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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Revisa˜o do Mo´dulo 2 - 1.o/2014 - 12/05/2014 1. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo: a) f(z) = csc2/3z + sec 3z; b) f(θ) = tan θ − cot θ; c) f(x) = a x2/3 − b x √ x ; d) f(x) = a ln (x 6+b)√ a2+b2 ; e) f(x) = senx+cosx senx−cosx ; f) f(u) = 2u2u √ u2 + 1 ; g) f(t) = eat + tm+n; h) f(x) = arctan ( 5 tan(x/2)+4 3 ) ; i) f(x) = √ arccosx− (arcsenx)3 2. Resolva os itens abaixo: (a) Determine os pontos em que as tangentes da curva y = 3 x4 + 4 x3 − 12 x2 + 20 sa˜o paralelas ao eixo das abscissas. (b) Em que ponto a tangente a` para´bola y = x2 − 7 x+ 3 e´ paralela a` reta 5 x+ y − 3 = 0? (c) Determine a equac¸a˜o da para´bola y = x2 + b x+ c que e´ tangente a` reta y = x no ponto (1, 1). (d) Determine as equac¸o˜es da tangente e da normal a` curva y = (x − 1)1/3 no ponto (1, 0). 3. Uma laˆmpada esta´ no topo de um poste de 24m de altura. Uma bola e´ largada da mesma altura de um ponto situado a 6m de distaˆncia da laˆmpada. Encontre a velocidade com que a sombra da bola se move no cha˜o (a) 1 segundo depois de largada a bola e (b) 2 segundos depois. Suponha que a bola cai s = 4, 9 t2 metros em t segundos. 4. Considere que um cabo de ac¸o e´ desenrolado de um carretel industrial gigante e que esta´ disposto em camadas de raio constante. Se o cabo for puxado a uma velocidade de 10 m/s, encontre a taxa que o carretel gira (em radianos por segundo), enquanto a camada com raio de 5 m esta´ sendo desenrolada. Sugesta˜o: lembre-se que o comprimento de arco e´ dado pela fo´rmula s = rθ. 5. Com qual precisa˜o aproximada a aresta de um cubo deve ser medida para que seja razoavelmente seguro calcular a a´rea de sua superf´ıcie dentro de uma margem de erro estimada em 2%? 6. Supondo que o raio de uma circufereˆncia de metal tenha aumentado de 2 m para 2, 02 m, estime a variac¸a˜o resultante na a´rea desta circufereˆncia, expressando a estimativa como uma percentagem de sua a´rea inicial. 7. Um conteˆiner de ac¸o, aberto no topo, deve ter volume igual a 128 m3. Se a base for em forma de quadrado, com um custo de produc¸a˜o de R$ 8, 00 por metro quadrado, e suas laterais sejam retangulares, com custo de R$ 2, 00 por metro quadrado, encontre as dimenso˜es do conteˆiner que minimizem os custos de produc¸a˜o. 8. Suponha que certa empresa de TV por assinatura tenha 8.000 assinantes em um bairro e que a mensa- lidade me´dia cobrada neste local seja de de R$ 152, 00. Apo´s uma pesquisa, a empresa constatou que a cada R$ 4, 00 de reduc¸a˜o na mensalidade ha´ um aumento de 800 assinantes no bairro. Determine qual o valor da mensalidade que gera maior receita para a empresa neste bairro. 9. A reta x = a intercepta a curva y = 1 3 x3 + 4x+ 3 num ponto P e a curva y = 2x2 + x num ponto Q. Para que valore(s) de a as tangentes a essas curvas em P e Q sa˜o paralelas? 10. Que valores devem ter as constantes a, b e c se as duas curvas y = x2 + ax+ b e y = cx− x2 teˆm a mesma tangente no ponto (3, 3)? 11. Mostre que as tangentes a`s curvas e em x = 3 sa˜o perpendiculares entre si. 12. Sejam P um ponto da curva y = 1 x do primeiro quadrante. Mostre que o triaˆngulo determinado pelo eixo x, a tangente em P e pela reta que liga P a` origem e´ iso´sceles e calcule a sua a´rea. 13. Calcule os limites abaixo: a) lim x→7 x2 + x− 56 x2 − 11 x+ 28 b) lim x→4 x− 4 x− √ x− 2 c) lim x→∞ 2 x2 + x− 5 3 x2 − 7x+ 2 d) lim x→∞ x2 − 2x+ 5 x3 + 7x2 + 2x− 1 e) lim x→0 sen(3 x) sen(5 x) (x− x3)2 f)lim t→0 t cos t tan t g) lim x→0+ ( senx x2 − 1 √ x ) h) lim x→±∞ x (3 x+ senx) 2 x2 − 5 x sen(x) + 1 14. Esboc¸e os gra´ficos abaixo: a)y = x2 + 45 x2 b)y = x2 − 4 x2 + 1 c)y = x2/3(5/2− x) d)y = ex 1 + ex e)f(x) = x+ senx e)f(x) = x2 + arctanx 15. Seja f(x) uma func¸a˜o com a propriedade de que f(x1 + x2) = f(x1)f(x2) para quaisquer x1 e x2. Se f(0) = 1 e f ′(0) = 1, mostre que f ′(x) = f(x) para todo x. 16. Prove que a derivada de uma func¸a˜o perio´dica e deriva´vel, e´ tambe´m uma func¸a˜o perio´dica.
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