de 4 mg em função do tempo. A Figura 1 
ilustra o gráfico ( ) tettf −=,4 . Observe que a concentração dessa dosagem é máxima uma 
hora depois da injeção e que a concentração finalmente tende a zero. 
0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t (horas)
C 
(m
g 
po
r 
lit
ro
)
C = f(4,t)
 
Figura 1 – A função f (4,t) mostra a concentração de um medicamento no sangue devido a 
uma injeção de 4 mg. 
Solução para o item (b): Fixar t = 1 significa focalizar a concentração no sangue uma 
hora depois da injeção; deixar x variar significa considerar o efeito de diferentes doses no 
mesmo instante. Logo, a função f (x,1) fornece a concentração de medicamento no sangue 
uma hora após a injeção em função da quantidade injetada. A Figura 2 apresenta o gráfico 
de ( ) ( ) 551, −−− == xx eexf . Note que ( )1,xf é uma função crescente de x. Isso faz sentido. Se 
administrar doses maiores, a concentração na corrente sanguínea é maior. 
 5
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x(mg)
C
(m
g 
po
r 
lit
ro
)
C = f(x,1)
 
Figura 2 – A função f (x,1) mostra a concentração de um medicamento no sangue uma hora 
após a injeção. 
 
2 ESPAÇOS CARTESIANOS 
2.1 - ESPAÇO CARTESIANO R1 
O espaço cartesiano R1 é o conjunto dos números reais, onde cada número x é um ponto 
de R1. Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de R1 e os pontos de uma reta 
orientada. A imagem geométrica de R1 é a reta euclidiana. 
_________________________________________________________________________ 
2.2 - ESPAÇO CARTESIANO R2 
O espaço cartesiano R2 é o nome dado ao conjunto de todos os pares ordenados de 
números reais, onde cada para (x,y) é um ponto de R2. 
( ){ }RyeRxyxR ∈∈= ,2 . 
A imagem geométrica de R2 é o plano cartesiano. 
_________________________________________________________________________ 
2.3 - ESPAÇO CARTESIANO R3 
O espaço cartesiano R3 é o nome dado ao conjunto de todos os ternos ordenados (x,y,z) 
de números reais, onde cada termo (x,y,z) é um ponto de R3. 
( ){ }RzeRyRxzyxR ∈∈∈= ,,,3 . 
 6
A imagem geométrica de R3 é o espaço cartesiano. 
_________________________________________________________________________ 
2.4 - OS HIPERESPAÇOS 
Para 3>n , as ênuplas (x1,x2,x3,.........,xn) formam o hiperespaço Rn, que não tem 
representação geométrica. Como exemplo tem-se 
( ){ }RxxxxxR i ∈= 43214 ,,, 
ou 
( ){ }RwRzRyRxwzyxR ∈∈∈∈= ,,,,,,4 . 
 
3 - FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
3.1 - DOMÍNIO E IMAGEM 
Recordando que uma regra ou função yxf →: , considerada de modo mais geral, é 
uma correspondência que a cada elemento Xx ∈ associa um elemento Yy ∈ . O conjunto 
X diz-se domínio da função, e o conjunto Y diz-se contradomínio. O elemento 
Yy ∈ correspondente do elemento Xx ∈ chama-se imagem de x pela função f, ou também, 
valor de f no ponto x, e costuma-se escrever 
)(xfy = 
Toda função real de uma variável real é do tipo 
)RemcontidoAselê(,: −⊂→ RARAf . Pode-se deste modo, especificar no 
modelo geral as funções reais de várias variáveis. 
Para começar, considere uma função real f de duas variáveis reais x e y. A cada par (x,y) 
de valores admissíveis dessas variáveis, a função associa um número real z, que também é 
designado por f(x,y). O conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais é o 
produto cartesiano 2RRR =× , o qual se identifica com o plano real. Pode-se admitir que a 
função f é definida em certos pontos (x,y) do plano real, em cada um dos quais assume um 
valor real f(x,y) = z. Os pontos (x,y) e 2R nos quais a função f é definida, constituem o 
domínio de f. Conclui-se que toda função real f de duas variáveis reais é do tipo 
 7
2,: RARAf ⊂→ 
 
A Figura 3 ilustra este conceito. 
y
x
0
(x,y)
(a,b)
A
f
z = f(x,y)
 f(a,b)
w
0
DOMÍNIO (A) CONTRA-DOMÍNIO (CD)
 
Figura 3 – Domínio e contra domínio da função ( )yxfz ,= . 
_________________________________________________________________________ 
Exemplos: 
1) Considere RRf →2: tal que 1),( 22 ++= yxyxf , tem-se então uma função real no 
plano, qualquer que seja (x,y) e R2. O valor da função 1),( 22 ++= yxyxf é um número 
real perfeitamente definido. Pode-se deste modo, verificar facilmenteque a função f 
somente assume valores pertencentes ao intervalo [ )+∞,1 . Eis alguns valores particulares da 
função f: 
f(0,0) = 1, f(0,2) = 5, f(-1,1) = 3, 6)3,2( =−f , f(-1,-1) = 3, 2),1( += pipif . 
Utilizando o programa Matlab substitua os valores da função f(x,y) e construa o gráfico 
no plano de todos os pontos da função. 
2) Seja RBh →: definida por 
yx
yx
yxh −+−= 21),( , 
 
sendo 
 8
( ){ }2010, 2 ≤<≤<= yexRyxD ε . 
Para todo par (x,y) em D, h(x,y) é um número real bem definido. Tem-se, por exemplo, 
3
)53(2)
4
3
,
4
1(,0)2,1(,1)1,1( +=== hhh . 
 
Observação: Frequentemente, uma função f de duas variáveis é dada pela expressão de 
f(x,y), sem especificação do seu domínio. Pode-se então considerar como domínio da 
função o mais amplo subconjunto 2RA ⊂ em cujos pontos a função assume valores reais 
bem definidos. 
3) Seja a função 1),( 2 +−= xyxyxf . Pode-se considerar como domínio de f o plano R2. 
4) Consideremos a seguinte função definida por: 
yx
yxyxg
−
+
=),( , 
 
observa-se que quociente só não é definido quando yx − , quando yx = . O domínio de g é 
o conjunto 
{ }yxRyxD ≠= 2),( ε . 
Geometricamente, D é o conjunto dos pontos do plano que não pertencem à reta xy = . 
5) Considere a função: 
221
72),(
yx
yxyxh
−−
−+
= . 
 
O numerador é um polinômio do 1o grau nas variáveis x e y, e, como tal, é definido em 
R2. Para que o denominador seja real e não nulo, devemos ter: 
101 2222 <+>−− yxouyx 
 
Segue-se que o domínio da função h é: 
{ }1),( 222 <+= yxRyxD ε 
Sabe-se da Geometria Analítica que D é o disco aberto de centro na origem e raio 1. 
 9
6) Considere agora a função 
)326ln(),( yxyxF −−= , 
onde ln indica o logaritmo natural. Para que exista o número real F(x,y), deve-se ter 
0632,0326 <−+>−− yxouyx 
Sabemos que esta desigualdade tem por solução os pontos (x,y) do plano situado abaixo 
da reta r da equação 0632 =−+ yx . A Figura 4 ilustra o gráfico. 
2
r
x
y
0
3
 
Figura 4 – Gráfico da função 2x+3y-6=0. 
Tais pontos constituem o semi plano que aparece marcado na Figura 2. 
O domínio da função F é, um semi plano aberto (a reta r está excluída desse domínio). 
7) Examine a função a seguir e encontre o domínio D da função G, o gráfico e os valores 
de x e y. 
34107),( 22 −+−+−+−= yyxxyxG 
 
Para que G(x,y) seja real, deve-se ter 
034y- e 0107 22 ≥−+≥−+− yxx . 
Resolvendo essas inequações, encontram-se 
3y1 e 5x2 ≤≤≤≤ . 
Os pontos (x,y) ∈ R2 que verificam a primeira desigualdade estão situados na faixa 
 10
do plano limitada pelas duas retas verticais x = 2 e x = 5. Os pontos (x,y) ∈ R2, que 
satisfazem à segunda desigualdade estão na faixa do plano limitada pelas duas retas 
horizontais y = 1 e y = 3. O domínio D da função G é, a interseção das duas faixas do plano. 
Esse domínio é o retângulo ilustrado na Figura 5. 
D
y
x
2 5
1
3
0
 
Figura 5 – Gráfico da função. 
Considere, a seguir, uma função f de três variáveis x, y, z. A cada conjunto de valores 
admissíveis dessas variáveis, corresponde um valor real w = f (x,y,z) da função. Ora, o 
conjunto de todos os termos ordenados (x,y,z) de números reais é o espaço 
tridimensional real RRRR ××=3 . Portanto, toda função real de três variáveis reais é 
definida em um subconjunto do espaço considerado. Trata-se de uma função do tipo 
3: RARAf ⊂→ . 
Podem-se ilustrar tais funções por meio da Figura 6. 
(x,y,z)
z
y
x
0
w
w=f(x,y,z)
0
f
 
Figura 6 – Gráfico da função w = f(x,y,z). 
 11
8) Seja RRf →3: assim definida como 
1053),,( 22 −++= zyxzyxf . 
Tal função é um polinômio do 2o grau com três variáveis. Eis os valores de f em alguns 
pontos do domínio R3. 
0)5/2,3,1(16)1,3,2(
6)0,1,1(10)0,0,0(
=−−=
−=−−=
ff
ff
 
 
9) Considere a função de cinco variáveis 
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
5421
54321
16
2),,,,(
xxxxx
xxxx
xxxxxhy
−−−−−
−+−
== . 
 
Para que y seja um número real bem definido, devemos ter 
016 25
2
4
2
3
2
2
2
1 >−−−−− xxxxx , 
 
ou seja 
162524232221 >++++ xxxxx . 
 
O domínio da função h é o conjunto 5RD ⊂ cujos pontos verificam esta última 
desigualdade. Temos, por exemplo: 
5
6)1,1,2,1,2( −=−−h . 
 
