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Aula 06 comutação

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Introdução a Ciências 
Atuariais – Notas de aula 
2
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Esse método consiste em construir tabelas que auxiliam no cálculo de 
benefícios atuariais no ramo vida (como seguro de vida e 
previdência)
As tabelas de comutação são compostas por 7 colunas:
Idade, Dx, Nx, Sx, Cx, Mx e Rx. Veremos, inicialmente, apenas 2.
 Uma tábua de comutação é constituída a partir de dois elementos:
1) tábua de sobrevivência;
2) taxa de juros (ou fator de desconto)
3
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Tábua de sobrevivência.
As tábuas de sobrevivência são constituídas das 
colunas:
Idade, qx, px, dx e lx
4
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Tábua de sobrevivência.
qx: probabilidade de morte de uma pessoa com idade x antes de 
completar a idade de x + 1 anos.
px = 1 – qx; é a probabilidade de sobrevivência de uma pessoa com 
idade x antes de completar a idade de x + 1
(Variações)
nqx : é a probabilidade de uma pessoa com idade x morrer antes de 
completar a idade de x + n anos.
npx: é a probabilidade que uma pessoa com idade x, sobreviva pelo 
menos mais n anos.
5
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Tábua de sobrevivência.
dx é o número de pessoas que faleceram entre a 
idade x e x + 1
lx é o numero (hipotético) de pessoas vivas com 
idade x
6
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Tábua de sobrevivência.
Exemplo:
Ver tábua AT-2000 em planilha externa.
7
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
 Coluna Dx
Dx é o valor presente, à idade zero, do total de 
R$ 1,00 pago a cada pessoa da coorte de l0 = 
100.000 pessoas que chegam vivas à idade x, 
isto é, 
Dx = lx* vx
8
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Assim, D0 = v0 * l0
 D1 = v1 * l1
 …
 Dw = vw * lw
9
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Exemplo de cálculo na planilha
10
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Coluna Nx
Nx é o valor presente do total gasto para pagar uma 
anuidade vitalícia de R$ 1,00 por ano para a coorte 
da tábua de vida. Pagamentos são feitos a partir da 
idade x. Isto é:
Nx = (v
x * lx) + (vx+1 * lx+1) + (vx+2 * lx+2) … + (vw * lw)
Nx = Dx + Dx+1 + … + Dw
11
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Qual o valor presente, à idade zero, com 
i= 5% e tabela AT-2000, de anuidade que paga R$ 
1,00 por ano a cada membro da coorte a partir de x 
= 65 ?
Resp. Ver na planilha 
Veja que, na prática, constrói-se a coluna na ordem 
reversa.
12
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
A vantagem das funções de comutação é a 
facilidade no cálculo de produtos atuariais.
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Estamos trabalhando com o tema previdência a 
bastante tempo. A pergunta é: quanto custa 
um plano de previdência para uma pessoa 
de idade x?
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Para um aposentado no Brasil, com 65 anos, 
qual deveria ser o valor atual em R$ que 
seria o suficiente para pagar, em média, 
uma aposentadoria para essa pessoa até 
seu falecimento? 
Perceba que, nessas contas, estaremos 
considerando que o fundo irá render à uma 
taxa de i% ao ano.
15
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Renda vitalícia antecipada: é uma renda 
(aposentadoria) que é paga ao beneficiário até o 
momento de sua morte e que deve ser paga 
imediatamente a este beneficiário. Utilizando as 
funções de comutação, podemos calcular o 
valor dessa anuidade da seguinte forma:
Nx/Dx
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
No mundo atuarial, a notação é muito 
importante e muito específica. A notação 
que representa uma anuidade 
(aposentadoria) para uma pessoa de x anos 
de idade é denotada por:
a¨x=
N x
Dx
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Vejamos, na tabela esse cálculo.
18
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Exemplo 1:
Quanto é necessário ter hoje para pagar uma 
aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para 
uma pessoa de 30 anos? (considerando uma 
taxa de retorno real de 5% a.a.)
Resp. 
a¨30=
N 30
D30
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Exemplo 2:
Quanto é necessário ter hoje para pagar uma 
aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para 
uma pessoa de 65 anos? (considerando uma 
taxa de retorno real de 5% a.a.)
Resp. 
a¨65=
N65
D65
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Exemplo 3:
Quanto é necessário ter hoje para pagar uma 
aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para 
uma pessoa de 65 anos? (considerando uma 
taxa de retorno real de 2% a.a.)
Resp. ???
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
O cálculo de uma anuidade vitalícia antecipada 
para uma pessoa de 65 anos é idêntico ao 
cálculo do exemplo anterior. No entanto, as 
comutações devem ser calculadas 
novamente com a nova taxa de juros.
No Excel, esse cálculo é facilitado. Vejamos:
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Cálculo em planilha externa.
23
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Renda vitalícia postecipada: é uma renda 
(aposentadoria) que é paga ao beneficiário até 
o momento de sua morte e que deve ser paga 
