Apostila Teoria das Estruturas I Vol 1.pdf

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Volume 1 
 
 
José Dimas Rietra 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DAS 
ESTRUTURAS I 
 
 
2 
 
 
MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
 
1 – Introdução 
Definimos estrutura como um elemento ou conjunto de elementos que recebem 
esforços ativos e reativos, formando um sistema em equilíbrio. 
Fisicamente, podemos dizer que a estrutura recebe os esforços que agem e os 
transmite para os apoios. Como exemplo, temos uma estrutura de uma ponte que 
recebe carregamentos (peso próprio, veículos, etc.) e os transmite aos apoios 
(pilares). 
Estudaremos as estruturas compostas de barras. A barra é um elemento 
estruturas que tem uma dimensão predominante sobre as outras duas. 
 
A dimensão predominante da barra é seu comprimento, que é a dimensão na 
direção de seu eixo longitudinal. A seção transversal da barra em um determinante 
ponto é a ação contida no plano perpendicular ao eixo longitudinal. 
As barras podem ter eixo retilíneo ou curvilíneo. 
 
2 – Tipos Estruturais 
 
2-1 – Sistemas planos 
Vigas – estruturas compostas de barras de eixos retilíneos que estão contidos 
em um plano e no qual está aplicado o carregamento. De acordo com a vinculação 
temos a seguinte nomenclatura: 
 
Vigas em balanço – são aquelas constituídas de uma única barra, com uma 
extremidade livre e outra engastada. 
 
Vigas biapoiadas – são aquelas constituídas de uma única barra, tendo as duas 
extremidades apoiadas. Podemos ter em uma extremidade um apoio fixo e na outra 
um apoio móvel. 
 
Vigas biapoiadas com balanços – é uma associação dos casos anteriores, sendo 
que o balanço tem o trecho biapoiado da viga como apoio. 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vigas biengastadas – são aquelas de eixo reto, que têm as duas extremidades 
engastadas. 
 
Vigas monoengastadas – são aquelas engastadas em uma extremidade, tendo na 
outra um apoio fixo ou móvel. 
 
Observação: quando temos estruturas com vinculação análoga aos modelos estudados, 
mas com eixo poligonal ou curvilíneo, podemos classifica-las como casos especiais, 
constituindo modelos que já se aproximam dos pórticos ou arcos. 
 
 
4 
 
Vigas contínuas – são aquelas constituídas de uma barra única, retilínea, sobre 
vários apoios. As vigas contínuas podem ter balanços. 
 
Vigas Gerber – são aquelas constituídas de uma associação de vigas biapoiadas, 
vigas biapoiadas com balanço e vigas engastadas e livres, ligadas por meio de uma 
articulação (rótula). 
Articulação (rótula) 
 
 
Pórticos – são estruturas constituídas de várias barras, formando no conjunto um eixo 
constituído de uma linha poligonal contida em um plano no qual se aplica o 
carregamento. Os pórticos podem ser: 
 
 
Pórticos triarticulados 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
Pórtico biarticulado ou biapoiado 
 
 
Pórtico apoiado em uma extremidade e engastado na outra. 
 
Pórtico biengastado 
 
Pórtico atirantado 
 
 
 
Observação: em qualquer dos casos citados podemos ter trechos em balanço com 
extremidade livre. 
 
 
6 
 
 
 
Quando temos maior vinculação do que as indicadas, os pórticos são 
designados por pórticos múltiplos e quando formam estruturas fechadas recebem 
também o nome de quadros. 
 
Os seguintes casos constituem estruturas aporticadas: 
 
7 
 
 
Arcos: as estruturas são análogas aos pórticos, com a diferença de que os arcos têm 
eixo curvo. 
 
 
 
Observações: 
Podemos ter também casos de arcos múltiplos: 
 
 
As estruturas em arco também podem formar um conjunto fechado: 
 
 
Os seguintes casos normalmente são classificados como vigas de eixo curvo: 
 
 
 
8 
 
Treliças: são estruturas constituídas de barras retas birotuladas (biarticuladas), 
formando malhas triangulares. 
 