_________________________________________________________________________ 
3.2 - DEFINIÇÃO: FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 
Uma função real f a duas variáveis reais é uma relação que transforma em um único real 
z a cada para ordenado (x,y) de números reais de um certo conjunto D, chamado domínio da 
função. Se a relação f transforma no número real z o par ordenado (x,y) em D, então 
simbolicamente escreve-se z = f (x,y). 
Na equação z = f (x,y), chama-se z de variável dependente e nos referimos a x e y como 
variáveis independentes. O conjunto de todos os valores possíveis de z, que pode ser obtido 
aplicando a relação f aos pares ordenados (x,y) em D., é denominado imagem da função f. 
Definimos o gráfico de uma função f a duas variáveis como sendo o conjunto de todos 
os pontos (x,y,z) no espaço cartesiano tridimensional, tal que (x,y) pertence ao domínio D 
 12
de f e z = f (x,y). O domínio D pode ser representado através de um conjunto de pontos no 
plano xy e o gráfico de f como superfície cuja projeção perpendicular ao plano xy é D, 
conforme ilustra a Figura 7, o ponto indicado como (x,y) é na verdade (x,y,0); contudo a 
terceira coordenada foi propositadamente omitida. Observe que o ponto (x,y) varia em D, o 
ponto correspondente (x,y,z) = (x, y, f (x,y)) varia sobre a superfície. 
z=f(x,y)
(x,y,z)
z
y
x
0
(x,y)
Domínio D
 
Figura 7 – Gráfico de z = f(x,y). 
_________________________________________________________________________ 
3.3 - DEFINIÇÃO : FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
Uma função real f a n variáveis reais é uma relação que transforma em número real w 
cada n-upla ordenada (x1,x2,x3,....xn) de números reais de um certo conjunto D, chamado de 
domínio da função f. Se a relação f transforma no número w a n-upla ordenada 
(x1,x2,x3,.....xn) então escrevemos w = f(x1,x2,x3,........xn). 
_________________________________________________________________________
3.4 - VALOR NUMÉRICO 
Chama-se de valor numérico de uma função ( )nxxxxfw ,,,, 321 K= , o valor que é 
obtido quando substitui as variáveis independentes por valores dados e efetuam-se as 
operações algébricas indicadas. 
 13
Exemplos: 
1) Se f está definida por yxyxf += 2),( para todos valores de x e y, calcular. 
a) )2,1( −f 
b) ),
2
1(
y
xf 
Solução 
a) 0)2(12)2,1( =−+×=−f 
b) 
y
yx
y
x
y
x
y
xf +=+=+×= 1
2
12),
2
1( 
2) Se 
zyx
yx
zyxg
−+
= 22),,( para todos os valores de x, y e z exceto aqueles que 
anulam o denominador, calcular. 
a) )2,1,2( −g 
b) ),,( 2aaag − 
Solução 
a)
7
2
)2(12
12)2,1,2( 22 =
−−+
×
=−g 
b)
3
1
3)(),,( 2
2
222
2
==
−−+
×
=−
a
a
aaa
aa
aaag 
_________________________________________________________________________ 
3.5 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
A noção gráfica estende-se às funções reais de mais de uma variável, como já observado 
na definição prévia inserida na seção 3.2. Seja RAF →: , onde 2RA ⊂ uma função real 
qualquer de duas variáveis. O gráfico de F é, por definição, o conjunto 
{ }),(),(),,( 3 yxFzeAyxRzyx =εε . 
Trata-se como se vê, um conjunto do espaço tridimensional R3. A esse gráfico costuma-
se chamar superfície representativa da função. 
Na Figura 8 ilustra o gráfico de uma função F com duas variáveis. 
 14
P
M
S
y
x
X
Z
A
z=F(x,y)
0
 
Figura 8 – Gráfico de uma função. 
O gráficoé o conjunto S dos pontos M(x,y,z) do espaço R3. A projeção ortogonal da 
superfície S sobre o plano xy é precisamente o domínio A da função. 
_________________________________________________________________________ 
Exemplos: 
1) Seja z = 2x – 3y + 5. Esta função é definida no plano R2. O seu gráfico é um conjunto 
dos pontos M = (x, y, 2x – 3y + 5) do espaço R3. Sabemos que tal conjunto é um plano do 
espaço. Observe que a equação z = 2x – 3y +5 é equivalente à equação 2x – 3y +5 = 0, a 
qual, como ensina a geometria analítica, representa um plano do espaço. De modo geral, 
toda função do 1o grau nas variáveis x e y, tem por gráfico um plano do espaço R3. 
cbyaxz ++= 
2) Considere a função 
221),( yxyxfz −−== , 
 
onde o domínio é o disco fechado de centro na origem e raio 1. 
{ }1),( 222 ≤+ yxRyx ε 
O gráfico de f é o conjunto dos pontos )1,,( 22 yxyxM −−= de R3 tais que (x,y) ε D. 
É fácil mostrar que esse gráfico é hemisférico de centro na origem e raio 1 situado acima do 
plano xy. 
De fato a distância da origem ao ponto genérico M do gráfico de f é: 
 15
1)1( 2222 =−−++= yxyxOM 
 
Portanto, M pertence à esfera de centro 0 e raio 1. Considerando que a cota de M é ≥ 0, 
segue-se que M está no hemisfério referido. 
Introduzimos a seguir, os gráficos de funções de mais de duas variáveis. Seja 
RAF →: , onde 3RA ⊂ , uma função de três variáveis. O seu gráfico é, por definição, o 
conjunto 
{ }),,(),,(),,,( 321432144321 xxxFxeAxxxRxxxx =εε . 
Tal gráfico e, como se vê, um subconjunto do espaço de quatro dimensões e, como tal, 
não temos possibilidade de representá-lo em um desenho. Dizemos que se trata de uma 
hiper superfície de R4. 
De modo geral, o gráfico de uma função RAf →: , onde nRA ⊂ é uma hiper 
superfície do espaço Rn+1. 
Os conceitos básicos relativos às funções de várias variáveis decorrem de maneira 
natural e suave dos mesmos conceitos referentes às funções de duas variáveis, e o estado 
destes últimos é amenizado pela possibilidade de sua interpretação no gráfico da função, 
que é uma superfície do espaço tridimensional. 
_________________________________________________________________________ 
3.6 - REPRESENTAÇÃO POR LINHAS DE CONTORNO OU CURVAS DE NÍVEL 
Dá-se o nome de curva de nível de uma função z =f (x,y), a curva ou linha no plano 
xy expressa por: f(x,y)=C, para cujos pontos a função z tem o mesmo valor, ou seja z = 
c(constante). 
Seja a função z = f(x,y) ilustrada na Figura 9. 
 16
 
Figura 9 – Curva de nível. 
Considere: 








=
=
=
nzz
zz
zz
M
M
1
0
 de modo geral, Cyxf =),( onde )(xy φ= , que representa uma 
curva no plano xy, chamada linha de contorno, curva de contorno, curva de nível ou linha 
de nível. 
_________________________________________________________________________ 
3.7 - REPRESENTAÇÃO POR SUPERFÍCIE DE CONTORNO OU SUPERFÍCIE DE NÍVEL 
Dá - se o nome de superfície de contorno ou superfície de nível de uma função 
u=f (x,y,z), a superfície expressa por: f(x,y,z)=c, para cujos pontos a função u tem o mesmo 
valor u=c (constante). 
Seja a função u=f(x,y,z) ilustrada na Figura 10. 
 17
Z
ˆ
X
1
u2
u0
 
Figura 10 – Representação da função u=f(x,y,z). 
Considere: 








=
=
=
nuu
uu
uu
M
M
1
0
 de um modo geral: ),(,),,( yxzondeCzyxf φ== . Portanto, 
podemos dizer que ),( yxz φ= , representa uma superfície, chamada superfície de contorno, 
superfície de nível, mapa de contorno ou mapa de nível. 
_________________________________________________________________________ 
Exemplos: 
1) Achar as linhas de contorno das funções: 
a) yxz 2= 
Façamos z = constante 
2
2
x
CyyxC =∴= (equação das linhas de contorno). 
*Como exercício adicional, esboce esta função utilizando o recurso gráfico do Matlab. 
 
b) )arcsen(xyz = 
Façamos: )arcsen(Cz = , logo: xyCxyC =∴= )arcsen()arcsen( 
x
Cy = , família de hipérboles equiláteras. 
Sendo czc ,sen= admitirá valores no campo de existência .11 ≤≤− C 
 18
*Como exercício adicional, esboce esta função utilizando o recurso gráfico do Matlab. 
a) Achar a superfície de nível da função 
222 zyxu ++= , 
considerando: 222222222222 yxczyxczzyxccu −−=∴−−=∴++=∴= . 
Desta forma tem-se uma família de esferas concêntricas de centro na origem e raio igual 
a C. Como exercício adicional, esboce esta função utilizando o recurso gráfico do Matlab. 
_________________________________________________________________________ 
3.8 - DOMÍNIO OU REGIÃO DE DEFINIÇÃO 
3.8.1 - DEFINIÇÃO: 
Por domínio ou região de definição de uma função ),( yxfz = , se entende um 
conjunto de pontos (x,y) do plano xoy, para o qual a função é definida. 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
Seja uma superfície esférica ilustrada na Figura 11. 
z
x
y
L
R(D)
 
Figura 11 – Região de domínio 
Notemos no gráfico que a região ou domínio é uma circunferência. 
Observações: 
1. A linha que limita a região de definição é chamada fronteira L. 
2. Um domínio que possui somente interiores é chamado domínio aberto. 
3. Um domínio cujos pontos sobre a fronteira são incluídos é denominado domínio 
fechado. 
 19
 
4 - LIMITE DE UMA FUNÇÃO COM DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
O conceito de limite de uma função para funções de uma variável estende-se para 
funções de duas ou mais variáveis. Consideremos uma função: 
2,: RABAf ⊂→ 
de duas variáveis, e um ponto (a;b) do plano, tal que f seja definida em pontos (x,y) 
arbitrariamente próximos de (a,b). Não é necessário que f seja definida no ponto (a,b). 
Intuitivamente, diremos que o limite da função f, quando o ponto variável (x,y) ∈ A tende 
para o ponto (a,b), é um número real L, se e somente se, o valor f(x,y) da função está 
próximo de L quando (x,y) está próximo de (a,b). Para exprimir essa situação, 
escreveremos: 
( ) ( ) LyxfouLyxf
by
axbayx
==
→
→→
,lim,,lim
),(),(
 
