2a lista de exercícios

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Ca´lculo I - 2016
Lista de Exerc´ıcios II
1) Para cada uma das func¸o˜es f(x) abaixo, fac¸a o seguinte:
• determine D(f);
• encontre f−1;
• determine D(f−1).
Adicionalmente, responda: como voceˆ poderia se certificar que a func¸a˜o encontrada realmente e´ a inversa
de f?
a) f(x) =
x + 3
x− 2
b) f(x) =
{
x− 2, se x < 1
x2 − 2x, se x ≥ 1 .
c) f(x) = x3 + 1
d) f(x) = ax + b, onde a 6= 0
e) f(x) =
ax + b
cx + d
, onde a, b, c, d sa˜o tais que ad− bc 6= 0
f) f(x) = ln(2x + 1)
g) f(x) = ln(ax + b), onde a 6= 0
h) f(x) = ex−1 + 3
i) f(x) = 2e3x−1 − 1
j) f(x) = keax+b + c, onde a, k 6= 0
k) f(x) =
1
keax+b + c
, onde a, k 6= 0
l) f(x) =
aex
b + cex
2) Demonstre que as func¸o˜es f dos itens (e) e (g) no exerc´ıcio anterior sa˜o injetoras.
3) Sendo
• f(x) = 2x− 1,
• g(x) = x2 + 2x− 1,
• h(x) = 3x2 − x
2
,
encontre uma func¸a˜o r tal que:
a) r ◦ f = g
b) f ◦ r = g
c) r ◦ f = h
d) f ◦ r = h
4) Para cada func¸a˜o f abaixo, responda:
• qual e´ o domı´nio e a imagem de f?
• em quais pontos c, se houver, existe o lim
x→c f(x)?
• em quais pontos c existe o limite a` esquerda?
• em quais pontos c existe o limite a` direita?
a) f(x) =

√
1− x2, se 0 ≤ x < 1
1, se 1 ≤ x < 2
2, se x = 2
.
b) f(x) =
 x, se − 1 ≤ x < 0 ou 0 < x ≤ 11, se x = 0
0, se x < −1 ou x ≥ 1
.
5) Considere o gra´fico abaixo como sendo de uma certa func¸a˜o f . Determine:
a) lim
x→4
f(x) b) lim
x→2+
f(x)
c) lim
x→2−
f(x) d) lim
x→2
f(x)
e) lim
x→3+
f(x) f) lim
x→3−
f(x)
g) lim
x→3
f(x) h) lim
x→0+
f(x)
i) lim
x→0−
f(x) j) lim
x→0
f(x)
k) lim
x→∞ f(x) l) limx→−∞ f(x)
6) Encontre as ass´ıntotas verticais das func¸o˜es dos itens (a), (e), (f), (g) e (k) do exerc´ıcio (1).
7) Encontre as ass´ıntotas horizontais de cada uma das func¸o˜es abaixo:
a)
1
2x + 3
b)
3x + 5
x− 4
c)
6t2 + 3t
(1− t)(2t− 3)
d)
z + 2√
9z2 + 1
e)
√
2y2 + 1
3y − 5