Lista Determinantes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIAˆNGULO MINEIRO
3a Lista de A´lgebra Linear
Prof.: Danilo Adrian Marques
1) Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
a)
(
3 1
4 3
)
b)
 1 2 22 1 1
1 1 3

c)
 2 4 6−1 2 −3
3 5 2

d)

2 1 2 1
1 0 0 0
3 3 0 4
4 −1 2 −4

e)

3 0 3 1
1 0 1 2
4 2 1 2
3 1 1 −1

f)

1 2 3 −4 2
0 1 0 0 0
0 4 0 2 1
0 −5 5 1 4
0 1 0 −1 2

2) Resolva as equac¸o˜es:
a)
∣∣∣∣ 2x 31 9
∣∣∣∣ = 6 b)
∣∣∣∣∣∣
12− x 1 1
18− 2x 3 2
15− 2x 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 10 c)
∣∣∣∣∣∣
2 0 1
x 2 1
3 9 6
∣∣∣∣∣∣ = 0 d)
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 x x2
1 4 9
∣∣∣∣∣∣ = 0
3) Desenvolver o determinante abaixo, pelos elementos da 2a coluna:
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 a 1 0
1 b −1 1
2 c 0 −1
0 d 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
4) Calcular os determinantes, com o aux´ılio da regra de Chio´.
a)
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
a b c
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0 4
2 −3 5 1
1 6 3 −1
3 2 1 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
5) Encontre o valor de x para o qual∣∣∣∣ x −13 1− x
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 0 −3
2 x −6
1 3 x− 5
∣∣∣∣∣∣
6) Encontre o valor de z para o qual∣∣∣∣ z −13 −1− z
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 0 −3
2 z −6
1 3 z − 5
∣∣∣∣∣∣
7) Mostre que as matrizes (
a b
0 c
)
e
(
d e
0 f
)
comutam se, e somente se, ∣∣∣∣ b a− ce d− f
∣∣∣∣ = 0
1
8) Seja A uma matriz invers´ıvel tal que A2− 3A+ I = 0, onde I e´ a matriz identidade e 0 a matriz
nula.
a) Mostre que A−1 = 3I − A.
b) Deˆ um exemplo de uma matriz 2× 2 que tenha a mesma propriedade da matriz A.
9) Se P possui ordem n× 1 e P tP = I1, definimos
H = I − 2PP t,
como a matriz de Householder associada a P . Mostre que se H e´ uma matriz de Householder,
enta˜o:
a) H e´ sime´trica.
b) H e´ sua pro´pria inversa.
10) (ITA) Sejam A, B e C matrizes reais de ordem 3, satisfazendo a`s seguintes relac¸o˜es: A · B = C
e B = 2A. Se o determinante de C e´ 32, determine o valor do mo´dulo do determinante de A.
11) (ITA) Sejam A, B e C matrizes reais, quadradas de ordem n e na˜o-nulas. Por 0 denotamos a
matriz nula de ordem n. Se AB = AC, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmac¸o˜es
a seguir:
a) A2 6= 0.
b) detB 6= 0.
c) B = C.
d) det(B − C) = 0.
12) (ITA) Seja Q uma matriz 4 × 4 tal que detQ 6= 0 e Q3 + 2Q2 = 0, onde 0 denotamos a matriz
nula de ordem 4. Determine o valor do detQ.
13) (ITA) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante e´ igual a 4, qual o valor
de x na equac¸a˜o det(2A · At) = 4x?
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