 
Para dar precisão a esse conceito, é necessário definir a idéia de proximidade, e para 
isso, podemos usar a noção de distância, já introduzida no plano. É natural dizer que o 
ponto (x,y) está próximo do ponto (a,b) quando a distância entre esses pontos é pequena. 
Assim todos os pontos (x,y) ∈ R2 cuja distância ao ponto (a,b) é menor que um número 
0>δ verificam a desigualdade. 
( ) ( ) 222 δ<−+− byax 
O conjunto de todos esses pontos constitui, o disco aberto de centro (a,b) e raio δ . 
Esse disco aberto é uma vizinhança do ponto (a,b) no plano; precisamente, é a vizinhança 
do ponto (a,b) de raio δ . Designando tal vizinhança por V, podemos escrever. 
( ) ( ) ( ){ }2222, δ<−+−∈= byaxRyxV 
A vizinhança V está ilustrada na Figura 12. Cada ponto (a,b) ∈ R2 tem uma 
infinidade de vizinhanças, e podemos imaginar tais vizinhanças arbitrariamente pequenas, 
bastando para isso o raio δ suficientemente pequeno. 
 20
0
Y
X
(a,b)
δ(x,y)
V
 
Figura 12 – Disco aberto de centro (a,b) e raio δ . 
Utilizando o conceito de vizinhança, podemos dar uma definição satisfatória do 
limite de uma função de duas variáveis. Seja 2,: RARAf ⊂→ , uma função real de duas 
variáveis, e seja (a,b) ∈ R2 um ponto tal que em qualquer de suas vizinhanças exista algum 
ponto do domínio A da função. A função f tem por limite o número real L quando (x,y) 
tende para (a,b), e escreveremos: 
( ) Lyxf
bayx
=
→ ),(),(
,lim , 
se e somente se, para cada vizinhança ( )εε +−= LLU , , do ponto L em R, existe uma 
vizinhança V do ponto (a,b) em R2 tal que 
( ) ( ) ( ) UyxfbayxVAyx ∈⇒≠∩∈ ,),(,,, . 
O conteúdo dessa definição é ilustrado na Figura 13. 
Y
X
Z
R
0
0
ε+L
ε−L
LU
A
(x,y)
f(x,y)
fV
(a,b)
 
Figura 13 – Representação gráfica de limite 
 21
Na definição anterior temos um modo rigoroso para afirmar que o valor f(x,y) da 
função pode estar arbitrariamente próximo de L, desde que (x,y) ∈ A esteja suficientemente 
próximo de (a,b). 
Observe que a definição não exige que a função f esteja definida no ponto (a,b); 
exige apenas que f seja definida em pontos próximos de (a,b). 
Em muitos casos, pode ser que não exista o limite de uma função de duas variáveis , 
e mesmo quando existe, pode ser um problema difícil determiná-lo. A definição que demos 
não nos indica nenhum caminho a seguir para obter o limite. 
O comportamento de uma função f(x,y) para (x,y) próximo de (a,b) pode depender 
do modo como o ponto variável (x,y) se aproxima do ponto (a,b). Para esclarecer o assunto 
consideremos os seguintes exemplos: 
_________________________________________________________________________ 
Exemplos: 
1) Seja ( ) 22, yx
xyyxf
+
= , esta função só não é definida no ponto (0,0). Suponhamos que 
(x,y) se aproxime da origem sobre a reta r que forma com 0X o ângulo α . Temos então 
axtgxy == α. , onde αtga = . Portanto: 
( ) ( ) ( ) ( ) 222
2
22 11
.
,,
a
a
ax
ax
axx
axx
axxfyxf
+
=
+
=
+
== 
 
Verificamos que sobre a reta r considerada, o valor de f se conserva constante. Segue-se 
que: 
( ) ( ) 20 1,lim,lim a
a
axxfyxf
x +
==
→
. 
 
Desse modo, o limite de f(x,y) depende da reta r, isto é, depende do ângulo α . 
Concluímos que não existe um número L do qual f(x,y) se aproxime quando (x,y) tende para 
(0,0) de qualquer modo, neste caso, não existe ( ) ( ) ( )yxfyx ,lim 0,0, → . 
 22
X
Y
0
α
r
(x,y)
 
 
2) Seja ( ) 22
2
33
2
,
yx
yxyxf
+
= . Esta função só não é definida no ponto (0,0). Tentaremos 
encontrar seu limite quando (x,y) tender para (0,0) ao longo dos seguintes caminhos: (i) 
eixo dos x, (ii) eixo dos y, (iii) a reta y = x, (iv) a parábola y = x2. 
(i) Sobre o eixo x, y = 0 e ( ) 0)0(33
)0(2
, 22
2
=
+
=
x
xyxf para .0≠x 
Assim: ( ) 00lim0,lim
00
==
→→ xx
xf . 
 
(ii) Sobre o eixo dos y, x=0 e ( ) ( ) 0
3)0(3
)0(2
,0, 22
2
=
+
==
y
yyfyxf para .0≠y 
Assim: ( ) 00lim,0lim
00
==
→→ yy
yf . 
 
(iii) Sobre a reta y = x, ( ) ( )
36
2
33
2
,, 2
3
22
2 x
x
x
xx
xx
xxfyxf ==
+
== para .0≠x 
Assim: ( ) 0
3
lim,lim
0
0
==
→
→
x
x
x
xxf . 
 
(iv) Sobre a parábola y = x2, ( ) ( ) 2
2
42
22
2
33
2
33
2
,,
x
x
xx
xx
xxfyxf
+
=
+
== para .0≠x 
Assim: ( ) 0,lim
0
2
=
→x
xxf . 
 
 23
Verificamos, assim que ao longo de todos os caminhos o valor de f se conserva 
constante. Deste modo, 
( ) 0
33
2lim,lim 22
2
0
0
0
0
=
+
=
→
→
→
→ yx
yxyxf
y
x
y
x
. 
 
Observação: No estudo do limite de uma função f de uma variável, observamos que o 
( )
ax
xf
→
lim existe, se e somente se, os limites laterais ( )
+→ax
xflim e ( )
−→ax
xflim , existem e são 
iguais. Tratando com limite de uma função f a duas variáveis, isto é, ( )
by
ax
yxf
→
→
,lim , devemos 
supor que o ponto (x,y) se aproxime do ponto (a,b) não apenas pela direita ou pela 
esquerda, mas também por qualquer outra direção. Podemos ainda supor que (x,y) se 
aproxima de (a,b) ao longo de uma curva. A Figura 14 ilustra esta aproximação. 
(x,y)
(a,b)
X
Y Y
0 0
X
(x,y)
(a,b)
 
Figura 14 – Curvas de aproximação de (x,y) em relação a (a,b). 
Dizer que: 
( ) Lyxf
by
ax
=
→
→
,lim 
Significa que quando (x,y) tende a (a,b) por qualquer direção f(x,y) tende ao mesmo 
limite L. Portanto, um meio conveniente de mostrar que um particular limite ( )
by
ax
yxf
→
→
,lim 
não existe é mostrar que f(x,y) tende a dois limites diferentes quando (x,y) tende a (a,b) por 
duas direções diferentes. 
 
 
 24
5 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO COM DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
Seja ,,: 2RARAf ⊂→ uma função de duas variáveis, e seja (a,b) ∈ A Diremos que f é 
contínua no ponto (a,b), quando forem verificadas as seguintes condições: 
(i) Exista f(a,b), isto é exista o valor numérico da função para x = a e y = b. 
 
(ii) 
( )
( ) finito seja lim
exista , ,lim
by
ax
by
ax
,x,y f
yxf
→
→
→
→
 
 
(iii) e: 
( ) ( )a,bfyxf
by
ax
 ,lim =
→
→
 
 
Observação: Quando uma destas condições não for satisfeita a função é descontínua no 
ponto. Uma função é contínua em uma região, quando for contínua em todos os pontos da 
região. 
_________________________________________________________________________ 
Exemplos: 
1) Seja a função f(x,y) = x2 +y2 que é contínua no ponto (a,b). 
(i) f(a,b) = a2 + b2 
(ii) ( ) 2222lim bayxf
by
ax
+=+
→
→
 
(iii) ( ) ( )bafyxf
by
ax
,lim 22 =+
→
→
 
 
2) Seja a função ( )
xy
yxyxf
−
+
=, descontínua no ponto (0,0). 
Tomando ( ) nado)(indetermi
0
0
00
000,0 =
−
+
=f 
Vemos que uma das condições não é satisfeita, portanto, função descontínua em (0,0). 
 
 25
3) Seja a função ( ) ( ) ( )
( ) ( )



=
≠
+=
0,0yx,se0
0,0,4
,
22 yxseyx
xy
yxf 
descontínua no ponto (0,0). 
 
(i) Estudando o limite ao longo do eixo x, temos: 
( ) ( )



=
≠
==
0se0
0se0
0,,
x
x
xfyxf 
( ) 00,lim
0
=
→
xf
x
 
 
(ii) Estudando o limite ao longo da reta y = x. 
( ) ( )



=
≠
==
0se0
0se2
,,
x
x
xxfyxf 
( ) 2,lim
0
=
→
xxf
x
 
 
Assim deste modo, ( )xf
y
x
0
0
lim
→
→
 não existe e, por conseguinte, f não é contínua em (0,0). 
 
6 - ALGUNS LIMITES FUNDAMENTAIS 
1 )sen(lim
0
=
→ x
x
x
 
 
e 
11 lim
x
=





+=
∞→ xx
 
 
k
x
e 1 lim =





+=
∞→ x
k
x
 
 
( ) e 1 lim x1 =+=
∞→
x
x
 
 
 
 26
6.1 - FORMAS INDETERMINADAS 
Quando, no cálculo do eventual limite de uma função, obtivermos uma das sete formas: 
∞
∞
∞
∞
∞×∞−∞ 1,,0,,
0
0
,0, 00 
 
Nada poderá se concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso, 
feito geralmente com o auxílio da noção de equivalência entre funções. 
_________________________________________________________________________ 
6.2 - PROPRIEDADES DA CONTINUIDADE PARA FUNÇÕES A DUAS VARIÁVEIS 
Consideremos que (a,b) seja um ponto interior aos domínios das funções f e g a duas 
variáveis e suponha ainda f e g contínuas em (a,b). Então: 
1) h(x,y) = f(x,y) + g(x,y) é contínua em (a,b). 
2) k(x,y) = f(x,y) - g(x,y) é contínua em (a,b). 
3 p(x,y) = f(x,y) . g(x,y) é contínua em (a,b). 
4) Se g(a,b) ≠ 0, então ( ) ( )( )yxg
yxfyxq
,
,
, = é contínua em (a,b). 
5) Se w é uma função a duas variáveis que é contínua e está definida no ponto f(a,b) 
e se (a,b) é o ponto interior ao domínio de v(x,y) = w[f(x,y)], então v é contínua em (a,b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27
7 - DERIVADAS PARCIAIS 
7.1 - INTRODUÇÃO 
As técnicas, regras e fórmulas que dispomos para diferenciar funções a uma variável 
podem ser generalizadas para funções a duas ou mais variáveis, considerando-se que uma 
das variáveis deve ser mantida constante e as outras diferenciadas em relação à variável 
remanescente. 
Como exemplo considere a função 
( ) 22 43, yxyxyxf −+= . 
Consideraremos temporariamente à variável y como constante e diferenciaremos em 
relação à variável x. Por conseguinte, visto que y é constante, 
( ) ( ) ( ) 04333 2 =−== y
dx
d
eyx
dx
dyxy
dx
d
,daí 
( ) ( ) ( ) ( ) yxyxy
dx
d
xy
dx
d
x
dx
dyxf
dx
d 3203243, 22 +=++=−++= . 
 
