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LISTA PARA SEGUNDA PROVA - ÁLGEBRA LINEAR
1. Relativamente aos espaços vetoriais reais, indique quais das transformações são lineares:
a. f : IR2 → IR2 definida por f ((x, y)) = (k1, k2) com k1 e k2 elementos reais fixos.
b. f : IR2 → IR2 definida por f ((x, y)) = (sen(x), y).
c. f : IR3 → IR2[x] definida por f ((a, b, c)) = a + bx + cx2.
2. Considere a transformação f : P2 → P3 definida por: f (p) = x2p′(x).
a. Mostre que f é uma transformação linear.
b. Sejam
{
1, 1 + x, 1 + x + x2
}
a base de P3 e
{
1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3
}
a base de
P4. Determine a matriz que representa f em relação a essas bases.
c. Determine Ker( f ) e Im( f ).
3. Considere o espaço vetorial P2. Seja f : P2 → P2 a transformação linear definida por:
f (p) = p′′ + 4p′ + p. Determine a matriz da transformação linear f em relação à base{
x, 1 + x, x + x2, x3
}
fixada nos respectivos espaços vetoriais domínio e contradomínio de f .
4. Considere a aplicação f : P2 → M2x2 definida por: f (a + bx + cx2) =
[
a + b c
b a
]
.
a. Mostre que
{
1, x, 1 + x2
}
e
{[
1 0
0 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 1
1 0
]
,
[
1 1
1 1
]}
são bases de P3 e
M2×2, respectivamente.
b. Mostre que f é uma transformação linear.
c. Determine a matriz de f relativamente às bases do item a.
d. Determine Ker( f ) e Im( f ).
5. Determinar os autovalores e autovetores do operador T de IR4 cuja matriz em relação a base
canônica é 
3 1 0 0
0 3 0 0
0 0 4 0
0 0 0 3

6. Seja
(
1 1
0 1
)
a matriz de um operador do IR2. Encontre os autovalores de T. Existem, neste
caso, dois autovetores linearmente independentes?
7. Determinar M ∈ M3(IR) invertível tal que M−1AM seja diagonal onde A =
 2 4 03 −4 121 −2 5

8. Considere o operador linear T : IR3 → IR3 cuja matriz em relação a base canônica dada por 1 1 20 1 30 0 2

(a) Calcule os autovetores.
(b) Existe uma base B de IR3 tal que [T ]B seja diagonal?
9. Determinar uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços do IR4 utilizando o
processo de Gram-Schmidt:
1
(a) W = [(1; 1; 0; 0); (0; 1; 2; 0); (0; 0; 3; 4)].
(b) W = [(2; 0; 0; 0); (1; 3; 3; 0); (3;−3;−3; 0)].
10. Considere P2(IR) com o produto interno definido por 〈 f (t), g(t)〉 =
∫ 1
0 f (t)g(t)dt. Ortonorma-
lize a base
{
1, 1 + t, 2t2
}
.
11. Suponha que T : P2(IR)→ P2(IR) seja definida por:
T (a0 + a1x + a2x2) = (5a0 + 6a1 + 2a2) − (a1 + 8a2)x + (a0 − 2a2)x2
Achar os autovalores de T e os autovetores de T .
12. Diagonalize, se possível, a seguinte matriz:
5 0 0 0
0 5 0 0
1 4 −3 0
−1 −2 0 −3

13. Provar que os vetores 1, t e t2 − 13 de P2(IR) são dois a dois ortogonais em relação ao produto
interno dado por 〈 f (t), g(t)〉 = ∫ 1−1 f (t)g(t)dt.
14. Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares T : V → V e
matrizes An×n seguintes:
(a) V = IR2, T (x, y) = (x + y, 2x + y)
(b) V = IR3, T (x, y, z) = (x + y + z, x?y + 2z, 2x + y?z)
(c) V = P2, T (ax2 + bx + c) = ax2 + cx + b
(d) V = P2, T (ax2 + bx + c) = 2ax + b, (derivada)
(e) V = M(2, 2), T (A) = AT , A ∈ M(2, 2)
(f) A =
(
1 2
0 −1
)
(g) A =
(
1 1
1 1
)
(h) A =
(
5 3
3 −3
)
(i) A =
 1 2 30 1 20 0 1

(j) A =
 1 3 −30 4 0−3 3 1

(k) A =
 −1 −4 142 −7 142 −4 11

2