Fourier revisão 05

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1 
ELETRÔNICA DE POTÊNCIA 
 
 
CIRCUITOS COM FORMAS DE 
ONDAS PERIÓDICAS 
NÃO SENOIDAIS 
 
APLICAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER 
(REVISÃO) 
 
 
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2005 
 
 2 
CIRCUITOS COM FORMAS DE ONDA PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS 
 
SÉRIE DE FOURIER 
(REVISÃO) 
 
1. FUNÇÕES PERIÓDICAS 
 
Uma função f(t) é periódica se:
 
 
f(t+T) = f(t) para -∞< t < ∞. [1] 
Figura 1- Funções Periódicas 
 
O menor T que satisfaz a equação [1] é chamado de período de f(t). 
 
A equação [1] implica que 
 
 f(t + n.T) = f(t); ∀ t no intervalo -∞< t < t; sendo n inteiro. 
 
As funções periódicas são completamente especificadas por seus valores em qualquer 
período. 
 
Seja fT(t) = f(t).[u(t-t0) – u(t-t0-T)] [2] 
 
Onde u(t) é o degrau unitário 
 
Então ( )∑
∞
−∞=
+=
n
T Tntftf .)( [3] 
 
A função fT(t) é chamada de gerador de f(t). 
 
T
T
t t+T t
f(t)
T
f(t)
tt t+T
f(t) = f(t+T)
 3 
Funções periódicas possuem propriedades de simetria que facilitam sua análise. 
 
Função par é uma função periódica que f(-t) = f(t). 
Figura 2 - Função par 
Quando a função é par ela possui simetria com relação ao eixo das ordenadas (eixo y). 
 
Função ímpar é uma função periódica que f(-t) = -f(t). 
Figura 3 - Função ímpar 
Quando a função é ímpar ela possui simetria com relação à origem. 
 
 
Das figuras 2 e 3 acima verifica-se que: 
 
 
( )[ ] ( )
( )[ ] ( ) ímpar função uma é .sen..sen.
par função uma é .cos..cos.
tAtA
tAtA
ωω
ωω
−=−
=−
 
 
Soma de funções pares resultam em uma função par: 
 
( ) ( ) ( )tgKtfKth ppp .. 21 += , onde K1 e K2 são escalares, fp, gp e hp são funções pares. 
 
ωωωωt−ω−ω−ω−ωt
ωωωωt
f(ω(ω(ω(ωt)
A
A.cos(ωωωωt)
ωωωωt
−ω−ω−ω−ωt
ωωωωt
f(ω(ω(ω(ωt)
A
A.sen(ωωωωt)
A1
-A1
 4 
Soma de funções ímpares resultam em uma função ímpar: 
 
( ) ( ) ( )tgKtfKth iii .. 21 += , onde K1 e K2 são escalares, fi, gi e hi são funções ímpares. 
 
 
 
Produto de funções pares resultam em uma função par: 
 
( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ppp ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fp, gp e hp são funções pares. 
 
Produto de funções ímpares resultam em uma função ímpar: 
 
( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth iii ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fi, gi e hi são funções ímpares. 
 
Produto de funções pares por funções ímpares resultam em uma função ímpar: 
 
( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ipi ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fi é uma função par, e gi e hi 
são funções ímpares. 
 
Qualquer função periódica f(t) pode ser expressa como sendo a soma de uma função par 
com uma função ímpar. 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [4c] 
[4b] 
2
[4a] 
2
tftftf
tftf
tf
tftf
tf
ip
i
p
=+
−−
=
−+
=
 
Definições importantes: 
 
Valor médio ou média de uma função periódica f(t): 
 
∫
+
=
Tt
tmédio
dttf
T
f 0
0
).(1 [5] 
 
Valor médio quadrado de uma função periódica f(t) (é chamado de potência média em 
f(t)): 
 
∫
+
=
Tt
t
médio dttf
T
f 0
0
.)(1 22 [6] 
 
Raiz quadrada do valor médio quadrado, ou valor rms de uma função periódica f(t): 
 
∫
+
==
Tt
t
médiorms dttfTff
0
0
.)(1 22 [7] 
 5 
 
2. SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER 
 
Se uma função periódica f(t) obedece às condições de Dirichlet, então a função pode ser 
representada pela série trigonométrica de Fourier. É bom ressaltar que as condições de 
Dirichlet são suficientes, mas não necessárias, pois existem funções periódicas que não 
obedecem a estas condições, e, no entanto possuem série de Fourier. 
As condições de Dirichlet são: 
 
1. f(t) é contínua por partes 
2. f(t) possui um número de máximos e mínimos finitos em qualquer intervalo 
finito. 
3. f(t) é absolutamente integrável sobre um período, isto é: ( )∫ ∞<T dttf0 . 
 