No sentido de enfatizar que apenas a variável x pode variar, ou seja, que a variável y 
deve ser mantida constante quando a derivada é calculada, é usual substituir-se o símbolo 
x
por
dx
d
∂
∂
. 
 
O símbolo ∂ é lido como “d round”. Portanto, da expressão anterior teremos 
( ) ( ) yxyxyx
x
yxf
x
3243, 22 +=−+
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
A derivada calculada em relação à variável x enquanto y é mantida temporariamente 
constante é denominada derivada parcial em relação à variável x, e x∂∂ é chamado de 
operador derivada parcial em relação à variável x. Analogamente realizamos as mesmas 
considerações para y∂∂ . Desse modo, para a função f definida por 
( ) 22 43, yxyxyxf −+= , tem-se 
 28
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 4343, y
y
xy
y
x
y
yxyx
y
yxf
y
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=−+
∂
∂
=
∂
∂
 
 
( ) yxyxyxf
y
83830, −=−+=
∂
∂
. 
 
_________________________________________________________________________ 
7.2 - DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES A DUAS VARIÁVEIS 
Se f é uma função a duas variáveis e (x,y) é um ponto no domínio de f, então as 
derivadas parciais ( ) ( )
y
yxf
x
yxf
∂
∂
∂
∂ ,
e
,
 de f em (x,y) em relação à primeira e à segunda 
variável são definidas por 
( ) ( ) ( )
x
yxfyxxf
x
yxf
x ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,lim,
0
, 
 
( ) ( ) ( )
y
yxfyyxf
y
yxf
y ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,lim,
0
. 
 
Contanto que os limites existam. O procedimento para encontrar as derivadas parciais é 
denominado diferenciação parcial. 
7.2.1 - NOTAÇÃO 
É conveniente se ter uma notação para derivadas parciais que seja análoga à notação 
f’(x) para funções de uma variável. Assim, a derivada de ( )yxfz ,= frequentemente se 
escreve 
( ) ( )yxfouyxf x ,,1 , 
ao invés de 
( )
x
yxf
ou
x
z
∂
∂
∂
∂ ,
. 
 
Para a derivada parcial de f em relação à variável x. O índice 1(respectivamente o índice 
x) representa a diferenciação parcial em relação à primeira variável ou, em relação à 
 29
variável x. A notação do operador ( )[ ]xfD para derivadas ordinárias pode ser adaptada 
para derivadas parciais obtendo-se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxfDyxfDyxfyxfyxf
xx
z
xx ,,,,, 11 ====∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Analogamente, para a derivada parcial em relação à variável y obtém-se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxfDyxfDyxfyxfyxf
yy
z
yy ,,,,, 22 ====∂
∂
=
∂
∂
. 
 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) Use a definição para encontrar 
y
z
e
x
z
∂
∂
∂
∂
se ( ) 22 275, yxyxyxfz +−== . 
 
( ) ( )
x
yxfyxxf
x
z
x ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,lim
0
 
( ) ( )[ ] ( )
x
yxyxyyxxxx
x
z
x ∆
+−−+∆+−∆+
=
∂
∂
→∆
2222
0
2752.7.5lim 
( )[ ]
x
yxyxyxyxyxxxx
x
z
x ∆
−+−+∆−−∆+∆+
=
∂
∂
→∆
22222
0
27527725lim 
( ) ( )xyx
x
xyxxx
x
z
xx
∆+−=
∆
∆−∆+∆
=
∂
∂
→∆→∆
5710lim7510lim
0
2
0
 
.710 yx
x
z
−=
∂
∂
 
 
 
 
( ) ( )
y
yxfyyxf
y
z
y ∆
−∆+
=
∂
∂
→∆
,,lim
0
 
( ) ( )[ ] ( )
y
yxyxyyyyxx
y
z
y ∆
+−−∆++∆+−
=
∂
∂
→∆
2222
0
275275lim 
( )[ ]
y
yxyxyyyyyxxyx
y
z
y ∆
−+−∆+∆++∆−−
=
∂
∂
→∆
22222
0
27522775lim 
( ) ( )yyx
y
yyyyx
y
z
yy
∆++−=
∆
∆+∆+∆−
=
∂
∂
→∆→∆
247lim247lim
0
2
0
 
.47 yx
x
z
+−=
∂
∂
 
 
_________________________________________________________________________ 
 30
7.3 - DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES A N VARIÁVEIS 
Seja f uma função a n variáveis e suponha que (x1, x2,....., xk,......., xn) pertença ao 
domínio de f. Se nk ≤≤1 , então a derivada parcial de f em relação à k-ésima variável xk é 
representada por fk e definida por 
( )nkk xxxxf ,.......,,,........., 21 
( ) ( )
k
nknkk
x x
xxxxfxxxxxf
k ∆
−∆+
=
→∆
,......,.....,,....,.....,,lim 2121
0
 
 
Contanto que o limite exista. 
Se ( )nk xxxxfw .,,.........,.......,, 21= , então pode se utilizar também as seguintes notações 
para derivada parcial de f em relação à k-ésima variável xk. 
( ) ( )
( ) ( )nkxnkk
nkxnk
kk
xxxxfDxxxxfD
xxxxfxxxxf
xx
w
k
k
,.......,,,.........,,.......,,,.........,
,.......,,,.........,,.......,,,.........,
2121
2121
==
=
∂
∂
=
∂
∂
 
 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) No caso onde n = 3, as variáveis x1, x2 e x3 da definição acima são substituídos por x, y, 
z, respectivamente, e obtém-se as expressões. 
( ) ( ) ( ) ( )
x
zyxfzyxxf
zyxfzyxf
x
x ∆
−∆+
==
→∆
,,,,lim,,,,
01
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
y
zyxfzyyxf
zyxfzyxf
yy ∆
−∆+
==
→∆
,,,,lim,,,,
02
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
z
zyxfzzyxf
zyxfzyxf
z
z ∆
−∆+
==
→∆
,,,,lim,,,,
03
 
 
_________________________________________________________________________ 
7.4 - TÉCNICAS PARA O CÁLCULO DE DERIVADAS PARCIAIS 
As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas que eram 
válidas para funções ordinárias, exceto que todas as variáveis independentes, que não 
 31
aquelas em relação a qual efetuamos a derivação parcial, são tomadas temporariamente 
como constantes. 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) Se w = x.y2.z3 , encontre xw ∂∂ e yw ∂∂ 
Considerando x e z com constantes e diferenciando em relação a y obtém-se 
( ) ( ) ( ) 332332 22 xyzyxzy
y
xzzxy
yy
w
==
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
 
 
( ) ( ) ( ) 32323232 1 zyzyx
y
zyzxy
xx
w
==
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
 
 
_________________________________________________________________________ 
7.5 - CONCEITO SOBRE A REGRA DA CADEIA 
Recordando o caso com uma variável, se considerarmos duas funções diferenciáveis f e 
g, onde 
( ) ( )xgueufy == . 
Se g(x) está no domínio de f, pode-se escrever 
( ) ( )( )xgfufy == . 
Isto é, y é função de x. O teorema a seguir dá uma fórmula que especifica a derivada Dxy 
da função composta em termos das derivadas de f e g. No enunciado do teorema supõe-se 
que as variáveis sejam escolhidas de modo que a função composta f o g seja definida, e que, 
se g tem derivada em x, então f tem derivada em g(x). 
Portanto, se y = f(u), u = g(x) e as derivadas Duy e Dxu existem, a função composta 
definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por 
( ) ( ) ( )xgufuDyDyD xux '')( == 
ou 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= . 
 
Considere agora g uma função a mais de uma variável, por exemplo, a duas variáveis 
por facilidade de compreensão. Se w = f(v) e v = g(x,y), ou seja w = f[g(x,y)], então 
mantendo y constante e utilizando a regra da cadeia conhecida, tem-se 
 32
( )[ ] ( ) ( )
x
v
vfyxgyxgf
x
w
x ∂
∂
==
∂
∂
''
,, , 
 
x
v
dv
dw
x
w
∂
∂
=
∂
∂
. . 
 
Contanto que as derivadas xvedvdw ∂∂ existam. Analogamente, mantendo-se x 
constante e utilizando a regra da cadeia conhecida, teremos: 
( )[ ] ( ) ( )
y
v
vfyxgyxgf
y
w
y ∂
∂
==
∂
∂
''
,, 
 
y
v
dv
dw
y
w
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
_________________________________________________________________________ 
7.6 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 
Suponha que f seja uma função a duas variáveis e que f tenha derivadas parciais f1 e f2. O 
gráfico de f é uma superfície com equação ),( yxfz = , ilustrado na Figura 15. 
Seja ),( ooo yxfz = , tal que ),,( ooo zyxP = sejaum ponto desta superfície. O plano y = 
yo intercepta a superfície na seção APB, enquanto que o plano x = xo intercepta a mesma 
superfície na seção CPD. Quando um ponto se move ao longo da curva AP, suas 
coordenadas x e y variam de acordo com a equação ),( oyxfz = , enquanto sua coordenada 
y permanece constante com y = yo. A inclinação da reta tangente à APB em um ponto 
qualquer é a taxa de variação da coordenada z em relação à coordenada x, daí a inclinação é 
dada por ),(1 oyxfxz =∂∂ . 
Em particular, f1(xo,yo) representa o coeficiente angular da reta tangente à APB no ponto 
P. Analogamente, f2(xo,yo) representa o coeficiente da reta tangente à CPD no ponto P. 
Assim tem-se 
( ) ( ) ( )0000001 ,x em calculado,,tan y
x
zyxfyxf x ∂
∂
===α 
 
e 
( ) ( ) ( )0000002 ,x em calculado,,tan yy
zyxfyxf y ∂
∂
===β . 
 