 
 
2-2 – Sistemas espaciais 
São considerados sistemas espaciais os mesmos casos já vistos nos sistemas 
planos, desde que os elementos se desenvolvam em três dimensões, tanto os 
geométricos, referentes às barras, quanto os esforços. Desta forma, teremos vigas 
espaciais, pórticos espaciais, treliças espaciais e assim por diante. 
 
Um tipo de estruturas espacial bastante comum é a grelha – Ela é constituída 
de barras retas, todas contidas em único plano; em que o carregamento atua na 
perpendicular a esse plano. 
 
 
9 
 
 
 
 
QUESTIONÁRIO 
 
1- Defina estruturas e dê exemplos. 
2- Classifique os sistemas estruturais planos. 
3- Classifique as vigas. 
4- Classifique os pórticos. 
5- Classifique os sistemas estruturais espaciais. 
 
APOIOS – REAÇÕES DE APOIOS – CARGAS ATUANTES 
 
1 – Introdução 
 Neste capítulo, trataremos de conceitos básicos de muita utilidade no 
desenvolvimento do curso. Assim veremos o que vem há ser um apoio, suas reações 
e as cargas que solicitam as estruturas. 
 
2 – Apoios – Reações de Apoios – Conceituação 
 Seja uma barra de eixo reto sujeita a ação de várias cargas: 
 
 A peça não permanecerá em repouso, ela se movimentará, a não ser que se 
coloque obstáculos que impedem seu movimento. Estes obstáculos são chamados de 
apoios. Os apoios exercerão sobre a barra um conjunto de forças denominadas 
reações de apoio. 
 
 Vejamos os três tipos de apoios teóricos que se reduzem a maioria dos apoios 
reais encontrados na prática. 
 
3 – Tipos de Apoios 
Existem três tipos de apoios: 
-apoio fixo 
-apoio móvel 
-engaste 
 
3.1 – Apoio fixo 
 
10 
 
 Este tipo de apoio, representado na figura abaixo, permite apenas um 
movimento: rotação ao redor do mesmo. 
 
 
 
 O apoio fixo fornece duas reações de apoio (H e V), que são os impedimentos 
ao movimento (translações vertical e horizontal). 
 
3.2 – Apoio móvel 
 Este tipo de apoio, representado na figura abaixo, permite dois movimentos: 
rotação ao redor do mesmo e translação horizontal. 
 
 
 O apoio móvel fornece apenas uma reação de apoio (v), que é único 
impedimento ao movimento (translação vertical). 
 
3.3 – Engaste 
 Este tipo de apoio, representado na figura abaixo, não permite qualquer 
movimento. 
 
 
 O engaste fornece três reações (V, H e Mr), que são os impedimentos ao 
movimento (translações vertical e horizontal e rotação). O momento que aparece 
no engaste é denominado momento reativo (MR). 
 
4 – Apoio reais 
 Vejamos como podemos associar os apoios teóricos com os apoios reais que 
se encontram na prática com pequena possibilidade de erro. 
Seja uma viga simplesmente apoiada sobre um muro de alvenaria: 
 
 
11 
 
 
 
 Desprezando o atrito entre a viga e o muro, poderá ocorrer uma translação 
horizontal se por exemplo sujeitarmos a viga a uma elevação de temperatura; os 
extremos A e B deslocarão para A’ e B’. por outro lado, esta condição de apoio não 
impede o giro da viga ao redor do ponto C. 
 
 Por conseguinte podemos associar este apoio real a um apoio móvel. 
 Considerando, agora, bastante rugosa a superfície entre a viga e o muro de 
alvenaria, o atrito não poderá ser desprezado. Se as cargas atuantes sobre a viga 
fossem relativamente pequenas elas não venceriam o atrito, mas provocariam uma 
rotação ao redor do ponto C. Como consequência podemos associar este apoio real a 
um apoio fixo. 
 
Seja finalmente um pilar e uma viga metálica engastadas: 
 
 
 Neste caso podemos associar este apoio real a um engaste, pois não haverá 
movimentos de translação e de rotação. 
 
5 – Cargas Atuantes nas Estruturas 
 As estruturas destinam-se suportar cargas. Estas se classificam em: 
 
12 
 
 
- concentradas 
- distribuídas- combinações destas. 
 