A série trigonométrica de Fourier é dada por: 
 
( ) ( ) ( )[ ] [rad/s] onde 
T
tnbtnaatf
n
nn
pi
ωωω
2
.sen.cos
2 1
0
=++= ∑
∞
=
 [8] 
 
an e bn são os coeficientes da série de Fourier e dependem de f(t) 
 
( )
( )
...
..sen).(2
..cos).(2
0
0
0
0
3. 2, 1, 0,=
⋅=
⋅=
∫
∫
+
+
n
dttntf
T
b
dttntf
T
a
Tt
tn
Tt
tn
ω
ω
 [9a] 
 
Outra forma de expressar an e bn em função da variável ωt e período 2pi, que é muito 
comum em engenharia elétrica, é dada abaixo: 
 
( ) ( )
( ) ( )
...
..sen).(1
..cos).(1
2
0
2
0
3. 2, 1, 0,=
⋅=
⋅=
∫
∫
n
tdtntfb
tdtntfa
n
n
pi
pi
ωω
pi
ωω
pi
 [9b] 
 
Podemos observar que o primeiro termo da série, a0/2 é o valor médio da função f(t). 
 
Na análise de circuitos elétricos, é mais conveniente representar-se a série de Fourier 
combinando-se os termos em seno e cosseno em um único termo em seno ou cosseno 
(série de Fourier trigonométrica compacta). 
 
 6 
 
Figura 4 
 
 
( ) ( )






−=+=
==
++= ∑
∞
=
n
n
nnnn
n
nn
a
bbac
tfac
tncctf
arctan 
)( de médio valor 2/
.cos.
22
00
1
0
θ
θω
 [10] 
 
ou 
( ) ( )






=+=
==
++= ∑
∞
=
n
n
nnnn
n
nn
b
abac
tfac
tncctf
arctan 
)( de médio valor 2/
.sen.
22
00
1
0
φ
φω
 [11] 
 
3. INFLUÊNCIA DA SIMETRIA SOBRE OS COEFICIENTES DE FOURIER 
3.1. SIMETRIA PAR 
 
Funções periódicas com simetria par são do tipo ( ) ( )tftf −= . 
 
Para as funções periódicas com simetria par, as equações usadas para calcular os coefi-
cientes da série de Fourier se reduzem a: 
 
( )tnan .cos. ω ( )tnsenbn .. ω 
( ) ( )tnsenbtna nn ..cos. ωω + Θn
φn
an
bn
cn
 7 
( )
( ) ( )
... 3, 2, 1, 0
... 3, 2, 1, ...cos.4
.
2
2/
0
2/
00
==
==
=
∫
∫
kb
kdttktf
T
a
dttf
T
a
k
T
k
T
ω [12] 
 
Observe que as funções periódicas com simetria par, não possuem termos em seno. 
 
3.2. SIMETRIA ÍMPAR 
 
Funções periódicas com simetria ímpar são do tipo ( ) ( )tftf −−= . 
 
Para as funções periódicas com simetria ímpar, as equações usadas para calcular os coe-
ficientes da série de Fourier se reduzem a: 
 
( ) ( ) ... 3, 2, 1, ... 3, 2, 1, ...sen.4
... 3, 2, 1, 0
0
2/
0
0
===
==
=
∫ kkdttktfTb
ka
a
T
k
k
ω
[13] 
 
Observe que as funções periódicas com simetria ímpar, não possuem termos em cosse-
no, e seu valor médio é nulo. 
 
3.3. SIMETRIA DE MEIA ONDA 
 
Funções periódicas com simetria de meia-onda são do tipo 
( ) ( ) ( )22 TtfTtftf −−=+−= . 
Figura 5 - Simetria de meia onda 
T/2
t
t+(T/2)
A
-A
T
t
f(t)
 8 
Para as funções periódicas com simetria de meia-onda, as equações usadas para calcular 
os coeficientes da série de Fourier se reduzem a: 
 
( ) ( )
( ) ( ) ímpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.4
par) ( ... 6, 4, 2, 0
ímpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.4
par) ( ... 6, 4, 2, 0
0
2/
0
2/
0
0
kkdttktf
T
b
kkb
kkdttktf
T
a
kka
a
T
k
k
T
k
k
∫
∫
==
==
==
==
=
ω
ω [14] 
 
 
Observe que as funções periódicas com simetria de meia-onda, só possuem termos ím-
pares, e seu valor médio é nulo. 
 