 33
C
xo
yo0
D
β
α
B
reta tangenteà APB
X
Y
Z
P=(xo,yo,zo)
A
reta tangenteà CPD
z=f(x,y)
 
Figura 15 – Interpretação Geométrica da derivada parcial. 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção da superfície 
324 xyyxz −= com plano y =2 no ponto P = (3,2,48). 
Mantendo y constante e encontrando 
x
z
∂
∂
, tem-se 
( ) ( ) 332 y8xy4x −=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
xy
x
y
xx
z
, 
 
ou seja, quando x = 3 e y = 2, 
40(2))2)(3(8 3 =−==
∂
∂
x
z
. 
 
_________________________________________________________________________ 
7.7 - APROXIMAÇÃO LINEAR 
Como pode ser observado nas seções anteriores, as derivadas parciais 
( ) ( )oooo yxfeyxf ,, 21 se relacionam com as seções obtidas numa superfície z = f(x,y) por 
dois planos perpendiculares, y = yo e x = xo; assim estas duas derivadas parciais pouco 
dizem quanto ao aspecto da superfície além dessas seções. Assim, não é apropriado chamar 
uma função a duas (ou mais) variáveis de “diferenciáveis” apenas pela existência de suas 
 34
derivadas parciais. A chave para a definição própria de “diferenciabilidade” para funções a 
mais de uma variável está no conceito de aproximação linear. 
Suponha que ( )oo yx , seja um ponto interior do domínio f e que as duas derivadas 
parciais ( ) ( )oooo yxfeyxf ,, 21 existam. Assim, se o ponto (x,y) está próximo do ponto 
(xo,yo), então, por analogia ao procedimento utilizado no uso de derivadas para valores 
aproximados de funções a uma variável, tem-se 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )oooooooo yyyxfxxyxfyxfyxf −+−+≈ ,,,, 21 
Naturalmente, o erro resultante dessa aproximação linear é dado por 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )oooooooo yyyxfxxyxfyxfyxfyxE −−−−−= ,,,,, 21 
Para a maioria das funções encontradas nas aplicações práticas de cálculo, a 
aproximação linear dispõe de boa precisão isto é, o valor absoluto do erro, ( )yxE , , é 
pequeno – quando o ponto (x,y) está próximo de (xo,yo). 
Definindo 
oo yyyexxx −=∆−=∆ , a aproximação linear pode ser representada 
através da relação 
( ) ( ) ( ) ( ) yyxfxyxfyxfyyxxf oooooooo ∆+∆+≈∆+∆+ ,,,, 21 . 
A condição de que o ponto (x,y) esteja próximo ao ponto (xo,yo) é equivalente, à 
condição de que yex ∆∆ sejam pequenos. 
_________________________________________________________________________ 
7.8 - FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS A DUAS VARIÁVEIS 
Uma função a duas variáveis é diferenciável se o erro resultante da aproximação linear é 
pequeno em valor absoluto. Suponha que (xo,yo) seja um ponto interior ao domínio de f e 
que as duas derivadas parciais ( ) ( )oooo yxfeyxf ,, 21 existam. Então, é possível estabelecer 
a seguinte definição. 
7.8.1 - FUNÇÃO DIFERENCIÁVEL A DUAS VARIÁVEIS 
É possível dizer que f é diferenciável no ponto (xo,yo) se o erro resultante da 
aproximação linear tem a forma 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxyyyxxxyxE oo ,,, 21 εε −+−= . 
 35
Se o domínio de f é um conjunto aberto, então f é denominada função diferenciável, 
ressaltando-se que é diferenciável em todo ponto de seu domínio. 
Fazendo oo yyxxxx −=∆−=∆ e e abreviando ( )yxE , ( ) ( )yxyx ,,, 21 εε por 21, εε eE , 
respectivamente tem-se 
0lim0lim 2
0
01
0
0,21
==∆+∆=
→∆
→∆
→∆
→∆
εεεε
y
x
y
x
eondeyxE . 
Portanto, para uma função diferenciável, o erro E resultante de uma aproximação linear 
tende a zero rapidamente quando yex ∆∆ tendem a zero. Isto é análogo à condição de erro 
da aproximação linear de uma função a uma única variável, estudado no cálculo 
fundamental. 
Infelizmente, a mera existência das derivadas parciais ( ) ( )oooo yxfyxf ,e, 21 não garante 
que f seja diferenciável em (xo,yo). Uma condição que assegura a diferenciabilidade de f é 
dada na próxima seção. 
7.8.2 - DIFERENCIABILIDADE CONTÍNUA 
Considere f uma função a duas variáveis e U um conjunto aberto de pontos contidos no 
domínio de f. Pode-se dizer que f é continuamente diferenciável em U se as derivadas 
parciais ( ) ( )yxfeyxf ,, 21 existam para todo ponto (x,y) de U e as funções f1 e f2 são 
contínuas em U. 
Se o domínio de f é um conjunto aberto e se f é continuamente diferenciável em D, então 
f é continuamente diferenciável. 
Propriedades: 
1 – Se f é diferenciável em (xo,yo), então f é contínua em (xo,yo). 
2 – Se f é continuamente diferenciável em um conjunto aberto U, então f é diferenciável 
em cada ponto (xo,yo) em U. 
Assim, pode-se estabelecer que se uma função com derivadas parciais contínuas é 
continuamente diferenciável, então uma função continuamente diferenciável é 
diferenciável. Logo, uma função diferenciável é continua. Finalmente, a aproximação linear 
aplicada a uma função diferenciável da margem a um pequeno erro. 
_________________________________________________________________________ 
 36
7.9 - DIFERENCIAL TOTAL 
Suponha que f é uma função a duas variáveis e seja 
( )yxfz ,= . 
Se x e y sofrem pequenas variações, respectivamente, então z varia de uma quantidade 
de z∆ , dada por 
( ) ( )yxfyyxxfz ,, −∆+∆+=∆ . 
Considerando que f seja diferenciável em (x,y), será de conhecimento que o erro 
resultante da aproximação linear 
( ) ( ) ( ) ( ) yyxfxyxfyxfyyxxf ∆+∆+≈∆+∆+ ,,,, 21 , 
será pequeno, e segue que pode-se aproximar z∆ como 
( ) ( ) yyxfxyxfz ∆+∆≈∆ ,, 21 . 
Usando a notação alternativa yzexz ∂∂∂∂ para as derivadas parciais 
( ) ( )yxfeyxf ,, 21 pode-se escrever a aproximação como 
y
y
z
x
x
z
z ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
≈∆ . 
Por analogia, com a notação utilizada para funções a uma variável, as variações 
yex ∆∆ são às vezes chamadas de diferenciais destas variáveis e escritas como dyedx , 
respectivamente. Desse modo, se dyedx são pequenos, então a variação z∆ do valor de z 
causada pela mudança de x para x+dx e de dy para y+dy é aproximada por 
dy
y
zdx
x
z
z
∂
∂
+
∂
∂
≈∆ 
Realizando uma analogia com funções a uma variável, definimos a diferencial total dz 
da variável dependente z por 
dy
y
zdx
x
zdz
∂
∂
+
∂
∂
= . 
 
Portanto, se dx e dy são pequenos, então dzz ≈∆ . Visto que z = f(x,y), pode-se escrever 
também dz como df, ou seja 
( ) ( )dyyxfdxyxfdf ,, 21 += . 
_________________________________________________________________________ 
 
 37
7.10 - FUNÇÕES A TRÊS OU MAIS VARIÁVEIS 
Se w = f (x,y,z), onde f é diferenciável em um ponto interior (x,y,z) de seu domínio, 
definimos a diferencial total dw, ou df, em (x,y,z) por 
( ) ( ) ( )dzzyxfdyzyxfdxzyxfdz
z
wdy
y
wdx
x
wdfdw ,,,,,, 321 ++=∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
== . 
 
Onde dx, dy e dz as diferenciais de suas variáveis independentes, podem ter valores 
arbitrários. A diferencial total dw fornece uma aproximação da variação w∆ da variação 
dependente w causada pelo incremento de x, y e z das quantidades dx, dy e dz, 
respectivamente._________________________________________________________________________ 
7.11 - AS REGRAS DA CADEIA 
A mais simples regra da cadeia é sugerida pela notação de diferencial total, já 
introduzida. Suponha que z seja uma função a duas variáveis x e y, de modo que z = f(x,y), 
enquanto que x e y sejam funções a uma outra variável t, ou seja x=g(t) e y=h(t). Então z 
torna-se uma função a uma única variável t, isto é z = f(g(t),h(t)). Desde que 
dy
y
zdx
x
zdz
∂
∂
+
∂
∂
= . 
 
Portanto, pode-se esperar que 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂
∂
+
∂
∂
= . 
 
Esta regra da cadeia está correta a partir do momento que f, g, h sejam funções 
diferenciáveis. Seja t∆ uma variação pequena em t e sejam x∆ , y∆ , z∆ as variações 
resultantes nas variáveis x, y e z respectivamente. Visto que f é diferenciável, tem-se 
yxy
y
z
x
x
z
z ∆+∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆ 21 εε . 
 
Onde yx ∆+∆ 21 εε é o erro resultante da aproximação linear, 
y
y
z
x
x
z
z ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
≈∆ , 
e 
 38
0limlim 2
0
01
0
0
==
→∆
→∆
→∆
→∆
εε
y
x
y
x
. 
Dividindo por t∆ , tem-se 
t
y
t
x
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
∂
∂
+
∆
∆
∂
∂
=
∆
∆
21 εε . 
 
Tomando o limite em ambos os lados quando 0→∆t e notando que 0→∆x e 
0→∆y , ou seja, 01 →ε e 02 →ε quando 0→∆t , obtém-se 
( ) ( )
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dy
dt
dx
o
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂
∂
+
∂
∂
=++
∂
∂
+
∂
∂
= 0 , 
como era esperado 
7.11.1 - PRIMEIRA REGRA DA CADEIA 
Considere f uma função a duas variáveis e as funções g e h com uma única variável. 
Considere que (xo,yo) seja um ponto interior ao domínio de f e que f seja diferenciável em 
(xo,yo). Suponha que xo = g(to) e que yo = h(to) e que ambas, g e h, sejam diferenciáveis em 
to. Definindo a função ( ) ( ) ( )( )thtgftF ,= . Então, se F é diferenciável em to, tem-se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0'0020'001' ,, thyxftgyxftF o += . 
Esta regra da cadeia pode ser generalizada para funções a mais de duas variáveis. De 
fato, se w é uma função de n variáveis x1, x2, x3,......, xn e cada uma dessas n variáveis são 
por sua vez, função de uma variável t, então 
dt
dx
x
w
dt
dx
x
w
dt
dx
x
w
dt
dw n
n∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
= ...........
2
2
1
1
. 
 