5.1 – Cargas concentradas 
 São cargas concentradas as que se aplicam em áreas com dimensões tão 
reduzidas que podem ser consideradas como aplicadas em um ponto. São cargas 
concentradas por exemplo, reações de apoio de vigas que se apoiam em outras 
vigas. A figura abaixo mostra uma carga concentrada P aplicada em um ponto C de 
uma barra. 
 
 
 
5.2 – Cargas distribuídas 
 
As cargas distribuídas subdividem-se em: 
- Uniformes 
- variáveis 
- triangulares 
- trapezoidais 
- parabólicas 
 
 São cargas distribuídas as que se apoiam em grandes áreas, assim como o 
peso próprio das estruturas, sobrecargas, reações de lajes, etc. A figura abaixo 
apresenta o caso da carga uniformemente distribuída cujo valor por metro é 
representada pela letra p/m. 
 
 
 
Quando a carga distribuída é variável, como a da figura abaixo, a carga p varia de 
ponto a ponto da barra. 
 
 
 
 
13 
 
A carga triangular varia de um valor nulo para um valor máximo de p. São cargas 
triangulares os empuxos de terra e água. 
 
 
Com menor frequência ocorrem carregamentos trapezoidais e parabólicos. 
 
6 – Notações e convenções 
 Daqui para frente representaremos uma viga por seu eixo, orientando-a dois 
eixos coordenadores x e y, de tal maneira que o eixo dos x se confundirá com o eixo 
da peça. 
 Tomaremos como origem das coordenadas o centro do apoio da esquerda, 
como se mostra abaixo: 
 
 
 
 
7 – Condição de equilíbrio 
 Um sistema contido em um plano está em equilíbrio quando tem resultante 
nula e a soma dos momentos de todas as forças em relação a um ponto 
qualquer do plano é igual a zero. 
Esta condição pode ser expressa pôr: 
 
 
 
8 – Cálculo das reações de apoio 
 
14 
 
 Para o cálculo das reações de apoio, empregaremos as três equações 
universais do equilíbrio dadas no item anterior, conforme veremos nos exercícios 
que seguirão. 
 
 
9 – Classificação das estruturas 
 
9.1 – Estruturas isostáticas 
 Quando podemos determinar o efeito dos apoios externos e os esforços 
internos pela aplicação das equações universais do equilíbrio. Neste caso, o número 
de equações é igual ao número de incógnitas. 
 
 
 
9.2 – Estruturas hiperestática 
 É quando não podemos resolvê-la somente com a aplicação das equações 
universais do equilíbrio. Neste caso, o número de equações é menor que o número 
de incógnitas, sendo necessário recorrer a equações para complementar o sistema 
de equações: 
 
 
Número de incógnitas = 4 reações 
Número de equações = 3 
Número de equações < número de incógnitas. 
 
15 
 
 
9.3 – Estrutura hipoestática 
 É aquela que tendo número de apoios insuficientes, é instável, podendo 
permanecer em equilíbrio somente para carregamentos particulares. Neste caso, o 
número de equações é maior que o número de incógnitas. 
 
 
 
10 – Exercícios Resolvidos 
Calcular as reações de apoio das estruturas que se sequem: 
 
10.1 – 
 
Solução: Indicando as reações nos apoios correspondentes e aplicando as equações 
universais do equilíbrio teremos: 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
10.2 – 
 
Solução: indicando as reações no apoio correspondente e aplicando as equações 
universais do equilíbrio teremos: 
 
 
10.3 - 
 
Observação: as forças que produzem momentos no sentido horário foram tomadas 
como positivas. 
 
 
17 
 
 
Solução: Indicando as reações nos apoios correspondentes e aplicando as equações 
universais do equilíbrio teremos: 
 
 
 
 
10.4 – 
 
Solução: Indicando as reações nos apoios correspondentes decompondo a carga 
concentrada em duas componentes e substituindo a carga uniformemente distribuída 
por uma carga concentrada aplicada no meio do trecho teremos: 
Observação: o sinal negativo encontrado para V A indica que o sinal real de V A é 
o contrário do arbitrado. 
 