3.4. SIMETRIA DE QUARTO DE ONDA 
 
Funções periódicas com simetria de quarto de onda são funções que possuem simetria 
de meia-onda e, além disso, simetria em relação ao pontomédio dos semiciclos positivo 
e negativo. 
Quando uma função possui simetria de quarto de onda, sempre é possível torná-la com 
simetria par ou ímpar. 
Figura 6 - (a) simetria de quarto de onda par (b) simetria de quarto de onda ímpar 
t
f(t)
t
f(t)
(a)
(b)
 9 
Para as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, as equa-
ções usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a: 
 
( ) ( )
 )(qualquer ... 3, 2, 1, 0
ímpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.8
)par ( ... 6 4, 2, 0
0
4/
0
0
kkb
kkdttktf
T
a
kka
a
k
T
k
k
==
==
==
=
∫ ω
[15] 
 
Observe que as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, só 
possuem termos ímpares em cosseno, e seu valor médio é nulo. 
 
Para as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria ímpar, as e-
quações usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a: 
 
( ) ( ) ímpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.8
)par ( ... 6 4, 2, 0
) (todo ... 3, 2, 1, 0
0
4/
0
0
kkdttktf
T
b
kkb
kka
a
T
k
k
k
∫ ==
==
==
=
ω
[16] 
 
Observe que as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria ímpar, 
só possuem termos ímpares em seno, e seu valor médio é nulo. 
 
Exemplo 1 Calcular os coeficientes a1 e b1 da série de Fourier da senóide recortada de 
amplitude A como mostra a figura 7 abaixo. 
Figura 7 
seno
α
β
f(ωωωωt)
ωωωωt
2pi
A
 10 
 
Solução: Das relações [9b] vem que: 
 
Exemplo 2 Calcular a série de Fourier do trem de pulsos de amplitude A e período T 
da figura 8 a seguir. 
Figura 8 
 
Solução: Das relações [9a] vem que: 
 
 
 
Portanto, escrevendo f(t) em termos dos coeficientes an e bn vem que: 
 
 
 
 
 
 
)](sen)([sen
2
)()cos()sen(.1)()cos()(1 22
2
0
1 αβ
pi
ωωω
pi
ωωω
pi
β
α
pi
−−−−============ ∫∫∫∫∫∫∫∫
A
tdttAtdttfa
(((( )))) 


 −−−−
++++−−−−============ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 2
)2sen()2sen(
2
)()sen()sen()()sen()(1
2
0
1
βα
αβ
pi
ωωω
pi
ωωω
pi
β
α
pi A
tdttAtdttfb
T
T1
A
t
f(t)
)]1[sen(
.
2)cos(.2)cos()(2
1
0
0
0
Tn
Tn
AdttnA
T
dttntf
T
a
TTt
t
n ωωω ∫∫ ===
+
)]1cos(1[
.
2)sen(.2)sen()(2
1
0
0
0
Tn
Tn
AdttnA
T
dttntf
T
b
TTt
t
n ωωω −=== ∫∫
+
T
TAdtA
T
dttf
T
a
TTt
t
1.
.
1).(1
2
1
0
0
0
0
∫∫ ===
+
[ ]∑
∞
=
−++=
1
)sen()]1cos(1[)cos()1sen(
.
2
2
1.)(
n
tnTntnTn
Tn
ATA
tf ωωωω
 11 
4. A SÉRIE DE FOURIER, O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E O CÁLCU-
LO FASORIAL. 
 
O principal conceito que se pode inferir da série de Fourier trigonométrica aplicada na 
análise de circuitos lineares que possuem geradores de tensão e/ou corrente com formas 
de ondas periódicas não senoidais, caracteriza-se pelos seguintes pontos: 
 
a) O gerador de forma de onda não senoidal pode ser substituído por uma soma de 
geradores senoidais com amplitudes e freqüências dos respectivos harmônicos 
da série de Fourier de sua forma de onda periódica, além de um gerador constan-
te (corrente contínua) com amplitude correspondente ao valor médio da forma 
de onda. 
b) Se o circuito for linear pode-se aplicar o princípio da superposição, isto é, a res-
posta do circuito é a soma das respostas de cada termo (a cada gerador) da série 
de Fourier. 
c) Se estivermos interessados apenas na resposta no regime permanente, pode-se 
utilizar a análise fasorial para se encontrar as respostas de cada termo (de cada 
gerador) senoidal (e/ou cossenoidal) da série de Fourier. Neste caso, facilita-se o 
trabalho se a série estiver escrita em sua forma compacta, isto é, ou somente em 
termos de seno ou de cosseno (ver item 2). 
 
