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Introdução a Ciências Atuariais – Notas de aula 2 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Esse método consiste em construir tabelas que auxiliam no cálculo de benefícios atuariais no ramo vida (como seguro de vida e previdência) As tabelas de comutação são compostas por 7 colunas: Idade, Dx, Nx, Sx, Cx, Mx e Rx. Veremos, inicialmente, apenas 2. Uma tábua de comutação é constituída a partir de dois elementos: 1) tábua de sobrevivência; 2) taxa de juros (ou fator de desconto) 3 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Tábua de sobrevivência. As tábuas de sobrevivência são constituídas das colunas: Idade, qx, px, dx e lx 4 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Tábua de sobrevivência. qx: probabilidade de morte de uma pessoa com idade x antes de completar a idade de x + 1 anos. px = 1 – qx; é a probabilidade de sobrevivência de uma pessoa com idade x antes de completar a idade de x + 1 (Variações) nqx : é a probabilidade de uma pessoa com idade x morrer antes de completar a idade de x + n anos. npx: é a probabilidade que uma pessoa com idade x, sobreviva pelo menos mais n anos. 5 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Tábua de sobrevivência. dx é o número de pessoas que faleceram entre a idade x e x + 1 lx é o numero (hipotético) de pessoas vivas com idade x 6 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Tábua de sobrevivência. Exemplo: Ver tábua AT-2000 em planilha externa. 7 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Coluna Dx Dx é o valor presente, à idade zero, do total de R$ 1,00 pago a cada pessoa da coorte de l0 = 100.000 pessoas que chegam vivas à idade x, isto é, Dx = lx* vx 8 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Assim, D0 = v0 * l0 D1 = v1 * l1 … Dw = vw * lw 9 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Exemplo de cálculo na planilha 10 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Coluna Nx Nx é o valor presente do total gasto para pagar uma anuidade vitalícia de R$ 1,00 por ano para a coorte da tábua de vida. Pagamentos são feitos a partir da idade x. Isto é: Nx = (v x * lx) + (vx+1 * lx+1) + (vx+2 * lx+2) … + (vw * lw) Nx = Dx + Dx+1 + … + Dw 11 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Qual o valor presente, à idade zero, com i= 5% e tabela AT-2000, de anuidade que paga R$ 1,00 por ano a cada membro da coorte a partir de x = 65 ? Resp. Ver na planilha Veja que, na prática, constrói-se a coluna na ordem reversa. 12 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO A vantagem das funções de comutação é a facilidade no cálculo de produtos atuariais. FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Estamos trabalhando com o tema previdência a bastante tempo. A pergunta é: quanto custa um plano de previdência para uma pessoa de idade x? FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Para um aposentado no Brasil, com 65 anos, qual deveria ser o valor atual em R$ que seria o suficiente para pagar, em média, uma aposentadoria para essa pessoa até seu falecimento? Perceba que, nessas contas, estaremos considerando que o fundo irá render à uma taxa de i% ao ano. 15 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Renda vitalícia antecipada: é uma renda (aposentadoria) que é paga ao beneficiário até o momento de sua morte e que deve ser paga imediatamente a este beneficiário. Utilizando as funções de comutação, podemos calcular o valor dessa anuidade da seguinte forma: Nx/Dx FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO No mundo atuarial, a notação é muito importante e muito específica. A notação que representa uma anuidade (aposentadoria) para uma pessoa de x anos de idade é denotada por: a¨x= N x Dx FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Vejamos, na tabela esse cálculo. 18 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Exemplo 1: Quanto é necessário ter hoje para pagar uma aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para uma pessoa de 30 anos? (considerando uma taxa de retorno real de 5% a.a.) Resp. a¨30= N 30 D30 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Exemplo 2: Quanto é necessário ter hoje para pagar uma aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para uma pessoa de 65 anos? (considerando uma taxa de retorno real de 5% a.a.) Resp. a¨65= N65 D65 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Exemplo 3: Quanto é necessário ter hoje para pagar uma aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para uma pessoa de 65 anos? (considerando uma taxa de retorno real de 2% a.a.) Resp. ??? FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO O cálculo de uma anuidade vitalícia antecipada para uma pessoa de 65 anos é idêntico ao cálculo do exemplo anterior. No entanto, as comutações devem ser calculadas novamente com a nova taxa de juros. No Excel, esse cálculo é facilitado. Vejamos: FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Cálculo em planilha externa. 