18 
 
 
 
 
Aplicando as equações universais do equilíbrio: 
 
 
 
 
 
QUESTIONÁRIO: 
 
1 – Definir apoio e reação de apoio. 
2 – Quais os tipos de apoios? 
3 – Relacione cada apoio com seus movimentos permitidos e impedidos. 
4 – Dê exemplos de apoios reais, relacionando-os aos apoios teóricos. Pesquise. 
5 – Classifique as cargas que atuam nas estruturas. 
6 – Classifique as estruturas relacionando o número de incógnitas com o número de 
reações. 
Dê exemplos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESFORÇO NORMAL – ESFORÇO CORTANTE – MOMENTO FLETOR 
 
1 - Introdução. 
Este capitulo trata de conceitos fundamentais que acompanharão toda a vida 
do engenheiro. Veremos a conceituação de esforço normal (força normal), esforço 
cortante (força cortante) e momento fletor. 
 
2 – Redução de forças situadas à esquerda de uma seção 
Seja uma peça reta sujeita à ação de um certo número de forças; forças 
diretamente aplicadas e reações de apoio. Seja G um ponto qq do eixo da peça e seja 
SS’ a seção reta que passa por G. 
 
As forças consideradas podem ser reduzidas a uma resultante R aplicadas no 
ponto G e a um momento M em relação ao ponto G. Decompondo R em duas 
componentes teremos: N dirigida segundo o eixo da peça e v dirigida segundo a 
perpendicular a este eixo no ponto G. 
 
A acompanhante N se chama esforço normal ou força normal; a 
acompanhante V se chama esforço cortante ou força cortante e o momento M se 
denomina momento fletor em relação ao ponto G. estas três grandezas são 
elementos de redução das forças situadas à esquerda da seção SS’, e caracteriza à 
ação das forças externas aplicadas na parte esquerda da viga. 
 
Assim para peças planas e retas teremos: 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Redução de forças situadas à direita de uma seção. 
Ao invés de efetuar a redução de forças à esquerda da seção SS’, poderíamos 
ter considerado todas as forças situadas à direita da seção SS’ e efetuado sua 
redução ao ponto G. Assim obteríamos N’, V’ e M’. 
 
Com todas as forças aplicadas na peça estão em equlibrio: 
N + N’ = 0 N = - N’ 
V + V’ = 0 V = - V’ 
M + M’ = 0 M = - M’ 
 O que mostra que se quisermos calcular os esforços normal N, o esfroço 
cortante V e o momento fletor M em ponto qq de uma peça, podemos empregar as 
definições dadas em 2 ou calcular as mesmas grandezas para as forças aplicadas à 
direita e trocar o sinal dos resultados obtidos. 
 
4 – Diagramas característicos 
São representações gráficas de N, V e M. 
5 – Convenção de sinais 
O esforço normal N é igual a soma das projeções sobre o eixo da peça de todas as 
forças aplicadas a esquerda de G. 
O esforço cortante V é igual a soma das projeções destas mesmas forças sobre a 
perpendicular ao eixo da peça. 
E o momento fletor M éigual a soma dos momentos destas mesmas forças em relação 
ao ponto G. 
 
21 
 
Seguiremos a convenção que no Brasil é adotada: 
 
 
 
 
Isolando-se um elemento de viga entre duas seções transversais adjacentes S1 e S2 
teremos: 
- A força cortante V é positiva qdo est dirigida para cima na seção S1 e para baixo na 
seção S2, a força cortante é negativa, em caso contrário. 
- O momento fletor M é positivo, qdo tem os sentidos: horário para a seção S1 e anti-
horário para a seção S2. Neste caso, as fibras interiores da viga são tracionadas e as 
superiores comprimidas. A deformação se apresenta com a concavidade para cima. 
- O momento fletor M é negativo, em caso contrário, as fibras superioressão 
tracionadas e as inferiores comprimidas. A deformação se apresenta com a 
concavidade para baixo. 
 
6 – Relação Entre Momento Fletor e Força Cortante 
 Seja em elemento de uma vida, compreendido entre duas seções transversais 
S1 e S2, infinitamente próximas. 
Observação: A convenção acima se refere a que devemos empregar nos diagramas 
característicos. 
 
