lista de exercícios revisão módulo 2 (semana 10)

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Revisa˜o do Mo´dulo 2 - 1.o/2014 - 12/05/2014
1. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo:
a) f(z) = csc2/3z + sec 3z; b) f(θ) = tan θ − cot θ; c) f(x) = a
x2/3
− b
x
√
x
;
d) f(x) = a ln (x
6+b)√
a2+b2
; e) f(x) = senx+cosx
senx−cosx ; f) f(u) =
2u2u
√
u2 + 1
;
g) f(t) = eat + tm+n; h) f(x) = arctan
(
5 tan(x/2)+4
3
)
; i) f(x) =
√
arccosx− (arcsenx)3
2. Resolva os itens abaixo:
(a) Determine os pontos em que as tangentes da curva y = 3 x4 + 4 x3 − 12 x2 + 20 sa˜o paralelas ao
eixo das abscissas.
(b) Em que ponto a tangente a` para´bola y = x2 − 7 x+ 3 e´ paralela a` reta 5 x+ y − 3 = 0?
(c) Determine a equac¸a˜o da para´bola y = x2 + b x+ c que e´ tangente a` reta y = x no ponto (1, 1).
(d) Determine as equac¸o˜es da tangente e da normal a` curva y = (x − 1)1/3 no ponto (1, 0).
3. Uma laˆmpada esta´ no topo de um poste de 24m de altura. Uma bola e´ largada da mesma altura de
um ponto situado a 6m de distaˆncia da laˆmpada. Encontre a velocidade com que a sombra da bola se
move no cha˜o (a) 1 segundo depois de largada a bola e (b) 2 segundos depois. Suponha que a bola cai
s = 4, 9 t2 metros em t segundos.
4. Considere que um cabo de ac¸o e´ desenrolado de um carretel industrial gigante e que esta´ disposto em
camadas de raio constante. Se o cabo for puxado a uma velocidade de 10 m/s, encontre a taxa que o
carretel gira (em radianos por segundo), enquanto a camada com raio de 5 m esta´ sendo desenrolada.
Sugesta˜o: lembre-se que o comprimento de arco e´ dado pela fo´rmula s = rθ.
5. Com qual precisa˜o aproximada a aresta de um cubo deve ser medida para que seja razoavelmente
seguro calcular a a´rea de sua superf´ıcie dentro de uma margem de erro estimada em 2%?
6. Supondo que o raio de uma circufereˆncia de metal tenha aumentado de 2 m para 2, 02 m, estime a
variac¸a˜o resultante na a´rea desta circufereˆncia, expressando a estimativa como uma percentagem de
sua a´rea inicial.
7. Um conteˆiner de ac¸o, aberto no topo, deve ter volume igual a 128 m3. Se a base for em forma
de quadrado, com um custo de produc¸a˜o de R$ 8, 00 por metro quadrado, e suas laterais sejam
retangulares, com custo de R$ 2, 00 por metro quadrado, encontre as dimenso˜es do conteˆiner que
minimizem os custos de produc¸a˜o.
8. Suponha que certa empresa de TV por assinatura tenha 8.000 assinantes em um bairro e que a mensa-
lidade me´dia cobrada neste local seja de de R$ 152, 00. Apo´s uma pesquisa, a empresa constatou que
a cada R$ 4, 00 de reduc¸a˜o na mensalidade ha´ um aumento de 800 assinantes no bairro. Determine
qual o valor da mensalidade que gera maior receita para a empresa neste bairro.
9. A reta x = a intercepta a curva y =
1
3
x3 + 4x+ 3 num ponto P e a curva y = 2x2 + x num ponto Q.
Para que valore(s) de a as tangentes a essas curvas em P e Q sa˜o paralelas?
10. Que valores devem ter as constantes a, b e c se as duas curvas y = x2 + ax+ b e y = cx− x2 teˆm a
mesma tangente no ponto (3, 3)?
11. Mostre que as tangentes a`s curvas e em x = 3 sa˜o perpendiculares entre si.
12. Sejam P um ponto da curva y =
1
x
do primeiro quadrante. Mostre que o triaˆngulo determinado pelo
eixo x, a tangente em P e pela reta que liga P a` origem e´ iso´sceles e calcule a sua a´rea.
13. Calcule os limites abaixo:
a) lim
x→7
x2 + x− 56
x2 − 11 x+ 28
b) lim
x→4
x− 4
x−
√
x− 2
c) lim
x→∞
2 x2 + x− 5
3 x2 − 7x+ 2
d) lim
x→∞
x2 − 2x+ 5
x3 + 7x2 + 2x− 1
e) lim
x→0
sen(3 x) sen(5 x)
(x− x3)2
f)lim
t→0
t cos t
tan t
g) lim
x→0+
(
senx
x2
−
1
√
x
)
h) lim
x→±∞
x (3 x+ senx)
2 x2 − 5 x sen(x) + 1
14. Esboc¸e os gra´ficos abaixo:
a)y =
x2 + 45
x2
b)y =
x2 − 4
x2 + 1
c)y = x2/3(5/2− x)
d)y =
ex
1 + ex
e)f(x) = x+ senx e)f(x) = x2 + arctanx
15. Seja f(x) uma func¸a˜o com a propriedade de que f(x1 + x2) = f(x1)f(x2) para quaisquer x1 e x2. Se
f(0) = 1 e f ′(0) = 1, mostre que f ′(x) = f(x) para todo x.
16. Prove que a derivada de uma func¸a˜o perio´dica e deriva´vel, e´ tambe´m uma func¸a˜o perio´dica.