Ressaltando que a função w dada em termos de x1, x2, x3,......, xn seja diferenciável e que 
as derivadas 
t
x
t
x
t
x n
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,.....,,
21
 existam. 
7.11.2 - SEGUNDA REGRA DA CADEIA 
Agora considere o caso em que a variável dependente z seja função de duas variáveis x e 
y, de modo que 
( )yxfz ,= . 
Considerando que x e y são funções a duas variáveis, u e v, ou seja, 
 39
( ) ( )vuhyvugx ,,, == , 
então z torna-se uma função de u e v, dada por 
( ) ( )( )vuhvugfz ,,,= . 
Considerando temporariamente que a variável v seja constante, então a derivada parcial 
de z em relação a u é enunciada pela primeira regra da cadeia como 
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Notando que f é diferenciável e que as derivadas parciais uyeux ∂∂∂∂ existem. De 
modo semelhante, se f é diferenciável e as derivadas parciais vyevx ∂∂∂∂ existem, então 
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Em um modelo mais formalizado considere f, g e h funções a duas variáveis, seja (xo,yo) 
um ponto interior ao domínio de f e suponha f diferenciável em (xo,yo). Seja xo = g(uo,vo), 
yo = h(uo,vo), e suponha que as derivadas parciais g1(uo,vo), g2(uo,vo), h1(uo,vo) e h2(uo,vo) 
existam. Define-se a função F por 
( ) ( ) ( )( )vuhvugfvuF ,,,, = . 
Então F tem derivadas parciais ( )001 ,vuF e ( )002 ,vuF sendo dado por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )001002001001001 ,,,,, vuhyxfvugyxfvuF += , 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )002002002001002 ,,,,, vuhyxfvugyxfvuF += . 
A generalização da segunda regra da cadeia para mais de duas variáveis é explicada a 
seguir. 
Se w é uma função a m variáveis y1, y2, y3,......, ym e se cada uma dessas variáveis é por 
sua vez uma função a n variáveis x1, x2, x3,......, xn então 
j
m
mjjj x
y
y
w
x
y
y
w
x
y
y
w
x
w
∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
......
2
2
1
1
. 
 
É válido para cada j = 1, 2,...., n, alertando que as derivadas parciais 
j
m
jj x
y
x
y
x
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,.....,,
21
 
existam. A equação anterior pode ser escrita mais compacta, ou seja, na forma 
 40
∑
=
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ m
k j
k
kj
njpara
x
y
y
w
x
w
1
,,.........2,1, . 
 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
Se w = f(x,y,z), x = g(s,t,u), y = h(s,t,u) e z = p(s,t,u), e se f é diferenciável, então 
s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
, 
 
t
z
z
w
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
, 
 
u
z
z
w
u
y
y
w
u
x
x
w
u
w
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Desde que todas as derivadas parciais de x, y e z em relação à s, t e u existam. 
_________________________________________________________________________ 
7.12 - DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA 
Dada uma equação na qual figurem as variáveis x e y, pode-se transpor os termos para a 
esquerda do sinal de igualdade e a equação toma a forma 
( ) 0, =yxf , 
onde f é uma função a duas variáveis. Esta equação define y implicitamente como uma 
função g de x se 
( )( ) 0, =xgxf , 
sendo válida para todo valor de x no domínio de g. Considerando que f e g sejam 
diferenciáveis, então pelo teorema da primeira regra da cadeia podemos diferenciar ambos 
os lados da equação ( )( ) 0, =xgxf em relação a x e obter 
( )( ) ( )( ) ( ) 0,, 21 =+ xgdx
d
xgxf
dx
dx
xgxf , 
ou 
( ) ( ) 0,, 21 =+ dx
dyyxfyxf . 
Onde y = g(x). Se ( ) 0,2 ≠yxf , pode-se resolver a última equação em dy/dx, obtendo 
portanto, 
 41
( )
( )yxf
yxf
dx
dy
,
,
2
1
−= . 
 
Em geral, dada uma equação na forma 
( ) 0,, =zyxf , 
onde figurem três variáveis, ela pode ser resolvida para uma das variáveis digamos y, em 
temos das outras duas variáveis x e z. Esta solução tem a forma 
( )zxgy ,= , 
então 
( )( ) 0,,, =zzxgxf . 
Válida para todos os pontos (x,z) do domínio da função g. Além disso, a equação 
( ) 0,, =zyxf define y implicitamente como uma função g de x e z. Assumindo que as 
funções f e g sejam diferenciáveis, tomam-se as derivadas em relação a x e também em 
relação a z em ambos os lados da equação ( ) 0,, =zyxf para obter 
( ) ( ) ( ) 0,,,,,, 321 =∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
z
zyxf
x
y
zyxf
x
x
zyxf , 
( ) ( ) ( ) 0,,,,,, 321 =∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
z
zyxf
z
y
zyxf
z
x
zyxf . 
Visto que x e z são variáveis independentes, tem-se 
1,1,0,0 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
z
z
x
x
z
x
x
z
. 
 
Portanto, podemos representar a equação precedente sob a forma: 
( ) ( ) ( ) ( )zyxf
z
y
zyxfezyxf
x
y
zyxf ,,,,,,,, 3212 −=∂
∂
−=
∂
∂
. 
 
Daí, se ( ) 0,,2 ≠zyxf , pode-se resolver 
z
y
e
x
y
∂
∂
∂
∂
obtendo 
( )
( )
( )
( )zyxf
zyxf
z
y
e
zyxf
zyxf
x
y
,,
,,
,,
,,
2
3
2
1
−=
∂
∂
−=
∂
∂
._________________________________________________________________________ 
 
 
 
 42
Exemplo: 
1) Suponha que y seja função de x e z dada implicitamente pela equação 
01447 23233 =−−+− zzyxxyzyx . Encontre 
z
y
e
x
y
∂
∂
∂
∂
 quando x=1, z=0 e y=2. 
A equação tem a forma f(x,y,z) = 0, onde 
( ) 1447,, 23233 −−+−= zzyxxyzyxzyxf . 
Calculando as derivadas 
( ) 23321 2421,, zyxyzyxzyxf +−= , 
( ) 222332 347,, zyxxzxzyxf +−= , 
( ) 1212,, 3223 −+−= zyxxyzzyxf . 
Assim, 
22233
322
22233
2332
347
1212
347
2421
zyxxzx
zyxxyz
z
y
e
zyxxzx
zyxyzyx
x
y
+−
−+−
−=
∂
∂
+−
+−
−=
∂
∂
. 
 
fazendo x = 1, z = 0 e y = 2, obtém-se 
7
1
7
16
7
42
=
−
−=
∂
∂
−=−=
∂
∂
z
y
e
x
y
. 
 
_________________________________________________________________________ 
7.13 - DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE 
Nesta seção é analisada a derivada direcional e o conceito de gradiente de um 
campo escalar. 
7.13.1 - DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE NO PLANO 
Considere um campo escalar no plano xy descrito por uma função diferenciável a duas 
variáveis. Desse modo, se ( )yxfz ,= , então z é o valor do campo escalar no ponto P=(x,y). 
Seja L uma reta no plano xy. Quando P se move ao longo de L, z pode variar e faz sentido 
perguntar pela taxa de variação dz/ds de z em relação à distância s medida ao longo de L, 
conforme ilustra a Figura 7.2. 
A fim de encontrar dz/ds, é introduzido um vetor unitário jbiau += paralelo a L e na 
direção do movimento de P ao longo de L, conforme ilustra a Figura 16. Se P = (x,y) está a 
s unidades de um ponto fixado Po = (xo,yo) em L, então usPPo =
______
; isto é, 
 43
( ) ( ) bsjasijyyixx +=−+− 00 . 
Igualando os componentes temos bsyyeasxx =−=− 00 ; isto é, 
bsyyeasxx +=+= 00 . Assim, 
b
s
y
ea
s
x
=
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
Pela regra da cadeia, tem-se 
b
y
z
a
x
z
ds
dy
y
z
ds
dx
x
z
s
z
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
. 
 
P = (x,y)
x
y
z
z = f(x,y)
P = (x,y)
x
y z
Po = (xo,yo)
−
i
−
j
0
LL
−−−
+= jbiau
 
Figura 16 - Taxa de variação dz/ds de z em relação à distância s medida ao longo de 
L. 
A derivada dz/ds, que é a taxa de variação do campo escalar z em relação à distância 
medida na direção do vetor unitário u , é denominada derivada direcional de z (ou derivada 
direcional da função f) na direção de u , sendo escrita como fDouzD
uu
−−
. Assim tem-se 
( ) ( ) ( )byxfayxfyxfDoub
y
z
a
x
z
zD
uu
,,, 21 +=∂
∂
+
∂
∂
=
−−
. 
onde, 
bjaiu += . 
Em particular se u é o vetor unitário que faz um ângulo θ com o eixo positivo de x, 
então 
( ) ( ) jseniu θθ += cos , 
e 
 44
( ) ( ) ( ) θθθθ sen,cos,,sencos 21 yxfyxfyxfDouy
z
x
z
zD
uu
+=
∂
∂
+
∂
∂
=
−−
. 
Portanto, as derivadas direcionais de z nas direções dos eixos positivos de x e y são as 
derivadas parciais de z com respeito à x e y, respectivamente. 
A derivada direcional fDouzD
uu
−−
pode ser expressa na forma de produto escalar. 
( ) 





∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
−
j
y
zi
x
z
uj
y
zi
x
zjbia
y
zb
x
z
ab
y
z
a
x
z
zD
u
.. . 
O vetor j
y
zi
x
z
∂
∂
+
∂
∂
 cujos componentes escalares são derivadas parciais de z com 
respeito à x e a y é denominado gradiente do campo escalar z(ou da função f), sendo escrito 
como ) comoou ( fz ∇∇ . O símbolo ∇ , um delta grego invertido, é denominado de 
“Nabla”. Assim, 
( ) ( ) ( ) jyxfiyxfyxfouj
y
zi
x
z
z ,,, 21 +=∇∂
∂
+
∂
∂
=∇ . 
Assim, pode-se escrever a derivada direcional como 
( ) ( )yxfuyxfDouzuzD
uu
,.,. ∇=∇=
−−
. 
Em palavras, a derivada direcional de um campo escalar numa dada direção é o produto 
escalar desta direção pelo gradiente do campo escalar. 
Algumas observações importantes: 
1) A derivada direcional é nula na direção perpendicular ao gradiente. 
2) A derivada direcional assume seu valor máximo na direção do gradiente e esse 
máximo valor é ( )00 , yxf∇ . 
Em outras palavras o gradiente de um campo escalar, calculado num ponto P, é um vetor 
cuja direção indica a direção na qual o campo escalar aumenta mais rapidamente, enquanto 
o módulo do vetor gradiente é numericamente igual a taxa instantânea de aumento do 
campo por unidade de distância nesta direção no ponto P. 
Por exemplo, se uma partícula estiver num dado ponto de um campo de temperatura e 
for necessário seguir para onde a temperatura aumenta mais rapidamente, basta tomar a 
direção do gradiente neste ponto. Por outro lado, se o movimento for perpendicular ao vetor 
gradiente, a taxa instantânea de variação é nula, pois estará sobre a isoterma (pontos de 
 45
mesma temperatura) que passa por esse ponto. Movendo-se na direção oposta ao gradiente 
(isto é, na direção do gradiente negativo) a temperatura diminuirá mais rapidamente. 
_________________________________________________________________________ 
7.13.2 – DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE NO ESPAÇO 
Assim, como uma função a duas variáveis pode ser considerada como um campo escalar 
no plano, uma função f a três variáveis pode ser considerado como um campo escalar no 
espaço xyz; isto é, pode-se pensar em f relacionando-a com o escalar w, dado por 
( )zyxfw ,,= . 
Como exemplo tem-se os campos de temperatura, pressão, densidade, potencial elétrico. 
Todas as técnicas introduzidas para campos escalares no plano xy estendem-se para 
campos escalares no espaço xyz. Por exemplo, se w = f(x,y,z), onde f é uma função 
diferencial, o gradiente de w (ou de f ) é definido por 
( ) ( ) ( ) ( ) −−−−−− ++=∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ .,,,,,,,, 321 kzyxfjzyxfizyxfzyxfouk
z
wj
y
wi
x
w
w
 
Se u é um vetor unitário no espaço xyz, é fácil mostrar que a taxa de variação do campo 
escalar w em relação à distância medida na direção de u é dada pela derivada direcional. 
( ) ( )zyxfuzyxfDouwuwD
uu
,,.,,. ∇=∇=
−−
. 
Assim, como para campos escalares no plano xy, o gradiente de um campo escalar no 
espaço xyz indica a direção para qual a derivada direcional atinge seu máximo e o seu 
módulo é numericamente igual a essa derivada direcional máxima. 
_________________________________________________________________________ 
Exercícios: 
1) Encontre as direções nas quais a função ( ) ( ) ( )22, 22 yxyxf += 
a) Cresce mais rapidamente no ponto (1,1); 
b) Decresce mais rapidamente no ponto (1,1); 
c) Quais as direções de variação zero da função em (1,1)? 
2) Qual é a taxa de variação da função ( ) zxyxzyxf −−= 23,, em Po(1,1,0) na direção do 
vetor kjiv 632 +−= . 
 46
3) Encontre a derivada da função ( ) ( )xycxosxeyxf y +=, no ponto (2,0) na direção do 
vetor jiv 43 −= . 
0 1 2 3 4 5-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
 
7.14 – DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 
Quando se estuda as funções de uma variável, observa-se que é útil considerar não 
apenas a primeira derivada, mas também as derivadas de ordem superior. Analogamente, 
no estudo de funções a várias variáveis é útil considerar as derivadas parciais de ordem 
superior. 
Considere a função f a duas variáveis tendo derivadas parciais 1f e 2f , ou seja, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxf
y
yxfyxfeyxf
x
yxfyxf yx ,,,,,, 21 ∂
∂
==
∂
∂
== . 
As funções 1f e 2f são funções a duas variáveis e podem então ter derivadas parciais. 
Por exemplo, se ( ) 232 63, xyyxyxf += , então: 
( ) ( ) ( ) 232321 6663,, yxyxyyx
x
yxfyxf x +=+∂
∂
== 
( ) ( ) ( ) xyyxxyyx
xyxfyxf x 12963,, 222321 +=+∂
∂
== 
Portanto, 
 
 
 47
( ) ( ) ( ) 3231 666,, yyxy
x
yxf
xx
yxf
x
=+
∂
∂
=











∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
( ) ( ) ( ) yxyyxy
x
yxf
xy
yxf
y
121866,, 2231 +=+∂
∂
=











∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
( ) ( ) ( ) yxyxyyx
x
yxf
yx
yxf
x
1218129,, 2222 +=+∂
∂
=











∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
( ) ( ) ( ) xyxxyyx
y
yxf
yy
yxf
y
1218129,, 2222 +=+∂
∂
=











∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
As quatro derivadas parciais das derivadas parciais encontradas acima são chamadas de 
derivadas parciais de segunda ordem da função original f. Naturalmente podem-se 
expressar as derivadas da função 1f em relação á primeira e a segunda variável como 
( ) 11f e ( ) 21f , respectivamente, contudo por simplicidade, omiti-se os parênteses e 
representa-se essa derivada parcial de segunda ordem por 11f , 12f , respectivamente. Da 
mesma forma pode se representar como 
xxf , xyf . Por exemplo 






∂
∂
∂
∂
==
x
f
y
ff xy12 . 
O simbolismo 





∂
∂
∂
∂
x
f
y
 é também abreviado para 
yx
f
∂∂
∂ 2
, do mesmo modo que 2
2
dx
fd
 é 
usada como abreviação para a derivada segunda ordinária. Analogamente, escrevemos 
2
2
x
f
∂
∂
 para a derivada parcial de segunda ordem 





∂
∂
∂
∂
x
f
x
, e assim por diante. 
Resumindo, as quatro derivadas parciais de segunda ordem de f podem ser representadas 
como se segue 






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
==
x
f
xx
fff xx 2
2
11 , 






∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
==
x
f
yxy
fff xy
2
12 , 






∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
==
y
f
xyx
fff yx
2
21 , 
 48






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
==
y
f
yy
fff yy 2
2
22 . 
Na notação subscrita xyff =12 indica uma diferenciação parcial em relação á primeira 
variável x seguida por uma diferenciação parcial em relação à segunda variável y. Por 
conseguinte, o simbolismo 





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
y
f
xyx
f2
 indica uma diferenciação parcial inicial em 
relação à y seguida de uma diferenciação parcial em relação à x. Na notação inicial, a 
ordem dos índices da esquerda para a direita indica a ordem da diferenciação parcial, 
enquanto que na notação 
yx
f
∂∂
∂ 2
, a ordem está indicada da direita para a esquerda. 
8 – INTEGRAIS REPETIDAS 
 
8.1 – INTRODUÇÃO 
 
O capítulo 7 tratou das derivadas parciais para funções de várias variáveis, considerando 
uma das variáveis independentes como sendo constante e diferenciando em relação às 
variáveis restantes. Do mesmo modo, é possível considerar uma integral indefinida como 
uma função em relação a uma dessas variáveis, enquanto consideramos temporariamente as 
variáveis restantes como sendo constantes. Por exemplo 
∫ ∫ +== C
xydxxydxyx
3
3
32332
, 
e 
∫ ∫ +== K
y
xdyyxdyyx
4
4
23232
. 
Observe que a variável de integração é claramente indicada pela diferencial dx ou dy sob 
o traço da integral. 
No cálculo da integral dxyx∫
32
, tomamos temporariamente y constante, contudo, 
valores fixos diferentes de y poderiam requerer diferentes valores da constante da 
integração C. A possível dependência de C por y pode ser indicada escrevendo-se C(y) ao 
invés de C; isto é, podemos considerar a constante de integração como uma função de y e 
escrever: 
( )∫ += yC
yxdxyx
3
33
32
 
 
Igualmente, integrando em relação à y, escreveríamos: 
 
( )∫ += xK
yxdyyx
4
22
32
 
 
 50
As integrais acima são justamente os análogos para a integração indefinida das derivadas 
parciais por diferenciação, e elas poderiam ser chamadas “integrais parciais”. Porém, serão 
denominadas de integrais em relação à x ou a y. 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) Se ( ) ( )yxyxf cos., = , encontre ( ) ( )∫ ∫ dyyxfedxyxf ,, 
Solução 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yCyxdxxydxyxdxyxf +=== ∫∫∫ cos2coscos.,
2
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xKyxdxyxdyyxdyyxf +=== ∫∫∫ sencoscos., 
Agora suponha que f é uma função de duas variáveis tais que, para cada valor fixo de y, 
f(x,y) é uma função integrável de x. Logo, para cada valor fixo de y, podemos formar a 
integral definida. 
( )∫
b
a
dxyxf , 
Para diferentes valores fixos de y, podemos utilizar diferentes limites de integração a e b; 
isto é, a e b podem depender de y. Tal dependência pode ser indicada pela notação usual de 
função, e a integral torna-se: 
( )
( )
( )
∫
yb
ya
dxyxf , 
_________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 51
Exemplo: 
1) Calcule ∫
2
ln
.
y
y
yx dxey : 
Solução 
Fazendo “y” temporariamente constante e integrando em relação à “x”, obtém-se: 
( ) ( )yCeyC
y
eydxey xy
yx
yx
+=+=∫ . 
Portanto, 
( ) ( ) ( ) ( ) +−





+=


 +=∫ yCeyCeyCedxey
yyyy
y
y
yx
y
y
yx ln2
2
ln
2
ln
. 
( ) ( ) ( ) yyyyy
y
y
yx
yeyCyCeedxey −=−+−=∫
3ln3
2
ln
. 
No exemplo, note que a “constante” de integração C(y) cancela-se normalmente durante 
a integração definida. Portanto quando lidamos com integrais definidas, não há necessidade 
de escrever a constante de integração. 
Observe também que a integração no exemplo anterior se dá em relação à x; logo, os 
limites de integração devem ser substituídos por x depois de realizada a integral indefinida. 
Para enfatizar isto, pode-se escrever 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
∫ ∫
=
=
=
=








=
ybx
yax
ybx
yax
dxyxfdxyxf ,, , 
 
 52
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
∫ ∫
=
=
=
=








=
xhy
xgy
xhy
xgy
dyyxfdyyxf ,, . 
 
