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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO 1 – Turma PF (Matema´tica e F´ısica) – 2016.1
LISTA 1 DA SEGUNDA UNIDADE
1. Determine os pontos cr´ıticos da seguintes func¸o˜es:
f(x) = cos x + 2x; g(x) = 2x − x; h(x) = arctg(5x + 1)− x.
2. Calcule os valores ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o dada, no intervalo indicado:
(a) f(x) = xe−x no intervalo [0, 2]; (b) f(x) = xe−x no intervalo [−1, 1/2];
(c) g(x) =
ln(x)
x3
no intervalo [1, e]; (d) h(x) = 1 + 5x− x5 no intervalo [−2, 2].
3. Deˆ exemplos de gra´ficos de func¸o˜es diferencia´veis f : [0, 1]→ R satisfazendo:
(a) f na˜o tem pontos cr´ıticos.
(b) f tem exatamente um ponto cr´ıtico e e´ decrescente.
(c) f tem treˆs pontos cr´ıticos, sendo apenas um deles ponto de ma´ximo local, e o valor
ma´ximo de f e´ atingido para x = 1.
4. Verifique diretamente a conclusa˜o do teorema do valor me´dio para a func¸a˜o f(x) =
ln(2x + 1) no intervalo [0, 1/2].
5. Use o teorema de Rolle para mostrar que um polinoˆmio de grau 3 tem no ma´ximo treˆs
ra´ızes reais. Argumente de forma similar para concluir que um polinoˆmio de grau n tem
no ma´ximo n ra´ızes reais.
6. Determine o diagrama C/D para as seguintes func¸o˜es:
f(x) = cos x + 2x; g(x) = x3e−x
2
; h(x) = arctg x− x/2;
p(x) = ln(1− x2) (fique atento ao domı´nio desta func¸a˜o!).
7. Classifique os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo (quanto a ma´ximo/mı´nimo local).
p(x) = ax2 + bx + c (a 6= 0, b, c constantes; fique atento ao sinal de a);
q(x) = x2 − x4; r(x) = x
2 − x
(x + 1)2
; f(x) = xe1/x; g(x) = arcsen (x2 + x).
Observac¸a˜o. Nas questo˜es de otimizac¸a˜o abaixo, justifique sua resposta: na˜o basta de-
terminar pontos cr´ıticos, e´ preciso explicar por que a resposta encontrada corresponde de
fato ao ma´ximo (ou mı´nimo) global da quantidade que esta´ sendo otimizada.
8. Constru´ımos uma caixa (sem tampa) a partir de uma folha de lado L, removendo um
quadrado de lado x de cada um dos quatro cantos.
(a) Determine o valor de x, em termos de L, para que o volume da caixa seja ma´ximo.
Qual e´ o valor deste volume ma´ximo?
(b) Responda a`s mesmas perguntas se desejamos, adicionalmente, que a altura da caixa
seja pelo menos: (i) L/3; (ii) L/10.
9. Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito na elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
10. Um recipiente com a forma de um cilindro circular (sem tampa) deve ser fabricado
de modo a ter o volume de 1 m3. O material usado na base tem o custo de 1 real por
m2, enquanto o material usado em sua superf´ıcie lateral custa 50 centavos por m2. Quais
devem ser as dimenso˜es do recipiente de modo que seu custo seja o menor poss´ıvel?