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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO 1 – Turma PF (Matema´tica e F´ısica) – 2016.1
LISTA 3 DA PRIMEIRA UNIDADE
1. Considere a curva com equac¸a˜o x2 + xy + y2 = 3.
(a) Use diferenciac¸a˜o impl´ıcita para determinar y′ = dy/dx.
(b) Determine as equac¸o˜es das retas tangentes a` curva nos dois pontos de intersec¸a˜o da
curva com o eixo dos x.
(c) Determine os pontos da curva nos quais a reta tangente e´ horizontal.
2. Qual e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico y = 2x no ponto (0, 1)?
3. Para calcular a derivada de func¸o˜es da forma a(x)b(x), e´ u´til usar a fo´rmula ab = eb ln a.
Use isto para calcular a derivada das func¸o˜es a seguir:
f(x) = x2x; g(x) =
3x
3
x
; h(x) = (x2 + 1)cosx.
Podemos tambe´m calcular a derivada nestes casos usando diferenciac¸a˜o logar´ıtmica: de-
rive ln(f(x)) e use o fato que esta derivada e´ igual a f
′(x)
f(x)
para determinar f ′(x). Refac¸a
o ca´lculo da derivada das func¸o˜es acima.
4. Considerando y = y(x) como uma func¸a˜o de x satisfazendo a condic¸a˜o dada, derive
implicitamente para calcular y′ = dy/dx.
(a) y3 + x3y + xy2 + (x2 + y2)5 + y = 3.
(b) x arctg(y2) + y arcsen(x3 + 1) + ecos y = 5.
5. Derive as func¸o˜es abaixo:
f(x) =
arctg(5x + 1)
x
; g(x) =
x2arcsen (x)
x + 1
; h(x) = arcsen (arctg (2x)).
6. Quantas retas ha´ que sa˜o tangentes ao gra´fico y = arctg (x) e fazem um aˆngulo de 30
graus com a horizontal? Determine a coordenada x dos pontos de tangeˆncia destas retas.
Fac¸a uma figura ilustrando o gra´fico e estas retas.
7. Calcule a equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada no ponto P indicado.
(a) y = arctg(x3) no ponto P com abscissa x = 1.
(b) (y+ 1)sen y+ 2 lnx = (x−1)3, P = (1, 0). Obs: Verifique que P e´ de fato um ponto
da curva.
8. E´ bombeado ar em um bala˜o esfe´rico a uma taxa constante de 100 cm3/seg. Com que
rapidez o raio do bala˜o esta´ crescendo quando o raio e´ 10 cm?
9. Um cilindro circular tem suas dimenso˜es continuamente alteradas de modo que o vol-
ume permanec¸a constante, igual a 1000 cm3. Quando o raio da base e´ 10 cm, o raio cresce
a` taxa de 2 cm/s; neste momento, qual e´ a taxa de decrescimento da altura do cilindro?
10. Um bala˜o e´ solto do cha˜o a` distaˆncia de 30 m de um observador, e sobe a` velocidade
constante de 3 m/s. A que velocidade (em radianos/s) o aˆngulo entre a linha de visa˜o
do observador e o solo estara´ aumentando quando o bala˜o estiver a uma altura de 40 m?
(Despreze a altura do observador.)
11. Um tanque de a´gua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e
altura 4 m. Se a a´gua esta´ sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, en-
contre a taxa com que o n´ıvel de a´gua esta´ se elevando quando a a´gua esta´ a 3 m de altura.
12. Uma part´ıcula se move ao longo da curva y =
√
x. Quando a part´ıcula passa pelo
ponto (4, 2), sua coordenada x cresce a` taxa de 3 cm/s. Com que rapidez esta´ crescendo
a distaˆncia da part´ıcula a` origem neste instante?
13. Determine os limites abaixo. Caso na˜o exista, investigue se o limite e´ ∞ ou −∞ (ou
nenhum dos dois casos).
• lim
x→∞
x99 − x6 − 1
x99 − 7x10 − 4; limx→∞
x99 − x6 − 1
x98 − 7x10 − 4; limx→∞
x99 − x6 − 1
x100 − 7x10 − 4 .
• lim
x→∞
√
x2 + 1
x
; lim
x→∞
(
√
x2 + 1− x); lim
x→∞
(
√
x2 + x− x).
• lim
x→e−
lnx
x− e ; limx→e
lnx− 1
x
; lim
x→−∞
x arctgx
x + 1
;
• lim
x→∞
ex
1 + ex
; lim
x→∞
ex + e−x
ex − e−x ; limx→−∞
ex + e−x
ex − e−x .
• lim
x→∞
senx
x
; lim
x→∞
senx;