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lista de aplicação   semana 12   integral definida, teorema fundamental do cálculo e áreas (solução)

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sua a´rea e´ finita.
Soluc¸a˜o:
(a) Fazendo x = tan θ e lembrando que 1 + tan2(θ) = sec2(θ) temos que 1/(1 + x2) =
1/ sec2 θ e dx = sec2 θdθ. Desse modo∫
1
1 + x2
dx =
∫
1
sec2 θ
sec2 θ dθ = θ +K = arctan(x) +K.
(b) O item acima e o Teorema Fundamental do Ca´lculo nos fornecem
S(a) = 2 arctan(a)− 2 arctan(0) = 2 arctan(a).
(c) Usando a expressa˜o de S(a) calcula acima temos que
lim
a→∞
S(a) = 2 lim
a→∞
arctg(a) = 2(pi/2) = pi.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 12 - Pa´gina 6 de 6