22 
 
 
 Admitindo-se que haja um momento fletor positivo e uma força cortante 
positiva, a ação da parte da viga à esquerda da seção S1 é representada pela força 
cortante V e pelo momento M. Analogamente, se a força cortante e o momento fletor 
forem positivos da seção S2, a ação da viga (parte) situada á direita dessa seção 
poderá ser representada por V e M+dM. 
 A condição de equilíbrio do elemento situado entre as seções S1 e S2 acarreta 
a igualdade: 
 
 
 Assim: no trecho de uma viga, entre as seções S1 e S2, compreendidas entre 
cargas, a força co9rtante é igual à derivada do momento fletor, em relação a x. 
No caso de atuar uma carga distribuída p/m, entre as seções S1 e S2, teremos: 
 
 Assim: a derivada da força cortante, em relação a x, e igual a intensidade da 
carga com o sinal negativo. 
 
 
Considerando o momento de todas as forças que atuam no elemento, obtém-se: 
 
Desprezando o infinitésimo de 2ª ordem vem 
 
 Conclui-se que a derivada do momento fletor, em relação a x, também é igual à 
força cortante, no caso de existir uma carga distribuída p no elemento. 
 No caso de haver uma carga concentrada P atuando no elemento entre as 
seções S1 e S2, a força cortante varia bruscamente passando de V1, na seção S1, a 
V2, na seção S2. 
 
23 
 
 
Como condição de equilíbrio do elemento V1-P=V2. 
Portanto no pto de aplicação da carga P há uma mudança brusca de derivada dM. 
 dx 
Conclusão: 
De um modo geral, na resolução dos problemas de isostáticas envolvendo o momento 
fletor M e a força cortante V, devem-se ter presentes as relações fundamentais: 
 
 
 
As quais, entre outras, permitem as seguintes conclusões importantes: 
-em um intervalo descarregado, o diagrama de forças cortantes é paralelo ao eixo de 
referência e o diagrama de momentos fletores é linear. 
- em um intervalo com carga uniformemente distribuída, o diagrama de forças 
cortantes pe linear e o de fletores é parabólico do 2º grau. 
- em um intervalo com carga linear, o diagrama de forças cortantes é uma parábola do 
2º grau e o de momentos fletores é uma parábola do 3º grau. 
- nos pontos das estruturas, sujeitos a casrgas-momento, o diagrama de momento 
fletor passa por uma descontinuidade, cuja intensidade é igual ao valor do momento 
aplicado. 
7 – Significado prático dos esforços seccionais 
Os esforços seccionais (força normal força cortante e momento fletor) podem 
ser melhor entendidos através de seu efeito na peça, o que permite dar-lhes um 
significado prático, como veremos a seguir. 
7.1 – Significado da força normal 
A força normal de compressão realiza um encurtamento do eixo da peça. 
Cada elemento de comprimento dx sofre um encurtamento que é a deformação por 
compressão. 
 
No caso da força de tração haverá um alongamento do eixo da peça. Cada 
elemento será distendido. A força normal serve para calcular os esforços internos f 
nos diversos pontos da seção, esforços que tendem a romper a peça. 
dM=V; dV= -p 
 dx dx 
 
 
24 
 
 
 Ruptura por tração. 
7.2 – Significado da força cortante 
 
A força cortante realizada a deformação vista acima. Sua ação tende a 
realizar um corte na direção da seção. 
 
7.3 – Significado do momento fletor 
 
Conforme se vê na figura abaixo, o momento fletor tende a fletir a peça. 
 
Por efeito do momento fletor positivo, surgem esforços de compressão na face 
superior e esforços de tração na face inferior, conforme figura acima. 
 
Para o momento fletor negativo, a situação é inversa: face superior tracionada 
e face inferior comprimida, conforme figura acima. 
 