 
 
Figura 8 - Ilustração do Princípio da Superposição 
 
REDE REDE
 ω0000
REDE
i0(t)
 ω1111
REDE
i1(t)
 ωn
REDE
in(t)
i(t)
i(t)
Fonte Original Fontes Equivalentes Superposição
∑
∞
=
=0n
(t)nii(t)
 12 
Vf(t)
Vf
o
n
te
 
=
 
Vc
ar
ga
R
L VL
VR
i
ωωωωt
0 2pipipipipi/2pi/2pi/2pi/2 pipipipi
300
Cosseno
 Exemplo 3 Suponha um gerador de onda quadrada, de amplitude A e freqüência f 
Hertz (ou ω=2pi.f rad/s) alimentado uma carga RL, conforme a figura 9 abaixo. Deseja-
se determinar a corrente de regime permanente do circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9 - Circuito RL série 
 
 
 
 
 
A série de Fourier da função vf(t), com forma de onda quadrada, é dada por: 
 
( ) ( ) ímpar .sen4
1
n
n
tnA
tv
n
f ∑
∞
=
⋅





=
ω
pi
 
 
A solução será dada pela série de Fourier da corrente, onde cada harmônico de corrente 
pode ser calculado a partir de cada harmônico de tensão, dividindo-se o fasor tensão 
pela impedância calculada na freqüência do respectivo harmônico. O fasor corrente de 
cada harmônico é dado por: 
 
 
 ( )
( ) ( )RLnLnR
n
A
Z
V
I
nn
nn
nn
.arctan.
0.4
22
0
ωω
pi
φ
θ
ϕ
+
== 
 
Portanto a corrente do circuito é dada pela seguinte série de Fourier: 
 
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))(((( ))))RLntnLnRn
A
ti .arctan.sen
..
14
22
ωω
ωpi
−−−−
++++
⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑ 
 
Exemplo 4 A onda de tensão da figura a seguir é aplicada a um circuito série RL com R 
igual a 2000 Ω e L igual a 10 H. Achar a tensão no resistor empregando a série trigo-
nométrica de Fourier. 
 
 
 
 Figura 10 - Forma da tensão 
produzida por um retificador de 
meia onda. 
 
 
 13 
Solução: A onda aplicada possui simetria par, portanto, contém apenas termos em cos-
seno, cujo os coeficientes são obtidos pela integração: 
 
 
cos(npi/2) é -1 quando n = 2, 6, 10, ... é +1 quando n = 4, 8, 12, ... 
cos(npi/2) é 0 quando n é ímpar 
 
Para n igual a 1 a expressão é indeterminada e deve ser calculada separadamente. 
O valor de a0/2, que é o valor médio da função é dado por: 
 
 
Assim, a série de Fourier da onda de tensão aplicada ao circuito RL série é dada por: 
 
 
A impedância total do circuito série é Z = R + j(n.ωL) e deve ser calculada para cada 
harmônico na expressão da tensão v. Os resultados são mostrados na tabela abaixo. 
 
n n.ω R n.ωL |Z| θ 
0 
1 
2 
4 
6 
0 
377 
754 
1508 
2262 
2k 
2k 
2k 
2k 
2k 
0 
3,77k 
7,54k 
15,08k 
22,62k 
2k 
4,26k 
7,78k 
15,2k 
22,6k 
0o 
62o 
75,1o 
82,45o 
84,92o 
 
Calculando-se os coeficientes para a série da corrente (observando os ângulos de atra-
so), temos: 
 
 n = 0 ⇒ 
k
I
2
/300
0
pi
= 
 
 
 n = 1 ⇒ )62cos(
26,4
2/300
1
o
−= t
k
I ω 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )2/cos
)1(
600
..cos.cos.3001 2
2/
2/
pi
pi
ωωω
pi
pi
pi
n
n
tdtntan ⋅
−
=⋅= ∫
−
( ) ( )
2
300
2
)2sen(
2
300
.cos.3001
2/
2/
2/
2/
2
1 =



+⋅=⋅=
−
−
∫
pi
pi
pi
pi
ωω
pi
ωω
pi
tt
tdta
[ ]
pi
=ω
pi
=ωω⋅
pi
= ∫
pi
pi−
pi
pi−
300
2
300300
2
1
2
2
2
2
2
0
/
/
/
/)tsen()t(d).tcos(.
a