Note que a quantidade ( )
( )
( )
∫
=
=
xhy
xgy
dyyxf ,
 depende somente de “x”, enquanto a quantidade 
( )
( )
( )
∫
=
=
ybx
yax
dxyxf ,
 depende somente de y. Conseqüentemente, podemos definir F e G das 
únicas vaiáveis x e y, respectivamente pelas equações 
( ) ( )
( )
( )
∫
=
=
=
xhy
xgy
dyyxfxF , , 
 
( ) ( )
( )
( )
∫
=
=
=
ybx
yax
dxyxfyG , . 
Em muitos casos, as funções F e G são por si próprias integráveis, e podemos escrever: 
( ) ( )
( )
( )
∫ ∫ ∫
=
=
=
=
=
=












=
dx
cx
dx
cx
xhy
xgy
dxdyyxfdxxF , 
( ) ( )
( )
( )
∫ ∫ ∫
=
=
=
=
=
=












=
dy
cy
dy
cy
xbx
yax
dydxyxfdyyG , 
As integrais anteriores são denominadas integrais repetidas, e são comumente escritas 
sem colchetes e com a mais simples notação para os limites de integração, logo 
 53
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
∫ ∫∫∫












=
=
=
=
=
xh
xg
xhy
xgy
dx
cx
d
c
dxdyyxfdydxyxf ,, , 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
∫ ∫∫∫












=
=
=
=
=
yb
ya
ybx
yax
dy
cy
d
c
dydxyxfdxdyyxf ,, . 
 
O procedimento de cálculo da integral que representado por 
( )
( )
( )
∫∫
xh
xg
d
c
dydxyxf , 
é o seguinte: 
1) Integra-se ( )yxf , em relação à “y” mantendo “x” fixo. Os limitesde 
integração ( ) ( )xhxg e dependem deste valor fixo de “x”, e assim resulta a 
quantidade. 
( )
( )
( )
∫
xh
xg
dyyxf , 
2) Integra-se a quantidade posterior em relação à “x” (considerando “x” agora 
uma variável) entre os limites constantes de integração “c” e “d”. 
Por outro lado a integral repetida, 
( )
( )
( )
∫∫
yb
ya
d
c
dxdyyxf , , 
envolve a integração de ( )yxf , em relação à “x”, mantendo “y” fixo, entre os limites de 
integração a(y) e b(y) seguindo por uma integração da quantidade resultante em relação à y 
entre os limites constantes de integração c e d. As duas sucessivas integrações requeridas 
para calcular uma integral repetida são executadas na ordem em que as diferenciais (dx e dy 
 54
nas integrais acima) aparecem, lendo da esquerda para a direita. Contudo, os 
correspondentes limites de integração são associados com as trações de integrais lendo o 
“avesso”, isto é da direita para a esquerda. 
_________________________________________________________________________ 
Exercícios: 
1) ∫∫
−
2
0
32
2
1
dydxyx 2) ∫∫ −
2/3
0
2
4
0
16
x
dxdyx 
3) ∫∫ 





2
00
sen
y
dxdy
y
x
pi
 4) ∫∫
2
0
24
1
0
dydxyx 
5) ∫∫
1
0
3
0
dydxex xy 6) ∫∫
y
dxdyx
0
3
2
0
 
7) ∫∫
+
u
u
vu dvdue
6
4
1
0
 8) ( )
( )
∫∫
θpi
θφθφ
cos2
0
2
0
cos dd 
_________________________________________________________________________ 
8.2 – A INTEGRAL DUPLA 
Considerando f uma função de duas variáveis e “R” uma região no plano xy, que está 
contida no domínio de f, podemos formular um problema no espaço tridimensional pela 
consideração do volume V ilustrado na Figura 17. 
Assim, se ( ) 0, ≥yxf em R, podemos obter o volume do sólido que é limitado acima 
pelo gráfico de f, abaixo pela região R, e lateralmente pelo cilindro sobre o limite de R 
cujas geratrizes são paralelas ao eixo Z. Falamos deste sólido como o sólido abaixo do 
gráfico de f e acima da região R. 
 
 55
z
y
x
0
R
z=f(x,y)
 
Figura 17 – Volume do Sólido. 
A proposta é obter uma boa aproximação do cálculo do volume utilizando a integral 
dupla. Sendo a integral dupla de f sobre a região R escrita como 
( )∫∫
R
dxdyyxf , . 
A Figura 18 ilustra a projeção da função ( )yxfz ,= na superfície R. 
R
}y∆
}
x∆ ba
c
d
y
x
0
 
Figura 18 – Projeção do Sólido na superfície R. 
 
 56
8.2.1 – PROPRIEDADES BÁSICAS DA INTEGRAL DUPLA 
1) ( ) ( )∫∫ ∫∫=
R R
dxdyyxfKdxdyyxfK ,, 
2) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=+
RRR
dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ,,,, 
3) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ ±=±
RRR
dxdyyxgBdxdyyxfAdxdyyxgByxfA ,,,, 
4) ( ) 0, ≥yxf , para todos os pontos (x,y) em R então: ( )∫∫ ≥
R
dxdyyxf 0, 
5) ( ) ( )yxgyxf ,, ≤ , então: ( ) ( )∫∫∫∫ ≤
RR
dxdyyxgdxdyyxf ,, 
6) Se R é uma região que possa ser decomposta em duas regiões não superpostas R1 e R2 
(As regiões podem dividir pontos comuns de limites) então: 
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=
21
,,,
RRR
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf 
_________________________________________________________________________ 
Exercícios: 
1) Seja “R” o retângulo 10 ≤≤ x , 10 ≤≤ y , seja R1 a parte “R” acima, isto é, sobre a 
diagonal y = x, e seja R2 a parte de “R” abaixo, sob a diagonal y = x. Suponha que: 
( )∫∫ =
1
3,
R
dxdyyxf ( )∫∫ −=
1
2,
R
dxdyyxg 
( )∫∫ =
2
5,
R
dxdyyxf ( )∫∫ =
2
1,
R
dxdyyxg 
 
 
 57
Exercícios: 
a) ( )∫∫
R
dxdyyxf , 
b) ( )∫∫
R
dxdyyxg , 
c) ( ) ( )[ ]∫∫ −
R
dxdyyxgyxf ,.3,.4 
_________________________________________________________________________ 
8.3 – CÁLCULO DA INTEGRAL DUPLA POR ITERAÇÃO 
Nas seções anteriores foi considerada a integral iterada dada por 
( )
( )
( )
∫∫
yh
yg
b
a
dydxyxf , , 
de uma função f de duas variáveis, e a integral dupla, dada por 
( )∫∫
R
dxdyyxf , , 
de uma função f de duas variáveis sobre uma região no plano XY. Algumas vezes é 
possível converter uma integral dupla em uma integral iterada equivalente e vice-versa. 
Através de uma análise pelo método da divisão em fatias, é possível provar que 
( ) ( )
( )
( )
∫∫∫∫ =
yh
yg
b
aR
dxdyyxfdxdyyxf ,, . 
_________________________________________________________________________ 
Exemplo: 
1) Seja R a região interior do trapezóide cujos vértices são (2,2), (4,2), (5,4) e (1,4) dada 
pela Figura a seguir. Calcule ∫∫
R
dxdyxy8 . 
 58
4
2
x
y
R
1 52 4
 
_________________________________________________________________________ 
8.3.1 – MÉTODO DA ITERAÇÃO 
8.3.1.1 – TIPO I 
A Figura 19 ilustra a região R, com a leitura da integral dupla pelo o método de 
iteração Tipo I. 
y
x
R
a b0
( )xhy =
( )xgy =
( )∫∫
R
dxdyyxf ,
 
Figura 19 – Iteração Tipo I. 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf
xh
xg
b
a
xhy
xgy
bx
axR
∫∫∫∫∫∫ =












=
=
=
=
=
,,,
 
 
 59
8.3.1.2 – TIPO II 
A Figura 20 ilustra a região R, com a leitura da integral dupla pelo o método de 
iteração Tipo II. 
 
x
R
a
b
0
( )yhx =( )ygx =
( )∫∫
R
dxdyyxf ,
y
 
Figura 20 - Iteração Tipo II. 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
dydxyxfdydxyxfdxdyyxf
yh
yg
b
a
yhx
ygx
by
ayR
∫∫∫∫∫∫ =












=
=
=
=
=
,,,
 
_________________________________________________________________________ 
Exercícios: 
1) Calcule ( )
x
yxRdxdyxyx
R
pipi 2
2
,21:cos. ≤≤≤∴∫∫ 
2) Calcule ( )∫∫ +
R
dxdyyx onde R é a região no 1º quadrante acima da curva 2xy = e 
abaixo da curva xy = . 
 
3) Reverter à ordem de integração e calcule a integral resultante: 
 60
a) ( )∫∫
1
3
1
0
.
x
dydxysenx 
b) ∫∫ −
93
0 2
2
.
y
x dxdyey 
4) Calcule ( )∫∫ −
R
dxdyyx2 sobre a região R mostrada na figura: 
1 2 4
1
2
3
y
x
R2
R1
 
5) Nos exercícios a seguir: 
a) Desenhe a região R 
b) Calcule a integral dupla pelo método de iteração 
5.1) 



≤≤
≤≤
∴∫∫ 10
0
,)(
y
x
Rdxdyxysenx
R
pi
 
5.2) 



≤≤
≤≤
∴∫∫ xy
x
Rdxdyysenx
R
0
0
,)( pi 
5.3) ( ) 3,
3
,porlimitadaQuadrante1,27 o2 ===∴−∫∫ x
xyxyRdxdyyxy
R
 
5.4) xyexyRdxdy
R
==∴∫∫ 2, 
 
 
_________________________________________________________________________ 
 61
8.4 – INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES 
Normalmente em algumas aplicações a região R sobre a qual uma integral dupla está 
sendo calculada é mais facilmente descrita por coordenadas polares que por coordenadas 
cartesianas. Por exemplo, a região R ilustrada na Figura 21 é facilmente descrita por 
coordenadas polares pelas condições 10 rrr ≤≤ e 10 θθθ ≤≤ , entretanto sua descrição em 
coordenadas cartesianas é consideravelmente mais complicada. 
R
0r 1r0θ 1θ0
x
y
 
Figura 21 – Coordenadas Polares. 
8.4.1 – MUDANÇA PARA COORDENADAS POLARES EM UMA INTEGRAL DUPLA 
Suponha que a função f é contínua na região R do plano XY, constituída por todos os 
pontos da forma ( ) ( )θθ senrryx ,cos, = , onde 100 rrr ≤≤≤ e 10 θθθ ≤≤ com 
piθθ 20 01 ≤−< , então 
 
( ) ( ) θθθ
θθ
θθ
drdrrsenrfdxdyyxf
rr
rrR 











= ∫∫∫ ∫
=
=
=
=
1
0
1
0
,cos, 
e 
( ) ( ) θθθ
θ
θ
drdrrsenrfdxdyyxf
r
rR
∫∫∫ ∫=
1
0
1
0
,cos, . 
 
 
 62
8.4.2 –