Exercícios Calculo 1

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO 1 – Turma PF (Matema´tica e F´ısica) – 2016.1
LISTA 2 DA PRIMEIRA UNIDADE
1. Use as regras de derivac¸a˜o para calcular a derivada das seguintes func¸o˜es:
• p(x) =
√
x
3
√
x+ x
;
• q(x) = (x3 − x+ 1) tgx;
• f(x) = senx
1 + cos x
;
• g(x) =
√
3 + x secx+
pi
x
+
1√
2 + x3
;
2. Determine a reta tangente ao gra´fico y = x4 senx no ponto com abscissa x = pi/2.
3. Em que pontos da curva y = cosx a reta tangente e´ paralela a` reta y = −1
2
x + 1 ?
Desenhe o gra´fico e algumas das (infinitas) retas tangentes com esta propriedade.
4. Determine os limites a seguir; caso o limite na˜o exista, verifique se o limite e´ +∞,
−∞, ou nenhum destes casos e´ va´lido.
lim
t→pi/2
sen (t)
t
; lim
t→0
sen t
t3
; lim
t→0
sen(pit)
t
; lim
t→0
sen
(
1
t
)
;
lim
t→0
t sen
(
1
t
)
; lim
t→0
cos t− 1
t2
; lim
t→pi
2
−
tg t; lim
t→0
tg (2t)
tg (3t)
.
5. Se g e´ uma func¸a˜o positiva tal que lim
x→x0
g(x) = 0 e f(x) e´ uma func¸a˜o tal que lim
x→x0
f(x)
existe e e´ positivo, o que voceˆ pode dizer sobre lim
x→x0
f(x)
g(x)
? Responda a` mesma pergunta
no caso em que lim
x→x0
f(x) existe e e´ negativo.
6. Determine o valor de a para o qual o limite lim
x→1
x2 + ax
x− 1 exista. Para os outros valores
de a, investigue o limite lateral lim
x→1+
x2 + ax
x− 1 , verificando se o mesmo e´ +∞ ou −∞ (na
dependeˆncia de a). Idem para lim
x→1−
x2 + ax
x− 1 .
7. Seja f : R → R a func¸a˜o definida por f(x) = 0 se x < 1 e f(x) = 1 se x ≥ 1. Esta
func¸a˜o tem derivada em x = 1? Por queˆ?
8. Seja f : R → R a func¸a˜o definida por f(x) = x2 se x ≤ 0 e f(x) = −x2 se x > 0.
Esboce o gra´fico de f ; use-o para decidir, por meio de argumento geome´trico, se a func¸a˜o
f e´ diferencia´vel em x = 0. Confirme sua resposta calculando os limites laterais do
quociente de Newton de f em x = 0.
9. Seja f : R→ R a func¸a˜o definida por f(x) = x2 + 2 se x < 1 e f(x) = x+ 2 se x ≥ 1.
Esboce o gra´fico de f . A func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = 1? A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em
x = 1? Qual e´ o domı´nio da func¸a˜o derivada f ′? Esboce o gra´fico de f ′.
10. Sejam a, b nu´meros reais. Considere a func¸a˜o
f(x) =

ex, x < 1,
a, x = 1,
−x2 + bx+ c, x > 1.
(a) Determine todos os valores de a, b e c tais que a func¸a˜o f(x) seja cont´ınua.
(b) Determine a, b e c de modo que a func¸a˜o f(x) seja diferencia´vel. Para estes valores
de a, b e c, desenhe o gra´fico de f(x). Um bom desenho deixara´ claro que se trata
do gra´fico de uma func¸a˜o diferencia´vel.
11. Calcule o(s) ponto(s) do gra´fico y = xe1/x onde a reta tangente e´ horizontal.
12. Calcule a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico no ponto P dado.
(a) y =
√
x3 + 1, P = (1,
√
2);
(b) y =
e2x
1 + sen x
, P e´ o ponto do gra´fico com abscissa x = 0;
(c) y = sen2x, P e´ o ponto do gra´fico com abscissa x = pi/4.
13. Seja f(x) = ln(3− x2).
(a) Determine o maior domı´nio poss´ıvel D tal que possamos definir a func¸a˜o f : D → R
pela expressa˜o acima.
(b) Calcule os pontos de intersec¸a˜o do gra´fico de f com o eixo dos x.
(c) Qual e´ a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f , se o ponto de tangeˆncia tem
abscissa x = a (onde a ∈ D)?
(d) Mostre que ha´ precisamente uma reta tangente a este gra´fico que e´ paralela a` reta
y = x. Determine a equac¸a˜o desta reta tangente.
14. Se f, g sa˜o as func¸o˜es abaixo, calcule: f(1), g(1), f ′(1), g′(1).
f(x) = (ln x)(x2 +
√
3 sen (pix) + 2), g(x) = ln(x2 +
√
3 sen (pix) + 2).
15. Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo.
• f(x) = ln (senx);
• g(x) = e
√
pi xtg(x2 + 1);
• h(x) = sec (3x)
sec (5x)
;
• p(x) = sen(cos(sen x));
• q(x) =
√
x+
√
x+
√
x.