−+−++⋅= ...)6cos(
35
2)4cos(
15
2)2cos(
3
2)cos(
2
1300 ttttv ωωωωpi
pi
 14 
 n = 2 ⇒ )1,752cos(
78,7
3/600
2
o
−= t
k
I ωpi etc 
A série da corrente é, então: 
 
 
Fazendo-se o produto da corrente i pelo resistor de 2kvem que a tensão no resistor é: 
 
 
VALOR MÉDIO E RMS DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA 
 
4.1. VALOR MÉDIO 
 
O valor médio de uma função periódica, conforme já visto, é dado pela equação abaixo: 
 
∫
+
==
Tt
tmédio
dttf
T
Ff 0
0
).(10 [17] 
 
Representando-se f(t) por sua expansão em série de Fourier, tem-se: 
 
( )
2
...sen.
1 0
0
1
00
0
0
a
cdttncc
T
F
Tt
t
n
nn ==








++⋅= ∫ ∑
+ ∞
=
θω [18] 
 
4.2. VALOR RMS 
 
O valor médio de uma função periódica, conforme já visto, é dado pela equação abaixo: 
 
∫
+
==
Tt
tRRMS
dttf
T
Ff 0
0
.)(1 2 [19] 
 
Representando-se f(t) por sua expansão em série de Fourier, tem-se: 
 
( ) dttncc
T
F
Tt
t
n
nnR ...sen.
1
2
1
0
0
0∫ ∑
+ ∞
= 







++⋅= θω [20] 
 
A integração, em um período, de termos em seno, ou produtos de termos em seno com 
freqüências distintas é nula. Portanto, a equação anterior se reduz a: 
 
...)92,846cos()6,22(35
600
)45,824cos()2,15(15
600)1,752cos()78,7(3
600)62cos(
26,4)2(
300
2
300
−−+
+−−−+−+=
o
ooo
t
k
t
k
t
k
t
kk
i
ω
pi
ω
pi
ω
pi
ω
pi
...)92,846cos(483,0
)45,824cos(67,1)1,752cos(4,16)62cos(4,705,95
−−−−−−−−++++
++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−++++====
o
ooo
t
tttvR
ωωωω
ωωωωωωωωωωωω
 15 
∑∑
∞
=
∞
=






+=






+=
1
2
2
0
1
2
2
0 22
..
1
n
n
n
n
R
c
c
c
TTc
T
F [21] 
Observa-se, portanto, que o valor rms consiste na raiz quadrada da soma dos quadrados 
dos valores rms dos harmônicos individuais mais o quadrado do valor médio da função 
periódica. 
 
5. ONDULAÇÃO E FATOR DE ONDULAÇÃO DE TENSÕES E CORRENTES 
PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS. 
 
Considere um dipolo de um circuito linear a parâmetros concentrados som uma tensão e 
corrente periódicas não senoidais, descritas pelas séries de Fourier abaixo: 
 
( )
( )∑
∑
∞
=
∞
=
++=
++=
1
1
.sen
.sen
n
inpnDC
n
vnpnDC
tnIIi
tnVVv
θω
θω
 [22] 
 
onde: VDC – valor da componente contínua da tensão (valor médio da tensão) 
 Vpn – amplitude do harmônico de ordem n da tensão (valor de pico) 
 θvn – ângulo de fase do harmônico de ordem n da tensão 
 IDC – valor da componente contínua da corrente (valor médio da corrente) 
 Ipn – amplitude do harmônico de ordem n da corrente (valor de pico) 
 θin – ângulo de fase do harmônico de ordem n da corrente 
 
 
A partir dos resultados do item 5.2, pode-se determinar os valores rms (eficazes) da ten-
são e da corrente através das equações abaixo: 
 
 
∑
∑
∞
=
∞
=
+=
+=
1
22
1
22
n
nDCR
n
nDCR
III
VVV
 [23] 
 
 
onde: 2pnn VV = é o valor rms (eficaz) do harmônico de ordem n da tensão 
 2pnn II = é o valor rms (eficaz) do harmônico de ordem n da corrente 
 
 
Os somatórios dentro das equações [23], referem-se à soma dos quadrados dos valores 
rms (eficazes) dos componentes harmônicos da tensão e da corrente. Como os compo-
nentes harmônicos são senóides e, portanto possuem médias nulas, as somatórias refe-
rem-se, portanto, ao quadrado do valor rms da componente CA das formas de onda, 
 16 
denominada de ondulação. As componentes CA (ou de ondulação) da tensão e da cor-
rente são, portanto, definidas pelas equações a seguir: 
 