 
25 
 
8 – Diagramas dos esforços seccionais – casos fundamentais 
8.1 – Vigas biapoiada – carga concentrada 
 
Reações de apoio: 
 
 
 
Momentos Fletores: 
 
 
Caso Particular: 
 
26 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
Momentos fletores: 
 
 
8.2 – Viga biapoiada – carga uniformemente distribuída 
 
27 
 
 
Substituindo a carga uniformemente distribuída por sua resultante aplicada no 
meio do trecho, teremos: 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
 
 Em Vc = 0 Mmax = 
 
 
28 
 
 
8.3 - Viga biapoiada – carga triangular 
 
 Substituindo a carga triangular por sua resultante aplicada no centro de 
gravidade do triângulo representativo do carregamento, teremos: 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
29 
 
 
Considerando agora uma seção genérica S distante x do apoio A, para a 
determinação e posterior traçado dos diagramas de cortantes e fletores: 
 
 
 
 
30 
 
 
8.4 - Viga biapoiada – carga momento 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
 
 
31 
 
 
8.5 – Viga em balanço – carga concentrada 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
 
 
32 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
 
Momentos fletores: 
 
 
8.6 – Viga em balanço – carga uniformemente distribuída. 
Observação: o sinal negativo obtido em MR significa que o sentido real de MR é o 
contrário do arbitrado. 
 
33 
 
 
 Substituindo a carga uniformemente distribuída por sua resultante aplicada no 
meio trecho, teremos: 
 
Relações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
 
 
 Substituindo a carga uniformemente distribuída por sua resultante aplicada no 
meio trecho, teremos: 
 
34 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
9 – EXERCICIOS RESOLVIDOS 
 Para as vigas isostáticas abaixa relacionadas, calcular as reações de apoio, 
trançado os diagramas de forças cortantes e momentos fletores: 
 
9.1 – 
 
Reações de apoio: 
 
35 
 
 
Momentos fletores: 
 
 
 
9.2 – 
 
 
Reações de apoio: 
 
36 
 
 
Momentos fletores: 
MC = 0 
MA = -4x2= -8tm 
MD = -4x4+VAx2 = -16+9,67x2= 3,34tm 
ME = -2x5+VBx2 = -10+7,33x2= 4,66tm 
MB = -2x3= -6tm 
MF = 0 
 
 
9.3 – 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
Momentos fletores: 
MA = -MR = -37tm 
MB = -5x3 = -15tm 
MC = 0 
 
37 
 
 
9.4 – 
 
 
 Substituindo a carga uniformemente distribuída em cada trecho por sua 
resultante, teremos: 
 
Reações de apoio: 
 
 
Momentos fletores: 
 
38 
 
 
 
Cálculo do momento máximo 
 
 
 
 
 
9.5 – 
 
 
Substituindo a carga uniformemente distribuída em cada trecho por sua 
resultante, teremos: 
Quando V = 0 Mmax 
 
39 
 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
 
9.6 – 
 
 
Substituindo as cargas uniformemente distribuídas em cada trecho, por suas 
resultantes, teremos. 
 
40 
 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
 
 
Cálculo do momento máximo 
 
 
Quando V = 0 Mmax 
 
41 
 
 
9.7 – 
 
Substituindo as cargas uniformemente distribuídas em cada trecho, por suas 
resultantes, teremos: 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
MA = 0 
MB = -4x3-6x1,5 = -21tm 
MC = - MR = -93tm 
9.8 – 
 
42 
 
 
Reações de apoio:9.9 – 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
MA = -12tm 
 
43 
 
MB = -8tm 
 
 
9.10 – 
 
Substituindo as cargas uniformemente distribuídas por suas resultantes, 
teremos: 
 
 
Reações de apoio: 
 
44 
 
 
 
Momentos fletores: 
 
 
9.11 – 
 
 
Substituindo a carga uniformemente distribuída por sua resultante, teremos: 
 
 
Reações de apoio: 
 
45 
 
 
 
Momentos fletores: 
 
Cálculo do momento máximo 
 
 
 
 
10 - Exercícios Propostos 
Para as vigas isostáticas abaixo relacionadas, calcular as reações de apoio, 
traçando os diagramas de forças cortantes e momentos fletores: 
10.1 – 10.2 – 
 
 
 
10.3 - 10.4 - 
Quando V = 0 Mmax 
 
46 
 
 
 
 
 
 
10.5 – 10.6 - 
 
 
 
 
10.7 – 10.8 - 
 
 
 
 
10.9 - 10.10 - 
 
 
 
 
10.11 – 10.12 - 
 
 
 
10.13 - 10.14 - 
 
 
 
 
 
 
47 
 
QUESTIONÁRIO 
1 – Defina: força normal; força cortante e momento fletor. 
2 – Deduzir a relação existente entre o momento fletor e a força cortante. 
3 – Quais as conclusões que se podem ter para os diagramas de força cortantes e de 
momentos fletores? 
4 – Significado prático dos esforços seccionais. 
5 – Deduzir novamente os seis casos fundamentais de vigas isostáticas. 
 
