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Ca´lculo I - 2016 Lista de Exerc´ıcios I 1) Uma janela normanda tem um formato de um retaˆngulo sobre o qual se coloca um semic´ırculo. Se o per´ımetro da janela for de 10 metros, expresse sua a´rea A em func¸a˜o da sua largura x. 2) Analise se cada uma das func¸o˜es abaixo e´ par, ı´mpar ou nenhum dos dois. a) f(x) = x x2 + 1 b) g(x) = x x + 1 c) h(x) = −x4 + 3x2 + 1 d) r(x) = x|x| e) p(x) = −x5 + 3x3 + 1 3) Um avia˜o vai de um aeroporto a outro em uma hora, sendo a distaˆncia entre eles de 400km. Se t representa o tempo em minutos desde a partida do avia˜o, defina d(t) e h(t), respectivamente, como a distaˆncia horizontal e vertical percorridas pelo avia˜o. a) esboce um gra´fico poss´ıvel para d(t). b) esboce um gra´fico poss´ıvel para h(t). c) esboce um gra´fico poss´ıvel para a velocidade vd(t) horizontal do avia˜o. d) esboce um gra´fico poss´ıvel para a velocidade vh(t) vertical do avia˜o. 4) Determine o domı´nio e esboce o gra´fico de: a) f(x) = x 3x− 1 . b) g(x) = √ 4− x2. c) h(x) = { x + 2, se x ≥ −1 x2, se x < −1 . d) f(u) = |2u− 1|. e) g(t) = √ t + √ 7− t. f) f(x) = |x− 2| − |2x + 1|. g) f(x) = x se x < 1 3 se x = 1 2− x2 se 1 < x < 2 x− 3 se x > 2 . 5) Considere g(x) = x− 1. a) Num mesmo plano cartesiano, esboce os gra´ficos de g(x), g(2x), g(4x) e g(8x). Ha´ alguma seme- lhanc¸a/diferenc¸a entre eles? b) Qual seria o aspecto do gra´fico de g(Kx), para um valor alto da constante K? c) Num mesmo plano cartesiano, esboce os gra´ficos de g(x), g(x+ 1), g(x+ 2) e g(x+ 3). Ha´ alguma semelhanc¸a/diferenc¸a entre eles? 6) Demonstre que a) cos(x) e´ uma func¸a˜o par, utilizando a fo´rmula para o cosseno da diferenc¸a. b) sen(x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar, utilizando a fo´rmula para o seno da diferenc¸a. c) tg(x) = sen(x) cos(x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar, utilizando os itens (a) e (b). d) se f(x) e´ uma func¸a˜o par e g(x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar, enta˜o necessariamente − tanto (fg)(x) quanto (f/g)(x) sa˜o func¸o˜es ı´mpares. − tanto f ◦ g quanto g ◦ f sa˜o func¸o˜es pares. 7) Se f(x) = x + 4 e h(x) = 4x− 1, encontre uma func¸a˜o g tal que a) g ◦ f = h b) g ◦ h = f c) ( f ◦ g)(x) = x d) ( g ◦ f)(x) = x e) ( h ◦ g)(x) = x f) ( g ◦ h)(x) = x 8) Dadas f e g, encontre • f ◦ g, • g ◦ f , • f ◦ f , • g ◦ g e, ale´m disso, defina o domı´nio das compostas: a) f(x) = x− 2, g(x) = x2 + 3x + 4 b) f(x) = √ x− 2, g(x) = 3√1− x c) f(x) = x + 1 x , g(x) = x + 1 x + 2 9) Se voceˆ fizer uma aplicac¸a˜o financeira de x reais a 4% de juros capitalizados anualmente, enta˜o o valor A(x) dessa aplicac¸a˜o apo´s um ano e´ A(x) = 1.04x. Com esta informac¸a˜o, encontre a) A ◦A, b) A ◦A ◦A, c) A ◦A ◦A ◦A e explique: o que essas composic¸o˜es representam? Encontre a expressa˜o de n composic¸o˜es de A, n ∈ N.
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