no tempo t seguinte (no próximo ano, 
trimestre, mês).
Nx+1/Dx
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Notação atuarial: 
ax=
N x+1
D x
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Exemplo 4:
Quanto é necessário ter hoje para pagar uma 
aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para 
uma pessoa de 30 anos começando a pagar a 
primeira prestação no próximo ano? 
(considerando uma taxa de retorno real de 5% 
a.a.)
Resp. a65=
N66
D65
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Esses dois produtos atuariais parecem não ter 
aplicações práticas. Afinal, pode parecer 
pouco racional comprar um plano de 
previdência em uma única parcela no 
momento da aposentadoria. No entanto, os 
planos CD seguem exatamente essa lógica.
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
É possível, também, calcular o quanto vale hoje 
uma anuidade que será paga daqui a 30 
anos. Esse seria o caso de uma pessoa de 
35 anos que trabalhará por mais 30 anos e 
se aposentará aos 65. Qual deverá ser o 
valor atual do montante de dinheiro 
suficiente para pagar esse benefício?
28
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Renda Vitalícia diferida antecipada: é uma 
renda paga periodicamente (anualmente, 
mensalmente) até a morte do beneficiário, 
mas começará a ser paga após um período de 
“m” anos de diferimento.
(Nx+m/Dx+m)*(Dx+m/Dx)
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Notação atuarial:
em que: é conhecido como fator de 
desconto atuarial.
m|a¨x=
N x+m
D x+m
D x+m
D x
=
N x+m
D x
D x+m
D x
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Exemplo 5:
Quanto é necessário ter hoje para pagar uma 
aposentadoria que paga R$ 1,00 ao ano para 
uma pessoa que hoje tem 30 anos, mas que 
começará a ser pago quando essa pessoa 
alcançar 65 anos? (considerando uma taxa de 
retorno real de 5% a.a.)
Resp. 
35 \lline a¨30=
N 65
D65
D65
D30
=
N 65
D30
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Outro tipo de anuidade atuarial comercializável 
é a anuidade que é paga até a morte do 
participante ou até um período de 
cobertura, o que ocorrer primeiro.
32
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Renda temporária antecipada: é uma renda 
que paga periodicamente o benefício por um 
período limitado de tempo (digamos n anos)
(Nx - Nx+n)/Dx
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Notação atuarial:
a¨x : n¯|=
(N x−N x+n)
D x
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Vejamos alguns exemplos utilizando a planilha 
em anexo.
35
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
As funções de comutação têm “escondido” uma 
teoria estatística que ainda não aprendemos. 
Estamos fazendo cálculos de Esperanças 
Matemáticas (que é será apresentada em 
cursos do BI) de uma forma alternativa.
36
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Sugestão de exercícios (Considere sempre a 
tábua AT-2000 e a meta atuarial igual a 6% 
a.a.):
Exercício 01: Quanto custa uma aposentadoria 
(desconsidere benefícios de risco) que 
garantirá um benefício de R$ 130.000 pra 
você até o seu falecimento caso o primeiro 
pagamento seja feito imediatamente?
E se o pagamento começar no próximo ano?
Exercício 02: Considere que seu benefício anual 
seja de R$ 12.000 anuais (valor atual).Seguindo as atuais regras previdenciárias: 
quantos anos ainda falta para sua 
aposentadoria? Qual o valor, hoje, do custo 
total com esse benefício?
37
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Exercício 03. Uma pessoa compra um plano CV 
e forma, enquanto ativo, um fundo no valor de 
R$ 1.000.000. Aos 65 anos, essa pessoa 
decide se aposentar e solicita à Instituição 
Financeira que calcule o benefício vitalício 
mensal que deverá começar a ser pago 
imediatamente. Qual o valor do benefício 
desse participante?
38
MENSALIDADES
Os planos de previdência, normalmente, 
oferecem pagamentos mensais aos seus 
participantes. A teoria apresentada até agora 
nos permite calcular apenas benefícios 
anuais. Como fazer para mensurarmos esses 
produtos atuariais para essa realidade?
39
MENSALIDADES
Os planos de previdência, normalmente, 
oferecem pagamentos mensais aos seus 
participantes. A teoria apresentada até agora 
nos permite calcular apenas benefícios 
anuais. Como fazer para mensurarmos esses 
produtos atuariais para essa realidade?
40
DESIGUALDADE DE 
WOOLLHOUSE
Vejamos o que diz a desigualdade de 
Woolhouse disponível no link:
 
(http://www.macs.hw.ac.uk/~angus/papers/eas
_offprints/eul_mcl.pdf)
a¨ x :n |
(m) =a¨ x :n |−
m−1
2m
∗(1−vn n p x)
41
MENSALIDADES
Agora vejamos, no da anuidade postecipada:
E o caso particular de mensalidades (12 
pagamentos no ano)
Fonte: Cálculo Atuarial Aplicado, páginas 128 e 131.
ax
(m)=ax+
m−1
2m
ax
(12)=ax+
11
24
42
FUNÇÕES DE COMUTAÇÃO
Referências
Foi utilizado como importante (mas não única) 
referência o livro:
• CORDEIRO FILHO, Antonio. Cálculo atuarial aplicado: teoria e 
aplicações, exercícios resolvidos e propostos. São Paulo: Atlas, 
2009. 280 p., il.
Referências adicionais no programa de ensino.
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	Slide 28
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	Slide 34
	Slide 35
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	Slide 41
	Slide 42

Outros materiais