22
1
2
22
1
2
DCR
n
nCA
DCR
n
nCA
IIII
VVVV
−==
−==
∑
∑
∞
=
∞
=
 [24] 
 
A partir das equações [24], define-se os fatores de ondulação da tensão e da corrente, 
conforme as equações abaixo: 
 
%100% spercentuai valores em ou, 
%100% spercentuai valores em ou, 
••••========
••••========
ii
DC
CA
i
vv
DC
CA
v
rr
I
I
r
rr
V
V
r
 [25] 
 
onde: rv é fator de ondulação de tensão, e ri é o fator de ondulação de corrente. 
 
Observe que para uma tensão (ou corrente) com forma de onda puramente alternada, o 
fator de ondulação é infinito, e para uma tensão (ou corrente) com forma de onda cons-
tante, o fator de ondulação é nulo. 
 
6. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA EM CIRCUITOS LINEARES COM 
CORRENTES E TENSÕES PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS. 
 
Considere um dipolo de um circuito linear a parâmetros concentrados som uma tensão e 
corrente periódicas não senoidais, descritas pelas séries de Fourier das equações [22]. 
 
A potência instantânea nos terminais deste dipolo será dada pelo produto v.i. A potência 
média (ou eficaz) deste dipolo será, portanto: 
 
( ) ( )∫ ∑∑
∫∫
+ ∞
=
∞
=
++






++





++=
==
Tt
t
n
inpnDC
n
vnpnDC
Tt
t
Tt
t
dttnIItnVV
T
P
dtiv
T
dtp
T
P
0
0
0
0
0
0
11
.sen..sen
1
..
1
.
1
θωθω
 [26] 
 
Tendo em vista que os termos em seno e os termos com produto de senos de freqüências 
distintas possuem integrações nulas em um período, tem-se o seguinte resultado para a 
equação anterior: 
 17 
( ) ( )
 onde cos..
cos..cos
2
.
.
1
11
invnnn
n
nnDCDC
invn
n
nnDCDCinvn
n
pnpn
DCDC
IVIVP
IVIV
IV
IVP
θθϕϕ
θθθθ
−=+=
−+=−+=
∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
 [27] 
A equação [26] mostra que a potência média (eficaz) total é a soma das potências mé-
dias obtidas a partir da interação de correntes e tensões com a mesma freqüência; cor-
rentes e tensões com freqüências diferentes não interagem para produzir potência média 
(eficaz). 
 
Da mesma forma que é definida para circuitos com tensões e correntes senoidais, defi-
ne-se também a potência aparente para circuitos com tensões e correntes periódicas não 
senoidais como sendo o produto da tensão rms (eficaz), com a corrente rms (eficaz), 
conforme a equação abaixo: 
 
∑∑
∞
=
∞
=
+⋅+=⋅=
1
22
1
22
n
nDC
n
nDCRR IIVVIVS [28] 
 
Convém chamar atenção aqui que o termo potência eficaz, refere-se à potência média, 
isto é, o valor médio da potência instantânea, ao passo que os termos tensão e corrente 
eficazes referem-se aos valores rms da tensão e da corrente. 
 
A partir das equações [27] e [28], determina-se o fator de potência, que é definido como 
sendo a relação entre a potência média (eficaz) e a potência aparente, conforme a equa-
ção abaixo: 
 
∑∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
+⋅+
+
=
==
1
22
1
22
1
cos..
.
n
nDC
n
nDC
n
n
nnDCDC
RR
IIVV
IVIV
fp
IV
P
S
Pfp
ϕ
 [29] 
 
Observe da equação [29], que quando as formas de onda de corrente e tensão não são 
senoidais, o fator de potência não pode ser igualado a cos(ϕ), onde ϕ é o ângulo da im-
pedância do circuito. 
 
6.1. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA QUANDO UMA DAS FORMAS DE 
ONDA (TENSÃO OU CORRENTE) FOR SENOIDAL. 
 