VIGAS GERBER ISOSTÁTICAS 
1- Introdução 
Aqui, neste capítulo, estudaremos as vigas Gerber isostáticas, sistemas 
estruturais de largo emprego quando se quer vencer grandes vãos (pontes, 
viadutos e passarelas). Os conceitos vistos no capítulo anterior serão novamente 
colocados à prova. 
2- Vigas Gerber- Conceituação- Exemplificação 
Vigas Gerber isostáticas são associações de vigas biapoiadas, vigas 
biapoiadas com balanços e vigas engastadas e livres, ligadas por meio de 
articulação ou rótulas. Elas tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem 
estrutural e de ordem construtiva. Suponhamos seja nossa função construir uma 
ponte de concreto armado, que deverá se apoiar sobre os pilares A, B,C e D, 
escolhendo uma das duas soluções abaixo indicadas: 
 
 
48 
 
 
 
 
A solução indicada na fig 1: convencional = para a execução da superestrutura 
da ponte, seriamos obrigados a escorar simultaneamente todo o volume 
compreendido sob o tabuleiro da ponte, escoramento este que, dependendo da 
velocidade do rio e de sua profundidade, pode tornar-se extremamente difícil, caro 
e até mesmo, arriscado no trecho BC. 
A solução indicada na fig 2: viga Gerber = está solução permite e execução em 
separado dos trechos ABE,EF,FCD, com o que poderíamos escorar inicialmente o 
 
49 
 
trecho ABE e concretá-lo, a seguir transferiríamos o escoramento para o trecho 
FCD que seria posteriormente concretado, e finalmente, usando os próprios techos 
ABE e FCD, já executados, como apoios, concretaríamos a vigota EF, encerrando 
a execução da estrutura (poderíamos, também, pré fabricar a viga EF, lançando-a 
através de uma treliça). 
Não resta a menor dúvida que, sob o ponto de vista construtivo, a segunda 
solução será mais adequada no caso, pois não envolverá risco algum no vão BC 
durante a construção, além de reduzir o volume de material para escoramento a 
quase 1/3 do necessário para a primeira solução. 
Está solução trará ainda, sob o ponto de vista estrutural, a vantagem de reduzir 
as forças horizontais nos pilares devidas a variações de temperatura e à retração 
do concreto. 
As vigas Gerber tem lugar de grande importância na engenharia estrutural, e a 
tendência desta importância é aumentar, tendo em conta o desenvolvimento das 
técnicas de pré-fabricação e montagem de estruturas. 
 
3- Características Principais das vigas Gerber 
3.1- O número de rótulas (articulações) é sempre igual ao número de apoios 
internos; 
3.2- O momento fletor nas rótulas é nulo; 
3.3- Na resolução das vigas Gerber, deve-se substituir cada rótula por um apoio 
considerando a seguinte ordem de resolução: 
 
 
 
4- Resolução de Vigas Gerber- Exercícios Resolvidos 
 
Resolver as vigas Gerber abaixo, traçando os diagramas de cortantes e fletores: 
 4.1- 
 
50 
 
 
 Solução: 
Esquema estrutural: 
 
 
 Vão AE 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo a carga uniformemente distribuída por sua resultante aplicada no 
meio do trecho AD, teremos: 
 
51 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
Momentos fletores: 
 
 
Cálculo do momento máximo 
 
 
 
Quando V = 0 Mmax 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
Vão ECB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
 
 
53 
 
 
 
 
4.2 – 
 
Solução: 
Esquema estrutural: 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
Vão EF 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reações de apoio 
 
 
 
Vão ABE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
55 
 
 
Momentos fletores: 
 
Vão FCD 
 
 
Reações de apoio 
 
Momentos fletores: 
 