23 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Renda vitalícia postecipada: é uma renda (aposentadoria) que é paga ao beneficiário até o momento de sua morte e que deve ser paga no tempo t seguinte (no próximo ano, trimestre, mês). Nx+1/Dx FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Notação atuarial: ax= N x+1 D x FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Exemplo 4: Quanto é necessário ter hoje para pagar uma aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para uma pessoa de 30 anos começando a pagar a primeira prestação no próximo ano? (considerando uma taxa de retorno real de 5% a.a.) Resp. a65= N66 D65 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Esses dois produtos atuariais parecem não ter aplicações práticas. Afinal, pode parecer pouco racional comprar um plano de previdência em uma única parcela no momento da aposentadoria. No entanto, os planos CD seguem exatamente essa lógica. FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO É possível, também, calcular o quanto vale hoje uma anuidade que será paga daqui a 30 anos. Esse seria o caso de uma pessoa de 35 anos que trabalhará por mais 30 anos e se aposentará aos 65. Qual deverá ser o valor atual do montante de dinheiro suficiente para pagar esse benefício? 28 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Renda Vitalícia diferida antecipada: é uma renda paga periodicamente (anualmente, mensalmente) até a morte do beneficiário, mas começará a ser paga após um período de “m” anos de diferimento. (Nx+m/Dx+m)*(Dx+m/Dx) FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Notação atuarial: em que: é conhecido como fator de desconto atuarial. m|a¨x= N x+m D x+m D x+m D x = N x+m D x D x+m D x FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Exemplo 5: Quanto é necessário ter hoje para pagar uma aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para uma pessoa que hoje tem 30 anos, mas que começará a ser pago quando essa pessoa alcançar 65 anos? (considerando uma taxa de retorno real de 5% a.a.) Resp. 35 \lline a¨30= N 65 D65 D65 D30 = N 65 D30 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Outro tipo de anuidade atuarial comercializável é a anuidade que é paga até a morte do participante ou até um período de cobertura, o que ocorrer primeiro. 32 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Renda temporária antecipada: é uma renda que paga periodicamente o benefício por um período limitado de tempo (digamos n anos) (Nx - Nx+n)/Dx FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Notação atuarial: a¨x : n¯|= (N x−N x+n) D x FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Vejamos alguns exemplos utilizando a planilha em anexo. 35 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO As funções de comutação têm “escondido” uma teoria estatística que ainda não aprendemos. Estamos fazendo cálculos de Esperanças Matemáticas (que é será apresentada em cursos do BI) de uma forma alternativa. 36 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Sugestão de exercícios (Considere sempre a tábua AT-2000 e a meta atuarial igual a 6% a.a.): Exercício 01: Quanto custa uma aposentadoria (desconsidere benefícios de risco) que garantirá um benefício de R$ 130.000 pra você até o seu falecimento caso o primeiro pagamento seja feito imediatamente? E se o pagamento começar no próximo ano? Exercício 02: Considere que seu benefício anual seja de R$ 12.000 anuais (valor atual).Seguindo as atuais regras previdenciárias: quantos anos ainda falta para sua aposentadoria? Qual o valor, hoje, do custo total com esse benefício? 37 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Exercício 03. Uma pessoa compra um plano CV e forma, enquanto ativo, um fundo no valor de R$ 1.000.000. Aos 65 anos, essa pessoa decide se aposentar e solicita à Instituição Financeira que calcule o benefício vitalício mensal que deverá começar a ser pago imediatamente. Qual o valor do benefício desse participante? 38 MENSALIDADES Os planos de previdência, normalmente, oferecem pagamentos mensais aos seus participantes. A teoria apresentada até agora nos permite calcular apenas benefícios anuais. Como fazer para mensurarmos esses produtos atuariais para essa realidade? 39 MENSALIDADES Os planos de previdência, normalmente, oferecem pagamentos mensais aos seus participantes. A teoria apresentada até agora nos permite calcular apenas benefícios anuais. Como fazer para mensurarmos esses produtos atuariais para essa realidade? 40 DESIGUALDADE DE WOOLLHOUSE Vejamos o que diz a desigualdade de Woolhouse disponível no link: (http://www.macs.hw.ac.uk/~angus/papers/eas _offprints/eul_mcl.pdf) a¨ x :n | (m) =a¨ x :n |− m−1 2m ∗(1−vn n p x) 41 MENSALIDADES Agora vejamos, no da anuidade postecipada: E o caso particular de mensalidades (12 pagamentos no ano) Fonte: Cálculo Atuarial Aplicado, páginas 128 e 131. ax (m)=ax+ m−1 2m ax (12)=ax+ 11 24 42 FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO Referências Foi utilizado como importante (mas não única) referência o livro: • CORDEIRO FILHO, Antonio. Cálculo atuarial aplicado: teoria e aplicações, exercícios resolvidos e propostos. São Paulo: Atlas, 2009. 280 p., il. Referências adicionais no programa de ensino. 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