É muito comum em circuitos de eletrônica de potência ocorrer que uma da formas de 
onda, geralmente a tensão, de um determinado dipolo seja senoidal, enquanto que a cor-
rente do mesmo é periódica, mas não senoidal. Neste caso, as equações dos itens anteri-
ores podem ser simplificadas conforme apresentado a seguir. 
 18 
Seja um dipolo, cujas formas de onda de tensão e corrente possam ser representadas 
pelas equações abaixo: 
( )
( )∑
∞
=
++=
+=
1
11
.sen
.sen
n
inpnDC
vp
tnIIi
tVv
θω
θω
 [30] 
Então, o cálculo da potência média (equações [26] e [27]) se reduz a: 
 
111 cos. ϕIVP = [31] 
 
Logo, pode-se observar que apenas o componente de primeiro harmônicoda corrente é 
responsável pela potência média (eficaz). Os demais componentes, tanto o DC, quanto 
os harmônicos não produzem potência média. 
 
A potência aparente do dipolo será dada então por: 
 
∑
∞
=
+⋅=⋅=
1
22
11
n
nR IIVIVS DC [32] 
 
O fator de potência, neste caso, é determinado pela equação abaixo: 
 
( ) ( )
( )senoidais correntes para 11
cos
coscos.
1
22
1
1
1
22
11
1
111
=≤
+
=
⋅=
+
=
⋅
==
∑
∑
∞
=
∞
=
δδ
ϕδϕϕ
n
n
n
n
R
II
I
II
I
IV
IV
S
Pfp
DC
DC
 [33] 
 
Quando a forma de onda da corrente possuir componente DC (médio) nulo, as equações 
da potência aparente e do fator de potência podem ser reescritas conforme a seguir: 
( ) ( )
Harmônico Distorção de Fator :FDH 1
cos
coscos.
1
2
1
1
1
2
11
1
111
1
2
11
≤=
⋅==
⋅
⋅
==
⋅=⋅=
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
n
n
n
n
R
n
nR
I
IFDH
FDH
I
I
IV
IV
S
Pfp
IVIVS
ϕϕϕ [34] 
 19 
 
Pode-se, então, desenvolver-se a expressão da potência aparente. 
 
( ) 221
2
22
1
2
11
2
. DSIVIVS
n
n +=





⋅+= ∑
∞
=
 [35] 
 
onde: S1 é a potência aparente de primeiro harmônico 
 D é denominada de potência de distorção harmônico 
 
A potência aparente S1 é a potência aparente para formas de onda senoidais e pode ser 
escrita em termos da potência média (ativa ou eficaz) e da potência reativa, ambas de 
primeiro harmônico. 
 
( )
( )1111
1111
2
1
2
1
2
1
sen.
cos.
ϕ
ϕ
IVQ
IVP
QPS
=
=
+=
 [36] 
 
Logo, a equação [35] pode ser reescrita conforme a equação [37], mostrando que a po-
tência aparente total é composta de um componente de potência ativa, devido ao primei-
ro harmônico, um componente de potência reativa devido ao primeiro harmônico, e um 
componente de distorção harmônica, devidos aos demais harmônicos de corrente. 
 
22
1
2
1
2 DQPS ++= [37] 
 
A equação [37] define um tetraedro de potências, ao invés de um triângulo de potências 
como é o caso de circuitos com formas de onda puramente senoidais. 
 
 
D
S
S1
P1
Q1
 
 
 
 
 
 
 20 
A
-A
ωωωωt
0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi
A
ωωωωt
0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi
A
-A
ωωωωt
0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi
Série de Fourier de algumas formas de onda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------- 




++++++++++++++++==== ...ωt)(ωt)(ωt)(t(
pi
A
tf 7sen
7
15sen
5
13sen
3
1)sen4)( ωω








++++++++++++++++++++==== ...)7cos(2)7(
1)5cos(2)5(
1)3cos(2)3(
1)cos(2
4
2
)( ttttAAtf ωωωω
pi
ω




++++++++−−−−++++−−−−==== ...)5sen(
5
1)4sen(
4
1)3sen(
3
1)2sen(
2
1)sen(2)( tttttAtf ωωωωω
pi
ω
 21 
A
ωωωωt
0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi
meio ciclo
de senóide
A
ωωωωt
0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi−2pi−2pi−2pi−2pi 3pi3pi3pi3pi
2αααα
αααα
 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
ωωωωt
0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi
meio ciclo
de senóide




−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−++++==== ...)8cos(
97
2)6cos(
75
2)4cos(
53
2)2cos(
31
2)sen(
2
1)( tttttAtf ωωωωωpi
pi
ω




++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−==== ...)8cos(
97
2)6cos(
75
2)4cos(
53
2)2cos(
31
212)( ttttAtf ωωωω
pi
ω