56 
 
 
 
4.3- 
 
Solução: 
Esquema estrutural: 
 
57 
 
 
 
 
 
Vão DC 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
MD=MC=0 
Vão ABD 
 
58 
 
 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
MA = 0 
MB = -1x1 = -1tm 
MD = 0 
 
59 
 
 
4.4 – 
 
Solução: 
Esquema estrutural: 
 
 
Vão CBF 
 
 
 
60 
 
Substituindo a carga uniformemente distribuída em cada trecho por sua 
resultante teremos: 
 
Reações de apoio: 
 
Momentos fletores: 
MC=MF=0 
MB=2X1= 2tm 
 
Cálculo do momento máximo 
 
 
 
Quando V = 0 Mmax 
 
61 
 
 
 
Vão AC 
 
Substituindo a carga uniformemente distribuída por sua resultante temos: 
 
Reações de apoio: 
 
62 
 
 
Momentos fletores: 
 
 
5 - Exercícios propostos 
Resolver as vigas Gerber abaixo, traçando os diagramas de cortantes e fletores: 
 5.1- 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2- 
 
63 
 
 
 
5.3- 
 
5.4- 
 
5.5- 
 
QUESTIONÁRIO 
1- Conceitue vigas Gerber isostáticas. 
2- Características principais das vigas Gerber. 
 
 
64 
 
QUADROS ISOSTÁTICOS 
1 - Introdução 
Neste capítulo estudaremos estruturas não-lineares contínuas em preparação 
ao estudo dos pórticos, assunto por demais importante na teoria das estruturas II 
2 - Quadros Isostáticos- Conceituação 
Quadros isostáticos ou quadro simples são estruturas não-lineares contínuas 
formadas por uma barra horizontal e duas barras verticais. 
 
3 - Classificação 
De maneira geral, podemos classificar os quadros isostáticos em dois grupos: 
 3.1- Quadros simétricos 
 
Para resolvê-lo basta conhecer o momento fletor em um dos nós B ou C. 
Devido a simetria HA=0 
3.2- Quadros assimétricos 
 
Nesse tipo de quadro calcula-se HÁ e com esta reação encontramos os 
momentos nos nós B e C. 
 
 
65 
 
4 - Convenção de sinais 
- Forças normais 
Consideram-se positivas as forças normais de tração e negativas as de compressão. 
- Forças cortantes 
 
 
- Momentos fletores 
 
 
 
 
Momento fletor positivo lado de referência tracionado. 
Lado rerefência indicação por linhas tracejadas. 
 
 
66 
 
 
 
5 - Exercícios Resolvidos 
 Resolver os quadros isostáticos abaixo, traçando os diagramas de forças normais,cortantes e momentos fletores: 
 
 
5.1- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Reações de apoio: 
 
 
 
 
67 
 
 
 
 
5.2 – 
 
 
68 
 
 
Solução: 
Reações de apoio: 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
 
 
70 
 
 5.3- 
 
Solução: 
Reações de apoio: 
 
 
 
 
71 
 
 
 
 
 
72 
 
 
 
 
 5.4 - 
 
 
 
 
Soluções: 
Reações de apoio: 
 
 
 
73 
 
 
 
74 
 
 
6 – Exercícios propostos 
 Resolver os quadros isostáticos abaixo, traçando os diagramas de forças 
normais, cortantes e momentos fletores: 
6.1 - 6.2 - 
 
 
 
 
 
 
6.3 - 6.4 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTIONÁRIO 
 
1 – Conceituar quadros isostáticos. 
2 – Classificar os quadros isostáticos. 
3 – Convenção de sinais para os quadros isostáticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA: 
 
Teoria das Estruturas – Flávio Antônio Campanari. 
Estruturas Isostáticas – Otávio Campos do Amaral. 
Problemas e Exercícios de Estáticas das Construções – Adhemar Moreira e Domício 
Falcão. 
Curso de Análise Estrutural – José Carlos Sussekind. 
 
 
 
 
AGRADECIMENTO 
Esta versão eletrônica só foi possível graças a dedicação e o empenho de Angela 
Helena Azevedo. 
 
 
 
Fevereiro de 2015.