++++−−−−++++−−−−−−−−==== ...
4
4cos4sen
3
3cos3sen
2
2cos2sen
1
cossen22)( αααααααα
pipi
α
ω
AA
tf
 22 
A
ωωωωt0 2pi2pi2pi2pi−2pi−2pi−2pi−2pi−4pi−4pi−4pi−4pi
 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
 
A
ωωωωt0 2pi2pi2pi2pi−2pi−2pi−2pi−2pi 4pi4pi4pi4pi




++++++++++++++++++++==== )...5sen(
5
1)4sen(
4
1)3sen(
3
1)2sen(
2
1)sen(
2
)( tttttAAtf ωωωωω
pi
ω




++++++++++++++++−−−−==== )...5sen(
5
1)4sen(
4
1)3sen(
3
1)2sen(
2
1)sen(
2
)( tttttAAtf ωωωωω
pi
ω
A
ωωωωt
0
pipipipi
2pi2pi2pi2pi
−pi−pi−pi−pi
−2pi−2pi−2pi−2pi
-A




++++++++++++++++++++−−−−
++++








++++++++++++++++++++====
)...11sen(
11
1)9sen(
9
1)7cos(
7
1)5cos(
5
1)3cos(
3
1)sen(2
...)9sen(2)9(
1)7cos(2)7(
1)5cos(2)5(
1)3cos(2)3(
1)cos(2
4)(
tttttt
A
ttttt
A
tf
ωωωωωω
pi
ωωωωω
pi
ω
 
 23 
(pi+δ) / 2(pi+δ) / 2(pi+δ) / 2(pi+δ) / 2
A
ωωωωt0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi−pi−pi−pi−pi
-A
δδδδ
(pi−δ) / 2(pi−δ) / 2(pi−δ) / 2(pi−δ) / 2
 
 
------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
αααα
A
ωωωωt
0 pipipipi
2pi2pi2pi2pi
−pi−pi−pi−pi
−2pi−2pi−2pi−2pi
-A
ββββ
senóide
[[[[ ]]]]
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
++++−−−−++++
++++
−−−−
−−−−−−−−−−−−
⋅⋅⋅⋅++++
++++∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
++++
++++−−−−++++
++++
−−−−
−−−−−−−−−−−−
⋅⋅⋅⋅++++
++++⋅⋅⋅⋅
−−−−
++++−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++−−−−====
































2
).sen(
)1(
])1sen[(])1sen[(
)1(
])1sen[(])1sen[(
2
2
).cos(
)1(
])1cos[(])1cos[(
)1(
])1cos[(])1cos[(
2
)sen(
2
)2sen()2sen()(
2
)cos()(2sen)(2sen
2
)cos()cos(
2
)(
n
tn
n
nn
n
nnA
n
tn
n
nn
n
nnA
t
A
t
AA
tf
ω
βααβ
pi
ω
βαβα
pi
ω
βα
αβ
pi
ωαβ
pi
βα
pi
ω
 
 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
 






++++




++++




++++




++++





⋅⋅⋅⋅==== ...7sen2
7
sen5sen2
5
sen3sen2
3
sensen2sen
4)( tttt
n
A
tf ωδωδωδωδ
pi
ω
 24 
Forma de onda de um inversor trifásico 
(Seis pulsos - 3 semicondutores em condução simultânea) 
 
 
 
 
 Série de Fourier 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma de onda de um inversor trifásico 
(Seispulsos - 2 semicondutores em condução simultânea) 
V
pipipipi
2pi2pi2pi2pi
3pi3pi3pi3pi 4pi4pi4pi4pi
-V
ωωωωt
2V/3
V/3
-2V/3
-V/3
ABV
ACV
CAV
ANV
BNV
CNV












++++⋅⋅⋅⋅





⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
6
sen
6
cos
4
1
pi
ω
pi
pi
tn
n
n
V
n
ABV
(((( ))))tnn
n
V
n
ω
pi
pi
sen
6
cos
3
4
1
⋅⋅⋅⋅





⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
ANV
 25 
 
 
 
 
 
 Série de Fourier 
 
 
V
pipipipi
2pi2pi2pi2pi
3pi3pi3pi3pi 4pi4pi4pi4pi
-V
ωωωωt
V/2
ABV
ANV
BNV
CNV
-V/2












++++⋅⋅⋅⋅





⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
6
sen
6
cos
2
1
pi
ω
pi
pi
tn
n
n
V
n
ANV












++++⋅⋅⋅⋅





⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑
∞∞∞∞
====
3
sen
6
cos
34
1
pi
ω
pi
pi
tn
n
n
V
n
ABV